Квазиконформные деформации и динамические системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЮЯЙ пеГ ВЫСШИЙ ШКОЛЕ ШЮСТИРСТВА ЙШИ ВЫСШЕЙ ' ШЮЛЫ И ТШйЧЗСКОй ПОЛИТИК! РОССИЙСКОЙ »РАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДЭЮЮ КРАСНОЮ ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.'ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи УДК Ы1.ГА

Селезнёв Вадим Александрович ШЗййПНЧОРШЫЕ ДДОПШДО И ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

с-

OI.OI.OI - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

дкссерчацйи на соискание учёной сяепвии доктора Ойзико-математических наук

Новосибирск - 1993

Рабога вдаолнша в Новосибирском государственном п одагогпческои институте

Офицдальше оппоненты: член - корреспондент РАН,

доктор Оизико - магматических наук, профессор Л.И. Плотников; доктор юизикочлатекатлчоскпх наук, профессор 5.И. Гаврилов; доктор О'лзз*кочлате?латпческдх наук, профессор А.Д. Модных.

So,нукая организация: Институт математики СО ГАИ.

Somjsea дассортздка состоится Б /'Ь час. заседажш олещх&яшроваиного совстя Д 0639802 по зща-гз дассер^ацз« на соискание' уч&юй степени доктора фазико - глзтоматпческпх наук црд Новосибирской? государственном ушшерснтзто но адресу:

630090, г. Новосибирск, 90, ул. Пирогов.-.!, 2.

С длссертециоп макао ознакомиться в библиотеке -ушвзреи-тета, ул. Пнрогова, 2.

Автореферат разослан " f У " фг&р&<АА IS93 г.

" " ф^вОЯ is

Учокнй секретарь Специализированного совета доктор фазякочлэгеглатаческах наук, просТвссрр

'л.З. Казахов

ОБЩАЯ ХЛРАКТЕК1СТЖА РАБОТЫ

Актуальнее ть темы ■ Теория квазиконформных отображений на плоскости развивалась как раздел теории функций и наша многочисленные приложения в математика и механике. Исследования Лаврентьевской школы црнвели к созданию геометрической теории систем уравнений в частных произволннх на плоскости. Математический аппарат, созданный в рамках этой теории, ленкт в основе моделирования иярокого класса плоских задач в гидродинамике, теория упругости и пластичности, фильтрации и других разделах механики сплошных сред. Эти результата стала классическими и изложены в хорошо известных монографиях M.¿, Лаврентьева, Л. Берса, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, В.II. Монахова, Б. Боярского а др. Пространственные ^ - квазиконйордшо отображения были введены М.А. Лаврентьеве,! в 30 - х годох как сохранящие ориентацию гомеоморфизмы областей евклидова пространства б» - Я*", Ч'- Gr R.^, л. ?/ Ъ '■> с ограниченной К u С Ч ) - характеристикой .

хе. (у

и последние десятилетия являются предметом интенсивного изучения. В развитие этой теории основной вклад внесли советские, американские я финские математики.

Распространение идей и методов теории многомерных квазиконформных отображений предпринималось в самих различных направлениях. Упомянем кратко ляшь некоторне из них. Применение в геометрии связано с известной теоремой Лиувялля о конформных отобра;,солшк и устойчивости отих отображений, в анализе - с инвариантностью некоторых.Зунгщаональннх структур ( таких,как алгебра непрерывных соболезеких функций класса ^ , коразмерность пространства ). Б этом направлении, а так же в области изучения квазирегулярннх отображений - неоднолистных многокеряых квазиконформных отображений в отечественной школе значительное место занимают труди 1Э.Г. Ренетияка л его учеников В.М. Годъддтоина, АЛ. Копылова а других.

Другое нйправлонпе развития многомерной теории квазиконформных отображений связано о изучением искажения конформных

инвариантов и развитием.техники модулей. Среди советских авторов здесь следует отметить основополагающие работы Б.В, Шабата, В.А, Зорича, а такхе учеников П.П. Белинского -A.B. Сычёва, В.В, Асеева; представителе-" Киевской школы ПЛ. Тамразова я др. Ми не ставим своей целью останавливаться даке кратко на анализе пли историческом экскурсе в область этих исследований, так как существует множество других не менее важных разделов, где находят своё применение идеи и методы теории квазиконформных отображений, ^то-теория граничного поведения функций и отображений, активно развиваемая математически,и школами Г.Д. Суворова, В.И, Гаврилова и др., теория разрывных групп преобразований и смазные топологические свойства многообразий,развиваемые в работах С.Л. Крушкаля и его учеников, и множество других разделов современной математики.

Основные методы исследования плоских квазиконформных отображений связаны с тем, что всякое квазиконформное отображение "С, : <£) -> С1 произвольной области' Т) комплексной плоскости С1 является решением некоторого уравнения Бельтраш

с измеримой комплексной характеристикой^« С ) , удовлетворяющей условию эллиптичности Iуи. (. £ ) \ ^ уи.„ < {. Одним из следствии этого факта, в частности, является положительное решение задач непрерывной и дискретной изотопии двумерных квазиконформных отображений к тождественному отображению ( подробнее на этих задачах мы останавливаемся ниже ).

И .А. Лаврентьевым, Л.Альфорсом,' Л. Берсом и другими математиками неоднократно поднимался вопрос о существовании перз-определЗнннх систем уравнений с частными производными, которые бы порозздали широкий класс отображений, в частности, квазиконформные. Однако, исследования целого ряда различных типов систем не дали положительного ответа на такой вопрос.

В середине 70-х годов серией работ Л.Альфорса, X. Раймо-на и В.И. Семенова открылось новое направление исследования пространственных квазиконформных отображений, связанное с системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

В 1975 г. Л.Альг5орс установил, что для автономной систем обыкновенных ди&Зоренциольних уравнений с право;! частью и ) > ^ ■ (I "'-»•■ Я л функциональная ограниченность

е«,ьи.р и СЗО ^ С/ОП,°А

тонзора сдвига

(б*).. +

для ^ £ ( ) есть достаточное условие

того, что задача Коша

определяет единственную изотонию Я."" х [°>Т]-> ,

которая является однопараметрическим семейством квазиконформных отображений Ч* : КЛ с характеристикой квазиконформности

МИ 3

удовлетворявшей условию

= К и) « „.¿Л] • ( 3 >

Эквивалентные достаточные условия были полученн в 1976 г. В.И, Семёновна для автономных ке и X, Раймопом для неавтономных си-стен обыкновенных дитЗеренциальных уравнена!! ( с. д. у. ) .

В связи с этим радом советс::их а зарубешагх математиков Л. Альфорсои, П. Болинскнм, В. Зоричем, X. Рашоном и другими бил снова поднят вопрос о возможности включения произвольного квазиконфорглного отображения в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и,как следствие этого факта, решении задач о непрерывной и дискретной изотонии в многомерном случае.

5

Дополнительно к этому, в связи с отрицательным ответом на вопрос существования систем уравнений с частными производными, которые определяли бы многомерные квазиконформные отображения, В.Н. Монахов сфорлулировал следующую задачу. Существует ш такой класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений," в общем случае неавтономных, в котором , во-первых, решения задач Кошн

= и (4)

с1Х 4=0

содержат группу квазиконфоргяшх отображений ( хотя бы автоморфизмов канонических облаете';, иар и т.д. ) при некотором значении I ( например, -I-< ),' и, во-вторых, решения Ч^. непрерывно соединяют заданные отображения Ч с тождественными, Т.е., . = ?

Диссертация посвящена изучению и частичному решению сформулированных проблем.

Цельл работы является исследование трёх тесно связанных задач пространственных квазиконформных отображений: I).непрерывного изотолирования пространственного квазиконформного отображения к тождественному, 2) разложения квазиконформного отображения в конечную композицию почти тождественных юзазиконфорл-ных же отобранеиий ( задача дискретного изотолирования ), 3) построения класса к в а з и к о н ф о р ы н ы х д и -н а м и ч е с к их- с и с т е м, определяющих пространственные квазиконформные отображения и исследование свойств таких систем. Параллельно этим задачам рассматриваются »лажные зон-' •росы анализа и теории.функций, часть из которых носит вспомогательный- характер, а часть иллюстрирует некоторые приложения с теории квазиконформных динамических систем.

Основные -результаты состоят в том, что для квазиконформных автоморфизмов трёхмерного шара дакн положительные рзшеная трёх указанных задач. Зтл решения основаны на включении произвольного квазиконформного автоморфизма трёх?,юркого шара в систему обыкновенных дифференциальных уравнений ( с.д.у. ) с оператором квазиконформного сдвига по траекториям.

Б качестве следствия решения -задач I) и 2) установлена

изотоиность любых двух 1свазикон$срмных отображен одного квазиконформного шара на другой со свойствами непрерывности л пространстве А С и ограниченности характеристики квазиконформности. В качестве приложения решения задачи 3) установле-ш некоторые свойства устойчивости различных классов квазиконформных динамических систем.

Обсая методика исследования. Наш подход к решении сформулированных задач содержат три принципиальных момента.

Во-петазых. это построении подходящего функционального гугас-са,в котором близость изотоиий в функциональной топологии естественна для квазиконформных отображении. Таким функциональным классом кзляется множество I -параметрических семейств квазиконформных отображений с компонентами Ч^ , I = ... , и., принадлежащими классу С, СЬ"1")) - непрерывных отоб-

ражения отрезка [ О,?] в \ь - алгебру Ройдена Я С 5 й") непрерывных Д С/к -функций ^ : ЕЛ—»Я4, уг 1,; с нормировкой

Алгебра ' ^ является функциональнш языком, при помощи которого Ф.Геринг и Л.Льюис определяли многомерные квазиконформные отображения Ч '• От ~ Я п, 9 2.. А именно, опера-

тор Л ч> : Я. (.&-') —> Я, (С- ), действунций по правилу

АчФЧ'^, • (5)

есть изоморфизм алгебр

если ^ есть квазиконформное отображение. Обратно, если А ! й. - Я. есть изоморфизм указанных алгебр, то он представляется в виде (5), где Ч есть гомеоморфизм с ограниченными характеристиками квазиконформности (I) и (2).

Представление (5) ленит в основе исследованных нами двойственных свойств изотоиий Ч^ класса С (0,Т > И.") А б. (бЛ) и семейств операторов = £ ° , Л*: Я-— С. (0,Т

К нш относятся композиционные (групповые) свойства, свойства, определяемые топологией сильной операторной сходимости, представления норм операторов ^ и А."^ через коэффициенты квазиконформности К 0 и К ч , и Другие свойства.

Второй принципиальный момент состоит в том, что на множестве систем обыкновенных ди1;перешдиальннх уравнений с оператором квазиконформного сдвига по траекториям, представляемым оператором At ($•)='$<> па алгебре R. , мы используем два типа непрерывности оператора по i . Во-первых, это непрерывность, определяемая топологией равномерной операторной сходимости при S о -> О ). Такой непрерывностью обладают изотопии, порождаемые векторными полями, рассттршаеаых нами классов Y tb"v) ,Y(C*) Y (Sl) и т.д. Системы обыкновенных дифферешдиальннх уравнений с правыми частя,ni \Г £ Y оказываются системами со веема обычными свойством! и устойчивость?), порождаемых имя изотопии, в классе С (0,7 ; W р (в*)), р ;> И,, относительно возмущения • \Г в классе «о Y Cbw). Однако нам но удаётся соединить всякий квазиконформный автоморфизм папа В2* с тоздественнш отображением изотопией, порождаемой tf ^Y (в*). Произвольный квазиконфорлный автоморфизм шара соединим ( в этом классе векторных полей ) лишь с автоморфизмами тоздествошшп на границе шара.

Поэтому мы расширяем класс Y 'до класса квазиконформных динамических систем, в котором близость и 4t определяется топологией сильной операторной сходимости ( поточечной ) 1$)—» А4фпри S 0. S-гому второму талу операторной сходимости соответствуют динашчэские системы, для которых сохраняются такие свойства классических систем, как единственность решения задачи Копи, непрерывная зависимость этого решения от начальных данных,как на группе СЦЬУ") , так и на (фазовой алгебре R. (ВЛ) , a Tai: ко устойчивость. Однако,эти свойства явлюэтоя по потраекторни.ш, а- выполняются на функциональных классах. Например,' единственность решения задачи Кош (4) имеет место в классе

С До.т С(о,т5 ue>*)) í) Q W) ( 6)

и т.д.

Наконец, третьим праяцшшалышо ваашгл моментом решения, сформулированных выше задач изстопирования,является сам reo м е т р а чес к и й алгоритм изо-гопирчвания квазикон-

форлного автоиорЗазка шара Ь к тогдественноглу отобразсз-ншэ. Этот ■ алгоритм базируется на ясследовашц ряда самостоятельных задач. Во-лорвых, это изучение векторных нолей : С* х IО,V 1 С/ вдда

- /..I I \ < гг ^ и,М г С а - о .

^^ (7)

С1 .

порождает язе изотопии комплексно:': плоскости ^ на сооя(вкл:о-чающих всю квазиконформную группу отображений С.1—» С \ Во вторых, это свойства тагах векторных поле?!, перенесённых на сферу ■ З2, стереографической проекцией. В-третьях, здесь используются свойства гипергардоничееккх ( гармонических з гиперболической метрике по Альфорсу ) векторов, изучаппшеся Л.Альфор-сом и X, Разменом с одной; стороны, п иекоторыз свойства векторных полей класса в4), с другой стороны.

Ряд необходимее нам свойств векторных полей класса У(6 ) ( устойчивость пзотошй пс'^кдаемнх цмц 11 др. ) получены на® на основании следующего интегрального представления вектора V? 6 у Ь * ) в виде

Г (3)

V-1 к

где - свёртка по тэнзора сдвига

г

с ядром

+ - , . X; х; X к.

^ _ векторное поле 15"'• Ь"'»- [ДТ]-» Ь"' в координатах конформного автоморфизма 1^ : &Л—Ь) = О)

х Сх) г - ^ + - \ <)\1)(х*- ^

а , С* = Ци-1)и)к-1 ? х1

Представление (8) можно считать аналогом представления Бореля - Помпею, так как в двумерном случае для ^С^,^) тензор в комплексных координатах имеет вид

^ ЗгЛц

где У-^ + а У=г У - комплексная производная по 2. Доказательство представления (8) получено Hai.ni методом Вейля на основании инвариантности класса У(относительно конформных автоморфизмов шара с учётом некоторых свойств тензора в и".

Предлагаемый нала алгоритм изотопирования индуктивкьгл образом может быть проложен на более'высокие размерности в тех случаях, когда след квазиконформного автоморфизма шара ЕЛ на границе $ и"< изотопируется к тождестве1шому отображений векторным полем класса У ( ).

Научная новизш и теоретическая значимость. В диссертации даётся решение задач непрерывного н дискретного нзотопирова-ния квазиконформного' автоморфизма трёхмерного шара к тождественному отображению и строится включение таких автоморфизмов в. системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае неавтономных. Это является- пергшм результатом в задача:-: дзотопирования квазиконформных отображений для размерности и.?2,.

Решения, задач такого типа при п - 2. было дано I. Аль-форсвом - Л, Берсом,ф.Герингом,Е.Ричем в 1959 - 61 г,г.

В процесса решения указанных задач в диссертации проводится исследование свойств различных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с оператором квазиконформного сдвига по

л 1

траекториям в расширенной .комплексной плоскости С. / на сферо б1 ив шаре при и, > Ь и др. областях в Р^

Доказана теорема двойственности сходимости последовательностей 1-зазиконформных изотопий Ч^. и последовательностей

операторов А 4. , представляющих эти отображения на алгебра К-.

• На множестве динамических систем с операторами квазиконформного сдвига Ч^ по траекториям выделено два типа динамических систем по признакам пвпрерывности оператора Л ^ по I в равномерной и сильной операторных топологиях.-

Для класса У (ЕЛ) квазиконфоретых динамических систем с оператором непрерывны;.! по I в равномерной оператор-

ной топологии установлена аппроксимируемость оператора сдвига Ч^ диффеотопия:^. Установлено интегральное представление для векторов класса ёУ(Ь")Исследованы геометричеыше свойства изотопий, порождаемых векторными поля:.® классов У , свойство конформной инвариантности этого класса, основанное на полученном вами экспоненциальном представлении для коэффициентов квазиконформности любого типа.

Впервые выделен и изучен общий класс квазиконформных динамических систем с операторами непрерывными по 1 в сильной операторной топологии. В этом классе установлены теоремы единственности решения начальной задачи на классах.отображений, доказана непрерывная зависимость этого решения от начальных данных и приведены оценки устойчивости в целом относительно некоторых классов возмущений. Новизна свойств этого класса динамических систем состоит в том, что стандартные свойства системы рассматриваются не потраекторно, а в выделенных классах отображений.

Отметим так ;;;е, что функциональная зависимость ^ = ^(/х), определяемая репонвем начальной задачи (4), выразает связь эйлеровых и лограпжевнх ос. координат деформируемого континуума произвольной природы,п рассматриваемые здесь задачи имеют определённый гядродшаьяческий смысл.

Адт:сбалия работы. Результаты,' изложенные в диссертации, доклддкзажсь автором на Донецких коллоквиумах АН УССР по теории функций и отображений в 1280, 82 гг., на^ Кемеровской школе АН СССР по качественной теории уравнения в 1986г, на Всесоюзно!: конференции по геометрической теории функций ( Новосибирск 1988г.), на республиканском семинаре-совещании АН УССР по комплексному анализу л прктладнш задачам управления ( Алушта, I98Эг), на 711 Всесоюзной школе СОАН СССР по качественной тео-

рия дифреренциашш уравнений гидродинамики (Барнаул,- 1989 г.), Новосибирской школе-семинаре C0AII СССР 1989 г., лосвяцёклой H.A. Лаврентьеву, на УН республиканской конференции АН УССР по нелинейным зодачат.! математической физики и задач со звободшши грагшцамз ( Донецк, 1901 г.), на Всесоюзной конференции по условно - r-орректшм задачам математической физики и анализа, (Новосибирск, 1292г.),' на УП1 Международной пколо-семянаре по качественной теории диффореицаалышх равнений гидродинамики (Красноярск,' 1992г.) и ряде других конференций, на семинарах отдела геометрии а топологии И.-.1 СО РАН, руководимых академиком 13.Г. Реиетня-ксм (1.931/1992 гг.), на сомикарах отдела теории функций КМ СО РАН (1990-1992 гг.), на семинарах лаборатории краевых задач механики сплошной среды института гидродпиамики ш. I.I.A, Лаврентьева к кг.$одрн теоретической механики ИРУ, руководимых чл.-корр. В.Н. Монаховым (1985 -1992 гг.) и других семинарах.

Публикации. Основгагэ результаты дассертодид опубликовали в работах /I - 22/, список которых приведен в конце автореферата.

Стгуктупа и объём работ??. Диссертация состоит- из введения,-пяти глав , дополнения и приложения, Список литературы содеркит 103 наименования работ советски и зарубежных авторов. Общий объем диссертации -'251 стран:ща машинописного текста."

ОБЗОР СОДЕЕШИП РАБОТЫ

Рллвп I."Оператор квазиконформного сдвига по траекториям". В первой главе строится и исследуется фушапональшй глас с изо-топпй, который леяит в основе построения теории глзазпкокформных динамических систем. Основными результатами зтой главы являются: теорема 3.1 ( о двойственной сходимости ), теорема 3.12 ( о групповых свойствах изотопий класса С fO.T; ) ) и теорема 4.4 ( единотвешхости рененля задач:! Кош па классе отображений ).

В 5 I.I приводятся необходимые сведения о квазиконформных отображениях: определения, коэффициенты квазиконформности и извгетиие теоромы о последовательностях квазикокфорг.ншх отоб-

ражений.

• В § 1.2 изучается операторное лредстазжнгае (5) |oVf группы Q_ кзазнкон$о.тан!1х отобра-хешш Ч на tv -ол-гебре Ройдена R- . В частности, устанавливается, что норм операторов : R.(&') R. (.G-) и Ац = R.U-) R. ) выражаются через характеристик! квазиконформности К«(Ч) и Kf) следующим образом ( лемма 2.9 ):

11ГЧМ1» к, 1ч)'\ (10)

где

К01ч ) = essu-p •X è G-

К, H) = essup

*e Gr \«B4l*HW\

1Цч

в § 1.3 доказывается теорема 3.1 ( о двойственной сходимости ) п изучаются её следствия.

. 3.1. Тертема. Последовательность квазикожЗоршшя изотонпй Ч" 6 Ib11) , m = сходится в (функциональном про-

странстве С 1о,Т ) R.1) к Ч^ (>y) тогда и только тогда, когда последовательность операторов li) = £ ° действующих из Я. в С- (. о,Т ; r_ и, являющихся изодарФиз^ маки при всех Ï , сходится поточечно к At = i-<,4t ( т.е.,

[ 4 ) сходится в С (. 0,т ; R- ") для всякого J s Я ). При этом б ClO,Ti Я ") Л СЦ1еЛ) в R. есть

изошр^изм.

Здесь и далее X ( о,Т ') У ) обозначает пространство отображений из L О/Г } в у класса X

Зта теорема позволяет на группе кзазиконфоршшх отображений рассматривать операторные топологии и даёт возможность, тем самым, по новому взглянуть на природу сходимости последовательностей квазцконфоргдных отображений.

Так, например, для последовательности стационарных изотопия

выполняется

3,2. Следствие, Последовательность Ч m £ Qqtb,v))m = сходится в ЙДЬ"') к Ч и Ч е СЦ (. 6 ^) тогда и только тогда, когда последовательность операторов = Iе Чт>

j[m : R. сходится поточечно и, продельный оператор в J • Ч есть изоморфизм А '• Я-R..

В качестве других следствий теоремы 3.1 устанавливаются групповые свойства изотопии масса С. { 0,? ; Я).

3.12. Теорема. Множество изотопий 4t : £Л * Lo,T}-» fo*" класса С(о,Т jfU [\ Q ( Ь11) образуют группу с операцией композиции по пространственным переменит!

^ ( обратным элементом

таким, что - iA ц единицей - id.

В § 1.4 изучается вопрос о том, когда изотопия Ч^ является единственным роаогашл начальной задачи (4) для некоторого измеримого векторного поля w '• felv* Это приводит нас

к теоремам единственности задачи Коаи. на заданных классах отображений. Соответствующие результаты изложены в теоремах 4,3 и 4.4 и иллюстрирован!!'примерами п.4.

Заметим, что классическим аналогом в этом направлении является теорема вал Кампена о единственности билипоицевой изотопии,

порождённой векторным полем. if £ С * [о,1?]).

В § 1,5 исследуются функциональные классы изотопий Алексан-. ■ дера k.t ' b1" * [Ml - Ь*

. _ г tuf ),

\ V x ? 1*1, ■ "

где h, ■ ЕЛ-* {¡Л - гомеоморфизм класса Wp (в*). Доказана

Sir. Леша. Пусть lv £ VV р > р } {. Тогда К t £ С 10, iW р ) ft (.0,4 L ) и является единственным решением задачи Копи (4) для измеримого векторного поля

О , о 4

если гомеоморфизм

^ обладает ^ - свойством ( отображает множества меры ноль в множества меры иоль), Исследуются другие свойства изотонии К. ц.. В § 1.6 вводится понятие квазиконформных динамических систем и приводятся некоторые их свойства.

6.1. Определение. Будем говорить, что Л - параметрическое семейство автоморфизмов шара Ь"" к [о,ТЗ определяет

квазиконформную динамическую систему,' если выполняются следующие условия: I) Ч^. принадлежит классу 0,(0,Т ; Ь«, (6*)) и удовлетворяет задаче К0121 (4) с измеримой : х [ о,Т ] ЯД 2) Оператор сдвига по траекториям Ч*. , представленный на алгебре Ройдена Я. С^, А^) = } » ^ есть изоморфизм Ц при при всех I и с СЛ 1 у

Основываясь на двойствешюсти, определяемой предогавленяем (5), ^ (•$)-- ^ о ^ мы заключаем,' что эти системы определяют квазиконформные изотопии. Решение задачи о вклачешш всякого квазиконформного автоморфизма кара в такую систему приведёт нас к положительному реиениа трёх следуида задач: I) задача непрерывного изотоиирозания и' 2) задачи дискретного изотопиро^" вания квазиконформного автоморфизма к тоздестзенному, а так яе 3) построению класса с.д.у., определявших кзазйкопформ.чую группу (5 (ЬМ.

Глава II. " V - классн нестационарных векторных полей". В этой главе изучается подкласс квазиконформных дапамячоекпх систем с векторными полями класса

Оталелеш'о. Будем говорить, что ^; в^* ]-> Я."- есть векторное поле масса V (Ь11) ,' если при п.в. 1 выполняется условие касания на границе () | г О, О" есть элемент пространства Ц (0,Т; (Ь*1)) Я удовлетворяет условию

1 Ц5Лосэел -^Ь^О,*;^)*00'

где

?Л

а Ц - норма матричного оператора' (9). согласован-

ная с евклидовой длиной в ЯЛ

Мотивировки изучения свойств векторов класса ,

таковы. Зо-порэых, этот класс инвариантен относительно конфорл-ных автоморфизиоз шара во-вторых, при и. = 2. всякий ав-

томорфизм Ч : Я7"* К-1, Ч£ О (С4) изотоппруется к Ы изотопией ( Ч^ * Ч, ), порождённой векторным полем V ( К-1) 1ос} в третьих, изотопии Ч^ ? порождаемые V (Ь11) аппроксимируются в С (0 ,Т 1Ь"")), клЪ. диффеотопиями ( и как следствие, квазиконформные отображения включающиеся в с.д.у. с

е у (ЕЛ) аппроксимируются в С, (Ь*-) Л |>, диф-

феоморфизмами ), наконец, в четвёртых, всякий квазиконформный автоморфизм шара Е>ь изотопируется к квазиконформному ке автоморфизм, тоздественкому на границе = £>г так, что изотопия порождается векторныгл полем V (Ь*).

В § 2.1 для функций сегмента К (4:,^удовлетворяющих

условиям ( неоднородной1 полумультипликативности ) I) К 1 = <1 2) Ки,<П 6 К ) К ^имеющих ко-'

нечяу» производную ( как функции согкента )

и). , ш,

получено экспоненциальное представление

ксци = ехрП ек1оеки0я«М ) сю

где С^С-ЦгО - измеримая функция с 1с.\ 6 4 .

Коэффициенты квазиконформности (I), (2) и другие, определённые для отображения Ч*. с, = Ч^ , являются функциями сегмента К * & ) »удовлетворяющими условиям I) и 2)

выше. Поэтому для их представления в виде (12) достаточно вычислить величину (-И, (II).

В § 2.2 прозодятся вычисления этих величин бк (4:) для коэффициентов К IЧ^ & ) в случае с.д.у. с гладкшли правши час-

тяг.и 1544,0. В частности, для отгроделёшюго (2),

О^М = VI- \\0о>ьи.< (13)

На основании этих результатов и представления (12) в теорема 2,4 даётся представление К(Л,^) - характеристики (I) и (2) в случае гладких векторов ^ (. Ч, "И .

Расширение класса гладких векторных полей до класса, в котором выполняотся представление (12), на основании условия 9Гч 6 1-м С. о, Т } и приводит к понятии Ч класса.

В § 2,3-даются три определения классаЧСБ ). Поскольку в двумерном случае Б V выражается через ( см. зш;е ), то эти определения мояно сравнить с тремя определениям .обобщенной производной: I) как элемента функционального пространства ( определение класса "V (&"*) , данное шло ), 2) как сильного предела и 3) как слабого предела в соответствующем функциональном пространстве. Эквивалентность этих определений' доказнвает-ся в главе У.

В § 2.4 строится продолжение всякого £ еУ(Ь*) до векторного поля класса"\Г(Ь>>'(01г)), г? < - финитного векторного поля класса V ( 6 ^ (о, г )) с носителем в царе Ь ^ ( о, г ), На основании такого продолжения устанавливается вид оценки модуля непрерывности вектора ^ I по ^ в зависимости от радиуса пара 1 ■ и величины нормы || ?>%г 8 оо при п.в. I (лежа 4.2) Общий результат о продолжении векторного поля ^еТ^*) даёт следуэдая

4.6. Теорема. Пусть бУЧЬ*). Тогда при п.в. 1 выполняется оценка

для любых (/г в и существует продол?:е1Пе 6

такое, что 15я 5 >1 з В1 и л представляется в ыздо

/

ьЧод-о

где 'о* - тензор сдвига, а У - ядро, .то лее,.что и в (8).

Приведены некоторые следствия этой теоремы ( единственность решения задачи Кошн (4) и др.).

В § 2.5 устанавливается аппроксимирование в классе СДЬ'^Со/Г]) изотоппй Ч^ ,' пороздаемнх « бУ(Ь*) диффеотопиями. Как след-следствие получено представление коэффициентов квазиконформности К(*£)=КМ^)для таких Ч^.

В § 2.6 устанавливается некоторое свойство устойчивости в классо С [ 0,Т • К. изотоппй Ч1 , порождаемых ^ £ V относительно возмущения \г в классе кэ У- Имеет место

6.4. Теорема. ( Об устойчивости в классе У ( Б*" ) ). Пусть -» V (т-у® ) в У ( Ь л) и ЧГ, ^ порождаются, соответственно, 'йт и . Тогда существует подпоследовательность {Ч™к^ с (ч™ ^ такая, что Ч™* ~> ^ в С (0>т Я. I йЛ)) (прим*-"-00 ).

Доказательство этой теоремы основано: I) на свойстве эквивалентности определения класса У ( Ь *) , данного внес, и определения этого класса как сильных пределов последовательностей гладких векторов в У (.Ь*\), 2) на оценках, связанных с устойчивостью конформных отображений, полученных П.П. Белинским и Ю«Г. Решетником,' 3) на некоторых функциональных свойствах; класса "V I £>*") , связанных с интегральны:,т представлением (8), праведённш выше. -

В качестве следствий укатал два утверждения 6'.5. Лемма, Всякая изотопия Ч ^ , пороздаелая ^ в*) аппроксимируется в классе СЛ0,Т Я (.в*)) диффеотопиями.

Следствие.Пусть квазиконфор;,1ный автоморфизм Ч : В*-* 6Л изотопируется к 1с1 посредством £ У IЬ*-). Тогда это Ч аппроксимируется в ЯД диффеоморфизмам.

В § 2.7 получено необходимое и достаточное условие того-, -что изотопия порождается векторным полегл глассаУ (в*).

Это условие монно считать геометрическим определением класса V I Ьл)вна языке изотопий. Вначале это условно доказано для масса У (.Ь*") ( теорема 7.3 ), а затем а теореме 7.4 и для

класса y (ел).

§ 2.8 посвящен некоторым кинематическим и динамическим иллюстрациям свойств класса "V (b""). Отметим два из них. Условие

11 Stf lloolb, £ UtC 0.Т1 (14)

есть условие некоторой ограниченности работы по изменения формы частиц вдоль траекторий. Это условие дополнительно и условию Каратеодори <Г € Ц (о,Т j С ) - ограниченности длин траектории и влечёт теорему единственности ропения задачи Копи (4) . Это же условие (14) определяет и класс течений вязкой шгдкости ( теорема 8.1 ), в котором при исчезающей вязкости возкоген переход к течению идеальной жидкости.

Глава III.' "Непрерывная и дискретная изотоши кзазикокфор" много автоморфизма трехмерного пара". В этой глпзе даётся решение задач непрерывного и дискретного изотопирозакня квазиконформного автоморфизма шара Ьь к тоддеотвбзлоку отобрано-ншо посредством включения автоморфизма з квазиконформную динамическую систему. Приводятся некоторое следствия,

3 § 3.1'строится изотопия произвольного плоского квазиконформного отображения ^ : С* С,4 к тождественному,посредством изотопироваяия системы Езль трамп ( а вместе с ней и отмеченного решения ) к оператору Копи - Римана. Этот алгоритм .является известным, однако, нэпа цель здесь состоит в тем,' чтобы исследовать классы векторных полей, поровдехэде такие изотопии. Получив представление таких зекторных полей в виде (?), вше, . мн исследуем их свойства. Основные такие свойства даёт

Т.Г,. Твотзяма. Пусть g & Q (С,4). Тогда существует векторное поле С4 ; пороздакпее изотопию FtvC.4x с"

с F0= idj * ^ единственным образом. При этом векторное поле а CW fc) представляется в виде (7) и для него справедливо следующее: во-первых,

"ö^U-CW.t) fe C.CO.U 1*00 (й-)'

ВО- ВТОрЫХ, при любых jJ у о и р > {

U (2 С ( ОИ • W jj I Ь'Со.лП) ? ( s ) - .

в-трзтьих, при I W I 00

\u,(,w,M\ ~ oUHwl Ctv iWl. ( с. )

Из этой теоремы вытекает

1.7. Следствие. Для того, чтобы отображение $ : С.' -*• С.* было квазиконформным, необходимо и достаточно, чтобы g, изо-тоиировалось в ld изотопией Ft)Ferld, Ft - ^ , порождаемой векторкш полем со свойствами (си), ( S ), (t).

В § 3.2 исследуются свойства^зотопий и векторных полей из §"3.1 в расширенной плоскости С\ Устанавливаются условия при которых векторные поля, перенесённые с С * на $ , образуют там класс V ( S1 ) и порождают изотопии Sbx to,л}-» S1 с соответствующими свойствами. Кроме этого, даётся внутреннее определоние класса Y ( S1 ) и изучаются его свойства, основанные на инвариантности величин 0К tt ), (13) при конформной замене координат. Основной результат здесь состоит в том, что всякий квазиконформный автоморфизм сферы S1 изо-топируется при помощи векторного поля класса Y (S1) к id ( лежа 2.8 ), устанавливается связь ( лемма 2.9 ) мезду классами Y (б-4) nYlS1).

В § 2.3 строится изотопия квазиконформного евтоиорфазма кара к тождественном;' на границе Э Ьь = S1 квазиконформному не автоморфизму этого шара. Конструкция такова. Пусть | £ СЦ (,ЬЬ) квазиконформный автоморфизм, a Ms1 '"* его след на сфере 5 ^ Согласно результата].: § 3.2 существует векторное поло t^e Y ( S' ), поро-тдалдее изотопна Ч^: ь1* —» S\ - Ù , Ч у = . Продоллсим в Ь* векторным полем гипергармоничсским по Л.Альфорсу. Тогда продолженное векторное поле fr ( <j,-fc) ' принадлежит классу Y (.Ь4). ( лет 3.5 ). Задача_Коши (4) на ив склеивается в задачу Кони на Ьъ - Ьъ U SL а, если. 4t есть это решение, то требуемая изотопия даётся в виде-

и порождается векторным полем tf, = -tf ( if, {-i ). При этом коэффициент квазиконформности удовлетворяет неравенству К (.4'^ S CjVs ? ( теорема 3;7 ),

3 § 3.3 завершается построение непрерывного кзотопирования произвольного J к »А. Для этого к отображению

= % ( 44 из § 3.3 ) приклоняется изотония Аленсаядо-

ра, рассмотренная в § 1.5,и устанавливается,- что последовательное применение из отопи"; из § 3,2 и § 3.3 приводит к требуемо?,¡у результату, который даёт следующая ;

4.1, Тсорома. Для всякрго Ч существует квазикон-

формная динамическая систсма Ъг х С0,П Ъь, являэдался единственным решением задачи

гНи,«. ■ Мы'4

в классе \ СлДо,4 * U^V При этом, осла

К (Ч i ¿ , то К ¿ q % при всех -te Со, О.

Б § 3.5 решается задача о дискретном изотопкроваяаи, Его дает следующая:

5.1. Тео-оема: Пусть Ч 6 Q ^ ( ЕЬ1). Тогда для-любого 5>> О существует конечное число л/ С & ) отображения Ч^ е fi<j4 (&5) <] ^ 4 «j 11 , таких, что

Ч = % • 4V< ° ••• °

и

¡IH'i -id < Ul,

Доказательство этой теоремы основано на свойствах изотежий класса С. I 0,Т R.1 , лзучошшх в 5 1.3, и следует из результатов § 3.4,

В § 3.6 приводится следствие из теорем 4.1 и 5.1 для случая автоморфизма полупространства Н 4 . Отдельно рассматривается случай кзазпконформннх отображений двух клазиконфоршек же иароп ( теоремы 6,3 и 6.5 ).

Глава Г/. " Квазиконформные динамические системы". Теоремы о непрерывном и дискретное язотешарованша квазиконформного автоморфизма Чb* к тождественному отображении были до-хахзаны нами на основании включения таких отображений в едино» Еонное ранение задачи Кош (4) для с.д.у., принадлежащей общему классу квазиконформных динамических систем. Несмотря на то, что правые части tf: fc^x£о,Т]-* ЯЛ таких с.д.у. в общем случав лижь

измеримы, изотопии Ч^. "•КЛ* СО,<]-+ порождаемые ими, обладают достаточно хорошими свойствами. В этой главе устанавливаются свойства непрерывной зависимости решения задачи Коша (4) от начальных данных и некоторые свойства устойчивости квазиконформных динамических систем как на конечной временном интервала [0,Т ], тал и в целом - на интервале [ о, о® ). Указанные свойства,' в отличие от "хороших" с. д.у .^рассматриваются не потра-екторно,; а в соответствующих функцпональ1ШХ классах-изотопий.

В § 4Д собраны основные свойства общего класса Ф(.&"")ОТ) квазиконформных динамических систем, определённых на конечном интервале [0,Т]. Отдельно выделен подкласс ф ( Ь"") О,Т) таких систем, непосредственно построенный в теореме 4,1 ( включения). Топология 9 -сходимости в этом классе на основании взаимно^ однозначного соответствия 4^.6 ф° определяет

замкнутый класс V векторных полей ( в общем случае лишь измеримых ), пороздаэдх все Ч* из класса Ф?

1;7. Теопема. ( . непрерывной зависимости от начальных данных на группе ОД Ь*") ). Пусть °Р (Ь"",0,Т ) , а (ЛЬ*), и пуста ■> ™ 00 в К. , где Ч^ € 0. (ЬМ-

Тогда = о ость решения задач Кош

сходящиеся в С. (о,т К. ^Ь^) к решению задачи

Другие свойства ( непрерывность на множестве начальных данных из ИЛЬ*),' композициониуа устойчивость) т формулировать но будем, Зти свойства устанавливаются нага такхе и в целом для квазиконформных динамических систем в § 4.2. Здесь масс Ф о, оо ) определяется,как систеш £ ф (. Ь *; О, Т 1 при любых Т * О.

Выделен подкласс Ь5; о, ) £ Ф таких ,квази~ конформных динамических систем, которые при оо стабилизируются к группе 0. 1Ьг) ( лемма 2.8).

Один из вариантов устойчивости в целом иллюстрирует

2.5. Лемма. Пусть Ч £ фСЬ"'; О,<*>)такова, что

Ыср К 1 Ч^ = С* * 00 •

О 5 V -С <а£>

Пусть Ь »Со^!-'» удовлетворит условии

С 10,4«) К.)

< Ь.

Тогда возмущённая система Ч^= ^ ° Ч^ удовлотворлот условию

В § 4,3 показывается,' что всякое 4^.6 Ф (о,V) ( или ф ( о, о? ) ) обладает свойством декомпозиции. Это значит,' что при любом отображение 6 СЦ ость коночная композиция почти тождественных с^1 -квазиконформных отображений, с одной стороны; ( теорема -О ). С другой стороны -всякая Ч^ 6 ф ( 0,Т ) есть конечная композиция изотопии этого класса^близких к тождественному отображению.

В § 4.4 иллюстрируется возможность применения рассматриваешь; нами различных классов квазико1йгармща динамических систем к ропзниэ обратных задач уравнений математичесеой физики к других приложении. . 0

Глава У." Разложение /УЧЬ*")(Ь"')® ЦЬ4"); Доказательство эквивалентности определений класса^ в*) ". Для упрощения доказательства ряда свойств изотопии' Ч* пороздаегдкх V е. У ^Ъ*) г'ы использовала три различных определения ( оцр, 2.3.1 - 2,3;3 ) классаЧ 3 этой главе даётся доказательство

эквивалентности этих определений, оссовэдшоо на доказатйхьсгве интегрального представления (8),' выие. Эти результаты носят вспомогательный характер, хотя указанное разлокение имеет и самостоятельное теоретическое значение.

То , что из определения 2.3.3 следует определение 2.3.1 п 2.3.2 - тривиально. Поэтому для доказательства требуемой эквивалентности достаточно показать, что из определения 2,3.2 слодуот определение а из этого,' в спою очередь, сле-

дует определение 2.3.3.

3 § 5.1 доказывается, что принадлежность^ 6 "V (й*) в смысле определения 2;3-;2 Елечот прпнадлеошость этому классу и в аднеле определения 2,3.1. Основной результат заключён в лем-мо 1,4.

В § 5,2 дано доказательство разложения класса

лдел) = у lb"-) © цьч (is)

о

в прялую ojTJSÄy подкласса "V - фаиатшк « £ Y с носите-ляж в шара ЕЛ и подкласса L -гипергармоняческих по . АльОорсу векторов,принадлежащих Y. . В основе этого лежит 2-fI-, Лемма. Пусть • tf принадлежит классу Vtbw) в смысле любого из определений 2.3.1 - 2.3.3. Тогда для этого v выполняется представление (8)(вше).- и.оба слагаемые в (6) справа принадлежат классу Tib").

Доказательство основано на методе Be;"ля,, применяемом к векторам класса Y 1?Л) • Его суть в следующем. Для tf fc выполняется теорема о представления ^ С о, I ^ - значении в центре кара - через некоторое среднее по сфере и по шару ( представление Альфорса ). Используя инвариантность класса "Ylfe"-') относительно группы конформных автоморфизмов V\ lb*} шара £Л

- гиперболических переносов и вращении, получим представление

'j ,-t) з любой точке tj е Ь*. Остальное - дело техники вы-числонаЗ. Следствие!.-: этой легдмы и является представление (15).

В § 5.3 завершается доказательство эквивалентности трёх определенна класса"^ЦЬ*) по указанно!! заао схеме.

Дополнение I. "Некоторые сведения о мббиусовнх преобразовав 1Шях в миогсмерном пространстве". В этом дополнении собраны воедино необходаяге сведения о конформной группе № lb*) и её алгебре Ли m lb*), на которые даются ссылки з тексте. Эти сведения могло найти в специальной литературе, однако нал представилось необходимым собрать их воедино и лзлолпть в пеобхс-дюоа контексте. Эти результаты использовались нагла в виде со-отвотствувздЕХ свойств конформных изотопий и порождающих их векторных полей в главах 1,11,111 и У.

ПШШЖАЦЙИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Селезнёв В.А. Сингулярные уравнения на квазиконформных контурах,- В кн.: Метрические вопроси тсор. функций и отобрахс.

- Киев: Панова Дут,та, выл.УН, 1975, с. 170 - 177.

2. Селозне'з В.А. Краевая задача Рамана в классах нордано-вых границ,- В кн. 1,'етрич. вопр. теор. функц.-Киез: Няукова Думка, IS80, с. 125 - 132.

3. Селезнев В .А. Переопределённые спстзкц для гомеоморфизмов в С" -В raí. ¡Теория приблиасяиЗ, eíi обобщения и приложения,-Киов: Панова Думка, 1982, с.203 - 203.

4. Селезнёв В.А. К --движения. Деп.ВИНИТИ,- 3G34, Волгоградский государственный университет, 1235 , 31 с.

5; -Селезнёв В.А. Представления К - характеристик и ::х вычисление в гладких полупотоках.-Деп.ВИНИТИ, 3385, Волгоградский государстзепнтй университет, 1985, 32 с.

6. Селезнёв В.А. Об одном методе вычисления коэффициентов квазиконформности в полупотоке.- Динамика сплошной сроды, вып. 79, 1937, с. 96 - 107.

7. Селезнёв З.А. О почти регуляржх гоме от ".орфизмах.- Труды Всесоэзн. конф. по геометр, теор, фупнц., Новосибирск, 1938,с.37.

8. Селезнёв В.А. Об условиях, эквивалентных М - условно Аль-форса.- Тезисы докл. УII Зсссоюзн. ^ксдаа по качеств, теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул,- 1939, с.58-39.

9. Селезнев В.А. Сб одной конструкции квазиконформной изотонии. - Тезисы докладов УН Всесоюзной сколи Актуальные вопросы когдт-локсного анализа, Тащпсент, 1989.

10. Солезпбв В.А» 0 геометрии осгн.тлятора,- Роспубл. Ссвощ.-ссмппар по комля, анализу и зад. управл., Киев, 1939, с. 39.

11.' Селезнёв З.А. О единственности решения начальной задачи для обыкновенных дц^лерохаиалыак уравнений в заданно:,'; классе отображений,- Динамика сплошной ерздн, 1990, хзнн.97, с. I97-II3.

12. Селезнёв З.А. йвазнкоххформные изотопии, порогвдЗпгше use— тацхюннрны.::: векторным:: нолях:.- Препринт ИГУ, Новосибирск, 1989, 42 с.

13. Селезнёв В.А. Квазиконформные деформаенн сплошной срсда. -Препринт ПТУ, Новосибирск, 1990, 33 с.

14. Селезнёв З.Л. Нвазикохпорнныо деформации з щаро,-Препринт" ПТУ, 1991, 50 с.

15. СслозиЗв З.А. Квазиконформные деформации в трёхмерном шаре,- Дпнамлг... еллэпшой среды, вып.101, IS9I, е.102 - 112.

13. Селезнёв З.А., .'Лояахоз В.К. Квазхнсонфсрмпые изотоп:::: и их приложения. - Бзллотозь сибирского математического общества, вып. Г- 2, Новосибирск 1990, с. 8 - 9.

17, Монахов В.П., Селезнёв З.А. 1Св::зиконформхше дннанпчоснпс: систкл'.- "ез.УПХ Рзснубл. конф. Нелинейные зада1::: массы: тнч.

физики и задачи со-свобода. границами.Донецк,1991, с.80.

18.Монахов З.Н., Селезнёв В.А. Динамические системы,определяющие квазиконформные отображения,- ДАН BAH, IS92, т.322, . вып. 5. '

19.Монахов В.Н., Селезнёв В.А. Обратная'задача для квазиконформных динамических .систем. Тезисы Вс.осоюзи.. конфер. Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Новосибирск, 1992, с. 67 - 68.

20. Монахов В.Н., Селезнёв В.А. О некоторых свойствах квазиконформных динамических систем в целом,- ДАН РАН, 1992, т. 324, вып. I.

21. Селезнев В.А.Динамические системы на ройденовских алгебрах,- Тез. У1П мездународн. школц - семинара по качеств, теории днффер, уравнений гидродинамики. Красноярск, 1993,

с. 25 - 26.

22. HonäkW M.VI., Se\eznev V. К. Quiucotv^orvvu \

S^jsAem^, ЫcuJ Тч&ао[& in.

^¡•Vt., VFP-TVP. у

yd-

Подписано хз печать 27.01.93 Форю® 60 х 84,' ГДб Усл. печ. л. 1,6 Завпз ^ зе Тлрая 100 эг.з. Бесплатно

Ротапринт ЕГУ, 63С090, Новосибирск - 20, ул. Гйрогова, 2.