Минимальные подстановочные представления конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Российская академия наук Сибирское отделение Институт математики им. С. Л. Соболева

Диссертационный совет Д 002.23.01

Васильев Андрей Викторович

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Новосибирск 1995

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор В. Д. Мазуров.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.С.Кондратьев,

кандидат физико-математических наук Д. Г. Храмцов.

Ведущая организация — Красноярский государственный университет.

Защита диссертации состоится <р&/Ъ 1996 г. в

часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, Университетский пр.,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан & Я1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н.

С. Т. Федоряев

Общая характеристика работы

Предмет и актуальность темы. Исследования конечных простых групп занимают особое место в теории конечных групп. Это вызвано тем, что произвольная конечная группа наследует многие свойства факторов своего композиционного ряда. После завершения в начале 80-х годов классификации конечных простых групп (СГБС) на первый план выступила задача их более подробного изучения. Однако в отличие от разрешимых групп, строение которых чаще всего определяется подходящим нормальным рядом, изучение неабелевых простых групп невозможно вне каких-нибудь их представлений (в виде группы подстановок, группы автоморфизмов векторного пространства, графа, блок-схемы и т. п.). Среди всех подстановочных представлений данной конечной простой группы наиболее интересны ее минимальные представления, т. е. точные представления наименьшей возможной степени. Например, как следует из работы Д. Г. Храмцова [4], конечная простая группа вкладывается в группу автоморфизмов свободной группы ранга т. тогда и только тогда, когда степень п ее минимального подстановочного представления удовлетворяет неравенству п — 1 < т.

Классификационная теорема утверждает, что список всех конечных простых групп включает в себя:

а) группы простого порядка,

б) знакопеременные группы Ап, при п > 5,

в) 26 спорадических групп,

г) простые группы лиева типа.

Минимальные подстановочные представления групп из первых двух классов очевидны. Найти их основные параметры не составляет труда.

Систематическое исследование минимальных подстановочных представлений спорадических групп было начато В. Д. Мазуровым. К 1988 году были найдены основные параметры таких представлений для всех спорадических групп (итоговую таблицу см. в [1]). Эти параметры суть степень и стабилизатор точки, а также ранг, подстепени и двойные стабилизаторы точек данного представления.

Группы лиева типа распадаются на классические, т. е. имеющие естественные представления группами автоморфизмов векторных пространствуй исключительные группы, которые в свою очередь делятся на исключительные группы Шевалле и исключительные группы скрученного типа.

В 1978 году Куперстейн [6] показал, что, как правило, подгруппа наименьшего индекса конечной простой классической группы приводима, и вычислил степени минимальных подстановочных представлений конечных классических групп. К сожалению, его работа содержит целый ряд неточностей. Несвободен от ошибок и уточненный список степеней минимальных представлений, содержащийся в [7]. А именно, для группы ^2ш(2), где тп не делится на 3, и группы 02~т(3), т ^ 4, соответствующие степени указаны неверно. В 1993 году В. Д. Мазуров [2] установил точные значения степеней минимальных подстановочных представлений конечных простых линейных, симплектических и унитарных групп, а также определил ранги, подстепени, стабилизаторы и двойные стабилизаторы точек этих представлений.

Цель работы. Цель диссертации — доказать по модулю СГБС следующую основную теорему.

Теорема. Пусть в — конечная простая группа. Тогда степень, ранг, подстепени, стабилизатор и двойные стабилизаторы точек минимального подстановочного представления, (или представлений, если их несколько) группы известны.

Для доказательства этой теоремы:

во-первых, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых ортогональных групп (совместно с В. Д. Мазуровым);

во-вторых, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп Шевал-ле;

в-третьих, изучены минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа.

В диссертации также доказан следующий не имеющий прямого отношения к простым группам, но интересный сам по себе результат:

Пусть в прямом произведении двух конечных групп X хУ содержится секция, изоморфная группе диэдра Б порядка 2рп (р — простое число, р ф 2). Тогда либо в X, либо в У тоже есть секция, изоморфная V.

Это утверждение дает частичный (требование конечности групп X и У) ответ на вопрос 8.23 Л. Ковача из "Коуровской тетради" [3].

Методика исследовании. Тесная связь между естественными линейными представлениями конечных ортогональных групп и их минимальными подстановочными представлениями позволяет определить вышеперечисленные параметры последних.

Как следует из работы М. Либека и Я. Саксла [8], в большинстве случаев подгруппы наименьшего индекса в конечых простых исключительных группах являются параболическими. Параметры минимальных подстановочных представлений этих групп удается определить, изучая действие элементов группы Вейля 1У(Ф) на системе корней Ф соответствующей простой алгебры Ли (что позволяет установить, куда переходит параболическая подгруппа при сопряжении ее элементом

группы) и используя некоторые другие свойства параболических подгрупп.

Научная новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований различных вопросов теории групп, связанных с конечными простыми группами.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Алгебра и логика" и "Теория групп", были представлены на XXIX Всесоюзной научной студенческой конференции в г. Новосибирске в 1991 году, на Международной конференции "Finite and locally finite groups" в г. Стамбуле в 1994 году, на XXXIII Международной научной студенческой конференции в г. Новосибирске в 1995 году.

Основные результаты опубликованы в работах [9-16].

Структура работы. Диссертация состоит из введения и 4-х глав. Она изложена на 72 страницах, библиография содержит 29 наименований.

Содержание диссертации

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

Пусть G — конечная группа. Обозначим через п степень ее минимального подстановочного представления. Если группа G проста, то это представление транзитивно и, следовательно, подобно представлению подстановками множества ii правых смежных классов по некоторой собственной подгруппе Р, в котором элементу д из G соответствует подстановка, переводящая каждый смежный класс Рх в Рхд. Подгруппа Р является стабилизатором точки в данном представлении, и ка-

ждый стабилизатор точки сопряжен с Р и имеет индекс п в G. Если рассмотреть индуцированное действие группы G на ii х ii, определенное правилом (а,[3)д = (аg,ßg) для a,ß б П, и связать с каждой орбитой А граф Гд, вершинами которого служат элементы из Ü, а направленными ребрами — элементы из А, то G действует транзитивно на вершинах и ребрах этого графа и стабилизатором ребра (a,ß) = (Р,Рх) служит подгруппа Ga Л Gß ~ Р П х~гРх. Множество орбит G на fi X Cl находится во взаимно однозначном соответствии с множеством орбит Р — Ga на fI. Именно, если положить Д(Р) = {¿) £ fi|(M) G А}, то Д(Р) — орбита Р на il и сопоставление А —> А(Р) дает искомое соответствие. Число г орбит G на fi X fi или, что то же самое, число орбит Р на 17 называется рангом представления, а длина произвольной орбиты А;(Р) группы Р на Q, равная индексу в Р двойного стабилизатора Mi = Gaß = Ga П Gß, где (a,ß) £ А,-, называется подстепенью представления. Через Ai обозначается тривиальная орбита {(а, ß)\a & ii}. В соответствии с этим обозначением щ = 1, Mi = Р.

Через Sm и Ат обозначаются симметрическая и знакопеременная группы степени то, через А • В (соответственно через А : В) — расширение (расщепляемое расширение) группы А посредством группы В, через Ат — прямое произведение т групп, каждая из которых изоморфна А. При обозначении подгрупп символом то обозначается циклическая группа порядка т.

В первой главе рассматриваются конечные простые ортогональные группы.

Пусть V — векторное пространство размерности т над конечным полем порядка q = р' (р — характеристика К), F — определенная на V квадратичная форма, а / — связанная с ней симметрическая билинейная форма. Напомним, что подпространство W пространства V называется изотроп-

ным, если для любых и, V, т £ выполняются равенства /(«,«) = Р{ю) = 0.

Ортогональной группой квадратичной формы Р называется группа вО(Р) = {(р £ вЦУ)| \/х е V Р(ху>) = Р(а;)}. Если пространство V имеет нечетную размерность, то для всех квадратичных форм группы 00(Г) изоморфны, поэтому они обозначаются через 6'О(У) или через 6'0т(д) в матричном варианте. Для пространства V четной размерности существует два класса изоморфных групп (70(Р) в зависимости от того, какой тип относительно Р имеет V. Любой представитель класса, отвечающий пространству типа + ( — ), обозначается через СОЧУ) (<?0"(У)) или через (д) (С?0"(д)) в матричном варианте. В общем случае используется обозначение типа (70е(К) (СО^(д)), где е — это либо +, либо -, если размерность V четна, и £ — пустой символ, если размерность V нечетна. Определения групп 80ст{ц), и простой ортого-

нальной группы От(я.) = Р^ст(ч) стандартны (см., например,

[5])-

Пусть Р — собственная подгруппа наименьшего индекса в В [6] показано, что Р приводима. Если IV — мини-

мальное Р-инвариантное подпространство, то Р является стабилизатором Сю подпространства \¥ в С. Оказывается, что в большинстве случаев минимальным Р-инвариантным подпространством является одномерное изотропное подпространство пространства V. Так как любая максимальная подгруппа группы содержит ее центр, то параметры минималь-

ных подстановочных представлений почти всех простых ортогональных групп 0^(д) можно извлечь из предложения 1.1' диссертационной работы.

Предложение 1.1'. Ранг подстановочного представления группы на множестве одномерных подпространств, изотропных относительно невырожденной квадратичной формы Р, равен 3. Если п — степень, а п2, п3 — нетривиальные

подстпепени этого представления, то для т = + 1 п = (92'-!)/(<?- 1), п2 = (д21-1 - я)/(я- 1), п3 = д2<"\

а т = 21

п = (д*-е)(д1-1+£)/(?- 1),

«2 = (?'-£9)(<7'-2+ £)/(</-1), п3 = д2<~2.

.Если Р — стабилизатор точки, а М2 и М3 — стабилизаторы двух точек в этом представлении, то при четном д = 2'

Р = 25(т-2) • (Г1^_2(д) х (д — 1)),

М2 = 2'<т~3) • ((2'(т-4> • (^_4(д) X (д - 1))) х (д - 1)),

а при д = р', где р — простое нечетное число, Р = р*(т-2). ((П^_2(д) х (д — 1)/2) • 2),

м2 = • ((Ь5(т"4)- ((П£т_4(д) X (д-1)/2) -2)) х (д-1)/2) -2),

М3 = (П«т_3(д)х(д-1)/2)-2.

Разбор исключений, т. е. случаев, когда для группы №т(я) минимальное Р-инвариантное подпространство уже не является одномерным и изотропным, достаточно трудоемок. А изложение суммарного результата занимает слишком много места, чтобы привести его здесь.

Две следующие главы посвящены конечным простым исключительным группам. Во второй главе исследуются исключительные группы Шевалле, т. е. группы С2(д), Е6(д), Е7(д) и Еа(д). А в третьей — исключительные группы скрученного типа, т. е. группы 2В2(д), 2СГ2(д), 2-р4(д)> 3^4(<7)> 2^6(д). Заметим, что в отличие от первой главы мы используем в этих главах стандартную нотацию Ли при обозначении всех групп лиева типа, в том числе и тех, которые идентифицируются с классическими.

В уже упоминавшейся статье М. Либека и Я. Саксла [8] указаны все отличные от параболических максимальные подгруппы исключительных простых групп, имеющие "достаточно небольшой" индекс. Вычисляя порядки максимальных параболических подгрупп и сравнивая их с порядками подгрупп из [8] во всех простых исключительных группах, получаем, что только в трех группах: 6'2(3), 6'2(4) и 21*^(2)' подгруппы наименьшего индекса не являются параболическими. Информации, содержащейся в [5], достаточно, чтобы определить параметры минимальных подстановочных представлений этих групп. В остальных случаях мы находим эти параметры, изучая действие элементов группы Вейля И7(Ф) на системе корней Ф, соответствующей исключительной группе простой алгебры Ли (что позволяет установить, куда переходит параболическая подгруппа при сопряжении ее элементом группы), и используя некоторые другие свойства параболических подгрупп. В силу известной специфики исключительных групп группы каждого типа приходится разбирать отдельно. Соответственно и результаты для каждого типа формулируются отдельно. Привести их здесь целиком не представляется возможным. Поэтому ограничимся указанием всех параметров минимальных подстановочных представлений групп Е6(д) и 2^4(д'), а для остальных групп укажем только степени и ранги.

Теорема 4. Для простых неабелсвых групп О = Е6((¡г) параметры п, П2, п3, Р, М2, М3 минимальных подстановочных представлений содержатся в следующем списке: п = (99 - 1)(,8 + 94 + 1)/(, - 1), п2 = д ■ (у* - 1)(93 + 1)1 {ц - 1),

М2 = р15> : (/' : (/ • ((А4(д) х (? - 1)//) х (д - 1)//') • /)), Мз = Рв> : (р8* : ц4(д) х (д - 1 )/с) • в) х (д - 1));

где ¿ = {2,д-\), £ = (3,9-1), е = (4,д- 1), / = (5,д- 1),

е' = е-6!, /' = ¡-й', с = Л-в!.

Ранг представления во всех случаях равен 3.

Теорема 11. Для простых неабелевыг. групп О = 2Р4(д), д = 2', з — нечетное натуральное число большее I, параметры п, п2, п3, пъ, Р, М2, М4, М5 минимальных подстановочных представлений содержатся в следующем списке:

п = (Я6 + 1)(д3 + 1 )(<? + 1), п2 = д(д2 + 1), п3 = д10,

щ = д\д2 + I), щ = д7(д2 + 1);

Р = (2* • 2■ 25<) : (2В2(д) х {ц - 1)),

М2 = (2' • 22а • 22* • 245 • 22') : (9 - I)2,

М3 = 2В2(д) X (9 - 1),

М4 - (23$ • 22л • 235) : (д - I)2,

ЛГ5 = (223 • 22' х 25) : (д — I)2.

Ранг представления во всех случаях равен 5.

Степени и ранги минимальных подстановочных представлений остальных исключительных групп содержатся в следующей таблице:

<3 п г

са(3) 351 3

С2(4) 416 3

<32(д), ч > 4 -!)/(<?-1) 4

Ш 5

Ет(ч) (?14-1)(?9 + 1)(?5 + 1)/(9-1) 4

Е*(д) (<?30 - 1)(?12 + 1)(?10 + !)(<?" + 1)/(д - 1) 5

2В2(д), д > 2 д2 + 1 2

3<?2(?), ? > 3 д3 +1 2

(д8 + ?4 + 1)(д+1) 4

(д12-1)(д6-93 + 1)(д4+1)/(д-1) 5

2)' 1600 3

В четвертой главе доказана следующая

Теорема 13. Если в прямом произведении двух конечных групп X X У есть секция, изоморфная группе диэдра И порядка 2 ■ рп (р — простое число, р -ф- 2), то либо в X, либо в У также есть секция, изоморфная группе О.

Ее доказательство основано на изучении свойств минимального по порядку группы Р = X х У контрпримера к утверждению теоремы.

В заключение автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. Д. Мазурову за всестороннюю помощь в работе, а также всем участникам семинара "Теория групп" Института математики СО РАН и особенно профессору Е. И. Хухро за ряд полезных замечаний и рекомендаций.

Автор также признателен Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 93-11-1501) и Международному научному фонду (грант ЛРСЗОО и соросовская стипендия N а 476-м) за финансовую поддержку.

Литература

1. Мазуров В. Д. Минимальное подстановочное представление простой группы Томпсона // Алгебра и логика. 1988. Т. 27, N 5. С. 562-580.

2. Мазуров В. Д. Минимальные подстановочные представления конечных простых классических групп. Специальные линейные, симплёктические и унитарные группы // Алгебра и логика. 1993. Т. 32, N 3. С. 267-287.

3. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Изд. 12-е. Новосибирск, 1992.

4. Храмцов Д. Г. Конечные группы автоморфизмов свободных групп. // Мат. заметки. 1985. Т. 38, N 3. С. 386-392.

5. Conway J. Н., Curtis R. Т., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

6. Cooperstein B. N. Minimal degree for a permutation representation of a classical group // Israel J. Math. 1978. T. 30. C. 213-235.

7. Kleidman P. В., Liebeck M., The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambrige Univ. Press, 1990.

8. Liebeck M. W., Saxl J. On the orders of maximal subgroups of the finite exceptional groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. 1987. T. 55. C. 299-330.

Работы автора по теме диссертации

9. Васильев А. В. Об одной задаче Ковача // Материалы XXIX Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 1991. С. 17-22.

10. Васильев А. В. Мазуров В. Д. Минимальные подстановочные представления конечных простых ортогональных групп // Алгебра и логика. 1994. Т. 33, N 6. С. 603-627.

11. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп лиева типа // Материалы XXXIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика: Тез. сообщ. Новосибирск, 1995. С. 5.

12. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп Шевал-ле. Новосибирск, 1995. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 18).

13. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа. Новосибирск, 1996. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 1).

14. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа С 2 и .Р4 // Алгебра и логика (в печати).

15. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа Е6, Е7 и Е6 // Алгебра и логика (в печати).

16. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа // Алгебра и логика (в печати).