Неравенства для емкостей множеств и конденсаторов и некоторые их приложения в геометрической теории функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Неравенства для логарифмических емкостей плоских множеств

§1. Предварительные сведения

§2. Линейные радиальные преобразования

§3. Теоремы единственности

§4. Оценка емкости множества через меру проекции этого множества на стороны угла

§5. Задача Фекете

§6 Теоремы покрытия для мероморфных в круге функций

Глава II. Приведенные 2-модули пространственных коденсаторов

§1. Гармонический радиус области и 2-емкость конденсатора

§2. Приведенный модуль относительно совокупности точек

§3. Теоремы об экстремальном разбиении

§4. Диссимметризация семейств кривых

Глава III. Оценки конформной емкости пространственных конденсаторов

§1. Поляризация конденсатора

§2. Симметризация относительно гиперсферы

§3. Изопериметрические неравенства

§4. Теоремы искажения для квазирегулярных отображений

Теория емкостей множеств и конденсаторов находит многочисленные приложения в различных областях математики. Наиболее изучены 2-емкость и конформная емкость пространственных конденсаторов и связанное с ними понятие модуля семейств кривых или поверхностей. Систематическому применению емкостей в теории квазирегулярных отображений посвящены работы Вяйсяля, Геринга, Б.В. Шабата, Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, Рикмана, Мартио, Вуоринена и других математиков.

Значительное место в теории емкостей занимают оценки изопериметри-ческого характера. Одним из немногочисленных методов получения этих оценок является метод симметризации. Пионерские исследования симметризации были выполнены Штейнером, и, несколько позже, Харди, Литтлувудом, Полиа и Сеге. Актуальность получения неравенств для емкостей множеств и конденсаторов заключается в их теоретических и практических приложениях в различных областях науки. Представления о современном развитии метода симметризации можно получить в обзорных статьях Кавохла, Таленти, В.И. Коляды, Берстайна, В.Н. Дубинина и других авторов. Развитие метода симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного связано также с именами Хеймана, Дженкинса, И.П. Митюка, Маркуса, Ахаронова, Кирвана, В.А. Шлыка, А.Ю. Солынина. Однако в этом направлении существует еще много нерешенных проблем. В связи с этим остается актуальным построение новых видов симметризационных преобразований.

С понятием емкости конденсатора тесно связано понятие приведенного модуля. Простейшие приведенные модули в пространстве рассматривались еще Гречем и Тейхмюллером. Интересные обобщения этого понятия даны в работах Альфорса, Бейрлинга, Дженкинса, И.П. Митюка, Б.Е. Левицкого, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова, В.Н. Дубинина. Задачи определения верхней грани сумм вида aiMi + a2M2 + . + a;nMn, где а к — заданные положительные числа, а Мк модули или приведенные модули попарно неналегающих областей называются задачами об экстремальном разбиении. Эти задачи восходят к известной теореме М.А. Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей и в плоском случае имеют богатую историю. Отметим исследования Г.М. Голузина, П.П Куфарева, H.A. Лебедева, Г.В. Кузьминой, Г.П. Бахтиной, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, В.О. Кузнецова. В пространстве трех и более измерений к настоящему времени известен только аналог теоремы М.А. Лаврентьева, полученный Б.Е. Левицким.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения задач об экстремальном разбиении в n-мерном евклидовом пространстве, п > 3, получение новых неравенств для логарифмической емкости плоских множеств, а также неравенств для конформной емкости пространственных конденсаторов

В первой главе диссертации рассматриваются задачи, ассоциированные с двумя классическими нижними оценками логарифмической емкости множества Е.

Если ¡л - конечная борелевская мера на комплексной плоскости Сг с компактным носителем, то ее энергия определяется как

Под логарифмической емкостью сар(Е) множества Е С. Cz понимается л на Е, для которых эирр ¡л С Е.

Пусть С) - выпуклое замкнутое множество, и пусть Рс}Е - проекция множества Е на С}. Какова нижняя оценка сар(Е) через линейную меру пересечения Р(^Е П 5(2? В случае, когда (2 - полуплоскость, ответ вытекает из классического результата: логарифмическая емкость множества Е больше вир е1^. где супремум берется по всем борелевским вероятностным мерам либо равна одной четверти линейной меры ортогональной проекции этого множества на любую прямую. Далее, если <5 - круг, то оценка следует из классической теоремы Бейрлинга (см., например [11, с.45].) В диссертации рассматривается проблема, когда С} представляет собой замкнутый угол раствора ап, 0 < а < 1.

Вторая задача восходит к Фекете и касается оценки логарифмической емкости множества Е снизу через линейные меры пересечений Е с п лучами, выходящими из заданной точки г0 под равными углами [54, с.117]. Согласно гипотезе Фекете емкость произвольного множества не меньше емкости множества, состоящего из п отрезков, выходящих из точки под равными углами и одинаковой длины, равной среднему геометрическому соответствующих мер. Доказательство гипотезы Фекете в случае, когда Е состоит из отрезков, выходящих из точки го, привело Сеге [54] к понятию "усредняющей" симметризации, которая впоследствии была развита Маркусом и нашла приложения в исследовании других математиков. В общем случае решение задачи не было известно.

Рассмотренные выше оценки логарифмической емкости связаны с радиальным преобразованием замкнутых множеств, при котором эти множества переходят в множества, звездообразные относительно некоторой точки так, что емкость сар(Е) не увеличивается, а линейная мера пересечения Е с системой радиальных лучей не уменьшается.

Первый параграф главы I носит вспомогательный характер. Здесь собраны сведения из теории потенциалов и свойства логарифмической емкости, необходимые для дальнейшего изложения. Во втором параграфе рассматривается линейное радиальное преобразование замкнутых множеств на плоскости. Это преобразование дополняет радиальное преобразование Маркуса. Приведем точное определение.

Пусть Е - компакт, и пусть г0 - произвольная точка плоскости Сг. Для неотрицательного р определим

Кр(в) = {г = г0 + гег'* : р < г < оо}, 0 < в < 2тг.

ОД = к0{9)- це, Е, га) = [ г^Ц, Р > 0.

JEnKp(в) ~

Положим

Щв) = Щв,Е,г0) = Итр ехр 1р{в,Е,г0). р-Ч-0

Результатом радиального преобразования Маркуса множества Е относительно точки ^о называется замкнутое множество

ЩЕ) = {г = г0 + гегв : 0 < г < Щв), 0 <9 < 2тг}, звездообразное относительно точки г0. В работах Маркуса было доказано / неравенство сар(Е) > сар(ЩЕ)).

Нетрудно видеть, что если точка г0 не принадлежит компактному множеству Е, то для любого луча К (в) имеем И(в) = 0, то есть в этом случае радиальное преобразование Маркуса не эффективно. Поэтому возникает вопрос, как изменится логарифмическая емкость множества при радиальном преобразовании с заменой меры Я(в) на линейную меру пересечения множества Е с лучом К [в) (линейном радиальном преобразовании). Во втором параграфе первой главы доказаны частные случаи, когда при линейном радиальном преобразовании множества Е его емкость не увеличивается. Кроме того, указан прием сведения ряда других случаев к этим частным. По существу, этот подход является реализацией одного из видов кусочно разделяющей симметризации [11].

При решении экстремальных задач методами симметризации важное значение имеют теоремы единственности, то есть теоремы, в которых приводятся необходимые и достаточные условия сохранения емкости множества или конденсатора при той или иной симметризации. Теоремы единственности для симметризации Штейнера и круговой симметризации были впервые получены Дженкинсом [44]. Вопрос о теоремах единственности для 9— спиральной симметризации и усредняющих преобразований был решен в работах И.П.Митюка и В.А.Шлыка [27], [28], [34]. Утверждения о сохранении емкости множеств при других известных типах преобразований могут быть найдены в обзорной статье В.Н.Дубинина [11]. Третий параграф главы I посвящен доказательству теоремы единственности для линейного радиального преобразования, введенного выше.

В четвертом параграфе получена оцена логарифмической емкости, обобщающая результат Полиа.

Теорема 1.14. Пусть Е - ограниченное замкнутое множество в плоскости Сг и - произвольный замкнутый угол этой плоскости раствора атг, О < а < 1. Обозначим через р и I линейные меры пересечений проекции РдЕ со сторонами угла (3. Справедливо неравенство сар(Е)>у/р1( 4:-2а)а/2~1(2аУа/2.

Знак равенства при а < 1 для неполярного множества Е выполняется тогда и только тогда, когда Е = Е* и В, где Е* — множество, лежащее на границе угла $ и состоящее из двух равных отрезков, выходящих из вершины этого угла, В - полярное множество.

При подходящем выборе угла С} раствора 7г получим классический результат: логарифмическая емкость множества не меньше четверти линейной меры проекции этого множества на любую прямую.

Используя введенные ранее радиальные преобразования, в пятом параграфе главы I решена задача Фекете, причем удалось исследовать случай равенства. Решение задачи содержится в следующей теореме:

Теорема 1.15. Для любых в, п > 2 и z0 справедливо неравенство сар(Е) >

- Д l(e + 2Tik/n,E,z0). к=1

Знак равенства для неполярного множества Е достигается тогда и только тогда, когда Е = Е* U В, где В полярное множество и Е* состоит из п равных отрезков, выходящих из точки zo под углами 0 4- 27тк/п, к = 1, .,п.

Здесь через l(6,E,z0) обозначена линейная мера пересечения множества Е с лучом arg (z — z0) = 9.

В шестом параграфе главы I даны приложения полученных оценок к ме-роморфным в круге функциям. Доказаны теоремы покрытия, обобщающие известные результаты Маркуса.

Во второй главе диссертации рассматривается 2-емкость конденсатора и гармонический радиус области. Понятие гармонического радиуса области в пространстве введено Б.Е. Левицким и является естественным аналогом понятия конформного радиуса на плоскости. Более подробно о приложениях гармонического радиуса можно прочесть в работе Бэндл и Флючер [38]. В диссертации получены аналоги теорем М.А. Лаврентьева, Нехари, Ю.Е. Але-ницына и других авторов, при этом понятие конформного радиуса области заменяется на понятие гармонического радиуса. Основным инструментом при доказательстве теорем является техника обобщенных приведенных модулей, которая распространяется на случай пространственных областей. Применяя также метод экстремальных метрик и диссимметризацию [11], доказан результат для гармонических радиусов неналегающих областей со свободными полюсами.

Первый параграф второй главы носит вспомогательный характер. 'Здесь дано понятие гармонического радиуса области, его свойства и связь с 2-емкостью и экстремальной длиной, а также его вычисления в простейших случаях.

Во втором параграфе вводится понятие приведенного модуля относительно совокупности точек М(В,Х, Л, Ф). Пусть В - открытое множество пространства IIй, Х[, I = 1 ,.,т— различные точки этого множества. Пусть 51, I — 1,., ш— произвольные вещественные числа, отличные от нуля, и пусть ¡Л1, I = 1,., ш— произвольные положительные числа. Введем следующие обозначения: X = {ж/},Д = {5/}, Ф = {т}- Здесь и ниже, если не оговорено противное, символы { } и ^ означают соответственно совокупность и суммирование по всевозможным индексам, указанным в контексте, за исключением тех, при которых слагаемое в ^ либо равно оо, либо не-определено. Обозначим замкнутый шар с центром в точке а радиуса г через Е(а,г) = {х £ Й," : \а — х\ < г}, Е{оо,г) = {х € Йп : \х\ > г}. При достаточно малом г > 0 введем обобщенный конденсатор как упорядоченную совокупность с предписанными значениями соответственно 0,., 8т. По аналогии с обычными конденсаторами, емкостью конденсатора С(г; В, X, Д, Ф) назовем величину где нижняя грань берется по всем функциям v : Rn —У R класса C°°(Rn), равным нулю в окрестности множества Rn \ В и 5i в окрестности E(xi,mr), I = 1т. Модуль конденсатора |С(г; В, X, Д, Ф)| есть величина, обратная емкости cap С (г; В, X, Д, Ф). Приведенным модулем множества В относительно совокупностей X, Д и Ф назовем предел

С(г; В, X, Д, Ф) = {Rn \ В, Е{хг,1л1Г),., Е{хт, цтг)}

М(В, X, А, Ф) = lim(|C(r; В, X, Д, Ф)| - v\nr2~n),

2-п где^Е^Г2)-1

Показано, что указанный предел существует и конечен и доказана формула вычисления приведенного модуля.

Теорема 2.3. Пусть В - открытое множество пространства Кп и пусть XI, I = 1 ,.,т - различные точки этого множества. Предположим, что каждая связная компонента множества В, содержащая хотя бы одну точку XI, имеет функцию Грина. Пусть д\(х) - функция Грина такой компоненты с полюсом в точке х\, доопределенная нулем во внешности компоненты, и пусть Щ— гармонический радиус связной компоненты множества В в точке х\. Тогда справедлива формула

М(В,Х,А, Ф) = + где VI = рбщ™"'2, I = 1,., т.

В третьем параграфе доказаны теоремы об экстремальном разбиении для пространственных областей. Доказательство этих теорем основано на свойстве монотонности приведенного модуля относительно совокупности точек. Получен аналог неравенства Аленицына-Нехари (теорема 2.4), а также аналог теоремы П.П.Куфарева в случае пространственных областей (теорема 2.5). Кроме того, показано, что неравенство М.А. Лаврентьева для плоских областей остается верным в пространстве Г1П. если конформный радиус заменить на гармонический.

В четвертом параграфе рассматривается диссимметризация семейств кривых. Используя этот метод, получен результат для гармонических радиусов неналегающих областей со свободными полюсами.

Третья глава диссертации посвящена получению неравенств для конформной емкости конденсаторов в пространстве. Одним из методов получения оценок емкости является метод симметризации, который хорошо известен специалистам и имеет большое число применений. Мы вводим новый способ симметризации конденсаторов в пространстве - симметризацию относительно гиперсферы и доказываем, что при такой симметризации конформная емкость конденсатора не увеличивается. Доказательство соответствующего принципа симметризации на плоскости использует теорию конформных отображений. Поскольку класс конформных отображений в пространстве необычайно узок, то доказательство принципа симметризации в пространстве опирается на принцип поляризации относительно гиперсферы.

Первый параграф третьей главы носит вспомогательный характер. В этом параграфе рассматриваются общие свойства поляризации относительно гиперсферы. Во втором параграфе вводится определение симметризации относительно гиперсферы. Пусть ^-замкнутое подмножество И11 \ {0}. Для произвольного луча К(у) :— {Ьь : £ > 0, \у| = 1} обозначим

Цг ехр

1 Г й\х\

2 ] "¡¡| К (и) Г) А )

Положим

К (у, А) - 0, если К (у) П А = 0,

К(у, А) = К{ь) П {х 6 К":/^1 <| х |< если К (у) П А ф 0. Симметризацией множества А относительно гиперсферы 5(0,1) = {|ж| =

1} назовем преобразование множества А в множество Б А = и^^од) А).

Симметризация открытого множества определяется аналогично заменой в (3.1) нестрогого неравенства на строгое.

Пусть С = {Ео,Е{) - конденсатор, пластина которого Е\ содержит 0 и оо. Результатом симметризации конденсатора С относительно сферы 5(0,1) назовем конденсатор

3.1)

Основной результат второго параграфа третьей главы- доказательство того факта, что при симметризации относительно гиперсферы конформная емкость конденсатора не возрастает (теорема З.б). Используя симметризацию относительно гиперсферы в теореме 3.8 дано новое доказательство принципа радиальной симметризации Пфальцграффа.

В третьем параграфе доказаны новые изопериметрические неравенства, которые иллюстрируют применение симметризации относительно гиперсферы совместно с другими симметризационными преобразованиями. В четвертом параграфе третьей главы в качестве приложения симметризации относительно гиперсферы приведена теорема искажения для квазирегулярных отображений.

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Введены и изучены новые радиальные преобразования замкнутых множеств на плоскости, при которых логарифмическая емкость множества не возрастает. Доказ.аны теоремы единственности для этих преобразований.

2. С помощью радиальных преобразований решена, в частности, задача Фекете об оценке логарифмической емкости множества через линейную меру пересечения замкнутого множества с п фиксированными лучами, выходящими из данной точки под равными углами.

3. Получена оценка логарифмической емкости множества через линейную меру проекции этого множества на стороны фиксированного угла, обобщающая классический результат Сеге.

4. Впервые введен обобщенный приведенный 2-модуль пространственных областей и доказана формула его вычисления в терминах функций Грина и гармонических радиусов.

5. Классические результаты М.А. Лаврентьева, Ю.Е. Аленицына и П.П. Куфарева о произведении конформных радиусов плоских неналегающих областей, а также новые результаты об экстремальном разбиении распространены на случай областей п— мерного евклидова пространства. Для доказательства этих результатов разработан, в частности, метод диссиметризации семейств кривых.

6. Доказан принцип симметризации относительно гиперсферы для конформной емкости пространственных конденсаторов. Получены новые изопе-риметрические неравенства для конформной емкости.

По теме диссертации опубликовано 8 работ [2] -[6], [14], [30], [31].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 1998), на Дальневосточных математических школах - семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1997, 1998), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н В.Н.Дубинин), на наз^чном семинаре ИПМ ДВО PÄH (руководитель чл.-кор. РАН Н.В. Кузнецов), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. H.H. Фролов), на семинаре Хабаровского технического университета (руководитель д.ф.-м.н В.Д. Степанов).

1. Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям. М.:Мир, 1969.

2. Ахмедзянова Е.Г. Симметризация относительно гиперсферы. //Дальневосточный математический сборник, вып.1, 1995, с.40-50

3. Ахмедзянова Е.Г. Теорема единственности для радиального преобразования замкнутых множеств. Препринт ИПМ ДВО РАН, N4, 1998, 11 с.

4. Ахмедзянова Е.Г., Дубинин В.Н. Радиальные преобразования множеств и неравенства для трансфинитного диаметра// Известия вузов. Математика, 1999, N4(443), с.3-8.

5. Ахмедзянова Е.Г. Задача Фекете для трансфинитного диаметра замкнутых множеств// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-ой Саратовской зимней школы. Саратов, СГУ, 1997 с. 16.

6. Ахмедзянова Е.Г. Радиальные преобразования замкнутых множеств, не увеличивающие транс финитный диаметр// Гая Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. 1997, с.5.

7. Бердон А. Геометрия дискретных групп. М.:Наука, 1986

8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

9. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.:"Наука",1983.

10. Дубинин В.H. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения, Зап.научн.семин. ПОМИ 237 (1997), 56-73.

11. Дубинин В.Н., Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи мат.наук, 49, N1 (1994), 3-76.

12. Дубинин В.Н. Преобразование конденсаторов в пространстве. Докл. АН СССР. 1987. Т.296, N 1. С.18-20.

13. Дубинин В.Н., Ковалев JI.B., Приведенный модуль комплексной сферы,/ / Записки научных семинаров ПОМИ, т.254, 1998, с.76-94ю

14. В.Н. Дубинин, Е.Г. Прилепкина Об экстремальном разбиении пространственных обласгйей//Записки научных семинаров ПОМИ, т.254, с.95-107, 1998.

15. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1968.

16. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. /, Алгебра и анализ 9, вып.З (1997), 4Ъ-103.

17. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. II, Алгебра и анализ 9, вып.5 (1997), 1-50.

18. Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей, Додл.АН СССР, 73, N5(1950), 881-884.

19. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.Наука, 1966.

20. Левицкий Б.Е., Приведенныйр-модуль и внутреннийр-гармонический радиус, Докл.АН СССР, 316, N4 (1991), 812-815.

21. Левицкий Б.Е. К симметризация и экстремальные кольца. В сб. "Мат. анализ", Краснодар, 1971, с.35-40.

22. Левицкий Б.Е. Некоторые общие свойства преобразований типа симметризации. В сб. "Мат. анализ", Краснодар, 1974, с.112-126.

23. Левицкий Б.Е., Митюк И.П. Некоторые свойства квазиконформныхотображений в пространстве. В сб. "Мат. анализ", Краснодар, 1974, с. 7998.

24. Левицкий Б.Е., Митюк И.П., "Узкие" теоремы о пространственных модулях, Докл.АН СССР, 248, N4 (1979), 780-783.

25. Митюк И.Л.Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы. Краснодар: Кубанский госуниверситет, 1980.

26. Митюк И.П.Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский госуниверситет, 1985.

27. Митюк И.П. Теоремы единственности при симметризации областей и конденсаторов.// Некотор. вопр. соврем, теории функций, Новосибирск, 1976, с.101-108.

28. Митюк И.П., Шлык В.А. О спирально-усредняющей симметризации и некоторых ее применениях//Изв. Северо-Кавказского науч. центра высш. школы. 1973. N4, с.61-64.

29. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М: Физматиздат., 1962.

30. ПрилепкинаЕ.Г. Теорема Куфарева для пространственных областей/. Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Зо-лотова. Тезисы докладов.1998, с. 16.

31. Прилепкина Е.Г. Теорема искажения для квазирегулярных отображений/ / И-ая Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. 1998, с.40.

32. Решетняк Ю.Г., Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск. Наука, 1982.

33. Солынин А.Ю. Непрерывная симметризация множеств. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1990, т.185, с.125-140.

34. Шлык В.А. О теореме единственности для симметризации произвольных конденсаторов.// Сиб. матем. журнал, 1982, N2, с.165-175.

35. Aharonov D., Kirwan W.E. A method of symmetrization and applications. //// Trans. Amer. Math. Soc., 1972., V.169., N 7., P.279-291.

36. G.D. Anderson, M.K. Vamanamurty, M. Vuorinen, Inequalities for quasi-conformal mappings in space// Pacific. J. Math, 1993, V.160, N1, P. 1-18.

37. Amoroso F. f-transfinite diameter and number theoretic applications Ann. Inst. Fourier., 1993, V.43, N4, P.1179-1198.

38. C.Bandle and M.Flucher, Harmonic radius and concentration of energy, hyperbolic radius and Liouville's equations AU = eu and AU =SIAM Review 38, N2 (1996), 191-238.

39. B. Fuglede, Extremal length and functional completion,// Acta Math., 98, N3-4 (1957), p.171-219.

40. F.W. Gering, Symmetrization of rings in space. Trans. Amer. Math. Soc., 1961, V.101, P. 499-519.

41. J.Hersch, Transplantation harmonique, transplantation par modules, et théorèmes isopérimétriques,// Cornent.Math.Helvetici 44.3 (1969), 354-366.

42. J. Hesse, A p-extremal length and p-capacity equality, Ark. Mat., 13, N1 (1975), p.131-144.

43. Hayman W-K. Some applications of the transfinite diameter to the theory of functions J. anal. math. 1951. V.l. P.155-179.

44. Jenkins J. A. Some uniqueness rezults in the theory of symmetrization Ann. math. 1962, V.79, N2, p.223-230.

45. Klein M. Estimates for the transfinite diameter with applications to conformai mapping // Pacific J. math. 1967. V.22. N 2. P.267-279.

46. Lowener C. On the conformai capacity in space// J. Math. Mech, 1959, V.8, P.411-414.

47. Marcus M. Transformations of domains in the plane and applications in the theory of functions // Pasif. J. math. 1964. - V.14. - N2. - P.613-626.

48. Marcus M. Radial averaging of domains, estimates for Dirichlet integrals and applications //J. anal. Math. 1974. - V.27. - P.47-78.

49. Marcus M. Some geometric properties of the image of the unit disk by conformal maps // J.London Math. Soc. 1976. - V.13 - N 1 - P.177-182.

50. Overholt M., Schober G. Trans finite extent // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 1989. - V.14. - P.277-290.

51. Pfaltzgraff J.A. Radial symmetrization and capacities in space. Duke Math. J. 1967, V.34, N4, P. 747-756.

52. Ransford T. Potential theory in the complex plane. Cambridge Univ. Press., 1995. 232 c.

53. J. Sarvas, Symmetrization of condensers in n space Suomalis tie deacat. toimiluks. Ann. Acad. Sci. Fenn, 1972, Ser AI, N 522, p. 1-44.

54. Szego G. On a certain kind of symmetrization and its applications // Ann. mat. pura ed appl. 1955. - V.40. - P.113-119.

55. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings/'/ Lect. Notes. Math. 1988 N1319 P.l-207.

56. Zedek M. The linear measures of n-podes in conformal maps of the unit disk // J.London Math. Soc. 1973. - V.6. - N 2. - P.301-306.

57. W.P. Ziemer, Extremal length andp-capacity, Michigan Math., J.16// (1969) p.43-51.