Емкость и модуль конденсатора в области с римановой метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 Введение

2 Предварительные результаты

2.1 Основные определения и обозначения.

2.2 Свойства модуля семейства поверхностей.

2.3 Вычисление модулей семейств непересекающихся поверхностей

2.4 Свойства пространства

2.5 Полнота пространства Lх F(D).

2.6 Полнота системы непрерывных допустимых функций.

2.7 Вспомогательные утверждения о кривых.

2.8 Разные леммы.

3 Основные результаты

3.1 Равенство F) -модуля и (</?, F) -емкости.

3.2 Существование и единственность экстремальных функций для (р, F) -емкости и (р, F) -модуля.

3.3 Связь между (р, F) -емкостью конденсатора и (q, F) -модулем семейства разделяющих поверхностей.

3.4 Теорема о плотности линейной оболочки класса EPif(D) в L^ f{D) и следствия из нее.

3.5 Условие б-обхвата для NCPif-множеств.

Глава 1.

Работа посвящена изучению свойств емкости конденсатора и модуля семейства поверхностей в области с римановой метрикой, а также их применению в теории функций.

Понятия емкости и модуля были введены Альфорсом и Берлингом. Впоследствии они стали изучаться многими математиками (Б. Фюгледе, В. Ци-мер, Дж. Хессе, Ф. Геринг, А. В. Сычев, В. В. Асеев, Ю. Г. Решетняк, В. Н. Дубинин, В. А. Шлык, М. Оцука, О. Мартио, П. Коскела и др.).

Области с римановой метрикой являются обобщением понятия поверхности. Исследованию емкостей и модулей в областях с римановой метрикой было посвящено много работ. В 1966 году была опубликована работа финского математика К. Суоминена [10], который положил начало исследованиям по этой теме. В ней впервые было введено понятие модуля семейства кривых на ри-мановом многообразии и доказаны некоторые свойства модуля.

Среди работ, посвященных конденсаторам в областях с римановой метрикой, отметим работы В. М. Миклюкова [35, 36], в которых с их помощью доказываются различные свойства граничных множеств на поверхности и некоторые свойства минимальных поверхностей.

Приведем краткое содержание диссертации.

Во второй главе доказываются вспомогательные утверждения, которые необходимы для доказательства основных результатов.

В п. 2.1 приведены основные определения и обозначения, которые будут использоваться в работе: функциональные пространства, емкость конденсатора, модуль семейства поверхностей и пр.

В п. 2.2 доказаны следующие свойства модуля:

Лемма 2.1. Пусть £ — некоторое семейство к-мерных поверхностей в Rn. MV)f(X) = 0 б том и только в том случае, когда существует неотрицательная h € L(P>f(Rti) такая, что f hdHp = оо для любой т € т

Лемма 2.2. Пусть Е — семейство к-мерных поверхностей. Если f tp(\pm — p\)dcr —> 0 при т —> сю, то существует подпоследовательность pmi такая, что для любого е > О существует Ее С Е; Ее) < £ и f \pkt — p\dHp О при I —> оо на Е \ Е£. т

Лемма 2.2 обобщает аналогичное свойство р-модуля, приведенное в теореме 3(f) из [3].

В п. 2.3 доказана

Лемма 2.3 (Формула коплощади) Для функций и € £^(.0) и / € LP!f(D) верна формула коплощади

J fJk,f(u)da = Jdy J fdH$-k, (2.1)

D Rk u~1(y) которая является распространением формулы коплощади [40, гл. 3, §3.2, теорема 3.2.12] на риманову метрику. Также доказана

Теорема 2.1. Пусть дано семейство S непересекающихся (п — к)-мерных поверхностей и(хi,., хп) — (и\(х\,., хп),. ик(хг,., хп)) = С, где и : Rn Rk — липшиццева функция, С пробегает некоторое измеримое множество А С Rk . Тогда \ dy, (2.2)

MPtF( S) = J J JktF(u)*-1dH%rkx

А \и-Цу) J где 1 + 1 = 1.

P 9

Эта теорема позволяет вычислять модуль семейства непересекающихся поверхностей в Rn с римановой метрикой. Она по сути дела обобщает известные методы вычисления модулей, использующие неравенство Гельдера и теорему Фубини (см. [39, гл. И, §2 ]).

В п. 2.4 приведены свойства пространства LnjiP;F ■ Эти свойства аналогичны свойствам пространств L^, которые подробно рассмотрены в [33]. Следующие две леммы носят технический характер:

Лемма 2.4. Если ср удовлетворяет условию <p(2t) < cip(t), то из f (р(£р2(ит)) —> 0 при m —> оо следует, что ||itm|| —> 0 при m оо.

Лемма 2.5. Если \\u\\n^,F < 1, то v = " Е Ln^tF(D) и I(v) = !Ф{€р/2{у))(Ь<1.

Лемма, приведенная ниже, устанавливает эквивалентность между сходимостью в среднем в Ln^yF и сходимостью по норме:

Лемма 2.6. Если ||и||п>¥>1^ < 1, то f ip(6F (u))da < ||гх||П)¥)>2г. В следующей теореме устанавливается полнота пространства :

Теорема 2.2. Пространство LnyiPjp(D) полно.

В п. 2.5 доказывается Теорема 2.3. Пространство L^F(D) полно.

Доказательство использует методы из доказательства теоремы о полноте

В п. 2.6 устанавливается свойство полноты семейства непрерывных допустимых функций. В 1971 г. это свойство было установлено В. В. Асеевым для конформного модуля конденсатора в работе [16]. В 1975 г. в работе [5] Дж. Хес-се распространил это свойство на р-модуль конденсатора, где р > 1, а в 1996 г. оно было обобщено И. Н. Демшиным в [20]. Следующая лемма утверждает существование функции ае(х), удовлетворяющей определенным условиям. Она является аналогом соответствующей леммы из [2].

Лемма 2.7. Для любого г > 0 существует функция схе(х) G C°°(D \ (Ео U Ei)), удовлетворяющая условиям:

1. 0 < ае(х) < 1, а£(х) < d(x,dD U Е0 U Ег), |Vae(ar)| < min(l,e), если

2. ае(х) < dk, ае(х) < Sk+1, |Уае(ж)| < 5k+1 при x <E Dk \ Dki.

Далее доказано свойство полноты для (<р, F) -модуля:

Теорема 2.4. Инфимум в определении M^^i^o, D) можно брать только по непрерывным в D \ (Eq U Е\) допустимым функциям.

Доказательство использует технику из [5] и [20].

П. 2.7 посвящен свойствам кривых на поверхности F. Эти свойства являются обобщением свойств из [9].

Лемма 2.8. Пусть 7k — последовательность кривых, содержащаяся в некотором шаре и равномерно ограниченной длины. Тогда существует кривая 7 и подпоследовательность такая, что 7^ —> 7.

Лемма 2.9. Пусть — кривые равномерно ограниченной длины, —> 7 it функция р неотрицательна и полунепрерывна снизу в Rn . Тогда

Ц (СМ. [3]). 7

Ik

Лемма 2.10. Пусть р положительна и полунепрерывна снизу в Rn, 7^ последовательность кривых, у которых концевые точки Xk —» £0 ф оо и Ук ► Уо, и интегралы f pdsF равномерно ограничены.

7 к

Если уо = оо (соответственно уо ф оо и нет подпоследовательности, содержащейся в некотором шаре), то существует подпоследовательность 7и кривая 7, соединяющая хо и уо и не проходящая через оо (соответственно, проходящая через оо только один раз), такая, что pdsF < liminf / pdsF, fc->. оо J

7 к и любая конечная дуга кривой 7 является пределом некоторых конечных дуг кривых 7ki ■

Следующий п. 2.8 включает в себя утверждения разного характера:

Лемма 2.11. Пусть А С Rn — замкнутое множество, f(x) = dp(x,A). Тогда £p(V/) = 1 почти всюду в Rn \ А и V/ = 0 почти всюду в А.

Лемма 2.12. п ov dv

Е дхг дх3 ViVj П я а i,j=1 3 i-i UV dv max----- > v g tt-t,— •

1771=x A 0Xi dxj i,j=1

Теорема 2.5. (p, F) -точная функция и экстремальна тогда и только тогда, когда

J 4P~2)/2(Vu) £f{Vu, Vh)da = О D для любой (р, F) -пробной функции h.

В третьей главе приводятся основные результаты. В п. 3.1 доказано равенство модуля и емкости конденсатора в римановой метрике при некоторых ограничениях. Равенство емкости и модуля для различных частных случаев устанавливалось многими отечественными и зарубежными математиками (Б. Фюгледе, В. Цимер, Дж. Хессе, В.В. Асеев, А. В. Сычев, В. А. Шлык).

Например, в случае, когда (Eq U Е{) П 3D = 0, равенство р-емкости и р-модуля при р > 1 было доказано Дж. Хессе в 1975 г., а в общем случае для евклидовой метрики оно было установлено В. А. Шлыком в [44] в 1993 году. Используя технику из [44], доказано равенство -модуля и <£>-емкости при ограничениях на риманову метрику:

Теорема 3.1. Выполняется соотношение

MVtF{E0,EuD) = CVAEqiE^D), если для любой точки из 3D \ {оо} существует ее окрестность U такая, что f da < оо. unD

Используя эту теорему, доказаны аналоги теоремы Лиувилля и теоремы Фрагмена-Линделефа:

Теорема 3.2. Если F имеет р-параболический тип и h(x) — ограниченное сверху решение неравенства C(h) > 0; то h(x) = const.

Теорема 3.3. Пусть F имеет р-параболический тип в оо и пусть h(x) — непрерывное в D решение неравенства C{h) > 0. Пусть всюду на dD выполняется h(x) < с и для любого и > О liminf Mp(v)m{u,v) - О, v—>oo где M(v) = max{h(x), 0}. Тогда h(x) < с всюду в D. x\Kv

В п. 3.2 доказаны существование и единственность экстремальных функций для (р, F) -емкости и (р, F) -модуля:

Теорема 3.4. Если CPjf{Eo,Ei,D) < оо, то существует единственная (с точностью до аддитивной постоянной) экстремальная функция щ.

Теорема 3.5. Пусть Г — семейство кривых в Rn. Тогда существует единственная (с точностью до множества лебеговой меры нуль) экстремальная функция для MPjf(Г).

Теорема 3.6. Если Cp>f(Eq, Ei, D) > 0, то существует единственная (с точностью до множества лебеговой меры нуль) экстремальная функция для Ср f(Eo, Ei, D) такая, что lim и(х) — j, j = 0,1, для почти всех криx—¥Ej,x£ 7 вых 7, соединяющих Eq и Ei в D. Кроме того, любая последовательность допустимых функций Uk{x), для которой

J SpJ2{Vuk)da CPtF{Eo,EuD), (3.1) D сходится к и(х) при к —> оо почти всюду в D \ {Eq U Ei) .

Теорема 3.3 для случая евклидовой метрики была доказана в середине 20-го века, а теоремы 3.1 и 3.4 в евклидовой метрике были доказаны В. А. Шлыком в [41] и [46] соответственно.

В п. 3.3 доказано соотношение между (р, F) -емкостью конденсатора и (q, F) -модулем семейства разделяющих поверхностей. В случае евклидовой метрики Цимер [14] установил связь между п-емкостью конденсатора и п/(п — 1) -модулем семейства поверхностей, отделяющих Eq от Ei в D. Шлык

41] обобщил этот результат на р-емкость конденсатора

D/F) = (Eo,Ei,D/F) и д-модуль семейства поверхностей, расположенных в D \ (Е0 u Ei u F) и отделяющих Eq от Е\ в D. Следующие леммы являются техническими:

Лемма 3.1. Пусть U — наперед заданная окрестность компакта Е\. Тогда можно указать открытое множество V, для которого V CU, Е1 С V, Ео с Rn \ V. Выбор V можно осуществить таким образом, чтобы замыкания его компонент связности попарно не пересекались и содержали точки из Ei.

Лемма 3.2. Для (Eq, Ei, D) существует аппроксимирующая последовательность (Eo(k),Ei(k),D(k)) такая, что

Cp,f(Eo,Ei,D) < Cp,F(Eo(k),Ei{k),D(k)) < CP,F(E0,EUD) + 1/k.

Лемма 3.3. Me>F(X!) = lim MqjF(H(k)). fc—>■ oo '

Лемма 3.4. Если E С D, E П dD = 0, mo

J e{Fp-1)/2(Vu0)da > 2bCP:F(E0,Ei,D). ш(Ъ)

Лемма 3.5. Пусть V С Rn —область такая, что Е С V, dV Г\Е = 0, v — экстремальная функция для CPiF(Eq) Ei,V) , Vv = 0 при х £ V. Если V С D с некоторой окрестностью, V п Е = D п Е, itn1 (dV) < oo, то

J frdH^T1 > CP,F(V)

U) для Mq>F -почти всех uj 6 где цЩгГ) I

B(x,r) и r < E), dF(u, E)).

Лемма 3.6. Je^~1^2{Vv)da>Cp,F{Eo,Ei,V) для (q,F) -почти всех шеЩЕ0,ЕиЪ).

При общих предположениях доказаны следующие теоремы: Теорема 3.7. Mg,F(S) > {Cp,F(D))~i.

Теорема 3.8. M9tF(E) = (CPjF{D))~i .

В п. 3.4 доказана

Теорема 3.9. Линейная оболочка множества Ер f(D) всюду плотна

В случае евклидовой метрики она доказана в работе [22]. Далее выводятся следствия из этой теоремы:

Следствие 3.1. Если Е — NCPjf -множество в D, то каждая функция / G Lp F(D \ Е) продолжается до функции /elj f(D) так, что

II/IIL^cdve) = II/IIL^CD)

Другими словами, |V/| = 0 Ln-почти везде на Е.

Лемма 3.7. Если П = {ж = (жх,., хп) € Rn : а^ < Xi < i = 1,2,., п} — п -мерный прямоугольник, ujQk, ooik — его грани, параллельные гиперплоскости хк = 0, то MP)F(w0fc,o;ifc,n) > 0.

Теорема 3.10. Если Е — N-множество в D, то Е не имеет внутренних точек.

Теорема 3.11. Всякое компактное подмножество К NCPyp -множества Е в D является NCP!f -множеством.

Теорема 3.12. Пусть — открытое подмножество D и Е — NCp^p-множество в D . Тогда К = Di п Е — NCPjf -множество в D\.

Теорема 3.13. Всякое компактное подмножество NCPjf -множества Е в D является

NCPjf -множеством в любом открытом множестве из Rn .

Теорема 3.14. Если Е — NCp^p -множество в D, то Ln(E) = 0.

Теорема 3.15. Если Е — N СPip -множество в D, то dim Е < п — 2.

Теорема 3.16. Для того чтобы замкнутое относительно D множество Е было нуль-множеством (устранимым множеством) для L^ F{D), необходимо и достаточно, чтобы Е было NCPif -множеством в D.

Теорема 3.17. Для того чтобы открытые множества D\ и D2 (D\ с D2) были (р, F) -эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы множество D2 \ Di было NCPjf -множеством в D2 ■

Следствие 3.2. Оператор ограничения в в определении (р, F) -эквивалентных открытых множеств и D2 является изометрией пространств

1*1,рШ uLlAD2)

В п. 3.5 доказывается совпадение множеств, удовлетворяющих условию е-обхвата, и NCP f-множеств. В случае р — п — 2 эта теорема была доказана в [47].

Теорема 3.18. Компакт Е С D является NCP)f -множеством тогда и только тогда, когда Е удовлетворяет условию £-обхвата относительно любого семейства кривых Г = {u(:ei, .,хп) = С}, где С пробегает некоторый параллелепипед такой, что множество Р, образованное кривыми из Г, содержит Е , а и : D i?n1 — липшицева функция в D такая, что

Jn-iAu) £ LqAd) и МРАт) <°°

В качестве следствия получена следующая

Теорема 3.19. Для того чтобы D2\D\, Ln(D2 \Di) = 0 (D\, D2 — открытые множества в Rn) было NCPjf -множеством в D2, необходимо и достаточно, чтобы для любого наперед заданного е > 0 и любого координатного прямоугольника П; diam П < £, выполнялось равенство

Cp,F (wo i ,Шц,Л\Е) = CP;F (^Ог, Шц , П) для всех г = 1,., п и любого компакта Е с D2 \ Di. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22], [24] - [32].

Глава 2.

Предварительные результаты

1. Ahlfors L., Beurling A., Conformed invariants and functions-theoretic null-sets, Acta Math. 83, JV® 1-2 (1950), pp. 101-129.

2. Aikawa H., Ohtsuka M., Extremal lenth of vector measures, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, vol. 24, 1999, pp. 61-88.

3. Fuglede В., Extremal length and functional completion, Acta Math. 1957. v. 126, № 3, pp. 171 219.

4. Hedberg L. I., Removable sungularities and condenser capacities, Arkiv. math.12, № 1 (1974), pp. 181-201.

5. Hesse J., A p-extremal length and p-capacity equality, Ark. mat. 1975. v.13, № 1, pp. 131 144.

6. Holopainen I, Nonlinear potential theory and quasiregular mappings on Riemannian manifolds, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, № 74(1990), pp. 145.

7. Holopainen I., Rickman S., Classification of Riemannian manifolds in nonlinear potential theory, Potential Anal., № 2 (1993), pp. 37-66.

8. Lawrynovicz J., Capacities as conformal quasi-invariants on pseudo-ri-emannian manifolds, Rep. Math. Phys., № 2, v. 5, 1974, pp. 203-217.

9. Ohtsuka M., Extremal length and precise functions, in preparation.

10. Suominen K., Quasiconformal maps in manifolds, Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A, № 393(1966), pp. 1-39.

11. Vaisala J, On the null-sets for extremal distances, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, № 322 (1962), pp. 1-12.

12. Wojciechovska M., Capacity and quasiconformal mappings on Riemannian manifolds, Rev. Roum. Math. Pures et appl., t. XXI, № 5, 1976, pp. 609-623.

13. Дымченко Ю. В., О вычислении модуля семейства поверхностей, Тезисы докладов 3-ей Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по мат. моделированию, Владивосток, 1999.

14. Дымченко Ю. В., Существование и единственность экстремальных функций для (р -емкости и <р -модуля конденсатора на поверхности, Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток, 2000.

15. Дымченко Ю. В., Равенство <р-модуля и <р-емкости конденсатора на поверхности, Тезисы четвертого сибирского конгресса ИНПРИМ, Изд-во ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000, с. 156.

16. Дымченко Ю. В., Соотношение между (р, F) -емкостью конденсатора и (q, F) -модулем семейства разделяющих поверхностей, Тезисы докладов 4-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по мат. моделированию, Владивосток, 2000.

17. Дымченко Ю. В., Равенство емкости и модуля конденсатора на поверхности, В кн.: Аналитическая теория чисел и теория функций, 17. (Зап. научн. семин. ПОМИ), т. 276, 2001.

18. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Выпуклые функции и пространства Орлича, М.: Физматгиз, 1958.

19. Мазья В. Г., Классы областей, мер и емкостей в теории пространств дифференцируемых функций, В кн: Современные проблемы математики. Итоги науки и техники, т. 26, Москва, ВИНИТИ, 1988, сс. 159-228.

20. Миклюков В. М., Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близкие вопросы уравнений минимальной поверхности, Матем. сб, 1979, т. 108(150), № 2, сс. 268-289.

21. Миклюков В. М., Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей, Изв. РАН, Сер. мат. т. 60, № 4, 1996, сс. 111 158.

22. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, СПб, Лань, 1999.

23. Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М.: Наука, 1977.

24. Сычев А. В., Модули и пространственные квазиконформные отобраНовосибирск, 1983.

25. Федерер Г., Геометрическая теория меры, Москва, 1987.

26. Шлык В. А., Емкость конденсатора и модуль семейства разделяющих поверхностей, Аналитическая теория чисел и теория функций. 10. (Зап. научн. семин. ЛОМИ, т. 185). Л., Наука, 1990, сс. 168 182.

27. Шлык В. А., Строение компактов, порождающих нормальные области, и устранимые особенности для пространства Lp(D), Мат. сб. 181, № 11 (1990), сс. 1558-1572.

28. Шлык В. А., Метрические характеристики Np -компактов и устранимых особенностей пространства £ (1,оо)., Аналитическая теория чисел и теория функций, 10. (Зап. научн. семин. ЛОМИ, т. 185). Л., Наука, 1991.

29. Шлык В. А., О равенстве р-емкости и р-модуля, Сиб. мат. журн., 34. № 6, 1993, сс. 216 221.

30. Шлык В. А., Нормальные области и устранимые особенности, Изв. РАН. Сер. мат 57, № 4 (1993), сс. 93-117.

31. Шлык В. А., Об единственности экстремальной функции для р-емкости конденсатора, Аналитическая теория чисел и теория функций. 13. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 226). СПб., Наука, 1996, сс. 228 234.

32. Шлык В. А., Условие е-обхвата для N -компактов, Зап. научн. семин. ПОМИ 196 (1991), сс. 154-161.РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННА*!; БЛБЛНОТШ.!