Исследование асимптотических свойств Q-квазиконформных функций и Q-квазиконформных целых кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Но правах рукописи

$

: БЕЯАЙР БЕИХАРРАТ

. ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ <3, - КВАЗИКОНФОРМНЫХ ФУНКЦИЙ И - КВАЗИКОНФОРМНЫХ ЦЕЛЫХ КРИВЫХ

/01.01.01 - Математический анализ/

Автореферат диссертации но соисноние ученой степени нондидата физико-иптечатических наук

Хаоькоо - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа Харьковского государственного университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Деркач B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ронкин Л.И. /4ТШТ АН. Украины/

кандидат физико-математических наук, доцент Марченко И.И. Дарьковский государственный университет/

Ведущая организация: Донецкий государственный университет, г.Донецк

~ иг

Защита состоится час,

на. заседании специализированного совета К 053.06.02 Харьковского государственного университета по. адресу:

310077, г.Харьков, пл.Свободы, 4, ауд. 6-48

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

Автореферат разослан » Л?" 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета ' ^ А.С.Сохин

^"■^¡l ' А.СЛ

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На,учная новизна. С конца 20-х годов центральное место в теории ыероморфных функций заняла теория распределения значений, основы которой были заложены финским < математиком Р.Иеаанлияяой. несмотря на известную законченность теории распределения значений, изучение даке классических ее задач не доведено до конца, непосредственным обобщением меромсрфных функций являются целые кривые, т.е. векторы

> • ■ » к0ми0яеА1Ы которых (г) являются

целыми функциями без общих нулей, причем хотя бы одно отношение ^ Сг) /^ (г) является трансцендентной функцией.

. Теория распределений значении целых кривых построена в работах Г.Вейля, Л.дльфорса и Г.Картана. Существенные результаты в теории роста мероморфных и целых кривых были получены В.П.Петреяко. Изложению результатов теории роста и распределения значений мероморфных и целых кривых посвящены 'монографии Р.Неванлинны, Г.Вейля, Б.я.Лавина, И.В.Островского и А.А.Гольдберга.

В современной теории аналитических функций появились задачи, которые для евоего решения требуют рассмотрения более общих понятий, чем аналитические функции. Поэтому в последние годы значительно возрос интерес к различного рода обобщениям теории аналитических функций. Известному румынскому математику С.Сюилову еще в 1928 г. удалось найти наиболее общий класс отображений, сохраняющий типологические свойства аналитических функций. Это класо "внутренних", по Стоилову, отображений.. Частным случаем внутренних, по Стоилову, отображений являются О. -квазиконформные целые функции- С другой стороны, решение уравнения Балырами

\д/г (г)= ¿Чг)^*) , ( <¿<4)

является " квазиконформной целой функцией. Если ае

рассмотреть систему уравнений Белырами, то мы придем к понятию СЗ^ -квазиконформной целой кривой.

- I -

Мы интересуемся, до какой степени мокно ослабить требование аналитичности координат целой кривой, чтобы при этом. . для нее сохранились основные полокения теории роста и распределения значений. По-видимому, одним из наиболее естественных подходов к решению этой проблемы являются исследования квазиконформных целых кривых и (2 -квазиконформных функций. -

Диссертация посвящена исследованиям характеристик роста О.-квазиконформных функглй и а -квазиконформных целых кривых, которые при 0.-1 совпадают с:классическими характеристиками теории роста и.распределения значений мерсморфных функций и целых кривых.

В диссертации получены следующие новые результаты; установлено, что при переходе от аналитического случая к квазиконформному основные положения теории роста и распределения значений сохраняются.

Апробация работы. Основные результаты опубликованы в .. работах [1]~[2] и докладывались на конференциях и семинарах преподавателей и сотрудников Харьковского государственного университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Прежде чем перейти к обсукдеиию основных результатов, введем необходимые, определения. -'..., -

Определение I. Функция ?Сг) называется О. -квазиконформной при функцией, если она допускает представление

Ги) = Ф(*Сг», . /I/

гдеф(^)- ыероморфная при уу.+ оо функция, а ?"(г)- -Квазиконформное отобракение впей Ъ -плоскости йа всю W -плоскость ( = оо ).

Если в представлений /I/ функция - целая, то

функцию ^(г) будем называть О., -квазиконформной целой функцией.

Определение 2. Зависящий от комплексного параметра г р-мерный вектор у/СрСн) = £ $к(г)} называется

С -мерной однородной О. -квазиконформной целой кривой, еоли его координаты 4 (£) допускают представление • ° - 2 -

где М - ЯСС&Ъ - ¡Я. -квазиконформное отображение (<Х(ро)*ее), а {ЧС^У) — - обычная целая кривая в И/ -плоскости.

Заметим, что I - квазиконформная целая кривая /I -квазиконформная функция/ есть.обычная целая кривая /мероморфная функция/.

Всюду далее мы будем использовать стандартные обозначения теории роста и распределения значений мероморфных функций и целых кривых п/Ча, rn.fr, а,30, ¿(о,

п^а, &т(гс, а, П£>,

которые в квазиконформном случае вводятся по аналогии с аналитическим случаем. ■ ч

Характеристикой ¿2. -квазиконформной функции называется величина

£ } Л/Г*, с» 9) Ж

Простые примеры показывают, что для & -квазиконформной функции не сохраняется первая основная теорема распределения значений мероморфных функций»

Характеристикой & -квазиконформной целой кривой называется величина

т(тХ) = £ /• • ■ ) >

где ° о

Положим. _

-Л, (7) = { й£ С

II (с!)- { '¿ее ?;>о}

ее' -Первая глава диссертации посвящена теории роста £^-ква- ^ зиконформных функций конечного нижнего порядка, а вторая глава - теории роста ¿2. -квазиконформных целых кривых. Под геори-

■'■■-•• - 3 -

. ей роста (2- -квазиконформных функций и О. -квазиконформных целых кривых мы понимаем исследование асимптотических свойств с использованием метрик^ ^ и С^^ •

Вопрос о связи между величиной дефекта в смысле Ж.Ва-лирона и величиной отклонения Б.П.Петренко для О. -квази- . конформных функций и включая мероморфные функции исследовался во многих работах.

Приведем некоторые результаты в этом направлении.

.Теорема .1. Если мероморфная при 2 4°° Функция •$■(£) имеет конечный никний порядок Л , то для кавдого комплексного числа а (С

/ЗГМ) е В( > /2/

где

ТГД \/д(1-А) , если либо ,

| либо Я < 0,5 и Л$ 1-ймЛ*"

D (-AjZi)^

ЗГА (Д с£дЯД + %2LL) • еЬли Я < 0,5

и Д> d- WSTtA

Заметим, что оценка /2/ является точной в том смысле, что существуют мероморфные функции с произвольно малыми величинами иД(а,:Р) , для которых

РМ)* ШШ^)

Теорема 2. Если - Q. -псевдомероморфная. при

^ ф оо функция конечного ниашего порядка Л - , ю для_лю-бого ^ > 0<"9 § 1 и любого комплексного числа абС справедлива оценка

Psii

а+1 1

%1

/в/

где

- ч -

p ~T ?{*>¥).

\ CljT) 3 á(CL,j) ,

а С(аД) - положительная постоянная, зависящая Oí Cl и Л . . . Следует заметить, что при = i .aQtí из оценка -. /3/ получается оценка, аналогичная /2/, которая, как отмэче-но выше, в определенном смысле точная.

Сохраняется ли такая ке зависимость мекду величиной дефекта в смысле Ж.Валирона и величиной отклонения для Q.-квазиконформных функций и Q-квазиконформных целгс кривых? -

Кроме того,-возникает вопрос количественной оценки величины отклонения ^(а.,^) через величину А для Q. -квазиконформных функций и О- -квазиконформных целых кривых,

Выяснению этих вопросов и посвящен § 2 первой главы и § I второй главы, в которых получены следующие результаты.

Теорема 3. Пусть f(z) - О- -квазиконформная приг#<=о функция конечного ниашего_ порядка А . Тогда для каждого комплексного числа а € С _

где

сад-

постоянная, зависящая только лишь от Q и Я . Теорема 4. Пусть - р-мерная однородная <3. -ква-

зиконформная целая кривая конечного нижнего порядка .Л , Q¡(z)~ ТогДа для любого р -мерного вектора

tji ( 0>. •. , 0) выполняется

/ЗС^С) (а ,0

В работе В.П.Петренко исследуется структура множества положительных отклонений Q -псевдомероморфных функций и доказана следующая теорема.

Теорема 5. Если - О. -псевдомероыорфная при функция, то множество

■0Л«, ia (>1

при °0 » емкоеп нуль.

. Этот результат является аналогом соответствующих клао-оических теорем О.фростмана, Л.Дльфорса, Р.Неванлищш о структуре маоаества.валироновских дефектных значений для ыероморфных функций. -

В § 3 первой главы и § 2 второй главы научается структура мнокества положительных отклонений для Q. -квазиконформных функций и а -квазиконформных целых кривых.

Пусть Е . - произвольное замкнутое ограниченное множество, содержащееся в -ОССГ) С <ГГ . а= j Qh..i\ ; -

1* С I 1Н 4 Jft>l

фиксированная квадратная матрица и а = 1«иЛ . £ С?"' . -

■ Ц . ■ Jft*!

фиксированный вектор; при этом будем считать, что cLcia.%0 . а | аЦ $ 1 . Stoi набор будем далее обозначать A(a.,d.) . Положим для каждого vv £ Cf~l

; ; ; ; ;

где

ti = ^ {^iy-^f-i) Г (ймЧ^а) V

hrl ' • . ?

И

Пусть

E(A-) = Et(A)* • •• * Егл (A) ,

где £w(A) - проекции множества Е(А) на координатные плоскости Wri ,hei,..'.,'p-l Если

Лир S Ш/п. Сор f н СА)\ С О,

АМГ

so определим меру на Е (А) как товдестверный нуль.

: - 6 -

Если существует набор, для которого тт. ,Сар, Еп.СА)>0>

1ч<п§р-1

то оппеделим меру на Е (А} как прямое произведение мер Ро-бена. (М-и, , соответствующих множествам Справедлива

Теорема 6. Для любой О. -квазиконформной при функции и любого оС > к.

| /ЪСа>Т)4«(а) = 0 .

Теорема 7. Для р -мерной однородной О. -квазиконформной целой кривой и любого фиксированного набора А(а,<С) при оС > к.

\ А/

для любого ограниченного замкнутого множества Ь , содержащегося в ^(С,), и любого набора А(а,с1) .

Если для любого ограниченного замкнутого множества £ , содержащегося в множестве

-ассН«:^ : &(*£)>0,

выполнено условие А/, то будем говорить, что множество ^¿(С,) имеет нулевую внутреннюю (р-0 -емкость.

Теорема 8. Для любого из чисел 0<§^«=> и существует квазиконформная при функция порядку

§ , такая что множество 12°!/ С?) имеет положительную ые-: ру Хаусдорфа размерности с^

Понятие протяжения мероморфных функций введено в 1973 г. А.Бернштейном, Протяжение меромордной функции относительно числа : а - это характеристика массивности тех мно-. жесгв, на которых данная функция приближается к числу <Х

В § 4 первой главы и. § 3 второй глс.зы вводится понятие протяжения для (3- -квазиконформных функций и О. -квазиконформных целых кривых^ в которых получены следующие результаты.

Теорема 9. Для О. -квазиконформно? функции ?"(г) нижнего .порядка Л и любого числа &£С справедлива

rvu^v í 27C . í C(£) ОлсЛсль ¡/8(a ,7) 7 ■

1 Я / -Jfi- J

если O <l<oo

< o^ V

I x , если ■ „ • jU0 ••

Теорема 10. Пусть P -мерная a -квазикон-

формная целая кривая конечного нижнего порядка .Я. и любого Р -мерного вектора oí" справедлива

nw* [¿X; éLC(a)M.c.¿^j/S&íJj

/если 0< 1 1К »0.2*0

Список работ.опубликованных по теме диссертации:

I; Белайди Б., Деркач B.C. 0 структуре множества Sid. QF) для а -квазиконформных функций / Рукопись деп. во ВИНИТИ 04.04.90 г., № I856-B90. 2. Белайди В., Деркач B.C. Протяжение d -квазиконформных функций / Рукопись деп. во ВИНИТИ 17.03.92 г., Ч 909-В92.

■ Ответственный за выпуск ДОЦ. К.-ф.-М.Н. ДврквЧ P.C. •

Подп. к печ. &Х■ Формат 60х84'/|!. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л.

Уч.-иэд. л. /.О Тираж /оО экз. Зак. № -УЗ-СТ, Бесплатно.

Харьковское межвузовское арендное полиграфическое предприятие. 310093, Харьков, ул. Свердлова, 115.