Емкости конденсаторов и отображения с искажением, ограниченным в среднем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

- 7 !!!01! 1Я93 ам»"*1 ^ УКРАИШ.

ИНЗТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ АН УКРАИШ

На оравах рукописи

РОРЧУК СВЕТЛАНА ШОАЮЮВНА

ЕМКОСТИ КО1ЩЁШАТОРО0 Л ОТОБРАЖЕНИЯ С ИСКАЖЕНИЕМ, ОГРАНИЧЕНИИ! В СРЕДНЕМ

01.01.01 - иатематичаский анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой оташши кандидата фязико - математических наук

Донецк -1992

Работа выполнена на секции прикладного анализа Донецкого государственного университета

Научный руководитель: кандидат фиэ.-мат. наук, доцент Кругликов В.И.

Официальные оппоненты» доктор фиа.-мат. наук, про}. Гавридов В.И.

кандидат фаз.-мат. наук, о.н.о. МаЙмескул В,В*

Ведущая органивация: Институт математики СО АН Росоин

Зашита ооотоитоя (люНЗ. , 1993. г. в -/6 часов

на заседании специализированного Совета К 016.46.01 в Институте прикладной математики и механики АН Умаяны по адресу? 340114, г.Донецк-114, ул.Рози Люксембург, дом 74

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИНММ АН У|фаины.

Автореферат разослан " " ЛЮй 199-3 г.

Ученый со!фетерь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие пространственного гоыесморфно-го квазиконформного отображения было введено М.А.Лав1«нтьевым в 1938 г. Интенсивное развитие теории таких отображений приходится на конец 50-х и начало 60-х годов. В ето время в работах Ю.Вяйсяля, Ф.Геринга, Б.В.Шабата и др. создается один из основных методов исследования свойств квазиконформных отображений , суть которого заключается в характеристическом свойстве кваэи-инвариантности конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых или поверхностей при квазиконформных преобразованиях пространственных областей. Систематическому применению втого геометрического метода при построении теории пространственных квазиконформных отображений и некоторых ее приложений посвящены монографии Ю.Вяйсяля,. Ф.Геринга, В.М.Гольдштейна и Ю.Г.Решетня-ка, А.В.Сычева „

В 60-е годы, наряду с продолжающимся развитаем теории квазиконформных отображений, начинается и систематическое изучение негомеоморфных квазиконформных отображений в пространстве

Ъ (называемых также отображениями с ограниченным искажением). Аналитические методы исследований свойств таких ото -Сражений были разработаны Ю.Г.Решетняком, а геометрические (вы-ражашие собой, как и в случае квазиконформных отображений,свойства': ;Квазиинпавкантности конформных инвариантов) были предложены Ю.Вяйсяля, О.Мартио, С.РикМаном, Е.Полецким .

Естественным обобщением квазиконформных отображений явля-втся гомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем. При аналитическом определении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения . Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, рас -сматривались в работах Л.Альфорса, П.П.Белинского, В.И.Гаври -лова, В.А.Зорича, С.Л.Крушкаля, В.С.Кудьявина, В.М.Миклякова, И.Н.Песина, Ю.Г.Решетняка, Ю.Ф.Стругова, Г.Д.фворова и других авторов .

Общие геометрические методы исследования свойств гомеоморф-нЫх отображений, квазиконформных в среднем, были разработаны и систематически применялись, начиная с 1976 года, в ряде статей В.И.Кругликова. Эти методы отражают законы искажения емкостей

А

конденсаторов при таких отображениях и по своей значимости они подобны соответствующим геометрическим методам в теории квазиконформных отображений ,

В настоящее время теория гонеоморфных отображений» квазиконформных в средкем, опираясь на геометрические метода, продолжает свое достаточно интенсивное развитие .

Для негомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем,, первые попытки систематического исследования йх свойств при помощи геометрических методов были предприняты в работах В.Й.Круг-ликова и В.И.ПаЯкова, А.Н.Малютиной и А.В.Сычева. В то же время следует отметить, что до сих пор не было получено завершающих результатов как при описании геометрического метода, так ив вопросах его применений к изучению свойств таких отображений .

Сказанное диктует необходимость развития общей теории негомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем (называемых еще отображениями с искажением, ограниченным в среднем) и разработки общих геометрических методов исследования свойств таких отображений .

Цель работе. Главная цель диссертации заключается в разработке общего геометрического метода исследования свойств отображений с искажением, ограниченным я средней, с последующей иллюстрацией возможности его систематического применения для полу -чения разнообразных конкретных свойств таких отображений.

Методика исследования. Широко используются общие свойства ' емкостей конденсаторов, методы современной теории функций действительного переменного и теории непрерывных отображений, приемы и методы теории .квазиконформных отображений и отображений, квазиконформных в среднем, а также метод, основанный fía предлагаемых в работе законах преобразования емкостей при отображениях с искажением, ограниченным в среднем.

Научная новизна. В работе описаны, характеристический законы преобразования емкостей конденсаторов при отображениях с искажением, ограниченным в среднем,.представляющие собой здесь основной метод исследований свойств таких отображений. При помощи етого метода установлено свойство инвариантности множеств нулевой лебеговой меры; указана оценка искажения расстояний; получено свойство полунепрерывности интегральных средних отклонений отображений; исследован ряд условий возможности непрерывного продолжения отображений на границу и др..

Практическая ценность. Результаты и методы, изложенные.в работе, могут быть использованы при исследовании аналитических, иетрико-гесметричесних и топологических свойств отображений с обобщенными производными первого порядка, а также в различных теоретических и прикладных задачах, где находит приложение теория квазиконформных отображений и их обобщений.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на Республиканском совещании-семинаре по комплексному анализу и прикладным задачам управления (Алушта, 1989 г.), на Реегубликанской научно-методической конференции по математике, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, 1992 г.), а также на научных семинарах в Институте математики СО АН России (Новосибирск, 1991 г.), в Институте математики АН Украины (Киев, 1991 г.), Институте щзи кладкой математики и механики АН Украины (Донецк, 1988-1990 гг.), Московском государственном университете (1990 г.). Полностьо результаты диссертации излагались в 1988-92 гг. на семинаре по отображениям с обобщенными производными в Донецком государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в б работах, списком которых завершается автореферат. Две из стих работ огубликованы совместно с научным руководителем .

Структура и обгбм ллссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава имеет своп нумерации параграфов, некоторые из которых разбиты на гункты . Для утверждений типа лемма, теорема, замечание и т.п. в работе принята тройная нумерация (глава, параграф, порядковый Номер) . Так, например, утверждение типа теорема 1.4.2 является второй теоремой в 5 4 главы I. В список литературы включены лишь те губликации, на которые имеется ссылка в тексте . Обший объеи диссертации - 121 страница, библиография - 70 наименований .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Всерассуждения в работе проводятся в п -мерном евклидовом пространстве Rn при П v 3 . Они применимы также и в случае размерности пространства п - 2. , при в том многие доказательства могут быть, значительно упрощены .

В работе рассматривался только ограниченные отображения £ .' В -»-I?" ограниченных областей Б с Относительно пос-дедовате-тьностей ( ^ ) ^ отображений ^ ■' О / и

последовательностей областей всегда предполагает-

ся их равномерная ограниченность (даже если вто не оговаривается порога специально).

Переходя к кратки^ обсуждению содержания диссертации, будем использоват: общепринятые в теории квазиконформных отобра -жений обозначения и терминологию.

В первой главе, исходя из понятия -емкости конденсатора, нами описывается геометрический метод исследования свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем, который выражает собой законы преобразования емкостей конденсаторов при таких отображениях .

Изложение главы I ведется, опираясь на содержание работ [2],

[4].

Под конденсатором здесь мы понимаем пару ( Е ,С) , где с - номпактное, а & - открытое множество в Й" и ЕсС. Его оС -емкостью (три 1 <об < п ) называют величину

сар^ (Е,С) = !л|

&

где точная нижняя грань берется по всем непрерывным <4СЬ функциям у : & 1] , рапным единице на Е и имеющим

компактный носитель, расположенный в Ог .

Предваряя изучение отображений с искажением, ограниченным в среднем, в 5 2 первой главы рассматриваются два вспомогательных класса отображений, каждый из которых определяется соответствующим специальным законом изменения емкостей конденсаторов . Для формулировки определений отих 1 лассов напомним в цукной нам форме понятие квазиаддитивной функции множества .

Неотрицательную функцию Ф , заданную на открытых множе -стпах & из некоторой области О , конечную, если 5 с I) называют квазиаддитивной, если для каждого открытого множества

С с С и для любого конечного набора {£¿1^ = 1,2,. .,,

непересекающихся открытых множеств С; с С , и , . * - , к ,

рыголняатся неравенство Я-Т^ч) 4 ФСС).

Определение 1.2.1. Скажем, что отображение ( : £)■-+■ прик&длзвит классу О , гда 1/СП-х) ^ <•' «-со , если

| - ограниченное напрерывное сохраняющее ориентацию открытое изолированное отображение такое, что существует конечная кваэи-адаитивноя функция ф^ , заданная на открытых множествах из С так, что для всякого конденсатора ( £ ) , лежащего в I) , выполняется Неравенство

Определение I.2.2. Будем говорить, что отображение ^ ! С Р" принадлежит Классу О. (1>) , где 1/(г\-1) 4 £,<+са , если | - ограниченное непрерывное сохранявшее ориентацию открытое изолированное отображение такое, что существует конечная квазиаддитивная функция <4^ , заданная на открытых множествах из 23 так, что для всякого нормального конденсатора (Е,С) из I) выполняется неравенство

СаС+о^> сар* (1(Е). №)) •

Из общих свойств отображений выделенных классов изучаются, например, дифференциальные свойства и свойства, характеризующие инвариантность множеств нулевой лебеговой меры при таких отобра-сениях. Классы СЗТ^СВ) и 00^,(0 играют существенную роль при исследовании свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем .

Аналитическое описание класса отображений с искажением , ограниченным в средней таково .

Определение 1.3.1. Для произвольно заданных параметров р, > п- I отображение / .' В ->12" будем называть отображением с искажением, ограниченным в (р><^) - среднем, если { является ограниченным непрерывным сохраняющим ориентацию открытым изолированным отображением класса ЛС^'Ч-О) и таким, что ко -нечны интегралы

ь

3) 01

где величины (г,П,Н0(зг,|) и означают, соответст -

венно, внутреннее и внешнее аналитические отклонения и якобиан отображения р , определенные для п»в. точек хе-С.

В качестве первых свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем, вытекающих непосредственно из определения 1.3.1, отметим, гто такие отображения дифференцируемы п.в,, абсолютно непрерывны в смысле Банаха и для них справедлива классическая формула замены переменных в интеграле .

Желая получить описание геометрической природы отображений с искажением, ограниченным в среднем, нами в } 4 устанавливаются следующие законы изменения емкостей конденсаторов при таких отображениях .

Теорема 1.4.1» Если { : О Я0, - отображение с искажением, ограниченным в (р,^) - среднем, те для любого нормального конденсатора ( Е ,0) иэ Е) , справедливо неравенство

где, как обычно, через 6| обозначается множество точек ветвления } .

Теорема 1.4,2. Если { : X) Й" - отображение с искажением, ограниченным в (р Д) - среднем, то для всякого конденсатора С Е , й ), лежащего в Г) , выполняется неравенство

с а/4* (?(Е),?(£))* Г сарРп(Е,0) .

рп'ер4> СЧЕОв/)

Главным результатом первой главы является доказательство факта обратимости етих законов, который выражает приводимая в заключительном 5 5 первой главы основная

Теорема 1.5,1« Цусть { : £)-+£>п - ограниченное негре ^ рывное сохраняющее ориентацию открытое изолированное отображение и р , с^ > п ~1 - параметры. Следующие условия еквивалентны

(1) ( е м конечны интегралы

1и}р(х,Ш(т,()с1х п ;

и I)

(2) I е (НрО)) и £едО«>(В).

Используя в ту теорему, нами предлагается следующее геометрическое описание отображений с искажением, ограниченным в сред-, нем*

Определение 1.5,1, Ограниченное непрерывное сохраняющее ориентацию открыто^ изолированное отображение / ! Г) -*■ йп называется отображением с искажением, ограниченным в Ср,Ч) -среднем (где р, > п-1 ), если существует пара конечных квазиаддитавных фикций Фр и открытого множества

О- С 3) таких, что выполнены два емкостных неравенства

< саррп{Е,с;

и

в первом из которых догу скаются произвольные конденсаторы, а во втором - только нормальные конденсаторы ( Е ,С) из I) .

Заканчивая обсуждение результатов главы I, следует отметить, что законы преобразования емкостей конденсаторов при'отображениях с искажением, ограниченным в среднем, описываемые теоремами 1.4,1 и 1.4,2, а также определением 1.5.1, представляют собой основной инструмент в Дальнейших наших исследованиях различных свойств отображений. Они играют здесь тацув до роль, какую в теории квазиконформных отображений и отображений с ограниченным искажением играет свойство квазиинвариантности конформной емкости конденсатора. В случае отображений, квазиконформных в сред -нем, (гомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем) такие законы были получены В.И.Кругликовым , .

Иллюстрации применения етого геометрического метода и посвящена вторая глава работы. В втой главе изучается ряд свойств

отображений с искажением, ограниченным в среднем. В частности, доказывается справедливость свойства инвариантности множеств нулевой (лебеговой) меры, указывается оценка искажения евклидовых расстояний, устанавливается свойство полунепрерывности'интегральных средних от аналитических отклонений отображений, рассма -триьаются некоторые граничные свойства и др.

Основные результаты вТой главы содержатся в работах (1 ] , ШЗ],[51.

В 5 I данной главы исследуется вог^ос об инвариантности множеств плевой (лебеговой) меры и показывается (теорема 2.1.IX что для всякого отображения ( : В с искажением, огра-

ниченным в среднем, множество А с I) имеет меру цуль тогда и только тогда, когда таковым является множество ^ (А ) .0 использованием втой теоремы выводится, что для изучаемых отображений как само множество точек ветвления В } , так и его образ ) имеют Нулевую лебегову меру (теорема 2,1,2),

Характеризуя методику доказательства результатов етого параграфа, следует отметить, что если наличие N -свойства у отображений с искажением, ограниченным в среднем, является следствием известной аналитической теоремы Ю.Г.Решетняка, то уже доказательство Л/""1 -свойства таких отображений проводится, опираясь только на разработанный в главе I геометрический метод, и нам неизвестно другого (в частности, аналитического) способа доказательства етого факта .

В 5 2 приводится еще одно еквивалентнов геометрическое описание класса отображений с искажением, ограниченным в среднем (определение 2,2,1), заключающееся в уточнении свойств квазиаддитивных функций, участвующих б цитированном выше определении 1,5.1, а именно, показывается, что ети функции можно выбирать абсолютно непрерывными так, что функция Фр абсолютно непрерывна относительно открытого множества С с С , а Ч^. - относительно его образа при отображении

Бае одним следствием применения законов преобразования емкостей служит приводимая в 4 3 оценка искажения евклидовых расстояний.

Теорема 2.3,1. Пусть ( : -О - отображение о иска-

жением, ограниченным в (р - среднем, и рсС' - произвольный компакт. Тогда для люйой пары точек й,() £ Р , удов-

летворяших условию |а - 61 < 5 , где 8 £ шел { 1, ЭЫ^, справедлива оценка

| - {Ш * А [<РР№>Г /|а-Ы ) ,

в которой фр(С)= [ НхСх,{)Кх,{)о1х,а постоянная А зависит ®

только от п и р .

Эта оценка точна по поряди степзни у логарифма и устанавливается по методике, разработанной В.И.Кругликовым. В частном случае плоскости и без использования емкостной техники оценка искажения расстояний для некоторых классов гомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем, была получена В.И.Гавриловны, Г.Д.Суворовым, Ж.Лелон-Ферран .

Непосредственно из теоремы 2.3.1 легко выводятся свойства равностепенной равномерной непрерывности и нормальности семейства рассматриваемых нами отображений (следствия 2.3.1 и 2.3.2).

Исходя из геометрического определения 1.5.1, нами вводятся новые геометрические понятия средних отклонений отображений.

Пусть { : О К!п - ограниченное непрерывное сохраняющей ориентацию открытое изолированное отображение. Фиксируя произвольно параметры р > п - I , свяжем с этим отображением его внутреннее р -среднее и внешнее ^ -среднее, отклонения, понимая под ними, соответственно, функции <рр(7,&) и 4-^(7,0) . открытого множества & с: Е) , определяемые равенствами

ФР(ш='1л£{фР(с)} и чу/.о-гл^ч^},

где точная нижняя грань берется соответственно по всем квазиад-дитавным функциям фр и , для которых выполняются нера-

венства

ФрСВ)сар'(Е,В)

и

в первом из которых допекаются произвольно конденсаторы, а во втором - только нормальные конденсаторы (Ё,0 из С .

Аналитическую характеристик средних отклонений ФР(/,0 и Ч^ ((, являющиеся квазиаддитивными функциями, выражает Теорема 2.4.1. В случае конечности функций фрС/Д) и , на любом открытом множестве С СТ> справедливы

■. равенства'

_ С ; " 6.:;.-

Отметим адесь, что для гоыеоыорфиых отображений, квазиконформных в среднем, Б.И.Кругликовьш были да(» другие понятия средних отклонэкий.отличающиеся от приводимых нами, однако их аналитические характеристики одинаковы в идейном смысле с теоремой 2.4Л,-..

Более подробно остановимся на связи интегральных средних отклонений равномерно сходящейся последовательности отображений с

искажением, ограниченным в среднем, С {и ее гре дельно го

отображения ( . Эта ¡связь выражается в 5 5 гри помощи четырех Теорем, одну из которых мы прнводимнике .

Теорема 2.5,2. Цусть последовательность областей (

сходится к области Х> как к ядру, а последовательность (^

отображений ^ : ->- Я " с искажением, ограниченным в ( р,1) -среднем, равномерно сходится внутри области -О к открытоцу изолированно^ отображение Яп , невирокденно дифференцируемого п.в. в Б . Тогда сграведливы неравенства

[ .НХР(#,1 * Шп ]й^г, МЯх, (¿¿х

. а ■■;•.■;■ а, ■

Щ.

Одним из следствий:втой теоремы является изучение вопроса о замкнутости класса отображений с искажением, ограниченным в среднем (теорема. 2.5,5).

Доказательства всех утверждений из 5 5 опираются на геометрический метод исследования свойств отображений с искажением,ограниченным в среднем. .Полученные здесь результату (в частности, теоремы 2.5.2 и 2.5.5) содержат в себе в хачестве частного случая соответствующие результаты Ю.Ф.Стругова, Г.Д.Суворова, Ж.Лелон-Ферран я др., доказанные аналитически для некоторых видов интегральных средних отклонений гомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем .

Наконец, последний-5 б второй главы посвящен выяснению условий граничного расширения для отображений с искажением, ограниченным в среднем .

. Не том параграфе нами используется более широкое, чём в главе I, понятие <£ -емкости конденсатора, понимая далее под кондак-сатором тройку иножеств_( F-á,J>); , где I) - ограниченная область, a F ° 1 с j> - ттресвквтиося коыттте иножв-ства в замыкании U , Éra <¿ -емкость при i ^ d < П определяется равенством

сар^ (F'1F\.D')^Ít¡f. j ivywfcfx,' ■■

;»

в котором точная нтшш? грань берется по всем неотрицательным непрерывным А С L -функциям ф : 3) R1 такин, что при для всех Xj £ FJ , j ±0,1.

Опираясь На ото понятие, мы устанавливаем законы преобра -зования емкостей конденсаторов в замкнутых областях при отображении с искажением, ограниченным в среднем (теоремы 2.6.1 и 2.6.2) с пос^едующ!Е1 применением их к вопросу продолжений ото -братания на границу области.

Чтобы сформулировать теорему о граничном расширении, намя вводится следующая характеристика гршшчноЯ точки. Эта характеристика является обобщением условия квазиконформной -достижимости области в гра1Шчной точке в терминологии рабои Р.НяккП, В.Сребро. . .

Определение 2.6.1. Граничная точка S-e ЭЙ области D обладает свойством сС -нэвырожденности в D (гдэ n-i < »(. ¿ í п ), если для произвольно заданной окрестности ©той

ючщ! и всякого континуума ^ с 1)\ I/ найдутся число >0 и окрестность V точки 6, V" с и так, что для любого континуума £ из О , Пересе кашего одновременно границы Э V и ЭУ окрестностей V и V , выполняется неравенство

Следующее утверждение распространяет на отображении с искажением, ограниченным в среднем, соответствующий результат В,Сребро, доказанный для сдучая отображений с ограниченным искажением.

Теорема 2.6.3. фсть | : I) Rn- отображение с искажением, ограниченным в (Р , ^) -среднем, такое, что СТ^.ЭВ") сг 3/(1)} , Если область В локально связна в граничной точке 6 е Э В и точка у из предельного множества С ( (,£) обладает свойством -невырожденности в С - 1(1)) при любом п-X об 4 рп/(р+1) , то С ((, I) = { у} .

В 5 6 намечены также гути дальнейшего изучения граничных свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своецу научному руководителю Виктору Ивановичу Крутикову за постановку задач и постоянную помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борчук С»М, 0 замкнутости класса отображений с искажением, ограниченным в среднем. - Донецк: Донец, уи-т, 1990. - 28с. (Рукопись деп, в УкрНИИНТИ, № 1493 - Ук 90).

2. Ворчук С.Ы. О полунепрерывности интегральных средних отклонений пространственных отображений. - Донецк: Донец, ун-т, 1991. - 4? с. (рукопись деп. в УкрНШТШ, № 43 - Ук91).

3. Борчук С.М. Преобразование емкостей и граничное продолжение для отображений с искажением, ограниченным в среднем. - Донец, ун-т, 1991, - 27 с. (рукопись деп. в УкрНИИНТИ, » 715 - Ук91).

4. Ворцук С.М., Кругликов В.И, Отображения с искажением, ограниченным в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1988. - № II.

С.3-5.

5< Ворцук С.Ы., Кругликов В.И. Сходящиеся последовательности отображений с искажением, ограниченным в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1990, - » 10. - С.б-9.

Попп. в печать 23.04.93

формат 60x84/16. Бум. типогр. Офс. печать

Усл. печ. л. 0,7а Заказ 1071. 100 о«з.

Ротапринт ИЭП АН Украины. 34004В, г. Донецк, ул. Университетская,77.