Изучение больших подгрупп в простых конечных группах с помощью ЭВМ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАдЕМШ НАУК СССР уральское Отделение

ИНСТИТУТ М1ЕМАТЖЙ И Ф&АНИКИ

На правах рукописи

Чеканов Сергей Геннадьевич

Изучение оолъдах подгрупп в простых конечных . грушах с помодаю ЭВМ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

кандидата оазнко-магетхических наук

Сзердловса -

.Диссертация выполнена в Новосибирском государственной университете имени Ленинского комсомола

Научный руководитель -доктор физико-магематлческах наук, профессор В.Д.Мазуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Д.С.Казариа, кандидат физико-математических наук, . .

старший научный сотрудник А.Н.Фошн,

' Ведущее учреждение - Красноярски государственный университет

Защита диссертации состоится а2Т 1991 года

в ^Г часов на заседании специализированного' совета К 002.07.Q2 в Институте математики а механики УрО АН СССР по адресу:

€20066, Свердловск, ул, С.Ковалевской, 16. '

С дассергадаеа южно ознакомится в Ои&шотеке Института математика и механика УрО АН СССР

Автореферат разослан 199^г.

Ученый секретарь * •

специализированного совета, . кандидат дизико-иатематических наук, старший научный сотрудник А.С.Кондратьев

- 3 -

3 1У81 году была завершена классификация простых конеч- ' [их груш. Итогом усилий сотен математикбв из разных стран ¡тал коллективный труд", изложение которого, по разлившим щенкам, займет от 5000 ДО 1000и журнальных страниц, это »еспрецеяентный случай в истории математики. С одной сторо-[Ы, поражает объем проделаннок работы, с доухой - количество ювых идей, которые потреоозались для построения доказателъ-!тва классификационной теоремы. Ясно, что доказательство этого объема не может Оыть признано удовлетворительным, т. к. ;рочитать такое количество страниц математического текста »ряд ли под силу одному, даже очень квалифицированному [агематику.

Все это заставляет критически относится к существующему доказательству классификационной теоремы и стимулирует работу направлении поиска новых подходов к классификации конечных ростах групп. С другой стороны, наличие доказательства лассификационной теоремы переключило интерес многих махеыаш!-ов на более глубокое изучение известных простых груш, как звестш Х>1 многие простые группы сначала были отбыты, а же затем построены и, часто, их известные представления не озволяюг эффективно работать в направлении более глубокого зучения этих груш. В этом смысле представляет интерес изуче-йе минимальных подстановочных представлений простых групп и вязанных с ниш графов.

Одной из. важных задач в этом направлении является вычисление эдстаяовочных характеров простых групп да максимальным под-руппам. В пэрвои главе' диссертации излагается подход к вшеназз задачи о разложении подстановочного характера в сумму

непрЕБо^льгх ко.лдлекснкх характеров. дроме того,' излагаются

£0 подгруппам ■■ 2 , , и '

группы Сог по подгруппе ' ^рь^' Ко1ЖРе,гнШ1

выбор автора ойья.св;е?сй тем, что на Ыекдунаролной алгебраической шв^еренцив /Новооиоирск, 21-26 августа 1у&э г./ несг.слъко известных специалистов ао конечным грувлам.проявили интерес именно к этш,: результатам. Цричзм, ах интерес ооьясачется тесной связью «е*ду раздошиаяма подстановочна характеров в койфтахиьишй схшадн отношений Кроле того, лоиск подстановочных характеров оправдан отсутствием такой дк.ормашш в атласе конечных груш р-уД.

Предлагаема! подход к вычасшшэ подстановочна* характеров щ>едср5ь,!Я&т собой сочетание сеоиетэ шдетановочнах характеров с евтовсшзшк использованием ЭК/1. Основная грудвоот: при чвгои твдод© связана с голучеюш! э^фейгавшх ограничено! на коэ^.у.-ищокты кр&т-ь:ости вшедшш вэправодаавс кокшюхсннх характеров в соответствуй^;;-; подсгелсьачкнй херс-хгзр. В таких случаях чсетс дает оадсхт применение мьтодоа дкнедкого йглй-р&'ляфСлшшя. Подробное издаете отого подхода кошзо найти в [1:3. Вдооь авпее.* вздгоои основную ида».

Пусть ' "!( " 2 й; X; - ргзяо^ешю шдст&козочшго характера "X, коночной трупов О- по иодррушо И в'сушу непркводазнх 'а>ыпяёксша хареятеро;. ^ . целочисленные' коэй^икяенга C^¿ удовлетворяю® следу&щил услов^гя:

^ (3; Х;СО ~ ¡а - Н!

#. - й

, аш характера

-а —

~ Для эффективного вычисления коэффициентов необходимо определить границы, в которых находятся эта неотрицательные целые числа. В таких случаях целесообразно решать предварительно задачу линейного программирования, т. 6. накти максимум линейнои формы (¿1 при перечисленных выше ограничениях. Сделать это можно используя, например, симплекс-метод.

Как уже было сказано выше, оправдана всякая попытка найти новый, отличный от общепринятого подход к проблеме классификации простых конечных групп, в этом отношении интересен подход связанный с описанием широких подгрупп.

Пусть От -конечная простая .группа. Подгруппу А группы • О- назовем широкой, 'если она удовлетворяет следующим условиям: простая неабелева группа;^ (А) = где п(Сг) -минималь-аый индекс собственных , подгрупп группы О- ; А -максимальна до включению среди подгрупп» обладающих первыми двумя свойствами.

Понятие широкой подгруппы впервые было определено в совместной работе ¿.д. Мазурова и А.Н. Фомина Сб^.Там же оали доказаны основные свойства широких подгрупп, которые легли в основу описания широких подгрупп в простых спорадических группах. Основным результатом [бЗ является следующее предлоке-вие. -

Предложена е.. Пусть еХГс класс простых конечных групп содержащий знакопеременные грушш Аи , при пусть

содержит широкие подгруппы каждой грушш входящей в . Тогда совпадает с классом всех цростых конечных

групп.

- ь -

Из предаояешш ясно, что дня классификации простых конечных групп достаточно описать широкие подгруппы известных " простых групп. Конечно, перспективы такого напрвления весь- -ма туманны и сейчас непонятно является ли этот путь более короткий в решения кдассификаилоннои проблемы, но вряд ли существует доказательство кяасоидакациошой теоремы, которое просматривалось бы от начала до конца.

Начинать изучение широких подгрупп в конечных простых грушах целесообразно со Спорадических груш, т. к.' во-первых в большинстве спорадических групп минимальный индекс собственных. подгрупп относительно большое число, что существенно для вычисления возможных порядков широких подгрупп, во-вторых результат по каждой спорадической группе является законченным в том смысле, что любая спорадическая группа является уникальной и требует индивидуального подхода.

Всего известно двадцать шесть простых спорадических групп, для Н(Ъ Эъ ,

^, Мс, Ли, Не, , О-Х > Сог уСоъ , ^, г ^ описание широких, подгрупп было получено совместными усилиями В.Д. и Н.П. Мазуровых причем в группе широкая подгруппа изоморфна , в нормализатор широкой подгруппы это 25-14 , в соответственно ¿-г(23>) , а в остальных грушах широких подгрупп нет.

Итак, среди простых спорадических групп, широкие под-^группы которых не описаны остались группы />, ^ )

• Вторая глава дассертащш содержит описание широких подгрупп в группах Я* ^иъ..

Поиск широких подгрупп осаовая на знании минимального зш-- декса собственных подгрупп для исследуемой: группы. Класса-

фшсация максимальных подгрупп во многих • спорадических группах опирается на классификационную теорему о простых конечных группах, а описание широких подгрупп имеет смысл лишь без использования этой теоремы. Поэтому предварительно оыли вычислены минимальные индексы собственных подгрупп в группах Я'ул > , С<о< с использо-

ванием лишь таблицы характеров и перечислением возможных подстановочных .чарактервв. В результате было установлено, что в ^'¿2. подгруппа изоморфная 2 ^2) является подгруппой минимального индекса, в Г¿гу} Р^Д.} Со< , подгруппами минимального индекса являются 3 ,

СЬг> соответственно. Для. группы минимальный

индекс был найден Н.П. Мазуровой /ст. Сэ]/.

Основные результатом второй глаьы является. следующая теорема.

Теорема. Пусть Сг - одна из спорадических групп Гь ^иЪ. . Тогда в Сг нет широких под-

групп.

Существенным ограничением при использовании э^ являются возможности арифметики машины. Например, машины типа ВС могут выполнять арифметические операции с целыми чисяа-ш, запись которых содержит не оолее 16. знаков. В больших спорадических группах необходимы вычисления со значительно Золыпимк числами. Например, цра вычислении минимального шдекса а группе р* верхняя граница минимального индекса, зценивалась в 1С/см. р. 8,7/. даже если использовать ходход предло:«ешщд в {VI ■ то последующе вычисления шнимального индекса яо'хреоуюг нереального количества .-.жи-' юго времени.

С другой стороны» зри анализе /.оказательсхьа о сааз кого

- 3 -

результата кз (_&2 об эквивалентности классификационной теоремы о простых конечных грушах и описания широких : подгрупп в известных простых группах можно понять,что для классификации простых конечных групп достаточно описал более узкий класс подгрупп в известных простых группах.

Подгруппу А конечной просто! группы Сг назовем К-широкой, если она удовлетворяет следующим свойствам:

1) А - простая неабелева группа;

2) к-- Кк (&) ..где минимальный индекс собственных подгрупп из С^- с из- .

. вестныш кошюзицйоншш суактораш;

3) А максимальна по включению среди собственных подгрупп Сс оиладашдих первыми двумя. свойствами),

3 третьей главе диссертации доказана следующая лемма о К-щроких подгруппах. •

Леьма. Пусть А - К-шрокня подгруппа конечной простой группы Сг . Тогда

са(луз А-,

Сг - М А для любой подгруппы М из £ индекса И,(Сг) . При этом представление А на смежных классах по М щшашшно.

Доказанные свойства К-щроких подгрупп аналогичны свойствам широких подгрупп и позволяют использовать те же методы при поиске К-ашроких подгрупп.

Основным результатом § 1 третьей главы является, следующее предкоденые.

- Изучение иаьшх подгрупп в простых конечных группах с помощью ЪВ'Л , '

Автореферат диссертации на соскан.-.з учешой степоШ кандидата 4лзико-.матсмахических наух

4SM50B Сергей Геннадьевич Подписано к печати 2b.I0»ïÛ Заказ 1128 «Горма? 'uia-i/iL', Булата типографская .'.'3. Усл.'сеч. л. 0,5 Уч.-изд. л. 0,5. Тира.» 100 экз.Бесплатно.

Челябинский государственный; университет. 454136, Челябинск, ул. Ррагьев Калириных, i2b\

Ротапринт Челябинского оадасгного управления статястккк 454060, Челябинск, ул. Колуны, ¿37 а.