Бипримарные подгруппы конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины

УДК 512.542

- - - л 1

2 ч идр 1М7

Монахов Виктор Степанович БИПРИМАРНЫЕ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Гомель, 1997 г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Казарин Лев Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор Мазуров Виктор Данилович доктор физико-математических наук Черников Николай Сергеевич

Оппонирующая организация - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " О "/У/7/6 С А л/} 1997 года в часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 в Гомельском государственном университете имени Ф.Скорины по адресу: 246699 г. Гомель, ул. Советская, 104.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины

Автореферат разослан

"Л <реЬ/ЦлЯ\991 года.

И.о. ученого секретаря

совета по защите диссертаций докто

физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Бипримарные группы, т.е. конечные группы порядка р\]Ь, где р и q - различные простые числа, находятся в поле зрения алгебраистов на всем протяжении развития теории групп. Еще на рубеже 20 века в работах Гёльдера, Миллера, Фробениуса рассматривались группы порядка рачь при малых значениях а и Ь. В 1904 г. Бернсайд [1] установил разрешимость бипри-марных групп, а через год он опубликовал вторую статью [2] о би- : примарных группах, в которой сделана попытка конкретизировать порядки нормальных подгрупп.

В 1947 г. Д.К.Фаддеев [3] рассмотрел структуру групп порядка р1^ и показал, что при фиксированном п существует лишь конечное число групп порядка вида без нормальных неединичных сплон-ских подгрупп. В этой же работе он поставил задачу о распространении полученного результата на произвольные конечные разрешимые . группы, которую в 1969 г. решил ДА.Шеметков [4]. В частности, из теоремы Л.А.Шеметкова следует, что при фиксированных а и Ь существует лишь конечное число неметанильпотентных групп порядка вида раяъ.

Стандартное классическое доказательство разрешимости би-примарных групп использует теорию характеров и вытекает из теоремы о непростоте конечной группы, обладающей классом сопряженных элементов, порядок которого равен степени простого числа. В 1990 г. Л.С.Казарин [5] показал, что такой класс сопряженных элементов порождает разрешимую подгруппу. Без использования теории характеров разрешимость бипримарных групп установлена в работах Томпсона, Гольдшмидта, Мацуямы, Бендера, см. [6, с.250-256].

К бипримарным группам относятся и группы Шмидта. Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Начало изучению таких групп положила работа О.Ю.Шмидта [7] 1924 г. Определяющие соотношения и универсальные накрывающие групп Шмидта найдены Ю.А.Гольфандом [8], а описание нормальных силовских подгрупп получили В.Д.Мазуров, С.А.Сыскин и А.Х.Жургов [9,10].

Возможности больших приложений групп Шмидта впервые обсуждались в работе С.А.Чунихина 1929 г. [11], обратившего внима-

ние на то, что каждая конечная ненильпотеитная группа обладает г крайней мере одной подгруппой Шмидта. Он обнаружил, что шми; товские подгруппы могут быть применены для нахождения призн; ков нильпотентности и обобщенной нильпотентности, а также дл нахождения ненильпотентных подгрупп у конечных групп. Таким о( разом, строение конечной группы тесно связано с наличием у нее то или иной системы шмидтовских подгрупп. На свойствах групп Шмидта основывается также доказательство классической теорем; Виландта о вложении подгрупп в конечной группе с нильпотентно холловской подгруппой. Обзор результатов этого направления, пол^ ченных к началу 70-х годов, имеется в статье Л.А.Шеметкова [12].

В последние два десятилетия развитие структурной теории кс нечных групп в значительной, степени стимулировалось результате ми, связанными с бипримарными группами. Достаточно вспомнит теорему В.Д.Мазурова [13] о конечных группах с единичной ^ длиной разрешимых подгрупп, из которой вытекает [9] описани простых групп с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелсво силовской подгруппе из группы Шмидта; результат Глаубермана [< с.273] о Б^свободных группах, из которого следует описание просты 3'-групп; решение по модулю классификации конечных просты групп Арадом, Уордом [14] и Гроссом [15] проблем Ф.Холла 1957 г. разрешимости конечной группы с {р^}-холловскими подгруппам для всех р и я и сопряженности холловских подгрупп нечетного пс рядка в произвольных конечных группах; теоретико-групповое докг зательство р\}Ъ-теоремы Бернсайда и др. Бипримарные группы и, частности, группы Шмидта, находят широкие приложения также теории формаций и в теории классов Фиттинга.

Связь работы с крупными научными программами и темам} Диссертация выполнена в рамках госбюджетной темы Гомельског государственного университета им. Ф.Скорины "Развитие формащ онных методов теории групп и других алгебраических систем", вхс дящей в перечень важнейших по Республике Беларусь и тем1 "Структурная теория формаций и других классов алгебр", финансы руемой Министерством образования и науки Республики Беларусь.

Цель и задачи исследования. Развитие методов исследовани структурной теории конечных групп с помощью бипримарных по/

групп и, в частности, подгрупп Шмидта. Для этого решаются следующие задачи:

- установление точных нижних границ порядков нормальных подгрупп бипримарных групп;

- нахождение новой информации о существовании подгрупп Шмидта и бипримарных подгрупп в произвольных конечных группах;

- разработка приложений бипримарных групп и, в частности, групп Шмидта к исследованию нормального строения конечных ругтп с заданной факторизацией и к перечислению конечных групп с таборами подгрупп ограниченного индекса.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми, впервые полученные автором.

Практическая значимость полученных результатов. Диссертация 4меет теоретическое значение, вошедшие в нее результаты и разработанные методы исследования могут быть использованы при описа-ши структурных свойств различных классов конечных групп. Отчасти результаты диссертации уже использовались в работах других авторов, см., например, [16-19].

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Обнаружена и исправлена ошибка в доказательстве теоремы эернсайда 1905 г. о порядках нормальных подгрупп бипримарных рупп. Установлено, что за тремя исключениями в группах порядка

при ра > с]!> существует неединичная нормальная р-подгруппа. Зсе исключения описаны, а также указаны начальные значения чисел 1 и Ь, с которых возникают исключения.

2. Получена новая информация о существовании подгрупп Имидта:

- установлено, что в любой конечной группе, за исключением разрешимых групп 2-длины < 2, существует недополняемая сверхразрешимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

- установлено, что за некоторыми исключениями, которые пол-юстью описаны, в любой конечной группе существует несверхраз-решимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

- установлено, что за некоторыми исключениями, которые пол-тстьго описаны, в любой конечной неединичной группе с тривиаль-шм разрешимым радикалом каждое добавление к любой подгруппе

Шмидта ненилыютентно и не группа Шмидта (решение проблем Л.А.Шеметкова 1973 г.).

3. Разработаны приложения групп Шмидта к описанию классс конечных групп с наборами подгрупп заданного индекса. В части сти, перечислены конечные группы со сверхразрешимыми подгру пами непримарного или четного индекса.

4. Разработана методика исследования строения конечных фа торизуемых групп с заданными сомножителями. В частности:

- решена проблема Хупперта-Скотта 1957 г. о нормально строении конечной факторнзуемой группы, у которой множители с держат циклические подгруппы индекса < 2;

- установлено нормальное строение конечных групп, фактор: зуемых разрешимой и сверхразрешимой подгруппами нечетных и дексов;

- описано нормальное строение конечной неразрешимой групп) факторизуемой разрешимой подгруппой и циклической.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации нолуч ны автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследоваш автора, включенные в диссертацию, неоднократно докладывались ) Всесоюзных и Международных алгебраических конференциях ( К шинев, 1971 г.; Свердловск, 1973 г.; Гомель, 1975. г.; Новосибирс 1977 г.; Красноярск, 1979 г.; Ленинград, 1981 г.; Минск, 1983 г.; К шинев, 1985 г.; Львов, 1987 г.; Новосибирск, 1989 г.; Барнаул, 1991 1 Красноярск, 1993 г.; Казань, 1994 г.), на Всесоюзных симпозиумах 1 теории групп (Краснодар, 1976 г.; Черкассы, 1978 г.; Шушенскс 1980 г.; Сумы, 1982 г.; Москва, 1984 г.; Гомель, 1986 г.; Кунгурк 1989 г.), на VI и VII конференциях математиков Беларуси (Гродн 1992 г.; Минск, 1996 г.), на Международных математических конф ренциях, посвященных 25-летию Гомельского госуниверситета и 9 летию академика С.А.Чунихина (Гомель, 1994 г., 1995 г.). Результат диссертации цитировались и применялись в работах других авторе см., например, [16-19].

Опубликованиость результатов. Все результаты диссертац) опубликованы автором в 1970 - 1996 гг.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введена и трех глав. Полный объем диссертации - 176 страниц, список .-пользованных источников -115 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации используются стандартные обозначения и опре-:ления. зафиксированные в монографиях Б.Хупперта [20]. .А.Шеметкова [21J и Д.Горенстейна [6]. Все рассматриваемые груп-л предполагаются конечными.

Первая глава диссертации посвящена нормальным подгруппам тримарных групп. Поскольку порядок бипримарной группы делит-i только на два различных простых числа, то вполне естественным ¡ляется вопрос о наличии нормальной р-под-группы для фиксиро-1нного простого р. В 1905 году Бернсайдом [2] сделана попытка додать, что в группе порядка paqb при ра > qb существует неединичная )рмальная р-подгруппа за двумя исключениями: р ~ 2, q - 2n + 1; р = - 1, q = 2. В такой формулировке этот результат приводится в неко-рых монографиях, см., например, [22, с. 323; 23, с. 19] и в некото-.гх статьях, см., например, [24].

В 1975 году автором было замечено, что в группе [Eä;]!!, яв-ющейся расширением элементарной абелевой 2-группы Еогз поряд-223 с помощью группы Н порядка 78 из GL(23,2), нет неединичных »рмальных 2-подгрупп и 223 > 78. Этот пример указывает на то, что в ореме Бернсайда имеется пробел. В первой главе диссертации этот юбел устраняется и доказывается следующая теорема.

1.2.1. Теорема. Пусть G - конечная группа порядка paqb, р и q -зличные простые числа. Если ра > qb, то либо G обладает характе-стической р-подгруппой порядка > paq'b, либо справедливо одно из едующих утверждений:

1) р - 2, q = 7, а > 23 и b > 8;

2) р = 2, q = 2n+ 1, b >2, причем а > 4, для q = 3 и а > 2n + 1 для >3;

3) р = 2П - 1, q -2, а>р + 1 и b> пр.

Теорема 1.2.1 не только устраняет пробел в работе Бернсайда, и указывает те начальные значения чисел а и Ь, с которых возни-ют исключения. В теореме 1.2.3 диссертации показано, что грани-

цы для значений а и Ь в возникающих исключениях являются точны ми и существуют группы, подтверждающие эти исключения. Кром этого, теорема 1.2.1 распространена на все разрешимые группы, см теорему 1.2.2 диссертации. В этой теореме мы рассматриваем произ вольные разрешимые группы порядка раш, где р не делит т и ра > гг и находим условия существования нормальной неединичной р подгруппы.

Теорема 1.2.1 опубликована автором в 1975 г., [9]. В 1976 г. поя вилась работа [25], в которой также устранялся пробел в теорем> Бернсайда, однако по сравнению с нашей теоремой 1.2.1 там не нижних границ показателей, с которых возникают исключения.

При исследовании нормального строения конечных групп до вольно часто возникает ситуация, когда некоторая силовская q подгруппа порядка конечной группы в является минимально! нормальной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. I этом случае силовская р-подгруппа из в для р Ф ц изоморфно вклады вается в полную линейную группу вЬ(Ь^) и возникает необходи мость сравнить порядок силовской р-подгруппы из ОЬ(Ь,ц) с чистки qb. Такая ситуация складывается, например, при доказательстве тео ремы 1.2.1. Поэтому в первом разделе первой главы установлены ва значения чисел р, ч и Ь, при которых силовская р-подгруппа и ОЦЬ,ц) имеет порядок больший, чем см. теорему 1.1.1 диссерта ции.

Во второй главе рассматриваются вопросы существования под групп Шмидта заданного типа в конечных группах и развиваются ме тоды исследования строения конечных групп с помощью их подгруш Шмидта по отношению к таким понятиям, как сверхразрешимость дополняемость и факторизуемость. Напомним некоторые определе ния. Конечная группа с нормальной силовской р-подгруппой называ ется р-замкнутой. рс1-Группа - это группа, порядок которой делится н; простое число р. Добавлением к подгруппе А в конечной группе С называется такая подгруппа В, что АВ = в. Если, кроме того, АпВ = 1, то подгруппа В называется дополнением к подгруппе А. Если в ко нечной группе имеется дополнение к силовской р-подгруппе, то эт< дополнение называют р-дополнением. Конечная группа с нормаль ным р-дополнением называется р-нильпотентной группой.

В начале введения к своей монографии [26] С.Н.Черников отмечает: "При изучении групп большое значение имеет вопрос о существовании у них подгрупп с некоторыми указанными свойствами (или, говоря более точно, - вопрос о свойствах системы подгрупп в изучаемых группах). В связи с этим оказывается целесообразным исследовать особенности строения произвольной группы при условии, что она не имеет подгрупп с этими свойствами."

В разделе 2.1 диссертации эта идея С.Н.Черникова реализуется в конечных группах для системы подгрупп Шмидта относительно свойства сверхразрешимости.

Пусть 91 - формация всех нильпотентных групп. Для конечной группы G через M(G, 91) обозначим совокупность всех минимальных ненильпотентных подгрупп, т.е. подгрупп Шмидта. Введем два новых класса: ^ - {G € <8 | M(G, Щ ç tt}; § = {G е © | M(G, 31) ntt = 0}. Здесь © - класс всех конечных групп, U - класс всех сверхразрешимых групп. Класс Щ состоит из конечных групп, у которых все подгруппы Шмидта сверхразрешимы, ав§ собраны все конечные группы с несверхразрешимыми подгруппами Шмидта. Ясно, что Щ

В разделе 2.1 полностью описано строение групп из классов и ф. Оказалось, что группы из класса fy дисперсивны по Ope, в частности, 2-нильпотентны, а группы из класса 2-замкнуты. Кроме того, и ф - локальные формации, являющиеся и классами Фиттинга. Получены критерии принадлежности произвольной конечной группы классу Щ или В качестве следствий отсюда вытекает описание строения конечных групп, у которых либо все бипримарные подгруппы сверхразрешимы, либо каждая минимальная несверхразрешимая подгруппа не бипримарна, либо все сверхразрешимые подгруппы нильпотентны. Результаты этого раздела применяются в дальнейших разделах диссертации.

В разделе 2.2 получена новая информация о существовании подгрупп Шмидта четного порядка в конечных группах. Заметим, что кроме наблюдения С.А.Чунихина [11] до настоящего времени были известны только два результата о существовании подгрупп Шмидта

заданного типа. Так, в 1951 г. Н.Ито [21, с. 192] заметил, что из теоремы Фробениуса о р-дополнеяиях [20, с.436] следует, что не р-нильпотентная группа обладает р-замкнутой pd-иодгруппой Шмидта В 1966 г. Я.Г.Беркович [27, с.34] доказал, что не 2-замкнутая группе имеет 2-нйльпотентную 2с1-подгруппу Шмидта. Для любого нечетного р аналог теоремы Я.Г.Берковича неверен. Для р = 3 контрпримером служит простая группа SL(2,2n) при любом нечетном п, а для р > 5 - группа PSL(2,p). В другой своей работе в 1968 г. Я.Г.Беркович [28] опубликовал теорему, из которой следует разрешимость конечной группы с дополняемыми подгруппами Шмидта. Этот результат многократно применялся различными авторами при изучении разнообразных классов конечных групп, см., например, [29,30]. В разделе 2.2 диссертации доказывается более общая теорема.

2.2.4. Теорема. В любой конечной группе, за исключением разрешимых групп 2-длины < 2, существует недополняемая сверхразрешимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса.

Отметим, что оценка 2-длины точная, на что указывает пример симметрической группы степени 4, в которой дополняемы все подгруппы Шмидта.

Решающую роль в доказательстве этой теоремы играет лемма 2.2.3 автора о непростоте конечной группы G = АВ при условии, что А - собственная подгруппа, В - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой иАпВ = 1.В[31] В.Д.Мазуров заметил, что условие АГ)В = 1 можно ослабить до нечетности порядка АПВ.

Аналог теоремы 2.2.4 для несверхразрешимых подгрупп Шмидта неверен. Более того, имеется ряд примеров конечных групп, в которых нет несверхразрешимых подгрупп Шмидта четного порядка и четного индекса. Все такие конечные группы перечислены в теореме

2.2.19 диссертации. Для ее изложения обозначим через 2U класс, состоящий из следующих групп G:

1) G - 2-группа;

2) G/Z(G) - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка 2П, где п - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) G е {[PSL(2,pm)]Zt, [SL(2,pm)]Zt, где рш = ±3 (mod 8), t делит ш; SL(2,2P), р - простое}.

2.2.19. Теорема. В произвольной конечной группе G либо существует несверхразрешимая подгруппа Шмидта четного порядка и

четного индекса, либо G/0(G) e2Jt.

Здесь 0(G) - наибольшая нормальная в G подгруппа нечетного порядка. Запись [А]В означает полупрямое произведение нормальной подгруппы А и подгруппы В.

Из теоремы 2.2.19 вытекает описание конечных .групп с .2-нильпотентными бипримарными подгруппами четного индекса, в частности, со сверхразрешимыми бипримарными подгруппами четного индекса.

Следствие. Пусть G - конечная группа и 0(G) = 1. Тогда и только тогда в группе G все бипримарные подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда либо Ge{PSL(2,p), SL(2,p), р = ±3 (mod 8); SL(2,2P), р - простое}, либо G - разрешимая группа из пунктов 1-2

класса Ш.

Пусть Р - элементарная абелева группа порядка 211. В группе ее автоморфизмов GL(11,2) существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа Н порядка 2П - 1 = 23-89, см. [20], с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе 2Н в пункте 2 группа Фробениуса не обязана быть бипримарной. "

Раздел 2.3 носит вспомогательный характер. Здесь собрана информация о конечных факторизуемых группах, полученная автором, которая будет использоваться в дальнейшем. Напомним, что конечная группа G называется факгоризуемой, если в ней существуют собственные подгруппы А и В такие, что G = АВ. Если, кроме того, подгруппы А и В разрешимы, то G назовем s-факторизуемой.

Приведем некоторые результаты раздела 2.3, которые использовались при изучении групп с факторизацией. В леммах 2.3.6 и 2.3.7 показывается, что среди неразрешимых знакопеременных, симметрических, спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь А5, S5 и Мп являются s-факторизуемыми. В лемме 2.3.10 доказывается разрешимость конечной группы G = АВ при условии, что подгруппы А и В разрешимы и их индексы в G есть степени одного простого числа. В теоремах 2.3.17 и 2.3.21 получены признаки разрешимости факто-ризуемой группы с разложимыми факторами. В разделе 2.3 содер-

жится также информация о нормальных подгруппах конечных я обособленных групп.

На IV Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Новосибирск 1973 г.) Л.АШеметков выдвинул следующую задачу: описать конеч ные простые группы, являющиеся произведением двух групп, у кото рых все собственные подгруппы нильпотентны. В силу теоремы Ви ландта-Кегеля о разрешимости конечной группой, факторизуемо! нильпотентными подгруппами, один из факторов ненильпотентен 1 является группой Шмидта. Поэтому в задаче Л.А.Шеметкова воз можны лишь два случая: один из факторов - группа Шмидта, второй нильпотентная группа; оба фактора - группы Шмидта. Решению за дачи Л.А.Шеметкова посвящены разделы 2.4 и 2.5 диссертации.

В разделе 2.4 исследуются конечные группы, факторизуемьк нильпотентной подгруппой и подгруппой Шмидта. Вначале рассмат ривается произведение группы Шмидта и примариой группы, затер* описываются неразрешимые конечные группы, разложимые в произ ведение подгруппы Шмидта и 2-разложимой подгруппы взаимш простых порядков. Отсюда выводятся признаки разрешимости такю групп в зависимости от порядка ненормальной в подгруппе Шмидт; силовской подгруппы. В теореме 2.4'.8 описываются неразрешимьн группы, факторизуемые нильпотентной подгруппой и подгруппо! Шмидта. Эти результаты были опубликованы автором в 1974 году Спустя 12 лет Л.С.Казарин [16] доказал, что вместо фактора, являю щегося группой Шмидта, можно поставить группу с нильпотентног нормальной подгруппой простого индекса. Заключение теоремы 2.4.{ остается прежним.

В разделе 2.5 исследуется произведение двух подгрупп Шмидта Вначале рассматриваются разрешимые конечные группы с таког факторизацией и устанавливается их нормальное строение. В лемме 2.5.6 доказывается, что если в -= АВ - простая группа, А и В - подгруппы Шмидта в в, то в = Р8Ц2,5) или Р8Ц2,11). Одновременно но другими методами, это утверждение получили В.Д.Мазуров в С.А.Сыскин [9]. В теореме 2.5.8 диссертации описываются неразрешимые конечные группы в = АВ при условии, что А и В - подгруппы Шмидта. Следующая теорема объединяет теоремы 2.4.8 и 2.5.8.

2.5.9. Теорема. В произвольной конечной неединичной группе С с 8(0) = 1 каждое добавление к любой подгруппе Шмидта ненильпо-

тентно и не является группой Шмидта. Исключения составляют лишь следующие группы: Р5Ц2,5), Р8Ц2,7), РОЦ2,7), Р8Ц2,11), 8Ц2,2П) и (2п-1) - простое число, АЩ 8Ц2,8).

Здесь 8(С) - разрешимый радикал группы О.

Из этой теоремы вытекает ответ на отмечавшийся выше вопрос Л.А.Шеметкова: только группы Р8Ц2, р), р = 5, 7, 11 и 8Ц2,2П), 2п-1 -простое число являются произведением двух групп, у которых все собственные подгруппы нильпотентны.

В третьей главе применяются результаты главы 2 и разработан- . ные там методы для исследования строения конечных групп с наборами подгрупп заданного индекса. В разделе 3.1 в качестве набора подгрупп фигурируют сверхразрешимые подгруппы, а их индексы ограничиваются непримарностью. В разделах 3.3 и 3.4 исследуется строение факторизуемых групп с ограничениями на индексы подгрупп из факторов.

Строение минимальных несверхразрешимых групп, т.е. конечных несверхразрешимых групп, у которых все собственные подгруппы сверхразрешимы, установили Б.Хупперт в 1954 г. и К.Дерк в 1966 " . г., см. [21], с. 245. В 1975 году С.С.Левищенко [29], решая задачу Сергея Николаевича Черникова, описал конечные группы, у которых все подгруппы непримарного индекса нильпотентны. В частности, такие группы оказались всегда разрешимыми.

В разделе 3.1 диссертации изучаются конечные группы, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Доказываются две основные теоремы, описывающие строение таких конечных групп.

3.1.1. Теорема. Конечная неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразремшмы, изоморфна одной из следующих групп:

1) Р8Ц2,5) х К или 8Ц2,5) х К, где К - 5-группа;

2) 8Ь(2,8) х К, где К - 3-группа.

3.1.2. Теорема. Пусть в - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда Ст бипримарна и С/Р(0) - дисперсивная группа порядка где р > q. Далее, если 0Р(0) = 1, то 0/0ч(С) = и qd делит р - 1. Если Оч(С) = 1, то 0/0р(0) ~ - группа Шмидта и С> - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Решающую роль в доказательстве теоремы 3.1.1 сыграла теоре ма 2.5.9. Отметим, что разработанная здесь техника позволяет перечислить все неразрешимые не р-нильпотентные конечные группы, \ которых все подгруппы непримарного индекса р-нильпотентны. Не мы рассматриваем даже более общую ситуацию. Пусть ^ - некоторый класс конечных групп. Через М(|$г) обозначается совокупность минимальных не -групп, а через *уА - множество всех тех конечны? групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит Ясно, что ?уд - наследственный класс и М(<у) с Неразрешимые группы из описывает следующая теорема.

3.1.12. Теорема. Пусть класс замкнут относительно прямых произведений и М(^) и ^ разрешим. Если в конечной неразрешимой группе в е нет неединичных нормальных ^-подгрупп, то в изоморфна одной из следующих групп: 8Ь(2,2П) и 2П +1 - простое число или 9; АШ8Ц2,8); РБЦ2,р) или АтР8Ь(2,р) и р = 2П -1; Р8Ь(3,3).

Формации и нильпотентных и сверхразрешимых групп

удовлетворяют условиям этой теоремы. Но класс Э1А разрешим, а для

класса Цл из теоремы 3.1.12 получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, см. теорему 3.1.1. Однако, доказательство теоремы 3.1.1 не использует классификацию конечных простых групп, а доказательство теоремы 3.1.12 опирается на результат Гуральника [32] о простых группах с подгруппой примарного индекса, основанный на этой классификации. Другое обобщение теоремы 3.1.1, но уже с помощью понятия добавления, дает теорема 3.1.13 диссертации, доказательство которой не использует классификацию конечных простых групп.

3.1.13. Теорема. В произвольной конечной неразрешимой группе существует несверхразрешимая подгруппа, каждое добавление к которой ненилыютентно. Исключения составляют лишь группы ЙЬ(2,5) х К и 8Ц2,2П) х К, где К - нильпотентная группа, а п и 2П - 1 - простые числа.

В разделе 3.2 диссертации изучаются конечные факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов и доказывается следующая теорема.

3.2.11. Теорема. Пусть конечная группа в = АВ, где А и В - подгруппы нечетных индексов. Если А разрешима, а коммутант подгруппы В 2-замкнут, то О разрешима и 2-длина Ь(О) < Ь(А)+ 1.

Оценка 2-длины точная, она достигается в группе 84 х К, где К -подгруппа нечетного порядка. Эта группа факторизуется подгруппой А=Р х К, где Р - силовская 2-подгруппа из и В = Бд. Отметим, что теорема 3.2.11 охватывает случай, когда В сверхразрешима.

Теорема 3.2.11 была опубликована автором [18] в 1984 году. В ее доказательстве не используется классификация конечных простых групп. В 1986 г. Л.С.Казарин [33] на основе классификации конечных простых групп перечислил все простые неабелевы композиционные факторы конечной группы в = АВ с разрешимыми подгруппами А и В.

В заключительном разделе диссертации методы изучения конечных групп, разработанные во второй главе, развиваются для исследования факторизуемых групп, у которых один из множителей либо циклический, либо является- подгруппой, близкой к циклической.

Еще в 1953 г. Б.Хупперт [20, с.724] установил сверхразрешимость конечной группы, разложимой в произведение двух циклических подгрупп. В 1983 г. Г.Хейнекен и Дж.Леннокс [34] показали, что это верно и для бесконечных групп. Нормальное строение конечных и бесконечных групп с такой факторизацией исследовал Н.СЛерников [35], см. также [36, с.160]. Но если отказаться от цикличности хотя бы одного из факторов, то сразу возникают несверх-разрешимые и даже неразрешимые группы.

В разделе 3.3 рассматривается произведение разрешимой группы и циклической. Доказывается

3.3.24. Теорема. Пусть конечная группа в является произведением разрешимой подгруппы А и циклической подгруппы В и пусть 8(0) = 1. Тогда N < О < Аий И, где N - нормальная в в подгруппа, N = N1 х N2 х... х1ЧпиИ1 = Р8ЦЗ,3) или Р8Ц2,я) для подходящего я.

Следствие. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

В теореме 3.3.23 диссертации установлена сверхразрешимость внешней группы автоморфизмов простой конечной группы О = АВ,

при условии, что А - холловская собственная подгруппа, а В - цикли ческая прим арная подгруппа. Эта теорема обобщает теорему Виланд та [21], с. 120, о разрешимости внешней группы автоморфизмов про стой группы, содержащей подгруппу простого индекса.

В 1953 г. Б.Хупперт [37] начал исследовать строение фактори зуемой группы, у которой факторы содержат циклические подгруппь индекса 2, и установил разрешимость конечной группы, которая яв ляется произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот ре зультат, В.Скотт [38] получил в 1957 г. разрешимость конечной груп пы в = АВ, допустив в качестве множителей А и В ещё так называе мые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно из ложены в монографии [39, гл.13]. Диэдральные и дициклическш группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не ис черпывагот весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2 Следующая теорема решает задачу Хупперта-Скотта.

3.3.7. Теорема. Пусть конечная группа в = АВ, где А и В - груп пы с циклическими подгруппами индексов < 2. Тогда О разрешима нильпотентная длина п(О) < 4, 2-длина 12(0) < 2 и р-длина 1р(0) < " для любого простого нечетного р.

В качестве следствия отсюда выводится сверхразрешимость ко печной группы й = АВ при условии, что А и В содержат циклически! подгруппы нечетных порядков и индексов < 2, см. теорему 3.3.10.

ЛИТЕРАТУРА

1. Burnside W. On groups of order paqb // Proe. London Mat. Soc. -1904.-Vol. 2. - P.388-392.

2. Burnside W. On groups of order paqb (Seconds paper) // Proc. London Mat. Soc. - 1905. - Vol.2. - P.432-437.

3. Фаддеев Д.К. О структуре групп порядка pnq // Док. АН СССР.

- 1947. - Т.58, № 4. - С.533-534.

4. Шеметков JI.A. К теореме Д.К.Фаддеева о конечных разрешимых группах // Матем. заметки. - 1969. - Т.5, № 6. - С.665-668.

5. Казарин J1.C. О ра-лемме Бернсайда // Матем. заметки. - 1990.

- Т.48, №2. - С.45-49

6. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир, 1985. - 352 с.

7. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем сб. - 1924. - Т.31. - С.366-372.

8. Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // ДАН СССР. - 1948. - Т.60, № 8. - С. 1313-1315.

9. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, № 2.-С.217-222.

10. Журтов А.Х., Сыскин С.А. О группах Шмидта// Сиб. матем. ж. - 1987. - Т.26, № 2. - С.74-78.

11. Чунихин С.А. О специальных группах //Матем. сб. - 1929. -Т.4,№3.-С.512-530.

12. Шеметков J1.A. О.Ю.Шмидт и конечные группы // Укр. матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5 - С. 585-590.

13. Мазуров В.Д. Конечные группы с единичной 2-длиной разрешимых подгрупп // Алгебра и логика. - 1972. - Т.11, № 4. - С. 438 -469.

14. Arad Z., Ward М. New criteria for the solvability of finite groups // J.Algebra. - 1982. - Vol.77, № 1. - P. 234-246.

15. Gross F. On a conjecture of Philip Hall // Proc.London Math. Soc. - 1986. - Vol.52, №3.-P. 464-494.

16. Казарин Jl.C. Конечные группы с факторизацией: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. паук: 01.01.06 / Ленинградский госуниверситет. -Л., 1986. - 16 с.

17. Тютянов В.Н. Факторизации конечных групп с заданным: ограничениями на сомножители: Автореф. дис. к-та физ.-мат. наук 01.01.06 / Ленинградский госуниверситет. - JL, 1989. - 10 с.

18. Bialostocki A. On the other paqp theorem of Burnside // Proc Edinburgh Math. Soc. - 1987. - Vol. 30. - P.41-49.

19. Finkel D. On the solvability of certain factotizable groups И // . . Algebra. - 1979. - Vol. 57, №2. - P.271-278.

20. Huppert B. Endliche Gruppen, 1. - Berlin - Heidelberg - Ne\ York: Springer, 1967. - 793 p.

21. Шеметков Jl.A. Формации конечных групп. - М.: 1 lay кг .1978.-272 с.

22. Burnside W. Theory of Groups of Finite Order. Second edition. Cambridge: University Press, 1911.

23. Huppert В., Blackburn N. Finite groups, III. - Berlin - Heidelber - New York: Springer, 1982. - 454 p.

24. Glauberman G. On Burnside's other p"qp theorem // Pacific . Math. - 1975. - Vol. 56, № 2. - P. 469-476.

25. Coates M., Dwan M., Rose J. A note on Burnside's other paq theorem // J.London Math. Soc. - 1976. - Vol. 14, № 2. - 160- 166.

26. Черников C.H. Группы с заданными свойствами систем] подгрупп. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

27. Беркович Я.Г. Теорема о ненильпотентных разрешимых по; группах конечной группы // Сб. Конечные группы. - Минск.: Наука техника, 1966. - С.24-29.

28. Беркович Я.Г. Строение группы и строение ее подгрупп ДАН СССР. - 1968. - Т. 179, № 1. - С.13-16.

29. Левищснко С.С. Конечные группы с нильпотентными по; группами непримарного индекса // Сб. Некоторые вопросы теори групп. - Киев: Ин-т мат-ки АН УССР, 1975. - С. 173-196.

30. Кондратьев А.С. Конечные непримарные группы с допод няемыми бипримарными подгруппами четного порядка // Матем. зг писки. - 1975. - Т.9, № 3. - С. 44-52.

31. Мазуров В.Д. Замечания о конечных группах // Рукопись де1 в ВИНИТИ 27.02.1974: 404-74 ДЕП. - 7 С.

32. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group J. Algebra. - 1983. - Vol.81, № 2. - P. 304-311.

33. Казарин JI.C. О группах, представимых в виде произведения двух разрешимых подгрупп // Commun. Algebra. - 1986. - Vol. 14, № 6. -P. 1001-1066.

34. Heineken H., Lennox J. A note on products of abelian groups // Arch. Math. - 1983. - Vol. 41, № 6. - P. 498-501.

35. Черников H.C. Факторизация бесконечных групп при условиях конечности // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1985, № 5. - С.26-29.

36. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. - Киев: Наукова думка, 1987. - 206 с.

37. Huppert В. Uber die Auflösbarkeit faktorisierbarer Gruppen // Math.Z. - 1953. - Vol.59. - P.l-7.

38. Scott W.R. Solwable factorizable groups // 111. J. Math. - 1957. -Vol. 1,№3.-P. 389-394.

39. Scott W.R. Group theory. - New York: Englewood Cliffs, 1964. -479 p.

выводы

В диссертации получены следующие результаты. Обнаружена исправлена ошибка в доказательстве теоремы Бернсайда 1905 года порядках нормальных подгрупп бипримарных групп. Установлен! что за тремя исключениями в группах порядка paqb при ра > qb сущ< ствует неединичная нормальная р-подгруппа. Все исключения опис( ны, а также указаны начальные значения чисел а и Ь, с которых во: никает исключения. Теорема Бернсайда распространена на все к< нечные разрешимые группы.

Получена новая информация о существовании подгрупп Шмщ

та:

- установлено, что в любой конечной группе, за исключение разрешимых групп 2-длины < 2, существует недополняемая свер; разрешимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

- установлено, что за некоторыми исключениями, которые noj ностыо описаны, в любой конечной группе существует несверхра решимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

- установлено, что за некоторыми исключениями, которые noi ностыо описаны, в любой конечной неединичной группе с тривиал; ным разрешимым радикалом каждое добавление к любой подгрупг Шмидта ненильпотентно и не группа Шмидта (решение проблем Л.АШеметкова 1973 г.).

Разработаны приложения групп Шмидта к описанию классс конечных групп с наборами подгрупп заданного индекса. В част» сти, перечислены конечные группы со сверхразрешимыми подгру] пами непримарного или четного индекса.

Решена проблема Хупперта-Скотта 1957 г. о нормальном строеш конечной факгоризуемой группы, у которой множители содерж; циклические подгруппы индекса < 2. Доказано, что такие групп разрешимы, их нилыютентная длина не более 4, 2-длина не более 2, р-длина не более 1 для всех нечетных р. Установлена свсрхразрсш мость конечной группы G = АВ при условии, что А и В содерж; циклические подгруппы нечетных порядков и индексов < 2.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Монахов B.C. Некоторые признаки разрешимости групп // ДАН БССР. - 1970. - Т. 14, № И. - С. 986-988.

2. Монахов B.C. К двум теоремам Ведерникова // Докл. АН БССР. - 1971. - Т. 15, № 10. - С. 877-880.

3. Монахов В.С: О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. заметки. - 1972. - Т. 11. № 2. - С. : 183-190.

4. Монахов B.C. О простых факторизуемых группах // Докл. АН БССР. - 1974. - Т.18, № 7. - С. 584-585.

5. Монахов B.C. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса 2 // Матем. заметки. -1974. - Т.16, № 2. - С.285-295.

6. Монахов B.C. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта // Докл. АН БССР - 1974. - Т. 18, № 10. - С.871-874.

7. Монахов B.C. Произведение двух групп Шмидта // Докл. АН БССР - 1975. - Т.19, № 1. - С.84-11.

8. Монахов B.C. Произведение конечных групп, близких к ниль-потентным // Сб. Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. -С.70-100.

9. Монахов B.C. Инвариантные подгруппы бипримарных групп //Матем. заметки. - 1975. - Т. 18, № 6. - С.877-886.

10. Монахов B.C. О произведении двух групп с нильпотентными подгруппами индекса, не превосходящего 2 // Алгебра и логика. -1977.-Т.16, № 1.-С. 46-62.

11. Монахов B.C. О порядках силовскйх подгрупп общей линейной группы // Алгебра и логика. - 1978. - Т.17, № 1. - С. 79-85.

12. Монахов B.C. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп // Матем. заметки. - 1978. - Т.23. № 5. - С. 641-649.

13. Монахов B.C. Произведение сверхразрешимой и циклической или примарной групп И Сб. Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1978.- С. 50-63.

14. Монахов B.C. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI Всес.симпоз. по теории групп. - Киев: Наукова думка, 1980.-С. 188-195.

15. Монахов B.C. О триады факторизуемых группах // Весщ АН БССР. Сер. ф!'з.-мат.навук. - 1981, №6. - С. 18-23.

16. Монахов B.C. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами // Матем. заметки. - 1983. - Т.34, №3. - С. 337340.

17. Монахов B.C. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов .// Весщ АН БССР. Сер. фгз.-мат.навук. -

1983, №4.-С. 108.

18. Монахов B.C. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов // Сб. Исследование нормального и под-группового строения конечных групп. - Минск: Наука и техника,

1984.-С. 105-111.

19. Монахов B.C. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов // Сб. Вопросы алгебры. Вып.1. - Минск: Университетское, 1985, - С. 54-57.

20. Монахов B.C. Классы конечных групп с изоордными биекто-рами // Сб. Вопросы алгебры. Вып. 3. - Минск: Университетское, 1987. - С. 76-78.

21. Монахов B.C. О нормальных подгруппах конечных %-обообленных групп // ДАН БССР. - 1988. - Т.32, № 4. - С. 293-295.

22. Монахов B.C. О существовании разрешимых инъекторов в конечных ipynnax И ДАН Беларуси. - 1992. - 1.36, № 6. - С. 494-496.

23. Монахов B.C. Неразрешимые конечные группы с нильпо-тентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат.навук. - 1993, Ni 3. - С. 27-29.

24. Монахов B.C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // Сб. Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. - С. 195-209.

25. Монахов B.C. О неразрешимых конечных группах с форма-ционными подгруппами непримарного индекса // Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова: Тез. докл. конф. - Красноярск, 1993. - С. 238.

26. Монахов B.C. О добавлениях к подгруппам Шмидта в конечных группах. - Препринт / Гомельский ун-т. - Гомель, 1994. - 8.с.

27. Монахов B.C. О разрешимости конечных групп с добавляемыми подгруппами Шмидта // Международная конференция по алгебре и анализу памяти Н.Г.Чеботарева: Тез. докл. конф. - Казань, 1994.-С. 69.

28. Монахов B.C. Конечные группы с заданными подгруппами Шмидта // Матем. заметки. - 1995. - Т. 58, № 5 - С. 717-722.

29. Монахов B.C. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса // Сб. Вопросы алгебры. Вып. 8. -Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1995. - С. 93-96.

30. Монахов B.C. О конечных группах со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса // VII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. конф. Часть 1. - Минск, 1996. - С. 71-72.

31. Монахов B.C. О биекторах в конечных разрешимых группах ¡1 Сб. Вопросы алгебры. Вып 9. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996.-С. 152-161.

32. Монахов B.C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса// Сб. Вопросы алгебры: Вып 10. -Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996. - С. 123-130.

33. Монахов B.C. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат.навук. -1996, №3.-С. 21-24.

РЭЗЮМЕ

Манахау Впстар Сцяпанавш

Бшрымарныя падгрупы канечных груп

Ключавыя словы: канечная група, бшрымарная падгрупа, падгрупа Шмвдта, дапаунснне, шдэкс, фактарызаваная група, сверхразрашы-мая група, разрашымая група, неразрашымая група.

У дысертацьи даследуецца нармальная пабудова канечных груп у залежнасщ ад уласшвасцяу свак падгруп Шмвдта. Развгваюцца мета-ды даследавання структурнай тэорьп канечных груп пры дапамозе бшрымарных падгруп па адносенню да таюх паняццяу як дапауняль-насць, фактарызаванасць 1 сверхразрашымасць. Вырашаюцца некато-рыя адкрытыя праблемы у канечных трупах с заданым распалажэн-нем падгруп Шмщта I с заданай фактарызацыяй. Рашэнне гэтых праблем прымяняецца да пералку класау канечных груп са сверхраз-рашымым! пaдгpyпaмi заданага шдэксу.

Усе вышы дысертацьи з'яуляюцца новым1 1 маюць тэарэтычны характар. Яны могуць быць выкарыставаны у даследваннях па тэорьп канечных груп, а таксама пры выкладанш спецкурсау на матэматыч-ных факультэтах ушвератэтау \ педвну. Асобнвя вынш дысертацьи цытавалшь I выкарыстоувалюь у працах шшых аутарау.

РЕЗЮМЕ

Монахов Виктор Степанович

Бипримарные подгруппы конечных групп

Ключевые слова: конечная группа, бипримарная подгруппа, Шмидта подгруппа, дополнение, индекс, факторизуемая группа, сверхразрешимая группа, разрешимая группа, неразрешимая группа.

В диссертации исследуется нормальное строение конечных групп в зависимости от свойств своих подгрупп Шмидта. Развиваются методы исследования структурной теории конечных групп с помощью бипримарных подгрупп по отношению к таким понятиям как дополняемость, факторизуемость и сверхразрешимость. Решаются некоторые открытые проблемы в конечных группах с заданным расположением подгрупп Шмидта и с заданной факторизацией. Решение этих проблем применяется к перечислению классов конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами заданного индекса. .

Все результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы в исследованиях по теории конечных групп, а также при чтении спецкурсов на "математических факультетах университетов и педвузов. Отдельные результаты диссертации цитировались и применялись в работах других авторов.

SUMMARY

Monakhov Victor Stepanovich

Biprimary subgroups of finite groups

Key words: finite group, biprimary subgroup, Shmidt subgroup, complement, index, factorable group, supersoluble group, soluble group, nonsoluble group.

In this thesis the normal construction of finite groups with respect to dependence on properties of their Shmidt subgroups are investigated. The methods of investigation of structural theory of finite groups by biprimary subgroups with respect to such notion as complementability, factorability and supersolubility are developed. Some opened problems of finite groups with given disposition of Shmidt subgroups arid with given factorisation are solved. The solution of these problems are applied to the enumeration of classes of finite groups with supersoluble subgroups of given index.

All results of this thesis are new and have a theoretic character. They may be used in the investigations on finite groups theory, as well as for tearting special courses on mathematical departments of universities and pedagogical institutes. The separate results of thesis are cited and applied in works of other authors.

Подписано в печать 5.02.97. Формат 60 х 90 1/16. Усл. печ. листов 1,5. Уч.-изд. листов 1,2. Тираж 75 экз. Заказ № 47

Отпечатано с макета-оригинала на ротапринте ГГУ им. Ф.Скорины: 246699 г. Гомель, ул. Советская, 104.