Аналитические функции с квазиконформным продолжением и пространства тейхмоллера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

о

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ¡.ТЕМАТИКИ

Ня правах р\ •-■"■¡иси

ГОЛОВАНЬ Владнынр Дмшловкч

УДК 517. Б4

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С ¡©АЗИК0НФ0ШШМ ПРОДОЛЖЕНИЕ!! И ПРОСТРАНСТВА ТЕЙШОЛЖРА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирс - 1990

Работа выполнена в Институте математики СО АН СССР

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор - С.Л.Крушкаль

Официальные оппоненты¡"Доктор физико-математических

наук, профессор А.П.Копылов -доктор физико-математических наук В.Н.Дубинин

Ведущее учреждение -Институт прикладной математики

и механики АН УССР

Защита диссертации состоится "_" _________

1990 г. в ; часов на заседании специализированного совета К 002.23.0g по присуждению-учёной степени кандидата фиэико -математических наук в Институте математики СО АН СССР (630093, Новосибирск-90, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" , __19пг> г.

Учёный секретарь специализированного совет:» кандидат физико-математических МОД» Доцент / // . В.В.Иванов

ОБЩАЯ ИРМСГЕРИСТИКЛ РЛБОТЦ

Актуальность темы. Аналитические! функция с квазкк иформнш ;; I продолжением как объект' исследования появились в начала ®ес?и •• десятых годов. Их появление обусловлено успехами теория кзази -конформных отображений плоских областей, которые били достигнуты в ото время в значи- зльной мере благодаря лодходу к квази - . конформни,! отображениям как к .'Ьмяомсрфным решениям упаьаекия " Йельтрпми. Впервые такие функции стали .р&сскатрисяться В рз э --тах Л.Альфорса и Л.Берса, посвящениях изучении пространств Тейх-'миллвра фуксопых. групь и рь^анов: .поверхностей, Зги функции образует' один из: наиболее широких подклассов шгочя'-тва всех. ол-колпетьых функций.

Систематическое изучение этого класса однояу тных функций было начато в'работах С.Л.Крупкадя, и а последнее десятилетня квазиконформнр продолкимыз аналитические функции явллйтся предметом кногочиелг чнкх исследований. Большуп роль 'здесь сыграли результаты Р,Канву,' О.Лохто, В.П.Гутлпнского, Ф.Гэрикга, Х.Пом-♦ ыерен;<о» И.Бзккера к других -авте. эвг, распрос'тр8«..вашх- ьа такие • фунг>ш многие катоды тоорш^ конфор^дах отобрт.ений'";'

Аналитические функции о »¡вазкконфермшм' и'родбля&нием стланы естественны?' сбразай с теорией крострак-те*ТейхШллера,; где оы являются часто основнш киструшнтом решения »»«ж го; лх центральных проблем. В своз очередь* связь хввэнконф'орг&б;пр'одолжи-.мих аналитических функций с теорией ярострвнм .) Тё'йхмоллера приводит к постановке и решения новш прочем для этих'фикций.

■ В последнее десяплетке в теории пространств Тё". л»5 члёра .р^випется совер-энно иной подход, охватывающий более общйб •

; классы функций, опирающийся ,на св Лства .биголоморфно инваводадг.?

ных метрик на комплексных с'анаховнх многообразиях. Такой подход ■ оказался плодотворны^ при .репнии многих задач современной гео-1 метрической теорий функций.

Вопросы, связанные с твприеР лространств Тейхмгаллера и у, алапиткче. шх функций с квагиконформным продолжением акт./альны :г 'в современном атлизо и имеют многочисленные при; ожения в дру -гих областях. 4

Цель .ргбоу- Дмсаеотацион'-дя работа посвящена изучению некоторых сго^с^ ,про(';гр,алсти Тейхмюллера и граничного поведения ¡¡¡налитическкх функций с квазиконформным продолжением.

Методикд исследования. Работа основана на применении методов теории прсстран т,в Тейхмюглера, теории конформных и квазиконформных отображений.

Научная иовкзна ркботы. Все основные результаты диссертации являюг1я новыми. В ней-

I.Порчены »'окоторога результаты об интерполяции однолистными фунщиэд ,и алрр.о^ксимации бесконечномерных простр^ств Тейх-ию.1,чера конечномерными,

; 2.Решена падьча о внутреннем радиусе конечномерных прост -р^нс^з '"ейхмюллер©. »

3 И »учены ускорил гладкости границы образа единичного круга при ^опгрормном отображении аналитической функцией с квазиконформным продолжение^.

4.Получено достаточное условие спрямляемости квазиконформной кривой.

Пракуздеские и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Го'зультаиа и методы могут быть использованы для

Следует отметить, что подобная аппроксимация оказалась полезной и в других вопросах геометрической теории функций и тео-

»

рии пространств Тейхмюллер*.

Выделим в (О, i} счётное всюду плотное множество точек ] и положим

обозначим через Um^U\\,CtL>..,, йщ.} , где Qj , .wi,

-точки в верхней полуплоскости U е Iiml^o}. Рассмотрим банахов шар

и обозначим через

квазиконфоршыЯ автоморфизм сферы € с коэффициентом Бельтрами М € Lwa(U)i » оставляющий на месте точки 0,1 и °о . На Lpo(y )i вводятся следующие отношения эквивалентности:

I) yV\ ~ ^ , если V/f* и W^ совпадают на ..., Q.mj и их ограничения w/*|ym , гомотопны на Um.

> если Wf и совпадай? на

U • •• , km] и гомотопны на проколотой сфере

: З.уа'^ , если W^&W на Е„1ЦЧ...,Л4. Соответственно получаем фактор-пространства (пространства кваэи-конфс;иных деформаций)5

Все эти пространств наследуют от шара Loi>[U)l комплексной аналитическую структуру. При отом *"Г(Иуп^ есть универсшп.рое пространство Тейхмгаллера при гп=0 , а в случае I канонически изоморфно пространству ТеПхмюллера для диска с кп проколами; Т (О,П.+-1Т1-*-3>) канонически изоморфно некоторой подобласти пространства Тейхмюллепа Tío , ш- m + 3.) , а - " ,m -многообразие размерности H-t-im.

'Главным результатом 5 I главк второй является теорема '2.2, утверждающая, что ,

а) пространство биголоморсно эквивалентно области

"W^m «Cmm \ )€С"Гт: (j*k),

в) отображение "• T(U^ —Тит еюръективио; с) отображение ^мт'- T(os>í»W2Í)-;Wnm является неразветвленнш голомор^нш накрытием*»

«á) TMW гиперболично в смысле Кобаяси и, в частности, есть область голоморфности;

е) проекции |.nm и f¡,m; на Т*т метрик Кобаяси и Тейхмаллера пространства

?п-*-з) совпадет? ПСЯДУ 4а (

*Тит •

Доказательство первой половины теорему Д.«; существенно опирается на теорему 2.1 'об'йнтерпоакизй» ш/дгйггячэск oírОвощей с квазиконформным продолжение«, предстевл?япцу» <уз?Остоятвлма^ интерес.

ТЕОРЕМА 2 Л/Для любого зодслпзго упорядоченного набора точек Wt,..., Wn € С \ еущестзуе' - однолистная аналитическая в замкнутом круге ^ияцяя j , fifi) « (X ,

переводящая заданные на единичной окружности точки Zj,,.

в точки , ■•• . соответственно и допускающая

квазиконформное продолжение | на всю риманову с<*>еру С . Пусть Г - фуксова группа, действующая в единичном круге Д = I] ^ а В^Г^ -комплексное бачахово пространство

голоморфных квадратичных дифференциалов относительно этой группы, т.е. множество голоморфных функций, удовлетворяющих условию

и таких, что .

Пространств« Тайхмюллера *Т(Г) фуксовой группы Г естест-ванно вкладывается в пространства как ограниченные об -

ласти. При этом универсальное пространство Тейхмюллора Т(1*) , где 1 -тривиальная группа, есть множество производных Шварца

ыероморфнщ; в

д

функций | , допускающих квазиконформное продолжение в С , а пространство ТОГ^**

Для пространств Тейхмюллера "Т*(С) определяются его внешний и внутренний радиусы

в

Это соответственно радиусы наименьшего шара с центром в нул«н. содержащего Т(Г) и наибольшего шара с центром в нуле, содор жащегося в Т(Г).

Сейчас задача об оценке О (Г) полностью решена для конечно- порожденных групп.

Совершенно иная ситуация с задачей о внутреннем радиусе ¿(Ï ). Она была включена еще в 1974 году в список нерешенных проблем^ .

Решению этой задачи посвящены 2,3. В них доказываются

TË0FEMA 2.Э. Если Г -циклическая фуксова группа, то

¿(П = 2.

В конвчномер.лм случае ( 0 < cUm Т(Г) ■< ) имеем

УТВЕРВДЕНИЕ 2.1. Для конечно-пороаденной фуксовой группы! первого рода , , ' .

Дать в определенном смысле законченный ответ в решения ¡задачи позволяет теорема 2.5. .

ÏEOFEKÎA 2.5. Для любого ¿> 0 существует конечно-порок -денная фуксова группа Г первого рода, для которой

^ A Crash Course on Kleinlan Groupe // Eä. Ьу L.Bars вт I.Kra.- Berlin ebs.i Springer, 1974

Доказательство этой теоремы существенно использует теорему 2.4. об аппроксимации.-

ТЕОРЕМА 2,4* Существует такая последовательность конечно-порожденних фуксовкх. групп первого рода Гп. , что для каждой голоморфной функции Ьа найдётся последовательность голоморфных кнАдрагичных дифференциалов ;<рч € В^ГпУ» которая сходится к <р равномерно на компактах в Д, .

Б после/де',';, третьей глапе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с граничным поведением аналитических в единичном круге А функций, допускающих квазиконформное продолжение в С..

При конформном отображении аналитической функцией с квазиконформным продолжением, образ граничной окружности является квазиконформной кривой, которая может быть кеспрямляемой ни в какой своей части.

В ? I даются условия, обеспечивающие гладкость квазикон -формных кривых.

ТЕОРЕМА 3.2. Цусть функция | (?) аполитична в единично» круге Д к

Тогда (Д) -гладкая кривая.

Таким образом всякое достаточное условие квазиконформного продолжения функции ^(.2) из А в С вида

где К (с'-) -константа, зависящая от , обеспечивает гладкост» границы области I) = | (Д).

Условия теоремы 3.2 ослабить нельзя, т.е. условия

либо

не обеспечивают даже спрямляемость кривой

1-пт.

Условия, обеспечивающие спрямляемость квазиконформных кривых, рассматривается в ? 2. Основной является теорема 3.3

ТЕОРЕМА 3.3. Если для аналитической в Д функции ^12) выполняется условие

Ц'®

то допускает квазиконфог шое продолжение с комплексной

характеристикой .такой что 0 при »-1+0 I

а квазиконформная кривая спрямляема.

Эта теорема дает лишь достаточное условие спрямляемости квазиконформной кривой А . Уоловие теоремы не улучшаемо в том смысле, что в нем нельзя добавить вес или понизить степень. Автор глубоко признателен профессору С.Л.Круяшадо

за нзуч-1

ное руководства и всестороннш поддержку,

1Г

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Т.Головонь В.Д. К вопросу о гладкости границы областей при однолистных отображениях //Сиб.мьт.курн.-1983.-Т.24, Я> 6 -С.£02 03.

2.Головань В.Д, О спрямляемости квазиконформных кривых //Докл. АН СССР. - 1981.-Т.278, 5, -С. 1044-1048.

3.Головань В.Д. Внутренний радуус некоторых пространств Тейхмюллера //Тез.докл.Всесовзн.сем. молодых учёных "Актуальные вопросы комплексного анализа". - Ташкент,сент.1985г.- Ташкент, 1985.- С.29-30. *

4.Головань В.Д. - Внутренний радиус конечномерных пространств Тейхмчллера /Дез.докл. Всесоюзной конференции по reo -метрической теории функций.- Новосибирск, октябрь, 1988г. - Новосибирск, 1988. -С.26.

« б.Крушкаль С.Л., Головань В.Д. Аппроксимация аналитических функций и пространств Тойхмшглера. -Новосибирск, 1989. -20с. -(Препринт / АН СССР. Скб.отд-е. Ин-т математики, Ш 3).