Метод симметризации в геометрической теории функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ИАШАЗИКЙ

На правах рукописи Дубинин Владимир Николаевич

удк 517.54

метод сишЕвдации

В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-иатематаческих наук

Новосибирск - 1988

Работа выполнена на кафедре математического анализа Дальневосточного государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Я.Гутляксккй,

доктор физико-математических наук, профессор С.Л.Круикаль,

доктор физико-математических наук, профессор П.И.Тамразов

Ведущая организация; Ленинградское отделение Математического института АН СССР им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится "_в "Э8

года в _ часов на заседании специализированного совета

,Д 002.23.02 при Институте математика СО АН СССР по адресу; 630090, Новосибирск 90, Университетский проспект.

С диссертацией мокко ознакомиться э библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект, 4, -

Автореферат разослан " " ■ ■ 198 г.

Учений секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

В.С.Белоаосов

ОБЩАЯ ХШКЗЕРИСША РАБОТЫ

Актуальность теин. Диссертация посвящена развитии метода симметризации и, на этой основе, решению ряда экстремальных задач» связанных с основными направлениями исследований по геометрической теории функций комплексного переменного.

Хорошо известна важная роль геометрической теории функций как в теории функций вообще, так и в многочисленных ее приложениях. Возникшая в начале века в работах П.Кёбе, Т.Гро-нуолла, Л.Бибербаха, Г.Фабера и получившая затем свои очертания благодаря исследованиям К.Дёвнера, М.А.Лаврентьева. Г. Грёча, М.Шиффера,.Г.Ы*Голузина и др., эта область математики интенсивно развивается в настоящее время. Значительный вклад в геометрическую теорий функций внесли советские математики И.¿Лаврентьев, Г.М.Голузин, П.П.Куфарев, И.Е.Базиле-вич, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, П.П.Белинский, И.А.Александров, П.Ы.Тамразов, Й.П.Митюк, В.Я.Гутлянский, С.Л.Крушкзль, Г.В. Кузьмина и мн. др. Основными методами геометрической теории функций являются: метод площадей, параметрический метод, вариационные методы и метод экстремальных метрик.

Начиная с 50-х годов бурное 'развитие получил метод симметризации. По-существу как метод он сформировался в работах Г.Полиа, Г.Сегё til, У.Хеймана 121 и Еа.Даенкияеа 131. Суть метода состоит в открытии и систематическом использовании принципов симметризации, т.е. свойств функций, мнокеств и конденсаторов, а такге других объектов при некоторых геометрических преобразованиях этих объектов в симметричные. Оцен- / ка менее доступных величин (например, емкости множества,. конденсатора) в терминах^более доступных (длины, площади) -одна из основных особенностей метода симметризации. 3*0 т метод почти с равной степенью трудности применяется как для однолистных, так и для более общих классов функций Í2, 31. Эффективным оказывается сочетание метода симметризации с другими методами теории функций й приложениях к задачам, до-торыэ не удавалось рекить никакими другими способами £33. Многочисленные приложения метода еимяетрйзац1и в геометрической теории функций приводятся в иособйя й.Я.Иитюка Ш. Отметим также, что метод симметризации применяется при язуче-

S

кии свойств пространственных отображений с ограниченный искажением. Развитие метода симметризации происходит по следовали направлениям: конструирование и исследование новых способов симметризации (Г.Полиа, Г.Сегё, М.Маркус, 11 .П.Ми-тюк, К.Бэндл, П.Ы.Тамразов и др.)» доказательство новых, более глубоких свойств уже известных способов симметризации, а также расширение приложений метода симметризации (Г.Полиа, Г.Сегё, У.ХеЙман, Дк.Дженкинс, П.Гарабедян, Т.Ку-бо, Я.Кшиж, И.П.Митюк, КДалисте, А.БернстаЙн, М.Эссен," Д.Пи, А.Вайтсман и ыя. др.). Параллельно и, как правило, по аналогии развиваются приемы симметризации в я -мерном евклидовом пространстве (Г.Полиа, Г.Сегё, Б.В.Йабат, Ф.Геринг, Д.Пфальцграфф, Маркус, К.Бэндл, Г.Д.Мостов, Б.Е.Левицкий, Ю.Сарвас, А.Бернстайн, М.Эссен и др.). С середины 70-х годов основное внимание уделяется направлению, связанному с изучением свойств субгармонических функций при круговой симметризации. Начало этому направлению положено в замечатепь-!юй работе А.Бернстайна 151. Вместе с тем обозначился круг проблем и принципиально вааных нерешенных задач, требующих совершенствования способов симметризации. Укажем на следующие взаимосвязанные проблемы; недостаточная гибкость метода (известные способы симметризации осуществляют симметризацию "в целом", что приводит к стиранию ряда особенностей), ограниченный запас видов симметрии, кпорции мояет обладать возможная экстремальная функция, отсутствие универсальных приемов симметризации, позволяющих конструировать новые преобразования. Эти общие проблемы нашли свое отражение в известных задачах Г.Полиа, Г.Сегё, У.Хеймана, А,А.Гончара и др. О сложности и существенности возникших проолем говорит тот факт, что решение их требует, как правило, разработки новых методов исследований СбЗ.

Цель работы. Развить метод симметризации в направлении решения указанных выше общих проблем. Поставленную задачу осуществить, главным обрпзом, путем совершенствования известных и построения новых способов симметризации. Новые методы проверить на классических проблемах геометрической теории функций, а также на современных нерешенных задачах, связанных с симметризацией. По возможности упростить техни-

ку доказательства основных результатов и тем самым приблизить метод симметризации к более широкому кругу специалистов.

Методика исследований. Основным инструментом при доказательстве принципов симметризации являются преобразования вещественнозначных функций» Некоторые из этих преобразований содержат известные равной змершше перестановки, другие -введены впервые. При получении результатов используются методы теории функций к теории потенциала.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые способы симметризации, которые привели к решению некоторых поставленных ранее задач, а также к новым приложениям в теории функций. Отметим наиболее ванные результаты.

Получило развитие новое направление в теории симметризации - "кусочно-разделяющая симметризация". Тем самым существенно расширены границы применения обычных видов симметризации. В качестве примера такой симметризации введено разделяющее преобразование конденсаторов и областей, имеющее самостоятельный интерес. Изучены свойства этого преобразования и даны приложения к теоремам покрытия, искажения и задачам об экстремальном разбиении.

Даны точные оценки снизу для некоторых средних значений длин отрезков, расположенных под равными углами в образе круга или кольца при отображении ыероморфной и однолистной функцией с заданной нормировкой. В случае круга указанные оценки составляют новое решение классической задачи Г. Сегё, усиливающее предыдущие результаты такого рода.

Предлоаен новый способ применения симметризации Итей-нера и круговой симметризации функций.

Рассмотрен новый круг задач - о покрытии траекторий фиксированного квадратичного дифференциала семействами многосвязных областей. В качестве следствий из полученных теорем даны обобщения и уточнения соответствующих результатов М.А.Лаврентьева, Г.Ц.Голузина, Дк„Д~енкинса и других математиков.

Введено новое преобразован!.- - диссимметризация. Применение этого преобразования ведет к нетрадиционным оценкам

емкости конденсаторов. Рассматриваются некоторые прилоаения дасс:кзметризацш к изучении метрических свойств замкнутых 12КОЕССГВ, а такне к теоремам покрытия и искажения. Дана нова п информация о доведении линий уровня при конформной отображении.

Репена задача A.A.Гончара о гармонической мере.

Введено новое преобразование конденсаторов в пространстве - поляризация. Репены задача Ы.Вуорияена и пространственный аналог задачи А.А.Гончара о ыинииадьной емкости. .

Практическая ценность. Результаты и метода работы позволяют исследовать широкий круг задач в геометрической теории функций и могут быть использованы в теории потенциала, теории вероятностей, математической физике и их прилокёниях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Ыатеиа-тическоы институте АН СССР иц. В.А.Стеклова (руководитель -академик А.А,Гончар), ЖШ АН СССР (руководитель - д.ф.-м.н. Г.В.Кузьшна), Институте математики СО АН СССР (руководители семинаров: .академик Ю.Г.Реиетняк, д.ф.-м.н. С.Д.Крушкаль, д.$.~м.н. А.В.Сычев), Институте математики АН УССР (руководитель - д.ф.-ы,н. П.М.Тамразов), Институте прикладной математики и механики АН УССР (руководитель - д.ф.-а.я. В.Я. ¿утлянский). Отдельные результата работы докладывались на семинарах МГУ им. U.B.Ломоносова (руководителя семинаров: д.ф.-м.н. Б.В,Шабат, д.ф.-м»в. ВД.Эорич), аа Всесоюзной шсоле молодых ученцх комплексные метода в математической физике" (Донецк, 1984)» УД Кубанской школе по геометрической теории функций (Краснодар, 1985), а заказ неоднократно на семинарах Дальневосточного государственного университета.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях 114-211 в изданиях, входящих в установленный Ш список.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литература. Общий обьем -193 страницы, библиография - 212 наименований-

€

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Введение содержит краткое описание известных способов симметризации, предварительные сведения к обзор основных результатов диссертации.

В первых двух главах рассматривается кусочно-разделяо-щая симметризация конденсаторов и. областей и некоторые ее применения в геометрической теории функций комплексного переменного» Суть такой симметризации заключается в следующем: исйледуекый объект разбивается на части, которые конформно (антиконформно) отображаются на части специального вида; затеи из последних конструируются симметричные объекты либо путей склеивания, либо с помощь» известных способов симметризации (круговой, радиальной и др.)« Первые применения кусочно-разделяющей симметризации даны автором в середине семидесятых годов. Б дальнейшем этот способ симметризации получил существенное развитие 14, 14, 17, 18]. Отметин, что одна из разновидностей кусочно-разделяющей симметризации введена независимо китайским математиком Ч.Хэ, [71. С привлечением кусочно-разделяющей симметризации были получены результаты, которые не удавалось получить другими методами, В частности, реаена известная задача У.ХеГыана о покрытии вертикальных отрезков [83.

В первой главе диссертации вводится разделяющее преобразование конденсаторов и облаете!!. Это преобразование является простейпкм и, в то не время, вагньш примером кусочно-разделяющей симметризации. В §1.1 даны необходимые определения и доказаны теоремы о поведении емкости конденсатора 101 л внутреннего радиуса области г(В,0.) при этом преобразовании. Приведем здесь определения п.1.1.2^ Пчсть . С3(£0,£1)~ произвольный конденсатор в плоскости , Х)й,

,.,п односвязные попарно непересекающиеся области в , ограниченные конечным числом кусочно-гладких кривых и удовлетворяющие условии

з-о, I. .....а.

Пусть {рк1*„{ ~ некоторое сеиейстао функций е, а

конфоркко к однолистно отображающих области соответственно DK на правую полуплоскость Яе£>0 . Обозначим через

Е1" объединение множества рк(Ё-ПОк) с его отрааени-

еи относительно мнимой оси. результатом разделяющего преобразования конденсатора С=(Е0,Е^ относительно семейства

функций iназовем семейство конденсаторов {Ск)й_4г

состоящее из П симметричных конденсаторов CK=(E^1,£<iK>), Ksif...(n . Справедливо неравенство

icu^Eic,!. ш

Ml

Аналогично определяется разделяющее преобразование областей. Пусть ß> - произвольная область плоскости Q, ö -некоторая конечная точка области Е . Пусть J)x j k=it...tn,-

односвязяые попарно непересекающиеся области, ограниченные конечным числом кусочно-гладких кривых, причем точка (Це G 3DÄ , и является носителем только одного.гра-

ничного элемента для каздой области D« . Пусть {

некоторое семейство функций С sp^Ws , конформно и однолистно отобранаюищх области соответственно D« на правую полуплоскости Ree, > 0 так, что выполняются следующие асимптотические равенства:

Ip^-p/an - cjz-ai"**, 2-й,2еЛ„

Здесь СЛ, a* , K=si,..,,(it - некоторые положительные чне-

п о

ла и £<3^2. • Обозначим через ок объединение связной компоненты множества рЧЬПД,} , содержащей точкз ■

я ¡S К

ркШ) , с ее отражением относительно мнимой оси. Семейство симметричных областей { BJ^ назовем результатом разделяющего преобразования области В относительно семейства функций {PKi"sl » Справедливо неравенство

г (В,а) ШК&^с^/д

«1/1

(2)

В диссертации рассматриваются также другие определения разделявшего преобразования конденсаторов и областей, отличающиеся от предыдущих небольшими изменениями. Для э?пх преобразований доказываются неравенства вида (I), (2) и устанавливаются некоторые условия, при которых в указанных неравенствах имеет место знак равенства (теоремы 1.1 и 1.2) Валкость разделяющего преобразования заключается в том, что в ряде случаев оно позволяет задачу с заданным количеством параметров свести к задаче с меньшш числом параметров. Особенно эффективно сочетание разделяющего преобразования с другими способами симметризации. В параграфах 1,2-1.4 и 3.5 даны примеры таких приложений.

Пусть 9П„ - класс функций Ы- 1(21 , мероморфных и

однолистных з круге ив1з::Ш<П » нормированных условиями 1(0}=0, !'(0>г I . Б - подкласс регулярных функций класса . Обозначим через , } е (Й1„, расстояние

от пачала координат до йгаяайией граничной точки множества КШ » лежащей на луче ОЛЯ ~ <Р (если при данном Ф указанной точки не существует, то полагаем Л^?1» Значительную роль в исследованиях по геометрической теории функций сыграли вопросы покрытия и, в частности, классическая задача Г.Сегё о покрытии радиальных отрезков при конформном и однолистном отображении. Напомним, что задача Г. Сегё состоит в оценке снизу величины т&х Д. .(О+Кк/а),

В разное время этой задачей и ее обобщениями занимались Г. Полна, Г.Грёч, И.А.Лаврентьев и В.1!.Шепелев, Е.Ренгель, Г.Н.Голузин, Дк.Дненшшс, П.М.Тамразов и другие математики. Параграф 1.2 посвящен менее изученному направлению в данной проблеме, а именно, оценкам некоторых средних значений А*(в*2Як/п} • Заметим, что получение неравенств для (

является известной задачей Ц.Фекете. Зта задача и различные ее обобщения исследовались ъ работах Г„Сегё,, П.Маркуса, Д. Ахаронова и В.Кирзана, Н.Клейна, М.Зедека и др. Оценки снизу для средних значений Л^б^ЭДСк/п) ыокко рассматривать как комбинированную задачу Г.Сегё - И.феяеге. Решение такой задачи было известно ранее лишь в случае А й з (Х'.Се-гё5 Г.И.Голуэин„ Е.РаЙх я Н.Ииффер). Из неравенства (2) и классической теореш об 1/4 П.Кёбе-Л.Бибербаха нетрудно получить, что для любых 0 з П>. 2, выполняемся сценка -

а!—

П А (е*2жкм) ь им , ' (з)

к*4 1

Любопытно, что неравенство (3) содерят. многие известные утверадения о покрытии отрезкоз и площадей 19, 18]„ В §1.2 предлагается довольно общий подход к получению оценок такого рода. Центральной здесь является .теорема о покрытии точек (теорема 1.3). Выбирая надлежащим образом некоторые параметры в-формулировке этой георемы, мояно получить, в частности, различные утверждения о покрытии радиальных отрезков. Например, доказывается следующая

Теорема 1.5» Вели | а Шв . , то для любых 9 и п.» 2 выполняется неравенстве

[ | Z Л>+2«кЛ1)Г ♦ [ £ £ .

7 К* 4 Г

Заак равенства имеет место только для функций -

= 2 [ 1 ^«Г"-2)(еЛ)%(еЛ)г,'Г,й , где С - произвольная достоянная, удовлетворяющая условию7177$сй . Эта теорема усиливает классический результат Е.Рен-

геля.

В параграфе 1.3 получены аналогичные неравенства для функций, заданных б кольце. Пусть - класс функций

иГ = ^йх-» , мероморфных и однолистных в кольце К а {7,: 1 < 121 < Я } , для которых мнсгество |{Ю значений

f(2> в К лезли в области Ы\> i и которые отобракзэт округтаость iz¡ = i в окружность luíls.j, . Обозначим через Xj(9) расстояние от начала координат до ближайаей граничной точки мнокества М) , лежащей на луче oa£Juf=cP,

&о (если при данном Ф указанной точки не существует, то полагаем Х^(сР) = +«> ). Пусть Cr(Z;R) -

экстремальная функция Г.Греча, конформно и однолистно отображающая кольцо К на внеакость единичного круга с разре-

зоц w» P(RUGíR;R).

Теорема 1.7. Если , то для любых 9

справедливо неравенство

П [ ХЛ9тШ - х">*як/п)] ? (p(R")-i)/{p(fn,

KS1 т Г

за исключением, может быть, того случая, когда П = 1 и луч onguJ =S*5T , |uil»i целиком лежит в области НЮ. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

= G((cm"; Rrt) , где а - произвольная

постоянная, удовлетворяющая условии l«|=i.

Основным инструментом при доказательстве этой и аналогичных теорем является теорема I.I, симметризация Штейнера и радиально-усредняющее преобразование Маркуса. При n=i теорема 1.7 совпадает с результатом Г.Грёча. В случае п=2 . имееи небольшое уточнение классического результата о главной хорде. При n si известны более сильные неравенства Г.В.Куэьыиной и А.К.Бахтина. Для п^З теорема 1.7 является новой. Укажем, что теоремы этого параграфа мояно рассматривать как оценки гиперболического трансфинитного диаметра континуума.

Следует отметить .также, что результаты параграфов 1.2 и 1.3 могут быть обобщены и дополнены в различных направлениях. Такие обобщения получаются с одной стороны путем ввода новых параметров разделяющего преобразования, а с другой стороны - новых классов функций. Предложений метод позволяет, например, доказать утверждения, аналогичные теоре-

мам 1.5 и 1.7, но уже для ограниченных функций. Некоторые изменения способа симметризации ведут к результатам для р -листных функций. Обобщения для многодистных функций, заданных в многосвязных областях, вытекают из теорем И.П. Митска {4} об изменений внутреннего радиуса области и емкости конденсатора при регулярном отображении.

Параграф 1.4 посвящен приложениям разделяющего преобразования к задачам об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности. В адейном плане задачи со свободными полюсами восходят к работам П.М.Тамразова 1965 года. Приведем типичный результат.

Теорема 1.10. Для любых различных точек (1* , Кв1'|>>ма . лежащих на окружности 121 а I , и

любых попарно непересекающихся областей Х)л , а^бЦ^с , к»0,1,....п. (йс=0) . справедливо неравенство

в. .Ш*л а. .о

ППЦ».^ — У И)

Если, дополнительно, области !)< , Х »0,1,... , имеют классические функции Грина, то равенство в Ш достигается в том и только в том случав, когда области а точки

являются соответственно круговыми областями и полюсами квадратичного дифференциала

йсЫг

где Л - произвольная постоянная, удовлетворяющая условию |Л| = 1 .

Отметим, что при П = 2 и п. = 3 и д»: односвязных областей Рк неравенство (4) вытекает из соответствующих результатов Г.М.Голузана и Г.В.Кузьминой. В случае п > Ъ это неравенство новое даже для односвязных областей. Впервые задачи об экстремальном разбиении со свободными полисами на окружности рассматривались в работах Г.П.Бахтиной.

В диссертации мы ограничились лань некоторыми прииене-шями разделнщего преобразования. Многочисленные при до коми вытекают из сочетания этого преобразования с известны-ш способами симметризации, а также о конформными и квази-сонформными отображениями. Так, суперпозиция разделяющего феобразования, дробно-линейного отображения, круговой сим-(етризации и степенной функции содержит преобразования, [редложенные автором ранее а кандидатской диссертации. Этот » прием приводит к доказательству принципа "частичной сим-етризаций" Я.Хэ {?!. О применениях разделяющего преобразо-ания си. такне §3.5.

В главе 2 предлагается новый способ симметризации, в снове которого леяк* сшшетризация Птейнера. Произвольное аииетризационное преобразование получается разбиение« бъекта на части, конформный (антиконфорынш) отображением тих Частей в полосу и, затем, осуществлением сшшетриза-ии Штейнера. В целом такое преобразование монно рассматри-зть как симметризацию вдоль регулярных семейств кривих. эсгроенке конкретного преобразования зависит от решаемой здачи. В параграфе 2.2 дается пример такого преобразовали в процессе доказательства довольно общей теоремы 2.1. )рцалыю эта теорема является обобщением классического 5зультата Дж.Д*геякивса 0, с.|92$. По существу же она тес» связана с целым кругов задач о произведения степеней >нформных радиусов некалегаящих областей. Указанные зада-г. восходят к известкой работе И.А.Лаврентьева 1934 года и :еют богатую историю. Развитию этого направления способот-вали работы П.П.Куфарева, Г.Ц.Голузина, 3.Нехари, Н.А.Ле-дева, Г.Е.Аленицына, Й.П.Митюка, Г.В.Кузьминой и других теиатиков. Применение метода симметризации вносит новые пекты ¡171,

Теорема 2 Л. Пусть б - произвольная факсиро-нная область расаафенной комплексной плоскости ,

раниченная конечным (возможно, нулевым) числом простых икнутых аналитических кривых. Пусть 0«><1«* г- положи-льный квадратичный дифференциал на (* , регулярный *оо-, за исключением «п простых полюсов и Л полюсов второ-

го порядка, Q.lt...,SXn , в окрестностях которых в терминах Kei:oioporo локального параметра, изображающего йв как точку z = 0 , имеют место разложения

Qtz>dz«- ♦ ... )d*\

г-

ак>0, Ji»i,...,n ( п.2s. i , ma 0 , множество простцх полюсов монет бить пустым). Для ris2. , maO и G = С одновременно пусть G, и G3 - произвольные области, ограниченные одной и той же траекторией квадратичного дифференциала Qwçta^ . В остальных случаях пусть Q является внутренним замыканием круговых областей Glt...s G„ ,

соответствующих полюсам (Xit...,(XK,

Тогда для либых областей „

K = i,...,a , объединение которых содержит не более, чем конечное число замыканий ортогональных траекторий квадратичного дифференциала Q(z)dzi , справедливо неравенство

ПЫ^.а,/" « (5)

Ksi jtei

Если, дополнительно, области DK % k« I,...0 ¡ше-ют классические фунГдаш Грипа, то равенство в ¡£5) возмонно только в том случае, когда линяя уровня зтих функций состоят из замыканий траекторий квадратичного дифференциала

Q(z5dz4 . в частности» для односвязяых областей DK, к » 1,... , знак' равенства шеез место тогда и только тогда, когда D,j - GK » •

. Напомним, , что Да.Дзкенкигс получил неравенство (5) в предположении, что области Dt•»..., Da односгязяы и выполняются условия:

DK П Df « ф f Ы, кЛ - i,...,n, и

n

U 13 не содержит полюсов первого порядка. (б)

*«1 *

Из структуры траекторий квадратичного дифференциала Q(Z)dz.ä видно, что мы находимся в условиях теоремы 2Л, которая является, таким образом, уточнением и обобщенней результата Да.Днешсинса. Как известно, в ряде частных случаев удается найти точное выражение для правой части неравенства (5). Это обстоятельство, а также замена условий типа (6) на более слабые, приводит к обобщению и уточнению соответствующих результатов М.А.Лаврентьева, Г.М.Голузипа, П.П.Куфаре-ва и Д.Э.Фалес, Л.И.Колбиной я других математиков. Уточнения осуществляются по разным направлениям. Так, в ряде случаев, не имея полной информации об ортогональных траекториях квадратичного дифференциала, мокно указать зоны возможного налегания областей. Допускается их взаимное налегание на полюса первого порядка, Существенен тот факт, что теорема 2.1 дает некоторые результаты для произвольных мяогосвязных областей (не обязательно имеющих заполнение). Отсюда вытекают соответствующие обобщения на случай много-листных функций без дополнительных ограничений. Например, положив в теореме 2.1 dz1 и исполь-

зуя неравенство У.Хзймана £2, с.29] , получим, что известный. результат Г.!.!. Го Лузина 19, с.1651 имеет.место для произвольных мероиорфннх в круге функций (не только однолистных). „збопытно, что теорему 2.1 можю рассматривать тага» как обобщение другого круга задач, а именно,- некоторых теорем покрытия линий (случай asi ), Начало этому направлена» било положено в работе П.Ц.Тацразова в 1965 году. Теоремы покрытия линий содержат теоремы покрытия отрезков и, в частности, соответствующие результаты 'i.А.Лаврентьева - В. ¡Шепелева, Е.Реигеля и др. Ярилокояи-ш а-оремы 2Д посвящен §2,3.

Несмотря па своз общность, теоремя 2.1 далеко не исчерпывает возмоетостей кетсда ее доказательства. В параграфе 2.4- приводятся два утверждения, которые получаются липь при незначительном изменении отого доказательства. Одно из нях является обобщением известного результата

Э.Нехари, а другое наваако недгвдей работой Е.Г.Еиальннова. Оба утверждения можно рассматривать как теоремы покрытия траекторий объединением конечного числа многосвязных областей.

Указам , что для простоты изложения в приложениях теоремы 2.1 мы ограничились неравенством У.Хейаана {2, с.991, коворое является частным случаем результата И.П.Ыитвка 14, е.*} об изменении внутреннего радиуса области при регулярной отображении. Применение теоремы II ;П.Цитюка 14) совместное теоремой 2.1, а также теоремами §2.4, ведет к весьма общим утвервденаям о покрытии и о произведении степеней Внутренних радиусов нензлегавдих областей в терминах функт ций, заданных в произвольных многосвязных областях.

В третьей главе Вводится понятие диссимметризации и рассматриваются некоторые ее применения при ;,оказательот-8е метрических свойств замкнутых ыяояеетв, а также теорем покрытия и псканения. Приведем несколько простых определе-ний.Ияоавство вида Р * {г: в4< 0Я> на зове?.: углом величины \ с граничными лучами м£г*в1 и Ол^г«^.

Годара*» что система углов образует разбиение

Плоскости , если суммарная величина этих углов равна

1% и {¡Р * С, ■ Фиксируем натуральное число а . Произ-

м* * * * вольное множество шюокоог» йазовем симметричным, если оно зеркально снимет ричяооткосительно каадой прямой Н? »«1васр(«к/»)# - < » •¿К Х-1.....Л . Разбиение

ФС» будем называть симметричным, если объединение УР(

суть симметричноемнокесгво. Наконец, множество вида

1ояЗг*»*®1, Оив*Х, назовем симметричным пучком лучей. Перейдем теперь к непосредственному определению диссимыет-

риаадаш. Пусть - произвольное симметричное разби-

ение плоскости I* . Совокупность отобракений внда ^Шкгехр«^) < в, - действительное число),

, назовем диссимметризацией разбиения , если

выполняются следующие условия:

а) система углов { S,^ » к* I.....N.

образует разбиение плоскости €х »

б) если два угла SK и S^ имеют общий граничный

луч, то прообразы этого луча при отображениях в

принадлежат одному и тому ае симметричному пучку лучей. В параграфе 3.1 доказываются теоремы о существования

симметричных разбиений и дисскадетризаций I

с некоторыми наперед заданными свойствами. Пусть А - произвольное симметричное множество. Результатом диссимметря-зации мноавства А назовем множество

DisA« U АЛ(АПРЖ>

in

Для произвольного конденсатора С «{£в,Е4) , пластинв которого суть симметричные множества, определим конденсатор

ШО (DtsE0,Dis£4).

Имеет место следующий принцип диссиммстризации. Теорема 3.3. Справедливо неравенство

1СI * .

Если, дополнительно, конденсатор С имеет потенциальную функцию и поле конденсатора С связно, то знак равенства достигается в том и только в том случае, когда конденсатор

С совпадает с конденсатором DisC с точность» до поворота вокруг начала координат.

Аналогично определяется диесдаметризацая областей и доказывается теорема о поведении внутреннего радиуса области при диссимметризации (§3.2). Особенность диссииметриза-дии заключается в тон, что в отличие от известных симметри-зацвокных преобразований, в этом случае симметричный («экстремальный) конденсатор обладает большей емкость» ио срав-неяию с не симметричным. Это обстоятельство позволяет получать оценки с "другой стороны". Например, пусть 1 - эамк-

нуюе множество, лежацео «а единичной окружности, и пусть линейная нора Е равна t , 0«i«23t . Обозначим через Сар Б логарифмическую емкость множества Е . Метод круговой симметризации дает

сарЕ «& ¡хШ/к)

с равенством, когда £ есть дуга окружности. Следующую оценку сверху удалось получить благодаря введению в Ц5] понятия дисмщметризацки.

* "

Теорема 3.5 (К.Халисте [10]). Пусть Е =U (х:

ии

121 = 1, loncjz-2ltK/n| < l/lin)) , и пусть Ег -объединение и замкнутых дуг единичной окружности суммарной длины L Тогда

сарЕ б сарЕ%(ьш(№)Ш.

Знак равенства имеет место только в том случае, когда множество £ совпадает с £* с точностью до поворота вокруг начала координат.

Автором с помочью диссшшегризащш и некоторого уточнения принципа круговой симметризации функций решена следующая аадача А.А.Гончара о гармонической мере. Обозначим через Ds круг tzi<i с разрезами по отрезкам £л=|2:0ЛС|2а

Ci^rsuzisi}, IUl,„.,n IdsWi,...^), 0<r<i) . Пусть u)K-

л

гармоническая мера множества (j I относительно области DK в точке

Теорема 3,6. Справедливо, неравенство

где й*«(0,!Шг\,...,Шп-1)/п) . Знак равенства имеет место лииь в случае, когда область Da совпадает с с

точностью до поворота вокруг начала координат.

Это утверждение было высказано А.А.Гончаром в качестве гипотезы (в устной форме). Существующие методы исследо-

ваний ответа на поставленный вопрос не давали, вследствие чего 1J.Эссен представил эту задачу в известном.сборнике мере ценных проблем [И, с.5653. Реаение .задачи A.A.Гончара [I5J стимулировало появление диссишетризации» которая в свою очередь привела к решению новых задач [10, 19, 21L

В параграфах ЪЛ и 3.5 рассматриваются некоторые применения диссишетризации в теории однолистных функций. В 1982 году в связи с результатом (3) Й.Е.Баэилезич поставил следующий вопрос. Пусть |б1]1@ и пусть Aj(r„<?K

расстояние от начала координат до .ближайшей граничной хочет множества f(iz:izurj) , леаащей на луче ол^яф (если при данных f и Ф. указанной точки не существует, го полагаем Aj(sVP) я«-«» ). Справедливо ли неравенство

п

П клг,в+гх\ип\ » ra*rniîw, п§2 ?

Предполагаемая экстремальная функция j.-* lë^zf]

Утвердительный ответ да этот и аналогичные вопросы о покрытии радиальных отрезков содераигся в лемме 3,3» Пуств ФС^,...,^,^....!.^) - ве^естзеннозяачнзя функция, не убывающая по переменная Vg и однородная на ипохостяе 0, У^О, n» ¿»i,...,пг , точнее

ФСо^.-.^Л.....* «,Xn.4i.....Цт)

при всевозмоалых &>0 . Пусгь , |i»i,.„,fi,

фиксировашше действительные числа.

Лемма 3.3. Если в классе Ш0 выполняется неравенств

a it (7)

то для любого f „ Q«r«î 1 , и для любой функция fa ТОо справедливо таксе неравенство

<P(ty» <ir"ü*rnr: CS)

Знак равенства в <8) возможен только тогда, когда функция

HZ) = / 1(Чо) является экстремальной в (?).

Здесь pi - некоторое действигельное число, а функция

ï\(OWOr Ь'гЛО} *О, конформно и однолистно отоб-paases-круг iei^i иа круг №<1 с разрезами по отрезкам Crèocpittokin), mp(i2fkmiis

Для простота изложения в формулировке лешы 3.3 мы ограничились классом ЗП0 . Как следствие из теоремы 1.5 и леымн 3.3 вытекают точные оценки:

T j

n ** л n

Hz l(rM~«f ♦ IkZ r\2vrr\

*=s J ui !

где Î6ÎÎÎ0, 0<rc-i , nss 2, и 6 - любое действительное число. Результаты такого рода мокло рассматривать как новую информацию о поведении ланий уровня при конформном отображении круга. Аналогичные неравенства имеют место для ограниченных функций, заданных в кольце (теорема З.ГО).

Обозначим через Ш класс функций uJ= jiz) , ыеро-ыорфных и однолистных в единичном круге |х|< i . Следующая теорема искажения доказана в §3.5 путем последовательного применения диссимметризации, разделяющего преобразования (ул. I), круговой симметризации Г .Полна в радиалыю-усре длящего преобразования Ы.Маркуса.

Теорема 3.II. Пусть функция- принадлежит классу ОЛ 0 Г - действительное число, 0< Г < i , a Ц, ц Хк, К s ls...,n. - произвольные точки, удовлетворя-

ющие условиям:

12S! = Г, <Wg[(t(îy-!»£)/( iatbvf,)î s 2X£k-£Vn, K=i,,..,a. Тогда

Л

п toi

i - Г

Заак равенства имеет место для функций вида

i(»-vf„> «ЕЫе4®*

и, точек хк-г exp(i(8*2îrk/n)), к--.'.,...,п. , где Ô - вещественная, а С - произвольная постоянная, отличная от нуля.

Uosho показать, что при n-i теорема 3.II равносильна классической теореме К.Лёвнера-Р.Робинсона СЗ, с.1423 (без утверждения единственности), 3 случае п> 2 этот результат является по-видимому ковш»

В диссертацию не вопли другие применения диссимметряза-ции, которые кавеяны известными приложениями скмматркзацион-aux преобра званий CI] и тем самым как бы "лекат на поверхности"^ Например, из свойств дцсскмцетризации и результатов [•.Полна й Г.Сегё [I, с.126-1311 следует, что при диссишвт-зизации поперечного сечения однородного и изотропного упругого цилиндра кесткость кручения этого цилиндра не уменьиается, i основная частота однородной и однородно натянутой упругой гембрапа не увеличивается. Нетрудно рассмотреть поведение :ри д ^симметризации обобщенного интеграла Дирихле il, с.2703, i также аналог диссимметризации з пространстве больиего чйс-:а. измерений*

Б четвертой главе предлагается новый подход к изучении имметризационного преобразования В.Волонтиса {121, опреде-яехся новое преобразование - поляризация, конденсаторов в ространсгве, а такие приводятся доказательства некоторых

известных фактов и нерешенных задач, связанных с симметризацией, Пусть

Ksiz:z% A.Re&gQ}, К* {z: Z& A.fteua},

»0- ft

А «=■ MHOssCTBOj зеркально симметричное инокеству п относительно прямой Rte s к . Поляризацией конденсатора С.~

относительно прямой ftez.®& назовем переход от конденсатора С к конденсатору f^C s PCs (Р£„, Р£4), определенному следующим образом:

РЕе - ( EçUE* Г U{Е0ПЕ*)* f PEj.lE.UE^UiE^eîr,

8so преобразование конденсаторов (в несколько иной форме) встречается в работе. В.Волонтиса [121 » Там на приводится следующий результат

ICI » IPCI. (9)

Преддокенное в [121 доказательство неравенства (9.) опирается на связь -мекду экстремальны;,î расстоянием и "обобщенным потенциалом", подсказанную Л.Лльфорсом„ В.Волонекс использовал неравенство (9) для получения известного принципа круговой сим-меаризации Г.Полна. Отметим, что в последующих комментариях к работе {121, а также в других статьях по симметризации поляризация конденсаторов не упоминается. В §4Д дается, простое доказательство неравенства (9) и, кроме того, для конденсаторов, имеющих потенциальную функцию, устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых в этом неравенстве достигается знак равенства. Оказывается, поляризация конденсаторов порождается некоторой перестановкой (поляризацией) ве-вдственнозначных функций» которая вместе с принципом- Дирихле даег неравенство (9) ÏI6J. Новый интерес к поляризации возник в связи со следующей задачей А.А.Гончара о минимальной емкости. Пусть Cs(Ee5Et) - произвольный конденсатор,

пластины которого Е6 и Н4 расположены на отрезке С-1Д1. В 1569 году А.А.Гончар высказал предположение:

1С! * ЮС1 , (Ю)

где ОС = {СЕ0~ С-1,-1^глЕ0] ,

- линейная мера ЛеСега множества » ]я0,1 . Эта гипотеза вызвана некоторыми исследованиями по теории рациональной аппроксимации функций. Несмотря на естественную постановку задачи, доказательство яерзвенст- ' ва (Ю) встретило значительные трудности. Как Сило установлено позже 161, небольшое отклонение от условий задачи приводит к строгому неравенству в другую сторону. Тем не менее» задача А.А,Гончара имеет положительное реиевяе. Это реаение дано П.М.Таыразовым путем разработки нового метода.в теории потенциала 161« П.М.Таиразов С61 установил такие все случаи, при которых з неравенстве (10) достигается знак равенства. В диссертации приводятся более простое решение указанной задачи А.А.Гончара, основанное на последовательном применении поляризации (§4.2).

Предложенный в параграфе 4,1 метод исследования поляризации позволяет распространить это преобразование в пространство большего числа измерений. Так, в §4,3 вводится понятие по»

ляризации в пространстве Й"8 {<х,,...,хя)ИН , Л з» Д , аналогичное приведенному зыке случаи п.я% ,, только вместо пряной (кг«а необходимо взять гиперплоскость Х^л (1« 4в ц> . Обозначим через результат поляриза-

ция конденсатора С относительно гиперплоскости Х| » Л ; саРрС - р -емкость произвольного конденсатора С .

Теорема 4.3« Для любых I, а к рг I справедливо неравенство

соррС 5 сорДг"С.

Пусть £ ш Р « непус.ые компактние ниоаества в й* п® 2 . Обозначим через й(Е.Я) семейство всевозможных

кривых в Rn , соединяющих Е и F , МГ(М£,П) » п -иодуль семейства Д(Е,П , Непосредственное применение поляризации в пространстве доказывает следующую гипотезу М.Вуори-кека CI3, с.5011,

Теорема Пусть £ с I Я: «„><)}„ F с Хя«0)

и пусть F* - множество, симметричное множеству F относительно гиперплоскости Xr<s 0 . Тогда

МЙ(Д(Е,П) € МШЕ.Р*)}.

«а «4

Суперпозиции поляризаций относительно различных гиперплоскостей совместно с другими приемами образуют новые сийме-тризационные преобразования конденсаторов, при которых р -емкость этих конденсаторов меняется монотонно. Например, в §4.4 построено новое преобразование конденсаторов в R4 , аналогичное стандартизации по А.А.Гончару [61. Приведем определение этого преобразования. Пусть К произвольный компакт в R * 1(3^,..., Хп)] , а F0 и Fi - замкнутые непустые непересекающиеся многкстБа на отрезке -L& 3Cts I . Пусть С = - конденсатор, пластины которого получаются де-

картовым произведением £|aFjXKt j = 0,i . Стандартизацией

по A.A.Гончару в Rß назовем переход от конденсатора С к конденсатору GC » (GF0K К, GFtX К ) . Здесь множества

GF0 s £-i »-i*mPj и GFtaii-mFt, i] лежат на отрезке -is l.

Теорема 4.5. Для любого L справедливо неравенство

cappC s сорр GC .

(Пространственный аналог задачи А.А.Гончара о минимальной емкости). Отметим, что поведение % -емкости при стандартизации плоских конденсаторов с пластинами на отрезке изучено П.М.Тамразовцм в работе 16]. Н.В.ЗориЙ, развивая идеи П.М.

Тамразова, получила выписанное неравенство при п яр = 2, тР0=тР4 и любом К , а также в случае а=3, р = 2. н некоторых ограничениях на Р0 , и К.

Поляризация пороядает многие известные способы симметризации: круговая, сферическая и т.д. В диссертации подробно рассмотрен случай круговой симметризации относительно двумерной полуплоскости в пространстве ¡¡у Ш (теорема 4.6). Сочетание поляризаций и других видов симметризации ведет к

различным преобразованиям в Е" , при которых р -емкость конденсаторов не возрастает. Новые преобразования получаются такге, если в определении поляризации гиперплоскость заменить на гиперсферу, а отражение 32 —Xе - на инверсию относительно зтой гиперсферы. В этом случае имеют место аналогичные утверждения о поведении конформной емкости (р = ПЬ

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

I. Полка Г., Сегё Г. Исопериметрическке неравенства в математической физике,- li.i Сиаматгиз, 1962.- 336 с.

2« 2е15ман У. Многояистяые функции,- М.; ИЛ, I960.« 180 с.

3. Дженкинс Дя. Однолистные функция и конформные отображения.- ;.{.: ИЛ, 1962.- 265 с.

4. Мктюк ".П. Применение симнетрязациояных-методов в геометрической теории функций.- Краснодар: Кубанский гос.уя-т, 1985.- 94 с.

5„ Baernstein А» Integral пеапз,univalent functions and circular зуппаеtrization//Acta math„-1974.-V.133,ЯЗ-4-Р.139-169.

6. Тамразов П.М. Емкости конденсаторов. Метод перемешивания зарядов // Мат.сб.- 1981.- Т.115, Ш.- С.40-73.

7. — Ch. Piecewise symoetrization in geometric function the-ory//J,Fudan.UniY.Nat.3ci.-1985.-V.24,N4.-P.445-451.

8. Дубинин B.H. О покрытии вертикальных отрезков при конформном отобрааеник // Мат.заметки.- 1980.- Т.28, Ё1.-С.25-32.

9. Голуайн Г.П. Геометрическая теория функций комплексного

переменного.- il.: Наука, 1966.- 628 с. IQ. Haliate К. On an extremal configuration for capacity.-t986,-12p.-(fieport/Dept.Math.Uniy.UmeI;5).

11. Caapbell D.M.,Clunie J.G. and Hayman W.K. Research probleas in complex analysis.-In:Aspects of contemporary complex analysis.-London a.o.{Academic Press,1980.-1527-571.

12. Holontis Y. Properties of conformai invariants//Amer.J. aath.-1952.-V.74,H3.-P,587-606.

D. Barth K.Ft,Brannan S.A. and Hayman W.K. Besearch problems in complex analyaie/ZBull.London Math.Soc.-1984.-V.l6, Й5.-Р.490-517.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДЯССЕРТШИ

14. Дубинин В.Н. Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций // Дифференц.уравнения и йункц.анализ.-Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980.- С.98-109.

15. Дубинин В.Н. Об изменении гармонической меры при сиымет-. ризацки // Мат.сб.- 1984.- ТЛ24, И2.- С.272-279.

16. Дубинин В,Н. Преобразование функций и принцип Дирихле // Мат.заметки.- 1985.- Т.38, М.- С.49-55.

17. Дубинин В.Н. Метод симметризации в задачах о неналегаюищх областях // Ыат.сб.- 1985.- Т.128, М,- С.110-123.

18. Дубинин В.Н. Метод симметризации и трансфинитный диаматр // Сиб.мат.яурн.- 1986,- Т.27, 112.- С.39-46.

19. Дубинин В.Н. К теоремам покрытия в теории аналитических функций // Зап.науч.семинаров Л0Ш1 / Мат,ин-т км.В.А.Сте-клова. 1ениягр.отд-ние.- 1986.- Т.154.- С.67-75»

20. Дубинин В.Н. Преобразование конденсаторов в пространстве // Докл. АН СССР.- 1987.- Т.296, Ы.- С.18-20«

21. Дубинин В.Н. Теоремы покрытия отрезков при конформной отображении кольца // Изв.вузов. Математика.- 198?.-Й9.- С.42-50.