Емкости конденсаторов, простые концы и пространственные отображения, квазиконформные в среднем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОДЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ •

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРУГЛИКйВ Вяктор Иванович .

Ш г17.5

ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРОВ, ПРОСТЫЕ КОНЦЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, КВАШКОНФОРШЕ В СРЕДНЕМ

OI.OI.OI - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа в теория функций Донецкого государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Гаэридов

доктор физико-математических наук Б.П. Куфарев

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Сычев

Ведущая организация - Институт математики Академии наук Украины

«

^Защита дисоертации состоимся 199^ года

в часов на ааседании специализированного соивта Д 0633802 пра Новосибирской государственном университете (630090, Новосибирск, уд. Пирогова, 2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КоЕОсибирског государственного университета.

Автореферат разослан "М - Ü. lLrjii^jl4> 1992 г.

i.

A.Ä;Kaai'jcOB

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук, /Р / профессор

россмйп!:лп !

СУД ■ ' 1 ' *

Д-1У ' ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОГЫ

Актуальность те:я*. Теория плоских квазиконформных отображений зозникла в конце 20-х годов в работах Г.Греча и ,\'.А.Лаврентьева. 5 настоящее время она представляет собой далеко продвинутой раздел геории функций комплексного переменного, Емею:,1Й важные приложения сак в самой теории функций,'так и в других областях математики, а :акже в прикладных вопросах. Достаточно полное излояешю теории шоских квазиконформных отобрахешй и ряда ее приложений отражено 1 монографиях Л.Альфорса, Е.Е.Белинсхого, С.Л.Крушкаля, Р.Кшау, [.А.Лаврентьева, О.Лехто и К.Виртанена, В.Н.Монахова.

Понятие пространственного квазиконформного отобрагогш было шедеко М.А.Лаврентьевым в 1938 г. Наиболее интенсивное развитие •еории таких отображений приходится на конец 50-х и начало 60-х • 'одов. Б это время в работах Ю.Вяйсяля, Ф.Геринга, Б.В.Шабата и др. юздается один из фундаментальных методов исследования свойств ква-иконформных отобракенлй, который в своей сути выражает характерис-ическое свойство квазиинвариантности конформной емкости конденса-ора и модуля семейства кривых или поверхностей при шзазиконформ-ых преобразованиях пространственных областей. Систематическому римоненшо этого метода при построении теории пространственных квазиконформных отображений и некоторых ее приложений досвящрчы■моно-рафии Ю.Вяйсяля, Ф.Геринга, В.М.Годьдштейна и Ю.Г.Решвтняка,А.В.Ог-ева. Подробный обзор различных эквивалентных условий авазиконформ-ости,' а также обширная библиография содержатся в монографии П.Ка-амана. "

Естественным обобщением квазиконформных отображений являются тображения, квазиконформные в среднем. При аналитическом опреде-ении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, редполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от ' налиткческих отклонений отобракения: Различные классы' отображений, вазиконформнкх в среднем, рассматривались в работах П.Н.Белинско-э, П.А.Билуты, В.А.Зорича, С.Л.Крушкаля, В.С.Кудьявина, В.М.Мик-охова, И.С.Овчинникова, М.Перовича, И.Н.Песина, Ю.Г.Рошетняка, .Ф.Стругова, Г.Д.Суворова и других авторов.' Как- правило, каждый з этих классов отображений, квазиконформных в"среднем, отражает резде всего то или иное качественное свойство, присущее классу зазиконфоршшх отображений. Довольно большое количество различных тассов отобранений, квазиконформных в среднем, породило и самые шюобразпые (порой весьма специфические) гфиеш и методы исследо-ший их свойств. Общие методы, использующие емкостную или модуль-

ную технику, здесь разработаны не бшш.

Сказанное диктует необходимость как развития общей теории отображений, квазиконформных в среднем, так и разработку общих геометрических методов исследования свойств таких отображений.

Цель работы. Главная цель работы заключается в выделении масса отображений, квазиконформных в среднем, который по совокупности своих качественных свойств является, на наш взгляд, наиболее естественным и непосредственным расширением класса квазиконформных отображений; Используя емкостную технику, нами предлагается общий геометрический метод исследования свойств отображений выделенного класса; призванный играть здесь ту же роль, какую в теории квазиконформных отображений играет упоминавшееся выше свойство квазиинвариантности конформной емкости конденсатора. Дальнейшая цель рабо-ты состоит в иллюстрации систематического применения этого метода для получения целого ряда аналитических, ыетрико-гео-метрачесних и граничных свойств отображений, 1СЕазиконформных в среднем.

Методика исследований. Широко используются общие свойства емкостей конденсаторов, методы современной теории функций действительного переменного, приемы и методы теории квазиконформных отображений, а такие метод, основанный на предлагаемых в работе геометрических характеристиках отображений, квазиконформных в среднем.

Научная новизна. В работе, исходя из понятия емкости конденсатора, вводятся геометрические оцределения средних отклонений *. гомеоморфизма. Требованием их ограниченности выделяется класс отображений," квазиконформных в среднем, являющийся непосредственным расширением класса квазиконформных отображений; Описаны характеристические законы искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, представляющие собой основной инструмент при исследовании свойств таких отображений.'Указаны дифференциальные свойства и аналитическое описание класса отображений, квазиконформных в среднем. Получена (точная по порядку) оценка искажения расстояний. Установлено свойство квазиконформности в среднем предельного отображения , а также приведен ряд других метрических и геометрических свойств отображений, квазиконформных в среднем. Построены новые теории простых концов пространственных областей (как фиксированных, так и о переменными границами) и на их основе решен вопрос о соответствии границ при отображениях, квазиконформных в среднем. Предложены классификации простых концов

фиксированных и переменных пространственных областей.

Практическая пенность. Результаты и методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы или служить отправным пунктом при исследовании аналитических, метрико-геометрических и топологических свойств отображений с обобщенными производными первого порядка, а также в различных теоретических и прикладных задачах, где находит приложение теория квазиконформных отображений и их обобщений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории потенциала в Японии (Нагоя, [990 г.), Межвузовском семинаре-совещании по геометрической теории функций комплексного переменного (Ташкент, 1975 г.). Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988г.), Зсесоазной математической школе по теории потенциала (Кацивелл, [991 г.), заседании Сибирского математического общества (Новоси-Зирск, 1990 г.), Научной сессии отделения математики АН УССР (Ки-эв, IS9I г.), Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных ото-5ранений, ее обобщениям и приложениям (i960, 1984, 1987 гг.), Ку~ ¡анской школе-конференции по геометрической теории функций (Ге-гешщик, 1987 г.), Республиканском совещании-семинаре по комплеко-гому анализу и прикладным задачам управления (Алушта, 1989 г.), )яде итоговых научных конференций Донецкого научного центра АН 'ССР (1977-87 гг.), а также на заседаниях в 1985-90 гг. научных ¡еминаров в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР рук. - A.A. Гончар), Московском госуниверситете (рук. - В.И.Гав-1ЯЯОВ, В.А. Зорич), Институте математики СО АН СССР (рук. -П.П.Бе-инский, Ю.Г. Решетник, A.B. Сычев), Институте математики АН УССР рук. - П.М. Тамразов), Институте прикладной математики и механи-и АН УССР (рук. - И.И. Данилюк, Г.Д. Суворов, В.И. Белый), Банкирском госуниверситете (рук. - С.И. Пинчук), Волгоградском гос-ниверсигете (рук. - В.И. Миклюков) и др.

Публикации^ Основные результаты диссертации содержатся в 10 аботах, перечисляемых в конце автореферата. Две последние из этих абот - обзорного характера, и опубликованы после написания текста иссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введз-ш, трех глав и списка литературы; Каздая глава имеет свои вуме-зцшэ параграфов, некоторые из которых разбиты на пункты. Для ут-эрдцений типа лемма, теорема, замечание и т.п. в работе принята ройная нумерация (глава, параграф, порядковый номор). Так, нанри-

мер, утверждение тина теорема 2.7.1 является первой теоремой в § 7 главы 2* В список литературы включены лишь.те публикации, на которые имеется ссылка в тексте. Общий объем диссертации - 286 страниц," библиография - 96 наименований.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

, Все рассуздения в работе проводятся в п.-мерном евклидовом пространстве при п > 3 . Они применимы также и в случае размерности пространства г\» 2. . Этот случай мы, как правило, выделяем отдельно, дополнительно отмечая его специфичность.

Результаты работы поясняются соответствующими конкретными примерами и снабжены пробными комментариями в форме замечаний.

Переходя к краткому обсуждению содержания диссертации, будем использовать общепринятые в теории квазиконформных отображений обозначения и терминологию,

В первой главе, исходя из понятия -емкости конденсатора, нами вводится геометрическое определение средних отклонений гомеоморфизма. Условием их ограниченности выделяется класс отображений, квазиконформных в среднем. Указывается аналитическое описание средних отклонений и класса отображений, квазиконформных в среднем. Устанавливается ряд аналитических и метрико-геометрических свойств отображений, квазиконформных в среднем. В качестве приложений приводятся новые геометрические определения квазиконформных отображе-

Кзложекие главы I ведется, опираясь на содержание работ £1], 12]. [3], 16].

Под конденсатором здесь мы понимаем пару (Е,&) , где Е -компактное, a G- - открытое множество в ün , в Е<=& . Его с* -емкостью (при 1 í ot < г\ ) называют величину

СОроС(Е>&)= Lr4 JlvvfWlM* , - -G-

где точная нижняя грань беротся по всем непрерывным АС L - функциям Ц>: G- » равным единице на Е и имеющим компактный носитель, расположенный в & .

Используя определение ot -емкости конденсатора, наш для . гомеоморфного отображения £ : D -*• Д ограниченных областей D , ñ с ün вводятся новые геометрические понятия'средних отклонений.

ОЯРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.1. При i/Cn-i) внутренним р - сред-

ним и внешним (j, - средним отклонениями гомеоморфизма | отно-

сительно открытого множества G = D величины .

назовем, соответственно,

L(t,&)

i-i

вЧУ/(и-.о CUEQiKbO)

COfk С

m G-

sup

СвРчп/СИО (Ei.Bt)

Ju

cepJ(((6tuM

где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам {СЕ1«В1)}1ш1 t k = I» 2, ... , непересекающихся конденсаторов . ( Ец , &(,) , лежащих в G- , так, чтобы имели смысл дроби у выражений справа.

Некоторые из свойств средних отклонений оказываются вполне аналогичными соответствующим свойствам геометрических внутреннего и внешнего отклонений гомеоморфизма в теории квазиконформных отображений. Сказанное относится, например, к неравенствам

, справедливым при р,^ > n-i , а также к равенствам 1РЦЯ-0р(ГиЮ) и (У^&Ы^Ц-1,£(&)). Из других свойств средних отклонений отметим еще их монотонность по параметру: если «t <? , то и 0JI&4 0f (W.

Аналитическая характеристика средних отклонений такова. ТЕОРЕМА 1.3.5. Для гомеоморфизма |: В-* Д такого, что £ и являются ACL - отображениями; невырозденно дафферекцируемы-

ш п.в. в своих областях задания, при каждых р,^ > 1/(п-1) любом открытом множестве Ог с 3) имеют место равенства

. 1

Jl р

mG-

на

в которых валичины Н^л,^ , Н0С*,{1 и ТС*.^ означают, соответственно, внутреннее и внешнее аналитические отклонения и якобиан отображения £ , определенные для п.в. точек X« 3) .

Условившись в обозначениях 1рф = 1р(1,Ю и О^ф^О^Ц,}) , приведем основное геометрическое определение отображений, квазиконформных в среднем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Т.4.1. Гомеоморфизм 1)-*-Д назовем отображением, квазиконформным в (р,^,К)- среднем (где р,^ > ¿/Сп-1) и

К > { ), если

1р({и К и К .

Под отображением, квазиконформным в (р,^- среднем (при заданных р,^ > 1/Сп-О) понимаем гомеоморфизм |: Ь Л , являющийся отображением, квазиконформным в(р,<£,К) - среднем, с некоторым К > 1 .

Наконец, говорим, что гомеоморфизм 1>-»-Д является отображением, квазиконформным в среднем, если существуют » 1/(п-1) в К > 1 так, что ( есть отображение, квазиконформное в

. К > - среднем.

Обращая внимание на формальное сходство данного определения о соответствующим геометрическим определением квазиконформного отображения, заметим, что эта аналогия нарушается уже в том, что требования ограниченности одного из средних отклонений 1рШ и™ 0^(0 , вообще говоря,- недостаточно для ограниченности другого (теорема 1.8.6).

Из общих свойств отображений, квазиконформных в среднем, вытекающих непосредственно из определения, 1*4.1, отметим следующие.

Если | есть отображение, квазиконформное в (р,^,К) -среднем, то I'1 является отображением, квазиконформным в.р.К")-среднем.

Гомеоморфизм | , являясь отображением, квазиконформным в Ср.Ч.К) - среднем, будет в то же время и отображением, квазиконформным в К) ^ среднем, при всех 1/(п-Обо<.< р и £ « ^ .

Класс отображений, квазиконформных в (р.Ч) - среднем, инва- • риантен относительно квазиизометрических преобразований, а класс отображений, квазиконформных в (р,<{,,К) - среднем, инвариантен относительно ортогональных преобразований в сдвигов на постоянный вектор как области Т) , так и области А .

Наиболее содержательными свойствами (о.которых речь пойдет ниже) отображения, квазиконформные в (р,«0- среднем, обладают, когда р,£{, > п-1 . Аналитическое описание таких отображений выражает

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть {!: 3) Д - гомеоморфизм и р,^ > п - 1 , К» 1 - некоторые постоянные. Следующие условия эквивалентны:

(1) 1рНи К и К ;

(2) | 6 АСип(1) и реАС^СА') , при этом

m &

ÍHjC^lJO^Ux

4 К И

^ I Hic-.ua*

4 К

Эта теорет приводит к следующему аналитическому определе!ШЮ отображений, квазиконформных в среднем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5.1. Гомеоморфизм называется отобра-

жением, квазиконформным в среднем (где р,<^>п-1 иКИ),

если £€АС1_П(В) и|'1еАС^(М, при этом

1

m Д

«К

1

WÍ

4 К

Продолжая описание геометрической природы отображений, квазиконформных в среднем, укажем еще на одно их эквивалентное определенно. Для его формулировки напомним в нужной нам форме понятие квазиаддитивной функции множества.

Конечную неотрицательную функцию ф , заданную на открытых множествах 0- из некоторой области В , называют квазиаддитивной, если для каждого открытого множества & с 1) и для любого конечного набора {^ч}^ » к = 1,2,..., непересекающихся открытых множеств (г^с & , I я1,2,...,к , выполняется неравенство

kyu A UA HUI WtilVJ U^v W ^ v

1 = 1

СПРЩЕЛЕНИЕ 1.6.1. Гомеоморфизм |D -•- Д называется отображением, квазиконформным в (p,q,K) - среднем (где p.q, > n-i , К » 1), если существуют квазиадцитивныа функции Фр и , заданные на открытых множествах из D , такие, что К^тД и Y(j.(D) ^ К^тТ) , и для любого конденсатора (&,&) , лежащего в области Ъ , выполнены неравенства • -

CaPp«/(P+i) CÍCEI^CM) «

и

< cap J .

Из других геометрических характеристик гомеоморфизма £ от- ' метим также приводимое в § 10 кольцевое определение его средних отклонений с последующим затем еще одним описанием класса отобра- • жений, квазиконформных в ( р, а,, К) - среднем (определение I.I0.I). Соответствующие формулировки здесь аналогичны определениям 1.3.1 и 1.4,1, с той лишь разницей, что вместо участвующих в определении I.3.I произвольных конденсаторов QE i. , ВО из G- рассматриваются

тольк£ невырожденные кольцевые конденсаторы (Е-^.в^) такие, что Ь^ с & *

Всего в главе I содержится пять геометрических и два аналитических определений отображений, квазиконформных в СрЛ.К) -среднем.

Эквивалентность всех этих определений (при р,с^>п-1 ) устанавливается в теоремах 1.5.1, 1.6.1 и 1.10.1, являющихся главными результатами первой главы.

Списываемые этими теоремами характеристические законы искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, представляют собой основной инструмент в дальнейших нашхс исследованиях различных свойств таких отображений.

В случае, когда один из параметров р или (или они оба) находятся в промежутке [1/(п-1), п-I-} , класс отображений, квазиконформных в (р^,К) - среднем, по своим свойствам малосодержателен (в сравнении со случаем >л-1 ). Таким отображениям мы значительного внимания в работе не уделяем, ограничиваясь лишь обсуждением различных их эквивалентных определений (теорема 1.5.2 и замечание 1.6.1). -

Изучая же свойства отображений, квазиконформных в (р,^, К) -среднем, когда р,<^ > п-1 , мы исходам из их геометрического определения 1.4.1.

Такие отображения (как и им обратные) обладают К - сзойст вом и для таких преобразований областей справедлива классическая., формула замены переменных в интеграле (теорема 1.4.1).

Дифференциальные и аналитические свойства этих отображений описаны в теореме 1.4.2 (они отражены в условии (2) приведенной выше теоремы 1.5.1).

Равномерно ограниченное семейство отображений, квазиконформных в (р.ЧоК1) - ореднем, обладает свойством равностепенной равно мерной непрерывности внутри области (следствие 1.9.1), которое легко выводится из следующей оценки искажения евклидовых расстояний.

ТЕОРЕМА 1.9.1. Пусть |: Ъ — А - отображение, квазиконформное в (?!<?-)" среднем (при > п-1 ) и Я <= I) - произвольный компакт. Тогда для любой пары точек а, & е Я , удовлетворяющие услс вию |а-6|<£ , где т.1п{1,|р,оР1/1} , справедаква оценка

в которой ФрШ« ^ , а постоянная А завг

зиконформного отображения классу ACLn4t о некоторым положительным £ ■ £(К) , а именно: для произвольной пары параметров р, <v > 1 /(n-i) существует гомеоморфизм D-* Д шаров D и & , являющийся отображением, квазиконформным в (р,чЛ - среднем, при этом, однако, fat ACLn+t(D^ для любого 6 > 0 .

В заключительном § 12 главы I в качестве приложений построен-• ной элементарной теории отображений, квазиконформных в среднем, указывается ряд новых геометрических характеристик квазиконформных отображений и их аналитических отклонений."

Обоснование основных результатов первой главы существенно опирается на изученные в § 2 свойства следующего вспомогательного класса отображений о искажением, ограниченным в среднем, веющего, на наш взгляд, и самостоятельный интерео:'

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I.2.I. Скажем, что непрерывное открытое (ограниченное) отображение |:D-*Rn принадлежит классу Q р С 1>> , где Р > i/(п-i) t если цри каждом i/cri-iH ы 4 Р существует конечная квазиаддитивная функция , заданная на открытых множествах из области D так, что для всякого конденсатора (Е,<г) , лежащего в 3) , выполняется неравенство . ' . • '

CAfWu*!) UUM(S))« Е)ССф^ (E,&V, . '

Не останавливаясь подробно на полученных в § 2 различных метрико-геометрических свойствах отображений класса QpCD).» приведем лишь центральный результат этого параграфа.1

ТЕОРЕМА 1.2.3. Непрерывное открытое отображение f : Ъ R " . класса QP(D) при р>п-1 есть ACLn - отображение, дифференцируемое п.в. в области D J при этом .

¡Hfu^ilJuJ^ldx « <$>р(Ъ)< + оо , :

D ' .. ': ' '

где Фр - квазиаддитивная функция, участвующая в определении класса Qp(D) .

Из этой теоремы с использованием известной формулы замены переменных в интеграле и результатов СЛ. Крушкаля и Ю.Г. Решетня- ' ка о свойствах AC Ln - отображений легко, в частности, выводится, что непрерывные открытые отображения класса Q.p(D) при p>n-i обладают W - свойством и для них тлеет место интегральная ограниченность их кратности и степени.

Обратим здесь также внимание на пример 1.2.I, показывающий, что для любых параметров р,<^>0 можно построить непрерывное

открытое ACL" - отображение { : Ь Rn , имеющее конечные интегралы

ъ ъ

но не обладающее (в отличие от отображений с ограниченным искажением) свойством ограниченности на компактах из В своих кратности и степени.

Во второй главе диссертации строится новая теория граничных элементов ограниченной области D с R.n и исследуется вопрос о соответствии границ при различных отображениях пар областей. Используя определение оС - емкости конденсатора, вводится понятие простого ы. - конца; Изучаются свойства и проводится сравнение пространств простых концов при различных ос . Указывается классификация простых оС - концов; Отмечается простота рассуждений при решении вопроса о соответствии границ для квазиизометричео-ких и квазиконформных отображений и анализируются трудности при его решении в случав отображений, квазиконформных в среднем. В качестве приложений приводятся утверждения, характеризующие возможность непрерывного (гомеоморфного) продолжения отображений на замкнутые области.

Основные результаты этой главы содержатся в работах ^5}, [8] (см. также [4] , [7] ).

Прежде, чем переходить к обсуждению содержания главы 2; приведем краткую историю рассматриваемых здесь вопросов. . .

Впервые понятие простого конца (граничного элемента) было введено К. Каратеодори в 1913 г. для случая плоской односвязной области D , в связи с задачей о продолжении конформного отображения на границу области. Оказалось, что всякое конформное отображение . единичного круга В1 на область D порождает биекцию между множеством точек окружности "й Ё>2 и множеством простых концов области 3) ; Наличие теоремы Рнмана о конформной эквивалентности единичному кругу всякой односвязной области с невырожденной границей позволило далее сделать заключение о биективном соответствии множеств простых концов произвольной пары таких одно-связных областей Х> и Л , осуществляемым любым конформным отображением f : D д г. В последующих исследованиях Ж. Лелон-Ферран, Г.Д. Суворова и других математиков было показано, что понятие простого конца Каратеодори пригодно и для положительного решения вопроса о биективном соответствии границ при плоских отображениях

более общих, чем конформные, в частности, при отображениях, квазиконформных в среднем;

Первоначальные.обобщения теории простых концов Каратеодори на случай размерности пространства г\ > 3 проводилось Б. Кауфманом, С. Мазуркевичем и Г. фройденталём. Однако, эти обобщения не имели приложений к вопросу о соответствии границ при отображениях про. страяственных областей.

Первая содержательная о этой точки зрения теория простых концов пространственной области была построена В.А. Зоричем в 1962-65 годах. Км же было показано, что всякое квазиконформное отображение £ : Ь"4-» D единичного шара В" на область D порождает биекцию между множеством точек сферы S""1 а <»ЬП и множеством простых концов области D . Вопрос о соответствии границ при квазиконформных отображениях произвольной пары областей (гомеоморфяых шару) В.А. Зоричем не рассматривался. К этому следует добавить, что попытка решения данного вопроса по аналогии о плоским случаем невозможна, из-за отсутствия пространственной формы теоремы Римана существования квазиконформного отображения. Напомним к тому же, что класс конформных отображений в Rл при rv > 3 является бедным и, согласно классической теорема Лиувилля, исчерпывается меби-усовыми преобразованиями.

Построению теории простых концов пространственной odi.-сти - посвящен также и ряд работ И.О. Овчинникова (1966-69 гг.), в которых в качестве приложений доказано, что всякий ACLn - гомеоморфизм I: Bn-*- D порождает сюръекцию м&аду множеством точек сферы Sn*1 и множеством простых концов области D . Для области, квазиконформно эквивалентной шару, понятия простых концов в смысле В.А.Зо-рича и И.О. Овчинникова совпадают.

Другой способ построения теории простых концов с ее последующим приложением к пространственным квазиконформным отображениям был предложен в конце 70-х годов С.К. Водопьяновым, В.М. Гольд-штейном и Р. Някки. Понятие простого конца определяется ими (в отличие от определений В.А. Зорича и И.О. Овчинникова) при помощи конформных инвариантов ( п-емкости - у С.К. Водопьянова и В.М. Гольдштет!1на и п - модуля - у Р. Някки) и в случае области, квазиконформно стсбраяае.\гой на шар, оно опять же эквивалентно понятию простого конца в смысле В.А. £орича. Идоя применения конформных инвариантов при ¿шстроении теории простых концов восходит к работе Е. Шлезингера 1958 года, в которой понятие простого конца Каратеодори плоской односвязной области вводится при по:,:ощз экстре-

мальной длины. Имеющееся для квазиконформных отображений свойство квазиинвариантности конформных инвариантов позволяет при таких построениях автоматически решить вопрос о соответствии границ при квазиконформных преобразованиях произвольной пары областей.

Для отображений, квазиконформных в среднем, свойство квазиинвариантности конформных инвариантов иметь места уже, вообще говоря, на будет, п во второй главе иы, ориентируясь на установленные в главе I законы искажения емкостей конденсаторов при таких отображениях, проводим построение теории простых концов ограниченной пространственной области, исходя из понятия * - емкости конденсатора.

Чтобы привести определение простого ы. - конца» нам потребуется напомнить следующее более широкое, чем в главе I, понятие ot - емкости конденсатора. Понимая далее под конденсатором тройку множеств (F0,,F1,0) , где & - область, a F°,FlcG- -непустые замкнутые относительно & множества, его ot - емкость (при 1<ос.«п ) определим равенством

COf* (t=°, F\G) = vn\. V4i*\\«dx , G- •

в котором точная нижняя грань берется по всем непрерывным ACL - ■ функциям ц>: б- -»■[0,1'] таким, что F°-n sp-fc ц>= 0 и Flftspt(i-4>)=0 • Если таких функций не существует, то полагаем сар^ ( я F \ &) = °° .

Понятие простого - ot - конца вводится нами по схеме, идейно похожей на соответствующие построения Р. Някки, проводившиеся им дня определения простого конца при помощи п - модуля семейства кривых.

• Понимая под относительным континуумом в области I) невырож-дающееся в точку связное замкнутое относительно Х> множество

F с D ■ такое, что F > 0 , назовем (определение 2.3.1) убывающую по включению последовательность относительных

континуумов Еm с D «*. - фундаментальной последовательностью множеств (по отношению к некоторому континууму К <= В ), если

eim. cap,,, Ck,E^D>= О .

При п -1 < ot « rv все предельные точки ot - фундаментальной последовательности множеств лежат на границе ID области Э (теорема 2.3.7) и понятие <*. - фундаментальности не зависит от континуума К с В (теорема 2.3.6). Этими свойствами не обладают, вообще говоря, ot- фундаментальные последовательности множеств при i^otirv-v ,и везде в дальнейшем предполага-

ем п -1 < ос < п .

Две . ы - фундаментальные последовательности множеств {е"1}™^ и {считаем эквивалентными (определение 2.4.1), если существует о*. - фундаментальная последовательность множеств {Ат}1^0111 такая, что Ат э Ет I) Рт для ы.в. т (т.е. для всех т , начиная с некоторого номера).

Простым <*. - концом е* области I) назовем (определение 2.4.2) класс эквивалентных о< - фундаментальных последовательностей множеств { Ет\ .

Носителем простого - конца е* назовем (определение 2.4.6) множество

1е*|= V Л ¥т ,

в котором объединение берется по всем с*. - фундаментальным последовательностям множеств (Е1"} е е* .

Носитель любого простого ы. - конца (прй п-Кос« п ) расположен на границе области и является континуумом или точкой (теорема 2.4.1). Для шара Вп(а,г) носитель любого его простого -конца является точкой сферы Б""1 (а,г) и, наоборот, всякая точка этой сферы представляет собой носитель простого - конца иара Вп(а>г) (теорема 2.4.2).

В следующем утверждении указывается геометрическая интерпретация понятия ,п - фундаментальной последовательности множеств и описывается структура носителя простого п - конца области, квазиконформно в среднем отображаемой на шар.

ТЕОРЕМА 2.8.1. Если область Г> квазиконфоршо в среднем эквивалентна шару &п , то э носителе ее любого простого п. -конца содержится не более одной достижимой относительно этого простого конца точки и для всякой п - фундаментальной последовательности множеств {.Ет} из 1) существует г\ -фундаментальная последовательность замкнутых относительно В подобластей &тс й так, что Ет с &т и относительные грашщы бт«1)Л'&(7-т подобластей при п.в. т связны и лежат, соответственно, на ..онцентричбских сферах Б""1(а , гт) с центром в некоторой точке а е дБ -г убывающими радиусами —«- О при т —*оо .

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что для области, квазиконфоршо в среднем отображаемой на шар, понятие простого п -конца эквивалентно понятию простого конца в смысле В.А. Зорима.

Касаясь вопроса сравнения мевду собой множеств простых ос - концов области Ъ , сначала заметим, что в случав плоской односвязной области все эти множества (при 1 < ы ) совпадают ( с точностью до биекции) с множеством простых концов Каратеодори (теорема 2.7.1). Если же размерность пространства п >3 , то, в частности, уже даже для жордановых областей, гомеоморфных шару, множества могут между собой не совпадать и в этом случае при каждом п-1 <«*.< п имеется -(вообще говоря, строгое) сюръективное вложение множества ЗЕ.П во множество (пример

2,6.1). Условие биективного равенства , п-1 <<*.< п ,

для г\ - компактных областей I) (в том числе и для областей, квазиконформно в среднем отображаемых на шар) эквивалентно тому, что область I) обладает равномерно ы - непрерывной границей (теорема-2.7.2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6.1. Скажем, что область 3) является областью с равномерно ос -непрерывной границей (где < ос < п )по отношению к некоторому континууму К с и , если для произвольно заданного числа £ > О найдется число <5* > 0 так, что для любого относительного континуума РсЦ , удовлетворяющего условию С&ры (к,Р,Ю) < £ , выполнено неравенство слрп(к,Р,1)') < £,

Изучая в § 6 свойства областей о равномерно непрерывными границами, отмечается, что при каждом п-1 < <* < п это понятие не зависит от выбора континуума К с 15 (теорема 2.6.1) и является инвариантным при квазиизометрических преобразованиях областей (теорема 2.6.3).

Приборами областей о равномерно • - непрерывными границами на плоскости служат все односвяэные области (теорема 2.6.6). При п % Ъ такой областью при каждом п-1 < л < п является единичный шар В" (теорема 2.6.4), а также любая область, квазиизо-мотрачсс;-а: Екглсалентная этому шару, В то же время, среди простран-с-гзенннх областей, гомеоморфных шару, имеются области, не обладающие ^.нс.'.'-арно се -непрерывной границей ни при каком п-1< < г\ (прь.чс-р 2.6.1). Среди жордановых областей, квазиконформно в столпом эгзшваленпшх шару (и не являющихся ему квазиконформ-ио экг/.ь.-лиитниш), содержатся как области, имеющие равномерно но-

граюаш (пример 2.9.1), так и области, не обладающие яги.: 'сло:^с?1)ш (пример 2.9.2). Нам, однако неизвестно, обладает ли е^.-.с-юм иметь равномерно непрерывную границу всякая область, ква-зикл:;ор.'ДЮ эквивалентная шару?

Лснлке области с равномерно непрерывно! границей играет ваа-

нув роль при изучении вопроса о соответствии границ при отображениях, квазиконформных в среднем, к обсуждению которого мы сейчар и переходим.

Желая подчеркнуть возникающие здесь трудности, обратим внимание на пример 2.10.1, показывающий, что при п>3 для произвольно заданных параметров p,cj, > n-i существует пара гомеоморфных шару &п жордановых областей D и Л из ft." и квазиконформное в ~ среднем отображение D —Д так, что | не осущест-

вляет биекции между множествами простых концов областей D

и Д ни при каком n - i < ot 4 n .

Условия, обеспечивающие наличие биективного или сгаръективного соответствия границ по простым концам, при отображениях, квазиконформных в среднем, обсуждаются нами в §§ 9, 10. "иже мы приводам лишь два утверждения о биективном соответствии.

ТЕОРЕМА 2.10.2. Если области D и Д имеют равномерно оС. - непрерывные границы при любом п -1 < с*. <" и , то всякое квазиконформное в среднем отображение Ij.D — Д осуществляет биек-цшо множеств простых п - концов этих областей.

На конкретных примерах поясняется, что ограничения на области I) и Д существенны, но не являются необходимыми условиями для справедливости этой теоремы.

В случае, когда одна из областей D или Д есть шар, то заключение теоремы 2.10.2 может быть получено без дополнительных ограничений на другую область.

ТЕОРЕМА 2.9.1. Всякое квазиконформное в среднем отображение единичного шара В>" на область D осуществляет биекцшо между множеством точек сферы Sn*1 и множеством простых п - концов области D .

Решение вопроса о соответствии границ иои квазиизометрпческих и квазиконформных отображениях трудностей не вызывает и является простым следствием характеристических законов искажения емкостей конденсаторов при таких отображениях. Именно: понятие простого о«. -конца для всех п -1 < с* ^ п инвариаптно при квазиизометркях (теорема 2.5.1), а п-нятио простого г\ - конца инвариантно при квазиконформных отображениях 'теорема 2.5.2). В данном случае теорема 2.5.2 представляет собой еще один вариант соответствует« теорем С.К, Водопьянова, В.М. Гольдштейна и Р. Някки.

Приложениям теорем о соответствии границ посвящен § II, в котором приводятся теоретико-множественные критерии непрерывного и ромеоморфного продолжения отображения'на замкнутые ос'ласг'. Обда

утверждения этого параграфа подобны классическим формулировкам К. Каратоодори для конформных отображений. Используя их и цитированные выше теоремы 2.8.1, 2.9.1 и 2.10.2, нами указываются условия гомеоморфоного продолжения на границу области отображения, квазиконформного в среднем, жордановых областей (теоремы 2,11.4-6), а также отмечается пример 2.8.1 и замечание 2.II.3, показывающие невозможность такого гомеоморфного продолжения в случае произвольной пары жордановых областей. Отметим здесь еще и теорему 2.II.7, в которой возможность гомеоморфного продолжения квазиконформного отображения на замыкания жордановых областей расширяется о класса областей, квазиконформно эквивалентных шару (результат Ю. Вяйсяля), на более широкий класс .областей, отображаемых на шар посредством гомеоморфизма, квазиконформного в среднем. '

Другие вопросы, рассматриваемые в главе 2, относятся к метризации пространства простых концов и к их классификации.

Возможность метризации пространства DUS.04 устанавливается в § 12. Метрика здесь определяется по аналогии с уже упоминавшимися работами O.K. Водопьянова, B.U. Гольдштейна и Р. Някки.

Классификация простых л - концов предлагается наш в § 14 для односвязных (гомеоморфных шару В" ) пространственных облао-тей 3) с I п > 3 , у которых (как и в классической ситуации на плоскости) множества DUS** гомеоморф™ замкнутому щару Вп .

Она опирается на изучаемую в § 13 теоретико-множественную структуру носителя простого с*, -конца, в котором различается три вида точек:'главные, второстепенные и смежные.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.I3.I.' Точка ас ie*l называется главной точкой простого с*- конца , если:

(1) существует ос - фундаментальная последовательность

ее* замкнутых относительно D подобластей Amc D , относлтолшй границы Ат = D Л ^ Ат которых связны и лежат соответственно, на концентрических"сферах Sn~(û.,rm) , где

rt > гг > ■ • • > гт > • ■ • И t- О ;

(2) для .собой с*.-фундаментальной последовательности множеств 6 имеет место включение {Ек} с {Ат) , т.а, каждая область Ат содержит п.в. множества Е k .

аПРДДЕЛШМЕ 2.13.2. Точка £ е I е011 называется второстепенной гонкой простого ос - конца , если:

' ( I ) существует оС. - фундаментальная последовательность

е е* замкнутых относительно D подобластей BmcD сгг.оситолыще границы oD Ьт которых связны и лежат, соответствен'

но, на концентрических сферах Sn"1 (6,рм") • гдер^ок>->рт>~-

и fe. ;

(2) точка В не является главной точкой простого <* - конца е* .

ШРДШ2НИЕ 2.13.3. Точка с е|2°Ч называется смежной точкой простого ы. - конца е , если для этого простого конца она не является ни главной, ни второстепенной точкой.

Относительно топологических свойств множества главных точек простого ct - конца можно утверждать, что оно замкнуто (теорема 2.I3.I). В то же время, оно может оказаться как несвязным, raí: л пустым множеством.

Относительно топологических свойств множеств второстепенных и'смежных точек сказать что-либо определенное не представляется возможным. Каждое из этих множеств не обладает, вообще говоря, свойствами связности или замкнутости и может быть пусто.

Наиболее интересным утверждением § 13 является следующая альтернатива множеств глазных и второстепенных точек.

ТЕОРЕМ 2.13.2. Носитель простого ос - --гонца не может содержать одновременно главных и второстепенных точек.

Дальнейшее изучение в § 13 структуры носителя простого oí. -конца состоит в исследовании вопроса достижимости его различных точек. Так, смежные точки простого ot - конца всегда недостижимы (из области) относительно э-ого простого конца (теорема 2.13.4), г. его второстепенные точки могут оказаться как достижимыми, так к недостижимыми относительно этого простого конца; Анализ условий достижимости главных точек содержится в теореме 2.13.3.

Приведем теперь классификацию простых ос - концов. В своей основе она исходит из того, как устроено (замкнутое) множество гланых точек (пустое, одноточечное, связное, несвязное), учитывает альтернативное свойство главных и второстепенных точек и использует информацию о достижимости главных точек из области.

ТЕОРЕМА 2.I4.I. Простой - конец Р* области 2) (удовлетворяющей описанным выше условиям) может быть одним кз следующих девяти типов:

(I) носитель | j не содержит ни главных, нл второстепенных точек, а содержит лишь континуум смежных точек;

(П) носитель | е041 не содержит главных точек, содержит континуум второстепенных точек и ке содержит смежных точек;

(!!!) носитель | е* ( не содержит глазных точек, ко содержит зторостепенные и смежные точки;

(IV) носитель !е*Ч состоит из единственной точки, которая достижима относительного простого ос- конца е.'* и является его гласной точкой;

(V) носитель 1 еы1 содержит одну достижимую относительно простого сС - конца - главную точку, не содернит второстепенных точек к сод ер-кит бесконечно много смежных точек;

(71) носитель 1 содержит одну недостижимую относительно простого ос - конца главную точку, не содержит второсте-

пенных точек и содержит бесконечно много смежных точек;

(УП) носитель 16*1 содержит континуум недостижимых относительно простого ос - конца главных точек и не содержит второстепенных и смежных точек;

(УШ) носитель ) содержит континуум недостижимых относительно простого оС - конца в* главных точек, но содержит второстепенных точек и содержит бесконечно много смежных точек;

(IX) носитель | еЛ| содержит несвязное замкнутое множество главных точек, каддая из которых недостижима относительно простого

Ы. - конца е* , не содержит второстепенных точек и содержит бесконечно много смежных точек.

Реализация приведенной классификации поясдается примерами областей, содержащих простой ос - конец каждого из перечисленных девяти типов.

Для плоских одкосвязных областей и для пространственных областей, квазиконформно эквивалентных шару, данная классификация при <*= п упрощается и сводится, соответственно, к классической классификации К. Каратеодори и аналогичной ей классификации, описанной, например, в работе Р, Някки. В общем случае пространственных областей неаа классификация существенно отличался от предлагавшейся ранее классификации И.О. Овчинникова, как, впрочем, су-щостезкно-отличается здесь и само понятие простого конца, определяемое нами и И.О. Овчинниковым.

В качестве одного из приложений приведенной в теореме 2.14.1 классяфингщки простых концов молено получать различные теоремы не-суозствования отображений того ила иного заранее выделенного класса. В частности, не существует отображения, квазиконформного в с>-л;;о:л( шара на область, имеющую простые л - концы одного из I, II, С:, У1, IX типов. Например, в не существует отображения

гхао:: конформного в среднем, шара В3 на "клин" В , представ-ляюгжй собой множество точек у * (у1, у^ ,у4) , удовлетворяющих у^огпям 0< у4 < 1 , 0< , О < 1, где X > 2 - произ-

вольно. У этого "клина" каждая точка на д Ь , кроме "ребра" У i = У i * 0 , О 4 у а 4 1 » определяет носитель какого-либо простого п - конца 1У типа, а все "ребро" yta уг= о , Oí у^ 1 является носителем одного простого п - конца П типа, все точки которого ДОСТМЕЕМЫ КЗ В

В третьей главе диссертации мы изучаем, з основном, те :.:о вопросы, что и в главе 2, но уже для случая переменное прострелот- ' венных областей и отображений. Здесь, используя опять понятие л -емкости конденсатора, строится тоорня просты;: ы. - концов последовательности областей, сходящейся к невырожденному ядру. Рожается задача о соответствии границ при отображениях (квазшзо.\:е?р/-чеекпх, квазиконформных и квазиконформных в среднем) шеледозаталь-ностей областей. Указывается на возможность приу нения полученных результатов к исследованию 'вопроса о равномерней сходности последовательности отображений в замкнутой области и др.

Основные результаты главы 3 опубликованы з работах [4], [7].

История затрагиваемых в этой главе вопросоз вкратце состоит в следующем.

Впервые понятие црсстого конца последоваъольноми плоских од-ноезязных областей было введено Г.Д. Суворовым в 1953 г. Возникновение этого понятия связано, в частности, со следующим классическим утверждением К. Каратеодори: если разномерно ограниченная последовательность плоских односвязных областей D=(Dj)j = i сходится относительно точки 0 к своему невырожденному ядру ])0 , то последовательность конформных отображений

: Б4-» Dj , нормированных условиями fj(0) = 0 и (0)> 0 , j«i,2,..., сходится равномерно внутри единичного круга В2 к конформному отображению : В1 D„ . Выяснению различного рода условий, при которых данное свойство равномерной сходимости последовательности отображений внутри круга лгожет быть распространено на замкнутый (или открытый) круг, посвящены работа Д. Гайора, Ж. Лелон-Ферран, Л.И. Маркуыезича, Г.Д. Суворова и других математиков. Наиболее общее и полное pese кие этой ^ачк было дано Г.Д. Суворовым в ка зстзе приложений построенной им теории простых концов последовательности планах односвязяых областей D - = , сходящейся к своему невырожденному ядру В0 . Исследован:: д Г.Л.Суворова обобщают (в идейном смысле) построения теорки простых концов Каратеодори для фиксированной области на случай перс-могс^';-: областей я в качестве основнгдс элементов содер.'лз? в себе слредато-ние простого конца последовательности облаете!': и дохззатр~ъст20

биекцик между множествами простых концов последовательности областей (Dj)j~t и ее ядра 1)0 с последующим изучением структуры носителя простого конца и основанной на том классификации простых концов последовательности областей, включающей в себя восемь их типов. Вопрос о соответствии границ.при отображениях переменных плоских областей был- решен Г.Д. Суворовым для последовательностей AC La - гомеоморфизмов. В частности,'описанная выше последовательность (Ij)jtt конформных отображений : В*Dj осущест вляот биекщта между множеством точек сферы "3 В1 и множеством ' простых концов последовательности областей . Подробные

построена и ряд приложений теории простых концов переменных плоских областей отражены Г.Д. Суворовым в двух его монографиях.

Одна из мотивировок целесообразности введения понятия простого конца переменных пространственных областей, как и е плоском случае, связана с пространственной формой теоремы сходимости Кара-теодоря, описанной наш в теореме 3.1.I для последовательностей отображений, квазиконформных в среднем (аналогичное утверждение для квазиконформных отображений было доказано О;' Герингом; другой аналог теоремы Каратеодори для AC Ln - гомеоморфизмов был указан И.О. Овчинниковым).

Построение теории простых <* - концов переменных областей црозодится наш для равномерно ограниченной последовательности 2- (X>j)j = i областей Dj с Ra , сходящейся к своему невырожденному ядру D о (относительно некоторой точки 0 ). Эти построения могут быть легко обобщены и на произвольные семейства областей зависящие от одного или нескольких параметров.

Еелая добиться в главе 3 формального сходства основных положений в теориях простых оС концов переменных к фиксированных областей, мы вводим для эаого (§§2, 3) в последовательности облас той В = С j =1 специальную терминологию.

В частности, под множеством в D мы понимаем последовательность А - (Aj^jci множеств Aj с Dj . дяя пары множеств А к Ь = (bjJjr.t. ш определяем теоретико-множественные операции, по-лггая, например, AU Е> = (Aj U. Считаем к тому же, что А с Ь , если Aj с Bj для п.в. j

Исходя es уже определенного выше (при обсуждении главы 2) по-нг.т/я сх - емкости конденсатора в фиксированной области и пони-мгч под конденсаторов в В = (^j)j^i тройку (А0, А1, С-) множеств А° = С A°)Jti , А4 = (A j )pai , & « (G-j^f.i , где А? , А$ с &j -rrjuurv'Tuo относительно области G-j с Bj множества, его с< - ем-

костью назовем величину

сар^СА0,А\ й-Ь сар^ , А}, (г,) .

J

Кз других общих понятий в последовательности областей наиболее важны понятия континуума и относительного континуума (определения 3.2.1 и 3.2.2). Множество называем континуумом (относительным континуумом) в • ослл каэдое из множеств ^ с , ] ж ¿,а,... , является континуумом (относительным континуумом) и существует континуум (относительный континуум) Р0<= В. так, что множества ч , ] в о, I, 2, ,.. , суть области и последовательность областей ^^ХГ* сходится к области как к ядру, относительно некоторой (а значит, и любой) точки X € Ре • . .

Теперь аналогично главе 2 могут быть сформулированы основные определения теории простых с< - концов переменных областей.

ОПИДЕЕЕНИЕ 3.4.1. Убывающую по включению последовательность {£т}|Г.1 относительных континуумов Е"1 из Б = (Э.;)/^

назовем ос - фундаментальной последовательностью множеств (по отношения к некоторому континууму К = (К^/^! из 1) ), если ^(К.Е-О-О .

При условии п-1<вс<п понятие л-фундаментальности не зависит от выбора континума К с В (теорема 3.4.6) и все предельные точки ос - фундаментально Л последовательности множеств расположены вне ядра В 0 (теорема 3.4.7).

Далее, как я в главе 2, мы ограничиваемся наиболее содержательным предположение!,I п -1 < ы. 4, г\

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5.1. Две л - фувдамзнтачьнке в 1) последовательности множеств ' считаем эквивалентными, если существует с*. - фундаментальная последовательность множеств {Ат}Г.4 такая, что Ат з Ети Р'п для п.в. т .

СПРДЦЕЯЕНИЕ 3.5.2. Простым - концом последовательности областей 1) = (!);)назовем класс эквнваленткчх л - фукцамен-гальных последовательностей шокеста.

ОПРЕДЕЛИМ? 3.5.4. Носителем простого ы. - конца е* лосле-девательности областей Вназовем множество 16*1 = |{ Е™)! . з котором объединение берется по всем с* - фундаментальным носде-юштельностям множестз { . е е* , а |{Ет"Ч = П Ь Е" . да ^^ Е з - верхний топологический предал последовательности кожеств

Носитель le* I любого простого о*. - конца е* является континуумом или точкой и расположен вне ядра Х>в (теорема 3*5.1).

В частном случае последовательности В « (bj^w шаров bj » » Bn<a,r) , j = I, 2, ... , носитель любого ее лростого о<, конца является точкой сферы SП"1 (о.,г) и, наоборот, всякая точка этой сферы представляет собой носитель простого с* - конца последовательности шаров Ь (теорема 3.5.2)".

Классификация простых концов переменных областей предлагается нами в § 5 для гомеоморфных шару Вп последовательностей об-' . ластей D , множество 2* простых ос - концов которых биективно сфере S . О таких последовательностях областей мы говорим, что их граница л- эквивалентна сфере.

Если последовательность областей D имеет ы. -.эквивалентную сфере границу, то ее ядро В0 удовлетворяет условиям теоремы 2.I4.I (см. выше) и имеется биекция между множеством Xм простых ci концов последовательности областей Х> и множеством ¿L * простых ос - концов ее ядра D0 , при этом, если е* е Xе4 и

6 ~ пР°сгые - концы, соответствующие друг другу по этой биекции, то выполнено (вообще говоря, строгое) включение le'Sl с |е°Ч (лемма 3.5.1 и теорема 3.5.3). Сказанное позволяет в носителе | е.* | простого ос - конца е гыделить следующие

четыре вида точек.

(ЖВДЕШОЕ 3.5.5. Точку cl« |е°Ч назовем, соответственно, главной второстепенной или сменной точкой простого «*. - конца е* , если она является таковой по отношению к простому et -концу £ ^ . Тоща; множества | e*l s | | назовем дополнительными точками простого . ы. - конца С01 .

Предлагаемая в теореме 3.5.4 классификация простых ы. - концов последовательности областей D (граница которой ot - эквивалентна сфере) включает в себя шестнадцать типов простых ot -концов. Она опирается на классификацию простых ot - концов фикс» ров шей области (в нашем случае ядра D „ ), каждый тип простого

- конца которой подразделяется здесь на два типа, в зависимости от того, содержит соответствующий простой ot - конец после довательности областей дополнительные точки или нет, при этом наш не учитывается информация о достижимости глазных точек*простого

- конца. Реализация классификация простых ot - концов пе-ра\:е.нных областей поясняется на конкретных примерах в том же § 5.

Если размерность пространства п » 2. » то последовательности обстой В , границы которых <* - эквивалентны круту, пред-

ставяяют собой объект исследований Г.Д. Суворова. Множества их простых ы,- кондов при всех I « <* < 2 совпадают (с точ-. ностью до биекдаи) с множеством простых концов в смысле Г.Д. Суворова, а классификация простых л - концов в этом случае упрощается и полностью отвечает классификации Г.Д. Суворова (замечание 3.8.3).

Изучая в главе 3 вопрос о соответствии границ при отображениях переменных областей, мы под гомеоморфными преобразованиями лары последовательностей областей и Л = (Д^4 , сходящихся к сеоим ядрам Во л До , соответственно, понимаем последовательность ? = томеоморфазмов : Д] , равномерно сходящуюся внутри к гомеоморфизму — К0 •

Заметим, что такие преобразования оставляют инвариантными понятия континуума и относительного континуума в последовательности областей (теорема 3.2.1).

Если дополнительно каждый гомеоморфизм удовлетворяет условию' М - квазиизометричност?, . К- квазиконформности иле квазиконформности в К) - среднем (где постоянные , К>1 и > п-1 не зависят от J ), то говорим, соответственно, о М - квазикзометрической, К - квазиконформной или квазяконформ-ной в (р,<},,К)- средаем последовательности отображений $ = .

В случае М - квазиизометрической последовательности отображений | понятие простого ос- конца инвариантно при всех п-1 <0«.«; а (теорема 3.6.1);

Для К - квазиконформных последовательностей отображений инвариантно понятие простого п - конца (теорема 3.6.2).

Если же последовательность' отображений | квазиконформна в (р,<5,,К) - среднем, то и здесь вопрос о соответствии границ решается вполне аналогично, преодолевая та же трудности, как и для отображений фиксированной пары областей. Проиллюстрируем это на следующих двух утверждениях.

ТЕОРЕМ 3.7.1. Всякая квазиконформная в - среднем

последовательность | = отображений ^ : Вп ->- едшшч-

ного шара Вп на ьоследовательность областей В « осу-

ществляет биекцию между множс '¡твои точек сферы Б""1- и множеством простых п - концов последовательности областей С

ТЕСРЕ?»'А 3.7.3. Если последовательности областей I) ° ( и Д = (Л^«! имеют равномерно ос - непрерывные грашщы г.ри всех п-1 <с*< п , то всякая квазиконформная в среднем

последовательность | = отображений ^ : ^ -*-&} осуг стзлгат

биекцшо множеств простых г\ - концов последовательностей облао-тей В к &

Участвующее в теореме 3.7.3 понятие последовательности областей с равномерно ос - непрерывной границей определяется также, как и для фиксированно"• области (ил. приведенное выше определение . 2.6.1), используя понятая континуума и относительного континуума в переменных областях.

В качестве приложения теорем о соответствии границ в § 9 обсуждаются условия возможности распространения свойства равномерной сходимости последовательности отображений внутри области на ее замыкание.- Формулировки таких условий в идейном смысле аналогичны соответствующим теоремам Г.Д. Суворова для последовательностей плоских АС - гомеоморфизмов.

Из .других утверждений, относящихся к вопросу о соответствии границ, отметим приводимый в теореме 3.10.1 достаточно общий критерий биективного соответствия границ по простым п - концам для произвольных гомеоморфных преобразований переменных областей.

Заканчивая обсуждение результатов главы 3, укажем на достаточно наглядное геометрическое истолкование п - фундаментальной последовательности множеств и опишем строение простого . п -конца для последовательности областей, квазиконформно в средне»,! эквивалентной шару (т.е. такой последовательности областей Ь* = (Т^)]^, когда существует некоторая квазиконформная в (р,я>К) -среднем последовательность $ = отображений : Ьп-* Т^

шара Вп на последовательность областей Ь ).

ТЕОРЕМА 3.8.2. Если последовательность { множеств

Ет- (ЕТ^ п - фундаментальна в квазиконформно в среднем эквивалентной шару последовательности областей I) = (1>з),Пи , то в I) существует п - фундаментальная последовательность множеств {б-т) такая, что &т э Е т , т = I, 2, ... , при этом для п.в. т каждый относительный континуум (гт= "

вмеох'е с соответствующим ему в ядре В0 множеством 0гот представляют собой относительно замкнутые подобласти &" с С] , j = О, I, 2, ..., так что при п.в. ) относительные границы б"]" = л вместе с относительной границей б!Г=Ь0ЛЪ&!Г

свлзсш и расположены на сфере ' Б(а,гт~) , где а - неко-тора-т точка на гращше оВ0 ядра 3)с , а последовательность ради;,'сов {, монотонно убывая, стремится к нулю при т -*■ со ,

Т£0?Е.!Л 3.8.3. Если последовательность областей ©»(Ю^^ глкткондорыно в среднем эквивалентна шару, то множество главных точек св любого простого п - конца еп непусто, и для произ-

вольно выбранной главной точки о. s I е " I найдется п - фундаментальная последовательность множеств ве", обладающая свойствами:

(1) каждый относительный континуум Ama(Aj")jtt вместе с соответствующим ему в ядре D0 множеством А™ представляют собой относительно замкнутые подобласти AJ1 ^ Dj » j = 0,1,2,..., так, что для п.в. J относительные границы б"]" = Б j Л Ъ А ™ вместо с относительной границей tf™ » В0ЛйА™ связны и расположены на сфере Sn~i(<xtrrn) , при этом последовательность радиусов

{rm} m ., строго убывая, стремится к нулю при m оо ;

(2) для любой п - фундаментальной последовательности множеств {Е5*}^ € G" тлеет место включение {Ек1|с{Ат} , т.о.

к ¿гуд о е множество Ат содср::сит п.в. множества с.k .

В случае размерности пространства п = 2. теорема 3.3.3 дает геометрическое описание простого конца последовательности плоских односвязных областей. Оно более наглядно, чем соответствующее описание Г.Д. Суворова, где при каждом m среди сечений С .т областей Dj , j = О, I, 2, ... , круговым является лишь"сечение б? ядра ])в .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ диссертации

1. Кругликов В.И. Об одном характеристическом свойство отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН СССР. - 1976. - 228, Л 5. - С. IÛ3I-I033.

2. Кругликов В.И. Отображения, квазиконформные в среднем // Докл. АН СССР. - 1985. - 283, Л 6. - С. I30S-I3II.

3. Кругликов Б.И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Матем. сборник. - 1986. -130, Л 2. - С. 185-206.

4. Кругликов В.И. Емкости конденсаторов и простые концы последовательности пространственных областей. - Киев, 1986. - 48 с. -(Препринт / АН УССР. Ин-т математик:!, 86-60).

5. Кругликов В.И. Структура носителя просто! . конца пространственной области // Дс-л. АН УССР. Сзр. А. - 198?. - И 3. - С. 19-22.

6. Кругликов В.И. Кольцевое определение средних отклонений и отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН УСС?. Сер. А.--IS37. - В 9. - С. 21-23.

7. Кругликоз В.И. Простые концы пространственных областей с переменными границами // Докл. Ж СССР. - 1987. - 2S7, й 5. -

С. 1047-1050.

8. Кругликов В.И., Пайков В.И. Емкости и простые концы простран-стзешой области // Докл. АН УССР. Сер. А.. - 1987. - & 5. -С. 10-13.

9. Кругликов В.И. Отображения, квазиконформные в среднем // Вши. Сиб.- гагем. об-ва. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. - 1990. - Вып. 2. - С. 30-33.

10. Kruclikov V.I. Capacities and clappings quasiconfomal in the siaan // Potential Theory. Proceeding of the International Corxf. on Potential Theory, Natjoya(Japan), Aug.20-Sept.4, 1990..-Berlin-New Xork: W de G.- 1991.- S. 225-227.