Аналитические функции в квазиконформным продолжением и пространства Тейхмюллера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

V) АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ птДЕЛЕЛИЕ

шсшут гсшикн

Нч правах р, • -плси

ГОЛОВАНЬ Владимир Дэнияокнч

Ш 517.54

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНЩ1И С КВАЗИКОНФОРШД! ПРОДОЛЖЕНИЕМ И ПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМШГСРА

01.0Г.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирс - 1990

Работа выполнена в Институте математики СО АН СССР

ч ■ Научный руководитель - доктор фиэико-математичосхих

наук, профессор - С.Л.Крушкаль

Официальные оппоненты:-доктор физико-математических

наук, профессор А.П.Копшюв ' -доктор физико-математических наук В.Н.Дубинин

Ведущее учреждение -Институт прикладной математик!!

и механики АН УССР

Защита диссертации состоится "_" ______

1990 г. е и часов на ааседании специализированного совета К 002.23.02 по присуждение учёной степени кандидата физико -математических наук в Институте математики СО АН СССР .{630090, Новосибирск-90, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" '__19°^ г.

Ученый секретарь

специализированного совет л

кандидат физико-математических у

наук, доцент : /л / / у/ В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРШЕЙ1С'Ж!СА Р/БОТУ

Актуальность темы. Анаяитмчаскио функции с квазик нформиун |

продолжением как объект исследования: появились в начале. тести •• !!., десятых годов. Их появление обуслозяано успехами теория квази ~ конформных отображений плоских областей, которые били дооыгну-ты в ото время в значн- эльяой мере благодаря подходу к каази - . конформны* отображениям как к .'Ьмеоморфнмм решениям упаьнешм Бельтрпми. Впервые такие функции стали рассматриваться в ра 'э та* Л.Альфорса и' Л.Берса, посвященных изучении пространств ТеЯх- / мпллера фуксовых групи и р1..,!аноз; поверхностей, Эти функции образуют1 один из иаиболэо вмрояос подклассов иноэв'тва псех о,я-;; ! нолистььпс функций.

СйЬтемШгёеское изучение этого класса однолг тнызс (функций , было начато в''работах С.Л.Крупкаля, и в последит!© десятилетия квайиконформ!{р продолхимыэ аналитические (Тунхциа является пред-' метом многочислгчннх исследований. Вольщуо'роль здесь' сыграли результаты Р.Канву,- О.Лвхто, В.Я.Гутя/шского, @.Гаркнга, Х.Пом-

• керешс!» И.Беккера к других азтс.зг» распространивших' ьл такие" '.фунг'^й многие катода творв1: конфорюшх''отоб^&1ий;''-...

"Аналитические.фунтщип с »явазнконформнш продета'ёнием сйяэа- V. ни естественны*' образе« с теорией пространств* Тейхкйллера,., где она являются .часто основным инструментом ранений »ея; м центу' ральиых проблем. В свою очередь,-связь квазийонфорййо продолжн-

• МЫХ рахитических функций с а-е?ри9й ярбстранст.) Теййшллера приводит к постановке и решению новы: прочем для этих функций.

В Последнее десятилетие в теории пространств' мера . ривиг чется совер-энно кной подход, охватывающий более общИй

3 .■-■■

; классы функций, опирающийся .на св лс*ва .биголоморфно инвар,изн.т-пых метрик на комплексных с';анахових многообразиях. Такой подход • оказался плодотворней .при рег^нии многих задач современной геометрической теории функций.

Вопросы» связанные с теорией пространств Тейхмюллера и анапитиче. шх функций с квазиконформна продолжением ак1„,альны ""в современном ешлизо и имеют многочисленные приложения в дру -гих обретя*. 4

Цель .о^боу. Дчссертацион'. ля работа посвящена изучению некоторых ст*с;г£ ¡пррстранств Тейхмюллера и граничного поведения аналитических функций с квазиконформным продолжением.

Мотоцикл исслвд>:^ш<ия. Работа основана на применении методов т.-зории прсстран т,в Тейхмю.'-пора, теории конформных и квази' конформных отображений,

Каучнвя ковкзиа работы. Вое основные результаты диссертации являюгзя новыми. В

I .По^. чевсн некрторьга результаты об интерполяции однолистными фуннцидои # еддро^симпции бесконечномерных пространств Тейх-ти.чера конечномерными,

"2.Решена дедача о внутреннем радиусе конечномерных прост -р^но'ч ' ейхмюллера. '» '

3 Изучены ускорил гладкости границы образа единичного круга при «скфорыно^ отображении аналитической функцией с квазиконформным продолжение^.

4.Получено достаточное условие спрямляемости квазиконформной кривой.

Пракуздеокое ц уаоретическое 8начение, Работа носит теоретический характер. Го'зульта^^ и методы могут быть использованы для

дальнейшего развития анализа, теории пространств Тейхмпллаго и аналитических функций с квазиконформны* продолжением.

Апробация работа. Результаты диссертации докладь,г,члись на Всесоюзном коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, её обобщениям и приложениям (Донецк, 1982 г.), на Шк^ле-семина-ре по комплексному анализу и математической физике (Дивног ,-ск, 190Г7г.), на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1938г.), на научно-исследовательских семинарах по комплексному анализу Института математики СО АН СССР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [¡1 - Тз].

Объём" работы. Диссертация изложена ка 66 страницах, состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 43 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОИ

Во введении дан краткий обзор содержания диссертации.

Первая.глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные определения и результаты теории плоских квазиконформных отображений, теория аналитических функций, допускающие квазиконформное продолжение, излагаются общие сведения теории пространств Тейхмюллера фуксовых групп и римановых поверхностей, даптся определения и свойства инвариантных метрик Кобаяси и Ка-ратеодори,

Вторая глава диссертации посвящена решение трёх задач, связанных с пространствами Тейхмюллера. Ось,аой для решения служат некоторые результат» об интерполяции однолистными функциями и аппроксимации бесконечномерных пространств Тейхмюллера конечномерными.

Следует отметить, что подобная аппроксимация оказалась полезной и в других вопросах геометрической теории функций и теории пространств Тейхмюллера, Выделим в

1Л(0,1] счетное всюду шготьое множество точек /ГЦзСцСС*,... | И положим

обозначим через 11т •=,и\\й1,..., , где , д-«!,... -точки в верхней полуплоскости У* (Е". Т^Н^-о}. Рассмотрим банахов шар

и обозначим через

квазиконформный автоморфизм сферы С с коэффициентом Больтраш А1€ 1_*»(и)1 » оставляющий на месте точки 0,1 и <=© . На )I вводятся следующие отношения

эквивалентности:

1) ^ , если

»/Г

и У/ совпадают на ^0.1,..., 0-т} и их ограничения ,

гомотопны на Цт•

2) ул^, если ^ и совпадают на

^ , и гомотопны на проколотой сфере

3.у*£2Н ■ . если на

Соответственно получаем фактор-пространства (пространства кваан-конфс иных деформаций): Т'Шгм) |_»®(и)1 /

< *\УП

Все эти пространств наследуют ст шара L.„(Ü)l комплексную аналитическую структуру. Пои этом Tllim) есть универсальное пространство 'Гейхмюллера при т.= 0 , а в случае ГП % { канонически изоморфно пространству Тейхмюллера для диска с кг» проколами; 'Т (О) + канонически изоморфно некоторой, подобласти пространства Тейхмюллепа

П+ГП , a^.m -

многообразие размерности

Главном результатом 5 I главк второй является теореяа-2.2, утверждающая, что

а) простралство ^Jnw биголоморфно эквивалентно области

Z<sV0, I (Jj к »1,2,mm)};

в) отображение кяот l T^Uk^ Tnm сяръективко; с) отображение ^nm '• T(0.nvrtO) — ''ЯТ'г»« является неразветвлеиным голоморфным накрытием;

Tnw гиперболично в смысле Кобаясн и, в частности, есть область голоморфности;

е) проекции 4hm и на Tnm метрик Кобаяси и

Тейхкяллера пространства

соелйдкз? аегду га <

Тит •

Доказательство первой половины теоремы существенно опирается на теорему 2.1 об интерполяции аяя^ятичоско® ^рдадаей с квазиконформны* продолжением, представляясцго $доасгоятелькц& -кн-терес.

ТЕОРЕМА 2.1/Для лвбого зодг:№зго упорядоченного набора точек Wt,..., V/„ 5 С \ сущестзуе- одно.яастная еяяиттическая в замкнутом круге S~ фикция | , f(o\ я (X .

переводящая заданные на единичной окружности точки

в точки j... , Wn. соответственно и допускающая квазиконформное продолжение у на всю риманову сферу С . Пусть Г - фуксова группа, действующая в единичном круге , a bJjTV -комплексное бачахово пространство голоморфных квадратичных дифференциалов относительно этой группы, т.е. множество голоморфных функций, удовлетворяющих условию

и таких, что ,

Пространств« Тайхмэллера Т(Г) фуксовой группы Г естественно вкладываются в пространства Ь2 (Г) как ограниченные об -ласти. При этом универсальное пространство Тейхмюллора Т(i) , где I -тривиальная группа, есть множество производных Шварца

мероморфных в

Л

функций , допускающих квазиконформное продолжение в С , а пространство в Ь2(Г)

Для пространств Тейхмоллера определяются его внешний

н внутренний радиусы

oín-swfjlvt.íffeTí.p].

в

/(г)=и{М-.(р£ВаСг)\т(П|

Это соответственно радиусы наименьшего шара с центром в нуда, содержащего Т (Г) и наибольшего шара с центром в нуле, содер жащегося в Т(Г).

Сейчас задача об оценке О (Г) полностью решена для конечно-порожденных групп.

Совершенно иная ситуация с задачей о внутреннем радиусе ¿(i). Она была включена ещё в 1974 году в список нерешенных проблем^ .

Решению этой задачи посвящены Ц 2,3. В них доказываются

TE0FEMA 2.3. Если Г -циклическая фунсова группа, то

£ (Г) = 2

В конечномерны случае ( 0 <ciimT(r)<. ^ 5 имеем

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1. Для конечно-поровденной фуксопой группы Г первого рода ,

l(D>2.

Дать в определенном сдас'ле законченный ответ в решении задачи позволяет теорема 2.5.

ТЕОРЕМА 2.5. Для л»бого £>. О существует комечно-порок -денная фуксова группа Г первого рода, для которой

L (Г) < 2.+ £.,

^ A Oresh Course on Kleinlan Groups // B'd. by L.Bare and I.Jtra.- Berlin efcs.i Springes, 1974

Доказательство этой теоремы существенно использует теорему 2.4. об аппроксимации.-

ТЕОРЕМА 2.4. Существует такая последовательность конечно-порожденных Фуксовкх групп первого рода Гп. , что для каждой голоморфной функции 'р.б найдётся; последовательность

голоморфное квадратичных дифференциалов £ В^Гп) » которая сходится к равномерно на компактах в Д .

Б последней, третьей главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с'Граничным поведением аналитических в единичном круге А функций, допускающих квазиконформное продолжение

При конформном отображении аналитической функцией с квазиконформным продолжением, образ граничной окружности является квазиконформной кривой, которая может быть иеспрямляемой ни в какой своей части.

В I даются условия, обеспечивающие гладкость кваэикон -формных кривых.

ТЕОГСКА 3.2. Пусть функция аналитична в единично» круге Д. к

Тогда ""^(Д) -гладкая кривая.

Таким образом всякое достаточное условие квазиконформного продолжения функции |(н) из Д в С виде

ю

где К (к) -константа, зависящая от , обеспечивает гладкост» границы области =

Условия теоремы 3.2 ослабить нельзя, т.е. условия

либо

йт [1-\*1г)-Ш=0

П2)

не обеспечиоаэт даже спрямляемость кривой

Условия, обеспечивающие спрямляемость квазиконформных кривых, рассматриваются в 5 2. Основной является теорема 3.3

ТЕОРЕМА 3.3. Если для аналитической в А функции }(г) выполняется условие

с/хс/^

то допускает кпазиконфо: шое продолжение с комплексной

характеристикой ^42) .такой что уи(2;) 0 при 1

а квазиконформная кривая спрямляема.

Эта теорема дает лишь достаточное условие спрямляемости квазиконформной кривой А . Уоловие теоремы на улучшаеиа в том смысле, что в нем нельзя добавить вео нлн понизить степень.

Автор глубоко признателен профессору О.Л.Крушкалю за научное руководство и всестороннюю поддержку. '

■ (

1Г

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Т.Гояовонь В.Д. К вопросу о гладкости границы областей при однолистных отображениях //Сиб.мат.кури.-1903.-Т.24, № б -С.202 03.

2.Головань В.Д. 0 спрямляемости квазиконформных кривых //Докл. АН СССР. - 1984.-Т.278, * 5, -С. 7044-1048.

3.Головань В.Д. Внутренний радуус некоторых пространств 'Гейхмюллера //"Гез.докл.Всесоюзн.сем. молодых учёных "Актуальные вопросы комплексного анализа". - Тшвкент.сент.1985г.- Ташкент, 1985.- С.29-30. \

4.Голозань В.Д. - Внутренний радиус конечномерных пространств Тейхмчллера //Тез.докл. Всесоюзной конференции по reo -метрической теории функций.- Новосибирск, октябрь, 1988г. - Новосибирск, 1988. -С.26.

б.Крушкаль С.Л., Головань В.Д. Аппроксимация аналитических функций и пространств Тойхшшгера. -Новосибирск, 1989, -20с. -(Препринт / АН СССР. Сиб.отд-е. Ин-т математики, Ш 3).