Некоторые исследования по смещенным квазиконформным отображениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО' ВИСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН '

ТАШКЕНТОМ! ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАЯ ЛИ ИБРАГИМ

НЕКОТОШЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО СМЕЩЕННЫМ КВАЗИКОНФОШ1ШМ ОТОБРАЖЕНИЯМ

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

Д В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1992

Работа виподаена на кафедре математического анализа Ташкентского государственного университета.

Научный руководитель ' - кандидат физико-математических

наук, доцент М.ЗАХИРОВ

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических

наук, член—корр. дн Казахстана, профессор-T.fil «КАЛМЕНОВ

-.кандидат физико-математических наук, Б.D.СУЛТАНОВ

Ведущая организация'; Самарконский государственный универитет им.А.Навои,

Защита состоится 3i}{JzJlI¿4 1993 г. в J ^J_ час.

на заседании специализированного совета К 067.02.10 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкен1ч95, Вузторидок, ТвшГУ, А-205

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТвшГУ.

Автореферат.разослан ^jlyj'V'Ù-^lk 1999 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, '' --------------

кандидат физ.-мат.наук, доцент ВАРйСОВ Л.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА' РАКШ

Актуа льность темы. Теория квазиконформных отображений берет свое начало с работ Г.Грёча и И.А.Лаврентьева двадцатых годов нашего столетия, с помощью теории квазиконформных отображений были решены О.Тейхнсплером знаменитая проблема модулей рпмановых поверхностей и Л.И.Волкоиыским проблема типа римановых поверхностей.

В дальнейшем теория квазиконформных отображений развивалась л.Альфорсом и л.Еерсом, которые нашли многочисленные приложения. Далее следует указать работы И.Н.Векуа, П.П.Белинского, В.Б.Боярского, В.Н.Монахова и других, относящиеся к системам эллиптического.типа, частным случаем которых является система Коши-римана. Теоретико-функциональный подход к гиперболическим и параболическим системам рассмотрены в работах Б.В.Шабата, Г.Д.Суворова и Г.А.Кузика. Здесь же следует отметить работы ташкентских математиков М.Захирова, Р.С.Дкеядубаева , С. А. Ахмедов а я других.-И.Захаровым впервые была предпринята. попытка совместного изучения эллиптических и гиперболических систем Бельтрами, названная им исследованием смешанных квазиконформных отображений.

На необходимость изучения гиперболических и параболических систем уравнений с точки зрения геометрической теории функций неоднократно подчеркивал академик Ц.А.Лаврентьев. Вопросы, связанные с комплексным изучением эллиптических, гиперболических и параболических систем являются актуальными в современном анализе и имеет многочисленные приложения в математике и в смежных областях.

Целью данной работы является доказательство теоремы об одновременном приведении к каноническому виду, систем уравнений Бельтрами эллиптического, гиперболического и параболических типов, изучение квазиконформных отображений, соответствующих смешанной системе общего вида, и исследование некоторых прикладных задач.

Методика исследования. В диссертации используется аппарат теории квазиконформных отображений, уравнений в частных производных и римановой геометрии.

Научная новизне п тесретлческяя значимость. В диссертации доказана теорема сб одиовревенном приведении к каноническому виду, систем уравнений Бельтрама эллиптического, гиперболического и параболического типов. Доказано, что параболическая система Бельтрами при покощи замени переменных, осуществляем оя квазиконформным от об ранен и ем эллиптического типа', монет быть приведена к системе с постоянными коэффициентами. Изучены квазиконформные отображения, соответствующие смешанной системе обиего вида, названные квазиконформными отображениями с двумя парми характеристик, в качестве приложения получен критерий аффинности криволинейных координат на языке символов Крпстоффеля.

Все основные, полученные результаты, является новыми. Работа носит теоретический характер и мокег найти применение в теории квазиконформных отображении, уравнений математической физики.

Апробация работы. результаты диссертации докладывались на международной конференции по теории инвариантов и геометрии з г.Ташкенте в апреле 1992 г. на городском семинаре кафедры математического анализа ТашГУ) руководители проф. Д. Соду ллвев1, п роф. Г .Ху да к б ерга н ов ).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в. работах ( I, 2 )

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав; заключения и списка использованной литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор содеркания диссертации.

В главе I излагается определения и некоторые сведения из теории квазиконформных отображений и связанных с ними систем уравнений эллиптического типа1, из алгебры двойных, дуальных и комплексных чисел, из рямановой геометрии, из теории- сетей. -'

В главе П рассматриваются квазиконформные отображения,

соответствующие смешанным системам уравнений Бе льтрами (( <=< .у3 X "" С|1СТепы)

Доказывается следующая теорема, которая обобщает известный результат М.Захирова.

Теореиа Пусть 11( 'х,у), и(х,у) квазиконформное

отображение, соответствующее (¿'^•З) -смешанной системе уравнений (Т.бЭ) , Тогда относительно переменных

Ь)ч4>(х,у) + Ир(х,у):1)г—Пш в Ду С1'.6Э) приобретает.

где при (1.63) принадлежит эллиптическому', при

¿г=0 (г.бЗ) принадлежит параболическому; при (1.1) принадлежит гиперболическому типам систем уравнений.

оункцни 4>фс,у), определяется в односвязной

области Л однозначно из соотношений и из нормировки:

а функции М , N соответствующие интеграрусщсте множители.

С точки зрения теории функций квазиконформные отображения почти досконально изучены и с этой точки зрения следующий теорема представляет, кажется; некоторый интерес.

2 ид

(2.9)

Теорема 2.5. Система уравнений параболического тина при помощи замены (х,у)-*-(<р, Ч>) : ,'осуществляе-

мой квазиконформным отображением, помет быть приведена, и системе с постоянными коэффициентами.

Б связи с изучением квазиконформных отображений как преобразование криволинейных координат, возникает производные в смысле Л» относительно возникающей к он грузни (ш и ко-вериэнтныг производные. Поэтому параграф ц главы И посвящен этим вопросам.

Отображения, осуществляемые решениями %) -систем

в Я го И' даст аффинные координаты. Следователь-

но, должны удовлетворять необходимому и достаточному условиям известной теоремы. Эти условия и даст нам символы Крис-тофЛеля П.* в' 1>г относительно криволинейных координат

Теорема 2.10. Пусть и(зс,у), и (ос, у) - квазиконформные отображения соответствующей -системе урав-

нений. Тогда относительно криволинейных координат (<р,<р) ,

(х,у) удовлетворяют уравнениям второго порядка

■ Я

„. „, (2.3.6)

Гиихх-Г1гиач~о

Функции Г,, были получены раньше Л.Захирсвыи и они равны

г;-* г, , г.*-о, К

Глава И диссертации, посвящена квазиконформным отображениям, соответствующим смеааиным системам уравнений:

а гтх ^ 6 и-у

^ (3.1)

-¿/у = с ггх а

где коэффициенты а*а(щу), в*в(х,у), с-с(х.у), о'^а'ОкУ)

определены, принадлежат классу

однссвязной кордановон области 2)ж , 2 -плоскости. Пусть

Известно, что если А<0 , система (3.1) принадлежит эллиптическому; если А-О , система (3.1) пр.пщдде«ит параболическому; Если А>0 , система 0,1) приивдгешт гиггербслическому типам систем уравнений.

В работе изучаются смешанные системы (а, в, с, Ы) , г?,е при изменении типа системы коэ'г+нциенти а , 6 , с1 сетппт-ся неизменными., а меняется только коэффициент С . Дсназп-вается следующая : теорема, с помощью которой удается вводить подходящее криволинейные координаты в областях Лг и Зы , При этом предполагается, что квазиконформное отображение, ■ соответствующее эллиптической (а, б, с, с/) системе, существуют и единственны'.'.

Теорема 3.1. Пусть и^у) , Л(х,у) квазиконформное отображение 1>г , соответствующее смешанной (а,с,с/)

системе уравнений (3.1). Тогда и^и(х)у) , 1г~гг{х,у) предптавимы в виде:

и(х,у) = и (4 (у, х), у (х, у)),

(з.з)

где Ш = ■ Вг —Ищ удовлетворяет

Я) системе уравнений смешанного типа

Коэффициент определяется из соотношений

(3.5)

<3

Отображение У(1.ч)г Щ.Ч) : удовлетворяет

.системе уравнений

7 с/3* 1

¿z 73* (3.6)

Коэффициенты а,в,с,с6, ■ cfi>X>ue*>%* связаны соотношениями

' j* •td- г (3.7)

Замечание. При параболичности системы (3.1), т.е., когда А = О , мы полагаем А = i2 =■ О . Из равенств (3.7) имеем:

* ÍF „* a~d- Л7 ,, я Г^ r a+d Л?

Ковариантные производные относительно введенных криволинейных к оординат (а,в1 ct d) системы уравнений определяется в теореме 3.2.

Теотема 3.2. Произвольное смешанное квазиконформное отобракение,'соответствующее смеыанной (aJ6Jc/ c¿) уравнение (3.1), имеет производные, которые относительно криволинейных координат представляются

Мх jXtfCfi*-^) mjt

J( j/ y M-Ná М -N

и М , -V ~ интегрирующие множители форм jote - ¿e-J)dy •, %dx - (fi+1) dy

Sí*, JV* интегрирующие множители форм соответственно X'[x(u.v),y(u,iT)] du - {j> *[v(u,v), y(u, V)]-i}dv,

[x(u,v),y(u,u)]du - [Г [X(U> y(v)] + J j dv,

х = х(и,и), у=у(и,и) от обра «сен ие, обратное по отношение

л и = и (ос,у), гг-гг^у) отображение.

Как известно, при преобразовании систем координат, компоненты метрического тензора изменяется определенным законом

дх* дхг

■ 9и У*1 дг-1

Применяя зтот закон и используя (3.15), получим: ¿с/сс^-ё^с/^у+Ыс/у11 =

= \fdiJ г- 5/3 Уг/е/гх +

а Ос, у) ^ 0 -1

где функции 1<и* определяется из соотношения;

Как следствие, приводятся символы Кристсффеля при смешанном квазиконформном отобракении, соответствующим (а, в, с, с/) -смешанным системам. В области И.2 :

Л, =f¿'x < Л, > Лг в области :

§ 3 главы Ш посвящен квантовомеханической.-интерпрета™ ции параболической (¿^у) си стемы.

Используя стереографические отображения сферы, однополости о го гиперболоида и плоского круга, можно истолковывать комплексные векторы /г/х + ¿¿гх\х , где и + ¿У соответст-\Uy4-cuJ

вушцие отображения при ¿ = -Л,о,1 , как спиноры частиц целим и полуцелим спином. Система уравнения представляет-

ся в виде: л /л ^ \

Р4 - Г

^ (3.51)

Применяя оператор ß два раза л (3.51), имеем Р С} = £ <t Отсюда ясно, что при ¿г^0 мы получим:

которое мы относим к беэмассивным частицам со спином, равнин 0 по определении.

При = 4 - является сшш-вектсрдм по рп

определении и оператор р является оператором перестановки.

В случае i1 = i ,, is = 0 мы принимаем, исходя из (3.5l), что уравнение Беяьтрами описывает квант овомеханиче-скую состояния частиц со спином i и О соответственно.

Предполагая 4 ~ спинор "безмасснвный, частицы со спином О при i 2- О имеют теорему".

Теорема 3.3. Параболическая система уравнений' Бельтра-Ш1 является уравнением вида Дирака-Вейля для безмасснвных частиц со спином 0 .

Основные результаты диссертации'опубликованы в следующих работах:.

1. Захирев И., Кая ли ff. Спинор и параболического ква-зикон^ориного отображения// Вопроси вычислительной и прикладной математики. - Ташкент: И1С0 АН УзСС5\ - Вып.90.-G.15-19.

2. Кая ли й. Об одном представлении решений смешанной системы уравнений в плоской области// Алгоритмы. Сб.трудов АН Республики Узбекистан, 1991. - Вып.73.

В заключении автор выравает благодарность М.Захирову за научное руководство и постоянное внимание к работе.

Подписано к печати 24. XII. 92г. ЗАКАЗ № 165 тирах 100 чкэ. Отпечатано на рстапрлчтз i>5 Ali Республика Узбекистан г.Ташкент ул.Муминоиа 13