Исключительные гиперповерхностные особенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Москва - 2001

Оглавление

1 Введение 3

2 Дополнения на алгебраических многообразиях 11

2.1 Основные понятия и определения..............................11

2.2 Существование дополнений для расслоения на поверхности Дель-Пеццо ..................................................14

3 Индуктивный метод изучения логканонических особенностей 21

3.1 Исключительные и слабо исключительные особенности . . 21

3.2 Существование индуктивного раздутия...........24

3.3 Критерии исключительности и слабой исключительности особенности . . . j . а.■■ '•.'• Л ..........................27

3.4 Логканонические .особенности-. ..............................29

4 Ограниченность исключительных квазиоднородных гиперповерхностных особенностей 32

4.1 Предварительные сведения о гиперповерхностных особенностях ..............................................................32

4.2 Исключительные терминальные особенности.........36

4.3 Квазиоднородные гиперповерхностные особенности.....38

4.4 Ограниченность исключительных гиперповерхностных особенностей ......................................................46

5 Трехмерные логканонические гиперповерхностные особенности 49

1

Глава 1 Введение

Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тем, что оно, с одной стороны, является довольно "грубым"объектом, так как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, и, с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта "не всюду определенные "отображения называются бирациональными изоморфизмами и задают отношение эквивалентности в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности, называется бирацио-нальной геометрией.

Сейчас проблема бирациональной классификации алгебраических многообразий решена в размерностях 1 и 2, т.е. для гладких кривых и поверхностей. Две кривые С\ и Съ являются бирационально эквивалентными тогда и только тогда, когда их рода совпадают (g(Ci) = ^(Су). Для поверхностей ответ гораздо сложнее, см. например, [1], [3]. В трехмерном случае эта проблема остается полностью открытой, кроме классификации неособых многообразий Фано [8], полученной В. А. Псковских в конце 70-х годов. Основная сложность с которой тут же сталкиваются исследователи - это отсутствие теоремы о факторизации бирацио-нальных отображений как в случае поверхностей. Напомним, что любое

3

бирационалъное отображение между гладким поверхностями раскладывается в произведение раздутий и стягиваний (-1) кривых. На каждом шаге мы получаем опять гладкую поверхность. Для трехмерных многообразий это уже не так. В начале 80-х, Мори классифицировал экстремальные стягивания f:X—>Y, где X - трехмерное неособое проективное многообразие, дивизор — Кх /-обилен и p(X/Y) = 1 [21]. Многообразие У, к сожалению, уже может иметь следующие особенности -(.x2 + y2 + z2 + tn = 0,0) С (С4,0) п = 2,3 и С3/^2(1,1Д). Это подсказало отказаться от рассмотрения неособых многообразий. С этого момента началось бурное развитие этой идеи, которая привела к созданию лог программы минимальных моделей (JTTTMM) [33]. Основной ее итог в следующем:

Теорема 1.0.1. Пусть (X,Dx) ~ дивизориально логтерминалъная пара. Тогда существует такое бирационалъное отображение (X,Dx) —► (Y/Z,Dy), что выполняется одно из следующих условий:

1. дивизор Ку + Dy ~ численно эффективен;

2. дивизор — (Ky + Dy) обилен над Z, где Y —>• Z - не бирационалъный морфизм. Если X является Q-факториалъным многообразием, то p(Y/Z) = 1.

Теперь применение ЛПММ к классификации трехмерных алгебраических многообразий сразу приводит к следующей проблеме:

Проблема 1.0.2. Классифицировать экстремальные стягивания, возникающие в ЛПММ, т.е. стягивания /: (X,Dx) —> (X',Dx'), где дивизор ~(КХ + Dx) /-обилен и р(Х/Х') = 1.

Одна из основных сложностей при решении данной проблемы -это отсутствие геометрической классификации особенностей. Если посмотреть на этапы классификации гладких многообразий Фано [8], то можно увидеть, что первым шагом является нахождение "хороше-го"элемента в антиканонической линейной системе \ — Кх\ - Наличие "хорошего "элемента для экстремального стягивания уже позволяет увидеть структуру стягивания (пример 1.0.4). Поэтому основную подпроблему, которой и будет посвящена данная диссертация можно сформулировать следующим образом:

4

Проблема 1.0.3. Найти "хороший"элемент в кратной антиканонической линейной системе для экстремального стягивания (особенности).

Пример 1.0.4. 1. Рассмотрим малое экстремальное стягивание трехмерного терминального многообразия. Тогда существование дивизора с дювалевскими особенностями в линейной системе | — 2КХ\ влечет существование флипа [9].

2. Если экстремальное стягивание трехмерного терминального многообразия является расслоением на коники, то существование дивизора с дювалевскими особенностями в антиканонической линейной системе j — Кх | позволяет сразу получить полную локальную классификацию [24].

Сравнительно недавно В. В. Шокуров в работах [33],[34] предложил путь решения проблемы 1.0.3. Он состоит из двух частей:

1. индуктивный переход от многообразий размерности п к многообразиям размерности п — 1;

2. явление исключительности.

Вкратце, первый этап заключается в следующем. Сначала надо найти такой дивизор S на X или на некотором раздутии X, что пара (S,Diffs(Dx)) будет логтерминальной по Кавамате, и дивизор ~{Ks + Diff^Dx)) окажется обильным. Тогда "хороший "дивизор для этой пары продолжается до хорошего дивизора на все многообразие X.

Явление исключительности при изучения экстремальных стягиваний (особенностей) состоит в следующем наблюдении:

1. Если экстремальное стягивание не исключительное, то для него можно найти "хороший"дивизор из линейной системы | — пКх\ для небольших значений п. Например для двухмерных логкано-нических особенностей п G {1,2} [33, 5.2], а в трехмерном случае п G {1,2,3,4,6} [34, 7.1].

2. Исключительные стягивания являются "ограниченными"и можно дать их подробное описание.

Регулярные, т.е. не исключительные экстремальные стягивания (особенности), вообще говоря, не поддаются детальной классификации уже

5

в размерности три (например, в работе [20] показано, что невозможно классифицировать нормальные формы всех трехмерных терминальных гиперповерхностных особенностей, т.е. самых простых трехмерных особенностей). С другой стороны наличие дополнения минимального индекса позволяет разбить экстремальные стягивания (особенности) на семейства с общими свойствами.

Исключительные стягивания (особенности) поддаются детальной классификации, хотя и могут иметь большой индекс дополняемости.

В статье [25] показано, что исключительность сохраняется при индуктивном переходе и наоборот из исключительности пары (S, Diffs(-Dx)) следует исключительность [XjZ.Dx]- Тем самым стало возможным говорить об индуктивном методе классификации алгебраических многообразий.

Основная задача диссертации заключается в дальнейшем развитии, совершенствовании индуктивного метода и его применении к классификации трехмерных канонических особенностей.

Первый шаг при классификации особенностей состоит в нахождении дивизора S. Для этого делается так называемое чисто логтерминалъ-ное раздутие /: (Y, S) —> (X Э Р), где пара (У, S) - чисто логтерми-нальна, Ехс(/) = S - неприводимый дивизор и дивизор (—S) является /-обильным. Данное определение совпадает с определением данным Ю.Г. Прохоровым для логтерминальных особенностей. Преимущество нового определения состоит в том, что оно остается верным для лог-канонических особенностей, т.е. позволяет применять индуктивный метод для всех особенностей алгебраических многообразий, которые имеет смысл рассматривать. Существование такого раздутия для произвольных логтерминальных особенностей доказывается в этой диссертации. Для строго логканонических особенностей также был получен критерий существования чисто логтерминального раздутия при условии f(S) = Р.

Второй шаг заключается в изучении полученных лог многообразий Фано (S, Diffs(O)) на (слабую) исключительность и поиску дополнения минимального индекса.

Основные результаты диссертации :

1. Доказано существование строгого 1-дополнения для трехмерного проективного многообразия с каноническими горенштейновы-ми особенностями, имеющего структуру расслоения на поверхности Дель-Пеццо.

6

2. Доказано существование индуктивного раздутия (в частности, чисто логтерминального раздутия) и критерий слабой исключительности особенности.

3. Построены примеры исключительных терминальных особенностей.

4. Доказана ограниченность исключительных квазиоднородных лог-канонических гиперповерхностных особенностей.

5. Классифицированы трехмерные исключительные логканонические гиперповерхностные особенности при условии хорошей определенности. Найдены соответствующие поверхности лог Дель-Пеццо и минимальный индекс дополняемости для каждой из них.

Диссертация состоит из введения и 4 глав.

В первой главе в параграфе §2.1 собраны основные определения, факты о дополнениях на алгебраических многообразиях и показаны основные свойства дополнений. В параграфе §2.2 доказывается существование строгого 1-дополнения для трехмерного проективного многообразия с каноническими горенштейновыми особенностями, имеющего структуру расслоения на поверхности Дель-Пеццо.

Теорема 1.0.5. Пусть X - трехмерное проективное многообразие с каноническими горенштейновыми особенностями, обладающее таким проективным морфизмом ср: X —С на гладкую кривую С, что дивизор —Кх (р-обилен. Тогда для достаточно обильного дивизора Н е Pic(C) общий дивизор из линейной системы | — Кх + <р*Н\ приведен, неприводим и имеет не хуже чем дювалевские особетюстм. В частности, по обращению присоединения, 2.1.4 дивизор Кх строго 1-дополняем.

Вторая глава посвящена индуктивный методу и (слабо) исключительным особенностям. В параграфе §3.1 даны определения и свойства (слабо) исключительных особенностей. В параграфе §3.2 доказывается существование индуктивного раздутия.

Теорема 1.0.6. Пусть X - многообразие с логтерминальными особенностями и пусть D ф 0 - граница на X такая, что пара (X, D) является логканоничной, но не чисто логтерминальной, в частности D является Q-Картье дивизором. Предположим, что верна лог программа минимальных моделей. (При dimX < 3 это так). Тогда существует раздутие f : Y —> X со следующими свойствами:

7

1. исключительное мноэюество морфизма / состоит только из одного неприводимого дивизора Е (Ехс(/) = Е).

2. Дивизор Ку + Е -f Dy = f *(Kx + D) логкапоничен.

3. Дивизор KY + Е + (1 — e)Dy чисто логтерминален и антиобилен над X для любых е > 0.

4- Если многообразие X Q-факториально, то У тоже Q-факториально и p{Y/X) = 1.

В параграфе §3.3 доказывается критерий слабой исключительности особенности.

Теорема 1.0.7. Пусть (X Э Р) - логтерминальная особенность и пусть /: (У, Е) —> X ее чисто логтерминальное раздутие. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. (X Э Р) не слабо исключительная особенность;

2. Существует эффективный Q-дивизор D > Diff^; (0) такой, что

— (КЕ + D) обильный дивизор и пара (Е, D) не логтерминальна по Кавамате;

3. Существует эффективный Q-дивизор D > Diff^O) такой, что

— (КЕ + D) обильный дивизор и пара (Е, D) не логканонична.

В параграфе §3.4 изучаются строго логканонические особенности. Основной результат для них следующий:

Теорема 1.0.8. Пусть (I э Р) - строго логканоническая особенность. Тогда

1. Если существует чисто логтерминальное раздутие, то оно единственно (с точностью до изоморфизма).

2. Особенность является исключительной тогда и только тогда, когда существует, чисто логтерминальное раздутие / : (У, Е) —> {X Э Р) такое, что f(E) = Р.

8

В третьей главе исследуются гиперповерхностные особенности в любой размерности. Доказывается ограниченность числа типов исключительных гиперповерхностных особенностей. В параграфе §4.1 собраны предварительные сведения и доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе §4.2, впервые построены примеры исключительных терминальных особенностей в размерности 4 (в размерности 3 их нет, см. пример 3.1.2).

Теорема 1.0.9. Пусть (/ = 0,0) = (ж?1 + х%г + Хз3 + xlA + xf = 0,0) С (С5,0) - четырехмерные гиперповерхностные особенности, где (ai,...,a5) = (2, 3,11,17,19), (2, 3,11,17, 23), (2, 3,11,17, 25), (2, 3,11,17, 29), (2, 5, 7, 9,11), (2, 5, 7, 9,13). Тогда они терминальны и исключительны.

В параграфе §4.3 изучаются квазиоднородные гиперповерхностные особенности. Для них основной результат является следующим:

Теорема 1.0.10. Пусть (X, 0) С (С"",0) - логканоническая квазиоднородная гиперповерхностная особенность с весами р = (pi,... ,рп), определенная многочленом f. Тогда

1. Если (X, 0) - не каноническая вне 0; то р-раздутие является лог-каноническим, но не чисто логтерминальным раздутием, за исключением случая, описанного в замечании 4-3.14- В частности, в обоих случаях (X, 0) - не исключительная особенность.

Если (X, 0) - каноническая вне 0; то \)-раздутие является чисто логтерминальным раздутием.

В параграфе §4.4 доказывается ограниченность квазиоднородных исключительных гиперповерхностных особенностей.

Теорема 1.0.11. Пусть (X, 0) С (С1-1-1^) - исключительная логканоническая гиперповерхностная особенность типа 1, определенная многочленом f. Тогда существует единственный р £ iV®. такой, что (/р, 0) -логканоническая гиперповерхностная особенность. Множество векторов р конечно для всех таких особенностей размерности п. р-раздутие является чисто логтерминальным раздутием особенностей / и /р. Соответствующие исключительные множества и дифференты совпадают.

9

В главе §5 классифицируются трехмерные исключительные гиперповерхностные особенности. Основная теорема формулируется следующим образом.

Теорема 1.0.12. Пусть (X, 0) С (С^О) - трехмерная исключительная каноническая (строго логканоническая) гиперповерхностная особенность, заданная многочленом /. Тогда существует биголоморфная замена координат -ф: (С4^)) —> (^zxy,0) и единственный примитивный р £ -/V®. такой, что выполняется одно из следующих условий:

1. Квазиоднородный многочлен /р = (f°ip)p задает исключительную каноническую (строго логканоническую и каноническую вне 0) особенность (Хр, 0) С (С$г ху,0). В этом случае р-раздутие С4 индуцирует чисто логтерминалъные раздутия (р: (Y. Е) —> (X, 0) и срр: (Ур, Ер) (Хр,0), причем (£,DiffB(0)) = (Ер,biff£p(0)). Т.е. эти особенности имеют один и тот же тип, в частности, одинаковый индекс дополняемости. Канонические особенности, удовлетворяющие условию хорошей определенности - Diff^/г(р)(0) = 0, классифицированы в теоремах 5.0.31,5.0.35 и в таблицах параграфа §6. В таблицах указаны /р; (Е, DiffB(0)); минимальный индекс дополняемости. Строго логканонические и канонические вне О квазиоднородные особенности по следствию 4-3.12 всегда являются исключительными (в любой размерности). В трехмерном случае (Е, DifFB(0)) = (/р С Р(р),0) - особая поверхность КЗ и особенность 1-дополняема.

2. fP = t3 + g%(z,x,y), где gi - неприводимый однородный многочлен степени 2. В этом случае в теоремах 5.0.12 и 5.0.14 построено чисто логтерминальпое раздутие и получена аналогичная классификация в зависимости от вида струй /5 и

В главе §6 приведена итоговая классификация трехмерных исключительных канонических гиперповерхностных особенностей.

10

Глава 2

Дополнения на алгебраических многообразиях

Все многообразия рассматриваются над полем комплексных чисел С. Основные определения, обозначения и понятия приведены в [11], [12], [28].

2.1 Основные понятия и определения

Определение 2.1.1. [33, §3], [12, Ch. 16] Пусть X - нормальное многообразие и дивизор D = S + В является границей на X, где S — lS + B_j ф 0 и В = {S + В}. Предположим, что дивизор Кх + S + В является логка-ноническим в коразмерности 2. Тогда можно определить дифференту В на многообразии S:

Ks + mss(B) = {Kx + s + B)\s

Теорема 2.1.2. [33, 3.9], [12, 16.6] Пусть пара (X,S) является чист,о логтерминальной, где S - приведенный дивизор. Тогда Diffs(O) = 53(1 — l/m,i)Ri, где Ri являются неприводимыми компонентами Sing(X), которые лежат в S и имеют коразмерность 1 в S. Числа nij G N определяются следующими равносильными условиями:

(1) rrii - индекс Кх + S в общей точке Ri;

(2) rrii - индекс S в общей точке Ri.

11

Определение 2.1.3. Q-дивизор D называется дивизором со стандартными коэффициентами, если каждый его коэффициент имеет вид (1 — 1/т) или 1.

Теорема 2.1.4. [33, 3.3], [12, 17.6] (Обращение присоединения) Пусть X - нормальное многообразие и дивизор D = S + В является границей на X, где S = lDj и В = {D}. Предположим, что дивизор Кх + S + В является Q-Картье дивизором. Тогда пара (X, S + В) - чисто логтер-минальна в окрестности S тогда и только тогда, когда S - нормальное многообразие и пара (S, Diffs(B)) - логтерминальна по Кавамате.

Определение 2.1.5. Пусть (X/Z Э Р, D) - стягивание многообразий. Q-дополнением для этого стягивания называется эффективный Q-дивизор D' такой, что D' > D, дивизор Кх + D' - логканоничен и Кх + D'