Геометрические вопросы теории разветвленных накрытий поверхностей и их применение в обратных краевых задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

НАСЫРОВ Семен Рафаилович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ РАЗВЕТВЛЕННЫХ НАКРЫТИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1995

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор ЗВЕРОВИЧ Э. И. доктор физико-математических наук профессор КАП Б. А. доктор физико-математических наук профессор ПРОХОРОВ Д. В.

Ведущая организация — Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Защита состоится " 20 » СрЪс^Д*?- ЮйК г. в часов на :

седании диссертационного совета Л 002.07.02 по присуждению учен степени доктора физико-математических наук в Институте математи и механики Уральского отделения Российской Академии наук по ад] су: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ма матики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ^ " ^^^_1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Бад]

кандидат физико-математических наук

Диссертационная работа посвящена систематическому исследованию следующих двух актуальных направлений в теории римановых поверхностей, разветвленно накрывающих заданную риманову поверхность N (или, для краткостйГдалее — римановых поверхностей над N):________

1. Римановы поверхности над N, ограниченные кривыми.' Получение необходимых и достаточных условий того, что заданные кривые ограничивают некоторую риманову поверхность.

2. Сходимость римановых поверхностей к ядру в смысле Каратеодори и связанная с ней сходимость мероморфных функций.

Актуальность темы. Исторические сведения. Римановы поверхности, возникнув первоначально как естественная область определения аналитическит функций, многозначных а плоских областях, Кмстро превратились в один из мощнейших инструментов анализа. В теории римановых поверхностей лежат истоки многих фундаментальных направлений математики: анализа, топологии, алгебры, алгебраической топологии, алгебраической геометрии и др. .

С работы Г. Вейля1 началось изучение абстрактных римановых поверхностей — одномерных комплексных многообразий — и существенная доля современных публикаций по данной тематике посвящена исследованию абстрактных римановых поверхностей. Тем не менее, представление о римановой поверхности как о разветвленном накрытии сферы или, в более общем случае, другой абстрактной римановой поверхности N не теряет своей актуальности. Это связано в первую очередь с тем, что большинство задач на плоскости, в которых возникают проблемы с многозначностью аналитических функций, естественно формулируются и решаются с использованием разветвленных накрытий. В качестве примера укажем на применение римановых поверхностей в теории распределений значений мероморфных функций2 , в краевых задачах3, в

'См.: Wey! Н. Die Idee der R.iemannschen Flächen. - Stütgart: Teubner, 1955.

2См., напр.: Гольдберг А. А. Об одном классе римановых поверхностей // Мат. сб. - 1959. - Т. 49(91), No 4. - С. 448-458; Гольдберг А. А. Считающие функции последовательностей a-точек для целых функций // Сиб. мат. ж. - 1978. - Т. XIX, No 1. - С. 28-36; Гольдберг А. А., Заболоцкий Н. В. Об а-точках функций, мероморфных в круге // Сиб. мат. ж. - 1983. - Т. XXIV, No 3. - С. 34-46.

3См., напр.: Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск, 1977. - 424 с.

теории алгебраических функций4, а также "внутренние" проблемы теории разветвленных накрытий, такие, например, как проблемы Гур-вица о существовании и числе различных разветвленных накрытий с заданным типом ветвления5, проблема определения типа римановой поверхности6.

Особый интерес для приложений представляют римановы поверхности, ограниченные кривыми. Лело в том, что в процессе решения многих задач механики и физики вводятся вспомогательные области И в плоскостях комплексного потенциала, годографа скорости, функции Жуковского и др. . Информация об этих областях представлена, как правило, лишь на границе "физической" области: известно, что соответствующий участок границы во вспомогг тельной области £) должен лежать на заданной прямой, окружности и т.п. . В отличие от "физической" области, неоднолистность области Б не противоречит физической реализуемости решения задачи7, а зачастую является даже необходимым условием для его существования.

Сказанное выше определяет актуальность следующих двух задач, исследуемых в диссертации:

Задача 1. Пусть 01,.'. .,/?„ — кривые, ограничивающие некоторую риманову поверхность (разветвленное накрытие) <т — (М,р) над Ы, где М — некоторая абстрактная римснова поверхность, р: М N — вну-

4См., напр.: Зверович Э. И. Алгебраический метод построения основных функционалов римановой поверхности, заданной в виде ко-нечнолистной накрывающей сферы // Сиб. мат. ж. - 1987. - Т. 28, N0 6

- С. 32-43; Зверович Э. И. О построении поля алгебраических функций соответствующих заданному накрытию сферы // Докл. АН БССР. -1985. - Т. XXIX, N0 2. - С. 104-107.

5См., напр., Медных А. Л. Неэквивалентные накрытия римаковыэ поверхностей с заданным типом ветвления// Сиб. мат. ж. - 1984. -Т. 25, N0 4. - С. 120-142.

6Волковыский Л. И. Исследования по проблеме типа односвязно! римановой поверхности // Тр. МИАН СССР. - М.-Л., 1950. - Т. 34. -172 с.

7См., напр.: Ентов В. М. Решение задач фильтрации с предельны? градиентом в случае неоднолистности отображения // Изв. АН СССР Сер. мех. жидкости и газа. - 1972. - N0 1. - С. 45-49; Ильинский Н. Б. Шешуков Е. Г. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной обла стью годографа скорости // Изв. вузов. Математика. - 1972. - N0 1С

- С. 34-40.

треннее отображение. Определит» соотношения, которым удовлетворяют топологические характеристики а и N. (Как правило, эти соотношения обобщают классические принцип аргумента и формулу Римана-Гурвица.)

Задача 2. Для заданных кривых /?!,...,/?„ на N определить, существует ли по крайней .мере одна риманова поверхность а над N, ограниченная этими кривыми. Если существует, то описать все римановы поверхности сг, ограниченные кривыми ...,/?„.

Формулировка задачи 2 допускает различные уточнения. Например, можно потребовать дополнительно, чтобы искомая риманова поверхность <т а) имела заданный род р; б) имела заданное число листов п — п(о) над некихороП фиксированно" точкой а поверхности А>(для сферы Римана это, как правило, бесконечно удаленная точка); в) имела и фиксированный род, и заданное число листов п над точкой а. Можно также задать и проекции точек ветвления римановой поверхности^ сг на N. В этом случае полученные задачи являются обобщением проблем Гурвица, цитированных выше, на случай разветвленных накрытий с краем.

Задачи 1 и 2 давно привлекали внимание видных ученых, таких как X. Хопф, Л. Левнер, М. Морс, Лж. Френсис, А. Хефлигер, X. Лепи.

Опишем основные исторические этапы в исследовании задач 1 и 2.

1) Первым нетривиальным результатом, по-видимому, следует считать формулу Морса и Гейнса8, связывающую суммарную разветвлен-ность У(с) римановой поверхности сг ~ (М,р) над С рода рм — 0, имеющей V компонент края, с числом листов сг над бесконечно удаленной точкой и суммарным угловым порядком (или, по-другому, индексом Уитни) граничных кривых Ф. Л. Гахов и Ю. М. Крикунов 9 рассмо-

трели случай наличия у функции р логарифмических особенностей. В работах Т. А. Коломийцевой, А. И. Прволоцкого, В. Г. Таировой и др. исследовались различные обобщения и уточнения принципа аргумента а формулы Римана-Гурвица для поверхностей рода нуль над С. Ситу-

8См.: Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного. - М.: ИЛ, 1951. - 248 с.

9Гахов Ф. Л., Крикунов Ю. М. Топологические методы теории функций комплексного переменного и их приложения к обратным краевым ¡адачам // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1956. - Т. 20, N0 2. - С. 207-»40.

ация рм > О, PN = 0 при V(<r) = О была рассмотрена Хефлигером10, а Френсис11 обобщил его результат на случай V(a) > 0 (когда все точки ветвления внутренние, граничные кривые нормальные, т. е. гладкие с конечным числом трансверсальных самопересечений). Наконец, Куайн12, Эзелль и Маркс13, а также Френсис14 получили соотношения для произвольного рода рн (кривые топологически нормальны, точки ветвления внутренние).

2) Сначала обсудим ситуацию, когда число листов п(о) римановой поверхности над фиксированной точкой а не задано. Эффектный результат Морса и Гейнса15 утверждает, что всегда существует односвязная риманова поверхность над С, ограниченная заданной аналитической кривой. Ф. Г. Авхадиев [2] обобщил его на случай, когда <т имеет произвольный наперед заданный род, граничных кривых несколько и они являются квази локально простыми в С.

Изучая интегралы Кристоффеля-Шварца, Пикар16 поставил вопрос о существовании функции, аналитической в единичном круге и непрерывной в его замыкании, отображающей единичную окружность на заданную ломаную в С. Позднее Левнер и Хопф сформулировали аналогичную задачу для нормальных кривых. Очевидно, что это, по-существу, есть задача 2 при условиях рм — О, N — С и п(оо) = О, где п(оо) — число листов римановой поверхности а над бесконечно удаленной точкой. Первое решение задачи Левнера-Хопфа было дано Титусом17, который построил алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить, является ли заданная нормальная кривая гра-

,0Haefliger A. Quelques remarques sur les applications differentiables d'une surface dans le plan // Ann. Inst. Fourier. - 1960. - V. 10. - P. 47-60.

"Francis G. К. Spherical curves that bound immersed disks // Proc. Amer. Math Soc. - 1973. - V. 41. - P. 87-93.

"Quine J. R. Tangent winding numbers and branched mappings // Pacific 3. Math. - 1977. - V. 73. - P. 161-167.

"Ezell C. L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.

"Francis G. K. Polymersions with nontrivial targets // 111. J. Math. - 1978. - V. 22, No 1. - P. 61-170.

"См.: Морс M. Топологические методы теории функций комплексного переменного. - М.: ИЛ, 1951. - 248 С.

»«Picard Е. Traité d'Analyse, V. 2. - Paris: Gauthier-Villars, 1905. - 585 p.

17Titus С. J. The combinatorial topology of analytic functions on the boundary of a disk // Acta Math. - 1961. - V. 106. - P. 45-64.

шодей односвязной римановой поверхности над С. X. Леви18 предложил свой алгоритм, менее удачный и эффективный. Развивая подход Титуса, М. Маркс изучил случаи кольца (и = 2,рм = 0), тора

"1,"рм = 1), кривых в С 1Э. Лругой подход к задаче Левнера-Хопфа_______

основан на использовании так называемых слов Бланка-Маркса20. С использованием определенных комбинаторных структур, связанных со словами Бланка-Маркса, Бланком получена классификация неразвет-зленных сдносвязных накрытий плоскости С с заданной нормальной границей. М. Маркс21 назвал эти структуры ассемблиджами и рас-:мотрел с их помощью разветвленные односвязные накрытия плоско-;ти, Френсис 22исследовал случай сферы (я(оо) > 0), Тройер23 изучил юяерхности. ul'ршшчшшь нсс::сл!..":"т" крквымк. Б^йли24 —- неразвет-зленные накрытия плоскости, когда p,vj > 0. В рйботе Френсиса*-' ис-зледован довольно общий случай, когда рм > 0, N = С, п(оо) > 0, v > 1 t граничные кривые топологически нормальны. Его подход основан на «учении перестановок листов римановой поверхности в окрестности точек ветвления, которые можно рассматривать как своеобразное об->бщение систем Гурвица, используемых при изучении разветвленных 1акрытий компактными римановыми поверхностями сферы или другой

18Levy Н. Uber die Darstellung ebener Kurven mit Doppelpunkten // Nachr. \xad. Wiss. Gottingen II. Math.-psys. Kl. - 1981. - No 4. - S. 109-130.

19Marx M. L. Normal curves, arising from light open mappings of the annulus '/ Trans. Amer. Math Soc. - 1965. - V. 120. - P. 45-56; Marx M. L. Light >pen mappings on a torus with a disk removed // Mich. Math. J. - 1968. -1. 15. - P. 449-456; Marx M. L. Extensions of normal immersions of S1 into I2 11 Trans. Amer. Math Soc. - 1974. - V. 187. - P. 309-326.

20Blanc S. Extending immersions of the circle / Dissertation, Brandeis Jniversity, 1967. См. также:. Poenaru E. Expose 342, seminaire Bourbaki, 967-1968. - Benjamin: New York, 1969.

21 Marx M. L. A combinatorial invariant that characterizes normal immersions >f S1 into!2 // Duke Math. J. - 1974. - V. 41, No 1. - P. 145-149.

"Francis G. K. Spherical curves that bound immersed disks // Proc. Amer. idath. Soc. - 1973. - V. 41. - P. 87-93.

23Troyer S. Extending a boundary immersions to the disk with n holes. )issertation, Northeastern University, 1973.

24Bailey K. D. Extending closed plane curves to immersions of the disk with t handles // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - V. 206. - P. 1-24.

25Francis G. K. Assembling compact Riemann surfaces with given boundary urves and branch points on the sphere // 111. J. Math. - 1976. - V. 20, No 2. P. 198-217.

компактной поверхности. Кроме того, в этой работе дается описание всех римановых поверхностей над С с заданными граничными кривыми и проекциями точек ветвления на С.

Случай ры > 0 рассматривался Френсисом26, а также Эзеллем и Марксом27.

Другой важной проблемой в теории разветвленных накрытий является исследование сходимости к ядру последовательностей римановъи поверхностей. Изучая сходящиеся последовательности {/т} аналитических функций в единичном круге, Каратеодори28 заметил, что соот ветствующие им односвязные римановы поверхности {<гт} сходятся I некотором смысле к некоторой римановой поверхности, соответствую щей предельной функции, которую он назвал ядром последовательное!! {<гт}. При некоторых ограничениях справедливо и обратное утвержде ние. Л. И. Волковыский29 рассмотрел сходимость произвольных ри мановых поверхностей, содержащих фиксированный круг, и установи; соответствующую, теорему в общем случае. В дальнейшем существен ный вкл&1 в изучение этих вопросов внес Ю. Ю. Трохимчук, которьп заметил30, что, в отличие от однолистного случая, последовательност римановых поверхностей может иметь не одно, а несколько, и даже бес конечно много существенно различных ядер, и получил критерий един ственности ядра в терминах поднятия на риманову поверхность опред« ленного вида кривых. Им показано31, какие точки нужно присоединят к ядру для того, чтобы предельная функция отображала область равне мерной сходимости на это ядро, а также исследованы различные вид сходимости.

26Francis G. К. Polymersions witfa nontrivial targets // III. J. Math. - 197i - V. 22, No 1. - P. 61-170.

27Ezell C. L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaci // Tfcms. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.

2®Caratheodory C. Untersuchungen über die konformen Abbildungen vc festen und veränderlichen Gebieten // Math. Ann. - 1912. - Bd. 72. S. 107-144.

^Волковыский Ji. И. Сходящиеся последовательности римановых п верхностей // Мат. сб. - 1948. - Т. 23(65), No 1. - С. 361-382.

30Трохимчук Ю. Ю. К теории последовательностей римановых п верхностей // Укр. мат. ж. - 1952. - Т. IV, No 1. - С. 49-56.

"Трохимчук Ю. Ю. О последовательностях аналитических функщ и римановых поверхностей // Укр. мат. ж. - 1952. - Т. IV, No 4. С.431-435.

Цедя работы. При достаточно общих предположениях относительно граничных кривых и римановой поверхности N получить необходимые и достаточные условия для существования римановой поверхности, над ЛГ7 ограниченной задагаыми кривыми. Изучить пространство раз-_____

ветвленных накрытий заданной поверхности N, наделенное различными сходимостями, являющимися .модификациями понятия сходимости к ядру по Каратеодори, исследовать его топологические свойства, метризуемость. С помощью развитых в диссертации методов доказать разрешимость некоторых обратных и смешанных обратных краевых заг дач (краевых задач со свободной границей) для аналитических функций на римановых поверхностях.

Научная нозпзпа, В диссертации впервые введены и иг.следоваг ны топологические и метрические пространства римановых поверхностей, предложены новые методы решения известных задач теории разветвленных накрытий, связанных с построением по границе римановых поверхностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Кубанских летних школах-конференциях по теории функций (1985,1987, 1990, 1991), на Саратовских зимних школах-конференциях по теории функций (1988, 1990, 1992, 1994), на Всесоюзной конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1987), на школе-конференции "Алгебра и анализ" (Томск, 1988), на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988), на I Европейском конгрессе математиков (Франция, Париж, 1992), на Международной конференции и VII румынско-финском семинаре по комплексному анализу (Румыния, Тимишоара, 1993), на Воронежских зимних школах-конференциях по теории функций (1993, 1995), на Казанских летних школах по теории функций (1993, 1995), на Всемирном конгрессе математиков (Швейцария, Цюрих, 1994), на международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1984-1995), на семинаре Института математики СО АН СССР под руководством проф. П. П. Белинского (Новосибирск, 1985), на семинаре Института математики АН Украины под руководством Ю. Ю. Трохимчука (Киев, 1987), на семинаре под руководством проф. А. А. Гольдберга (Львов, 1991) на семинарах МГУ под руководством акад. РАН А. Г. Витушкина (1992, 1994), член.-корр. РАН П. Л. Ульянова (1993), проф. Е. П. Долженко (1992, 1993), на семинаре института математики с ВЦ Уральского отделения РАН под руководством член-корр. РАН В. В. Напалкова (Уфа, 1995) и неодно-

кратно на семинаре по геометрической теории функций при Казанским университете под руководством проф. Л. А. Аксентьева (1984-1995) .

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, разделенных на 20 параграфов, и списка литературы, состоящего из 223 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-23]. Результаты из совместных статей [1-4], использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.

В первой главе "Определение и основные операции над римановы-ми поверхностями (разветвленными накрытиями)" вводится понятие римановой поверхности над N с отмеченной точкой, исследуется задача о существовании объединения (пересечения) семейства римановых поверхностей с отмеченными точками, вводится категория римановы* поверхностей с отмеченной точкой, и на пространстве ее объектов изучаются свойства отношения порядка, порожденного вложением.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем определяется понятие римановой поверхности над заданной абстрактной римановой поверхностью N и некоторые другие понятия, необходимые е дальнейшем.

Пусть N — некоторая абстрактная риманова поверхность, т. е. связное одномерное комплексное многообразие. Римановой поверхность* над N будем называть пару а = (М,р), где М — некоторая абстрактная риманова поверхность, р : М —* N — непостоянное голоморфное отображение, называемое проекцией.

Риманова поверхность с отмененной точкой или пунктированная риманова поверхность (над Ы) есть тройка а = (М,Р,р), где (М,р) — риманова поверхность над ЛГ, Р — некоторая фиксированная точка из М В окрестности любой точки 5 € М отображение р топологически экви валентно отображению и) = гп+1. Назовем и = ог4(5, а) порядком илъ кратностью ветвления точки 5 поверхности а.

Римановы поверхности с отмеченными точками образуют категории %Т>(М), в которой морфизмами между объектами <тх = (Мх, Pi.pi) и а^-(М2, Р11Р2) служат инъективные голоморфные отображения: М\ —► М-такие, что коммутативна диаграмма

где (} = Рх(Рх) — £2(^2)- Если 3 — морфизм из о\ в <Т2, то будем писать

j : ffi G+02 и говорить, что поверхность о\ -вложена в а?. Если существует некоторый морфизм j : то будем писать также о^С^з- Если, кроме того, j(Mi) СС Л/г, то пишем j :<т\ С. С+^г или просто С С+^г и говорим, что (Tj компактно вложена в с2. _

Пополним категорию-ЯТ^ЛГ) до категории TtV{N) объектами вида (.X,S,q), где X = {5} — одноточечное множество, q : X N — некоторое отображение. Множество объектов этих категорий обозначим через Ob(KP(N)) и Ob(KV(N)). В случае N = С категории HV(N) и TVP(N) будем обозначать через HV и HV соответственно.

Пусть <т = (М, Р,р) — риманова поверхность над N и S — некоторая точка М. Тогда обозначим через <x(S) риманову поверхность (Af, S, р), получающуюся из а изменением отмеченной точки. Пусть = {Q 6 М j ord(Q,a) -j- 0} шгежестзо точек «»тяления а. М(ет) = М\Щ(г).

Обозначим через <т(5) риманову поверхность ^ЛГ(сг), » где ~—

некоторая точка из М(<т). Если Р £ R(<r), то вместо <т(Р) будем писать просто д.

В §2 установлены необходимые и достаточные условия существоваг ния пересечения и объединения семейств римановых поверхностей..

В §3 изучаются свойства отношения порядка на пространстве отмеченных римановых поверхностей над N. _

Сначала устанавливается, что в категории 7Z.V(N) существуют пределы прямых и обратных спектров (лемма 3.1). Далее вводится понятие обобщенного внутреннего радиуса римановой поверхности <т = (М,Р,р) гиперболического типа над С и обобщается хорошо известный принцип гиперболической метрики (теорема 3.1). С использованием предыдущих утверждений устанавливается основной результат параграфа.

Теорема 3.2 Множество Ob(TZV(N)) индуктивно по отношению порядка С_. Более того, любое линейно упорядоченное подмножество в Ob(TZV(N)) обладает тонной верхней гранью.

Теорема 3.3 утверждает, что любое индуктивное множество в пространстве Ob(TZV)(N) обладает по крайней мере одним максимальным элементом. Это, по-существу, есть лемма Цорна в ОЬ(7£Р(ЛГ)).

Приводится доказательство этого утверждения, не использующее аксиому выбора.

Из теорем 3.2 и 3.3 следует следующий результат, который по-существу установлен Бохнером32.

32Bochner S. Fortsetzung Riemannsche Flächen // Math. Ann. 98(1927).

Теорема 3.4 Для любой римановой поверхности а £ ОЪ(ЦТ)(Щ существует максимальный элемент о\ € 0Ь(Х7>)(^) такой, что (гС+0'1.

В заключительной части параграфа получены некоторые необходимые и достаточные условия максимальности римановой поверхности с в ОЬ(КР)(Щ.

В главе II "Римановы поверхности, ограниченные кривыми" устанавливаются некоторые необходимые условия существования римановой поверхности над N, ограниченной заданными кривыми, обобщающие классический принцип аргумента и формулу Римана-Гурвица. Кроме того, установлено необходимое и достаточное условие существования римановой поверхности <т над N в случае, когда задана величина п(а)

число листов а над точкой а.

В §4 доказывается обобщенный принцип аргумента и определяются квази локально простые кривые.

Пусть М = М и дМ — компактное двумерное многообразие с непустым краем дМ, отображение р : М —> N является внутренним (в смысле Стоилова). Тогда, как известно, отображение р =' р\м индуцирует на М комплексную структуру, относительно которой р является голоморфным отображением, и сг = (М,р) есть риманова поверхность над N. Пусть а\,а2,. ..,<*„ — простые замкнутые кривые, обходящие компоненты края дМ в положительном направлении и /?1 = р(с*1),.., = р(а„) — их проекции. Тогда, допуская вольность речи, будем говорить, что риманова поверхность а ограничена кривыми .. Пару а — (М,р) будем называть каноническим расширением а, вызванным присоединением края. Будем говорить, что пара — (М,р) есть риманова поверхность с краем над N, ограниченная кривыми /?!,...,/?„.

Пусть точка в 6 N. Тогда число листов а над точкой а есть

м«) = Е мр,<г)+1]. ' р(р)=° .

Пусть кривые и>1, ы2 на N находятся в общем положении, т. е. концы кривой еслио>,- незамкнута, не лежат на при >' Тогда через к{ш\, и?) обозначим индекс пересечения кривых и ы^. В теореме 4.1 устанавливается формула, связывающая число листов поверхности а над двумя точками а, Ь € | /?,• | с характеристиками граничных кривых,

которая является своеобразным обобщением классического принципа аргумента.

Теорема 4.1 Пусть о = (М,р) — риманова поверхность над ЛГ, ограниченная кривыми з = 1,...,1/, а точки а, Ь 6 I Р} I* Тогда величины пв(6) и п„(а) конечны, и

п<г(Ь) - па(а) = n(ßj, и>) j=1

где w — любая Кривая в N, соединяющая точки а и Ь.

Отметим, что теорема 4.1 обобщает один результат Эзелляи Маркса33 на случай произвольных поверхности N и кривых ßi,,..,ßv.

Пусть <т — (М,р) ограничена кривыми ß\,.. .,/?„ и <г = (М,р) — расширение сг, иызвашюе Присоединением края. Kpsmxccmi?} ветвлгнпя «г в точке Р G M назовем число ord(P, сг) = inf(A ¡J{co}), где А есть «тожество всех натуральных n таких, что существует окрестность U точки Р в М, в которой р топологически эквивалентно (п + 1)-й степени непрерывного инъективного от.ображения / : U —* С. Если п = ord(Р, <г) > О, то назовем Р точкой ветвления поверхности «г порядка п (внутренней, если Р G M, и граничной, если Р € дМ).

Пусть

V{<r) = ]>>rd(/>,<f) (1)

рем

— суммарная кратность точек ветвления 7т, внутренних и граничных. Представляет интерес описание классов граничных кривых ß\,... ,ß„, для которых V(a) < оо, какова бы ни была риманова поверхность, ограниченная этими кривыми. Одним из таких классов, причем достаточно широким, является класс квази локально простых кривых, который в случае N = С был введен нами совместно с Ф. Г. Авхадиевым в [1,2].

Пусть ß — кривая в N с представлением z : [0,1] —+ N. Назовем ß коази локально простой, если для любой точки t € [0,1] существует ее окрестность W такая, что z\w топологически эквивалентно (п + 1)-й степени некоторого инъективного непрерывного отображения Л : W —<► С, где n G N — некоторое число. Если ß замкнута, то аналогичному условию должно удовлетворять периодическое продолжение z : [0,1] —► N отображения г.

В теореме 4.2 дана конструктивная характеристика замкнутых квази локально простых кривых.

33Ezell C.L., Marx M.L. Branched extensions of curves in orientable surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.

В $5 получена теорема, дающая необходимое и достаточное условие • существования римановой поверхности над N, ограниченной заданными квази локально простыми кривыми ßi,.

Теорёма 5.1 1) Пусть ßi,...,ßv — замкнутые квази локально простые кривые на компактной римановой поверхности N. Для того, чтобы существовала риманова поверхность <г над Nограниченная кривыми /?!,...,/?„, необходимо и, достаточно, чтобы цикл гомологи-

чен нулю на N.

2) Если цикл гомологичен нулю, то:

а) существует такое число ро ^ 0, что для любого целого р> ро можно построить риманову поверхность а рода р, ограниченную кривыми ßi,...,ßv;

б) если ßi,...,ß„ локально просты, то такую поверхность а можно пвстроить без граничных точек ветвления;

в) существует такое pi > ро, что для любого целого р > pi можно построить риманову поверхность рода р без внутренних точек ветвления, ограниченную кривыми ßi,...,ß„.

Отметим, что для гладких кривых ß\,...,ßv с конечным числом трансверсальных самопересечений и взаимных пересечений утверждение 1), по-существу, доказано в34. Теорема 5.1 обобщает также один результат Ф. Г. Авхадиева [2].

В следующей теореме обобщается формула Римана-Гурвица.

Теорема 5.2 Пусть ff = (Лf,p) — риманова поверхность над N, ограниченная квази локально простыми кривыми ft,..., ß„. Тогда суммарная кратность точек ветвления определенная формулой (1), конечна.

Более того, если N компактна и точка a G N, то

V(<r) = n<T(a)XN-XM+C'

где xn = 2 — 2рц, Хм = 2 — 2рм — v .— эйлеровы характеристики N и M соответственно, а константа С зависит только от кривых ßi,...,ßv и выбора точки а. Если N не компактна, то

V{a) = -xW + C, где С зависит только от кривых ßi,.. .,/?„.

34Ezell С. L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.

Константа С из теоремы 5.2 называется индексом вращения кривых

ßi,..., ßv. В §6 приводится способ определения константы С через определенные характеристики кривых ß\,...,ßv, связанные с характером их

самопересечений и пересечений с кривыми, индуцирующими базис го-----

мологий ЛГ, кривых ß\,...,ßv (теорема 6.1).

В §7 устанавливается достаточное условие существования римано-вой поверхности над N, ограниченной кривыми ßi,...,ßv. С заданным числом листов над фиксированной точкой.

В главе III "Пространства римановых поверхностей, связанные со сходимостью к ядру" вводятся два вида сходимости к ядру на пространстве Gh(HV)(N) —г простая и регулярная; топология, согласованная с регулярной сходимостью и изучаются ее свойства.

В §8 рассматривается топологическое пространство римановых поверхностей без точек ветвления, связанное со сходимостью к ядру. ;

Пусть N — некоторая абстрактная риманова поверхность, не обязательно компактная. Будем говорить, что некоторое свойство или условие, зависящее от натурального ш, выполняется m-as (асимптотически по т), если оно выполняется при достаточно больших т.

Фиксируем точку zp 6 N. Обозначим через RP(zq) = RPn(zq) совокупность всех х из Ob(ÄP)(/V) таких, что х — zq либо х = а = (Л/, Р,р) € Ob(RV)(N), причем <г = & и р(Р) = г0.

Рассмотрим любую последовательность {хт} из RP(zo). Будем говорить, что последовательность {rm} имеет невырожденное ядро, если существует элемент х € RP(zp), отличный от zo, такой, что хС+хт (m-as).

Пусть {<тт} — последовательность из RP(zo), имеющая невырожденное ядро. Рассмотрим множество Ш{<тт) всех римановых поверхностей а из RP(zq), удовлетворяющих условию: для любой римановой поверхности г такой, что г С С+<г, имеют место вложения тС*<тт (m-as). Ясно, что Ш{сгт) ф 0.

С помощью теоремы 3.3 доказана

Теорема 8.1 Если последовательность {<тго} имеет невырожденное ядро, то множество максимальных элементов в Ш{ат] непусто. Если

т Е ЭЯ{ат}, то существует максимальный элемент т' в 9Л{сгт} такой, что гС+г'.

Обозначим множество максимальных элементов в множествеШ{<хт) через Кег{<гт}, а его элементы будем называть ядрами последовательности {trm}. Если ядро последовательности {хт} из RP(zq) вырождено,

то, по определению, полагаем, что множество Кег{хт} содержит единственный элемент — точку zq 6 RP(zq), которую будем называть ядром последовательности {хт}.

Определение 8.1 Последовательность {¡ет} элементов в RP(zq) схо-дытся к элементу х € Кег{а:т}, если х € Кег{хт4} для любой подпоследовательности {хт„} последовательности {хт}.

В теореме 8.2 доказана корректность определения 8.1.

Далее на RP(zq) введена топология То, согласованная со сходимостью к ядру. В теоремах 8.4-8.6 доказана компактность полученного топологического пространства.

Из определения Ш{(гт} следует, что в случае <г 6 М{<7т} существуют вложения компактов из ег в <гт, определенные то-as, которые назовем каноническими вложениями, индуцированными включением а € Ш{<гт]. Аналогично определяются канонические вложения, индуцированные сходимостью {ffm} —► г, т —► оо.

В §9 рассматривается сходимость последовательностей произвольных элементов ато из Оb(TZV)(N). Вводятся два вида сходимости, простая и регулярная, и устанавливаются утверждения, аналогичные тем, которые были получены для римановых поверхностей без точек ветвления в $8.

В §10 рассматривается сходимость к ядру последовательностей универсальных накрытий римановых поверхностей над N.

Сначала вводится еще один вид сходимости — сходимость с сохранением связности.

Далее устанавливается основная теорема этого параграфа о связи сходимости последовательности римановых поверхностей над N со сходимостью их универсальных накрытий.

Теорема 10.2 Последовательность {<хт} римановых поверхностей <гт = (Мт,Рт,рт) над N сходится кримановой поверхности а = (М, Р,р) с сохранением связности тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

I) последовател ьностпь &гп = (Mm,Pm,pm) универсальных накрытий поверхностей <гт сходится к униеерсальному накрытию а{М,Р,р) римановой поверхности а;

II) канонические вложения jm, индуцированные сходимостью {сгт} к а, можно подобрать таким образом, что /т о jm сходятся равномерно внутри М(а) к f (где fm : Мт -* Мт, т > 1, f:M—> М — соответствующие накрытия) в том смысле, что для любой области

Q CC M(cr), содержащей фиксированную точку S € M{p), римановн поверхности (Qm = fm о jm(Q),fm ° jmG?), Pm I9,» ) эквивалентны поверхности (Q = f(Q), f(S), p\Q) (m-as).

Из теоремы 10.2 вытекает

Теорема 10.3 Пусть последовательность {<тт} риманових поверхностей <тт = (Мт, Pm,Pm), т > 1, чад N сходится регулярно к римановой поверхности <г = (М,Р,р) и последовательность универсальных накрытий <гт = (Мт,Рт,Рт) сходится к односвязной римановой поверхности а= (М,Р,р). Тогда <т является универсальным накрытием поверхности <? ч последовательность {л--,} сходится ксгс сохранением связности.

В главе IV "Пространства риманових поверхностей над сферой" проводится метризация пространства ОЬ(7?/Р), а также доказан ряд теорем о связи сходимости последовательностей мероморфных функций со сходимостью соответствующих им римановых поверхностей, обобщающих и развивающих результаты Каратеодори, Эльфинга, J1. И. Волко-выского и Ю. Ю. Трохимчука.

В §11 на пространстве Ob(TJ'P) пунктированных римановых поверхностей над сферой С, пополненном точками С, вводится метрика р.

В §12 доказывается (теорема 12.1), что последовательность {ат} из ОЬ(7ZV) регулярно сходится к элементу а £ Ob(7J7>) тогда и только тогда, когда {<*m} —> а, т —+ оо по метрике р. Таким образом метрика р согласована с регулярной сходимостью к ядру.

В §13 устанавливается теорема 13.1 о связи сходимости последовательности римановых поверхностей к ядру со сходимостью последовательности соответствующих мероморфных функций в случае, когда последние заданы на сходящейся к нетривиальному ядру последовательности римановых поверхностей.

В §14 устанавливаются теоремы о связи сходимости к ядру одно-связных римановых поверхностей со сходимостью соответствующих им функций.

Пусть <тт = (Mm, Рт,рт), т > 1, — последовательность односвязных римановых поверхностей гиперболического типа над С, сходящаяся к нетривиальному односвязному ядру а = (М,Р,р) гиперболического типа и п — ord(/>, <7) + 1. Пусть Ме и M^(tn-as) получаются из М и Мт удалением малых n-листных кругов радиуса с, содержащих точки Р и Рт и ограниченных одной и той же п-кратно обходимой окружностью.

Будем говорить, что последовательность {<гт} сходится к ас сохранением модуля, если то<1(Мс) = Ншт—оо тосЦЛ/Д,), где тос1(ф) означает модуль двусвязной области Можно показать, что это определение не зависит от выбора е > 0.

Пусть Е = {С € С : |С| < 1}.

Теорема 14.1 Пусть /, /т : Е —> С, т > 1, — некоторая последовательность голоморфных функций. Последовательность {/т} сходится к / локально равномерно в Е тогда и только тогда, когда последовательность римановых поверхностей от = (2?, 0,/т),т > 1, сходится к а = (Е, 0,/) с сохранением модуля и для некоторой точки 6 £(<х)\{0} имеем «'т(Со) -+Со,т-+ оо, где »т — канонические вложения, индуцируемые сходимостью {<гт} к <т.

Далее исследуется сходимость последовательностей односвязных римановых поверхностей в случае, когда, нормировка отображающих функций производится не во внутренней точке (как в точке 0 в. теореме 14.1), а в трех граничных точках. Для этого определяются множество простых концов односвязной римановой поверхности М гиперболического типа, а также понятия простого конца последовательности поверхностей {<гт}, сходящейся к а, и правильной последовательности точек для последовательности {ст} ^ а аналогично тому, как это было сделано в однолистном случае35.

Устанавливается теорема о сходимости последовательности функций, заданных в единичном круге и нормированных в трех граяичных точках (простых концах), обобщающая одну теорему Г. Д. Суворова.

В главе V "Обобщенная задача Левнера-Хопфа" развит алгебраический подход к исследованию обобщения классической задачи Левнера-Хопфа о построении односвязной римановой поверхности над С, ограниченной заданной нормальной кривой.

В §15 приводятся некоторые вспомогательные понятия, использующиеся при доказательстве основной теоремы — теоремы 16.1. В частности, вводится понятие гирлянды римановых поверхностей над компактной римановой поверхностью N и изучаются некоторые свойства гомотопических классов кривых на поверхности, проколотой в конечном числе точек.

Определяется множество 101 замкнутых кривых /3 в N, удовлетворя-

35Суворов Г. Д. Простые концы последовательности плоских областей, сходящейся к ядру // Мат. сб. - 1953. - Т: 33, N0 1. - С. 73-100,

ющих условиям:

1) /? локально проста, т. е. для любого пути z : [0,1] —+ N, представляющего периодическое продолжение z : К —» N отображения z локально инъективно;

2) носитель кривой /? разбивает N на конечное число частей;--------------

3) /3 не проходит через фиксированную точку ооpi поверхности N;

4) если точки fj, i2, <3 € [0,1] таковы, что z(tj) = z(t2) = 2^3) = zo^iN, и отображения gt :№.—+ N определены по формуле = z((2t — 1 )r+ <i), t = 1, 2, 3, a 2,- : [0,1] N —по формуле z{(t) = gi(t), 0 < t < 1/2, Zj(t) = gi+i(t), 1/2 <<<l,i=l,2, то кривые ax и a2 с представлениями z\ и 22 при малых г > 0 локально просты и существует кривая, которая подходит к ним обеим "слева" в точке Zq.

В §16 устанавливается основная теорема, даюшая алгебраический способ решения обобщенной задачи Левнера-Хопфа.

Пусть /? G ЗЯ, S = UjLoify} — множество точек N, обладающих свойством: в любой компоненте связности множества iV\|/?| содержится по крайней мере одна точка из В, причем bo = оодг. Пусть А = N\B, точка a — начало кривой /?,70,71,..., fm — простые петли в А с началом в точке а, попарно непересекающиеся (за исключением точки а), такие, что для любой кривой ш*, соединяющей точку Ьо с точкой 6jt, индекс пересечения K(jj, и= 6jt, j ф 0 {Ьц — символ Кронеккера), /£(70,Шк) = — 1, к = 1,..., т.

Пусть [тт, зг] — коммутант фундаментальной группы тг(А, а) пространства А в точке а, е — единичный элемент этой группы. Для любого [<$] £ [тг, тг] обозначим через Д([<5],/?) множество наборов d = {[<5,j], г = 1, 2, j = 1,...,р} элементов из тг(Л,а), таких, что [6] представим в виде произведения р коммутаторов

Если [<5] ^ е, то по определению полагаем Д([6], 0) = 0, для [6] = е пусть Д([5],0)= {е}. Теперь определим степень элемента [6]

¿е&[6] = ттп{р<=Х+\А(Щ,р)фЪ}-

Обозначим через тг+(Л,а) полугруппу в 7г(А, а), порожденную элементами [a][7j][«]_1, j = 1,...,m, [a] 6 t(A, a), а через ttq(A,a) — множество элементов вида

П V

ПМЫЫ"1. [а.]е*(Л,о), 1 = 1,..., п.

' ,=1 г

Пусть £„(/?, р) — класс римановых поверхностей с над N рода р, ограниченных кривой ß, для которых na(ooN) = п, ^„(/3,р0) = Ур<ро Е„(/?, р).

Теорема 16.1 Пусть ß € Ш, ро, п € .Дл* того, чтобы Sn(ß, ръ) • ¿кдо непусто, необходимо и достаточно, чтобы [ß] было представимо в виде

\ß)=\ß+)ißom, где[Д+] € о), Щ G irg(A, о), [5] € [ir,*J, deg[6] = p < Po-

Пусть W; — любая кривая в N, соединяющая точки oojv и 6j, 1 < j <m. Если кривая ß гомологична нулю, то индекс пересечения n(ß, wj) не зависит от кривой Wj. Справедливо

Следствие 16.136 Пусть ß 6 Ш, n G N. Для того, чтобы объединение U„>oS»(/M &ыло непусто, необходимо и достаточно, чтобы кривая ß была гомологична нулю в N и выполнялись условия K(ß,uj) > — n, j = 1.....m.

В §17 приводятся различные следствия и применения основной теоремы 16.1.

В первой части параграфа дается описание всех римановых поверхностей <г, ограниченных заданной кривой ß G Ш, множество точек ветвления которых R(<r) = {P|ord(P,<r) ф 0} проектируется в множество 5 = {60)61,...,6т}.

Далее развитые выше подходы применены к исследованию проблем Гурвица о реализуемости и числе неэквивалентных накрытий над заданной компактной поверхностью N с заданным типом ветвления.

В главе VI "Обратные и смешанные обратные краевые задачи на римановых поверхностях" изучается разрешимость краевых задач с полностью или частично неизвестной границей. Описание теории обратных краевых задач содержится в обзорной статье37.

звСр. Ezell С. L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532, теорема 3.4

37Аксентьев JI. А., Ильинский H. В., Нужин M. Т., Салимов H. В.,

В §18 дается общая постановка обратной краевой задачи (ОКЗ) .на римановой поверхности.. (Отметим, что исследование обратных краевых задач на римановых поверхностях было начато в работах Л. А. Ак-сентьева38, где он впервые дал постановки ОКЗ на римановых поверхностях и предложил пути к их исследованию.)___;_______________________

Пусть & : [0,1] —► К, tpi : [0,1] —► С, » = 1,.. — некоторые непрерывные функции, Требуется определить компактную риманову поверхность с = (М,р) над С, имеющую п листов надЛ5е?ЖЕ нечно удаленной точкой, с краем , состоящем из v компонент ßu ■ ■ >ßv, р(дМ) С С, й' непрерывную функцию / : М —* С, аналитическую в М, если на дМ задано краевое условие /(z,(<)) = <fi(t), 0 < t < 1,» = 1,..., v. Здесь г = z,(<) —некоторая параметризация компоненты ßi края дМ, ориентированного в положительном направлении.

При этом справедливо одно из следующих соотношений:

1) Rep{zi(t)) = b(t), t е [0,1], &(0) = ¿(1) (ОКЗ по параметру х),

2) рЫО) Ф 0, ft(0) = 6(1) и |p(z<(0)l = £,(i), t € [0,1] (ОКЗ по пара, метру г),

3) Р(*(0) Ф 0 и Argfait)) = Ш, t 6 [0,1], 6(1) - ш = 0 (mod2зг) (ОКЗ по параметру в),

4) p(zi(t)) — гладкие функции, & непрерывно дифференцируемы строго возрастают, $(0) = £{(1) и \dp(zi(t))/dt\ = £(*)> t € [0,1], (ОКЗ по

параметру s)

для любого i = 1..., I/.

Если п = 0, то соответствующую ОКЗ называют внутренней, в противном случае — внешней.

Исследована структура неединственности решения внешней ОКЗ по параметру s при п = 1 для римановых поверхностей, подобным однолистным, в односвязном и многосвязном случаях. Показано, как за счет неединственности определения римановой поверхности т — (M,f) можно в ряде случаев добиться разрешимости внешней ОКЗ по параметру s.

Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Матем. анализ Т. 18. (Итоги науки и техники) - М.: ВИНИТИ. - 1980. - С. 69-126.

38Аксентьев Л. А. Об индексах функций на римановых поверхностях // Докл. -АН СССР. - 1963. - Т. 152, No 1. - С. 9-12; Аксентьев Л. А. Индексы функций на римановых поверхностях и их приложения// Изв. вузов. Математика. - 1964. - N 4. - С. 3-8; Аксентьев Л. А. Обратные краевые задачи для аналитических функций на римановых поверхностях // Труды семинара по краев, задачам. - Казань, 1964. - Вып. 1. -С. 3-13.

В § 19 исследована разрешимость смешанной обратной краевой задачи по параметру х.

Смешанные обратные краевые задачи (краевые задачи со свободной границей для аналитических функций) на плоскости изучались в работах М. Т. Нужина, М. И. Хайкина, В. Н. Мснахова, А. М. Елизарова и др.39. Так, В. Н. Монахов40 поставил и изучил смешанную обратную краевую задачу по параметру а: (а; — абсцисса неизвестного контура) на плоскости. Мы исследуем следующую задачу, обобщающую задачу В. Н. Монахова.

Пусть а = (Л,7г) — односвязная риманова поверхность с краем над С без точек ветвления, причем

1) кривую 7, обходящую край $Л в положительном направлении, можно представить в виде произведения у = 717273, где ^(71) = /*, ¥(73) = /**, а I* и /** — кривые в С с представлениями {г* + ¿(1 — 0<<<1}, {*" - £</(1 - г), 0 < < < 1}, где х** = 11ег** < Иег* = х*;

2) отображение ¥ локально инъективно;

3) ^"'(оо) = Т; где Т — точка стыка кривых 71 и .73.

Класс таких римановых поверхностей обозначим через 21. ,

Пусть Т* и Т** — точки стыка кривых 71 и 72,72 и 73 соответственно, Я : = {£ 6 К : > 1} —► [х**,х*] — непрерывная строго возрастающая на участках {£ > 1} и {£ < —1} функция такая, что Н(—1) = х*, Я(1) = х**.

Смешанная обратная краевая задача по параметру х на римановых поверхностях состоит в следующем.

Требуется разбить Л на две части и простой кривой 74, оканчивающейся в точках Т* иТ**, таким образом, чтобы выполнялось условие: если /?1 — та часть Л, которая лежит "слева" от 74 при ее обходе от Т* до Т" по 74, то существует конформное отображение 2 верхней полуплоскости на Л\, непрерывно продолжимое на замыкание

области в С до отображения Ъ, при котором 1) 2(дИ() = 74; 2) Ие г(0 = Я(£), £ € д*Ос, где г = тг о~Ё.

В дальнейшем под решением задачи будем понимать функцию 2, по которой нетрудно восстанавливаются Б и 74.

39См.: Аксентьев Л. А., Ильинский Н. В., Нужин М. Т., Салимов Н. В., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Матем. анализ Т. 18. (Итоги науки и техники) - М.: ВИНИТИ. - 1980. - С. 69-126.

40См.: Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск, 1977..- 424 с.

Пусть Li = тг(72), ¿2 = ^(74)- Сначала рассматривается случай, <огда L\ есть ломаная z\z-¿.. .z„. Пусть Tjt — точка стыка Аг-го и (к — 1)-

ю звеньев 72, соответствующая z¡¡ — Хк + гук, — величины углов эимановой поверхности <т в точках Тк, к = 1,..., п.

Доказано, что в "1'"смешанная ОКЗ имеет единствен^

loe решение, а в случае, когда один из параметров «i, ап больше единицы, решение задачи неедирстве1Шо. Иселедован-хара^аер_1^^нствен-юсти решения, и найдеь-ы дифференциальные уравнения, описывающие множество значений параметров в интегральном представлении, даю-цих решение задачи.

В §20 установлено существование решения сформулированной в пре-иыдущем параграфе задачи для произвольной римановой поверхности <ласса 21.

В заключительной части параграфа нрииедеп приближенным метол эешения смешанной ОКЗ по параметру х.

Отметим, что в работах С. Р. Тлюстен41 получен ряд результатов, ювторяющих полученные ранее нами в [5].

Таким образом, в диссертации получены следующие основные ре-»ультаты:

- введена и изучена категория Ob(TZV)(N) пунктированных римано-эых поверхностей, разветвленно накрывающих заданную поверхность

У, исследованы ее свойства, связанные с отношением порядка, который эпределен вложением;

- при достаточно общих предположениях относительно граничных •сривых для римановых поверхностей <т с краем над N установлены формулы, связывающие топологические характеристики сг и N, которые ножно рассматривать как обобщения принципа аргумента и формулы Римана-Гурвица;

- установлен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные усло-

41 Тлюстен С. Р. Смешанная краевая задача со свободной границей в 1еоднолистных областях // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1986. - No 76. - С. 148-156; Тлюстен С. Р. Неоднолистные отображения :о свободной границей // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, L988. - No 86. - С. 141-148; Тлюстен С. Р. Априорные оценки решений :мешанной краевой задачи со свободной границей для аналитических функций // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1989. - No 92. - С. 108-121; Тлюстен С. Р. Геометрические свойства решений сме-ланной краевой задачи со свободной границей // Динамика сплошной :реды. - Новосибирск, 1990. - No 97. - С. 114-123.

вия существования римановых поверхностей а, ограниченных заданными кривыми, над N с различными дополнительными предположениями относительно рода <т и числа листов над фиксированной точкой а €

- в частности, предложен принципиально новый, алгебраический подход к решению обобщенной задачи Левнера-Хопфа, показано, что он может быть с успехом применен к исследованию классических задач Гурвица о числе неэквивалентных компактных поверхностей (без края) над N с заданным типом разЕетвленности и о реализуемости заданной разветвленности;

- на пространстве ОЬ(717>)(№) объектов категории %Р введены различные виды сходимости к ядру, изучены их свойства;

- на при N = С введены топология и метрика, согласованные с регулярной сходимостью к ядру;

- установлен ряд теорем о связи сходимости последовательностей мероморфных функций со сходимостью к ядру римановых поверхностей, обобщающих классические результаты Каратеодори, а также Л. И. Волковыского, Г. Д. Суворова, Ю. Ю. Трохимчука.

- доказана разрешимость смешанной обратной краевой задачи по параметру х на римановых поверхностях, исследована неединственность решения и предложен приближенный способ ее решения.

Автор выражает благодарность участникам семинара по геометрической теории функций комплексного переменного при Казанском университете, особенно проф. Л. А. Аксентьеву, докт. физ.-мат. наук Ф. Г. Авхадиеву и проф. А. М. Елизарову за внимание к работе и замечания, способствующие улучшению оформления материала диссертации.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ДИССЕРТАЦИИ

__[1] Авхадиев Ф. Г., Насыров С. Р. Необходимые условия существова-_______

ния римановой поверхности с заданной границей // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: изд-во Казанск. ун-та; 1985. - Вып. 22. -С. 6-15.

[2] Авхадиев Ф. Г., Насыров С. Р. Построение римановой поверхности по ее границе // Изв. вузов. Математика. - 1986. - N0 5. - С. 3-11.

[3] Ильинский Н. Б., Насыров С. Р. Задана определения подземного контура по эпюре противодавления при наличии прямолинейного водо-11 пора // Изв. вузов. Математика. - 1984. - N0 2. - С. 34-42.

[4] Киселев А. В., Насыров <!, Р. О структуре, множества корней уравнения Ф. Л. Гахова для односвязной и многосвязной областей // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: изд-во Казанск. ун-та, 1990. -вып. 24. - С.105-115.

[5] Насыров С. Р. О методе полигональной аппроксимации в смешанных обратных краевых задачах по параметру х / Рук. деп. в ВИНИТИ 17 мая 1982 г. N0 2459-82 ДЕП. - 48 с.

[6] Насыров С. Р. Построение конечных римановых поверхностей по граничной кривой // Докл. АН СССР. - 1987. -Т. 297, N0 6. - С. 1311— 1314.

[7] Насыров С. Р. Топологические пространства римановых поверхностей гюд сферой / Тез. конф. молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1987. - С. 59-61.

[8] Насыров С. Р. Топологическое пространство римановых поверхностей, связанное со сходимостью к ядру // Докл. АН УССР, сер. А. -1988. - N0 5. - С. 19-22.

[9] Насыров С. Р. Метризация пространства римановых поверхностей над сферой / Всесоюзн. конф по геометрической теории функций. Тез. докл. - Новосибирск, 1988 - С. 74.

[10] Насыров С. Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях // Изв. вузов. Математика. - 1990. - N0 10. - С. 25-36.

[11] Насыров С. Р. Бикомпактностъ пространств римановых поверхностей в топологии, индуцированной сходимостью к ядру // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: изд-во Казанск. ун-та, 1990. -Вып. 24. - С. 174-187.

[12] Насыров С. Р. Сходимость к ядру римановых поверхностей и их универсальных накрытий// Труды семинара по краевым задачам. -Казань: изд-во Казанск; ун-та, 1992. - Вып.27. - С. 82-95.

[13] Nasyrov S. R. Ramified bordered coverings over a compact Riemann-surface with given boundary projections/ The First European Congress of Mathematics. - Paris, 6-10, July, 1992. - Abstracts. - P. 72. •

[14] Насыров С. P. Разветвленные накрытия римановых поверхностей с заданной проекцией края // Алгебра и анализ. - 1993. - Т. 5, No 3. - С. 212-237.

[15] Насыров С. Р. Метрическое пространство разветвленных накрытий сферы/ Тез. докл. конф. "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании". - Воронеж, 1993. - С. 95.

[16] Nasyrov S. R. Generalized Riemann-Hurwitz formula / International Conference and VII Romanian-Finnish Seminar on Complex Analysis. 23-27, August, Timishoara, 1993. Abstracts. - P. 18.

[17] Насыров С. P. Метрическое пространство римановых поверхностей над сферой - Мат. сб. - 1994. - Т. 185, No 7. - С. 89-108.

[18] Насыров С. Р. Метод движущегося разреза в с.иешаннмг обратных краевых задачах/ Конструктивная теория функций и ее приложения. - Махачкала, 1994. - С. 71-73.

[19] Насыров С. Р. Максимальные разветвленные накрытия сферы / Тез. докл. международной конф. "Алгебра и анализ", поев. 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева. - Казань, 1994. - С. 93-94.

[20] Nasyrov S. R. Metric space of Riemann surface over a sphere/ Int. Congress of Mathematicians. - Ziirich, 3-11, August, 1994. - P. 105.

[21] Насыров С. P. Метрическое пространство римановых поверхностей над сферой - Докл. РАН. - 1995. - Т. 343, No 5. - С. 603-606.

[22] Nasyrov S. R. Generalized Riemann-Hurwitz formula// - Rev. Romain Acad. Sci. - 1995. - V. 40, No 2. - P. 177-194.

[23] Насыров С. P. Построение разветвленных накрытий поверхностей по границе / Теория функций и ее приложения. Тез. докл. школы-конференции. - Казань, 15-22 июня 1995 г. - С. 45-46.