Квазиконформные деформации в теоремах устойчивости и некоторых экстремальных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НОТ СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Семенов Владимир Иосифович

КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ДЕФОРМАВДИ В ТЕОРЕМАХ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.01. - математический анализ

Авторе$ерат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-1993

Работа выполнена на кафедре ^'атематического анализа Кемеровское государственного 'университета

Официальные оппоненты: доктор Физико-математических

наук, профессор В.А.Ьорич доктор Физико-математических наук, профессор А.П.Копилов доктор физико-математических наук, профессор В.М.Миклкж.ов иедутее учреждение: Институт математики н!1 окраины,

Киев

Автореферат Я_ ризослан "_"_1903г.

Зр.'йкч'и диссертации состоится "_" ___П93г.*

в ' часов на заседании специализированного Совета Д СОЯ. ЯЗ. 02 при Институте математики сО РАН (Ног.осийирск, Университетсжии прос..ект, 4) С диссертацией м^жпо ознакомиться в библиотеке Института математики.

Учениц секретарь специализированного Совета доктор физико-математичиских'

наук В. А.Шарафутдинов-

о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Устойчивость различных классов отоб-кений изучалась многими авторами. Поставленная М.А.Лаврен-эвым в тридцатых годах задача об устойчивости конформных эбражений, рассматривалась Л.Альфорсом ', П.П.Белинским ; Г.Решетняком Ф.Джоном ^в одном частном случае. Устой-вость, порядок устойчивости относительно параметра расша-вания в самой общей ситуации в пространстве с оценками для оизводных-установлены Ю.Г.Решетняксм. Концепция устойчи-сти классов отображений была построена А.П.Копыловым

о

тойчивость лоренцевых отображений изучалась Л.Г.Гуровым Одним из вопросов, который неоднократно ставился М. А. врентьевым, в частности, в был следующий вопрос: кова наилучшая постоянная в оценке устойчивости для квази-нформных отобраглний единичного круга и шара?

АлыЪорс Л.,Лекции по квазиконформным отображениям. М.Мир: 1969.

Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, Наука, 1974.

Белинский П.П, 0 порядке близости пространственного квазиконформного отображения к конформному.-Сиб.мат.журн.-1973.-Т.14,№3.-0.475-483.

Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск, Наука, 1982.

John F. Rotation and stmin. -Comm.Pure /Vppl.Math. -I96I■

Копылов А.П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск, Наука, 19Э0.

и I • *

Такая постановка вопроса является интересной не только

' ^ ■ , * . ■ *

. для "расшатанной" группы конформных отображений. Поставленная М.Л.Лаврентьевым экстремальная задача, как и ряд других

экстремальных задач теории квазиконформных отображений, яв-

* ' * - - .

ляется нелинейной задачей. Линеаризация - естественный и но - ка единственный подход у. решению таких задач. Она тесно свя зана с подходящим "расшатыванием" алгебры Ли группы мебиусо • вых преобразований пространства, которое .изучалось в'раде р ,бот семидесятых годов Л.Альфорсом, Г.Рейманном и автором. С 'нако первым шагом в атом направлении следует считать работу Ю.Г.Решетняка ^ .

"Расшатанный" класс отображений образует так называемь класс квазиконформных деформаций, которые могут представлят интерес в тооркн пластичности при описании процессов деформирования, .гидродинамике. С. точки зрения теории квазиконфох мных отображений интерес к квааиконфоршшм деформациям обус ' . ловлен следующими причинами. Во-первых, традиционный подход с использованием метода модулей при решении экстремальных -у. ряда других задач .для квазиизомегрических отображений и':

^Гуров Л.Г. Об устойчивости преобразований Лоренца.Оценки для производных, '-ДА11 СССР.- 1975.-Т.220,№2.-С.273-276. ^'Лаврентьев М. Л. .Белинский П.Б. Пе5<:оторые проблемы геометрической теории функций.^ Труды !.МАН.-1972..-Т.128.-С.34н

^ Рекштняк Ю.Г. (лккки для дюйерадцпальннх операторов с конечномерным даром.- Си5.мат.хури.-1У70.-Т.13 ,С;41<

.роетранственных квазиконформных отображений позволяет, как (равило, получать информацию качественного характера. Это ' (бъясняется бедностью, класса конформных отображений в прост-. >анстве. Во-вторых, квазиконформные, кеформации являются бс-■ 198 гибким инструментом по сравнению о методом модулей при ; решении ряда задач для плоских квазиконформных отображений. 3-третьих, используя квазиконформные деформации, можно свес-ги экстремальную задачу к исследованию некоторого функционала за экстремум. Например, линеаризированный' вариант об экстремальном отображении двух областей о гладкой границей изучался М.Ю.Васильчиксм ^ .

Цель работы. Изучение-квазиконформных и квазиизометрических деформаций и их применение к решению некоторых экстремальных задач теории квазиконформных и квазиизометрических отображений. Например, в плоском случав наилучшая постоянная в задаче М.¿.Лаврентьева определяется с точностью большей,чем 0,09, а в пространственном случае наилучшая постоянная в оценка устойчивости описывается как экстремальное значение одного функционала с эффективной оценкой сверху. Найдена связь между оценками устойчивости и топологическими свойства-ira отображений с ограниченным искажением . Даются оценки устойчивости кваз«изометрических.отображений > рассматривается применение квазиконформных деформаций к исследованию искажения плоских кзазпконаормшх; отображений^ Получены'

Васильки» Асимптотическое поведение :).Ш1И;мальнюс KosJp' Й'ИЦЯбитов квазиконформности.-ДАН ÇÇU?,-ï.249,#4-С.777^780. г'Решетцяк Ю,Г. Пространственные отображен®! с ограня¿еянвдЛ искажением. НовосиЙ1грск, Наука, 1982.. ...

^обходимые условия для. экстремальных квазиконформных отобр; лсений произвольной области на шар. Указываются эффективные црсдолхения квазиконформных отображений плоскости на пространство .любой размерности.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные ] зультаты диссертации являются новыми и могут быть использов; нн в теории г пзиконФорглных отображений, в теории дифферент альных уравнений, в теории упругости и пластичности.

■Уотпдик.а исследования. В работе использованы методы те» рии функций действительного переменного, техника специальны: интегральных представлений, геометрические методы теории <1;.1 кций комплексного переменного.

. Апгобация работы. Результаты диссертации- докладывались на сеуииарах Института Математики СО РАЯ, Московского государственного университета, на Донецком коллоквиуме по теорш квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (Дс нецк. 1080), на конференциях по геомзтрии и анализу (.Новосибирск, 1980,1989 ), на Всесоюзно1/ конференции по геометрической теории Функций (Новосибирск, 1988) , на УУ Всесоюзно} школе по теории операторов ( Ульяновск, 1й ) , на международном коллоквиуме по комплексному анализу (Бухарест, 1Э8Э ) .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в роботах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации и объем. Диссертация состоит из ив ден.чя и шести глав. Последняя, шестая глава посвящена некото р.чм открытым вопросам. Библиографических названий в диссерта Щ!и.- 89. Объем - 200 с.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ . •

■ На множество отображений и * V. ► , IIеК. , класса ос определим дифференциальные операторы дошнетьамк:

ГЬ.

Оператор Qt играет важную роль в оценках устойчивости зша-знизометрических отображений, а оператор -в отденках

устойчивости квазиконформных-отображений. Оператор« и

интересны также и о точки зрения приложений, Например, {,Qtb)cj представляет собой тензор деформаций в теории yrtpy-

<7

гости, (Qu^- -девиатор тензора напряжений в теории плаетич-ности.

Отображение 14: И —» Й"" класса

называется квачиконфоршгоС; (или квазиизометрической) деформацией, если существенно ограничены характеристики (С?,^)^ (соответственно (Otu,) ¿j ) , L^'-l.l,...,

Теорема 1.1. Пусть , В -открытый тар в Й. Тогда любая деформация "J ■ & —> R ^ квазиконформная лр;- 1*3 и квазиизометрическая при принадлежит классу

для любого z 1

Отсюда имеем следующий результат.

Следствие 1.2. Квазиконформная деформация в раз^ерносга пц и газазиизометрическая в размерности изолирован-

ных особых точзк не имеет.

Творит 1,2. Деформация V — С4' юзязокш *ог!а~

ная при л? 3 и кразитгэоштрическая при ^ ^ с и котошь постоянно:'; С для точек lx:l > I удовлегесмат »ирч»-' -ству I ^ '¡x/L _ Сцеш:ч ¡:Оу.пут1::;:-::а к}--.•ч:''/.-.-

формных деформаций.

■ В работе установлен также точный рост квазиизомегричес-деформаций. Это - теорема. 1.3 первой главы.

В §4 главы 1 выясняются необходимые и достаточные условия для того, чтобы набор измеримых фунуций И^//^'^,....,-^ V л 2 з ♦ являлся набором характеристик квазикон-

формных деформаций, т.е. по сути дела устанавливаются необходимые и достаточные условия.разрешмости системы уравнений

(Q^)ij = п..

Суть этих условий аналогична условиям совместности Сен-Вонана в теории . упругости. Это делает соответствующую проверку легко доступной. Отметим,, что для одного частного случая необходимые и достаточные условия указаны Л.Альфорсом^, .. которые для проверки затруднительны. В размерности п = з

с

' необходимость.некоторых условий показывается, в монографии "(см.; с.86) .

Глава 2 носит преимущественно вспомогательный характер Это прежде всего касается квазиконформных, квазиизометричес ких потоков и потоков отображений; удовлетворяющих условию Гельдера. Следует добавить, что связанные с этим результата имеют самостоятельный интерес, поскольку обнаруживается гл; /.бокая связь между дифференциальными уравнениями и различны! классами отображений.

В §6 главы 2 доказывается•теорема о множестве образую в группе квазиконформных автоморфизмов круга и плоскости. 1 ПШоги. aS^JT^onb.d rJcfamdcnz in wtrfaria

Co.Mui-oni lodnJ^is.-R JS-if. AcäJtnvc. Й-ьи,tU-loA-Lcnl«,

■ 2' ILm-B!-:''A.A. Пластичность.-M. :Узд~во AU ССОР, 19C3.

-iJ-

C помощью этой теоремы в §7 устанавливаются оценки в теоремах искажения для плоских квазиконформных отображений. Теорема 2.11. к - квазиконформное отображение |: ß(o, 0 В(о, 0 единичного круга на себя с .нормировкой удовлетворяет неравенствам

Постоянные 4 и 16 в этих неравенствах уменьшить нельзя.

Отметим, что первое из неравенств в литературе известно. Оно встречается у П.П.Белинского, О.Лехто и К.Виртанена. Теорема 2.14. U. -квазиконформное отображение круга

6(0,1) на себя с нормировкой £(фо удовлетворяет неравенству ________________

для любых 2{ , 2г & В (о, г) , где 1& $ fc IIZ^^LIH.

По сравнению с известной теоремой Мори теорема 2.14 дает существенное уточнение оценки модуля непрерывности для значений К , близких к единице. Гипотеза, высказанная О.Лех-то и К.Виртаненом такова, что у =16 . По крайней мере это справедливо, когда l?i| — 1

В §8 главы 2 доказываются необходимые условия для экстремальных квазиконформных отображений фиксированной области на единичный шар. .

Пусть £: U В(о, .{) ■ -квасгка1'к|ормная бпекцпя и (0,1) . Полоном 'f p-t I

ßr l* н Kowr ' •

* 1 1

где > - внешний и внутренний коэффициенты

квазиконформности.

Обозначим через- Е(^) эллипсоид, который задается" уравнением )>ГД0 х =

Теорема 2.18. Для экстремального квазиконформного отображения : У—г> & (о, Я относительно коэффициента

КМ) (кли соответственно) с необходимостью для каж-

дой прямой. и произвольных чисел ££ существуют точки у £ в; (% € ) • такие, что острый угол между любой наибольшей (наименьшей) осью эллипсоида ¿'(¿г) и прямой-, & заведомо не меньше, чем сыс$¡1 ^ -£

.Смысл этих необходимых условий очень прост. Эллипсоиды %) для точек (у*^) должны "сильно" колебаться

относительно любой'фиксированной прямой.

Теорема 2.21 описывает необходимые условия для экстремального отображения относительно коэффициента квазиконформ ности, введеннохю Ю.Крейнесом.

Главы 3,4,5 - цантральные в диссертации. Х^ава 3 посвящена доказательству следующего утверждение Теоремя 3.1. Для каждого Н - квазиконфоршого отображения (Ый,ц —* З(о^) круга в (о, I) на-себя существует ш формшШ ортоморфизм f'G>(0/i)—^Л{clí) такой, что

I Г(п |

всех точек 1Г1 ,гда наименьшая постоянная т 5

¡■."¡тгог.Ч"? .черапонстьг.-'!:

1,0942... = ILk^l^m i £ =1,2732... Ii тг

где " = К (г) - полны"; эллиптический интеграл.

Теорема 3.2. Для каждого, К - квазиконформного отображения £ ,.ß(o,i) —1k ß(p,i) круга В на себя с нормировьой ., существует ортогональное преобразование' f такое, что

I UC") ~«ftc> \ «С«-*)

для всех Се в „ где наименьшая постоянная лг-удовлетворяет неравенствам:

2,1884... - М ,2,3326... ' , '

где G - 0,915965..» - постоянная Каталана.

Прямым следствием теоремы П.П.Белинского является Теорема 3.3. Для каждого 1С - квазиконформного отображения круга В на себя с нормгрозкой , выполняется неравенство:

для всех в ., где постоянная rn- ii^KilM) явяяет-

тг

ся наилучшей.

Глава 4 посвящена опенкам устойчивости в пространстве. Функцию наибольшего уклонения для отображений с ограниченным искажением единичного шара определим равенством: ,"

feG* IKK! 1 '

где G£ ~ совокупность всех отображений с ограниченным

искажением единичного кара, д~л которых ¿Ч1ешнп2 коэффициент -

Теорема 4.4» Для фуякыия /с справедлива оценка:

-h^«»«ä-A« №

~ 2-+ 0(i/fi>) ■ г уде 3 - бета-функпкя Эйлера.

; -11-

V Число ,- есть'наибольшее значение некоторого функционала, заданного на множестве квазикоформных деформаций шара.

;■ ' Ключевую роль в доказательства теоремы 4.4 играют теорема /устойчивости Ю.Г.Решетняка и специальные интегральные 'представления через дифференциальный оператор Оа , различ-. ,-=дыа варианта которых выводятся з §§1-3 главы 4,. При выводе '■ представлений по существу используются идеи Ю.Г.Решетняка и Л. Аяьфорса, Полученные здесь интегральные представления хотя и громоздкие имеют самостоятельный интерес. Одно из них касается слеца на сфере.

Теорема 4.1. Для каждого непрерывно дифференцируемого

„• в замкнутом шаре векторного поля и : 6 (о, , пъъ,

гг

. существует элемент из алх-ебры Ли группы мебиусовых преобра-зеваний пространства К" , такой, что для граничных Точек справедливо равенство:

' и,х, ,. 1 ( Ц- Й -2й- Т^йг1' .((^(и»-)^**^-*}* * Г^'Т^ (°*и<:иГ)*'

I ^ "" ^ 1

4 >-ТТИ Ы-х)- 0лиСит)(^х))4

Сл-Л)»1*-*Г 1 //аР-Х/4/ :

¿од") I4 /иГ-хг /

№М

С <Згг/(гхг")иЛ гдГ-х)х

¡ъ-г

где ¿а -объем п -мерного единичного шара.

Интересная связь обнаруживается между оценками устойти-вости и топологическими свойствами отображений с огреличен-нш искажением.

Топологические свойства- отображений с ограниченным искажением Изучались в работах В.Л,Зор^ча,В.М.Гольдштейна, Ю.Еяйсяля, О.Картио,. С.Рикмаип, 10,Сарваса.

В §7 главы 4 докаэыгается слецртчэе прадлтйзнде.

Теорзма 4.Ь. Если отосугагг-и.а с огр?.ккчеы;".м игагасвнксм , п?Ъ , с кое-^лде^нтом кзазгкснаорт.'ностй

к({) нетомеоморфно, то вьшолняется неравенство .

ММЫ)

В формулировке теоремы -произвольный коэффициент

квазиконформности, и, функция наибольшего уклонения строится, естественно, с учетом этого коэффициента.

Так как функция наибольшего уклонения либо не превосходит единицы, либо обращается в бесконечность, то нарушение топологических свойств происходит только при двух значениях функции у- : ш /<(£) = оо В частности, для отображений, удовлетворяющих неравенству уи С ) <1 , радиус инъвктквчости равен единице.

В §8 главы 4 выводятся оценки устойчивости отображений с ограниченным искажением в звездной относительно некоторой шара ограниченной области.

Глава 5 посвящена оценкам устойчивости квазиизометрических отображений.

В §1 получены различные интегральные представления чере: дифференциальный оператор . Вот некоторые из них.

Теорема 5.1. Если векторное поле "и ■ Ё>(о,1)—*> принадлежит классу С (в) ,то существует постоянный вектор

О € В"' к кососикметрическое преобразование Н •' £ п—* £ такие, что для всех яе & _ справедливо равенство

г*(х)~а + -1- $ ( С^иС^Ы-х)-

1Ы1-Х

-(QiиЦ*)0*-х\ьГ-х) Iо-\ -

' 1иГ-х(

п-

Где ¿„ -объем п-мерного единичного шара.

Теорема 5.2. В замкнутом круге &(р,1) для векторного Голя и: 3 —» класса С*(8) найдутся комплексное

О. и действительное числа такие, что для всех

справедливо равенство

' i С ^гТ

(

( Оли(т(*г-*)> ¿«Г, •

• Отметим, что интегральное представление, содержащееся Ч теореме 5.3, имеет только объемный интеграл.

Функцию наибольшего уклонения для квазиизометрических отображений единичного шара определим равенством

/\(м)= ¿«1

1

Где &£ - совокупность квазиизометрических отображений единичного шара с коэффициентом растяжения, удовлетворяющим Неравенству £

В выпуклой области коэффициент растяжения отображения есть наименьшая постоянная из неравенства

; ' ;• -16- .■.-■'■ Г : Теорема 5.4> Функция наибольшего уклонения ,. ' имеет предел -/ Л С М) - и.^ ' . "

При втэи I <Оа< и £*а„<Ъ для

В размерности п = 2. • наилучшее постоянная в оценке устойчивости определена с точностью большей, чем 0,39. Добавим, что глчественк^ характер оценок устойчивости установлен • ; Ф.Джоном;.

■ -' - Если определить аналогичным образом функцию наиболъше-' " то уклонения для ограниченной области , то имеет мес-

то следующая

Сарреда 5.5. Пуста У" -ограниченная и звездная относительно шара

область и 1Э -внешний радиус об-; ласти . Тогда

Шестая глава посвящена некоторым открытым вопросам. Часть из них связана с исследдваниями М,Вуо^инэна н А.П. Ко-пнлова. '

- Список рвйот автора но т«мэ дяссвртации; '

-'Г^! "-'-: Л*^ ... . " . -•: ' . ? . . . .• -.

^ '.--ч,.. • я . - , • --''л - г ...

Семенов В.И» Квазикснфорлаые потоке ? ироотранотвад Моб**- Уса. -¿Щт: сборни?.-,1 382. ~Т .11Э,йЗ.-О,3?5-339, ^¿•Языеяов -й^Яюеррахыюв (.представление, слада на сфере; - Г •М. одно - рласс^ • йекторн^а полой и равномерные оценки уртой-• .': чивости квазикокфох;мных отображений шара.- Мат.сборник,-

-17-

1987.-Т.133,№2.-0.238-253..

3. Семенов В.К. Оценки устойчивости для пространственных квазиконформных отображений звездной облас-^и.-Сиб.мйт. журн.-1987.-Т.?8,Я6.-С.102-118, : ' '

4. Семенов В.И. Сб одной оценке в теореме устойчивости о конфордэых отображениях круга.-Сиб,мат.журн.-1986.-Т.27,

■■■ л2.*с,17б-181. .. ■■ V/.

5. Семенов В.И". О некоторых динамических системах и квази- , конформных отображениях.-Сиб.мат.журн.-1987.~Т.23,.!(4.-' С. 196-206. ■ Ч^/

6. Семенов В.Й. 0 необходимых условиях в экстремальных задачах для пространственных квазиконформных отображений.-, Сиб.мат.журн.-1980.-Т.21,№5.-С.70-77. . ■„

7. Семенов В.И. О равномерных оценках устойчивости для про- " страястванных квазиконформных и каазиизометрическях . * отображений.-ДАН CCCP.-1S86.-T.286,^3.-0.295-298»

8., Семенов В.И.. Равномерны« оценки устойчивости изомэтрий, Сиб.мат.жури.-!986.-Т.27,№3.С.193-199.

9. Семенов В.И. Полугруппы некоторых кяасссв.отображений.-Сиб.мат.журн.-1977.-Т.18,/М.-С.877-88Э. . г

10.Семенов В.И'. О достаточных условиях для экстремальных квазжбнформяых отображений в пространстве.-Сиб.мат. журн.-1581.-Т.22,.'.г3 .-С. 222-224, '

11. Семенов В.Й. Об однотрямотрических группах квазиконформных гомеоморфизмах в свкл-г-довом пространстве.-1976.-!, •'• Т.17,.VI .-С.177-193. 1

-1812. Семенов В.И. Об условиях Сен-Венана для квазиконформных деформадай.- Мат.сборник.-1990.-T.181.F2.-C.269-278.

13. Семенов В.И. Некоторый принцип продолжения квазиконформных деформаций плоскости.- Мат4сборник,-1992.-Т.183,^3.-С.147-159.

14. Семенов В.И..Оценки устойчивости, теоремы искажения и топологические свойства отображений с ограниченным иска

" жением.-Мат.заметки.-1992.-Т«51,^5.-С.109-113.

15. Semenov V.l. Certain applications of the quasiconformal and quasiisometrlc deformations.-Rev.Roum.Math.Puree АррЗ.--1991.-V.36,9-Ю.-P.503-511. .