Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб од

На правах рукописи

ЗЕНКОВ Виктор Иванович

ПЕРЕСЕЧЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ПОДГРУПП В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск —1996

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии ИММ УрО РАН.

Официальные оппоненты —

доктор физ.-маг. наук, профессор КАЗАРИН Л.С. доктор физ.-мат. наук, профессор ЛЕВЧУК В.М. доктор физ.-мат. наук, профессор МАЗУРОВ В.Д.

Ведущая организация —

Московский Государственный Университет.

Защита состоится 1995 r. в

UL часов на заседал

Специализированного Совета Д.064.61.02 при Красноярском госуд; стпенном университете по адресу: г.Красноярск, проспект Свободш. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярск! государственного университета.

Автореферат разослан ? " 1995 г.

УчецыИ секретарь Специализированного Совета доктор физ.-мат. наук

t

С.В.Знаменский

Актуальность темы. Активное изучение арифметических свойств конечных групп началось после того, как в 1872 г. норвежский математик Л.Силов доказал свои знамеиитые теоремы о существовании, сопряженности и числе максимальных р-подгрупп, названных позднее силовскими. Эти теоремы породили много обобщений в различных1 направлениях теории групп, как конечных, так и бесконечных. Так в начале века У.Бернсайд [9] доказал разрешимость бипримарной группы, т.е. группы, порядок которой делится только на два простых числа. Делитель к числа п называется холловым, если числа к и п/к взаимно просты. В 30-х годах нашего века Ф.Холл нашел обобщение теоремы Л.Силова для разрешимых групп, а именно, доказал существование и • сопряженность подгрупп порядка к в группе порядка п для любого хол-лового делителя к числа п. Такие подгруппы называются холловыми. Отметим, что из существования холловых подгрупп по всевозможным холловым делителям порядка группы вытекает разрешимость группы G. Этот факт установлен Ф.Холлом [14] и С.А.Чунихиным [5]. С именем С.А.Чунихина и его школы связан большой период в изучении арифметических свойств конечных групп, в течение которого получены многочисленные результаты, подытоженные в [6]. Строение силов-

ских р-подгрупп изучалось в работах Л.А.Калужшша и М.Красиера [18] для симметрических групп, Р.Картера и П.Фонга [11], A.Bettp [23] и В.Уонга [24] для классических групп и Д.Горенстейном и Р.Лайонсом [13] для исключительных групп. Более подробно с этими вопросами можно познакомиться по обзору А.С.Кондратьева [3].

В настоящей диссертации изучаются вопросы, связанные с пересечениями нильпотентных подгрупп, в частности, силовских р-подгрупп в конечных группах. Постановки задач, а также результаты, связанные с с этими вопросами можно найти в обзоре В.В.К'абанова и А.С.Кондратьева [2]

Рассмотрим более подробно результаты, ведущие к постановке главных вопросов, рассматриваемых в диссертации.

В работе 1904 года У.Бернсайд [9] доказал разрешимость конечпой бипримарной группы, то есть группы порядка p"qb, где р и q — различные простые числа. Так как либо р" > <Д либо qb > р", то без ограничения общности, можно предполагать, что в бипримарной группе р" > qb. Год спустя им была доказана следующая теорема.

Теорема (Бернсайд [10]). Пусть G — конечная группа порядка p"qb и ра > qb. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

(1) G обладает характеристической р-подгруппой порядка > p"q~b;

(2) р = 2, q =2" + 1 — простое число Ферма;

(3) р = 2" — 1 — простое число Мерсенна и q = 2.

Через семьдесят лет В.С.Мопахов [4] обнаружил пробел в теореме У.Бернсайда, исправил и распространил эту теорему на все разрешимые группы, а также указал ограничения на показатели а и Ь и дока-

зал существование бипримарной группы с Ор(С) = 1 при минимальных возможных значениях показателей а и Ь. Следующие три теоремы принадлежат Б.С.Монахову [4].

Теорема (Монахов [4]). Пусть & — конечная разрешимая группа порядка рат, р — простое число; (р,т) = 1 ир" > тп. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

(1)0 обладает характеристической р-подгруппой порядка > рат~1;

(2) р= 2, q = 2n + \ — простое число Ферма и ц1 делит порядок (7, причем а > 4 при п = I, а а > 2п + 1 при п > 1;

(3) р = 2" — 1 — простое число Мерсенна ид = 2, причем а > р + 1 и 2"р делит порядок в;

(4) р = 2, а > 23 и 78 делит порядок в.

Теорема (Монахов [4]). Пусть (7 — конечная группа порядка р"дь, р . и </ — различные простые числа и р" > г/. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

(1) С обладает характеристической р-подгруппой порядка > ра(}~ь;

(2) р = 2, 9 — 2" + 1 — простое число Ферма, Ь > 2, причем а > 4. если п — 1, и а > 2п + 1, если п = 1;

(3) р = 2" - 1 — простбе^число Мерсенна и д = причем а > р + 1 и Ь > пр.

(4) р = 2, а >23 и 7* делит порядок <7.

Георема (Монахов [4]). Группа порядка р"чь, где р и д. — различные простые числа, ра > дь, не имеющая неединичных нормальных у-подгрупп, существует для каждого из следующих случаев:

(1) V — 2, я = 2" + 1 — простое число Ферма, Ь = 2 и а = 4, если п = 1, и а = 2га -+-1, если га > 1;

(2)р = 2" -1 — простое число Мерсенна ид = 2,а=р+1 иЬ = пр;

(3)р = 2, <7 = 7, а = 23 и Ь = 8.

В этой же работе [4, предл. 4.3] В.С.Монаховым для каждого из трех случаев последней теоремы был построен пример бипримарной не q-замкнутой конечной группы <7, в которой Ор(С) = 1.

Из анализа рассмотренных выше теорем возникают следующие вопросы:

(А) Пусть <7 — группа порядка р"т, (р, т) = 1 и ра > т. Что можно сказать в этом случае о группе <7? В частности, можно ли утверждать, что разрешимая группа (7 содержит секцию, аналогичную описанной в третьей из приведенных теорем В.С.Монахова, и какие секции содержит неразрешимая группа й.

(А1) Насколько широк класс бипримарных не (/-замкнутых групп без неединичных нормальных р-подгрупп, в которых р" > д6? Выше уже было отмечено, что этот класс групп не пуст. В общем случае, насколько широк класс групп С порядка рат, Ор(С) = 1, {р, ш) = 1, в которых р" > т?

Ситуация, описанная в приведенных выше теоремах У.Бернсайда и В.С.Монахова, когда существует неединичная характеристическая р-нодгруппа, соответствует "регулярному" случаю, так как умножив прямо любую конечную группу нар-группу подходящего порядка можно добится выполнения условия ра > т. Ситуации, описанные в приведенных выше теоремах, когда в группе С? нет неединичных характеристических р-подгрупп и ра > т, являются в определенной степе-

ни "исключительными" и при изучении "исключительных" ситуаций можно считать Op(G) = 1. Если в конечной группе G имеем Op(G) = 1 и для силовской р-подгруппы Р найдется элемент х из G, такой, что Р П Р' = 1, то \G\ > \РРХ\ = = |Р|2. Следовательно, "исклю-

чительные" ситуации при обсуждении вопроса (А) могут возникнуть лишь когда РПРУ ф\ для любого элемента у из G. В связи с этим возникает следующий вопрос: (В) Пусть G — конечная группа с Op{G) = 1. Что можно сказать о группе G, если Р П Ру ф 1 для любого элемента у из G, или более общо, тот же вопрос для холловой 7Г-подгруппы Н из G.

Как следует из третьей из числа приведенных теорем В.С.Монахова, в "исключительной" ситуации отношение квадрата порядка силовской р-подгруппы к порядку всей группы может быть сколь угодно боль-, шим. Например, если <?i — любая секция из числа тех, что описаны в

пунктах (1), (2) и (3) цитируемой теоремы и С,- = G|xGiX...x Gi,

г раз

то в силу неравенства |Pi|2/|Gi| > 1 для силовской р-подгруппы Р\ из G\ имеем lim \Pi\l/\G{\ = оо, где Pi — силовская р-подгруппа из <7,.

I—»00

Поэтому удивительным является следующий факт, доказанный Д.Пассманом в 1966 году [21].

Теорема (Пассман [21]). Пусть G — разрешимая конечная группа, Р — силовская р-подгруппа из G « Op(G) = 1. Тогда РПР'ПР" = 1 для некоторых элементов х и у из G.

В связи с теоремой Д.Пассмапа в случае произвольной конечной группы G и силовской р-подгруппы Р из G возникает следующий во-

прос

(С) Верно ли, что РП Рх П Р» = Ор(<7) для некоторых элементов х и у из (??

В свою очередь для ^-разрешимой группы из анализа теоремы Д.Пассмана возникает вопрос

(С1) Пусть £? — конечная ^-разрешимая группа с нильпотентной холловой 7Г-подгруппой Н. Верно ли, что ЯПЙ'П Ну = Ох(С) для некоторых элементов х и у из б?

Цель работы. Решение вопросов (А), (В) и (С) в классе всех конечных групп и вопроса (С1) в классе тг-разрешимых конечных групп с нильпотентной холловой 7г-подгруппой.

Общая методика исследований. Применяются методы теории конечных групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях конечных и бесконечных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I, II и III Международных конференциях по алгебре в Новосибирске, Барнауле и Красноярске соответственно, на Международной конференции "Алгебра и анализ" в Казани, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Свердловске, на семинаре по общей алгебре МГУ, основанном О.Ю.Шмидтом, на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" (ИМ СО РАН и НГУ) и на алгебраическом семипаре по теории групп в ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-

я

ботах [25]-[29].

Q6i.eM и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы (59 наименований), занимает ¿09 страниц текста, набранного на lAT^Xe. Нумерация основных теорем одинарная, в I главе двойная (номер главы, номер леммы в главе), в остальных тройная (номер главы, номер параграфа в главе, номер пункта в параграфе). '

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Главными результатами диссертации можно считать следующие теоремы А, AI, В, В1, С и следствия из них, отвечающие на поставленные в диссертации вопросы (А), (В) и (С).

Теорема А. Пусть G — конечная группа, р — простое число, Р — силовская р-подгруппа из G и |G| = рат, где (р,тп) =■ 1. Если р" > тп, то справедливо одно из следующих утверждений:

(1)G содержит характеристическуюр-подгруппу порядка > р"т~1;

(2) в факторгруппе S(G) = S(G)/Op(G) выполняется одно из следующих утверждений: ^

(2а) р = 2, д = 2" -Ь 1 — простое число Ферма и 5(С) содержит секцию, изоморфную А I 2%, при п > 2 и ((2Г3 Л * * ¿Г2,

У9 А 5Дб, (V» А £8) 1 г2 или (У9 А С}») I ^ при п = 1;

(26) р = 2" -1 — простое число Мерсенна и ЩС) содержит секции, изоморфные (И>п А гр) I гр;

(2в) р = 2 и Б (в) содержит секцию, изоморфную ((Ур А 5Д2») I I причем во всех трех случаях (2а), (26) и (2в) действие дополнительного множителя из полупрямого произведенья точное;

(3) р — 2 и факторгруппа С? = 6/5(6) содержит секцию Ь, изоморфную одной из следующих групп: (((55 2 } \ I Ли<(Л6) { г Ли<(2/3(4)) 1 причем каждая ком-

понента из Ь'изоморфш соответствующей компоненте из Е(С?).

Следующая теорема показывает, что исключения, описанные в пунктах (2) и (3) теоремы А являются существенными.

Теорема А1. Пусть X) — произвольная секция из числа описанных в теореме А и Р\ — силовская р-подгруппа из Ь\. Тогда

(1) существует последовательность групп Ь\, Ьц... , Х„,..., построенная исходя из подгруппы Ь\ и такая, что для силоёской р -подгруппы Р^ из Ьх имеем 1нп |Р;|2/|£|| = со;

(2) любая конечная группа X изоморфно вкладывается в конечную группу У со следующими свойствами:

(а) Ь\ — субнормальная подгруппа в У;

(б) 1*г > \У\„;

(0) подгруппа Ор(У) — 1, если Ь\ из пункта (2) теоремы А и 3(У) — 1, если Ь\ из пункта (3) теоремы А.

Теоремы А и А1,. доказанные в §4 главы IV завершают изучение вопроса А в общем случае.

Теорема В. Пусть С? — конечная группа, р - простое ■числу, Р — силивская р подгруппа из в. Если РпР* ф Ор(С) для любого элемента .г из С, то справедливо одно из следующих утверждений:

(1) (РП5(С))П(РП5(С))Г фО,(в) для любого элемента х из С и

в факторгруппе 5(6) = 5(С)/Ор(С) выполняется одно из следующих утверждений:

(1а) р — 2, = 2" - 1 — простое ■число Мерсенна и 5(С) содержит подгруппу, изоморфную х А 2?2»+>, гс?е действует точно

на х

р = 2" — 1 — простое число Мерсенна и 5 (С) содержит подгруппу, изоморфную Р / где Р — группа Фробениуса, изоморфная Vp.nA 2р,-

(1в) р = 2, д = 2" + 1 — простое число Ферма и в (С) содержит подгруппу, изоморфную х£?) А *С2п+1), где .¡?4*1?2"+1 действует точно на 2Ч х

^г^ содержит подгруппу, изоморфную А (£з | £з),

где ) действует на <58*^8 подгруппа изНо1(С}ъ

(2) (Р П 5(6)) Л (Р Л = Ор((?) для некоторого элемента у

из С и в факторгруппе (5 = С/3(0) выполняется одно из следующих утверждений:

(2а) р = 3 и группа <7 содержит нормальную подгруппу М, изоморфную подгруппе К, где (РЩ(3))' < К < (РГ^(З) А (д))* и д — графовый автоморфизм порядка три группы РПд(З).

(26) р = 2 и группа (7 содержит компоненту, изоморфную одной из следующих групп:

(261) простой группе типа Ли над тголе.и из q элементов, где ц — 9 или д — простое число Ферма или Мерсенна;

(262) £3(4), Ьп{2), п > 3, П„(2), п > 7, Р4(2), Е6(2), Е7(2), Е8(2),

Следующая теорема показывает, что пи одна из групп, описанных в

и

теореме В, за исключением некоторых групп из пункта (261), не является лишней.

Теорема В1: Пусть X — произвольная группа, описанная в пунктах (1а) - (1г) или в пунктах (2а), (262) теоремы В. Тогда для любой конечной группы G существует конечная группа Y, такая, 4moG изоморфно вкладывается в Y и

(1) подгруппа X субнормальна в подгруппе Y;

(2) если Т — силовская р-подгруппа из Y, то ТГ\ТУ ф 1 для любого элемепща у из Y.

(3) Op(Y) = 1, если X из пункта (1) теоремы В и S(Y) = 1, если Л" из пунктов (2а), (262) теоремы В;

Замечание 1. Условие, выписанное в пункте (2а) теоремы В является достаточным для того, чтобы Р П Рх ф 1 для любого элемента х из G в классе групп с единичным разрешимым, радикалом (теорема 11) и, таким образом, группа Auf(Pfig(3)) является контрпримером к гипотезе Д.Робинсона [22, с.22J о том, что в группе Aut(K), где К — известная простая группа, р — нечетное простое число и Р — силовская р-подгруппа из Aut(K), найдется инволюция i из 1пп(К), такая, что Pf\P' = 1.

Примеры групп Aut(L2(§)), Aut{L2(p)), где р — простое число Мер-сенна и Aut(L2(p)) I где р — простое число Ферма показывают, что ограничения в пункте (261) теоремы В существенны (теорема 9 и замечание к теореме 9).

Замечание 2. В теоремах 9, 10, 11 и 12 получены более точные результаты о пересечениях силовских р подгрупп в классе групп с единичным разрешимым радикалом.

Из теоремы В вытекает

Следствие В. Пусть в — конечная группа, р — простое число, Р — силовская р-подгруппа из С. Если р отлично от 2 и простого числа Мерсенна, то РП Рх = Ор(С) для некоторого элемента х из С, в частности, если Ор(С) = 1, то |Р|'2 < |(7|. Для любого простого числа равного 2 или простому -числу Мерсенна, существует конечная группа (?1 такая, что 0Г(С]) = 1 и |^^ |2 > |£?11 для силовской р-подгруппы Р\ из С\, о частности, Р\ ПР{" ф 1 для любого элемента из С\.

Теоремы В и В1 и следствие из теоремы В доказаны в §6 главы IV.

Пусть С — группа, р — простое число, Р — силовская р-подгруппа из б. Обозначим через к,,(С) мощность множества всех орбит под действием сопряжения элементами из Р упорядоченных пар (РХ,РИ) силовских р-подгрупп, со свойством РПРХПРУ = О,,(С) для некоторых элементов х ц у из <7.

На основании изучения вопроса В в произвольных конечных группах, а также теоремы 4 становится возможным доказать теорему С и следствие из теоремы С, которые приводятся в §7 главы IV.

Теорема С. Пусть <7 — конечная группа, р — простое число, Р — силовская р -подгруппа из С. Тогда в группе (7 выполняется одно из следующих утверждений:

(1) \Sylp(G)\ = 1 ti это выполняется в G тогда и только тогда, 'когда kp(G) = 1, что в свою очередь эквивалентно тому, что G р-замкнута;

(2) |SyJp(Gj| = 3 u р = 2 и ото.выполняется в G тогда и только тогда, когда kp(G) = 2, что в свою очередь эквивалентно, тому, что факторгруппа (3 по ядру представления группы G на множестве всех силовских 2-подгрупп изоморфна S3 и р = 2;

(3) kp(G) > 3.

Из теоремы С вытекает

j

Следствие С. Пусть G — конечная группа, р — простое число, Р — силовскаяр-подгруппа из G. Тогда РГ)Р*ПР* = Op(G) для некоторых элементов х и у из G.

Теоремы С и Cl и следствие из теоремы С доказаны в §7 главы IV.

Доказательство главных результатов приводится в IV главе и использует 12 основных теорем, доказанных в главах II — IV. Основные теоремы в частных случаях усиливают заключения соответствующих им главных теорем.

Перейдем к изложению результатов диссертации по главам.

Заметим, что основные теоремы, доказанные в главе II, не зависят от основных теорем, доказанных в главе III, и наоборот.

В §1 главы III доказаны теорема 1 и теорема 2, дающие ответ на вопросы (А) и (Al) в классе разрешимых конечных групп.

Теорема 1 ([29]). Пусть G — разрешимая конечная группа порядка Рат, (Р,т) = 1 ир" > fп. Тогда либо G содержит характеристиче-

скую р-подгруппу порядка > р"т~1, либо в факторгруппе <7 = 0/0,(0) справедливо одно из следующих утверждений:

(1) р = 2, = 2" 4-1 — простое число Ферма и 5 содержит секции, изоморфные А ^г»)? при п> 2 и ((¿?з А 22)^2)^2, V» А

(Ц А гь) 12-1 или (Уд А ф8) {Зг при п = 1/

р = 2" — 1 — простое число Мерсенна, </ = 2 и С содержит секцию, изоморфную {У-р, А 2Р) I

(3) р = 2, д = 7 и 5 содержит секцию, изоморфную ((Ур А }

? причем во всех трех случаях действие дополнительного множителя в полупрямом произведении точное.

Заметим, что из теоремы 1 следуют теоремы В.С.Монахова, а группа £? не всегда содержит подгруппу, изоморфную секции" из пунктов (1), (2) и (3) теоремы 1.

Пример, в о* ((фв*д8*<гв) X (2з123))*(((2б*(г8*С}в) А (23}г3))*((<58* (¿» * <Эв) А (231 г3)), где |2(С?)| = 2, в З31действует на <?8 * <Эв * <Эв как подгруппа из Но1{@% *(}%* и р — 3. Гог^а 6 содержит секцию А ) 23 из пункта (2) теоремы 1, которая не может быть подгруппой.

На вопрос (А1) в большинстве случаев отвечаем

Теорема 2 ([29]). Пусть в — произвольная конечная группа, а К — группа, изоморфная произвольной секции из тех, что указаны в пунктах (1), (2) и (3) заключения теоремы 1. Тогда существует группа порядка р"1т1, (р, пц) = 1 и Ор^) = 1 и такая, что группа О изоморфно вкладывается в р"1 > пц, а К — субнормальная подгруппа

в Cr 1-

Заметим, что из доказательства теоремы 2 следует, что для любой упорядоченной нары (р, (]) простых .чисел рад из пунктов (1) - (3) теоремы 1 любая конечная группа порядка paqb изоморфно вкладывается н бинримарную группу G\ с Ov(G\) = 1 порядка p"lqb\ где рщ > qb>.

В работе [27] нами определено понятие минимальной /(тг)-группы.

Пусть G —; конечная ^-разрешимая группа с холловой я—подгруппой Н, а Hi, Я2,... ,Н„ — произвольный пабор холловых ж-подгрупп из G. Обозначим через D подгруппу ЯОЯ1ПЯ2П. • -ПЯ„. В частности, если {Я, Hi,H'i, . ..,Я„} = H,,{G), то D — 0„{G). Спрашивается, при каких условиях D — Ii П IIя для некоторого элемента у из G. Назовем группу G /(7г) группой, если условие D — II Г\НЯ не выполняется ни для какого элемента у из G. Если G — /(я-)-групна, а каждая ее собственная подгруппа не 1(ж) -группа, то будем называть такую группу минимальной 1{ л )-группой.

В работе [27] нами доказано, что либо D — IIП Ня для некоторого элемента g из G, либо G содержит минимальную /(л-) -труппу.

Структуру минимальной 1(7г)-групны с нильпотентной холловой п-иодгруниой полностью описывает следующая теорема, доказанная в §2 главы III.

Теорема 3 ([27]). Пусть G — конечная ж-разрешимая группа с нильпотентной холловой г -подгруппой Н. Группа G является минимальной J(jr) группой тогда и тол ко тогда, когда Ö,(G) < Ф(С), 0*y(G) = и факторгруппа G = GjOt{G) изоморфна одной из следующих групп:

(1) 1 х Z2-_,) А £>2'.+1, где 2"- 1 = q — простое число Мерсенна,

a £>2n+i действует на Zq х Zq как подгруппа из Hol(Zq х Zq);

(2) Fl Zq, где 2" - 1 = q — простое число Мерсенна, а F —- группа Фробениуса, изоморфная Ц» А i?,;

(3) (Z2n+1xZ2"+i) А Zi*D2^, где 2" + 1 = /> — простое число Ферма, а Z4* D2«+1 действует на Zp х как подгруппа из Hol(Zp х Zp);

ß) {Qs *Qh* Q&) А (JZ3 {Zj), где Z3 i Z3 действует на Qs*Qs* Qs как подгруппа из Hol{Q$ *Qs* Qs).

Из теоремы 3 следуют все отмеченные результаты Н.Ито [17], А.Манна [20], Д.Робинсона [22] и Н.Белостоцкого [7].

На более общий, чем вопрос (С1), отвечает следующая теорема, доказанная в §3 главы III.

Теорема 4 ([25]). Пусть G — конечная п-разрешимая группа с ниль-патентной аолловой п-подгруппой Н и Ну, Я2,. ■ ■, Нп — произвольный набор сопряженных с Н подгрупп из G. Тогда в G найдется пара сопряженных с Н подгрупп Ни uHv, таких, что ЯПЯ1ПН2П.. .ЛЯ„ = ЯПЯ"ПЯ".

Теорема Д.Пассмана следует из теоремы 4 при {Я, #х, Я2,..., Я,,} = SylP(G).

Выше были рассмотрены постановка и решение вопросов (А), (В) н (С) в классе разрешимых конечных групп. Если группа G неразрешима, то группа E(G/S(G)) является прямым произведением простых неабеленых групп. Следовательно, чтобы продвинуться в изучении вопросов (А), (В) и (С) за рамки разрешимых групп, нужно в первую очередь рассмотреть эти вопросы в классе простых неабелевых групп.

Обозначим через ip{G) минимальное число силовских р-подгрунп из G, пересечение которых равно Op(G).

Решение вопросов (А), (В) и (С) в неразрешимых группах основано на технической лемме 1.1, которая позволяет применить индуктивные предположения к факторгруппе М/Ор(М) для некоторой р-локальной подгруппы М из G, содержащей сйловскую р-подгруппу Г из G. Поэтому, согласно лемме 1.1, вопрос о пересечении силовских //-подгрупп в большой степени определяется подгруппой Ор(М), а именно, если ¡р(М/Ор(М)) = 2 и Ор(М)Г\Ор(М)* = 1, для некоторого элемента х из G, то и ip(G)'< 2.

Заметим, что подавляющее большинство простых неабелевых групп обладает такой р-локальной подгруппой М, что Ор(М) — абелева группа. Следовательно, в этих случаях успех применения леммы 1.1 зависит от справедливости утверждения о том, что для простой не-абелевой группы G и любой абелевой подгруппы А из Aut(G) имеем ADA" = 1 для некоторого элемента у из из Aut(G). В случае, когда А — абелева силовская р-подгруппа из произвольной группы G, И.Вродкей [8j доказал, что А(ЛАУ — Of(G) для некоторого элемента у из G.

Пусть Аи В — подгруппы группы G. Минимальные по включению элементы множества {Ая П В | g 6 (?} будем называть минимальными (А, В) Пересе че11 нами.

В §2 главы II доказана следующая теорема, которая обобщает теорему И.Бродкея.

Теорема 5 ([28]). Пусть G — конечная группа, А и В — абелевы подгруппы из G. Тогда АиПВ< F(G) для каждого минимального (А, В)~ пересечения.

В работах Т.Лаффея [19], У.Демпнольфа и С.Уонга [12] изучались пересечения циклических подгрупп А и В конечной (рупиы G. Наи-

более общий результат принадлежит здесь двум последним авторам. Приведем их теорему.

Теорема (Демпвольф и Уопг [12]). Пусть G — конечная группа, А и В — циклические подгруппы U3G. Тогда ASC\B< F(G) для некоторого элемента g из G.

Следующая теорема, доказанная в §2 главы II, обобщает теорему У.Демпвольфа и С.Уонга.

Теорема 6 ([28]). Пусть G — конечная .группа, А и В — циклические подгруппы из G. Тогда Ая П В < F(G) для каждого минимального (А, В)-пересечения.

При рассмотрении пересечений произвольных пильпотентны* подгрупп М и N необходимо накладывать ограничения на пересечения М9 П N. Например, в случае, когда М и N — силовские р-подгруппы группы G, М.Герцог [15], доказал., что ip(G) < 2, если Мя П N < N для любого элемента g из G.

В §1 главы II'доказана следующая теорема единственности, расширяющая на случай произвольного множества 7Г простых чисел соответствующую теорему единственности Д.Робинсоца [22] для простого числа р.

Теорема 7 ([26]). Пусть G — конечная группа, N — нильпотентная подгруппа из G. Если N содержится в F(A) для любой максимальной подгруппы А из G, содержащей N, но N не содержится в F(G), тпо N- содержится в единственной максимальной подгруппе из G.

На основании теоремы 7 в §1 главы II доказана следующая теорема.

Теорема 8 ([26]). Пусть G — конечная группа, М и N нилъпо-тентные подгруппы из G, причем для любого элемента g из G такого, что MgnN пересечение M<T\N содержит неединичную подгруппу D(g), нормальную в (M9,N). Тогда либо М" Л N — 1 для некоторого элемента и из G, либо М" П N П F(G) ф 1 для некоторого элемента v из G.

И з этой теоремы следуют результаты Т.Лаффея [19], М.Герцога [15] и [16].

Итак, решение вопросов (А), (В) и (С) в разрешимых группах, возможность редукции (например лемма 1.1 в вопросе (В)) и предположение индукции позволяют в общем случае свести решение вопросов (А), (В) и (С) к ситуации, в которой 5(G) — 1.

На этом этане основная классификационная теорема [1, с.145] позволяет заключить, что каждая компонента из E(G) принадлежит одному из следующих классов групп:

(1) группа типа Ли нечетной характеристики;

(2) группа типа Ли четной характеристики;

(3) знакопеременная группа;

(4) спорадическая группа.

В §1 главы IVдоказана следующая теорема, решающая вопросы (В) и (С) в случае, когда р = 2 и каждая компонента из E(G) принадлежит классу (1);

Теорема 9 ([29]). Пусть G —г конечная группа с единичным разрешимым радикалом и каждая компонента из G — простая группа типа

Ли над полем GF(q) нечетной характеристики и q > 3. Тогда hipa-ведливы следующие утверждения:

(1) если q ф 9 и q отлично от простых чисел Ферма и Мерсенна, то ¡2(G) > 3;

(2)k2{G)> 3.

Здесь /2(G) — число орбит под действием силовской 2- подгруппы Р из G на множестве подгрупп Р1 ¿'условием РП Рх = 1, a k%(G) — число орбит под действием силовской 2-подгруппы Р из G на множестве упорядоченных пар (Рх, Ру) с условием Р П Рх П Pv — 1

В §2 главы IV доказана следующая теорема, решающая вопросы (В) и (С) в случае, когда р = 2 и каждая компонента из E(G) принадлежит классу (2):

Теорема 10 ([29]). Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом, Р — силовская 2-подгруппа из G, каждая компонента из G является коммутантом группы типа Ли над полем характеристики два и РП Рх ф 1 для любого элемента х из G.

Тогда:

(1) G содержит компоненту A'i и секцию S, такие, utno выполняется одно из следующих утверждений:

(а) S > 0'Z(S) = F*(S) ~'K¡ — L3(4);

(б) 02(S) = F*{S) ~ A'i a Ln(2), n > 3;

(в) 02(S) = F*{S) íltmi2), m > 4;

(г) S > 02(S) = F*(S) ~ Kx ~ íí2-m(2), m > 2;

(d) 02(S) = F*(S) ^ K\ ~ П2ГП+1(2), m > 3;

(e) 02(S) = F*(S) ~ ЯГ, ~ F4(2); .

(ж) 02(S) = F'(S) ~ A',~ Et{2);

(з) S а.Kl I Z2, где Kx ~ Щ2) или Ki ~ Е»{2); Г«; 02(5) = F*(5) аг ~ 2Р4(2)';

5 > 02(S) = F*(S) ~ Ki ~ Spi(2)'; (л) S > 02(S) = F*(S) ~ Л'х ~ Ga(2)';

^ для каждой секции S, указанной в пунктах (а) -(л) из (1), существует конечная группа Go, такая, что S(Go) = 1, компоненты из E(S) являются компонентами из E(Gq), E(G0) = (E(S)Ga) и h(G0) = О;

(3) jfea(G) > 3

В §3 главы IV получен следующий результат, дающий полное решение вопросов (В) и (С), в случае, когда р — нечетно и 5(G) = 1:

Теорема 11 ([29]). Пусть G — конечная группа, с единичным разрешимым радикалом, р — нечетное простое число, Р — силовская р-подгруппа из G. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) РС\Р* для любого элемента х из G,

(2) p — Z и группа G содержит нормальную подгруппу N, изоморфную подгруппе К, где (РП^(З))' < К < (Pi#(3) Л (&))' ид — графовый автоморфизм порядка 3 группы PQg (3).

Заметим, что из теоремы 11 следует, что группа Aut(Pil$(3)) является контрпримером к гипотезе Д.Робинсона [22, с.22].

В §5 главы IV, доказана следующая теорема, отвечающая на вопросы (В) и (С) в случае, когда каждая компонента из E(G) знакопеременная или спорадическая группа.

Теорема 12 ([29]). Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом и каждая компонента из E(G) — спорадическая или знакопеременная группа, отличная от А&, Лв. Тогда h(G) > 3.

Литература

[1] Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир, 1985.

[2] Кабанов В.В., Кондратьев А.С. Силовские 2-подгруппы конечных групп. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979.

[3] Кондратьев А.С. Подгруппы конечных групп Шевалле // УМН — 1986. — Т.41, вып. 1(247). — С.57-96.

[4] Монахов B.C. Инвариантные подгруппы бипримарпых подгрупп // Матем. заметки. — 1975. — Т.18, N 6. — С.877-886.

[5] Чунихин С.А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Томского ун-та. — 1938. Т.2,вып.2. — Р.220-223.

[6] Чупихин С.А. Подгруппы конечных групп // М.: Наука и техника, 1964.

[7] Bialostocki N. On products of two nilpotent subgroups of a finite groups //1st. J Math. — 1975. — V.2, N 2. — P.178-188.

[8] Brodkey I.S., A note on finite groups with an abelian Sylow groups //. Proc. Amer. Math. Soc. — 1963. — V.4 — P.32-34.

[9] Bumside W. On groups of order paq'3 11 Proc. London Math. Soc. —

1904. — V.2, N 1. — P.388-392.

[10] Burnside W. On groups of order p"q3 11 Proc. London Math. Soc. —

1905. — V.2, N 2. — P.432-437.

[11] Carter R.W., Fong P. The Sylow 2-subgroups of finite classical groups // J. Algebra. — 1984. — V.l, N 2.' — P.139-151.

[12] Dempvolff U., Wong S.K. On cyclic subgroups of finite groups // Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1982. — V.25, N 1. — P. 19-20.

[13] Gorenstein D., Lyons R., The local structure of finite groups of characteristic 2 type // Mem. Amer. Math. Soc. — 1983. — V.42.

— P.l-731.

[14] Hall.P. A characteristic property of solvable groups // J. London Math. Soc. — 1937. — V.12, N.3 — P.198-200.

[15] Herzog M. On 2-Sylow intersections // Isr. J. Math. — 1972. — V.ll, N 2. — P.326-327.

[16] Herzog M. On 2-Sylow intersections // Proc. Amer. Math. Soc. — 1973. — V.37 — P.352-354.

[17] Ito N. Uber den kleinsten p-Durchschnitt auflösbarer Gruppen // Arch. Math. — 1958. — V.9, N 1-2. — P.27-32.

[18] Kaloujnine L. Krasner M. Produit complet des groupes de primutations et problème d'extension de groupes // I.Aeta Sei. Math. Szedel — 1950.

— V.13. — P.208-230.

[19] Laifey T.Y. Disjoint conjugates of cyclic subgroups of finite groups // Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1977. — V.20, N 31. — P.229-232.

[20] Mann A. The intersections of Sylow subgroups in finite groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1975. — V.53, N 2. — P.262-264.

[21] Passman D. S., Groups with normal, solvable Hall p-subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1966. — V.123, N 1. — P.99-111.

[22] Robinson G. On Sylow intersections in finite groups // Proc. Ainer. Math. Soc. — 1984. — V.90, N 1. — P.21-24.

[23] Weir A.Sylow /»-subgroups of classic groups over finite fields with characteristic prime to p // Proc. Amer. Math. Soc. -1- 1955. — V.6, N 4. — P.529-533.

[24] Wong W. Twisted, wreath prodncts and Sylow 2-subgroups of classic-simple groups // Math. Zeitzschrift — 1967. — V.12. — P.406-424.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[25] Зенков В.И. Структура пересечений пильпотентпых 7г-подгрупн п-7Г- разрешимых копечпых группах // Сиб. матем. ж. — 1993. — T.34,N 4. — С.103-107.

[26] Зенков В.И. Теорема единственности и пересечения нильпотент-ных подгрупп в копечпых группах // Матем. сб. — 1993. — Т.184, N 6. — С.151-159.

[27] Зенков В.И. Минимальные /(тг)-группы // Изп. РАН. сер. магом.

— 1994. — Т.58, N 3. — С.169-183.

[28] Зепков В.И. Пересечения абеленых подгрупп п копечпых группах // Матем. заме-пси. — 1994. — Т.52, N2. — С.150-152.

[29] Зенков В.И., Пересечения пильпотентных подгрупп в конечных группах // Фундаментальная и прикладная математика — 199G.

— Т.2, N 1. — С. 1-93.

Отпечатано на ротапринта ЙММ УрО РАН тираж 80 заказ 10«

формат 60x84 I/I6 объем 1,01 п.л. 620219 г.Екатеринбург уд.С.Ковалевской ,16