Сложность трехмерных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Фоминых Евгений Анатольевич

СЛОЖНОСТЬ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ: ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ОЦЕНКИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат дассергации на соискание ученой степени доктора ф1Вико-матема1ических наук

2 7 НОЯ 2014

Челябинск - 2014

005555894

005555894

Работа выггшнена в федеральном госу; цхрсп *я п юм бкданегвом образовательном учреждении высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет». Научные консультанты:

член-корресгюцденг РАН, доктор физико-математических наук, Веснин Андрей К^зьевич. член-ксрресповдетг РАН, доктор фюико-лктематических наук, профессор Мапюсп Сергей Владимирович. Официальные оггпоненптьс

]УЬлютн Андрей Валерьевич, доктор фнзико-матемапгюских наук, Фэдрральное госупррствен-ное бкдаепюе учре>адгние науки Санк^Шгербургское отделение Математического инеппуга им. В. А Огеклова Российской академии наук, лаборатория теории предоставлений и динамических систем, ведущШ научный сотрудник;

Панов ГЬрас Евгеньевич, доктор физико-МЕПхзмаптюских наук, донрнт, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова'', механико-математический факультет, кафедра выешзй геометрии и топологии, профессор;

ТЬгенов Андрей Викторович, доктор ф113ико-математических наук, доирнг, Федеральное государственное бкдяетное образовательное учреждение выспсго професаюнального образования "Горно-Алтайский государственный университет", физико-математический факультет, кафедра математики и методики преподавания математики, профессор.

Ведушр.я организация: Федеральное государственное бюджетное учрювдмие науки Матема-тчесзаш институт им. В. А Огеклова Российской академии наук.

Защгга состоится «24» декабря 2014 г. в 14:30 на заседании /цюоергсицюнного оовета, Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бкдаегноло учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу. 630000, г. Новосибирск, пр г Академика КЬггпсга, д 4.

С диосерггагцкй можно ознакомиться в библиотеке и на сайте федерального государственного бкд-лстного учреждения науки Института математики им. С. Л СЬбалева Сибирского отделения Российской академии наук: http://wvvw.math.nsc.ra

Автореферат разослан «_»_2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Актуальность и степень разработанности темы Фуцдалнггальной проблемой маломерной топологии является проблема классификации трехдкрных многообразий. Один го подходов к частичному решению этой проблемы заключается во введении меры "сложности" многообразия. Наличие такой меры позволяет перечислять многообразия в порцдке вазрао-тания их сложности, т.е. сначала перечислять многообразия сложности 0, затем — сложности 1, затем сложности 2 и т.д. В качестве такой функции сложности можно рассмотреть, п;> пример, родХегора д(М) или минималыюе число симплексов в триангуляции многообразия М. Ощюко, эти меры сложности ижог суи^сгвашыэ недостатки. Если многообразия рсда Хегора 1 классифицированы (это линзовые пространства Ьрд), то уже для болыI шх значений рода д такой простой классификации пока нет. Минимальное число симплексов в триангуляции многообразия как функция сложности не является аддитивной по отношению к связной сумме многообразий, поскольку трехмерная сфера Я8 имеет ненулевую сложность.

Обозначим через Л4 мнссгество всех компактных связных трехмерных многообразий. В [49] С. В. Матвеев построил функцию с: Л4 —> 2 с целыми неотрицательными значеними, которая обладает следукщши свойствами:

1) Функция с адщпивна по отношению к связной сумме многообразий, т.е. с(А41#Л^) = с{1Щ) + с(М2).

2) Функщпо с(М) мсиаю срашпггепыю легко оцзшпь сверху.

Напомним определение сложности по Матвееву. Пусть М — связное компактное трехмерное многообразие. Компакты» ддумерный потвдр РС Мназывается спайном многообразия М, если либо 9Ми нрострапспю А/\ Р гомеоморф» ОМх (0,1], либо ОМ = 0 и пространство М\Р гомеомеорфю открытому шару. Компактный псшгодр Р называется почта простым, если линк кеовдзй его точки вкладывается в полный граф с четырьмя вершинами. Точки, линки которых гомеоморфны графу К^, называются гютснньши вершинами полиэдра Р. СЬайн мтюгообразня называется почти простым, если он является почти простым полиэдром. Будем говоршь, »гто сложность с(М) многообразия М равна к, если М имеет почти простой спайн с к истинными вершинами и не имеет иотш простых спайпов с меньшим числом истинных веряпшг.

Как уие отмечалось, сложность с(М) многообразия М можно сравнительно легко оценить сверху. Для этого достаточно построить какой-нибудь его почти простой спайн Р. ТЪгд а

число нсп1штых вершин спайна Р и есть верхняя оценка сложное™ с{М). В [50] приведе-1Ю несколько таких оценок окиакх-ш, основанных на построении почта простых спайнов многообразий, заднных сингулярными триангуяяццями, диграммами Хегора, оснац^нны-ми зацеплениями и др. Однако, найденные таким способом верхние оценки сложности как правило весьма далеки от реальных значений сложности.

В работе [9] С.В. Матвеев построил верхние оценки сложности линзовых пространств. Позже Б. Марггашш и К Пегрошю [48] построили верхние оценки сложности расслоений над окружностью со слоем тор и замкнутых многообразий Зейферга. Как мы увцдим ниже, эти оценки точны для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12.

Задача вычисления сложности многообразий является весьма трудной. В силу аддитивности функции сложности по отиошзнию к связной сумме многообразий, далее мы будем рассматривать только неприводимые многообразия. К настоящему времени точные значения сложности известны только для конечного числа табулированных мюгообразий, а также для нескольких бесконечных семейств замкнутых М1 югообрЕгзий и многообразий с краем. Остановимся на этом более подробно.

С.В. Матвеев показал [50], что в классе замкнутых неприводимых многообразий и в классе гиперболических многообразий функция сложности обладэег свойством конечности. Это означает, что для каждого целого числа к суцрствуег только конечное число различных замк11у1ых ориентируемых неприводимых многообразий сложности к и конечное число различных ориентируемых гиперболических многообразий сложности к. Напомним, что трехмерное многообразие называется гигщ&хтысским, если его внутренность допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Отметим, что функция сложности с, вообцр говоря, не обладает свойством конечности. На) гример, почти простой спайн У7 х {1 /2} многообразия _Рх [0,1], где замкнутая ориентируемая поверхность, не имеет истинных вершин. Поэтому многоофазия вцда Р х [0,1] образуют бесконечное семейство многообразий сложности 0.

СЬойство конечности позволяет перчислягь все замгагутые неприводимые мпогообргь-зия и все гиперболические многообразия в порадке возрастания их сложности. Сначала изложим результаты компьютерной классификации замкнутых ориетируемых многообразий, проведетюй С.В. Матвеевым и его учешжями (см. [10, 11, 50]).

ТЬорема 1.1.10 ([50]) Число замкнутых ориекгтщ/емьа; пеприводимых гщххлщпсых лаю-

гообразий с/юокности < 12 задается та&еиирй 1.1.

Тип\с < 5 6 7 8 9 10 11 12 Итого

5е 61 61 117 214 414 798 1582 3118 6365

Б8 0 6 0 0 0 0 0 0 6

Nil 0 7 10 14 15 15 15 15 91

Я2 х R 0 0 0 2 0 8 4 24 38

SL^R 0 0 39 162 513 1416 3696 9321 15150

Sd 0 0 5 9 23 39 83 149 308

Н3 0 0 0 0 4 25 120 461 610

СЬставпые 0 0 4 35 185 777 2921 10361 14283

Итого 61 74 175 436 1154 3078 8421 23452 36851

ТЪйлица 1.1: Число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных лоюгообразнн

сложности < 12

Число замк! гутых неориешируемых И^-неприводнмых многообразий растет гораздо медленнее. Как показали Г. Амецдола и Б. Гк^ртагши в работе [21], на уровне сложности < 7 их всего 8: пять имеют сложность 6 и три — сложность 7.

Первая таблинд всех компактных ориентируемых гиперболических 3-М1югообразий с геодезическим краем сложности 2 содержала 8 многообразий и была построена М. Фуцжи eiiр в 1990 г., см. [37]. Эш многообразия обладиог спедукыцши свойствами:

• край каждого многообразия есть замкнутая орие1ггируемая поверхность рсща 2;

• все многообразия имеют одинаковый объем ~ 6,451998;

• это значение объема является мшшмальным в множвсгве объемов всех компактных

ориешируемых гиперболических 3-многгюбразий с геодезическим краем (см. [45]).

СледузсициЧ Инг был сделан Р. ^ясгергю, Б. Маргелли и К. Пегронио [36]. При помо-itiji компьютера oini показали, что сред! всех компактных ориешируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем 150 многообразий имеют сложность 3 и 5002 многообразий имеют сложность 4.

Появление в начале 1990-х программного обеспечения для работы с узлами, зацеплениями и трехмерными многообразиями сделало возможным перечислена трехмерных гиперболических многообразий с кашами по числу цдральных тетраэдров в их минимальной триангуляции. Прежде всего, речь вдет о компьютерной программе БпарРеа [61]. С ее помощью в 1989 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно пяти идеальных тетраэдров [44]. В 1999 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно семи идеальных тетраэ,дров [25]. В 2010 г. был составлен список многообразий с каспами (он содержит 12846 многообразий), для построения которых достаточно восьми идеальных тетраэдров [56].

Из вышзизложенного вццпо, что точные значения сложности известны для большого, но конечного числа систематически перечисленных многообразий. КВ. Таркаев при помошц компьютерных вычислений показал, что известные верхние оценки сложности линзовых пространств [9], расслоений над окружностью со слоем тор и замкнутых многообразий Зейферта [48] точны для воех многообразий, сложность которых не превосходит 12.

К настоящему момешу есть лишь несколько бесконечных серий многообразий, сложность которых известна. ТЪчньк значения сложности для бесконечого числа линзовых пространств и обсбн^нных пространств кватернионов получены В. Д*ейкэ, X. Рубинштейном и С. Ткллманом в [40, 41). ТЪчньк значения сложности д ля бесконечого числа ориентируемых гиперболических многообразий с геодезическим краем, имеющее специальные спайны с одюй 2-компоненгой, получены в [34]. Наконец, точные значения сложности накрытий дополнительного пространства узла восьмерка получены С. Анисовым в [22].

Цвли и задачи. Цалыо .диссертации является развитие теории сложности трехмерных многообразий. Диссертация посвяшзна решзшло следукщвс актуальных задач данной теории.

Зцдача 1. Построение верх1шх оце1юк сложности для бесконечных серий замкцутых граф-многосбразий Валвдхаузена, То'пшх для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12. Граф-многообразия были введены и классифицированы Ф. Валвдхаузеном [59, 60]. Среди замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности < 12 их более 90% [50]. 0дгв1®вергаше0цг1хкислаж1юст,точнь1едляв<^м1ю1ххзбразий сложности < 12, были известны только для линзовых пространств [9] и д ля замкнутых многообразий Зейферта [48]. Поэтому задача нахождения таких точных оценок сложности для

новых серий графмногообразий весьма агауальна.

З^адча 2. Нажмдение точных значений сложности для бесконечного числа многсь образий, в чаетпости, для многообразий Паолюци - Циммермана [53] и гиперболических многообразий с кастами. ТЪк как сложность является одним из важнейших ииваришпов трехмерных многообразий, то эта. задача таюге весьма актуальна. Дэ получения результатов, предтавлашых в дисоерггации, точные значения сложности для бесконечного числа непривод?1мых многообразий были известны только для линзовых пространств и обобщенных пространств кватернионов [40, 41], для многообразий с краем, имеюшцх cneujiamjibE спашы с одной 2-компонетой [34, 35], для накрьпий дополнительного пространства узла восьмерка [22] и для многообразий сложности 0 [16, 12].

Выносимью на защипу гюла»азния. На защпу выносятся следутоцре основные результаты диссертатцкяпюго исследования.

1) НаДдеиы верхние оценки сложности для двух бесконечных класоов замкнутых граф-многообразий и для многообразий, полученных хирургиями Дэна на узле восьмерка. Эти онрнки точны для всех указанных многообразий сложности < 12 (теоремы 1.1.11, 1.1.12 и 1.1.13).

2) Получены верхние оценки сложности для всех мюгообразий Зейферта с непустым краем и, как следствие, для дополнительных пространств торических узлов в трехмерной сфере (тесремы 2.1.1 и 2.2.1).

3) Решзна задача вычисления сложности для бесконечного семейства гиперболических многообразий Пяолгаци - Циммермана и их обобщений (теоремы 3.5.1 и 3.6.1).

4) Табулированы и исследрваны гиперболические многообразия с каспами, склеенные ю не более чем 10 правильных идеальных гиперболических тетразлров, а так>ге установлены точные значешга сложности их накрытий (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1 и 4.41).

Результаты пункта 1 получены автором лично. Результаты пункта 2 получены автором совмеспю с Б. Вистом (В. Wiest) при равном вкладе и являются неделимыми. Результаты пункта. 3 получены автором совместно с A.IO. Весниным при равном вкладе и являются неделимыми. Результаты пункта 4 получены автором совместно с АЮ. Весниным и В.В. ТЪркаевым при равном вкладе и являются неделимыми.

Научная новизна- Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они вносят существенный вклад в теорию сложности трехмерных многообразий. Например, верхние оценю! сложности замкцутых граф-лпюгообразий в совокупности с аналогичными оценками сложности линзовых пространств [9] и замкцутых многообразий Зейферга [48], являясь точными для многообразий сложности < 12, позволят дать более систематическое и компактное описание всех замкнутых орие!ггируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности < 12 (их более 36000). Новыми являются и методы получения результатов, оообенно метод нахсоадения точных значений сложности гиперболических многообразий с геодезическим краем.

Рекомендации дальнейшего развития результатов диссертации:

1) Использовать разработанные и успешно реализованные в диссертации методы вычисления точных значений сложности для новых классов трехмерных гиперболических многообразий.

2) Изучить ранее не исследовавшийся, но представлякхицй самостоятельный интерес, класс многообразий, имеющее специальные спайны без собственных простых подполиэдров. Представялегся, что дпя изучения этого класса могут быть применены методы, разви-вакжтцю вдеи третьей главы.

Методы исследования. Как уж упоминалось, длятихощдения верхней оценки сложности многообразия достаточно построить какой-нибудь его почти простой спайн. Обшцй метод построения почт простых спайнов 1реф-м1Югообразий Вальдхаузена разработан М А Овчинниковым [17, 18]. Однако, для кащцого конкретного класса многообразий необходимо на-ходщь спайны с наименьшим числом истинных вершин среди воех спайнов, построенных по методу Овчинникова, что и реализовывалось в первой главе диссертации.

Во второй главе диссертации развивается новый метод построения почти простых спай-нов многообраят Зейферга с непустым краем &1оаюваннацдееразрезапиятакихм1Югооб-разий на элементарные блоки, в качестве которых выступают ориентируемые -^-расслоения над поверхностями с непустым краем, полпотория и прямые произведения тора на отрезок. В ка»дом элементарном блоке выбирается двумерный палщдр специального вида, называемый скелетом блока. Скелеты побираются так, что при склейке многообразия Зейферга. с краем из элементарных блоков их скелеты склеиваются менщу собой правильным образом,

образуя гютги простой спайн многообразия. Постройп1ый метод позволил получить верхние оценки сложности доя всех м1югообраз1ш Зейфергта с непустым краем и, как следствие, для дополнительных пространств торических узлов в трехмерной офере.

Как правитю, инваришпы трехмерных многообразий, введешпле В.Г. ТУраевым и О.Я. Виро, naxqzifrr применение при установлении негомеоморфности конкретных многообразий. Например, они сунрсгвенным образом использовались при построении та&лицы замгагутых ориентируемых многообразий до сложности 12 [50]. В третьей главе диссертации мы применяем е-инваришгг С.В. Матвеева, М.А. Овчинникова и MB. Соколова [13], являгашцйся гомологически тривиальной частью инварианта Тураева — Виро порядка 5, для решения задачи вычисления сложности для бесконечного семзйспза гиперболических многообразий Паолюци - Циммермана и их обобщений.

Апробация результатов. Основные результаты дцюоерггатцш опубликованы в тринадцати печатных изданиях [63] - [75], двенадцать из которых — в журналах, рекомендованных ВАК. Результаты работ [63] - [69] и [74, 75] получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми.

Результаты ¿дкоертанци докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН (рук. акад. Ю.Г. Рсшстияк); на ссмииарс "Геометрия, топология, и их приложения" ИМ СО РАН (рук. акад. H.A. Таиманов); па семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. акад. А.Т. Фоменко); на семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" кафедры высшей геометрии и приложений МГУ (рук. чл.-корр. В.М. Бухштабер); на семинаре "Инварианты трехмерных многообразий", ИМ СО РАН (рук. чл.-корр. А.Ю. Веснин); на семинаре "Маломерная топология" кафедры компьютерной топологии и алгебры ЧслГУ (рук. чл.-керр. С.В. Матвеев); на семинаре ушпзерситета г. Пиза, Италия (рук. профи К. Петрошю); на семинаре утшверсигета г. Мэдена, Италия (рук. профь М. Казали)

Результаты диссертации были представлены на Международных конференциях "Дни геометрии в Новосибирске" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2011, 2012, 2013); 4-ой Международной геометрической конференции, посвяшрнной 100-летию со дня рсведения академика Алексшщр! Дшбшоци'и AiiCKCuurpoiia. (Qu гкт-Пеирбург, Инеппутим. Эйлера, 2012); Международной конференции "Геометрия и анализ на метрических структурах" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2013); Международной конференции "Александровские чтения" (Москва, МГУ,

2012); Международной конференции "Topology Days in Caen" (Франция, 2010); Международной конференции "Квантовая топология" (Магнитогорск, ЧелГУ, 2014).

Основное содержа! ше диссертации. ПереДдем к описанию структуры работы и точным фомулировкам основных результатов. Д-iocepiai ora состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Список литературы приведен в алфавитном порэдке.

Первая глава дцооертации посвяшрна построению точных верхних оценок сложности для двух бесконечных классов Л и = замгагутых граф-многообразий Валццхаузена и для М1югообразий, получаемых р/дчхирургиями на узле восьмерка

Напомним, что компакгпюе opiieiпирусмое многообразие М называется граф-многообразием [59, 60], если его можно подучить склеиванием нескольких экземпляров элементарных блоков LP х S1 и N2 х S1, где LP — диск и Ñ1 — диск с двумя дырками, по некоторым гомеоморфизмам их краевых торов. Любое неприводимое графниногообразие задается меченой молекулой (см. [50]), т.е. орие1ггированным графом, кагедэй верпппк; (атому) которого оопо-ставлено м!югообразие Зейферга с указанными базовой поверхностью и параметрами особых слоев. Торы на крае этого многообразия должны соответствовать ребрам, шпщдагшым рассматриваемой вершине, и на них должны быть введзны канонические системы коордупигг. Ребра графа должны быть помечены целочисленными матрицами порядка. 2, задакгщ1ми гомеоморфизмы склеек.

ОпишемклассыА иН. Будем говорить, что замкнутое орие1пирус.\юегр:_к|>м1Ю1тх)бр1'-Л1е принадлежит классу Л тогда и только тогда, когда JSJ-раэбиение этого многообразия состоит из ;щух многообразий Зейферга с базой дцск LP и д вумя особыми слсями кагвдэе. Пусть G — множество всех целочисленных матриц порядка 2 с определителем — 1. Многообразия класса Л уярбно задавать меченными, молекулами, вцда (Mi, Aí¡, А), где

М =(rP,(pi,<il), fe, <й), (1, <l)),

Mi = (LF, (рз, ©), fe, <?4), (1, t2)), AeG,

(pi, Qi) — пары взаимно простых целых чисел, ti, tr¿ S Z.

Будем говорил», тго меченая молекула (Mi, Mi, А) многообразия класса Л приведена, если ti = <2 = -1 и параметры (p¡, qi) оообых слоев удовлепюряюг условию p¿ > q¡ > О, 1 < г < 4.

Пусп» р, q S М Обозначим через S(p, q) сумму всех неполных частых в раалс№е1пш числа/)/»/ в непрерывную дробь, т.е.

р 1

- =ai +-т-,

q .1

а2Н----+

1

о-к- Н--

ak

о) =«!+...+«А;, ах > 0,..., а,к > 0. Наконец, каладрй матрице А & С сопоставим число

Сл^пуюнэя теорема устанавливает верхние оценки сложности для многообразий га класса Л, точные для всех многообразий сложности < 12.

ТЬорема 1.1.11 ({73]) Пусть А) — приведенная меченая молекула многообразия

МбЛ. Тогда справедлива следующая оценка сложностис{М) многообразия М:

4

с{М) < тах{£ (Л) - 2,0} - 2 + ^

г=1

Эта оирнка тсгчна для всех многообразий класса Л сложности < 12.

Будем говортъ, «по замкнутое ориентируемое граф-многообразие М принадлежа классу Н тогда и только тогда, когда ЛЕУ-разбиенне многообразия М состоит т трех многообразий Зейферта: двух многообразий с базой диск ЕР и друмя особыми слоями каледое и сщцого многообразия с базой кольнр Л2 и олним особым слоем. Опишем такое многообразие более подробно.

Рассмотрим двухзвешгую ломаную, ребра которой ориентированы от вершин щ, V2 ва-лешности 1 к вершине Vз валенпюсти 2. Каждой вершине щ ломаной сопоставим многообразие Зейферта Щ., а ребра полетам матрицами А[, /1-2 € (У, где

М =(^,(Р1,<Л),(Р2,®),(1,Й)), Щ = (Рз, <й), Ьи И), (1,

В результате, мы получим ме' ¡еную молекулу (М\,М2, М$,А\,А£), определякхщло некоторое граф-многообразие класса Е.

Будем говоршъ, что меченая молекула (МьЛ^Д/б, АиАг) многообразия класса Е приведена, если ¿1 = ¿2 = ¿з = — 1 и параметры (&,<%) особых слоев удовлетворяют условию К > <й > О, 1 < г < 5. Отвечающее ей многообразие будем обозначать <#), 1 < г < 5).

Будем говорить, что матрица

отрицательна, если хотя бы одно из чисел а/с, Ь/(1 € <0>и {1/0} отрицательно. Определим функцию иг: С х С —> Ж, следукхнцм образом;

^(Лх) — 3, обе матрицы

отрицательны; тахК(Л1)-2,0)+тах(?(И2)-2,0), иначе.

ш(ЛьЛ2) = <

КрОМС того, положим

Следуюшэя теорема устанавливает верхние оценки сложности для многообразий из класса Н, точные для воех многообразий сложности < 12.

Тёорема 1.1.12 ([70]) Пусть {Щ, Щ, Щ, А\, Ао) — приведенная меченая молекула многообразия М = М((й, щ), 1 < 1 < 5) £ Н. Тогда справедлива медуюшря оирнкп сложности с(М) многообразия М:

5

с(М) < ^ в) + П(ЛЬ Л) - 1-

г=1

Эта оирнка точна для всех многообразий, класса Е сложности < 12.

Обозначим через (р/<?) замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, полученное р/^-хирургией на узле восьмерка

Для формулировки теоремы нам потребуется ввести функцию ш(р/д), определенную на мпсивяве неотрицательных рациональных чисел и принимающую натуральные значения. Пусть р > 0, 9 > 1 — взаимно простые целые числа, [р/д] — целая часть числа р/(], и гет(р, д) — остаток от деления р на г/. Определим значение иХр/д) по следующему правилу

сч(р/д) = а(р/д) +тах{(р/9] - 3,0}+5(гет(р,</),г/),

где

6, еслир/g =4; <Áp/q) = 7, еслир/<7 eZi!p/q 4; 8, если p/g ^ Z1

Следугсиря теорема ycrai ¡ашшвает верх! пи oihikji сгкма юсп i для mi югооброзий 4i (p/q), ТО'иье для всех многообразий сложности < 12.

ТЪорема 1.1.13 ([72]) Доя любых взаимно простых v/глых-тсслр > О uq> 1 справедливо следуюиря сгирнка слооююсти c(4i(p/q)) лоюгообразгт, 4i(p/q):

c(4i(p/q)) < uÁp/q).

Эта сгирнка точна для всех многообразий вида4j(p/g) сложности < 12.

Обозначим через Ф(к) и число замкнутых ориентируемых многообразий сложности < к, обладающее геометриями S8 и Nil соответственно. В копир первой главы на основе пышэописанных верхних оценок сложности многообразий строятся шокние оценки для чисел Ф(&) и Ф(А:), явяяюшцеся точными для всех к < 12. Это позволяет оцецшъ снизу 'шаю кяюгообразий с геомегриями S8 и Nil, имеюццгх сложность 13.

Результаты первой главы опубликованы в работах [63, 70, 71, 72, 73]. Во второй главе днсоерталди развивается метод построения почт простых спайнов многообразий Зейфергга. с непустым краем. Опираясь на эгод метод нами наццены верхние оценки сложности для всех многообразий Зейферга с непустым краем и, как следствие, наДцгны верхние оцанки сложности для дополнительных пространств торических узлов в трехмерной сфере. Здесь ¡кдддаюлшггельным пространспюм Еар тори'кхжого узла.Т(а, f¡) мы понимаем компактное многообразие, палушкгцвеся удалением из сферы 5° открытой трубчатой окрестности узла Т(а, /?).

ТЬорсма 2.1.1 ([75]) Пусть М = (F, (pi,c/i), ■ ■ ■, (Pk, qkí) ~ ориентируемое многообразие Зейферта с непустым, щаем и нормализованнылш параметрами (pL > Qí >0J особых слоев. Тогда

к

с{М) < J2 тах{£{й, q¿) - 3,0}. i=1

ТЬорема 2.2.1 ([75]) Пусть а, /3 — взаимно простые натуральные ■числа и а > f) > 2.

Тогда

^,/})<^а,/3)-3 + п*1х|¿{а,/?)- ^-3, О

ТЬорема 2.2.1 позволяет усганов1гть точные значения сложности дополнительных пространств четырех торических узлов.

Следствие 2.2.1 ([75]) (а) с(Ез<2) =0. (Ъ) с(£б,2) = <<£*,3) = с(£б,з) = 1-

Далее мы устанавливаем линейные верхние оценки сложности дополнительных пространств торических узлов.

Следствие 2.2.2 ([75]) (а) Для любого а > 3 справедливо неравенство

с№,,а-1) < шах(2а - 7,0).

(Ь) Пусть а, /3 — взаимно простые натуральные числа и 2 < /3 < а — 2. Тогда справедливо неравенство

!а — 5, если, а ■четно; а. — 4, если а нечетно. В закто гении главы мы устанавливаем точные значения и верхние оценки сложности дополнительных пространств некоторых кружевных узлов с тремя ншями специального вида (теорема 2.3.1).

Результаты второй главы опубликованы в работах [69, 74, 75].

В третьей главе диссертации изучается сложность компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем, где

п> 3, 0< А;< п— 1, 1<сг<п-1 и (п,2-к)=0.

Мюгообразия рассматривались Л Паошсци и Б. Цмчермапом в работе [53].

Опиггем многообразие Пусть &п — гъугольная бипирамцдэ, ребрам которой приписаны метки сц, Ь,, где г = 0,1,..., п - 1, по аналогии с рис. 3.2, на мотором приведен случай п = 6. Договоримся, что ребра с метками сц ориентированы в направлении от вершин Ц к вершинам Ц+и ребра с метками 1ц — от вершин Ц к вершине Ы, а ребра с метками а — от вершины 5 к вершинам

Введем обозначения для граней:

«Ч и Л^ =с1агс~(11.

N

Ьо, /1ь

и/ у-1 , V3

«5 \ Ч °° \ а-1 аз у/ (24

со Ч С1 7 е5 / С4

Рис. 3.2: Бипирамцда Д;.

Для каждого г = 0,1,..., п — 1 зададим попарные отождествления граней х^ : Л^ —» в соответствии со следукицпи порадком обхода их границ

ХЫ ■■ снЬн+ф^1 —> Скиа^с^^.

Дзйсгвие отсеедествлений х^г на гранях ицдуцируег их действие на ребрах и вершинах би-пирамцлы- Опюапеяыю этого действия ребра бипирамццы разбиваются на (1 классов экшь валентности:

= {офА-А-Ьф^-Ьф, .7=0,1, ...,п'}, = j =0,1,...,тг'},

= 1 -иь. Ъ<1- к-Ы], 1 -дь-и/, 3= 0,1,...,п'},

где п' = п/(1— 1 и вое индексы берутся по модулю п. Обозначим через фокторпростршь ство, получаемое попарными ото>вдесгвле1шя.\п1 х^г, г = 0,1,..., п — 1, граней бипирамццы Д,. Ою является ориешируемым псеццолпюгообразием с одной особой точкой, и его эйлерова характеристики равна = 1 — ё+п— 1 = п— (I О. ВЦрезав из коническую окрестность особой точки, получим компактное многообразие с о/июй компонешой края.

Ключевым результатом этой главы является рецкние задачи вычисления сложности для бесконечного семейства гиперболических многообразий Паолюци — Циммермана Л^д. и их обобщзшш

ТЬорема 3.5.1 ([64]) При п > 4 имеет л<есто равенство Тёорема 3.6.1 ([65]) При п > 6 имеет место равенство

Кроме того, для всех обощенных многообразий Паолюди - Циммермана пасены двусторонние оценки их сложности.

ТЬорема 3.3.1 ([67]) Имеют место сждуюшре неравенства:

п-с1<с{М^к)<п.

Для доказательства теорем 3.5.1 и 3.6.1 мы применяем е-инвариант С.В. Матвеева, МА. Овчинникова и М.В. Соколова [13], являгащ^ся гомологически тривиальной частью инварианта Тураева — Виро порядка 5.

В данной главе мы используем е-инварианг также для доказательства существования собственных простых подполиэдров специальных спаи нов замкцутых многообразий (предло-.мвние 3.4.1) [74]. Этог ретультаг 1фтк11яв1ог в теории нормали гых гюверх1юстейХакс!1а [43] для доказательства того, 'по каэадое замкнутое трехмерное многообразие, за исключением линзового пространства с параметрами (5,2), осдержнт нсхриинальную нормальную поверхность [74], что по-вццимому является первым примером использования е-инваришпов для получения новых теоретических результатов.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [63, 64, 65, 68].

В четвертой главе диссертации предметом исследования являются трехмерные гиперболические многообразия с кастами. Класс таких многообразий представляет интерес в контексте теории узлов, поскольку примерами таких многооразий являются дополнения к узлам и зацеплениям в трехмерной сфере.

Каждое некомпактное гиперболическое 3-многосбразие конечного объема мажгг быть получено склейкой некоторого числа идеальных гиперболических тетраэдре® [32]. Поскольку к настоящему времени речь цдег о десятках тысяч табулированных многообразий, эти списки не застрахованы от неточностей, связанных с распознаванием многообразий. Совсем недавно в [24] было замечено, что список из [25] содержит дгза одинаковых неориентируемых

многообразия с каспами. Они имеют обозначения х101 и zlffi, и каждое crpoirrai из шести идеальных тепраз!аров.

Какизвеспю, ерсуш воех телра^чров в трехмерном гипербол! поском пространстве максимальный объем имеет правильный идеальный тетраэдр. Ii о обьем V3 равен 1.014&426... Если многообразие получено склеиванием Т правильных идеальных тетраэдров, то его объем равен Тг>з, и является максимальным среди всех многообразий, склеенных in Т идеальных тетраэдров.

В главе 4 получен полный список многообразий, имекхщх максимальный объем среди воех многообразий, которые склеиваются из Т идеальных тегра^пров, где Т = 1,..., 10. Отметим, что результат теоремы 4.2.1, описывшсщзй случаи Т = 1,2,..., 8, получен независимо от работ [25, 56[ и полностью согласован с ними.

Обозначим через MVT^ множество всех трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий с к каспами, полученных склейками Т правильных идеальных гиперболических тетраэдров. Пусть \MVT*\ — мощность множества МУ1Бели оно не пусто, то его элементы будем обозначать MV.Т*, где п = 1,..., \MVTk\. Для описания склеек идеальных тетраэдров мы применяем ксцдфовки, используемые в работе [25].

Тёорема 4.2.1 ([66, 67]) Oyuipcmeyem ровно 29 ориентируемых гиперболических 3-мно-гообразий с каспами, получаемых склеиванием не более уем. восьми правильных идеальных гиперболических тетраэдров: 17 из них имеют один касп, а 12 — два каспа. Кодировки этих многообразий приведены, в табл. 4-6 и 4-6, соответственно.

ТЬорема 4.2.2 ([66, 67]) Существует роено одно трехмерное ориентируемое гиперболи-■ческое многообразие с каспами, которое получается склеиванием, девяти правильных идеальных гиперболических тетраэдров. Обозначим это многообразие A/VOj. Оно задается кодировкой

jbpahaaedeigghiHgbftenjnQ, имеет 1 касп и Hi(MV9}) = Z2 ф Z.

ТЬорема 4.3.1 ([66, 67]) Любое ориентируемое гиперболическое 3-многообразие, полученное склеиванием десяти правильных идеальных тетраэдров имеет не более пяти каспов. При этом, справедливы следуюшре огцгнки и тачные равенства для -числа таких многооб-

Имя Кцгщровка Обозначения из [25]

МУ2\ саЬЬЬЬаеа Ъ М2\

МУ cabbbbapt мь

МУ4\ еЬсПххНс1ас|Ьр1 М4о1

МУ> еЬсИххкИас^Ые М4З2

М\Ъ\ Гарог^схессЬЯЛ^ М&223

МУ&\ gfdabbcdefFfaqhhqqh М6908

МУ^ gfdabbcdefffaqhhqax Мбэю

gbpaaddcfcffoffhoxh Мбдоэ

МУ6\ gdhaabefffeehpi]pet Мбэи

МУ61 gbpaabcfdffefohfxhf Л®912

МУ&1 gbpaabefedfFf!ho£xh М6913

МЩ ifdbfЪЫefghhhaqhhe|clalu -

МУ8£ ¡ГвЬГЬсвеГйЫгЫ^Лс^ааЛп Ъг®Ъ!®Ъ -

МУ81 -

МУ81 ¡(1ЬЬЫхЖцГ^1Ых}р1с)ааГ)с11 -

МЩ ibpafbdefgbbghkпwa]inc>w -

МЩ, ihpafcfefegghhkqvmgmokk —

ТЪблина 4.5: Многообразия с сдним кислом

разхххк

1. 11 < | АЛ/1011 < 15;

2. 15 < \MV\tf\ < 20;

3. 9 < \МУЩ < 15;

4. \М\/1&\ =3, при этом, МУЮ\ = 53 \ 1Ва2\, МУЩ =5в\ £10га101 и МУ1О3 =

5е \

5. \МУШ>\ = 1, при этом, МУЩ = ЫСЫ.13;

Далее рассматривается пгавггие сложности для некомпакгаых гиперболических многообразий с каспами. Будем говорить, что сложность с(М) гиперболического многообразия М с каспами равна Т, если М допускает идеальную триангулящпо из Т тетраэдров, и не

Имя Кодировка щ Обозначение из [25]

МУЛ\ ebdbЪdddemlqp М4|

МУ<% еЫЬос1ск1сШс1х М4|

МУЪ\ £араас1соеееЪЫЬ£к

МУ6? gdhaabfefefelpllpll Щц

МУ7\

МУ8? ¡dhbbbffegehhhmememxmmx ihpaagfhfhgfghxeeeexxxx ЪъЪ -

МУ.Щ ¡dhbbbeffgehhllhxxxilliex -

МУЩ idhlbbbeegfghhhпplhmdatш -

МУ idhbbbeefgfhhhpplbфxxI z®z -

МУЩ 1сИ1ЬЫх*_'ГцГЫ1}1т{зЬапил1е -

МУ8| idhbbbffgcghhhqupqpccti -

МУЩ ¡¿ЬЬЬЬесГГпЬЬЬррПхрПх -

Таблш цг 4.6: Многообразия с двумя каспами

допускает идеальных триангуляции с меньшим чистом тетраэдров. ТЬчные значения сложности известны для конеч!юго числа многообразий, полученных склеиванием не более чем восьми идеальных тетраэдров [25, 56]. Известно, что объем \ю1(М) трехмерного типерболи-ческого М1Югообразия Мявляется его топологическим инвариантом. Оэедц всех тетраэдров в ЮР наибольший объем vз = 1.0149426... имеет правильный идеальный тетраэдр. На этом основано следукхцэе свойство, отмеченное в [22]:

с(М) > \тэ1(Л/)/уз .

В часпюсти, если многообразие М получено склеившшем Т правильных идеальных 'плра-эдюв, то с(М) = Т. А именно имеет место следующая теорема.

ТЬорема 4.4.1 ([66, 67]) Если М е ЛЛ-Т*, то с{М) = Т.

Тем самым сразу находился значения скнаюсш для всех многообразий из теоремы 4.2.1, теоремы 4.2.2 и теоремы 4.3.1. Накрытия этих многообразий даог бесконечный семейства гиперболических м!югообразнй с каспами, сложности которых допускают точное

вычисление. Частным случаем этого результата являются установленные в [22] значения сложности циклических пакрьгшй многообразия ЛЯ/2}.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [66, 67].

Литература

1. Веснин, АЮ. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля / АЮ. Веснин // Сиб. матем. жури. - 1987. - Т. 28, № 5. - С. 50-53.

2. Веснин, АЮ. С&ъемыаре>счер1Ш1хгагкрбо^'Кхта / АЮ. Веснин // Матем. заметки. - 1998. - Т. 64, № 1. - С. 13-24.

3. Веснин, АЮ. Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств / АЮ. Веснин, Т.А. Козловская // Сиб. матем. журн. - 2011. - Т. 52, К» 3. - С. 542-554.

4. Веснин, АЮ Двусгорошпхз оценки сложности многообразий Лёбалля / АЮ. Веснин, C.B. Матвеев, К. Петронио // Докл. Акад. наук. - 2007. - Т. 416, № 3. - С. 295-297.

5. Веснин, АЮ Гиперболические объемы многообразий Фибона'ге! / АЮ Веснин, А.Д. Медных // Сиб. матем. жури. - 1995. - Т. 36, № 2. - С. 266-277.

6. Винберг, Э. В. Объемы неевющцэвых многогранников / Э. Б. Винберг // Мзтехи матем. наук. - 1993. - Т. 48, № 2. - С. 17-46.

7. Греюселли, J1 Многообразия Зейферта. и (1,1)-узлы / JI Грассешш, М. Мулацдани // Сиб. матем. журн. - 2009. - Т. 50, № 1. - С. 28-39.

8. Козловская, Т.А Обобщение многообразия Stepirja. Диграммы Хегора. Сложность / Т.А. Козловская // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. -JV« 3-1. - С. 54-59.

9. Матвеев, C.B. Сложность трехмерных многообразий и их перечисление в порадке возрастания сложности / C.B. Матвеев // Докл. Акад. наук СССР. - 1988. - Т. 301, № 2. - С. 280-283.

10. Матвеев, C.B. Fciaicoiianaime и табулирежиlueтрехмер!гых miкитобразии / C.B. Матвеев // Докл. Акад. наук. - 2005. - Т. 400, № 1. - С. 26-28.

11. Матвеев, C.B. Тйбуллровш иie трехмерных многообразий / C.B. Матвеев // Успехи ма-теы. наук. - 2005. - T. GO, № 4. - С. 97-122.

12. Матвеев, C.B. Структура трехмерных многообразий сложности О / C.B. Матвеев, Д.О. Николаев // Докл. Акад. наук. - 2014. - Т. 455, X» 1. - С. 15-17.

13. Матвеев, C.B. Построение и свойства i-инваришпа. / C.B. Матвеев, MA Овчинников, М.В. Соколов // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2000. - Т. 267. - С. 207-219.

14. Матвеев, C.B. Нижние оценки сложности трехмерных многообразий / C.B. Матвеев, Е.Л. Первова // Докл. Акад. наук. - 2005. - Т. 378, X« 2. - С. 151-152.

15. Матвеев, C.B. Изоенергегические поверхности гапегрируемых гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в псргщке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий / C.B. Матвеев, AT. Фэменко // Успехи матем. паук. - 1988. - Т. 43, X* 1. - С. 5-22.

16. Николаев, ДО. Классификация многообразий сложности О / ДО. Николаев // Вестник Челябинского государственного университета. Серия: Математика. Мзхзпика. Информатика. - 2008. - X' 6. - С. 101-107.

17. Овчинников, MA Представление гомеотопий тора простыми полщдрами с краем / М.А. Овчинников // Мат. заметки. - 1999. - Т. 66, X' 4. - С. 533-539.

18. Овчинников, MA Построение простых спайнов многообразий Вальдхауэена / M А Овчинников // Сб. трудов межд. конф. "Маломерная топология и комбинаторная теория групп", Киев: Институт математики HAH Украины. - 2000. С. 65-86.

19. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. — М.: Мир, 198G. — 168 с.

20. Adame, С. Minimum ideal triangulations of hyperbolic 3-manifolds / C. Adams, W. Sherman // Discrete Comput. Geom. - 1991. - Vol. 6, No. 2. - P. 135-153.

21. Amendola, G. Non-orientable 3-manifolds of complexity up to 7 / G. Amendola, B. Martelli // Topology Appl. - 2005. - Vol. 150, No. 1-3. - P. 179-195.

22. Anisov, S. Exact values of complexity for an infinite number of 3-manifolds / S. Anisov // Moscow Math. .7. - 2005. - Vol. 5, No. 2. - P. 305-310.

23. G. Burde, H. Zieschang: Knots, Studies in Math. Vol. 5, de Gruyter, Berlin-New York, 1985.

24. Burton B.A A duplicate pair in the Snappea census. Preprint arXiv: 1311.7615. URL: http://arav.oiK/pdf/1311.7615v2.pdf (дата обращения 11.03.2014).

25. Callahan, P. A census of cusped hyperbolic 3-manifolds. With microfiche supplement / P. Callahan, M. Hildebrand, J. Weeks // Math. Сотр. - 1999. - Vol. 68, No. 225. - P. 321-332.

26. Casali, MR Computing Matveev's complexity of гюп-orientable 3-rranifolds via crystallization theory / M.R. Casali // Topology Appl. - 2004. - Vol. 144, No. 1-3. - P. 201-209.

27. Casali, MR Computing Matveev's complexity of non-orientable 3-manifolds via crystallization theory: the boundary case / MR Casali, P. Cristofori // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2013. - Vol. 22, No. 8. - article number 1350038.

28. Casali, MR Complexity computation for compact 3-manifolds via crystallizations and Heegaard diagrams / M.R. Casali, P. Cristofori, M. Mulazzani // Topology Appl. - 2012. -Vol. 159, No. 13. - P. 3042-3048.

29. Cattahriga, A. Complexity, Heegaard diagrams and generalized Durmoody manifolds / A. Cattabriga, M. Mulazzani, A. Vesnin // J. Korean Math. Soc. - 2010. - Vol. 47, No. 3. -P. 585-599.

30. Cristofori, P. Cyclic generalizations of two hyperbolic icosahedral manifolds / P. CVisiofori, T. Kozlovskaya. A. Vesnin // Topology Appl. - 2012. - Vol. 159, No. 8. - P. 2071-2081.

31. MJ. Dunwoody, Cyclic presentations and 3-manifolds, In: Proc. Inter. Cbnf., Groups-Korea '94, Walter de Gruyter, Berlin-New York (1995) 47-55.

32. Eastern, D. Euclidean decompositions of noncorrpact hyperbolic manifolds / D. Epstein, R. Penner // Journal of Differential Geometry. - 1988. - Vol. 27, No. 1. - P. 67-80.

33. Ferri, M. A graph-theoretical representation of PL-manifolds —a survey on crystallizations / M. Ferri, C. Gagliardi, L. Grasselli // Aeq. Math. - 1986. - Vol. 31. - P. 121-141.

34. Frigerio, R. Complexity and Heegaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Pacific J. Math. - 2003. - Vol. 210, No. 2. - P. 283-297.

35. Frigerio, R. Dehn filling of cusped hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Journal of Differential Geometry. - 2003. - Vol. G4, No. 3. - P. 425-455.

36. Frigerio, R Small hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundaiy / R FHgerio, B. Martelli, C. Petronio // Experimental Mathematics. - 2004. - Vol. 13, No. 2. - P. 171-184.

37. Fbjii, M. Hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary which are decomposed into hyperbolic truncated tetrahedra / M. Fujii // Tokyo J. Math. - 1990. - Vol. 13, No. 2. -P. 353-373.

38. Gabai, D. Minimum volume cuspcd hypcrbolic three-manifolds / D. Gabai, R. Mcycrhoif, P. Milley // J. Amer. Math. Soc. - 2009. - Vol. 22, No. 4. - P. 1157—1215.

39. Grasselli, L. Genus one 1-bridge knots and Dunwoody manifolds / L. Grasselli, M Mulazzani // Forum Math. - 2001. - Vol. 13. - P. 379-397.

40. Jaco, W. Minimal triangulations for an infinite family of lens spaces / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann // J. Topology. - 2009. - Vol. 2, No. 1. - P. 157-180.

41. Jaco, W. Coverings and minimal triangulations of 3-manifolds / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann // Algebraic & Geometric Topology. - 2011. - Vol. 11, No. 3. - P. 1257-1265.

42. Johannson, K. Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics. V. 761. Springier, Berlin, 1979.

43. Haken, W. Theorie der Normalflächen / W. Haken // Acta Math. - 1961. - Vol. 105. - P. 245-375.

44. Hildebrand MV., Wnks J.R A computer generated census of cusped hyperbolic 3-manifolds // Computers and mathematics: papers from the conference held at the Massachusetts Institute of Technology / eds. Erich Kaltofen, Stephen M. Witt. (Carrfaridgp, 1989). New York: Springer-Verlag, 1989. P. 53-59.

45. Kbjima, S. The smaller hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary / S. Kbjima, Y. Miyamoto // J. Differential Geom. - 1991. - Vol. 34, No. 1. - P. 175-192.

46. Kellerhals, R. On the -volume of hyperbolic polyhedra / R Kellerhals // Mathematische Annalen. - 1989. - Vol. 285, Xo. 4. - P. 541-569.

47. Martelli, B. Three-manifolds having complexity at most 9 / B. Martelli, C. Petronio // Experimental Math. - 2001. - Vol. 10, Xo. 2. - P. 207-236.

48. Martelli, B. Corrplexity of geometric 3-manifolds / B. Martelli, C. Petronio // Geom. Dedicata. - 2004. - Vol. 108, No. 3. - P. 15-69.

49. Matveev, S. Complexity theory of 3-dirnensional manifolds / S. Matveev // Acta Appl. Math. - 1990. - Vol. 19, No. 2. - P. 101-130.

50. Matveev, S. Algorithmic topology and classification of 3-manifolds. In: Algorithms and Computation in Mathematics. Springer, \bl. 9, Bfxlin-Heidelbcrg-New York: Springer, 2007, xiv-t-492 p.

51. Mat veev, S. TUo-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds / S. Matveev, C. Petronio, A. Vesnin // Journal of the Australian Math. Soc. -2009. - Vol. 86, No. 2. - P. 205-219.

52. Medrrykh, A Covering properties of small volume hyperbolic 3-manifolds / A Mednykh, A Vesnin // J. Knot Theory Ramifications. - 1998. - Vol. 7, No. 3. - P. 381-392.

53. Paoluzzi, L. On a class of hyperbolic 3-manifolds and groups with one defining relation / L. Paoluzzi, B. Zimmermann // Geom. Dedicata. - 1996. - Vol. 60, No. 2. - P. 113-123.

54. Petronio, C. TVvo-sided asymptotic bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links / C. Petronio, A. Vesnin // Osaka J. Math. - 2009. - Vol. 46, No. 4. -P. 1077-1095.

55. Ratcliffe J. Foundations of hyperbolic manifolds. 2nd ed. New York: Springer, 2006. 779 p. (Graduate Texts in Mathematics; vd. 149.)

56. Мэтоеп Tbistlethvraite's homepage [site]: Cusped hyperbolic manifolds with 8 tetrabedra. URL: http: //'www. mat к utk. edu/~inorv.en/8tct / (ища, обращения: 11.03.2014).

57. Thurston, W. Three dimensional geometry and topology / W. Thurston. - Princeton Math. Ser. 35, Princeton University Press, 1997.

58. Ushijima, A The canonical decompositions of some fanily of compact orientable hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary / A. Ushijima // Geom. Dedicata. - 1999. -Vol. 78, No. 1. - P. 21-47.

59. Wfeldhausen, F. Eine Klasse топ 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. I. / F. Wildbausen // Invent. Math. - 1967. - Vol. 3. - P. 308-333.

60. Wildhausen, F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Marmigfaltigkeiten. II. / F. Wèldbausen // Invent. Math. - 1967. - Vol. 4. - P. 87-117.

61. Jeff Weeks' Topology and Geometry Software [site]: SnapPea.

URL; http://gecsTietrygames.org/ SnapPea/ (дата обращзния: 11.03.2014).

62. Wblf, J. A.: Spaces of constant curvature. M^S-aw-НШ Book Co., New \brk-London-Sydney (1967).

Работы автора no теме диссертагщи

63. Веснин, AIQ Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценю! / АЮ. Веснин, C.B. Матвеев, ЕА Фоминых // Сибирские электронные математические известия. - 2011. - Т. 8. - С. 341-364.

64. Веснин, А.Ю. Точные значения сложности многообразий Паолтоци - Циммермана / А.Ю. Веснин, Е.А. Фоминых // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 439, № 6. - С. 727729.

65. Веснин, АЮ. О сложности трехмерных гиперболических многообразий с гесдззическим краем / А.Ю. Веснин, Е.А. Фоминых // Сибирский математический журнал. - 2012. -Т. 53, № 4. - С. 781-793.

66. Веснин, АЮ Трехмерные гиперболических шюгообразгш с каспами сложности 10, име-iŒiijKî максимальный объем / АЮ Веснин, В.В. ТЬркаев, Е.А Фоминых // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20, N1 2. - С. 74-87.

67. Веснин, АЮ. О сложности трехмерных гиперболических многообразий с кастами /

A.Ю. Веснин, В.В. Таркаев, Е.А. Фоминых // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 45G, JV« 1. - С. 11-14.

68. Веснин, АЮ. Дзусторошше оценки сложности трехмерных гиперболических многообразий с геодезическим краем / АЮ Веснин, Е.А Фоминых // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. - 2014. - Т. 286. - С. 65-74.

69. Таркаев, В.В. Верхние оценки сложности дополшпельных пространств некоторых кружевных узлов / В.В. ТЬркаев, ЕА Фоминых // Вестник Юкно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика - 2014. - Т. 6; № 3. -С. 50-52.

70. Фоминых, ЕА Верхние оценки сложности для бесконечной серии граф-многообразий / Е.А. Фоминых // Сибирские электронные математические известия. - 2008. — Т. 5. — С. 215-225.

71. Фоминых, Е А Т^зехмерлые многообразия малой сложности, о&ларрнящю геометриями S8 и Nil / Е.А Фоминых // Вестник Челябинского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2010. - JY» 23. - С. 98-103.

72. Фоминых, ЕА Хирургии Дрна на узле восьмерка: верхняя оценка сложности / ЕА Фоминых // Сибирский математический журнал. - 2011. - Т. 52, № 3. - С. 680-689.

73. Фоминых, ЕА Верхние оценки сложности многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями / ЕА Фоминых // Вестник Кемеровского государственного университета. — 2011. — № 3-1. — С. 87—92.

74. Fomirrykh, Е /¿-normal surfaces / Е. Fominykh, В. Martelli // Journal of Differential Geometry. - 2009. - Vol. 82, No. 1. - P. 101-114.

75. Fominykh, E Upper bounds for the complexity of torus knot complements / E Fominykh,

B. Wiest // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2013. - Vol. 22, No. 10. - article number 1350053.

Подписало в печать 22.09.2014 Пфаж 100 экз.

Отпечатано в типографии "Вера" 454091, г. Челябинск, ул. Свободы, д. 22.