Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах

Маслова, Наталья Владимировна

Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Маслова, Наталья Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах»

Автореферат диссертации на тему "Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

4842908

МАСЛОВА Наталья Владимировна

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ НЕЧЕТНОГО ИНДЕКСА В КОНЕЧНЫХ ПОЧТИ ПРОСТЫХ ГРУППАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

А в т о р 1! ф г р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ЯНЗ 2011

Екатеринбург — 2011

4842908

Работа выполнена, в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, КОНДРАТЬЕВ Анатолий Семенович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор, чл.-корр. РАН МАЗУРОВ Виктор Данилович

доктор физико-математических наук, профессор, КАЗАРИН Лев Сергеевич

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 1 февраля 2011 года в 12.00 часов па заседании специализированного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620090, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан 29 декабря 2010 года

Ученый секретарь диа-ертационного совета,

кандидат фнз.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Диссертационная работа относится к классическому направлению теории групп — исследованию подгруппового строения конечных групп. Она посвящо-на завершению классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в коночных почти простых группах.

В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа п 26 спорадических групп (см., например, [3]).

Пусть (? — конечная группа, р — простое число и |(7|р — наибольшая степень числа р, делящая Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа С? содержит подгруппу порядка, равного \й\р, и все такие подгруппы сопряжены в й. Такие подгруппы называются сидовскими р-подгруппами группы С?. В 1963 г. Фейт и Томпсон [17] доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бсрнсайда. Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная нсабслсва простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруипу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.

Подгруппа конечной группы С?, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы б и обозначается через 8ос(0). Конечная группа С называется почти простой, если ос цоколь Ь есть неабелева простая группа, т.е. Ь < С < Лuí(^/) при отождествлении Ь с 1пп{Ь).

В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению и представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью се ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация но даст ответа.

Максимальные подгруппы играют большую роль в теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).

К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны все локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].

Пусть С одна из групп Ап или 8п, действующих естественно на множестве / = {1,..., п}, где п > 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О'Нэна-

Скотта [32] утверждает, что для любой подгруппы Я из G, не содержащей Ап, либо Н содержится в некотором члене определенного семейства A(G) подгрупп из G (интранзитивных, имнримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо Я принадлежит множеству S всех почти простых подгрупп из G, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и J1. Скотта [13| и М. Либека, Ч. Прэгер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была использована ее авторами 125] для следующей классификации максимальных подгрупп в G: если Я £ А(G) U §, то либо Я максимальна в АпН, либо Н < К < АпН, где (Я, К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из A{G) максимальны в G.

Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О'Нэна-Скотта.

Пусть L — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем Fq порядка д, где q - степень простого числа р. Пусть X = PTL(V) - полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая L. Тогда L < X < Aut(L), причем X -- Aut(L), за исключением случаев, когда L = PSLn(q), PSpt(q) (q четно) или PQ$(q). В случае, когда L < G < X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство S(G) естественных геометрически определенных подгрупп группы G, которое было разбито им па восемь классов C;(G) (1 < г < 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, ч то если L < G < X, то для любой подгруппы Я из G, не содержащей L, либо Я содержится в некотором члене семейства С(G), либо Я е 8, где S — множество всех почти прост ых подгрупп К из G таких, что (проективное) представление подгруппы soc(K) па V абсолютно неприводимо и не реализуется над собственным подиолем поля F,. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда L < G < Aut(L) и G -¿X. Для групп L = PSLn(q) или PSpi(q) (q четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдмап [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах G с цоколем, изоморфным (q). П. Клейдман и М. Либек [23|, используя ККПГ, для каждой почти простой классической группы G определили: теоретико-групповое строение каждого члена семейства C(G); сопряженность в G членов семейства S(G); при степени soc{G), большей 12, максимальные элементы семейства C(G) и для немаксимальных элементов Я £ С(G) их максимальные надгруппы в G.

Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева по подгруппам конечных групп Шевалле [5]).

Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдманом (см. [23, тсор. 1-2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше 11 был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. [19]), такой список есть и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не

были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых под руководством Д. Холта заканчивает ревизию результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.

Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как 2В2(7), Сгг(д), гС?2(?), 3Й4(д), ^4(5)', £4(2), Е6(2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. [5, 16, 21, 22, 24, 29, 30, 33]). В общем случае исследование теоретико-грушювой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, п работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зейца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева тииа.

Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскуш 2-подгруппу (см., например, [4, 6, 8, У, 15]). Такими подгруппами являются сами силовские 2-подгруш1ы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы неединичпых 2-нодгрупп, нормальных в некоторой силовской 2-подгруипс, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.

М. Либеком и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18] был получен один из самых сильных результатов последних лет к теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание но многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Максимальные подгруппы нечетного индекса н конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (с.м. [12, 16]). Для каждой конечной почти простой группы б, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [27, 18] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в в. Однако в случае, когда цоколь группы (3 классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе (7. Так что классификация максимальных подгругш нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.

Приведем более точную формулировку результатов работ [27,18]. Наши терминология и обозначения в основном стандартны, их можно найти в [11, 5, 23, 16].

Пусть д — натуральная степень простого числа, (7 — конечная группа, Ь = аос(0) — либо одна из знакопеременных групп Ап, либо одна из конечных простых классических групп РЗЬп{ц), Р3ип{д), Р3рп(д) для четного п, РПч(д) для нечетного п и для четного п, где е £ {+, —}. Будем обозначать через

V естественное векторное пространство размерности п над полем Р с определенной на нем соответствующей тождественно нулевой, эрмитовой, кососнм-метрической или квадратичной формой, ассоциированное с конечной простой классической группой Ь, где Р = для линейных, симплектических и ортого-

нальных групп и F — Fq2 для унитарных групп.

Из основных результатов [27, 18] следует

Теорема Либека-Саксла-Кантора. Пусть G — конечная группа и L — soc{G) — пеабелева простая группа.

(I) Если L = Ап и Я — максимальная подгруппа нечетного индекса в конечной группе G, то Я = К П G, где К < Sn, и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) К = Sm х Sn-m, где 1 < тп < п/2;

(2) K^Sml St, где п = mt, т > 1, t > 1;

(3) G = Ay И HS PSL2{7).

(II) Если L = L(q) — конечная простая классическая группа над полем F и Я -- максимальная подгруппа нечетного индекса в G, то либо q четно и ЬПН — параболическая подгруппа в Л, либо q нечетно и дли G и Н выполняется одно из следующих утверждений:

(1) Я = Nc{Cl{cг)) для полевого автоморфизма а простого нечетного порядка группы L\

(2) Я — стабилизатор невырожденного подпространства из V или н случае L = PSLn(q) стабилизатор любого подпространства из V;

(3) LnH — стабилизатор ортогонального разложения V — $ Vj в прямую сумму изометричных подпространств Vi или в случае L — PSLn(q) стабилизатор любого разложения V = ф V< в прямую сумму подпространств одинаковой размерности;

(4) L = PSLn{q) и Я — стабилизатор пары {U,W} подпространств из V таких, что либо U < W и dim(U) + dim(lV) = dim(V), либо V = f/ф W, и G содержит автоморфизм группы L, переставляющий U и W\

(5) L = PSL2(q) и LnH — диэдральная группа, А4, S4, А$ или PGL2(ij1/2);

(6) L = PSU3{5) и £ЛЯ = Мт;

(7) L = РП7(?) Для простого q = ±3 (mod 8) и L П Я = П7(2);

(8) L = Pf£(?) да я простого 9 = ±3 (mod 8) и I- П Я = i#(2);

(9) L = РП^(д) для простого q = ±3 (mod 8) и LnH изоморфна 23.26.P5L3(2).

В пункте (И) при четном див пунктах (H)(1) и (II)(6)-(II)(9) ири нечетном q подгруппа Я всегда будет подгруппой нечетного индекса в G (см. [27, 18[). В остальных случаях случаях четность индекса Я в G существенно зависит от нескольких параметров, в том числе от п и q. Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева тина (см. |5|). Поэтому в пункте (II) можно рассматривать только классические группы над полями нечетной характеристики.

В пункте (H)(3) теоремы Либека-Саксла-Кантора возможен случай, когда L П Я = L, по дпя описания всех таких подгрупп Я достаточно рассмотреть группу Aut(L) , которая хорошо изучена (см., например, |14|), поэтому далее ыожпо предполагать, что L П Я < L.

Цель диссертации. Целью данной работы является завершение классификации максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых

группах.

Методы исследования. Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы теории чисел.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми л снабжены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-груниовой структуры конечных почти простых групп. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных про слых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла свое применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах [31].

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2007 по 20J0 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007 и Нальчик,

2009), Международных школах-конференциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях "Мальцсвскис чтения" (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции "Группы Сент Энд-рюс-2009" (Великобритания, г. Ват, 2009), Международной школе-конференции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей" (Новосибирск,

2010), Международной конференции "Группы и их действия - 2010" (Польша, г. Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [39]-[46].

Результаты работы докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), па городском алгебраическом семинаре "Алгебраические системы" (Екатеринбург, 2008 и 2009) и на алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 - 2010).

Публикации. Результаты ангора по теме диссертации опубликованы в |3G|-[48]. Из них статьи [36]-[38] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 63 страницах, список литературы содержит 50 наименований. Главы диссертации подразделяются на параграфы.

Основные результаты диссертации сформулированы в виде теорем 1-3. Вспомогательные утверждения (леммы) имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Более важные утверждения сформулированы в виде предложений. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — номер предложения в главе.

Результаты диссертации.

В случае ортогональной группы Ь для каждого невырожденного подпространства I! четной размерности т из V определяется также знак V = sign({/). Положим

если и = + и (д - 1)т/4 четно, если V — - и (д — 1)т/4 нечетно, в остальных случях.

Если V является прямой суммой невырожденных, ортогональных друг другу подпространств [I и IV четной размернос-ти, то = £>({/) • £)(И') и sigп(V) = sign(í^) ■sign(W'т) (в последнем случае умножение понимается в обычном смысле "умножения знаков"). Также определяется естественный гомоморфизм т : Аи1(Ь) - Р'/(Р*)2 (см. ¡23, § 2]).

Пусть ] — натуральное число, к — целое число. Положим

¡=0

Пусть М — множество всех последовательностей (то, ц,..., хп,...), где .т; е {0,1} для всех г и число ненулевых компонент конечно. Введем на Ж естественный частичный порядок >, считая 1 > 0, а дли и = («о,«!,...,«„,...), ■и = (г\>, ...,!;„,...) из М, полагая и > V тогда и только тогда, когда щ > ^ для всех г. Через ф обозначим функцию, которая ставит в соответствие каждому целому неотрицательному числу з последовательность («о, вь...,«(..,...) из М такую, что ... «о — запись числа з в двоичной системе счислении и

яп = 0 для всех п > к.

Во введении приводится мотивировка исследования и формулируются основные результаты диссертации. Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть С — конечная группа, подгруппа Ь = «ос:(Сг) изоморфна одной из групп Р8Ьп(д), РЯПЦд) или Р3рп(д), где д нечетно, п > 13, и V — естественный проективный модуль для Ь. Подгруппа Н группы (7, не содержат щая цоколь Ь, является максимальной подгруппой нечетного индекса в б тогда и только тогда, когда Н = АУР), где Р — подгруппа из Ь, и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) Ь = РЗЬп(д), Р = ЛГ/ДРбХпЙо))' где ? = и £ — простое нечетное число, причем (ЛЫ,п) = 1 или в < Ь ■ МАи{щ{Р8Ьп(д0))-,

(2) L = PSLn(q), P — стабилизатор в L подпространства размерности m < n — 1 пространства V, ф(п) > ip(m) и G < PVLn{q)\

(3) L = PSLn(q), P — стабилизатор в L пары {U,W} подпространств пространства V размерностей т < п/2 и п — т соответственно таких, что V = U © W, ф{п) > tp(m), G РГ£/„(д) и G содержит элемент, переставляющий U и W-,

(4) L = PSLn(q), Р — стабилизатор в L разложения V = в прямую сумму подпространств одинаковой размерности т и либо т = 2'° > 2, либо m = 1 и q = 1 (mod 4);

(б) I = PSUn{q), Р = Ni(PSUn(qa)), где q = и £ — простое ннчетнон число, причем (/t(-®),n) = 1 или С? < L • NAut(L)(PSUn(q0))\

(6) L = PSpn(q) и Р = NL(PSpn(q0)), где g = и i — простое нечетное число;

(7) Л = PSUn(q) или L = PSpn(q), Р — стабилизатор в £ невырожденного подпространства размерности m < п/2 пространства V и ^(n) > i/i(m);

(8) L = PSUn(q), Р — стабилизатор в L ортогонального разложения У = ф в прямую сумму изомстричпых подпространств Vj размерности тп и либо m = 2й > 2, либо т=1и? = 3 (mod 4);

(9) L = PSpn(q), Р — стабилизатор в L ортогонального разложения V = Ф Vi в прямую сумму изомстричных подпространств Vi размерности т и т = 2Ш > 2.

Теорема 2. Пусть G — конечная группа, L = 1(g) = soc(G) изоморфна одной из простых ортогональных групп PQu(q) для нечетного п > 13 или РП'(д) для четного п > 13 и е € {+, -}, g везде нечетно, V — естественный проективный модуль для L. Подгруппа Я, не содержащая цоколь L, является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда Я = Ng(P), где Р — некоторая собственная подгруппа в L, и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) Р = iVi(L(go)), где q = gj и i — простое нечетное число;

(2) L = РПп(д), Р — стабилизатор в L невырожденного подпространства U четной размерности m пространства V, D(U) = 1 и ф(п) > ф{тп)\

(3) L = РП„(д), Р — стабилизатор в L ортогонального разложения V = ф V, н прямую сумму изометричпых подпространств V{ размерности 1, q — простое число и q = ±3 (mod 8);

(4) L ' PSlzn(q), P — стабилизатор в L невырожденного нодироегранстна U четной размерности т пространства V и либо D{U) = D(V) = —1, 'ф(п — 2) > ф(т - 2) и (q,m,sign{U)) ф (3,2,+), либо D{U) = D{V) = 1 и i/j(n) > ^(m);

(5) L = Pfijj(g), P — стабилизатор в L невырожденного подпространства U нечетной размерности m пространства V, -D^) = —1, ф(п — 2) > i/>(m - 1) и С < ker(f);

(6) L = РП^(З), D(V) = —1, Р — стабилизатор в L невырожденного подпространства U пространства V, где dira(U) = 2 и sign(U) = +, Р = Yi Г) Уг, где Vi и У2 — стабилизаторы в L различных невырожденных одномерных подпространств из U, сопряженные элементом из G\

(7) L = P£Vn{q), P — стабилизатор в L ортогонального разложения V = ф V< в прямую сумму изомстричных подпространств Vi размерности т = 2"' > 2, D(V) = D{Vt) = 1 и (g,m, sign{U)) ф (3,2,-), (5,2,+);

(8) L = ЯП® (g), Я — стабилизатор в £ ортогонального разложения К = ф Vi п прямую сумму изометричных подпространств Vi размерности 1, q — простое число, q = ±3 (mod 8) и G < ker(f);

(9) Л = ЯП^(д), Я — стабилизатор в L ортогонального разложения V = в прямую сумму изометричных подпространств V] размерности 2, где

(q,sign(Vi)) = (3,-) или (5,+), и Я = Vi П У2, где Vi и К2 — стабилизаторы в L различных ортогональных разложений пространства V в прямую сумму изомстричных подпространств размерности 1, отряженные элементом из G.

Теорема 3. Пусть G — конечная группа, soc.{G) = Ап, п > 5. Подгруппа Я является максимальной подгруппой нечетного индекса в G тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) G < Sn, Н — подгруппа вида (Sm х Sn_m) П G, где 1 < т < п/2 и ф(п) > ф{т);

(2) G <Sn,H — подгруппа вида (SmiSt)nG, где п - mt, t > 1 и т = 2"" > 2, за исключением случая, когда Я = (S2 i ¿4) П Л8 = 23 : S4 < 23 : PSL3(2) < Ла — G;

(3) G = Л7 и Я = Я512(7);

(4) п = 6, G < Aut(Ae), G £ Se и Я € Sy!2(G);

(5) G = ylg и Я = 23: PSLa(2).

Таким образом, в теоремах 1-3 получена исчерпывающая классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных группах с классическим или знакопеременным цоколем. Эта классификация проведена в терминах функции ф, которая не зависит от ноля. Кроме того, ввиду простоты вычисли пия функции ф, полученная классификация допускает хорошую программную реализацию (см. |42, 47|).

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты.

Глава посит вспомогательный характер. В первом параграфе вводятся терминология и используемые обозначения из теории классических групп, формулируется теорема Либека-Саксла-Кантора и даются некоторые пояснения к этой теореме. Во втором параграфе формулируются н виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-числовые результаты, используемые в дальнейшем для вычисления индексов подгрупп конечных простых групп, возникающих в теореме. Либека-Саксла-Кантора. В третьем параграфе также формулируются в виде лемм и доказываются вспомогательные теоретико-групповые результаты, которые затем используются для работы с конечными почти простыми группами.

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах. Глава посвящена изучению подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах. С помощью полученного Клейд-мапом и Либеком в [23] описания теоретико-групповой структуры подгрупп из

классов Ашбахера конечных простых классических групп для каждой конечной простой классической группы устанавливаются условия, при которых ее подгруппы, возникающие в теореме Либека-Саксла-Кантора, имеют нечетные индексы в этой группе. В первом параграфе исследуются индексы подгрупп в конечных простых линейных группах, во втором — в конечных простых унитарных группах, в третьем — в конечных простых симплсктических группах, а в четвертом и в пятом — в конечных простых ортогональных группах нечетной и четной степени соответственно. Основные результаты второй главы сформулированы виде предложений. Методы, близкие к тем, которые мы применили для вычисления индексов подгрупп в конечных простых классических группах, используются также в [34, лемма 2] и [1, теоремы Б1,Б2]. В терминах функции ij> нами получен простой критерий нечетности индексов подгрупп конечной простой классической группы, возникающих в теореме Либека-Саксла-Кантора, не зависящий от поля F. Результаты второй главы используются далее для до касательства теорем 1-3, кроме того, эти результаты вместе с анонсированным Клейдмапом описанием максимальных подгрупп в конечных почти простых группах с классическим цоколем степени не более 12 дают классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса конечных почти простых групп с классическим цоколем любой степени.

Результаты второй главы опубликованы в [36].

Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Глава посвящена доказательству теорем 1-3.

Если цоколь L группы G является конечной простой классической группой, то во многих пунктах теоремы Либека-Саксла-Кантора подгруппы LnH, соответствующие подгруппам Я, являются максимальными подгруппами в L. Если подгруппа L П Я является максимальной подгруппой в L, то подгруппа N(;(Li~\H) является максимальной подгруппой в G тогда и только тогда, когда каждая подгруппа, сопряженная в G с L П Я, сопряжена в L с L П Н. В этом случае для доказательства основного результата диссертации мы используем результаты [23], касающиеся сопряженности подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп. Если же подгруппа L П Я не максимальна в L, то подгруппа Na[LH Н) являются так называемой новинкой (novelty). Надгруппы нсмаксимальных подгрупп из классов Ашбахера конечных простых классических групп степени не менее 13 и возникающие в связи с этим новинки описаны в [23, § 3.3, таблицы 3.5.Н, 3.5.IJ, в случае нсмаксимальности подгруппы LDH мы используем эти описания.

Во первом параграфе доказывается теорема 1. Результаты этого параграфа опубликованы в |43, 44|.

Во втором параграфе доказывается теорема 2. Результаты этого параграфа опубликованы в [38].

В третьем параграфе доказывается теорема 3. В доказательстве теоремы 3 мы используем описание максимальных подгрупп в конечных знакопеременных и симметрических группах, полученное в |25]. Результаты этого параграфа

опубликованы в [37].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

В настоящей диссертации получена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса н конечных почти простых группах со знакопеременным цоколем или с простым классическим цоколем степени не менее 13. Учитывая ожидаемые результаты британских ученых о максимальных подгруппах конечных групп с простым классическим цоколем степени не более 12, настоящая работа завершает классификацию максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи и неизменное внимание. Я обязана своему научному руководителю гораздо большим, чем просто этой работой.

Автор также выражает благодарность Виктору Даниловичу Мазурову за полезные обсуждения результатов работы и ценные замечания, послужившие постановке задачи для почти простых групп со знакопеременным цоколем; Вячеславу Александровичу Белоногову, Виктору Ивановичу Зенкову, Евгению Петровичу Вдовицу, Даниле Олеговичу Ревииу. а также всем участникам алгебраического семинара ИММ УрО РАН за полезные замечания к статьям, легшим в основу настоящей диссертации.

Результаты работы получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00148 и 10-01-00324), программы Отделения математических наук РАН (проект 09-Т-1-1004), программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект 09-С-1-1007) и HAH Беларуси (проект 09-С-1-1009), гранта для молодых ученых УрО РАН (проект 80, 2010 г.) и гранта "Лучшие аспиранты РАН - 2010".

Список литературы

|1] Белоногое В. А. Представления и их характеры в теории конечных групп. Свердловск: УрО АН СССР, 1000.

[2| Боровик А. В. Строение конечных подгрупп простых алгебраических групп /'/ Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 3. С. 249-279.

[3j Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.

[4] Зснков В. И., Кондратьев А. С., Левчук В. М. Конечные группы, в которых нормализаторы пересечений пар силовеких 2-подгрунп имеют нечетные индексы // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13, № 2. С. 90-103.

[5] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи матем. наук. 1986. 'Г. 41, № 1. С. 57-96.

[6] Кондратьев А. С. Нормализаторы силовских 2-подгрупн в конечных простых группах /'/ Матсм. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 368-376.

[7] Кондратьев А. С. Группы и алгебры Ли. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.

[8] Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 5. С 594-623.

[9] Кондратьев А. С.. Мах нее А. А, Старостин А. И. Конечные группы // Алгебра. Топология. Геометрия. Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. 1986. Т. 24, С. 3-120.

|10j Aschbacher М. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. 1984. Vol. 76, no. 3. P. 469-514.

|11| Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

[12| Aschbacher M. Overgroups of Sylow subgroups in sporadic groups. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

[13] Aschbacher M., Scott L. Maximal subgroups of finite groups // J. Algebra. 1985. Vol. 92, no. 1. P. 44-80.

[14] Carter R. W. Simple groups of Lie type. London: Wiley, 1972.

[15] Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the finite simple groups // J. Algebra. 1964. Vol. 1, no. 1. P. 139-151.

[f6| Conway J., Curtis R., Norton S., Parker R., Wilson R. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

|17] Feit W., Thompson J. Solvability of groups of odd order // Pacific J. Math. 1963. Vol. 13. P. 775-1029.

|18| Kant,or W. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to the finite projective planes // J. Algebra. 1987. Vol. 106, no. 1. P. 15-45.

[19] Kleidman P. The subgroup structure of some finite simple groups. Ph. D. thesis. Cambridge: Cambridge University, 1986.

[20] Kleidman P. The maximal subgroup structure of the finite 8-dimensional orthogonal groups POj and of their automorphism groups // J. Algebra. 1987. Vol. 110, no. 1. P. 173 -242.

[21] Kleidman P. The maximal subgroups of the Steinberg triality groups sDi(q) and their automorphism groups // J. Algebra. 1988. Vol. 115, no. 1. P. 182-199.

[22] Kleidman P. The maximal subgroups of the, Chevallev groups Gs(g) with q odd, of the Ree groups 2Gi(q) and of their automorphism groups // J. Algebra. 1988. Vol. 117, no. 1. P. 30-71.

[23] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

[24] Kleidman P., Wilson R. The maximal subgroups of i?e(2) and Aut(Ec( 2)) 11 Proc. London Math. Soc. (3). 1990. V. 60, no. 2. P. 2G6-294.

[25] Liebeck M., Pracger C., Saxl J. A classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups // J. Algebra. 1987. Vol. Ill, no. 2. P. 365-383.

[26] Liebeck M., Praeger C., Saxl J. On the O'Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups // J. Austral. Math. Soc. (A). 1988. Vol. 44. P. 389-396.

|27] Liebeck M., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree // ,1. London Math. Soc. 1985. Vol. 31, no. 2. P. 250-264.

[28] Liebeck M., Seitz G. Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic // Geom. Dedicata. 1990. Vol. 3-5, no. 1-3. P. 353-387.

|29) Malle G. The maximal subgroups of 2F4(?2) // J. Algebra. 1991. Vol. 17, no. 1. P. 52-69.

[30] Norton S.. Wilson R. The maximal subgroups of F4(2) and its automorphism group // Comm. Algebra. 1989. Vol. 17, no. 11. P. 2809-2824.

1311 RcvinD. ()., VdovinE. P. On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups. /'/' J. Algebra. 2010. Vol. 324, no. 12. P. 3614-3652.

[32] Scott. L. Representations in characteristic p // Proc. Sympos. Pure Math. 1980. Vol. 37. P. 318-331.

[33] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. 1962. Vol. 75, но. 1. P. 10,5-145.

[34] Thompson J. Hall subgroups of the svmmetric groups // J. Comb. Theory (A). 1966. Vol. 1, по. 1. P. 271-279.

[35] Wilson R. The finif.e simple groupa. London: Springer-Verlag, 2009. Работы автора но теме диссертации

[36] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. С. 100-118.

[37] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах со знакопеременным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 182-184.

|38] Маыова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 137-145.

[30] Магме а Н. В. О максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Алгебра и ее приложения: Тез. межд. конф., Красноярск, 2007. С. 92-93.

[40] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. С. 28-30.

|41| Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах/'/ Теория групп: Тез. межд. школы-копф., Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 65-66.

[42] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса и конечных простых классических группах // Проблемы теоретической н прикладной математики: Труды 40-й Всерос. мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. С. 43-46.

[43] Маыова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым линейным или унитарным цоколем степени не менее 13 /У Алгебра и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2009. С. 80-82.

|44] Маслова Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым симплектическим цоколем степени не менее 13 // Тез. Межд. конф. "Мальцевские чтения", Новосибирск: ИМ и НГУ, 2009. С. 69.

1Г)

[45] Маслова Н. В. О максимальных подгруппах нечетного индекса в конечных группах с простым ортогональным цоколем // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тез. 41-й Вссрос. мол. конф., Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. С. 48-52 .

|46| Маглпва Н. В. Максимальные подгруппы нечетного индекса, к коночных группах с простым ортогональным цоколем размерности не менее 13 // Теория групп и ее приложения: Труды Межд. конф., Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2010.' С. 165-170.

[47] Маслова Н. В. Программная реализация классификации максимальных подгрупп нечетного индекса к конечных простых классических группах // Тез. Межд. школн-копф. "Алгоритмические проблемы теории групп и смежных областей", Новосибирск, 2010, http : / /math.nsc.ru/conf e.rence/isc20W/ ParticipantsTus.html

|48] Maslova N. V. Maximal subgroups of odd index in finite groups with alternating socle /'/ lutein, conf. "Groups and Their Actions - 2010", Abstracts, http://mat.polsl.pl/gToups/bedlewo-2010-nowel.pdf

Подписано в печать 21.12.2010 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 346 Копицентр «Размножайка» Г. Екатеринбург, ул. Вайнера 15, А.

1К

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Маслова, Наталья Владимировна

Введение

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.1. Предварительные сведения

§ 1.2. Теоретико-числовые определения, обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.3. Теоретико-групповые вспомогательные результаты

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах

§ 2.1.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых линейных группах

§ 2.2.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых унитарных группах

§ 2.3.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых симплекти-ческих группах

§ 2.4. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах нечетной степени

§ 2.5. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах четной степени

Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах

§ 3.1. Случай конечного простого линейного, унитарного или сим-плектического цоколя

§ 3.2. Случай конечного простого ортогонального цоколя

§ 3.3. Случай знакопеременного цоколя

Введение диссертация по математике, на тему "Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах"

В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева типа и 26 спорадических групп (см., например, [3]).

Пусть С? — конечная группа, р — простое число и [С|р — наибольшая степень числа р, делящая |С?]. Фундаментальная теорема Силова (1872 г.) утверждает, что группа С содержит подгруппу порядка, равного |С|Р, и все такие подгруппы сопряжены в С. Такие подгруппы называются силовскими р-подгруппами группы С. В 1963 г. Фейт и Томпсон |17| доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда. Как следствие получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частности, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.

Подгруппа конечной группы С, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы С и обозначается через ¿¡ос(Сг). Конечная группа С называется почти простой, если ее цоколь Ь есть неабелева простая группа, т.е. Ь < С < АЫ(Ь) при отождествлении Ь с 1пп(Ь).

Максимальные подгруппы играю']' большую роль в теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых групп (см. [5]).

Пусть С одна из групп Ап или Зп. действующих естественно на множестве I = {1,. . ,п}, где п > 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О'Нэна-Скотта [32] у тверждает, что для любой подгруппы Н из С, не содержащей Ап, либо Н содержится в некотором члене определенного семейства Л{С) подгрупп из О (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо Н принадлежит множеству 5 всех почти простых подгрупп из С, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13] и М. Либека, Ч. Прэ-гер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была иснользована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в С: если II е А(С) и то либо Н максимальна в АпН, либо Н < К < АпН, где (Н, К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из максимальны в

Пусть Ь — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем Р^ порядка (/, где д — степень простого числа р. Пусть X = РГЬ(У) — полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая Ь. Тогда Ь < X < АиЬ(Ь), причем X = АиЬ(Ь), за исключением случаев, когда Ь = Р5ЬП((?), Р8щ(д) (д четно) или РГ^ (</). В случае, когда Ь < С < X, М. Ашбахер [10] определил большое семейство С(С) естественных геометрически определенных подгрупп группы С, которое было разбито им па восемь классов Сг(С) (1 < г < 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если Ь < (3 < X, то для любой подгруппы II из С, не содержащей Ь, либо Н содержится в некотором члене семейства С (С), либо Н е ¿>, где 5 — множество всех почти простых подгрупп К из С таких, что (проективное) представление подгруппы яос(К) на V абсолютно неприводи-мо и не реализуется над собственным подполом поля Рч. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда Ь < (7 < Аи1{Ь) и С % X. Для групп Ь = Р8Ьп{д) или Р5/;4((7) (д четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клейдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах С с цоколем, изоморфным Р^8ь(д). П. Клейдман и М. Либек |23|, используя ККПГ, дли каждой почти простой классической группы С определили: теоретико-групповое строение каждого члена семейства С (С): сопряженность в С членов семейства С(С)\ при степени ,чос((7), большей 12, максимальные элементы семейства С (С) и для немаксимальных элементов Н Е С{С) их максимальные надгруппы в (?.

Изучением максимальных подгрупп в конечных простых классических группах малых степеней занимались многие авторы (см. обзор А. С. Кондратьева но подгруппам конечных групп Шевалле [5]).

Описание всех максимальных подгрупп конечных групп с простым классическим цоколем степени не выше 12 было анонсировано П. Клейдмапом (см. [23, теор. 1.2.2]), список максимальных подгрупп конечных простых классических групп степени не выше И был приведен Клейдманом в его докторской диссертации (см. |19|), такой список еегь и для конечных простых классических групп степени 12, но он явно требует корректировки. Результаты Клейдмана так и не были полностью опубликованы и нуждаются в проверке. Сейчас группа британских ученых иод руководством Д. Холта заканчивает ревичшо результатов Клейдмана. В скором времени они планируют выпустить посвященную этому вопросу книгу. Поэтому в настоящей работе мы, в основном, будем рассматривать классические группы степени не менее 13.

Для некоторых исключительных групп лиева типа, таких как Сг{(¡),

2С?2((?); ^ОДд), "^(д)', ^(2), Еъ{2) известен полный список их максимальных подгрупп (см. |5,1С, 21, 22, 24, 29, 30, 33|). В общем случае исследование теоретико-групповой структуры исключительных групп лиева типа продолжается. Так, в работах А. В. Боровика [2], М. Либека и Г. Зсйца [28] доказан аналог теоремы Ашбахера для исключительных групп лиева тина.

Сотни работ посвящены результатам о конечных неразрешимых группах, связанным с их подгруппами нечетного индекса или, другими словами, подгруппами, содержащими силовскую 2-подгруппу (см., например, [4,6,8,9,15]). Такими иод-группами являются сами силовские 2-подгруппы, централизаторы инволюций из центра некоторой силовской 2-подгруппы и, более общо, нормализаторы пееди-пичных 2-подгрупп, нормальных в некоторой силовской 2-подгруппе, и т.д. Приведенные примеры подгрупп играют основополагающую роль в классификация конечных простых групп.

М. Либском и Я. Сакслом в [27] и независимо В. Кантором в [18| был получен одни из самых сильных результатов последних лет в теории конечных групп подстановок, а именно, было дано описание конечных примитивных групп подстановок нечетной степени. Это описание во многом сводится к изучению максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым спорадическим цоколем известны (см. |12ДС|). Для каждой конечной почти простой группы G, цоколь которой есть знакопеременная группа или группа лиева типа, в [18,27] приведены типы тех подгрупп, которые могут являться максимальными подгруппами нечетного индекса в G. Однако в случае, когда цоколь группы G классический или знакопеременный, не каждая подгруппа указанного типа является максимальной подгруппой нечетного индекса в группе G. Так что классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах оставалась незавершенной.

Если цоколь L конечной группы G является конечной простой классической группой, то подгруппы L П Н, соответствующие подгруппам Н, возникающим в теореме Либека-Саксла-Кантора (см. гл. 1, §1), как правило, содержатся в классах Ашбахсра С\, С<>, группы L. Подгруппы нечетного индекса в знакопеременных и симметрических группах, возникающие в теореме Либека-Саксла-Кан тора, за несколькими исключениями, интрапзитивны или импримитивны.

В теореме Либека-Саксла-Кантора если характеристика поля четна и Н — максимальная подгруппа нечетного индекса в такой группе G, то L П Н — параболическая подгруппа в soc(G) (см. [18,27]). Параболические подгруппы конечных простых классических групп хорошо изучены в терминах групп лиева типа (см. |5[). Поэтому для классических групп мы можем рассматривать 'только случай нечетной характеристики поля.

В теореме Либека-Саксла-Кантора в случае классического цоколя L также возможен случай, когда L П Я = L, но для описания всех таких подгрупп Н достаточно рассмотреть группу Out(L) , которая хорошо изучена (см., например, [14]), поэтому далее можно предполагать, что Lfl Н < L.

В настоящий диссертации завершена классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований теоретико-групповой структуры конечных почти простых групп. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах, полученная автором в [36], уже нашла применение при вычислении числа классов сопряженности холловых подгрупп в конечных почти простых группах |31|.

Основными методами исследования в настоящей диссертации являются методы теории групп (теория конечных групп и теория классических групп) и элементы ■теории чисел.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [36-50].

Результаты диссертации в период с 2007 по 2010 год были представлены на следующих конференциях: Международных алгебраических конференциях "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007 и Нальчик, 2009), Международных пгколах-копферепциях по теории групп (Челябинск, 2008 и Нальчик, 2010), Международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008 и 2009), Международной конференции " Группы Сент-Эндрюс - 2009" (Великобритания, г. Бат, 2009), Международной школс-копферепции "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей" (Новосибирск, 2010), Международной конференции "Группы и их действия - 2010" (Польша, г. Бедлево, 2010), 39 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008), 40 и 41 Всероссийских молодежных конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 и 2010), см. [40-50].

Результаты работы докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН и НГУ (Новосибирск, 2009), на городском алгебраическом семинаре "Алгебраические системы" (Екатеринбург, 2008 и 2009) и па алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008 - 2010).

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 50 наименований. Работа изложена на 63 страницах. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Основные результаты диссертации сформулированы в виде теорем 1-3. Вспомогательные утверждения (леммы) имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — помер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Более важные утверждения сформулированы в виде предложений. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — помер предложения в главе.