Построение специальных спайнов многообразий Вальдхаузена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Представление гомеотопий тора

-полиэдрами

§1. Алгебра и геометрия ,1-полиэдров

§2. Точное представление гомеотопий тора

Трехмерные многообразия можно охарактеризовать как пространства, локально устроенные так же, как наше пространство, в котором все мы живем. Эта близость к нашему мировосприятию придает особую интригу тому обстоятельству, что проблемы трехмерной топологии, при всей наглядности и понятности даже математикам, неспециалистам в этой области, оказываются подчас очень трудными. Наиболее известные примеры таких проблем это гипотеза Пуанкаре и проблема классификации 3-многообразий. Одним из основных подходов к исследованиям проблем топологии многообразий является использование наиболее удачного, с точки зрения исследуемой задачи, способа представления многообразий. Специальные спайны — один из наглядных способов задания 3-многообразий.

Специальные спайны как способ представления 3-многообразий успешно использовались С. Матвеевым ((27, 10]), Д. Гиллманом и Д. Ролфсеном ([6]), Дж. Виксом1([1]) при получении новых результатов, касающихся классических проблем топологии 3-многообразий: гипотезы Пуанкаре, гипотезы Зимана, гипотезы Эндрюса-Кертиса, проблемы вычисления объемов гиперболических многообразий. В. Тураев и О. Виро использовали специальные спайны для построения квантовых инвариантов 3-многообразий ([18, 17]).

Гомеоморфизмы тора в топологии 3-многообразий занимают особое место. С одной стороны, они устроены значительно проще, чем гомеоморфизмы любой поверхности большего рода. С другой — для получения любого замкнутого ориентируемого 3-многообразия достаточно вырезания из 3-сферы нескольких полноторий с последующим вклеиванием их обратно по подходящим гомеоморфизмам торов на себя. Многообразия Зейферта и многообразия Вальдхаузена имеют только торические края. В знаменитой геометризационной гипотезе Терстона речь идет о каноническом разрезании многообразий вдоль торов. Эти обстоятельства обусловливают актуальность исследования связей специальных спайнов с торами в 3-многообразиях.

Работа выполнена при поддержке грантами РФФИ N 99-01-00813 и "Университеты России (фундаментальные исследования)" N 992742

На двойственном языке сингулярных триангуляции

В настоящей диссертации разрабатывается способ представления гомеоморфизмов тора на себя посредством полиэдров, эффективный при построении специальных спайнов 3-многообразий и при изучения инвариантов, основанных на представлении 3-многообразий специальными спайнами. В работе строятся специальные спайны многообразий Вальдхаузена и доказываются некоторые свойства конечности инвариантов Тураева-Виро для этих многообразий.

Определение. Компактный двумерный полиэдр называется простым, если линк каждой его сингулярной точки является полным графом с четырьмя вершинами или тэта-кривой. Компоненты связности множеств точек этих двух типов и множества регулярных точек называются 0-, 1- и 2-компонентами полиэдра соответственно. Простой полиэдр называется специальным, если все его компоненты — клетки. Полиэдр называется простым с краем, если помимо указанных точек трех типов, он содержит точки, у которых линк является отрезком или триодом, — эти точки составляют край полиэдра. Полиэдры без края считаются частным случаем полиэдров с краем. Край полиэдра Р обозначается дР.

Определение. Полиэдр, лежащий в компактном 3-многообразии, называется спайном данного многообразия, если его дополнение в многообразии гомеоморфно открытому трехмерному шару или прямому произведению края многообразия на полуинтервал.

Спайн называется специальным (простым) спайном, если он является специальным (простым) полиэдром.

Специальные спайны 3-многообразий в неявном виде присутствуют уже в классических подходах в топологии 3-многообразий — в виде клеточных комплексов, двойственных к триангуляциям и псевдотри-ангуляциям многообразий. Некоторые свойства специальных спайнов исследовались Э. Зиманом. Историю специальных спайнов как самостоятельного объекта изучения отсчитывают от работы [3] Б. Каслера 1965 года. В этой работе впервые было явно сформулировано и показано, что по своему специальному спайну 3-многообразие восстанавливается однозначно. Значение этого результата в том, что благодаря этому выявленному свойству специальные спайны могут использоваться как точное представление 3-многообразий наряду, например, с такими способами представления 3-многообразий, как полный крендель с нарисованными на нем кривыми или многогранник с отождествленными гранями.

Отметим, что Каслер термином "специальные спайны" не пользовался, называя такие спайны стандартными. Гиллман и Ролфсен стандартными спайнами называли несколько более широкий класс спай-нов, а каслеровские спайны называли стандартными* (со звездочкой) ([6]). В данной работе эквивалентом понятия стандартности* является понятие специальности, а просто стандартности — понятие простоты полиэдра. Фундаментальным является результат С. Матвеева о достаточности локальных преобразований двух видов и их обратных для перехода от одного специального спайна к любому другому специальному спайну того же многообразия ([26, 27]).

Ребра (1-компоненты) и вершины сингулярного графа, лежащие внутри полиэдра, называются ребрами (I-компонентами) и вершинами самого полиэдра.

Тэта-кривой называется граф, гомеоморфный окружности с диаметром. Тэта-кривую в будем называть размеченной, если ее вершины и ребра пронумерованы. Для удобства в тексте вершины и ребра будем считать помеченными вместо номеров символами ь>2 и соответственно. Ребра считаем ориентированными от 1>1 к го.

Полиэдр Р будем называть размеченным, если его край состоит из тэта-кривых и тэта-кривые снабжены разметками .

Определение. Пусть 6\ и 62 — две размеченные тэта-кривые. а V Ь — букет ориентированных окружностей а и 6 с вершиной *. и клеточное отображение / : в\ и во —> а V Ь действует по правилу: к : б! а,е2 -> 6, е3 *;

Цилиндр Су1(/) отображения /, рассматриваемый вместе с разметкой тэта-кривых, назовем полиэдром

Если край полиэдра Р состоит из двух тэта-кривых и тэта-кривые снабжены номерами "первая" и "вторая" (помечены символами 61,62). то полиэдр Р будем называть ориентированным. Пусть простые полиэдры Р\ и Р2, имеющие край из двух тэта-кривых, размечены и ориентированы. Размеченный полиэдр Р назовем произведением размеченных полиэдров Р\, Р2, если он получается склеиванием копий полиэдров Р\ и Р2 путем отождествления второй тэта-кривой из дР\ с первой из дР2 в соответствии с разметкой.

Прямое произведение тэта-кривой на отрезок будем обозначать 9x1. Через (J) обозначим моноид, порожденный полиэдром J и размеченными полиэдрами, гомеоморфными 9x1. Единицей 1 в нем является 9x1, у которого края размечены одинаково относительно проекции прямого произведения.

Полиэдры из (J) без учета разметки будем называть J-полиэдрами. Обозначим (J\J2) фактор моноида (J) по отношению эквивалентности. порожденному соотношением J2 = 1. Отметим, что (J\J2) — это не группа порядка 2, так как J здесь не формальная переменная, а топологический объект, для которого, вообще говоря, допустимы несколько вариантов дополнительной структуры (разметки). Ромеотопиями пространства Л" называются гомеоморфизмы пространства на себя с точностью до изотопий. Гомеотопии составляют группу, обозначаемую Homeot(X).

Теорема 1. Моноид (J\J2) является группой, изоморфной группе Homeot(T2).

Формально-алгебраические свойства J-полиэдров тесно связаны с их полезными геометрическими свойствами, описываемыми следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть 3-многообразия М\ и М2 получены из 3-многообразия Mq, возможно несвязного, склеиваниями /ь h Т\ —> Т2 торов края OMq.

Предположим, что подполиэдр Pq С Mq и лежащие в нем тэта-кривые 9[ и 9'2 таковы, что в\ и 9'2 являются неразбиваюгцими тэта-кривыми в торах Т} и Ту соответственно и гомеоморфизмом f\ отображаются друг на друга, и полиэдр Р\, полученный из полиэдра Ру склейкой тэта-кривых 9'1,9'2 посредством этого отождествления, является спайном многообразия М\. Тогда существуют J-полиэдр R и гомеоморфизм приклейки '■ dR —> в[ U 9'2 С Pq такие, что полиэдр Pi = RUgo Pq является спайном многообразия M-j.

Рассмотрим в трех проективных плоскостях соответственно одну, две и три нестягиваемые окружности в общем положении и попарно пересекающиеся только в одной точке. Полиэдры, полученные приклейкой диска вдоль каждой окружности, обозначим Р\,Р2,Ръ-В каждой окружности отметим точку, не принадлежащую другим окружностям, в полиэдре Рз —■ так, чтобы отмеченные дуги составляли стягиваемую кривую. Удалим из полиэдров Р\, Р2, Ръ отмеченные точки вместе с их регулярными окрестностями. Полученные полиэдры обозначим буквами Е, Т. Отметим, что определенный здесь полиэдр J совпадает с полиэдром 3, определенным выше, без учета разметки.

Есть только два способа вложить в тор две неразбивающие тэта-кривые в общем положении по отношению друг к другу и с минимальным числом точек пересечения — это число равно двум. ь к :01 и 02 -> Т\ ШУх) П /¿№)) = 2

При одном способе (/1) тор разбивается тэта-кривыми на два шестиугольника и два четырехугольника. При втором способе (/2) — на четыре пятиугольника. Полиэдры \¥\ и И-2 определяем как цилиндры этих вложений СуЦ/х) и Су1(/г).

Очевидно, полиэдры Е, 7, Т, У/\, И'2 являются простыми полиэдрами с краями, состоящими из одной, двух либо трех тэта-кривых. Эти пять полиэдров будем называть элементарными полиэдрами. Полиэдр будем называть \У-спайном, если его можно получить из копий элементарных полиэдров попарным склеиванием их краев.

Теорема 3. Пусть М замкнутое многообразие Валъдхаузена. Тогда существует простой спайн Р многообразия М, являющийся \У -спайном.

Специальный спайн называется минимальным специальным спайном, если у данного многообразия не существует специального спайна с меньшим числом вершин. С. Матвеевым введено понятие сложности трехмерного многообразия, которая для многообразий ДР3, 53, 52 х 51, ¿3.1 равна нулю, а для любого замкнутого ориентируемого неприводимого 3-многообразия равна числу вершин его минимального специального спайна. Основными свойствами функции сложности являются аддитивность относительно связной суммы 3-многообразий и конечность числа неприводимых замкнутых многообразий данной сложности ([29, 10]). С. Матвеев показал, что все замкнутые многообразия до сложности 8 включительно являются многообразиями Вальдхаузена ([10]). Следовательно, до сложности 8 все неприводимые 3-многообразия имеют Ж-спайны. В приложении приводится полный список многообразий до сложности семь включительно и описываются их минимальные Ж-спайны. Из этих данных непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4. Пусть к обозначает сложность 3-многообразий, Аг(к) — количество простых замкнутых ориентируемых 3-многообразий данной сложности, I) — количество тех из них, у которых минимальные \¥-спайны имеют число вершин на I > 0 больше сложности к многообразия.

Тогда длл к < 7 функции И{к), М(к,1) имеют значения, представленные в таблице. к 0 1 2 3 4 0 6 7

Аг (к) 4 2 4 7 14 31 Ц 176

Аг(к,0) 2 2 3 6 12 28 73 173

Щ М) 2 0 1 1 2 2 1 2

Щк, 2) 0 0 0 0 0 1 0 1

Значения Ы(к) для к — 0, . . . , 6 получены С. Матвеевым ([11], Теорема Б).

Полученные данные позволяют с большой точностью прогнозировать список минимальных спайнов и задаваемых многообразий пе1 ред тем, как приступить к перебору всех специальных полиэдров со следующими числами вершин (8, 9, 10 . ),

В настоящее время перечислением многообразий в порядке возрастания сложности успешно занимается Б. Мартелли. Им анонсировано составление списка многообразий до сложности 9 включительно. Сообщаемые им количества многообразий сложностей 0-7 совпадают с приводимыми в данной работе. Следует отметить, что в совместной с К. Петронио работе [9] они применяют аналогичное разрезание спайнов на простые полиэдры с краем (состоящим, однако, не обязательно из тэта-кривых).

Естественность структуры И^-спайнов проявляется в связях их с двулистными разветвленными накрытиями.

Граф, состоящий из двух петель, соединенных цепочкой нескольких число которых может быть равно нулю, двойных ребер, называется длинной восьмеркой. Очевидна инволюция (симметрия) сингулярного графа (7 спайна Р, оставляющая неподвижными вершины графа, переставляющая ребра в каждом двойном ребре графа и совмещающая каждое петельное ребро с собой с обращением ориентации ребра. Эту симметрию назовем осевой симметрией (осевой инволюцией) длинной восьмерки.

Специальный спайн, у которого сингулярное множество является графом длинная восьмерка, назовем спайном типа длинная восьмерка.

Пусть Р — специальный спайн типа длинная восьмерка многообразия М. Спайн Р типа длинная восьмерка назовем осесимметричным. если он имеет инволюцию, продолжающую осевую инволюцию его сингулярного графа, и инволюцию спайна будем называть осевой симметрией спайна.

С. Матвеев показал в ['25], что если замкнутое ориентируемое многообразие имеет спайн типа длинная восьмерка, то род многообразия не больше 1, либо многообразие является связной суммой двух многообразий рода 1.

Такие осесимметричные спайны линз имеют хорошо описываемую регулярную структуру, что позволило выяснить точную связь между структурой спайна и параметрами линзы [36].

Двулистные накрытия трехмерной сферы, разветвленные вдоль зацеплений, замечательны тем, что характеризуются только соответствующим зацеплением (не требуют дополнительных алгебраических данных о накрытии). Линзы относятся к числу многообразий, которые представляются как пространство двулистного накрытия 3-сферы разветвленного вдоль некоторого зацепления. Оказывается, такое представление линзы тесно связано с представлением линзы ее осесимметричным спайном типа длинная восьмерка.

Теорема 5. Пусть трехмерное многообразие М является линзой и лежащий в нем полиэдр Р является осесимметричным спайном типа длинная восьмерка.

Тогда существует инволюция линзы о : М М такая, что

1) на Р инволюция о является осевой симметрией;

2) проекция М —> М/а является двулистным накрытием 3-сферы. разветвленным вдоль зацепления — образа неподвижных точек инволюции;

3) в дополнительном шаре к спайну неподвижные точки инволюции составляют незаузленную дугу.

Как следствие, для таких спайнов возникает возможность по естественному изображению спайна несложными графическими операциями получать диаграмму такого зацепления в 3-сфере. разветвленное накрытие вдоль которого задает то же многообразие, что и спайн. В частности показывается неслучайность сходства изображений таких спайнов и диаграмм четырехсплетений Конвея.

В общих словах топологическую квантовую теорию поля (ТКТП) можно охарактеризовать как функтор из категории п + 1-мерных кобордизмов между ориентируемыми п-мерными многообразиями с некоторой дополнительной структурой в категорию линейных отображений между линейными пространствами, порожденными этими дополнительными структурами. В частности, любое замкнутое 3-многообразие рассматривается как кобордизм между "пустыми поверхностями", и ему сопоставляется линейное отображение нульмерного пространства — умножение на число — инвариант данного 3-многообразия. Линейное представление группы гомеоморфизмов поверхности получается как образ кобордизмов поверхности, реализуемых на прямом произведении поверхности на отрезок. Тор. с одной стороны, является простейшей нетривиальной замкнутой ориентируемой поверхностью, с другой — любое замкнутое 3-многообразие можно получить из трехмерной сферы подходящей переклейкой полноторий. Сочетание этих свойств тора в значительной степени объясняет особое значение исследований свойств квантовых представлений группы классов отображений тора для изучения топологических КТП ([22]), хотя представления такого сорта построены и изучаются для произвольных поверхностей ([20, 21, 8]).

В 1991 году в [18] В. Тураев и О. Виро построили инвариант 3-многообразий и представления групп классов отображений поверхностей как результат приложения ТКТП, в которой дополнительной структурой на 2-мерном многообразии (замкнутой поверхности) является регулярный 3-валентный граф, разбивающий поверхность на 2-клетки, и ребра которого снабжены метками ("раскрашены цветами"). Точнее, речь идет о бесконечном семействе ТКТП, параметризованном корнями целых степеней из единицы. Формально ТКТП Тураева-Виро — это, при выбранном корне # из единицы, комплекснозначная функция на множестве простых полиэдров с раскрашенным краем (пустым в том числе). В конструкции функции фундаментальную роль играет д-аналог применяемого в квантовой механике исчисления б^'-символов. В [18] эта функция обозначена Пр(а), где Р — полиэдр, а — раскраска края полиэдра.

Если полиэдр Р разрезается графом С на два полиэдра Р\, Р2, то для любой раскраски а края дР значение Пр(а) выражается через значения для Р\ и Р2 по формуле Г2р(а) = Е у), где суммирование производится по всевозможным раскраскам /3, 7, совпадающим друг с другом и с раскраской а на пересечениях краев полиэдров Р\. Р2, Р. Это то свойство, которое дает возможность склейкам полиэдров сопоставлять произведения матриц, многомерных, вообще говоря, составленных из значений Ар (а).

Для полиэдров без края, которые являются спайнами одного многообразия А/, функция дает одно и то же значение, называемое инвариант Тураева-Виро многообразия. традиционно обозначаемое ТУд(М), где <7 — корень целой степени из 1.

Конкретная реализация представления групп классов отображений поверхностей требует подбора удобных подходящих полиэдров, от чего зависит сложность работы с представлением. В данной работе конкретная реализация представления Тураева-Виро группы автоморфизмов тора строится на основе 7-полиэдров. Показывается, что матричная группа — образ построенного представления — является ортогональной группой матриц, порожденной тремя инволютивными матрицами, из которых две — матрицы перестановок, а третья — матрица, элементами которой являются непосредственно (д-б^-си.мволы.

Теорема 6.

Пусть д является корнем из единицы целой степени г < 6.

Тогда образ ]-представления группы гомеотопий тора Ф{НотеоЬ{Т2)) является конечной группой.

Представление экономно настолько, что теорему оказалось возможным доказать не прибегал к компьютерным вычислениям. Следует отметить, что существенную экономию вычислительных усилий принесло использование разложения инварианта Тураева-Виро в сумму трех инвариантов, полученное М. Соколовым ([16]).

Следствием доказанной конечности является конечность множества значений инварианта Тураева-Виро при г < 6 для множества многообразий Вальдхаузена, построенных с использованием ограниченного числа экземпляров многообразий № х 5 , где /V- — диск с двумя дырами.

Отметим, что построенная в данной работе матричная реализация представления Тураева-Виро группы гомеотопий тора не является прямым аналогом известных представлений, связанных с инвариантом Решетихина-Тураева (['20, 21, 7]). И хотя инварианты Тураева-Виро строго слабее инвариантов Решетихина-Тураева ([15]), однако для построенного представления группы тора подобное "перекрытие" известными представлениями неизвестно.

Одним из инвариантов Тураева-Виро является ¿-инвариант ([30]). Точнее, ¿-инвариант является, с точностью до множителя, первым слагаемым в разложении Соколова инварианта Тураева-Виро для корня пятой степени из единицы. В работе приводятся в матричном виде вычисленные значения ¿-инварианта для элементарных полиэдров с краем и показывается, как вычисляются значения ¿-инварианта для многообразий Вальдхаузена перемножением соответствующих матриц. Таким образом вычисленные значения ¿-инварианта приведены в приложении для всех многообразий таблицы. Приводится формула для ¿-инварианта линз и указывается схема ее доказательства.

Распределение материала диссертации по главам. В первой главе строится представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем. Во второй главе определяются некоторые полиэдры, именуемые элементарными, и показывается, как из них построить простой И^-спайн для любого данного многообразия Вальдхаузена. В третьей главе выявляется связь И'-спайнов линз с сингулярным графом типа длинная восьмерка и заданием линз в виде двулистного накрытия 3-сферы, разветвленного вдоль зацепления. В четвертой главе исследуется матричное представление Тураева-Виро группы автоморфизмов тора, построенное на основе представления гомеотопий тора из первой главы, и излагается метод вычисления и исследования инвариантов Тураева-Виро на примере ¿-инварианта для многообразий Вальдхаузена. В приложении приведена таблица с описанием всех замкнутых простых ориентируемых 3-многообразий сложности до семи включительно и их минимальных И7-спайнов.

1. Adams C. SNAPPEA: The Week's hyperbolic 3-manifolds program // Notices Amer. Math. Soc. 37 (1990), 273-275.

2. Benedetti R. ,Petronio C. Branched standard spines of 3-manifolds //Lecture Notes in Math. 1653, New York: Springer Verlag, 1997.

3. Casler B.G. An embedding theorem for connected 3-manifolds with boundary // Proc. Amer. Soc. 16 (1965), 559-566.

4. Conway J. On enumeration of knots and links and some of their related properties //Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford 1967, Pergamon Press, 1970, 329-358.

5. Ernst C., Sumners D. W. A calculus for rational tangles: applications to DNA recombination // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 108(3) (1990), 489-515.

6. Gillman D., Rolfsen D. The Zeeman Conjecture for standard spines is equivalent to the Poincare Conjecture //Topology 22(3) (1983), 315-323.

7. Jeffrey L. C. Chern-Simons-Witten Invariants of Lens Spaces and Torus Bundles, and the Semiclassical Approximation //Commun. Math. Phys. 147 (1992), 563-604.

8. Kohno T. Topological invariants of 3-manifolds using representations of mapping class group //Topology 31 (1992), 203-230.

9. Martelli B., Petronio C. 3-manifolds having complexity at most 9 //Preprint, 2000.

10. Matveev S.V. Complexity theory of three-dimensional manifolds // Acta Applicandae Math. 19 (1990), 101-130.

11. Matveev S. V. On a computer recognition of 3-manifolds // MSRI Preprint №1997-028

12. Matveev S. V. Tables of 3-manifolds up to complexity 6 // MPI Preprint 98-67.

13. Morimoto K. Some orientable 3-manifolds containing Klein bottles //Kobe J. Math. 2 (1985), 37-44.

14. Orlik P. Seifert manifolds // Lecture Notes in Math. 291 (1972).

15. Roberts J. Skein-theory and the Turaev-Viro invariants //Preprint, 1993.

16. Sokolov M.V. The Turaev-Viro invariant for 3-manifold is a sum of three invariants // Canad. Math. Bull. 39(4) (1996), 468-475.

17. Turaev V. G. Quantum invariants of knots and 3-manifolds //de Gruyter Studies in Math. 18, 1994.

18. Turaev V. G. , Viro O. Y. State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols //Topology 31 (1992), 865-902.

19. Waldhausen F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten //Invent. Math. 4 (1967), 87-117.20. wright G. The Reshetikhin-Turaev representation of the mapping class group //J. Knot Theory and Its Ramification 3 (1994), 547574.

20. Wright G. The Reshetikhin-Turaev representation of the mapping class groups at sixth root of unity //J. Knot Theory and Its Ramification 5 (1996), 721-741.

21. Атья M. Геометрия и физика узлов. М.: Мир, 1995.

22. Коксетер Г. С. М., мозер У. О. Порождающие элементы и определяющие соотношения. М.: Наука, 1980.

23. Матвеев С. В. Специальные остовы кусочно линейных многообразий // Мат. сб. 92(2) (1973), 282-293.

24. Матвеев С. В. Один способ задания 3-многообразий // Вестник МГУ 3 (1975), 11-20.

25. Матвеев С. В. Универсальные 3-деформации специальных полиэдров // Успехи мат. наук 42(3) (1987), 193-194.

26. Матвеев С. В. Гипотеза Зимана для неутолщаемых специальных полиэдров эквивалентна гипотезе Эндрюса-Кертиса //Сибирский мат. журнал 28(6), (1987), 66-80.

27. Матвеев С. В. Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимана //Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Матем. 51(5) (1987), 1104-1116.

28. Матвеев С. В. Сложность трехмерных многообразий и перечисление их в порядке возрастания сложности // Докл. Акад. Наук СССР 301(2), (1988), 101-130.

29. Матвеев С. В., Овчинников М. А., Соколов М. В. Построение ¿-инварианта 3-многообразий и его свойства. //Принята к опубликованию в Трудах конференции памяти Рохлина 1999 года.

30. Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1991.

31. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1988.

32. Цишанг X., Фогт Э., КолдеваЙ Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

33. Овчинников М. А. Петли спайнов замкнутых ориентируемых многообразий и перестройки Дена. //Вестник ЧелГУ. Математика,механика. 1 (1991), 94-97.

34. Овчинников М. А. Представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем // Мат. заметки 66(4) (1999), 533-540.

35. Ovchinnikov М. Finiteness properties of the Turaev-Viro invariants //Abstracts of International Conference on Topology and its Applications. Kiev (1995), 28.

36. Ovchinnikg v M. The Turaev-Viro presentation of the torus group for the level 7 is infinite //Abstracts of International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L. S. Pontryagin. Algebra, Geometry and Topology. Moscow (1998), 90-91.

37. Ovchinnikov M. On special spines with singular graph splittable by each pair of vertices //Abstracts of International Conference on Low-Dimensional and Combinatorial Group Theory. Chelyabinsk (1999), 42-44.

38. Ovchinnikov M. Projective Plane, Graph-Manifolds and Simple Spines //Abstracts of International Conference on Geometry and Applications. Novosibirsk (2000), 69-70.