Конечномерные структуризуемые алгебры над полями положительной характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Специализированный оовьг Д 002.23.01 яри Институте математики

На правах рукописи

СМИРНОЕ Ол~г Николаевич

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ СТЕУКТУРИЗУЕМЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЯМИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01 01.06 - математическая логика, ьлгебрэ и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учегой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - К 30»

Работа'выполнена в Новосибирском ордена Трудоеого красного Знамени государственном университете им.Ленинского комсомола.

Ньучнкй руководитель • доктор физико-математических шук,

профессор И.П.Шестаков

\ Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Н.Гришков,

кандидат фпс/.ко-магематлчеекпх наук,

Г.Л.Медэедгч

. Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защит/1 диссертации состоится ' 'декабря 1990 г.

и___ч£:Сот' на заседании Опецичлизягованного совета

Д.С02.23.01 при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630П90, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

О диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР

Автореферат разослан _____"_______1930 г.

Ученый секоетарь Специал зированного' оозэта

доктор фи з ико-мат ематических каук

Е.А.Иалютин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В С 1-х годах три математика Тите [243 , Кантор [4] Кёхор&С^ независимо и почти одновременно нашли конструкцию, позволяющую из произвольной йордановоЛ алгебры X строить градуированною алгебру Ли 31,43") „ свойства которой тесно связаны со свойствами исходной йордаковой алгебры 1 (с. . [ГД, [20] ). Эта конструкция, впоследствии названная кок грукиией Титса-.лнторэ--Кёхерэ, оказалась весьма полезной и в теории? лиевых и в теорий йордановых алгебр. Например, она позволяет использовать структурную теорию алгебр Ли при изучения йордановюс алгебр (см.[4)„ [17}) я наоборот (см.[1-3]). Другое применение конструкция Титса-Кантора-Кёхера на-лла в работе [24] , где она использовалась для получения модели исключительной простой алгебры !'•* типа Р_ „ для постсоеняя дсугих исключительных простых алгебр

ъ

Ля многие авторы рассматривали и .изучали конструкции, аналогичные конструкций Титса-Кантора-Кёхера ( [5] „ Г?1 „ [18] „ [19]г [24 ). В качестве основы в них использовались лары олиарних неассоцяагявных алгебр или тернарные алг бри.

В 1972 году Кантор [6] обобщил конструкцию '^итса-Каптора--Кёхера, распространив её на весьма широкий класс бинарных алгебр. которые он назвал консервативными. Консервативной алгебре 01 конструкция Кантора ставит в соответ твие градуированную алгебру Ли ¿2 ((Я) =...©¿^.¿©^©¿2,,©^©... Если при этом ал-гебрз Ля£(ръ) ям^ет градуировку- © ¿5,, ® ¿£© ^ г то алгебра называется консервативной алгеброй второго поряд; ■ ка. Б той не работе [6] 1.ан.ор описал конечномерные прост», } консервативные алгебрц второго порядка над алгебраически замкну »,,тгл ьолем нулевой характеристики. Эи описание оказал^сг довольно громоздким, оно содержит 6 серийных алгебр и II исключительны:.

.Другое обобщение конструкции Титса-Кангора-Кёхера было сделано Алллсоном в £ 91 „ Исходном классом в его конструкции является класс структуризуемых алгебр, определяемых, как уни'Сальгые алгеоры с инволюцией, удовлетворяющие тождеству

где \/хд'г)-схй)г + га)х- ; Т2 - V- , .

Структуризуеыые алгебры с тождестаенной инволюцией суть ;'гепданоЕь: алгебры.

Как выяснилось впоследствии,[10], существует взаимно однозначное соответствие между классом консервативных алгебр второго порядка с левой единицей я классом структуризуемых алгебр» лри котором конструкция Кантора для консервативных алгебр переходят е конструкциг Аллисона для сгруктурязуеяшх.

Преимущество конструкций Кантора к Аллисона состоят в го"'„ что е отличи« от конструкции Титса-Кантора-Кёхера, которая не давала моделей простых алгебр Ли типе , Г^ я Е£ „ они ¿юзвсл рч Ли.

¿юзвы ют получать все изотропные5^ классические простые алгеб-

йнтерес к классу структуризуемых алгебр вызван ещё я-тем, что кроме йордановых алгебр в нем содернатся альтернативные (а ■начит и ассоциативные) алгебры с инволюциейг а так же другие известные объекты, примеры которых мы сейчас приведем.

^усть (£."") ~ унитальная ассоциативная алгебра с инволюцией 5 "¡Л - л^еый 5- модуль на котором действует эрмитова форма Ъ-Ьб хьИ — £ „ О-ределш на прямо? сумме' пространств произведение

й,ллгебра Ли ьазывао.ся изотропной, если в ней содержится такой эдеме. ! а , что (Ъ^ аЛ* о №~ некоторого натурального Л

1: инволюцию (ёТйГ) = Сё , '-о'; 0 Лолучлшяя алгебра (А,-*) структуризуемз. Она является обобщением /юрдановой алгебры билинейно;! формы и называется алгеброй эрм. новой форш„

Другой пример структуризуеглой алгебры моетю по. учить, рассмотрев тензорное произведение Сгг композиционных алгебр (&х>~) я с мнволюцие? хГ©">Г2 а „

Расиштряк теперь 2?-:лерную простую .исключительную !-'.орда-нову алгебру Т=Н(С3) „ Пусть А/ - это обобщенная норма,, а Т - обобщенный след в Т (см. II?] )„ -Зафиксируем ненулевой эле?лент 0 из основного поля Ф , а на гтостранстве матрац

4 =

* л Л ?

определим произведение

I"'

я инволюцию

'¿г! Г^г* 9Та4ДЛ А ¿г.* 0Й.Д,

л > 4'

и п Л -л.

Полученная алгебра С А,"") называемся алгеброй Шева'лле (другое наз. эщ;е этою объекта - 56-мерный модуль 2>рейденталя над Е7 } и является ст.ук уризуеиой. Эта конструкция пр. жлть. и к другим йордаповшл алгебрам степени 3 и, более тоге, догуска-

ст обобщение на так называемые допустимые тройки (см. § 1.4,4°)'. Соо зетствующие структуэизусмыс алгебры называются алгебрами допустгчой тройки.

С момента по.<шленял класса структурируемых алгебр началось его активное изучение. 'А своей первой работе [б] , посвященной структуразуемкм алгебра;«, Лллясон описал конечномерные центральна j простые структурязуемые алгебры над полем нулевой характеристики.34^ далее он определил 19] конструкцию % , которая про-изгхпьной структурируемой алгебре (А,ставит в соответствие алгебру Ля К. Голее того, в [Э] Лллясон нашел необходимые и достаточные условия, при которых алгебра Ли имеет вид

. В этой ке работе Лллясон описал формы центральных прост х структурируемых алгебр.

Вслед за работ..ля Аллисона и других авторов £8 - II] пояг»;~ рилъл цикл статей Шафера по структурируемым алгебрам, в которгм заверялось "^строение структурной теории конечномерных сгрук-туризуемых алгебр над полями, нулевой характеристики. В этих статья^ Шафер доказал длл структуризуемих алгебр аналоги многих классических результатов: описание полупросгых алгебр, нильпотентность рячикала, сопряженность полупростых факторов и др. ( [21-233 ).

Дальнейшее развитие теория структурязуемых алгебр получила в работах ¿12-16] .

Следующим естественным шагом развития этой теории является переход от изу гения алгеЗр над полями характеристики 0 к .изучению алгебр под поле положительной ха зктеря"тики. Особенность последнего сл»чая ь-ключается в том, что над поляг/, положи тг -ь-

нод характерно¿'ики ь.; м хорошо развитой структурной теория 'эте" ошгтнка : ;е тоя пробе , который yr j лен в [261 .

алгебр Ли, ни хорошо определенных билинеЬшх форм.

Цель данной работы - описание простых и иолуиростнх коне1-номерных структуризуемых алгебр над поле:л положительной характеристики.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре памяти А.И.М?-ьцева (Новосибирск, 1989),на второй школе "Неассоциативная алгеюра и е^ приложения" (Ташкент, I99Ü), на семинарах "Алгебра и логика', "Теория колец" км.А.И. ЩараоЕа, "Кольца, близкие к ассоциативным" НГУ и ИМ СО AJÍ СССР.

По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Диссертационная работа "зл-кена на 7А страницах и состоят из четырех глав. Библиография содержит 42 наименования.

Содер-аняз работы

Первая "лава носит вспомогательный характер. Она содержит исходные определения и тождества, а также начальные сведения о структуризуемих алгебрах. J частности, з структуризуемих алгебрах выполняется тождество косоальтернативности*\з,х ---tx/s.^), где s - кососкмметрический, а х и ^ произвольные элементы. Возникает предположение, что алгебра £ , лсроязденная множеством кососимметрлческих элементов ¡э структурязуемой алгебры (Л,~) , должна быть близка к альтернативным. Например, как показано в [8] , пространство £> с операцией коммутирования ач-'гь образует алгебру Мальцева. Сущность этой близости проясняемся в § I.I, гд<- доказан следующий аналог известной теоремы Аргина об ассоциативности двупол дденлых альтернативных алгебр.

ТЕОРЕМА I.I.' Любая косоальтернатяьнчя алгебра, порожденная

"''Алгебры с инволюцией в которых выполняется тождество косоа;.^-тернативности нпываются косоа..ьтернативными.

двумя кососиглметрическими элементами» ассоциативна.

В общем случае алгебра,, порожденная множеством В , не всегда пишется даже альтеонатмвной (см. § 1.4, 4°).

В §§ 1,2 и 1.3, слэдуя Аллисону, вводятся понятия структурной ¿1 внутренней структурной алгебр Ли для структуризуемой едгебрн и определяется алгебра Ли Г) , обобщаю-

вг I конструкцию Титса-Кантора-Кёхера. В § 1.4 приведены примеры озфуктурязуемых алгебр, рассмотренные ранее в [8] .

В главе 2 строится новая 35-мерная центральная простая -структурязуемая алгебра ЗЯс) „ восполняющая пробел, допущенный в [ 8 3 „ Эте алгебра получается из алгебры Кзли-Диксона С. В качестве множества кос асимметрических элементов алгебры ЗГ(с) берется м,токество ксеоси¿метрических элементов £ алгебры С , а множество еямметр; зесклх элементов ЗГСс) есть пространство сим;,, лркчных тензоров над $ „ Алгебра Кэли-Диксона С опредс • ляе? ^Сс) п точностью до изоморфизма. В этой же главе исследуется связь алгебры ^СС) с лиевыми и консервативными алгебрами. Сказывается, что применяв конструкцию Аллисона к алгебре %(~с) > получим щ«.отую алгебру Ли типа

. Среди коксерватиннх алгебр структуризуемой алгебре ^СС) соответствует кснсерватявная алгебра (в обозна-

-ямеях Кчнтора [6 1)„

Глава 3 посвящена огисанкю конечномерных полупростых струк-турязуашх алгебр над пагямя положительной характеристики. В этой главе доказана

ТЕОРЕМА 3.1. Пусг (А,~) - униТс ■ьная гчлупростая конечномерная структурлзуеная алгебра над полем характеристики ? у ? 2-/4, £ , Тогда (Л является прямой суммой унктальых яр от"х игр^кгуризу'шх *лгебр. Следуя [16], с помо-

Н

мощью этого результата нетурдно установить наличие - единицы в ' произвольной конечномерной долупростой структурируемой алгеЗ; 5. Тем самым.вопрос об описании конечномерных пслупрос.ых е,рукгу-ризуемых алгебр зводи оя к описанию конечномерных унитальных простых алгебр.

Основной результат главы 4 » теорема 4.8, дающая классификацию конечномерных простых структуризуемых алгебр над поляки голожятельной характеристики.

ТЕОРЕМА 4.8. Пусть (А~) - конечномерная центральная [ростая структуризуемая алгебра над полем *§» характеристики

р , у 2,Ъ ,5 . Тогда (Л,-) изоморфна одной из сле-ующих алгебр:

1. центральной простой ассоциативной алгебре с инволюцией;

2. центральной простой йордановой алгебре с тождественной шолюцией;

3. алгебре невырожденной эрмитовой формы на леьсм £-моле,, где (с'Г) - центральная простая ассоциативная алгебра о волюцией;

4„ алгебре , где С - алгебра Лэля-Диксона;

5. форме*) тензорного произведения композиционных алгебр;

6, форме алгебры допустимой тройки.

При этом степень расширения основного поля б случаях 5,6 превосходит 2.

Классификация конечномерных центральных простых структуря-мых алгебр завершается описанием форм тензорного произволе-композиционных алгебр я форм алгебры допустимой тройкг в .4.

шомнг'1, что Р - алгебра называл "Нормой 43?~ юры л , если I ^ле Р раощ^ение - V „ м ат. ебрь ' изом^чфна ¿> . ' '

Автор ь заключение зыракэет искреннюю благодарное® свое-' : 7 нэучьсму руководит&ио И.П.Ceo акову под руководство» которого выполнена настоящая диссертация.

ЛИТЕРАТУРА

J, ДД.Зельманов, Абсолютные делители нуля в "ордаг лвкх парах ja шг.ебра* Ли, Матем. 66.,I960, т.И2 (154), 611-629.

2, $..,И.Зельманов, Алгебры Ли о алгебраическим присоединенным преддравлением, Иатем. сб.,1983,т.121 (IP31, 545-561.

3, Е.И.Зелыпанов, Алгебры Ля с конечной град,лровкой,^а-тем.сб,, 1984, т.124 (166), 353-392.

4, де,Л.Кзнтор, Классификация неприводимых транзитявно-дяф-ференциалькых групп, ДАН СССР, 158, .'8 6 (1964), I27I-I274.

5, ,И, Л,Кантор, Модели особых алгебр Ли, ДАН СССР, 208,№ 6 (1972), 1276-1279.

6, И.Л.Кантор, -Некоторые обобщения йордаь.овых алгебр, Тр. семинара по вект. я тенэ.анализу, 1966, внлДИ, 310-398.

Т. B.N,Allison, A construction оГ lie algebras Ггоа J-ternary algebras, Amer J. Math., 98(1976), 285-294.

8. B.N.Allison, A class of nonassoclatlve aJ.geb*ns with Involution containing tlie class of Jordan algebras, liath.Ann. 237(1978), 133-156,

9. ВAllison, Models or Isotropic slmpTe Lie algebras. Comm. Algebra, 7(1979), 1835-1875.

10. В.Н.АШзоп, W.Heln, Isotopes or some nonassoclatlve algebras with Involution, J. Algebra, 69(1981), 120-142.

11. BiM.-Alllson, J.R.Faulkner, A Cayley-Dlck3on process for a class of structurable algebras, Trans, toer. Math Soc., 283(1984), 185-210.

fe .N.Allison, Tensor products or composition algebras, ilbert Гоппз and some ex iptlonal simple Lie algebras, Lr. oi Alberta Preprint, Canada, Edmonton, 1986.

13. B.N.Allison, Conjugate Inversion and conjugate f otopes ol alternative algebras with. lnvolu''on. Algebra^ ¿roups a /^ometrles, 3 ( 86), 361-385. ■ ,

14.-B.H.AlIlS' , H.D.F-harer., Trace lvxtns pr ")tn irab?"

algebras, J. Algebra, 121(1589), 68-80.

tij. B.iT.Allison, с .artic Cailey Algebras and Isotropic Lie А1°е1л-аз of type 3 , International Algebraic Conference In Honor cf A.I.MaloeY Froceedlm;s,NoYC3ibirak,1989.

16. M.Cabrera» «Г. Martinez, A.Rodriguez, Structurable H^-algebras, U. of Granada Preprint, Spain, Granada, 1986.

17. "Я.ЛасоЬ.чоп, Structure and representation of Jordan aic-icrss, Am«?. Math. Soc. 3olloq. Publ., y.39„ Providence» ПЛ., 1963.

10, J.R "'a;UJtner, A construction of Lie algebras from a class o* ternary algebras. Trans. Amer. Math. Soc.„ 155(1971 \ 397-408.

¡9. H'.H'iin, A construction of Lla algebras by triple systera, Trans. Ляе- itath. Soc., 205(1975),79-95.

20. ;i.Ko?eler, Imbedding of Jo Зяп algebras into Lie algebrau. 3, Алкгг. J. Math., 69(1957), 787-S15.

?A„ R.n."chafer, On structurable algebras, J. Algebra, 9?(1935)„ 400-412.

n.D.ScSafer, Structurable Simodules, J. Algebra, 9c(1935), 479-494.

23. В I>.Schaier, «llpotence of the radical of a stucturable ■Jlgebra, J. Algebra, 99(1956), 355-35S.

24. j.Tit3, Une classe d'algebres de Lie en relation avec be £lgabres б» Jordan, Indag. Math., 24(1962),530-535.

Работы автог по теме диссертация

26. 0.К.Смирнов, Простые я полупростые сгруктуризуемые ал-гебрк, Тез. докл.. пс теория колец, алгебр и модул ей.?,' еад.конфе-г-онузи ло алгебре памяти А.И.Мальцева.Новосибирск,198° стр.216.

27. О.Ч.Сыяр-ов, Пример простой структурязуемой алгебры. Алгебре и логика, 2„„ 3 491-500.

23. О.Н.Смирнов, Простне и полупростые структуризуемые алгсорн. Алгебра я логика, 29, Ус 5, 571-596,