Перечисление накрытий трехмерных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Шматков Михаил Николаевич

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ НАКРЫТИЙ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Медных А.Д. доктор физико-математических наук, доцент Богопольский О.В. кандидат физико-математических наук, доцент Овчинников М.А. Кемеровский государственный университет

Защита состоится 2004 в^^^мнв а засе-

дании диссертационного совета Д 003.015.03 в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н.

А.С. Романов

^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ:

Актуальность темы. Начало систематическому изучению (разветвленных) накрытий римановых поверхностей, а в дальнейшем — и многообразий более высоких размерностей, было лоложено в классических работах А. Гурвица, относящихся к концу XIX века. Предпосылкой для таких исследований явилось то, что первоначально римановы поверхности определялись как разветвленные накрытия над расширенной комплексной плоскостью. Из такого определения, в частности, впервые была получена классическая формула Римана-Гурвица, связывающая род поверхности с родом ее накрывающей, а также с порядками и числом точек ветвления. Эта формула лежит в основе всех современных исследований по теории компактных римановых поверхностей.

В своих классических работах [1, 2] А. Гурвиц определил производящую функцию для числа неэквивалентных накрытий заданной кратности над римановой сферой, имеющих заданное число простых точек ветвления (порядка 2), а также показал, что эта функция достаточно просто выражается через неприводимые характеры симметрической группы. Этими работами было положено начало применению алебра-ических и комбинаторных методов в теории накрытий многообразий малых размерностей.

Дальнейшие исследования задачи о числе накрытий в двумерном случае проводились в работах таких математиков, как Г. Вейль (1931), X. Рёрл (1963), К. Езел (1968), Е. Ллойд (1972), Г. Джонс (1995). Полное решение задачи о числе неразветвленных накрытий над компактной римановой поверхностью было получено А.Д. Медных в цикле работ, относящихся к 1978-1988 годам, основные результаты которых приведены в работах [3, 5]. Им же в работе [4] полностью решена задача Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью с заданным типом ветвления.

Постепенно методы, разработанные и успешно применяемые в этой области в двумерном случае, стали переноситься в область исследования трехмерных многообразий. Так, В.А. Лисковец и А.Д. Медных [6] получили формулы для подсчета числа подгрупп заданного индекса в фундаментальных группах ориентируемых расслоений Зейферта без особых слоев.

Повышенный интерес к решениям задачи Гурвица и различных ее вариаций в последние годы обусловлен полученными недавно в ряде работ (например, [7]) результатами, устанавливающими связь задачи Гурвица с интегралами Ходжа, инвариантами Тргиупиа-Ниттоття ча^пиаии

теоретической физики при исследовании солитонных решений, теорией струн.

В настоящей диссертационной работе продолжается начатый ранее цикл исследований комбинаторных аспектов многообразий малых размерностей. Исследования, проводимые в данной работе, лежат на стыке таких областей математики, как математический анализ, геометрия, топология, алгебра, комбинаторика, теория чисел..

. Необходимо отметить, что в трехмерном случае ситуация существенно отличается от двумерной, и это вызывает необходимость совершенствования существующих и развития новых методов исследования. Во-первых, фундаментальная группа трехмерного многообразия, которая является основным инструментом исследования, устроена гораздо сложнее, чем фундаментальная группа поверхности. Во-вторых, в настоящее время не существует единой классификации трехмерных многообразий. В связи с этим в диссертационной работе рассматриваются отдельные замкнутые классы трехерных многообразий: трехмерные евклидовы формы и расслоения Зейферта.

Несмотря на то, что трехмерные евклидовы формы (связные полные трехмерные римановы пространства постоянной нулевой кривизны) были известны еще с первой половины XX века [8], интерес к их изучению не ослабевает и по сей день. В частности, довольно долго считалось, что изоспектральные многообразия, то есть многообразия, на которых спектры оператора Лапласа-Бельтрами Д(/) = — <}п^гас!(/) совпадают, должны быть изометричными. Однако, Дж. Милнором (1964) были построены два изоспектральных неизометричных 16-мерных тора. В то же время, для двумерных (Р. Брукс, 1988) и трехмерных (А. Шиман, 1997) торов изоспектральность эквивалентна изометричности, а для четырехмерных (А. Шиман, 1990) — уже нет.

Оказывается, отрицательный ответ получается в классе трехмерных евклидовых форм. А именно, Р. Исангулов (2002) показал, что любые две гомеоморфные изоспектральные евклидовы 3-формы изометричны, а Дж. Конвеем и Дж. Розетти (2003) были построены две негомеоморф-ные изоспектральные евклидовы 3-формы (которые неизометричны автоматически) [9].

Другой класс трехмерных многообразий, рассматриваемых в данной работе, образуют расслоения Зейферта, которые были введены Г. Зей-фертом [10] в связи в попыткой решения проблемы классификации трехмерных многообразий. Это весьма широкий класс 3-многообразий. В частности, все трехмерные евклидовы формы являются расслоениями Зейферта. Более того всякое многообразие, геометризуемое по образ-

цу шести из всех восьми трехмерных геометрий (за исключением лишь Н3 и Sol), являются расслоениями Зейферта. Этот класс многообразий активно изучается в настоящее время и с других точек зрения [11].

Цель работы. В настоящей работе исследуются с аналитической точки-зрения комбинаторные аспекты многообразий малых размерностей.

В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Получены формулы для отыскания числа неэквивалентных циклических накрытий заданной кратности над расслоениями Зейферта без особых слоев.

II. Получены формулы для подсчета числа указанных накрытий над компактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями, а также найден критерий существования циклических накрытий над многообразием Ханцше-Вендта.

III. Полностью решена задача перечисления неэквивалентных циклических накрытий фиксированной кратности для класса всех расслоений Зейферта.

IV. Выведены формулы для подсчета числа подгрупп заданного индекса в фундаментальных группах трехмерных евклидовых форм.

Методика исследования. В работе широко используются методы теории представлений симметрических групп, теории характеров, алгебраической топологии, комбинаторные методы, аналитический аппарат теории производящих функций, а также методы теории мультипликативных функций.

Научная новизна и практическая ценность работы. Все полученные в диссертации результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории многообразий малых размерностей, геометрической топологии и теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН, профессора Ю.Г. Решетника, семинарах Института математики СО РАН «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» под руководством профессора А.Д. Медных, «Геометрия, топология и их приложения» под руководством член-корреспондента РАН, профессора И.А. Тайманова, «Эва-рист Галуа», а также докладывались на XXXIX Международной научной студенческой конференции.«Студент и научно-технический прогресс», посвященной 70-летию академика В.А. Коптюга (г. Новосибирск,

2001), Международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2001), ХЬ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2002); Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г. Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 2002), Международной конференции по теории чисел и арифметической геометрии (г. Вейхай, Китай, 2002), ХЬ1 Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2003), Международной школе-конференции «Комбинаторика, топология, выпуклость: их общие точки» (г. Иерусалим, Израиль, 2003), Пятой международной конференции по геометрии и топологии, посвященной памяти А.В. Погорело-ва (1919-2002) (г. Черкассы, Украина, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13] - [21].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 176 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 131 наименования, содержит 12 рисунков и 9 таблиц.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.Д. Медных за постановку проблемы и постоянное внимание к работе, всем участникам семинара, «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» Института Математики СО РАН за плодотворные обсуждения полученных результатов, а также профессору В.А. Лисковцу и доценту Д.А. Деревнину за ценные замечания относительно изложения отдельных результатов настоящей работы.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении дан краткий обзор литературы по проблематике работы и в общих чертах изложено содержание диссертации.

В первой главе приведены основные понятия, конструкции и методы, используемые в диссертации.

Приведем здесь некоторые основные определения.

Пусть — произвольные связные многообразия одной размер-

ности:

Непрерывное отображение р : N М называется (неразветвленным) накрытием; если для всякого 1€М существует окрестность и точки*

х такая, что каждая компонента связности множества p~l(U) при отображении р гомеоморфно отображается на U. При этом кардинальное (конечное или бесконечное) число card р_1(х) называется числом листов (кратностью) накрытия р.

Два накрытия называются эквивалентны-

ми, если существует гомеоморфизм h : Л Л' такой, что р = р' oh.

Хорошо известно, что классы эквивалентных накрытий каждого многообразия Ж находятся во взаимно однозначном соответствии с классами сопряженных подгрупп фундаментальной группы 7ri(M).

Преобразованием наложения накрытия р : Л -> М называется гомеоморфизм такой, что

Все преобразования наложения накрытия образуют группу.

Накрытие р : Л Ж называется регулярным, если группа G его преобразований наложения действует транзитивно на каждом слое накрытия. Для неразветвленных накрытий, рассматриваемых в настоящей диссертационной работе, это эквивалентно тому, что соответствующая накрытию группа Пх ^ 7ri(M) нормальна в tti(M). В этом случае факторгруппа 7Ti (М)/Пх изоморфна G.

Регулярное накрытие р : Л М называется циклическим, если группа всех его преобразований наложения есть циклическая группа Zn (при этом п совпадает с числом листов накрытия р).

Арифметическая функция / : N -»■ N называется мультипликативной, если /(mn) = /(m)/(n) для любых взаимно простых ш, п. Функция Эйлера v>(n), функция Мёбиус^н^ибольший общий делитель /(n) = (тп, п) являются мультипликативными функциями аргумента п.

Свертка f*g арифметических функций /, д : N -> N есть следующая арифметическая функция:

(/*<?)(«) = £/№(£)•

Свертка мультипликативных функций мультипликативна.

Вторая глава диссертации посвящена отысканию числа неэквивалентных циклических накрытий для отдельных классов трехмерных многообразий. С этой целью в диссертации разработана техника подсчета числа Nлх(я) указанных накрытий кратности п над многообразием Ж, основанная на сведении исходной задачи к отысканию числа решений Иж(т) определенной системы линейных сравнений по модулю т для : , которая выписывается по фундаментальной группе многообразия В основе этой техники лежит общий метод отыскания числа

подгрупп конечно порожденной группы с наперед заданной конечной факторгруппой, разработанный Г. Джонсом [12]. В результате искомое число N^(11) выписывается в виде

где <р(п) — функция Эйлера, д(п) — функция Мёбиуса, НмС^) — число решений упомянутой системы сравнений по модулю т.

В параграфе 2.1 выводятся формулы для отыскания числа указанных накрытий над произвольным расслоением Зейферта без особых слоев. При этом в разделе 2.1.1 проводятся предварительные построения и доказываются промежуточные результаты. Основным результатом данного параграфа является теорема 2.3, которой даются искомые формулы. В разделе 2.1.2 осуществляется дальнейшее преобразование полученных результатов и приводятся таблицы значений числа циклических накрытий в ряде частных случаев.

В параграфе 2.2 осуществляется вывод формул для подсчета числа неэквивалентных циклических накрытий над трехмерными евклидовыми формами. Основным результатом данного параграфа является теорема 2.6, которой даются искомые формулы для всех десяти трехмерных евклидовых форм..

Существенно, что функции N3^(0) являются мультипликативными, что позволяет привести формулы, полученные в параграфах 2.1 и 2.2, к форме, более удобной для непосредственных вычислений. В таком виде формулы даются теоремами 2.4 и 2.7 соответственно.

Необходимо отметить, что хотя общий случай расслоений Зейферта с особыми слоями и рассмотрен в главе 3, расслоения Зейферта без особых требуют отдельного рассмотрения, поскольку переход от общего случая расслоений Зейферта с особыми слоями к частному случаю расслоений Зйеферта без особых слоев «автоматически» осуществить не удается.

В главе 3 диссертации проводится исследование циклических накрытий над раслоениями Зейферта, содержащими произвольный набор особых слоев. Следуя технике, разработанной в главе 2, всякому расслоению Зейферта Ъ = {Ь](е,д);(а 1, где Ь — параметр расслоения, е — один из шести возможных типов расслоений, д — род базы расслоения, — инварианты особых слоев, сопоставляется система линейных сравнений, которая в случае е = (О,о) имеет вид

ИнМ^ЕНмМ,©,

т|п

{

XI +•'••+'хг = Ьг (тос! п)

а} х}+Р3г = 0 (то<1 п) .7 = 1,..., г

Число решений таких систем в каждом случае отыскивается комбинаторными методами с привлечением производящих функций, сумм Рамануджана С„(к) и функции фон Штернека Ф(к,п).

В параграфе 3.1 приводятся вспомогательные обозначения и результаты о свойствах отдельных арифметических: функций.

Последующие параграфы данной главы посвящены выводу формул для подсчета числа неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта каждого из возможных типов: параграф 3.2 — над расслоениями Зейферта типа (О,о), параграф 3.3 — типов (О,п), (N,n,II), (N,n,III), параграф 3.4 — типа (N,o), параграф 3.5 — типа (N,n,I). Следуя [10], здесь и далее в работе используются обозначения типов расслоений, введенные Г. Зейфертом. Основные результаты данной главы изложены в теоремах 3.2, 3.4, 3.6, 3.8. Так, например, для ориентируемого расслоения Зейферта с ориентируемой базой результат имеет следующий вид.

Теорема 3.2: Пусть Ъ = {b-,({0,o),g)-,{ai,ß1),...,(ar,ßr)}, п = 4il •••9ib> где qi < ••• < qk.~ простые числа, а\ > 0,..., ст* > 0. Тогда число неэквивалентных циклических п-листных накрытий над Ъ равно i

k Ja,-l)(2g-l)

= П „ 1 *

,=1 Ь ~ 1

где (s, t) — наибольший общий делитель чисел s ut, {s, —, t} — наи-

s ...t

меньшее общее кратное чисел s,...,t, (s,...,f) = — j, <p(n) —

{s,...

функция Эйлера, а величина E(s) определяется следующим образом

" «■*•">.....«*•">' (»+£ J^ö (Ä)'^")'

Важное значение при выводе окончательных результатов имеет мультипликативность функций

Примечательно, что формулы, полученные в этой главе для расслоений Зейферта с особыми слоями, естественным образом переходят в соответствующие формулы, полученные в главе 2 для расслоений Зейферта без особых слоев, если представить себе последние как содержащие «особые» слои с орбитальными инвариантами (1,0).

Глава 4 диссертации посвящена отысканию числа подгрупп в фундаментальных группах трехмерных евклидовых форм. С этой целью проводится дальнейшее развитие техники, разработанной В.А. Лисков-цом и А Д. Медных [б] Данная техника основана на известной связи

Ма{п) =

Ро(п)| (п- 1)!

между числом Mdn) подгрупп индекса п в группе G и числом |7Ь(п)| транзитивных представлений группы G подстановками на п символах. Используя специфику строения фундаментальных групп трехмерных евклидовых форм, представленных как расслоения Зейферта, отыскание числа |То(п)| сводится к отысканию числа совместных решений определенной системы сравнений по модулю I и уравнений в симметрической группе Sm для 1т = п, которые выписываются по фундаментальной группе рассматриваемой евклидовой 3-формы.

Параграф 4.1 содержит подготовительные результаты о подгруппах индекса п конечно порожденных групп и их связи с транзитивными представлениями этих групп в симметрической группе S п.

Последующие параграфы данной главы посвящены выводу формул для подсчета числа подгрупп в фундаментальных группах каждого из десяти классов трехмерных евклидовых форм: параграф 4.2 — классов М\ и М?, параграфы 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 — соответственно классов /Аз, Ms и Мб1, параграф 4.7 — кпассовЛ/*х и Л/з,, параграф 4.8 — классов Mi и -^4 В данной работе используются обозначения для классов трехмерных евклидовых форм, введенные в разделе 1.2.2, в том порядке, в каком они были определены в работе [8]. Основные результаты данной главы приведены в теоремах 4.2, 4.3, 4.4, 4.6, 4.7, 4.9. Так, например, упомянутые уравнения для многообразия класса имеют вид

ai2S22 = lm

■xf)-x^w = l (modi), j = 1,... ,m; 01,02 e sm

Отыскание числа решений этой системы уравнений основано на методе производящих функций и других комбинаторных методах. Окончательное решение в этом случае дается следующей теоремой.

Теорема 4.8. Число подгрупп индекса п в фундаментальной группе компактного связного плоского трехмерногориманова многообразия классовИ-i и .Л/4 равно

Ш2(п) = Мал(«) = о-М/,

при нечетном п, и

МиМ = ММ = £ ((2,0(о(т) - а(т/2)) + !a(m/2))i,

при четном п, где (s,t) — наибольший общий делитель sut, <r(s) — сумма делителей числа s.

В отличиие от глав 2 и 3, функции Ма{п) для трехмерных евклидовых форм в большинстве случаев не являются мультипликативными. Однако, они не сильно отличаются от. мультипликативных, что позволяет привести общие формулы данной главы к виду, более удобному для непосредственных вычислений. Такие формулы даются теоремами 4.5, 4.8, 4.10.

Список литературы

[1] Hurwitz A. Uber Riemann sche Eldchen mit gegeben Verzweigungspunkten // Math. Ann. - 1891. - Bd. 39. - S. 161.

[2] Hurwitz A. Uber die Awzahl der Riemannschen Eldchen mit gegeben Verzweigungspunkten // Math. Ann. - 1902. - Bd. 55. -S: 53-66. '

[3] Медных А.Д: К- задаче Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Сиб. мат. журн.

- 1982. - Т. 23, № 3. - С. 155-160.

[4] Медных А.Д. Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления // Сиб. мат. журн. - 1984. -Т. 25, Л» 4. - С. 120-142.

[5] Медных А.Д., Позднякова Г.Г. О числе неэквивалентных накрытий над компактной неориентируемой поверхностью // Сиб. мат. журн. - 1986. - Т. 27, № 1. - С. 123-131.

[6] Liskovets V., Mednykh A. Enumeration of subgroups in the fundamental groups of orientable circle bundles over surfaces // Comm. in Algebra. - 2000. - V. 28, N. 4. - P. 1717-1738.

[7] Monni S., Song J. S., Song Y. S. The Hurwitz Enumeration Problem of Branched Covers and Hodge Integrals // http://www.arxiv.org -hep-th/0009129 - 2000. - 35 p.

[8] Hantzsche W., Wendt H. Dreidimensionale euklidische Raumformen /I Math. Ann. - 1935. - V. 110. - P. 593-611.

[9] Conway J.H., Rossetti J.P. Hearing the platycosms // http://www.arxiv.org - math.DG/0311470 - 2003. - 20 p.

[10] Seifert H. Topology of 3-dimensional Fibered Spaces. - New York/London/Toronto/Sydney/San Francisco: Academic Press, 1980.

- 438 p.

[11] Aaslepp K., Drawe M., Hayat-Legrand C, Sczesny C.A., Zeischang H. On the cohomology of Seifert and graph manifolds // Topology Appl.

- 2003. - V. 127, N. 1-2. - P. 3-32.

[12] Jones G.A. Counting subgroups of non-euclidean crystallographic . groups// Math. Scand. - 1999. - V. 84. - P: 23-39.

Работы автора по теме диссертации

[13] Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта // Математические труды. - 2003. -Т. 6, М 1. - С. 182-201.

[14] Шматков М.Н. Перечисление неэквивалентных циклических накрытий компактного связного плоского трехмерного риманова многообразия // Труды по геометрии и анализу. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. - С. 429-441.

[15] Шматков М.Н. Некоторые формулы для числа подгрупп фундаментальной группы компактного связного плоского трехмерного ри~ манова многообразия. - Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2001. -С.132-133.

[16] Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта. - Материалы XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. - С. 7879.

[17] Шматков М.Н. Перечисление подгрупп фундаментальной группы неориентируемого компактного связного плоского трехмерного риманова многообразия. - Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999): Тез. докл. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002. - С. 77-78.

[18] Шматков М.Н. Отыскание числа неэквивалентных циклических накрытий компактного связного плоского трехмерного риманова многообразия. - Математическое образование на Алтае: Тезисы третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002. - С. 13.

[19] Шматков М.Н. Перечисление подгрупп фундаментальной группы некоторых классов компактных связных плоских трехмерных ри-маповых многообразий. - Материалы XLI Международной научной

студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск; Изд-во НГУ, 2003. - С. 42-44.

[20] Шматков М.Н. Об отыскании числа неэквивалентных абелевых регулярных накрытий для некоторых классов трехмерных многообразий - Материалы ХЫ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003. - С. 44-45.

[21] Шматков М.Н. Подсчет числа неэквивалентных циклических накрытий для некоторых 3-многообразий. - Тезисы докладов 5-й международной конференции по геометрии и топологии памяти А.В. Погорелова (1919-2002). - Черкассы: Изд-во ЧГТУ, 2003. -С. 149-151.

Шматков Михаил Николаевич

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ НАКРЫТИЙ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 5 01.04. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ № 2.

Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090, Россия

- 1 5 1 в

РНБ Русский фонд

2004-4 24301

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, КОНСТРУКЦИИ

И МЕТОДЫ

1.1 Фундаментальная группа и накрытия.

1.2 Фундаментальные группы отдельных классов трехмерных многообразий.

1.2.1 Расслоения Зейферта.

1.2.2 Евклидовы пространственные трехмерные формы

1.3 Подгруппы с наперед заданной факторгруппой.

1.4 Транзитивные представления группы в Sn и ее подгруппы индекса п.

1.5 Мультипликативные функции и их основные свойства.

Глава 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ ОТДЕЛЬНЫХ

КЛАССОВ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

2.1 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над расслоениями Зейферта без особых слоев.

2.1.1 Предварительные построения и результаты.

2.1.2 Дальнейшие преобразования и вычислительные примеры

2.2 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над евклидовыми пространственными трехмерными формами

Глава 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ РАССЛОЕНИЙ

ЗЕЙФЕРТА

3.1 Вспомогательные обозначения и результаты

3.2 Расслоения Зейферта типа (О,о).

3.3 Расслоения Зейферта типов (О,n), (N,n,II) (N,n,III)

3.4 Расслоения Зейферта типа (N,o).

3.5 Расслоения Зейферта типа (N,n,I) .4.

Глава 4. ПОДГРУППЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП

ТРЕХМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ФОРМ

4.1 Подготовительные результаты

4.2 Многообразия классов М.\ и М.2.

4.3 Многообразия классов Мз, М4, и М&.

4.4 Многообразия классов A/i и Л/3.

4.5 Многообразия классов Л/2 и Л/4.

Данная работа посвящена исследованию проблемы перечисления накрытий многообразий малых размерностей.

Начало систематическому изучению (разветвленных) накрытий римано-вых поверхностей, а в дальнейшем — и многообразий более высоких размерностей, было положено в классических работах А. Гурвица, относящихся к концу XIX века. Предпосылкой для таких исследований явилось то, что первоначально римановы поверхности определялись как разветвленные накрытия над расширенной комплексной плоскостью. Из такого определения, в частности, впервые была получена классическая формула Римана-Гурвица, связывающая род поверхности с родом ее накрывающей, а также с порядками и числом точек ветвления. Эта формула лежит в основе всех современных исследований по теории компактных римановых поверхностей.

При таком определении римановой поверхности последняя получается как результат склейки соответствующих берегов некоторого числа плоскостей с разрезами. Тем самым, число разветвленных нактрытий с фиксированным типом ветвления соответствует числу комбинаторных способов склейки таких плоскостей с разрезами.

В своей ставшей уже классической работе [72] А. Гурвиц в 1891 году определил производящую функцию для числа неэквивалентных накрытий заданной кратности над римановой сферой, имеющих заданное число простых точек ветвления (порядка 2). В 1900 году в частной беседе М. Ласкер посоветовал А. Гурвицу использовать в своих исследованиях теорию характеров, которая уже была развита к тому времени Г. Фробениусом [39]. Развивая идеи этой беседы, в работе 1902 года [73] А. Гурвиц показал, что полученная им ранее производящая функция достаточно просто выражается через неприводимые характеры симметрической группы.

Методами, не использующими теорию характеров, X. Рёрл [106] получил верхнюю и нижнюю оценки для числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью, имеющих заданный тип ветвления. Е. Ллойд [84] при несколько ином определении эквивалентности получил производящую функцию для числа неэквивалентных регулярных накрытий над римановой сферой с циклической группой преобразований наложения Zp для простого р > 2.

В цикле работ [25, 26, 28, 29, 31, 90] А.Д. Медных, развивая идеи А. Гур-вица, получил полное решение задачи о числе неэквивалентных неразветв-ленных накрытий заданной кратности над произвольной компактной римановой поверхностью. Им же в работах [27, 30] полностью решена восходящая к А. Гурвицу задача о числе неэквивалентных накрытий над произвольной компактной римановой поверхностью с заданным типом ветвления (задача Гурвица). В указанной работе в случае, когда род поверхности стремится к бесконечности, получена асимптотика, из которой следует, что верхняя оценка X. Рёрла [106] на порядок выше, а нижняя соответственно на порядок ниже истинного числа накрытий. Продолжая свои исследования в этой области, в работе [91] он рассмотрел частный случай задачи Гурвица, когда порядки ветвления совпадают с кратностью накрытия, и привел полученные им ранее формулы к виду, более пригодному для непосредственных вычислений.

Ранее в работе [62] были получены необходимые и достаточные условия существования накрытий с заданным типом ветвления над компактной поверхностью с неположительной эйлеровой характеристикой. Аналогичный вопрос для разветвленных накрытий над сферой и проективной плоскостью оставался открытым. Полученное А.Д. Медных [30] решение задачи Гурвица позволяет по типу ветвления и по таблицам характеров симметрических групп ответить на вопрос о существовании накрытий и в двух оставшихся случаях.

Г. Джонс, используя определенную Ф. Холлом на решетке подгрупп произвольной конечной группы G функцию Мёбиуса hq [67], разработал метод подсчета числа нормальных подгрупп произвольной конечно порожденной группы с наперед заданной конечной факторгруппой и применил его к фундаментальным группам поверхностей и неевклидовым кристаллографическим группам, а также получил с его помощью решение задачи о числе неэквивалентных циклических накрытий компактных римановых поверхностей [75, 76].

М. Коркмаз [78], рассмотрев задачу о порождающих элементах группы классов отображений поверхности, получил конечное число порождающих в случае неориентируемой проколотой поверхности. В частности, им установлено, что если поверхность имеет по крайней мере два прокола, то с точностью до сопряжения имеются четыре порождающих.

В работе [47] предложено чисто геометрическое, основанное на результатах теории квазиконформных отображений, решение задачи о существовании разветвленного накрытия над двумерной сферой с наперед заданным типом ветвления, решенной ранее А.Д. Медных алгебраическими методами с привлечением теории характеров [30].

Постепенно методы, разработанные и успешно применяемые в двумерном случае, стали переноситься в область исследования трехмерных многообразий. Здесь следует отметить цикл работ В.А. Лисковца и А.Д. Медных [81, 82, 83]. В данных работах авторы, применяя разработанный ими для этой цели алгебраический подход, основанный на транзитивном представлении конечно порожденной группы в симметрической группе Sn, получили формулы для отыскания числа подгрупп заданного индекса фундаментальных групп расслоений Зейферта без особых слоев для четырех из шести классов расслоений Зейферта, которое тесно связано с числом накрытий указанных многообразий.

К сожалению, на данный момент в этом направлении не удалось достичь большего продвижения и получить результаты для числа накрытий над указанными многообразиями, а также расширить класс рассматриваемых 3-мно-гообразий. Вызвано это целым рядов обстоятельств, среди которых наиболее значимыми являются, во-первых, значительно большая сложность строения фундаментальных групп 3-многообразий по сравнению с двумерной ситуацией, и, во-вторых, отсутствие в настоящее время единой классификации всех 3-многообразий, что вызывает необходимость поиска своих подходов к каждому из известных классов 3-многообразий.

Повышенный интерес в последние годы к решениям задачи Гурвица, различных ее вариаций и связанных с ними задач обусловлен как потребностями развития теории, так и многочисленными приложениями таких результатов в различных областях современной науки — начиная с чистой и прикладной математики и заканчивая теоретической физикой, при исследовании соли-тонных решений, и теорией струн.

Так, например, авторы работы [96] открыли интересную связь между задачей Гурвица и интегралами Ходжа. Вводя в рассмотрение потенциалы

Громова-Виттена и используя результаты А.Д. Медных о числе разветвленных накрытий над римановыми поверхностями [30, 91], авторы получили порождающую функцию для простых чисел Гурвица в терминах теории представлений симметрической группы Sn. На этой основе авторами получена порождающая функция для интегралов Ходжа на фазовом пространстве римановых поверхностей с двумя отмеченными точками.

В работе [79] авторы, интерпретируя число разветвленных накрытий рима-новой поверхности римановой поверхностью как соответствующий инвариант Громова-Виттена и применяя формулу склейки, вывели рекурсивное соотношение для числа указанных накрытий с элементарными точками ветвления и наперед заданным типом ветвления над особой точкой.

В работе [61] получены формулы для вычисления объемов фазовых пространств голоморфных дифференциалов, исходя из интерпретации указанных объемов как асимптотических значений числа связных разветвленных накрытий тора, когда их степень стремится к бесконечности, а тип ветвления зафиксирован. Указанные результаты находят применение в задачах, связанных с биллиардами в рациональных полигонах, а также находятся в связи с интервальными обменами и экспонентами Ляпунова геодезического потока Тейхмюллера.

В настоящей работе продолжен цикл исследований комбинаторных аспектов теории накрытий многообразий малых размерностей, начатый в указанных выше работах. При этом, особое внимание уделено рассмотрению трехмерных многообразий.

В связи с тем, что в настоящее время не существует единой классификации трехмерных многообразий, в настоящей работе рассматрвиаются отдельные замкнутые классы 3-многообразий. Одним из таких естественных классов является класс компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.

Еще из фундаментальных результатов J1. Бибербаха [48, 49] о кристаллографических группах в n-мерном евклидовом пространстве следует, что в i

I каждой размерности существует лишь конечное число негомеоморфных ев клидовых пространственных форм (то есть связных полных римановых пространств постоянной нулевой кривизны), причем каждая из них допускает конечнолистное накрытие тором той же размерности.

В трехмерном случае впервые все десять негомеоморфных евклидовых форм были приведены в работе В. Ханцше и Г. Вендта [68]. В этой работе бы* ла дана топологическая характеризация указанных многообразий, приведены копредставления фундаментальных групп этих многообразий, а также указаны их порождающие в группе движений трехмерного евклидова пространства Е3. Необходимо отметить, что отдельные трехмерные евклидовы формы появлялись и ранее указанной работы в исследованиях других математиков. Однако, последняя неизвестная в то время трехмерная евклидова форма, принадлежащая классу Л4$ в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2), была приведена впервые именно в работе [68], в связи с чем она и получила впоследствии название многообразия Ханцше-Вендта.

Несмотря на достаточно продолжительную историю исследования трехмерных евклидовых форм, в последние несколько лет интерес к их изучению резко возрос в связи с рядом результатов, устанавливающих связь этих объектов с другими областями современной науки. Среди указанных результатов отметим следующие. k

Недавно Д. Лонгом и А. Ридом [85] было установлено, что для любого п > 2 каждая евклидова n-форма с точностью до диффеоморфизма возникает как сечение некоторого каспа подходящего гиперболического (п -f- 1)-орбифолда. Этот результат дает частичный ответ на вопрос, поставленный Ф. Фарреллем и С. Здравковской [64], о том, является ли каждое плоское п-многообразие с точностью до диффеоморфизма сечением каспа подходящего гиперболического (п + 1)-многообразия конечного объема с одним каспом (оговорка «с точностью до диффеоморфизма» вызвана известным следствием из теоремы жесткости Мостова, в соответствии с которым существуют некоторые алгебраичесие ограничения на изометрический тип плоского п-многообразия, которое может возникать как сечение каспа гиперболического (п + 1)-многообразия конечного объема). * В трехмерном случае в данной области известно нечто большее. А именно, в работе [99] установлено, что каждая евклидова трехмерная форма получается как сечение каспа гиперболического 4-многообразия. Однако, при этом, все же, нельзя утверждать, что число каспов равно единице. Кроме того, в трехмерном случае известен результат Дж. Рэтклифа и С. Чанца, полученный ими в работе [105]. Здесь при помощи специально разработанной для этих целей компьютерной программы построен перечень из 1171 ги-» перболического 4-многообразия минимального объема, каждое из которых получается отождествлением соответствующих сторон идеальной 24-клетки в гиперболическом пространстве Н4. Эти многообразия являются простейшими среди полных гиперболических 4-многообразий конечного объема. С помощью этой серии многообразий авторы доказывают, что спектр объемов гиперболических 4-многообразий есть множество всех положительных целочисленных кратных числа 47г2/3 (таким образом, в четырехмерном гипербо-► лическом случае ситуация аналогична двумерному, поскольку уже более ста лет известно, что спектр объемов гиперболических 2-многообразий есть множество всех положительных целочисленных кратных числа 2-п). При этом, в частности, установлено, что все трехмерные евклидовы формы, за исключением классов Л4з, М.4, М-ъ в обозначениях настоящей работы, возникают с точностью до диффеоморфизма как сечения каспов указанных гиперболических 4-многообразий.

Отметим здесь также некоторые связи трехмерных евклидовых форм с теорией спектра оператора Лапласа-Бельтрами Д(/) = —divgrad(/). Данный оператор возникает в математической физике в связи с волновым уравнением и уравнением теплопроводности.

В первой половине XX века интерес в изучению спектра оператора Лапласа-Бельтрами был вызван предположением о том, что собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами, заданного на двумерной области М, полностью определяют геометрию М. Такое предположение было во многом обусловлено результатом Г. Вейля [120], которым было установлено, что спектр оператора Лапласа-Бельтрами на М определяет такой важный геометрический инвариант М, как объем vol(M). В популярной форме этот вопрос был сформулирован М. Кацем [77] так: «Можно ли услышать форму барабана?».

На строгом математическом языке указанная проблема формулируется следующим образом: если многообразия М и М' изоспектральны, то следует ли отсюда, что они изометричны? При этом два многообразия М и М' называются из о спектральными, если спектры оператора Лапласа-Бельтрами на Ми М' совпадают.

Первый отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1964 году Дж. Милнором [93], которым были построены два 16-мерных изоспектраль-ных, но не изометричных тора. Однако, в двумерном случае Р. Бруксом в 1988 году [56] было установлено, что два двумерных тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. Оказывается, отрицательный ответ получается уже в четырехмерном случае. А именно, в 1990 году А. Шиманом [111] были построены два четырехмерных изоспектральных неизометричных тора. Затем им же в 1997 году [112] было доказано, что в размерности три два тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.

Естественно возникает вопрос о том, как разрешается упомянутая проблема в классе всех компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.

В 2002 году Р. Исангуловым [12] было установлено, что любые две го-меоморфные трехмерные евклидовы формы изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны, то есть в каждом из классов A4i, ., Л4б, A/i, ., ЛГ4 в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2) изоспектраль-ность эквивалентна изометричности.

После упомянутого результата открытым оставался вопрос о том, могут ли быть изоспектральными две трехмерные евклидовы формы из разных классов (неизометричными они будут автоматически).

Положительный ответ на поставленный вопрос был получен Дж. Конвеем и Дж. Розетти [57, 58], которыми были построены изоспектральные многообразия классов и Л4q в обозначениях настоящей работы.

Отдельного внимания заслуживает результат Т. Сунады [116]. Им был открыт общий метод построения пар изоспектральных неизометричных многообразий. Метод Т. Сунады основан на рассмотрении римановых накрытий и сведении исходной задачи к исследованию определенных конечных групп. В связи с результатами Т. Сунады закономерно возникает вопрос о числе классов изоспектральных накрытий заданной кратности над произвольным римановым многообразием. Однако, несмотря на идейную близость к исследуемой в настоящей работе проблеме, в настоящее время нет даже подходов к решению задачи о перечислении классов изоспектральных накрытий.

Другим рассматриваемым в настоящей работе классом трехмерных многообразий являются расслоения Зейферта.

Многообразия, получившие впоследствии название расслоений Зейферта (многообразий Зейферта, расслоенных пространств Зейферта), первоначально были введены и классифицированы Г. Зейфертом в 1933 году в работе [109] в связи с попыткой решения проблемы классификации трехмерных многобра-зий. С тех пор этот класс многообразий был широко изучен. Несмотря на это, различные аспекты многообразий Зейферта продолжают изучаться и до сих пор [44].

Такой интерес к изучению указанного класса многообразий вызван тем, что многообразия Зейферта представляют собой очень важный класс трехмерных многообразий. Это объясняется несколькими причинами.

С одной стороны, класс многообразий Зейферта довольно широк. Если, например, взять лист бумаги и нарисовать на нем диаграмму Хегора какого-нибудь трехмерного многообразия, то оно почти наверняка окажется многообразием Зейферта. Дело в том, что на листе бумаги можно изобразить не слишком сложную диаграмму, а все такие диаграммы задают либо многообразия Зейферта, либо их связные суммы.

С другой стороны, наличие структуры расслоения Зейферта открывает пути их систематического изучения. Можно сказать, что многообразие Зейферта ведет себя поддающимся контролю образом в направлении слоев, и остается изучить его поведение в перпендикулярном двумерном направлении. В этой связи с геометрической точки зрения можно представлять себе расслоение Зейферта как своего рода слоение над двумерным орбифолдом со слоем окружность.

Необходимо также отметить, что многообразия Зейферта важны и с точки зрения геометрии и топологии произвольных трехмерных многообразий.

Известно, что все замкнутые трехмерные многообразия, геометризуемые по образцу шести из всех восьми возможных трехмерных геометрий, открытых У. Тёрстоном [118], являются расслоениями Зейферта (исключение составляют лишь геометрии Н3 и Sol). Более того, в каждом неприводимом трехмерном многообразии с непустым несжимаемым краем можно выделить однозначно определенное так называемое характеристическое подмногообразие Зейферта, дополнение к которому обладает рядом интересных свойств. Например, каждая компонента дополнения имеет гиперболическую структуру — это утверждение составляет содержание доказанной части знаменитой геометризационной гипотезы Тёрстона.

Интересно также обобщенное понятие расслоения Зейферта, когда допускается наличие слоев, являющихся неориентируемыми окружностями. Это определение является более общим, чем исходное определение Зейферта. В этом обобщенном смысле компактное трехмерное многообразие представляет собой слоение Зейферта тогда и только тогда, когда оно допускает слоение на окружности (без каких либо ограничений на взаимное расположение слоев). Эти более общие слоения Зейферта рассматривались, в частности, в работах П. Орлика и Ф. Раймона [101], а также Р. Финтушела [65]. Известны также и другие обобщения понятия расслоения Зейферта.

Наконец, представляет интерес установленный в цикле работ [119, 107, 108, 50, 51] тот факт, что если два расслоения Зейферта гомотопически эквивалентны (то есть их фундаментальные группы изоморфны), то сами многообразия гомеоморфны. Таким образом, среди расслоений Зейферта нет контрпримера гипотезе Пуанкаре.

Кроме того, в работе [107] устанавливается свойство своего рода замкнутости класса расслоений Зейферта относительно накрытий. А именно, если М — замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой, допускающее конечнолистное накрытие расслоением Зейферта, то 3VC само является расслоением Зейферта.

В настоящей работе продолжается исследование указанных классов трехмерных многообразий с несколько иной точки зрения, которая, по нашему мнению, недостаточно развита в существующих работах в этой области. А именно, нас интересуют комбинаторные аспекты этих многообразий.

Методика исследования. В работе широко используются методы теории групп, теории представлений симметрических групп, теории характеров, алгебраической топологии, комбинаторные методы и методы теории мультипликативных функций.

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Получены формулы для отыскания числа неэквивалентных циклических накрытий заданной кратности над расслоениями Зейферта без особых слоев.

II. Получены формулы для подсчета числа указанных накрытий над компактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями, а также найден критерий существования циклических накрытий над многообразием Ханцше-Вендта.

III. Полностью решена задача перечисления неэквивалентных циклических накрытий фиксированной кратности для класса всех расслоений Зейферта.

IV. Выведены формулы для подсчета числа подгрупп заданного индекса в фундаментальных группах трехмерных евклидовых форм.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории многообразий малых размерностей, геометрической топологии и теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г. Решетняка, семинарах Института математики СО РАН «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» под руководством профессора А.Д. Медных, «Геометрия, топология и их приложения» под руководством член-корреспондента РАН, профессора И. А. Тайманова, «Эварист Галуа», а также докладывались на XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 70-летию академика В.А. Коп-тюга (г. Новосибирск, 2001), Международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2001), XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2002), Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г. Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 2002), Международной конференции по теории чисел и арифметической геометрии (г. Вейхай, Китай, 2002), XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2003), Международной школе-конференции «Комбинаторика, топология, выпуклость: их общие точки» (г. Иерусалим, Израиль, 2003), Пятой международной конференции по геометрии и топологии, посвященной памяти А.В. Погорелова (1919-2002) (г. Черкассы, Украина, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [123] - [131].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 176 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 131 наименования, содержит 12 рисунков и 9 таблиц.

1. Александров А.Д., Решетник Ю.Г. Поворот кривой в п-мерном евклидовом пространстве // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29, № 1. - С. 3-22.

2. Апанасов Б.Н. Дискретные группы преобразований и структуры многообразий. Новосибирск: Наука, 1983. - 242 с.

3. Бердон А. Геометрия дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука, 1986. - 304 с.

4. Берже М. Геометрия: Пер. с франц. М.: Мир, 1984. - Т. 1. - 560 е.; Т. 2. - 368 с.

5. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Соврем, пробл. матем. Фу идам, направления. - Т. 29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 147-259.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1988. - 143 с.

7. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. М.: Наука, 1982. - 480 с.

8. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. Т. 1. -М.: Наука, 1988. - 416 с.

9. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел: Пер. с англ. М.: Наука, 1971. - 200 с.

10. Ершов Ю.Л. Свойства решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях // Алгебра и логика. 2000. - Т. 39, № 1. - С. 66-73.

11. Зейферт Т., Трельфалль В. Топология: Пер. с нем. М.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.

12. Исангулов P.P. Изоспектральные плоские 3-многообразия: Маг. дисс. -Новосибирск: НГУ, 2002. 41 с.

13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 288 с.

14. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. - 648 с.

15. Коксетер Г., Мозер У. Пороэюдающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука, 1980. - 240 с.

16. Коробов А.А. Базы тождеств некоторых треугольных линейных групп. Препринт ИМ СО РАН. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1992. - 35 с.

17. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 495 с.

18. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 348 с.

19. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 448 с.

20. Лисковец В.А. К перечислению подгрупп свободной группы // Докл. АН БССР. 1971. - Т. 15, № 1. - С. 6-9.

21. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений: Пер. с англ. М.: Наука, 1974. - 455 с.

22. Маклейн С. Гомология: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. - 543 с.

23. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 343 с.

24. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 301 с.

25. Медных А.Д. Определение числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239, № 2. - С. 269-271.

26. Медных А.Д. О неразветвленных накрытиях компактных поверхностей // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 244, № 3. - С. 529-532.

27. Медных А.Д. Разветвленные накрытия римановых поверхностей/. Канд. дис. Новосибирск: Ин-т мат., 1979. - 104 с.

28. Медных А.Д. К решению задачи Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 261, № 3. - С. 537-542.

29. Медных А.Д. К задаче Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Сиб. мат. журн. 1982. -Т. 23, № 3. - С. 155-160.

30. Медных А.Д. Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления // Сиб. мат. журн. 1984. - Т. 25, № 4. -С. 120-142.

31. Медных А.Д., Позднякова Г.Г. О числе неэквивалентных накрытий над компактной неориентируемой поверхностью // Сиб. мат. журн. -1986. Т. 27, № 1. - С. 123-131.

32. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 519 с.

33. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

34. Решетняк Ю.Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. 1994. - Т. 35, №. 4. - С. 860-878.

35. Решетняк Ю.Г. Геометрия пространств с кривизной, ограниченной сверху // 2 Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996: Тез. докл. Новосибирск, 1996. - Ч. 1. -С. 68.

36. Родосский К.А. Алгоритм Евклида. М.: Наука, 1988. - 240 с.

37. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 168 с.

38. Стэнли Р. Перечислительная комбинаторика: Пер.с англ. М.: Мир, 1990. - 440 с.

39. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков: ОНТИ, 1937. - 214 с.

40. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. - 424 с.

41. Холл М. Теория групп: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. -468 с.

42. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 187 с.

43. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы: Пер. с англ. М.: Наука, 1988. - 688 с.

44. Aaslepp К., Drawe М., Hayat-Legrancl С., Sczesny С.A., Zeischang Н. On the cohomology of Seifert and graph manifolds j j Topology Appl. 2003. - V. 127, N. 1-2. - P. 3-32.

45. Anderson D.R., Apostol T.M. The evaluation of Ramanujan's sum and generalizations // Duke math. J. 1953. - V. 20. - P. 211-216.

46. Apostol T.M. Introduction to Analytic Number Theory. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag, 1976. - 338 p.

47. Barariski K. On realizability of branched coverings of the sphere // Topology and its Applications. 2001. - V. 116. - P. 279-291.

48. Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der euklidischen Raume / // Math. Ann. 1911. - V. 70. - P. 297-336.

49. Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der euklidischen Raume II // Math. Ann. 1912. - V. 72. - P. 400-412.

50. Boileau M., Otal J.-P. Groupe des diffeotopies de certaines varietes de Seifert // C. R. Acad. Sci, Pans, Ser I. 1986. - V. 303. - P. 19-22.

51. Boileau M., Otal J.-P. Scindements de Heegaard et groupe des homiotopies des petites varietes de Seifert // Invent. Math. 1991. - V. 106, N. 1. -P. 85-107.

52. Bogopol'skij O.V. Almost free groups and the M. Hall property // Algebra Logic. 1994. - V. 33, N. 1. - P. 1-13.

53. Bogopol'skij O.V. The automorphic conjugacy problem for subgroups of fundamental groups of compact surfaces // Algebra Logic. 2001. - V. 40, N. 1. - P. 17-33.

54. Bridson M.R., Haefliger A. Metric spaces of поп-positive curvature. Berlin et al.: Springer, 1999. - Fundamental Principles of Mathematical Sciences. -V. 319. - 643 p.

55. Brooks R. On branched coverings of 3-manifolds which fiber over the circle // J. reme und angew. Math. 1985. - V. 36, N. 2. - P. 87-101.

56. Brooks R. Constructing isospectral manifolds // Amer. Math. Monthly. -1988. V. 95. - P. 823-839.

57. Conway J.H., Rossetti J.P. Describing the platycosms // http://www.arxiv.org math.DG/0311476 - 2003. - 47 p.

58. Conway J.H., Rossetti J.P. Hearing the platycosms // http://www.arxiv.org math.DG/0311470 - 2003. - 20 p.

59. Dehn M. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes // Math. Ann. 1910. - V. 69 - P. 137-168.

60. Ershov Yu.L. On d-spaces // Theoret. Comput. Sci. 1999. - N. 224. -P. 59-72.

61. Eskin A., Okunkov A. Asymptotics of numbers of brached coverings of a torus and volumes of moduli spaces of holomorphic differentials // Invent. Math. 2001. - V. 145. - P. 59-103.

62. Ezell C.L. Branch point structure of coverings maps onto nonorientable surface // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. - V. 243. - P. 123-133.

63. Farkas H.M., Kra I. Riemann Surfaces. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag, 1980. (Graduate texts in Math., V. 71). - 340 p.

64. Farrell F.T., Zdravkovska S. Do almost flat manifolds bound? // Mich. Math. J. 1983. - V. 30. - P. 199-208.

65. Fintushel R. Local Sl-actions on 3-manifolds // Pacific J. Math. 1976. -V. 66. - P. 111-118.

66. Hall M, Jr. Subgroups of finite index in free group // Canad. J. Math. -1949. V. 2, N. 2. - P. 187-190.

67. Hall P. The Eulerian functions of a group // Quatrerly J. Math. Oxford. -1936. V. 7. - P. 134-151.

68. Hantzsche W., Wendt H. Dreidimensionale euklidische Raumforrnen // Math. Ann. 1935. - V. 110. - P. 593-611.

69. Hempel J. 3-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Press; Univ. of Tokyo Press, 1976. - 195 p.

70. Hodgson C., Rubinstein J.H. Involutions and isotopies of lens spaces // Lect. Notes Math. 1985. - V. 1144. - P. 60-96.

71. H5lder 0. Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung Km(x) = 0 // Prace Mat.-Fiz. 1936. - V. 43. - P. 13-23.

72. Hurwitz A. Uber Riemann'sche Elcichen mit gegeben Verzweigungspunkten 11 Math. Ann. 1891. - Bd. 39. - S. 1-61.

73. Hurwitz A. Uber die Awzahl der Riemannschen Elachen mit gegeben Verzweigungspunkten // Math. Ann. 1902. - Bd. 55. - S. 53-66.

74. James G.D. The Representation Theory of the Symmetric Groups -Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1978. (Lect. Notes in Math., V. 682).

75. Jones G.A. Enumeration of homomorphisms and surface-coverings // Quarterly J. Math. Oxford. 1995. - V. 46, N. 2. - P. 485-507.

76. Jones G.A. Counting subgroups of non-euclidean crystallographic groups // Math. Scand. 1999. - V. 84. - P. 23-39.

77. Кас М. Can one hear the shape of a drum // Amer. Math. Monthly- 1966.- V. 73. P. 1-23.

78. Korkmaz M. On generators of the mapping class group of a nonorientable surface / http://citeseer.nj.nec.com/korkmaz98generators.html

79. Li A.-M., Zhao G., Zheng Q. The number of ramified coverings of a Riemann surface by Riemann surface j j Commun. Math. Phys. 2000.- V. 213. P. 685-696.

80. Liskovets V. Reductive Enumeration Under Mutually Orthogonal Group Action // Acta App. Math. 1998. - V. 52. - P. 91-120.

81. Liskovets V., Mednykh A. On the Number of Subgroups in the Fundamental Groups for a class of Seifert Fibre Spaces — Dresden, 1997. (Prepr. ser. / Univ. Dresden; MATH-AL-15-1997). 21 p.

82. Liskovets V., Mednykh A. Enumeration of subgroups in the fundamental groups of orientable circle bundles over surfaces // Comm. in Algebra. -2000. V. 28, N. 4. - P. 1717-1738.

83. Lloyd E. Riemann surface transformation groups // J. Combinatorial Theory (A). 1972. - V. 13. - P. 17-27.

84. Long D.D., Reid A.W. All flat manifolds are cusps of hyperbolic orbifolds 11 Algebr. Geom. Topol. 2002. - V. 2. - P. 285-296.

85. Lubotzky A. Counting finite index subgroups j j Lond. Math. Soc. Lect. Notes Ser. 212 Groups'93: Galway/St.Andrews. - V. 2. - P. 368-404.

86. Luft E., Sjerve D. 3-manifolds with subgroup in their fundamental group // Pacific J. Math. 1984. - V. 114. - P. 191-205.

87. Macbeath A.M. On a theorem of Hurwitz // Proc. Glasgow Math. Assoc. -1961. V. 5. - P. 90-96.

88. Magajna Z., Mohar B. Existence of branched coverings of surfaces // Preprint Series Dept. Math, Univ, Ljubljana. 1985. - V. 23, N. 138. -P. 345-368.

89. Mednykh A.D. On the number of subgroups in the fundamental group of a closed surface // Comm. m Algebra. 1988. - V. 16, N. 10. - P. 2137-2148.

90. Mednykh A.D. Branched coverings of Riemann surfaces whose branch orders coincide with the multiplicity // Comm. in Algebra. 1990. - V. 18, N. 5. - P. 1517-1533.

91. Mednykh A., Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. 2001. - V. 38, N. 6. - P. 1167-1177.

92. Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. NAS USA. 1964. - V. 51. - P. 542.

93. Minkus J. The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links // Mem. Am. Math. Soc. 1982. - V. 255. - 68 p.

94. Molnar E. On isometrics of space forms. Proceedings of the Konference on Differential Geometry and its Applications (Eger, 1989). - Amsterdam: North-Holland, 1992. - P. 509-534.

95. Monni S., Song J. S., Song Y. S. The Hurwitz Enumeration Problem of Branched Covers and Hodge Integrals // http://www.arxiv.org hep-th/0009129 - 2000. - 35 p.

96. Nicol C.A. Linear congruences and the von Sterneck function // Duke Math. J. 1959. - V. 26, N. 1-2. - P. 193-197.

97. Nicol C.A., Vandiver H.S. A von Sterneck arithmetical function and restricted partitions with respect to a modulus // Proc. Nat. Amer. Acad. Sci. 1954. - V. 40, N. 9. - P. 825-834.

98. Nimershiem B.E. All at three-manifolds appea,r as cusps of hyperbolic four-manifolds // Topology and Its Appl. 1998. - V. 90. - P. 109-133.

99. Orlik P. Seifert manifolds. Lecture Notes in Mathematics (291). -Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1972. - 156 p.

100. Orlik P., Raymond F. On 3-manifolds with local SO(2)-action // Qyart. J. Math. 1969. - V. 20. - P. 143-160.

101. Ovchinnikov M. The long-eight-figure spines of lens spaces and binary trees I j Acta Appl. Math. 2003. - V. 75, N. 1-3. - P. 15-24.

102. Ramanathan K.G. Some applications of Ramanujan's trigonometrical sum, Cm(n) // Proc. Ind. Acad. Sci. 1945. - V. 20. - P. 62-69.

103. Ramanujan S. Collected papers. / Edited by G.H. Hardy, P.V. Seshu, B.M. Wilson. Cambridge: University Perss, 1927. - XXXVI+355 p.

104. Ratcliffe J.G., Tschantz S.T. The volume spectrum of hyperbolic 4-manifolds // Exp. Math. 2000. - V. 9, N. 1. - P. 101-125.

105. Rohrl H. Unbounded coverings of Riemann surfaces and extensions of ring of meromorphic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 107. -N. 2. - P. 320-343.

106. Scott P. There are no fake Seifert fibre spaces with infinite ix\ // Ann. Math. 1983. - V. 117. - P. 35-70.

107. Scott P. Homotopy implies isotopy for some Seifert fibre spaces // Topology. 1985. - V. 24. - P. 341-351.

108. Seifert H. Topologie dreidimensionaler gefaserter Raume j j Acta Math. -1933. V. 60. - P. 147-238.

109. Seifert H. Topology of 3-dimensional Fibered Spaces. New York/London/Toronto/Sydney/San Francisco: Academic Press, 1980. - 438 p.

110. Schiemann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension ^ mit gleichen Darstellungszahlen // Arch. Math. 1990. -V. 54. - P. 372-375.

111. Schiemann A. Ternary positive definite quadratic forms are determined by their thete series // Math. Ann. 1997. - V. 308. - P. 507-517.

112. Shmatkov R.N. Euclidean structure on the Whitehead link cone-manifold. Mannheim, Heidelberg, 2001. - 26 p. - (Prepr. ser. / Univ. Mannheim und Univ. Heidelberg; N 5).

113. Sunada T. Riem,annian coverings and isospectral manifolds // Ann. of Math. 1985. - V. 121. - P. 169-186.

114. Vinberg E.B., Shvartsman O.V. Discrete groups of motions of spaces of constant curvature. Encycl.Math.Sc. Geometry II. - Berlin et al.: Springer, 1993.- P. 139-254.

115. Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology. Princeton: Princeton Univ. Press, 1997. - 311 p.

116. Waldhausen F. Gruppen mit zentrum und 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten // Topology. 1967. V. 6. - P. 505-517.

117. Weyl H. Uber die Asymptotische Verteilung der Eigenwerte // Nachr-der Konigl. Ges d. Wiss Zu Gottingen. 1911. - P. 110-117.

118. Weyl H. Uber das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannscher Flachen von gegebener Verzuieigungsart // Comment. Math. Helv. 1931. - V. 3. - P. 103-113.

119. Wieland H. Finite permutation groups Acad. Press, 1964. - 214 p. Работы автора по теме диссертации

120. Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта j j Математические труды. 2003. - Т. 6, № 1. - С. 182-201.

121. Шматков М.Н. Перечисление неэквивалентных циклических накрытий компактного связного плоского трехмерного риманова многообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. - С. 429-441.

122. Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта Материалы XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. - С. 78-79.

123. Шматков М.Н. Подсчет числа неэквивалентных циклических накрытий для некоторых 3-многообразий Тезисы докладов 5-й международной конференции по геометрии и топологии памяти А.В. Погорелова (1919-2002). - Черкассы: Изд-во ЧГТУ, 2003. - С. 149-151.