Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Облезин Сергей Викторович

ИЗОМОНОДРОМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ФУКСОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА СФЕРЕ РИМАНА И СООТВЕТСТВИЯ ГЕККЕ

специальность: 01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный — 2003

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Чубаров Игорь Андреевич,

Научный консультант: кандидат физ.-мат. наук Левин Андрей Михайлович

I

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Ольшакецкий Михаил Аронович,

кандидат физико-математических наук, доцент Лексин Владимир Павлович

Ведущая организация: Институт теоретической физики им. Л. Ландау РАН.

Защита диссертации состоится декабря 2003 г. в ч на заседании диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан ^5ктября 2003

года.

Учёный секретарь диссертацонного совета

Федько О. С.

ДооМ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последниие годы большой интерес вызывают разностные изомонодромные задачи, в частности, разностные уравнения Пенлеве, возникающие в различных вероятностных и стохастических моделях, а также в теории случайных матриц. Представляют большую важность исследования особенностей разностных систем и поведение систем в этих особенностях. При изучении таких разностных задач особенно важны проблемы выбора динамических переменных и геометрической интерпретации этих уравнений. Также представляют несомненный интерес изучения соответствий, непрерывных пределов, между дискретными уравнениями и их непрерывными аналогами. В частности, изучение разностных систем даёт богатую информацию о динамике, решениях и асимптотике непрерывного предела системы.

Изначально метод изомонодромных деформаций появился в современной науке в работах Джимбо—Мивы—Сато и Флашки—Ньюэла и с тех пор активно используется и развивается. Идея метода изомонодромных деформаций — исследовать нелинейное уравнение, релизовав его как изомонодромное условия некоторых систем. Оказывается, что некоторые нелинейные уравнения математической физики, например, все уравнения Пенлеве и некоторые редукции уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Кортевега—де Фриза, являются условиями изомоно-дромности некоторых систем линейных уравнений, а такая интерпретация даёт существенную информацию о нелинейном уравеннии. В частности, сохранение мо-нодромии означает, что монодромия системы является первым интегралом нелинейного уравнения. Суть метода исследования нелинейных уравнений можно сформулировать следующим образом. Чтобы исследовать уравнение, его реализуют как изомонодромное условие для некоторой системы линейных уравнений. Таким образом, метод изомонодромной деформации позволяет изучать нелинейную систему, её асимптотику, получать информацию о её решениях. Однако для реализации такой схемы изучения нелинейной системы нужно сначала по данной монодромии построить саму систему, а потом ее изомонодромно продеформировать, то есть нужно решить обратную задачу — задачу Римава—Гильберта. Эта проблема была включена Гильбертом в 1900 г в список наиболее важных проблем математики и иногда эту задачу называют 21-й проблемой Гильберта. Она формулируется следующим образом: "Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и с заданной монодроми-ей." Другими словами, 21-я проблема Гильберта — это обратная задача в теории фуксовых систем дифференциальных уравнений.

Задача изомонодромной деформации и проблема Римана-Гильберта рассматривались в разных аспектах, — кроме фуксовых систем рассматривались системы с регулярными особыми точками, для которых такая задача тоже имеет смысл. Оказалось, что самый сложный вариант проблемы Римана-Гильберта связан именно с фуксовыми системами. В последнее время интерес к задач» изомонодромной дефор-

мации стимулировался работами ряда групп учёных под руководством М. Джимбо и Т. Мивы по исследованию систем изомонодромных деформаций фуксовых систем (впервые исследованные Л. Шлезингером в 1912 г), а также контрпримером А. А. Болибруха к проблеме Римана—Гильберта.

Помимо этого, системы типа Шлезингера являются квазиклассическим пределом уравнения Книжника—Замолодчикова—Бернара и, с этой точки зрения, изучение уравнений изомонодромных деформаций в общем случае представляет- •

ся также важным, интересным и должно повлечь важные результаты в анализе конформных блоков в теории Весса—Зумино—Новикова—Виттена.

Цель работы. Предметом настоящей работы является дискретно-групповой (_

анализ метода изомонодромной деформации на примере системы Годена. С помощью дискретно-групповых методов в работе разрешаются задачи разделения динамических переменных, компактификации для системы Годена ранга два на сфере Римана и вычисление её дискретной структуры. Кроме того, общей мотивацией данной работы является круг вопросов, связанных с дискретными аналогами изомонодромных деформаций. Для достижения цели в работе решаются следующие основные задачи:

1. Формулировка задачи изомонодромной деформации фуксовых систем в терминах соответствующей группы петель.

2. Развитие техники соответствий Гекке и изучение действия группы обобщенных кос.

3. Изучепие и интерпретация в терминах соответствий Гекке дискретной и непрерывной структуры изомонодромной деформации фуксовой системы, и представление их бирациональными преобразованиями типа Кремоны между пространствами модулей расслоений с логарифмическими связностями.

5. Вычисление дискретной группы симметрий систем изомонодромных деформаций типа Шлезингера ранга два с произвольным числом фуксовых особенностей. Приложение для вычисления соотношений между специальными трансцендентными функциями — решениями гипергеометрического уравнения, уравнения Гойна и шестого уравения Пенлеве.

6. Построение отображения из пространства модулей расслоений с логарифмическими связностями в пространство модулей РН-пучков. Приложение для разрешение проблемы разделения переменных и компактификации для системы Годена ранга два и её разностных аналогов при помощи метода изомонодромных деформаций.

Основным методом исследования является техника соответствий Гекке в группе петель з1(2, С((г))), или, РН-пучков (Фробениуса-Гекке). Ключевой конструкцией является построение отображения из пространства модулей расслоений с логарифмическими связностями в пространство модулей РН-пучков.

Научная новизна работы состоит в следующем. В диссертационной работе 1. Впервые достаточно изучена алгебраическая геометрия и дискретно-групповая

структура изомонодромной деформации (система Шлезингера) для системы ранга два с произвольным числом особенностей и её разностных аналогов; 2. Впервые вычислена дискретная структура системы, описывающая поведение в окрестностях особенностей; 3. Впервые представлена геометрическая и дискретно-групповая интерпретация метода изомонодромной деформации в терминах РН-пучков и продемонстрирована на примере решения проблем разделения переменных и компактификации для системы Годена и её разностных аналогов на сфере Римана.

Личный вклад. Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Аппробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах Независимого Московского университета, Института теоретической и экспериментальной физики, Математического института им. Стеклова РАН, Московского физико-технического института, на научных конференциях МФТИ 1998, 2000, 2001 годов, на на II Международной научной школе ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике (Ворзель, 2001), на XII Международном коллоквиуме " Квантовые грз'ппы и интегрируемые системы" (Прага, 2003).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 9 работ общим объёмом 91 печатных страниц.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 110 страниц текста, список литературы включает 50 наименований.

Содержааие работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цель и задачи исследования, описаны используемые методы и их взаимосвязь, логическая структура и краткое содержание работы, а также приведён обзор современных подходов и методов к исследованию вопросов, связанных с темой диссертации.

Разностные уравнения типа Шлезингера возникают в многочисленных вероятностных и стохастических моделях. Одним из простых примеров служит задача о возрастающих последовательностях, описанная в классической книге Дональда Кнута "Искусство программирования". Пусть 7Г := (¿1,...,1П) — какая-то произвольная перестановка п чисел, а функция 1п(ж) определяется как максимальная длина возрастающей подпоследовательности в ж. Например, для п = 7 и 7г = (2,6,5,1,3,4,7) (то есть имеется в виду, что 7г(1) = 2, тг(2) = 6,7г(3) = 5 и т. д.) максимальные возрастающие подпоследовательности суть (2,3,4,7) и (1,3,4,7), и поэтому 1т (к) = 4. Проблема состоит в изучении асимптотических свойств функции 1п, в частности, в 1977 году А. Вершиком и С. Керовым было показано, что предел

—= —> 2, п —> оо.

V"

Далее, если рассмотреть вероятность р^ := РгоЬ{1п < /с} и распределение

Ы"'

то оказывается, что

PMPk-i _ 1 _ 2 Р? -1

где последовательность v/c удовлетворяет разностному уравнению Пенлеве II —

n-vn

с начальным условием Vq = 1, а. vi задаётся через значения специальных функ-

г^ тт тъ , ('п — 2\/п 1

ции Эири. Предел вероятности Prob < — S х > выражается через решения непрерывного уравнения Пенлеве II — ¿2

= 1' и(х) + 2и3(х).

В первой главе рассматриваются разностные изомонодромные задачи и их непрерывные пределы. Для этих задач формулируется проблемы разделения переменных и изучается их геометрическая интерпретация. Также представлена

дискретно-групповая структура разностных изомонодромных задач и исследуется её поведение при непрерывном пределе.

Особенно интересна геометрическая интерпретация разностных уравнений Пенлеве. Самое общее, шестое, дискретное уравнение Пенлеве имеет вид

/(«*)/(*) 9(<И) - <?М ' .<?(?£) - яЫ

Я - Ру! ■

я№) - Ьз 9(Ф) ~ к

ъь т-ь'

где 6,

• коэффициенты уравнения, удовлетворяющие условию &1&2 _ ЬдЬъ 6364 6768

Предполагается, что \я\ ф 1 и поведение /ид вблизи точки £ = 0 определяет значения /(£) §(£) для произвольного £ 6 С \ {0} при помощи значений /(<?"£) и д(чпЪ), либо /(?""£) и з(д~"£). Обозначим через / := /(д-1£) и / := /(?£) и представим разностное уравнение с/ — /V/ последовательностью бирациональных отображений

д-Ру/: •"►(/,») 5)

или, более точно, бирациональпые отображения типа

ЬхЬ Ьз 64

65 £ 66£ 67 68

где

__6з64/-65 /

961* яЫ 6з 7 - \

дь5г дьег ъ, бе ■ ;

Ье

/ =

</ /-67 /-бе'

М8 9 - яЬ д-Ьг

} д-Ьз я-Ъ^

63646566

61626768

Эти отображения имеют особенности в / = 67,63 и д = 63,64, и, кроме этого, значения / = 65,6в и 5 = 61,62 являются особенностями на следующем шаге для 1// и 1/р. Например, если задать начальные данные (/,£) = (67,50)1 то (/,5) ~ (6а, оо) и, чтобы вычислить следующее значение рассмотрим начальные данные (67 + е, р0) и возьмём предел е 0. Таким образом

_ 6364 (6т - 65/д) (67 - 66/д) £00 67 - &8

г -К,-г(9еЬ* У*7 ~ + 61-6,-62) _ Ьв\ 2,

7 * 46364 (б7-65/«)(б7-6б/9) ь)^ К и

и даже для д = оо значение д < оо — конечно и ,более того, оно однозначно определяет начальное данное до. Объяснение заключается в том, что выражение g(f—bg) остаётся конечным, даже когда в отображениях возникает бесконечность и поведение разностной системы в прямой (/, д) — (Ь7,д) геометрически описывается процедурой раздутия плоскости Щ в точке (67, до) и стягивания прообраза прямой (67,5). Такое преобразование плоскости С2 называется преобразованием Кремоны. Эти преобразования переносятся на непрерывный случай и, помимо описанной геометрической интерпретации, имеют представление в виде соответствий Гекке в соответствующей группе петель.

В работе тщательно исследуются такого рода зависимости разностных уравнений от начальных данных для систем второго порядка с произвольным числом простых полюсов и их непрерывных аналогов, а также разрешается задача пополнения (компактификации) пространства начальных данных для таких задач.

В непрерывном случае задача изомонодромной деформации формулируется следующим образом. Рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных уравнений на сфере Римана

ЙУ _ (у, В,

и включим её в изомонодромное аналитическое семейство. То есть мы меняем положение особенностей {сц,..., а„} на сфере Римана и при этом меняем коэффициенты В, = В,(ах,..., ап) таким образом, чтобы сохранить монодромию системы. Действие монодромии системы на фундаментальную матрицу решений У (г) описывается следующим образом. Выберем петлю 7„ обходящую вокруг особой точки г = а,, и рассмотрим аналитическое продолжение фундаментальной матрицы У (г) вдоль 7,. После обхода вдоль 7, фундаментальная матрица У (г) домножится на матрицу <?,; если соответствующая матрица коэффициентов В, нерезонансная (то есть если разность её собственных значений А+ — Л- не является целым числом), то С?, = ехр(2тт\/—1В,). При этом локальное поведение фундаментальной матрицы имеет вид У (г) ~ с,(1 + О (г — а,))(г — а,)®' и условие изомонодромности можно

представить как = •

-. Окончательно, условием совместности системы

(¿У (¡2

<ГУ_ . ¿а,

А

г — а,

является уравнение на коэффициенты В,(аг,..., ап)

г — а, г — а

О

dB,К ...,«,,) = -£ - а,]).

Это условие совместности называется уравнением Шлезингера.

В работе используется следующая схема исследования системы Шлезингера. Объектом исследования является пространство модулей Mn(N) расслоений С ранга N на сфере Римана с фиксированной комплексной структурой ф : detC ~

п

(Dpi и оснащённое sl (Л^-связностью V с особенностями в модуле Ш = и

t=i

с фиксированными собственными значениями вычетов в точках носителя S = {ai,..., о„} модуля Ш. Фиксация собственных значений означает фиксацию sl(N)-орбит О», г — 1,...,»» коприсоединённого действия. Расслоение (£,ф) не всегда тривиально и пространство модулей Mn(N) стратифицировано локально-замкнутыми множествами соответствующими раслоениям С ~ О (к) ф

0(—к) при этом максимальный страт отождествляется с симплектическим

фактором М := Ö х ö х ... х О //SL(2, С). Таким образом пространство модулей

> V ^

п

Mn(N) представлено как пространство начальных данных изомонодромной деформации, при этом динамику системы интерпретируется в терминах бирациональ-ных изоморфизмов между пространствами Mn(N) с различными параметрами.

Здесь возникает задача параметризации (координатизации) пространства Mn(N) — так называемая проблема разделения динамических переменных. Решение этой проблемы представлялось эвристическими формулами, полученными Е. Скляниным. В настоящей работе приводится независимое решение проблемы разделения переменных, при этом формулы Склянина объясняются и им даётся изящное геометрическое описание. Последовательность действий такова. Сначала вычисляется дискретная группа бирациональных изоморфизмов между пространствами начальных данных и изучается геметрическая интерпретация этой дискретной группы в терминах соответствий Гекке. Затем дискретная структура системы Шлезингера некоторым образом деформируется и даёт параметризацию пространства и решение проблемы разделения переменных в тех же геометрических терминах.

В классических и в большинстве современных работ по математической физике изучается симплектический фактор М, хотя расширение пространства начальных данных изомонодромной деформации с М до Mn(N) даёт богатую информацию о ней. Впервые системы изомонодромных деформаций на нетривиальных расслоениях были подробно изучены А. Болибрухом, что и позволило обнаружить контрпримеры с соответствию Римана-Гильберта. Кроме того, такой подход позволяет изучить систему более полно и глубоко, проследить связи с многими смежными принципиальными задачами математической физики, теории дифференциальных уравнений и теории интегрируемых систем, теории представлений и симплектиче-ской геометрии, теории автоморфных форм и теории чисел. Перечислим трудности и преимущества, возникающие при рассмотрении A4n(N) вместо симплектическо-

го фактора.

Во-первых, при отказе от условия тривиальности расслоения С, возникает необходимость вводить понятие стабильности пары (С, V) и рассматривать (по-лу)стабильные расслоения со связностями. В то же время для симплектического фактора М весьма важен вопрос о компактификации, поскольку при динамике система выходит за пределы М, ив этом смысле Mn(N) более естественно (и •

более полно) описывает динамику. В этом можно убедиться, рассматривая дискретную часть системы и в данной работе этот факт наглядно демонстрируется на примере шестого уравнения Пенлеве. Соответствующее пространство началь- t

ных данных алгебраической поверхностью 5, изоморфной некомпактной по-

верхности ToifP1,0(2)), раздутой в восьми точках и с четырьмя разрезами. При этом вся S за исключением одного из восьми исключительных дивизоров отождествляется со стратом М$(2) ~ М, а оставшийся страт 3^(2), соответствующий С — 0(1) ©0(—1), отождествляется с восьмым исключительным дивизором. Дискретная структура Пен леве-VI изоморфна прямоугольной решётке С4 и действует преобразованиями Кремоны (парами "стягивание исключительного дивизора — раздутие") на S, естественным образом задействуя все восемь исключительных дивизоров, в том числе невходящий в М.

Во-вторых, рассмотрение и изучение геометрии стратов позволяет на-

много более тонко исследовать систему изомонодромной деформации, в частности, с точки зрения соответствия Римана-Гильберта. Согласно результатам А. Боли-бруха соответствие нарушается именно на стратах M„(N) при к > О, N > 3 и п > 4. В настоящей работе не заостряется внимание на исследовании нарушений соответствия Римана-Гильберта и основной целью ставится изучение геометрии дискретной структуры изомонодромной деформации и геометрии разделённых переменных.

Помимо этого, на стратах Mk(N) при N > 2 и некоторых к ф О пара {С, V) с заданными параметрами может быть неединственной и в работе вычисляется соответствующее аффинное пространство связностей. Таким образом в работе тщательно исследуется координатизация пространства _М„(2) и объясняются трудности, возникающие при N >2.

В-третьих, в большинстве работ по данной тематике изучается система в общем положении, без рассмотрения поведения динамики при вырождении параме-

тров и начальных данных системы. В частности, часто рассматривается пара- I

метризация пространства начальных данных вне дивизоров {я, = а3] и 1

вне диагоналей {ж, = х3}. В данной работе изучается поведение системы в осо- >

бых точках {а1,...,а„} и демонстрируются методы разрешения диагоналей, — I

рассматривается поведение системы при совпадении лишь двух координат.

И, наконец, в работе рассматривается компактификация пространства начальных данных и изучается поведение системы на компактифицирующем дивизоре. Оказывается, что подход, развитый в работе, даёт новую интерпретацию изомонодромной деформации в терминах геометрии компактификации пространства начальных данных. А именно, динамика изомонодромной деформации отождествля-

ется с динамикой некоторой деформации компактифицирующего дивизора. Впервые такая интерпретация, но в других, аналитических терминах теории Кодаиры-Спенсера, была дана в работе М.-Х.Саито—Т.Такебе—Х.Тераджимы и в диссертации X. Тераджимы для уравнений Пенлеве. В данной работе этот результат интерпретируется в инвариантных геометрических терминах соответствий Гекке и обобщается на случай изомонодромной деформации фуксовых систем ранга два с произвольным числом особенностей.

В настоящей работе основное внимание уделяется системам ранга N = 2. Логическую структуру работы можно представить следующим образом. Сначала вычисляется дискретная группа бирациональных изоморфизмов между пространствами Л4„(2) и изучается геметрическая интерпретация этой дискретной группы в терминах соответствий Гекке. Затем дискретная структура системы Шлезингера некоторым образом деформируется и даёт параметризацию компактифицированного пространства Мп{2) и решение в полном объёме проблемы разделения переменных в тех же геметрических терминах.

Основным инструментом изучения изомонодромной деформации является техника соответствий Гекке в группе петель С) ® С((г)) или, другими словами, технику модификаций расслоений со связностями. Впервые модификации появились в работах Эриха Гекке и известны как соответствия Гекке на пространствах модулярных форм. Аналогичная конструкция позже применялась для параметризации пространств модулей векторных расслоений над кривой произвольного рода в работе. В работах В. Дринфельда рассматриваются аналогичная конструкция ^Д-пучков для произвольного глобального поля (и называется "пучками Фробениуса-Гекке" или "штуками"). В последнее время эта конструкция использовалась в работах В. Дринфельда, Ж. Ломона, Л. Лаффорга для доказательства глобальной гипотезы Ленглендса для ОДА') и, вместе с тем, она широко используется для геометрических описаний динамических систем и других задач математической физики (и иногда называется "параметризацией Тюрина"). Бели предположить, что для расслоения £ ~ К ® О имеется глобальное разложение V = II ф II, то модификациями расслоения в точке х 6 Р1 в подпространстве 1/ С £|х, — верхней и нижней соответственно, — называются рааслоения

(х, £/)ь""(£) = и <8> О ф 0 ® 0{-х)

и

(х,и)°р(С)=и<8>0(х)фи®0.

Другими словами, мы модифицируем расслоение, локально меняя базис сечений {.51 (г),..., зц(г)} в окрестности точки х в следующем смысле. Если в этом локальном базисе

и®0~{в1{г),...,зк{г)} и V ® О ~ {в*+1(г).....%(*)},

то базис нижней модификации расслоения порождается сечениями (в1(г),..., в*(г), (г - ж) 54+1(2),..., (г - х) в*(г)},

а базис верхней модификации —

{(% - I)-1 81(2),..., (х - г)'1 8ц.!(г),..., зл(г)}.

Иначе говоря, в проколотой окрестности действие таких модификаций можно представлять следующими матрицами переклейки:

где через 1т обозначена единичная (т х ш)-матрица.

Во второй главе работы рассматриваются дискретные преобразования пространств модулей логарифмических ,ч((2)-связностей с особенностями в 5 = {аь..., а„} на сфере Римана Р1 с фиксированными собственными значениями вычетов связности. Основным результатом является изучение групповой структуры изоморфизмов между этими пространствами модулей. Всякая такая связность задаёт некоторое дифференциальное уравнение с регулярными особенностями на Р1, при этом вычеты связности соотвехствуют локальным параметрам решений уравнения. В работе рассматривается дискретные преобразования параметров этого уравнения, не меняющие локальные монодромии его решений. Для вычисления описанной группы дискретных преобразований в параграфах 2 и 3 обсуждается геометрическую технику модификаций векторных расслоений со связностью. В оригинальной работе Л. Шлезингер рассмотрел такие преобразования систем изо-монодромных деформаций; с современной точки зрения алгебраические аспекты преобразований Шлезингера рассмотрены в работе М. Джимбо и Т. Мивы, однако без изучения групповой структуры. Кроме того, в этих классических работах обсуждается представление монодромии в группе СЬ(И). В настоящей работе мы рассматриваем 5£(2)-представление, легко обобщаемое на классический случай С£(2), между тем групповая структура в БЬ-случае оказывается более интересной и богатой. Следуя работе Д. Арйнкина и С. Лысенко, в работе представлена конструктивная геометрическая интерпретация преобразований Шлезингера как модификаций расслоений со связностью.

Утверждение.Группа преобразований пространства модулей Л4„(2) изоморфна аффинной группе Вейля системы корней типа С„:

ИЧСП) ^Т» {(1/2ЪТ х б„)

для п регулярных особенностей о,. В терминах нашей исходной задачи структура группы описывается следующим образом. 6„ порождается перестановками особых точек и представляются изоморфизмами пространств начальных данных изомонодромной деформации —

М„(£, V; ф : ¿еЬС ^ О; Аь ...А,,..., \„..., Д„) ~

~ Мп{С, V; ф : detC ~ О; Ai,..., А„..., А„..., А„).

Трансляционная часть Т аффинной группы действует сдвигами собственных значений вычетов связности, причём Т содержит "короткие" и "длинные" сдвиги; эти сдвиги представляют соответствующие изоморфизмы:

Ма(С, V; ф : detC ~ О; А,,..., А„) к ~ Мп(С, V; ф : detC ~ О; Аь..., А, + I,..., А - I ..., А„)

и

■М„(£, V; ф : detC s О; Аь..., А„) =

~ _М„(4 V; ф : detC ~ О; Аь..., A* + 1.....А.)

соответственно. Кроме этого можно менять знаки собственных значений вычеотв связности в особых точках, то есть применять элементы группы Вейля второго порядка в/(2)-орбит вычетов связности в каждой точке а,—

. ( А- 0 0 \ а ■ \ О —A, J у О А, )

Эти преобразования образуют нормальную подгруппу (Ъ/2%)" конечной факторгруппы \¥(Сп)\ элемент (е,1,..., сп) 6 (2/22)" представляет изоморфизм

Мп{С,У\фЫе1С~0-, Ах.....А„) ~

~ М„(С, V; ф : ¿аС ^ О; цХи..., епХп).

Если взять композицию пары модификаций в различных точках с парой таких локальных транспозиций или пару модификаций в одной точке с такой транспозицией, то получатся элементы конечного порядка, отличные от перестановок; ещё можно получить элемент конечного порядка, скомбинировав пару модификаций в различных точках с перестановкой этих точек. Такие композиции описывают структуру полупрямого произведения групп. Трансляционная часть Т изоморфна целочисленной решётке С„ ранга п, которая в стандартном базисе {е} = <5Ч га-мерного векторного пространства представляется как

С„ = <±2€„±е,±е,>.

Таким образом группа преобразований является группой автоморфизмов целочисленной решётки в К".

В параграфах 4, 5 и 6 полученный результат анализируется на нескольких классических примерах дифференциальных уравнениях фуксового типа — гипергеометрического уравнения, уравнения Гойна, а также на примере изомонодромной деформации уравнения Гойна — шестого уравнения Пенлеве. В некотором смысле эту часть работы можно воспринимать как, по-возможности, наиболее полный

библиографический обзор классических работ о симметриях фуксовых дифференциальных уравнений с тремя и четырьмя особенностями; подобные вычисления для уравнений с бблыпим числом фуксовых особенностей найти в цитируемой литературе не удалось.

Если фуксово дифференциальное уравнение второго порядка имеет три особых точки на Р^то заменами его можно привести к гипергеометрическому уравнению. Группа И'(Сз) его дискретных симметрий была полностью изучена К. Гауссом и Э. Куммером.

Далее излагается случай фуксового уравнения второго порядка с четырьмя особенностями, называемого уравнением Гойна. Соответствующие вычисления дискретных симметрий были проделаны К. Гойном и представляют собой 192 соотношения на решения, аналогичные двадцати четырём соотношениям Куммера для гипергеометрических функций.

Как объяснялось выше, можно включить уравнение Гойна в изомонодромное аналитическое семейство, то есть написать деформацию Шлезингера этого уравнения. В частном случае системы с четырьмя фуксовыми особенностями с «/(2)-монодромиями такие вычисления приведут к шестому уравнению Пенлеве /V/-Его симметрии подробно изучались в ряде работ и группа симметрий этого уравнения изоморфна И^(/!(), то есть является расширением ^(£>4) с помощью группы 6з автоморфизмов графа £>4.

В третьей главе описывается пространство начальных данных Мп(2) — его геометрия и подходящие координаты на нём в терминах модификаций расслоений. Впервые такая параметризация пространства начальных данных в случае A4t(2) была описана в работе. Итак, зафиксируем набор А],..., А„ комплексных чисел и модуль ОТ с носителем S в различных точках на сфере Римана Р1. Поскольку на Р1 транзитивно действует трёхмерная группа дробно-линейных преобразований, то вполне естественно ограничиться случаем п > 3. Далее, пусть С. расслоение ранга 2 на Р1 с фиксированным горизонтальным изоморфизмом ф : detC а О, оснащённое логарифмической связностью V с особенностями в Ш = <н и собственными значениями (Aj, —А,), г = 1,..., п вычетов Res^V в {oi,..., о„}. Кроме этого, налагается условие, чтобы группа автоморфизмов пары (С, V) была одномерной и чтобы расслоение С. не содержало нетривиальных V-инвариантных подрасслое-ний Са С С. Для этого вводится условие на собственные значения вычетов Res^V

п

(t,.....е„) € (Z/2Z)".

•=i

Оказывается, что допустимое расслоение С € Мп с фиксорованным тривиальным детерминантам не обязано быть тривиальным и что пары (С, V) с расслоением 0{к) © 0{-к) при к < ^ стабильны (полустабильны при выполении равенства в нестрогом неравенстве) и имеют одномерную группу автомормизмов.

Идея описания всех допустимых пар (С, V) состоит в изучении свойств связности при ограничении на (неинвариантное!) подрасслоение; причём для однозначности такой конструкции необходимо, чтобы выбор подрасслоения был бы единственным. В допустимом расслоении О(к) ф 0{—к) при к ф 0 таким подрас-слоением является £0 — О (к) С С, однако в тривиальном расслоении расслоении • £~0®0 нет никакого способа единственным образом выбрать подрасслоение.

Для этого тривиальное расслоение модифицируется и при параметризации jVtn(2) рассматривается расслоение С. степени -1.

В терминах линейной алгебры конструкция представляет собой ничто иное, как восстановление оператора L{z) с нулевым следом (такого что (£, dz - L(z)) е Мп(2)) по своей строке В. При этом

ЦГо = В:Т(-т)^С и Id : О La, и по этим данным строится оператор

А := Id ® В : О © Т(-ЯЯ) —> С. Оператор А разлагается в композицию верхних модификаций

А = Ai о ... о з, А, = (х,,р1)ир, г = 1,..., п - 3, откуда следует detA(x,) = 0, % = 1,..., п — 3. Поэтому в окрестности точки х,

А(х,) = ( В012 ) и Bu(xt) = р„ В12(х,) = 0, i = 1,...,п - 3.

Таким образом п —3 нуля элемента В12 в точности являются координатами ¡с,-, г = 1,...,п — 3 на М'п и эти вычисления в точности совпадают с эвристическими вычислениями в работх Е. Склянина, а (1 х 2)-матрица B(z) является ^-функцией нашей изомонодромной системы.

Полученная последовательность операторов Л„г = 1,...,п — 3 никоим образом не упорядочена и имеется естественное действие симметрической группы 6„_3 на рассматриваемой конструкции пространства Мп. Перестановка порядка модификаций А, индуцирует нетривиальный автоморфизм многообразия Tot(Р1,П(9К))П_3 и для наведения строгости нужно рассматривать симметрическую степень

То£(Р\iî(sm))tn-3' := Гог(р',п(ая)) х... х То1(р\п(Щ/вп-3;

п-З

но можно поступить и по-другому. Давайте рассмотрим (п—3)!-листное накрытие ч М.'п пространства М'„ и будем его изучать.

Далее изучается компактификация изомонодромной деформации и поведение системы на компактифицирующем дивизоре. С точки зрения алгебраической геометрии изучение пар (С, V := In - д2 — L{z)) € M„{N) сводится к изучению спектра оператора L(z), то есть к изучению алгебраической ("спектральной") кривой С С Toi(P1,iî1(OT)), заданной аффинным уравнением

С = {R(z, А) := det(L(z) - А • = 0}, z е Р1, А е П£1(!т),

где ljv обозначает единичную (N х N)— матрицу. Это просто означает, что точка («о, Ао) лежит на кривой если и только если L(z0)ipa = Х0-фо для ipo — соответствующей собственной функции оператора L(z). Строго говоря, кривая С не является спектральной кривой, хотя бы потому, что дискретные симметрии системы (соответствия Гекке) сдвигают собственные значения (не меняя при этом монодромию) и таким образом меняют кривую С. Причина неинвариантности кривой и несохранения спектра заключается в том, что оператор V(z) = 1дг ■ dz — L(z) содержит слагаемое за счёт которого и происходит удлиннение собственных значений

при модификациях. Для Заведения строгости необходимо рассмотреть эквивалентную задачу на собственные значения оператора Ф(г), называемого полем Хиггса. Получившаяся эквивалентная интегрируемая система называется системой Годе-на (Gaudin) и для неё существует корректно определённая спектральная кривая. Однако, в работе рассатривается система Шлезингера и неинвариантность "спектральной" кривой С позволяет дать изящное геометрической описание компакти-фикации и разделения переменных для системы Шлезингера.

Идея компактификации состоит в следующем. Рассмотрим пары

(A Vp := Pdz — L(z)), Viw = V для некоторой диагональной матрицы Р := diag(pi,... ,рц), такой что кегЬ П кегР = {0} или, что то же самое imL © imP ~ С",

или ещё по-другому, — кегР С imL и наоборот. В таком случае если по одному из собственных направлений, например по А„ оператор растёт — L{z) ~ O(Ai), A¿ —> оо, то мы домножаем V слева на матрицу ¿¿05(1,..., А"1,..., 1) и получаем в пределе ограниченную связность V' = diag(j>lt... ... ,ри)д2 — L'{z). Для кривой

>

это означает, что вместо кривой {ñ(z, А) = А" + c¡\N~l + ... + сдг = 0} рассматривается кривая

С' = {#(*, А) = (й.) А" + с', А"-1 + ... + 4 = 0} и если один из корней A¡ многочлена R(г, А) стремится в бесконечность, то стар-

N

пшй коэффициент da := Д Рк ~ 0(А"1), А,- —> оо. t=i

Группа первых гомологий поверхности К := Tot(Р1, Пр, (Ш)) изоморфна решётке ранга два, порождённой циклом нулевого сечения Z и циклом слоя F с формой

пересечения [ ,, 1 ■ .), поскольку

("l2 »)•

F-F = О, ZZ= degty,(m) = п - 2, F-Z = 1.

Кроме этого есть цикл бесконечного сечения / = 2 + 2Р (I ■ I < 0— исключительный цикл) и цикл "спектральной" кривой С, причём С-Р = N (точки пересечения суть собственные значения А^ и С ■ I = 0 и индекс пересечения с бесконечным сечением является инвариантом системы. Таким образом необходимо требовать С • I = 0 и это означает, что при стремлении одного из собственных значений оператора Ь(г) в бесконечность кривая С" вырождается — распадается на компоненты, причём одна из компонент есть бесконечное сечение I. В таком случае компактифицирующий дивизор 0 пространства начальных данных М„(2) является кривой С", соответствующей случаю, когда оператор Ь(г) растёт по всем своим собственным направлениям, причём некоторые из собственных направлений совпадают, то есть

п _

>=1

где Fi — слои ^'(ЭД) в особых точках о„ ¡ = 1,...,п,аД] — циклы совпадающих собственных направлений.

Поскольку динамика изомонодромной деформации двигает кривую С", то систему Шлезингера можно интерпретировать как деформацию дивизора в на пространстве начальных данных и во второй главе приводится эта геометрическая интерпретация изомонодромной деформации в терминах соответствий Гекке.

Основные результаты и выводы

1. В работе сформулирована задача изомонодромной деформации фуксовых систем в терминах бирациональных преобразований типа Кремоны пространства начальных данных. В работе показано, что эта структура имеет место как для разностной задачи, так и для непрерывного предела

2. В работе развита техника соответствий Гекке для изучения дискретно-групповой структуры разностной и непрерывной систем.

3. В работе изучены и вычислены дискретные симметрии разностной и непрерывной систем непрерывной структуры изомонодромной деформации фуксовой системы. Вычислена групповая структура преобразований Шлезингера систем изомонодромных деформаций типа Шлезингера ранга два с произвольным числом фуксовых особенностей. В работе также представлены приложения этих результатов для вычисления соотношений между специальными трансцендентными функциями — решениями гипергеометрического уравнения, уравнения Гойна и шестого уравения Пенлеве.

4. В работе построено отображение из пространства модулей расслоений с логарифмическими связностями в пространство модулей Щ-пучков и изучены дискретные симметрии пространства модулей РН-пучков. Приведён подробный анализ этого результата в приложении к разрешению проблемы разделения переменных и компактификации для системы Годена ранга два и её разностных аналогов при помощи метода изомонодромных деформаций.

5. Конструкции, полученные и изученные в работе являются универсальными для разностных и непрерывных систем изомонодромных деформаций. Более того, они могут быть перенесены на случай систем произвольного ранга и на случай многомерных систем.

I

!

Основные публикации по теме диссертации

>

t 1.С. Облезин. О мономиальных группах и их подгруппах// Тезисы докладов XLI научной

конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть II. М.: МФТИ, 1998, с. 70. , 2. С. Облезин. О гипотезе Дедекинда для дзета-функций для конечных групп// Тезисы

докладов XLIII научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2000, с. 74.

3. С. Облезин. О дискретных симметриях систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа// Тезисы докладов XLIV научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2001, с. 74. I 4. S. Oblezin. Е. Artin's hypothesis and character theory for finite groups//

(2001), preprint ITEP-TH 60/01; Proc. Int. School ГГР-ГГЕР in Theoretical and Math Phys., Vorzel, Ukraine, May 2001, c. 150-167.

5. С. В. Облезин. Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций 1 дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа // Препринт, М.:ИТЭФ,

2003, 17 с.

1 6. S. Oblezin. Discrete symmetries of isomonodromic deformations of order two

Fuchsian differential equations // (2003), ITEP-TH 33/03; [math-ph/0306009], 17 c.

7. S. Oblezin. Geometrical separation of the variables in the sl(2) Schlesinger systems on the Riemann sphere// (2003), ITEP-TH 40/03; [math-ph/0309048],

15 c.

8. S. Oblezin. Discrete structure of some Schlesinger systems on the Riemann sphere and the Hecke correspondences// Czechosl. J. of Phys., vol. 53., (2003),

p. 1-7.

9. С. В. Облезин. Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на j сфере Римана и соответствия Гекке // Некоторые проблемы фундаментальной и

прикладной математики. М., МФТИ, 2003, с. 61-76.

Vf6493

I

I I

Í

I

I

<4

1 Введение

1.1 Мотивация и актуальность работы.

1.2 Обзор результатов работы.

1.3 Задача изомонодромной деформации

1.4 Обзор используемых методов алгебраической геометрии.

1.5 Краткий обзор понятий теории представлений.

1.6 Благодарности.

2 Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа 2.1 Введение

2.2 Модификации расслоений ранга N со связностями

2.3 з/(2)-связности с особенностями на Р1.

2.4 Классический пример: \¥(Сз)-симметрии гипергеометрического уравнения.

2.5 Другой классический пример:

У(С4)-симметрии уравнения Гойна.

2.6 Изомонодромная деформация уравнения Гойна — шестое уравнение Пенлеве.

3 I. Разделение переменных в й/(2)-системе Шлезингера

3.1 Введение

3.2 Разделение переменных.

3.2.1 Понятие стабильности. Допустимые расслоения.

3.2.2 Отображение (£, V) (£0 с С, V).

3.2.3 Отображение в пространство модулей РН-пучков.

3.2.4 Конструкция из линейной алгебры.

3.2.5 Отображение в Р(О © в общей точке.

3.2.6 Поведение на дивизорах {х^ = а, }.

3.2.7 Пример разрешения диагонали {х,- = х/}.

3.2.8 Вычисление пространства связностей.

3.3 II. Компактификация и динамика з/(2)-системы Шлезингера.

3.3.1 Компактификация пространства начальных данных Л4п(2) и динамика изомонодромной деформации.

3.3.2 Динамика 2) системы Шлезингера.

3.4 Пример: уравнение Пенлеве VI

3.4.1 Геометрия пространства Л4(2).

3.4.2 Геометрия М4(2)

3.4.3 Геометрия системы Пенлеве-VI.

Предметом настоящей работы является применение метода изомоно-дромной деформации для системы Гарнье (см. [17]), при этом используются алгебро-геометрические методы теории представлений групп петель; целью работы является изучение дискретных симметрий, решение проблемы разделения динамических переменных и исследование компактификации для системы Гарнье. Кроме того, общей мотивацией данной работы является круг вопросов, связанных с изомонодромны-ми деформациями фуксовых систем дифференциальных уравнений на сфере Римана.

1.1 Мотивация и актуальность работы

Метод изомонодромных деформаций появился в современной науке в работах Джимбо—Мивы—Сато ([23], [24]) и Флашки—Ньюэла ([14]), и с тех пор активно используется и развивается. Метод изомонодромных деформаций применяется для исследования нелинейных уравнений, его идея состоит в том, чтобы реализовать нелинейное уравнение как изомонодромное условие некоторой системы, а такая интерпретация дает существенную информацию о нелинейном уравнении. В частности, сохранение монодромии означает, что монодромия системы является первым интегралом нелинейного уравнения. Оказывается, что некоторые нелинейные уравнения математической физики, например, все уравнения Пенлеве и некоторые редукции уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Кортевега—де Фриза, являются условиями изомонодромности некоторых систем линейных уравнений. Таким образом, метод изомонодромной деформации позволяет изучать нелинейную систему, ее асимптотику, получать информацию о ее решениях. Однако для реализации такой схемы изучения нелинейной системы нужно сначала по данной монодромии построить саму систему, а потом ее изомонодромно продеформировать, то есть нужно решить обратную задачу — задачу Римана-Гильберта. Эта проблема была включена Д. Гильбертом в 1900 г. в список наиболее важных проблем математики, иногда эту задачу называют 21-й проблемой Гильберта. Она формулируется следующим образом: "Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и с заданной монодромией." Другими словами, 21-я проблема Гильберта — это обратная задача в теории фуксовых систем дифференциальных уравнений.

Задача изомонодромной деформации и проблема Римана-Гильберта рассматривались в разных аспектах, — кроме фуксовых систем рассматривались системы с регулярными особыми точками, для которых такая задача тоже имеет смысл. Оказалось, что самый сложный вариант проблемы Римана-Гильберта связан именно с фуксовыми системами. В последнее время интерес к задаче изомонодромной деформации стимулируется работами ряда ученых под руководством М. Джимбо, Т. Мива по исследованию задачи изомонодромной деформации фуксовых систем (впервые исследованной Л. Шлезингером в работе [44] в 1912 г), а также контрпримером А. А. Болибруха ([5], [6], [1]) к проблеме Римана—Гильберта.

Система Гарнье была описана в работе [17] в 1917 году. В 1970-е годы эта система стала применятся в физических моделях и активно изучаться методами современной математической физики; в специальной литературе ее иногда называют "магнетиком Годена".

В представлении Лакса система Гарнье задаётся Ь-оператором п д

Цг)^—. ыг2-* для матриц вычетов В,- € (./V, С) с фиксированными собственными значениями. То есть предполагается, что каждая матрица Д* принадлежит своей 5'/у(ЛГ)-орбите 0{. В общем положении размерность орбиты равна — 1). Гамильтонианы {На} системы представляются как коэффициенты в разложении к = 2,N в окрестностях точек а\,. ,ап. Фазовое пространство системы отождествляется с га-мильтоновым фактором

О1 х . х Оп//ЗХ(ЛГ,С) и для каждого гамильтониана На существует М-оператор Ма. При этом динамика системы по соответствующему времени £а задается уравнением Лакса где скобка [•, •] обозначает обычное коммутирование матриц в смысле присоединенного действия алгебры Ли. В частности, при N — 2 гамильтонианами являются коэффициенты разложения ЬгЬ2{г) в окрестностях точек а\,., ап, и соответствующие М-операторы имеют вид

Ва

Ма(г) = г — а, а

В таком представлении очевидно, что динамика системы Гарнье сохраняет аффинную алгебраическую кривую С, называемую спектральной кривой:

С = {в,еЬ(Ь{г) -Х'Ы) = 0}.

Эта кривая параметризует собственные значения Ь-оператора и для £ С естественным образом существует собственная функция фо(г) такая, что Ь(го)фо(го) = Ло^о(^о)- Уравнение Лакса является условием совместности системы уравнений ЦгЩг) = Цг)ф(г), задачи на собственные значения и линейного дифференциального уравнения. Эта система обладает калибровочными симметриями, порожденными действием С? 6 N,£(2)):

Ь —у в • Ь • СГ1, Ма —> дгав 'в^ + в-Ма' в-1, ф —У <3 • ф.

Преимущество представления Лакса для системы заключается в предъявлении некоторого количества независимых гамильтонианов (первых интегралов) системы. В данной работе на примере системы Гарнье иллюстрируется эффективность метода изомонодромной деформации, позволяющего получить информацию о динамических переменных системы (координатах на фазовом пространстве), о ее асимптотиках и вырождениях; при этом полученные результаты полностью согласуются с результатами классических работ [26], [27], [28], [35], [45], [46] и представляют их новую геометрическую интерпретацию.

Суть метода изомонодромной деформации заключается в следующем. Рассмотрим вместо Ь-оператора дифференциальный оператор называемый связностью, и представим особые точки {ах,.,ап} как времена системы; то есть будем изучать систему двух линейных дифференциальных уравнений с неавтономной динамикой по {ах,., ап} ис1, М, определенными ранее. Условие совместности [V, МЦ = 0 называется системой Шлезингера (см. [44]) и описывает изомонодромную деформацию дифференциального оператора У(г). С очевидностью, как и в системе Годена, система Шлезингера допускает следующие калибровочные симметрии ь —► йс-сгЧс-.ь-сг1, Мг —* а^а.сгчс.мгсг1, Ф —► с?-^,

О 6 ЗЬ{Ы, С), но теперь эти симметрии меняют спектр оператора Ь(г) и, следовательно, меняют спектральную кривую С. В работе мы используем этот факт для интерпретации и исследования динамики изо-монодромной деформации и системы Гарнье в терминах спектральной кривой (см. [26]). Более того, асимптотики и компактификация систем Шлезингера и Гарнье также естественным образом интерпретируются в терминах вырождений кривой С.

Целью работы является описание метода изомонодромной деформации в терминах представлений группы петель 5£(./У, С((г))) и соответствующей алгебры Гекке. Для демонстрации эффективности нашего подхода и метода изомонодромной деформации мы изучаем систему Гарнье—Годена второго порядка и решаем следующие проблемы:

1. Вычисление дискретных симметрий системы;

2. Построение координат рг} на фазовом пространстве системы;

3. Компактификация фазового пространства системы;

4. Описание динамики системы и изучение ложных особых точек системы.

В работе используется геометрический подход Д. Аринкина и С. Лысенко. В работах [2] и [3] они изучили дискретные симметрии и описали геометрию пространства начальных данных для уравнения Пенлеве-У1 — изомонодромной деформации фуксового уравнения второго порядка с четырьмя особенностями; то есть в работах [2] и [3] решались лишь задачи 1 и 2 из нашего списка. Первые две части диссертации по сути являются обобщением результатов работ [2], [3] на случай фуксо-вых систем ранга два с произвольным числом особенностей. Ключевой и принципиально новой идеей нашей работы является интерпретации метода изомонодромной деформации для системы Гарнье—Годена исключительно в терминах геометрии пары "некомпактная поверхность и кривая на ней". Процедура разделения переменных в такой интерпретации представляется отображение«! фазового пространства в симметрическое произведение поверхностей с координатами {х{, рг}; в каждую такую поверхность естественным образом вложена спекральная кривая С системы Гарнье—Годена. В этих геометрических терминах описывается и компактификация фазового пространства, и особенное внимание в работе уделяется исследованию вырожденных конфигураций системы; помимо этого, исследуются вырождения кривой в особых точках и изучается компактификация системы Гарнье—Годена. В частности, оказывается, что поведение системы в окрестностях особенностей 0 = аг-, г = 1 ,.,п дискретно, и спектральная кривая С меняется дискретно. В работе вычисляется дискретная решетка таких преобразований кривой.

Итак, рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных* уравнений на сфере Римана

1г

У, и включим ее в изомонодромное аналитическое семейство. То есть, мы меняем положение особенностей {а1,.,ап} на сфере Римана и при этом меняем коэффициенты Д- = Д (аь., ап) таким образом, чтобы сохранить монодромию системы. Действие монодромии системы на фундаментальную матрицу решений У (г) описывается следующим образом. Выберем петлю 7г-, обходящую вокруг особой точки г = а*, и рассмотрим аналитическое продолжение фундаментальной матрицы У {г) вдоль 7г-. После обхода вдоль 7г- фундаментальная матрица У (2:) домножится на матрицу Стг-; если соответствующая матрица коэффициентов В( нерезонансная (то есть, если разность ее собственных значений А+-А~ не является натуральным числом), то (?г- ~ ехр(2тгл/—1Вг). При этом локальное поведение фундаментальной матрицы имеет вид У (г) ~ Сг(1 + О (г — сц))^ — щ)В{, и условие изомонодромности можно представить как — =---—. Окончательно условием совместности г — а,системы дУ В{ дсц г — щ является уравнение на коэффициенты Д(аь., ап) или

Это условие совместности называется уравнением Шлезингера.

В работе используется следующая схема исследования системы Шлезингера для случая N = 2. Объектом исследования является пространство модулей М.п{2) расслоений С ранга 2 на сфере Римана с фиксированной комплексной структурой ф : йеЬС ~ О^г, оснащённое п

5/(2)-связностью V с особенностями в модуле Ш = ^ аг- и с фикг=1 сированными собственными значениями вычетов в точках носителя 5 = {а1,.,ап} модуля ШТ. Фиксация собственных значений означает фиксацию 5/(2)-орбит О,-, г = 1, .,п коприсоединенного действия. Расслоение (С, ф) не всегда тривиально и пространство модулей Л4п(2) стратифицировано локально-замкнутыми множествами М^(2) соответствующими раслоениям С ~ 0(к) (В О (—к), при этом максимальный страт М„(2) отождествляется с симплектическим фактором М := р х О х . х С)//5£(2,С). Таким образом, пространство модуп лей Л4п(2) представлено как пространство начальных данных изомо-нодромной деформации, при этом динамика системы интерпретируется в терминах бирациональных изоморфизмов между пространствами Л4п(2) с различными параметрами.

Здесь возникает задача параметризации (координатизации) пространства Л4п(2) — так называемая проблема разделения динамических переменных. Решение этой проблемы представлялось эвристическими формулами, полученными С. Новиковым—А. Веселовым ([35]) и Б. Скляниным в работах [45], [46], и обоснованными И. Кричевером— Д. Фонгом в [28]. В настоящей работе приводится независимое решение проблемы разделения переменных для случая N = 2, при этом формулы Веселова—Новикова и Склянина объясняются в терминах теории представлений группы петель 5Х(2, С((^г))) и им даётся геометрическое описание.

В классических и в большинстве современных работ по математической физике изучается симплектический фактор

М:= 01 х . .Оп//БЬ(2,€), хотя расширение пространства начальных данных изомонодромной деформации с М до Л4п(2) дает богатую информацию о ней. Впервые системы изомонодромных деформаций на нетривиальных расслоениях были подробно изучены А. Болибрухом (см. [5], [6], [1]), что позволило обнаружить контрпримеры к соответствию Римана-Гильберта. Кроме того, такой подход позволяет изучить систему более полно и глубоко, проследить связи с многими смежными принципиальными задачами математической физики, теории дифференциальных уравнений и теории интегрируемых систем, теории представлений и симплекти-ческой геометрии, теории автоморфных форм и теории чисел. Перечислим трудности и преимущества, возникающие при рассмотрении Л4„(2) вместо симплектического фактора.

Во-первых, при отказе от условия тривиальности расслоения С, возникает необходимость вводить понятие стабильности пары (С, V) и рассматривать (полу)стабильные расслоения со связностями. В то же время для симплектического фактора М весьма важен вопрос о ком-пактификации, поскольку при динамике система выходит за пределы М, ив этом смысле Л4п(2) более естественно (и более полно) описывает динамику. В этом можно убедиться, рассматривая дискретную часть системы, и в данной работе этот факт наглядно демонстрируется на примере шестого уравнения Пенлеве. Соответствующее пространство начальных данных Л44(2) отождествляется с алгебраической поверхностью К'4, изоморфной некомпактной поверхности ТЪ^Р1,0(2)), раздутой в восьми точках и с четырьмя разрезами. При этом вся К'4 за исключением одного из восьми исключительных дивизоров отождествляется со стратом ^(2) ~ М, а оставшийся страт 3^(2), соответствующий С ~ 0( 1) ф 0(—1), отождествляется с восьмым исключительным дивизором. Дискретная структура Пенлеве-У1 изоморфна прямоугольной решетке С4 и действует преобразованиями Кремоны (см. [31], [43]) — парами "стягивание исключительного дивизора и раздутие" — на компактификации К'4, естественным образом задействуя все восемь исключительных дивизоров, в том числе невходящий в М.

Во-вторых, рассмотрение и изучение геометрии стратов М>°(2) позволяет намного более тонко исследовать систему изомонодром-ной деформации, в частности, с точки зрения соответствия Римана-Гильберта. Согласно результатам А. Болибруха (см. [5], [1], [6]) соответствие нарушается именно на стратах М^(АГ) при к > О, N > 3 и п > 4. В настоящей работе не заостряется внимание на исследовании нарушений соответствия Римана-Гильберта и основной целью ставится изучение геометрии дискретной структуры изомонодромной деформации и геометрии разделенных переменных.

Помимо этого, на стратах МА(2) при некоторых к ф О пара (£, V) с заданными параметрами может быть неединственной и в работе вычисляется соответствующее аффинное пространство связностей. Таким образом в работе тщательно исследуется координатизация пространства Л4п(2) и объясняются трудности, возникающие при N > 2.

В-третьих, в большинстве работ по данной тематике изучается система в общем положении, без рассмотрения поведения динамики при вырождении параметров и начальных данных системы. В частности часто рассматривается параметризация пространства начальных данных Л4п(2) вне дивизоров {агг- = и вне диагоналей {гсг- = хВ данной работе изучается поведение системы в особых точках {ах,., ап} и демонстрируются методы разрешения диагоналей в случае совпадения двух координат.

И, наконец, в работе рассматривается компактификация пространства начальных данных и изучается поведение системы на компактифицирующем дивизоре. Оказывается, что подход, развитый в работе, дает новую интерпретацию изомонодромной деформации в терминах геометрии компактификации пространства начальных данных. А именно, динамика изомонодромной деформации отождествляется с динамикой некоторой деформации компактифицирующего дивизора. Впервые такал интерпретация, но в других, аналитических терминах теории Кодаиры-Спенсера, была дана в работе [48] М.-Х.Саито— Т.Такебе—Х.Тераджимы и в диссертации X. Тераджимы [49] для уравнений Пенлеве. В данной работе этот результат интерпретируется в инвариантных геометрических терминах соответствий Гекке и обобщается на случай изомонодромной деформации фуксовых систем ранга два с произвольным числом особенностей.

В настоящей работе основное внимание уделяется системам ранга N = 2. Логическую структуру работы можно представить следующим образом. Сначала вычисляется дискретная группа бирациональ-ных изоморфизмов между пространствами Л4п(2) и изучается геометрическая интерпретация этой дискретной группы в терминах соответствий Гекке. Затем дискретная структура системы Шлезингера некоторым образом деформируется и дает параметризацию компактифицированного пространства Л4п(2), а также решение проблемы разделения переменных в тех же геметрических терминах.

Основным инструментом изучения изомонодромной деформации в настоящей работе является техника соответствий Гекке в группе петель 5Х(2, С) <8> С((г)) или, другими словами, техника модификаций расслоений со связностями. Суть конструкции соответствий Гекке между расслоениями состоит в следующем. Если предположить, что для расслоения С а V ® О имеется глобальное разложение V = и ф II, то модификациями расслоения в точке х €Е Р1 в подпространстве и С £|х, — верхней и нижней, соответственно, — называются расслоения а?, И)1™(С) = и ® О 0 и <8> О(-х) и ж, и)ир(с) = и ® о(х)

Другими словами, мы модифицируем расслоение, локально меняя базис сечений (51(2),., в окрестности точки х в следующем смысле.

Если в этом локальном базисе и®0~ {^(г),., $*(*)} и и®(Э~ {зш(г),., sN(z)}t то базис нижней модификации расслоения порождается сечениями $!(*),(г - яг) ., {г - х) 5ЛГЙ}, а базис верхней модификации — г - х)-1 (г),., (г - х)~1 вк(г), £¿+1(2),.,

Иначе говоря, в проколотой окрестности действие таких модификаций можно представлять следующими матрицами переклейки: Г)-= (^ ° V (Х,иг=({*-х)-11к 0 V

V 0 (г-х)-1№-к ) \ 0 1"-* / где через 1т обозначена единичная (т х т)-матрица.

4 Заключение

1. В работе сформулирована задача изомонодромной деформации для фуксовых систем ранга два в терминах теории представлений группы петель 5£(2, С((-г))). С точки зрения алгебраической геометрии изомо-нодромная деформация представляет бирациональные преобразования типа Кремоны пространства начальных данных. В работе показано, что эта структура имеет место как для разностной задачи, так и для непрерывного предела.

2. В работе развита техника соответствий Гекке для изучения дискретно-групповой структуры разностной и непрерывной систем в соответствии с работами [2], [3]. а

3. В работе вычислены дискретные симметрии разностной и непрерывной систем, а также непрерывной структуры изомонодромной деформации фуксовой системы второго порядка с произвольным числом особенностей. В работе также представлены приложения этих результатов для вычисления соотношений между специальными трансцендентными функциями — решениями соответствующих матричных уравнений.

4. В работе демонстрируется эффективность развитого геометрического подхода и метода изомонодромной деформации на примере матричной системы Гарнье—Годена. В работе представлено независимое решение проблемы разделения переменных для системы Гарнье—Годена и, таким образом, дается геометрическая интерпретация результатов ([35], [45], [28]) по описанию координат Дарбу на фазовом пространстве системы.

5. При помощи метода изомонодромной деформации в работе решается проблема компактификации фазового пространства и описываются соответствующие сингулярно-возмущенные задачи в предельных точках.

6. Конструкции, полученные и изученные в работе являются универсальными для разностных и непрерывных систем изомонодромных деформаций. Более того, они могут быть перенесены на случай систем произвольного ранга и на случай многомерных систем.

1. D. Anosov, A. Bolibruch. The Riemann-Hilbert problem / Aspects of Mathemetics. — V. 22. — Vieweg Verlag, 1994.

2. D. Arinkin, S. Lysenko. Isomorphisms between moduli of SL(2)-bundles with connections on P1 \ {x\,., £4} // Math. Res. Lett. — 1997. — № 4. — C. 181-190.

3. D. Arinkin, S. Lysenko. On the moduli of SL(2)-bundles with connections on P1 \ {xh., x4. // Int. Math. Res. Notices. — 1997. V. 19. — P. 983-999.

4. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 3. — М.: Наука, 1966.

5. А. А. Болибрух. 21-я проблема Гильберта для фуксовых линейных систем / Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — Т. 206, — 1994.

6. А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. — М.: МЦНМО, 2002.

7. G. D. Birkhoff. Collected mathematical papers. V. I. — AMS, 1950.

8. H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and relations for discrete groups. — Springer Verlag, 1972.

9. В. Г. Дринфельд. Доказательство глобальной гипотезы Ленглендса для GL(2) над функциональным полем // Функц. Анализ и Прил. — 1977. — Т. 11. — Вып. 3. — С. 74-75.

10. В. Г. Дринфельд. Многообразия модулей F-пучков // Функц. Анализ и Прил. — 1987. — Т. 21. — Вып. 2. — С. 23-41.

11. A. Erdelyi. Integral equations for Heun functions // Quart. J. Math., Oxford Ser. — 1942. — V. 13. — P. 107-112.

12. A. Erdelyi. Certain expansions of solutions of the Heun equation // Quart. J. Math., Oxford Ser. — 1942. — V. 15. — P. 62-69.

13. B. Enriquez, V. Rubtsov. Hecke-Tyurin parametrization of the Hitchin and KZB systems // Prépublication Université d'Angers. — 1999. — № 94.

14. H. Flashka, A. C. Newell. Monodromy and spectrum preserving deformations // Comm. Math. Phys. — 1980. — V. 76. — P. 67-116.

15. L. Fuchs. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten // J. für Math. — 1868. — V. 68. — P. 354-385.

16. W. Fulton, R. MacPherson. A compactification of configurationalspaces // Ann. of Math. — 1993. — V. 139. — P. 183-225.f

17. R. Garnier. Etude de l'intégrale générale de l'équation VI de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularité transcendantes // Ann. Sei. École Norm. Sup. — 1917. — V. 34. — № 3. — P. 239-353.

18. K. Hasegawa. L-operator for Belavin's R-matrix acting on the space of thêta functions // J. Math. Phys. — 1994. — V. 35 — № 11. — P. 6158-6171.

19. E. Hecke. Mathematische Werke. — Göttingen, 1953.

20. K. Heun. Zur Theorie Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten // Math. Ann. — 1889. — V. XXXIII. — P. 161-179.

21. K. Heun. Beiträge zur Theorie der Lamé'schen Functionen // Math. Ann. — 1889. — V. XXXIII. — P. 180-196.

22. N. Hitchin. Twistor spaces, Einstein metrics and isomonodromic deformations // J. Diff. Geom. — 1995. — V. 3. — P. 52-134.

23. E. L. Ince. Ordinary differential equations. — Oxford Univ. Press, 1953.

24. M. Jimbo, T. Miwa, M. Sato. Holonomic quantum fields II // Publ. RIMS. — 1979. — V. 15. — P. 201-278.

25. M. Jimbo, T. Miwa, K. Ueno. Monodromy preserving deformation of the linear ordinary differential equations with rational coefficients I, II //

26. Publ. RIMS. — 1978. — V. 14. — P. 223-267; — 1979. — V. 15. — P. 201-278.

27. D. Korotkin. Isomonodromic deformations in genus zero and one: al-gebrogeometric solutions and Schlesinger transformations // CRM publications, ed. by G. Sabidussi, — AMS, 2000, in press.

28. И. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии // Функц. Анал. и Прил. — 1977. — Т. 11. — Вып. 1. — С. 15-31.

29. И. Кричевер, С. Новиков. Векторные расслоения на алгебраических кривых и нелинейные уравнения // УМН. — 1980. — Т. 35 — № 6. — С. 47-68.

30. Krichever, D. Н. Phong. On the integrable geometry of soliton equations and N=2 supersymmetric gauge theories //J. Diff. Geom. — 1997. — V. 45. — № 2. — P. 349-389.

31. Krichever, D. H. Phong. Symplectic forms in the theory of solitons / Surveys in differential geometry: integrable systems. — Boston: Int. Press. MA, 1998. — P. 239-313.

32. I. Krichever. Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Witham equations // Moscow Math. J. — 2002. — V. 2. — P. 717-752.

33. A. M. Levin, M. A. Olshanetsky, A. Zotov. Hitchin systems — symplectic Hecke correspondence and two-dimentional version // Comm. Math. Phys. — 2003. — V. 236. — P. 93-133.

34. Ю. Манин. Кубические формы. — M.: Наука, 1972.

35. Yu. I. Manin. Sixth Pailevé equation, universal elliptic curve and mirror of F2 // Preprint MPI. — 1996. — № 114.

36. N. Nekrasov, A. Gorsky, V. Rubtsov. Hilbert Schemes, Separated Variables, and D-Branes // Commun. Math.-Phys. — 2001. — V. 222. — P.299.318.

37. Yu. Neretin. Geometry of GLn(C) at infinity: hinges, complete collineations, projective compactifications and universal boundary / The orbit method in Geometry and Physics, eds. C.Duval, L Guieu, V.Ovsienko. — Birkhauser, 2003. — P. 297-328.

38. С. Облезин. Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа // Функц. Анализ и Прил. — 2004. — Т. 38. — Вып. 1, в печати.

39. S. Oblezin. Geometrical separation of variables in the sl(2) Schlesinger systems on the Riemann sphere // Preprint Université d'Angers.— 2003. — №186.

40. S. Oblezin. Discrete structure of some Schlesinger systems on the Riemann sphere and the Hecke correspondances // Czech. J. of Phys. — 2003. I • — V. 53. — P. 1085-1092. :\

41. С. Облезин. Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке / Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. — М.: МФТИ, 2003. — С. 61-76.

42. К. Okamoto. Studies in the Painlevé equations I. Sixth Painlevé equation PVI // Annali Mat. Рига Appl. — 1987. — V. 146. — P. 337-381.

43. H. Rohrl. Das Riemann-Hilbersche Problem der Theorie der linearen Differentialgleichungen // Math. Ann. — 1957. — V. 133. — P. 1-25.

44. J.-P. Serre. Groupes algébriques et corpes de classes. — Paris: Hermann, 1959.

45. H. Sakai. Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlevé equations // Comm. Math. Phys. — 2001. — V. 220. — P. 165-227.

46. L. Schlesinger. Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten // J. Reine u. Angew. Math. — 1912. — V. 141. — P. 96-145.

47. E. Склянин. Разделение переменных в системе Годена // Записки науч. сем. ЛОМИ — 1987. — Т. 164. — С. 151-169.

48. Е. Sklyanin. Separation of variables. New trends // Progr. Theor. Phys. Suppl. — 1995. — V. 118. — P. 35-60.

49. E. Study. Uber die Geometrie der Kegelschnitte, insbesondere deren charakteristische Probleme // Math. Ann. — 1886. — V. 27. — P. 51-58.

50. M.-H. Saito, T. Takebe, H. Terajima. Deformation of Okamoto-Painlevé Pairs and Painlevé equations //J. Alg. Geom. — 2002. — V. 11. — P. 311-362.

51. H. Terajima. Okamoto-Painlevé pairs and Painlevé equations. Thesis. — Kobe University, 2001.

52. A. Weil. Généralisation des fonctions abéliennes // J. de Math. P. et App. — 1938 — V. IX — № 17. — P. 47-87.