Проблемы распознавания разрешимости уравнений в нильпотентных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕН!®

Глава I. УРАВНЕШ® В НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУШАХ

МАЛОЙ СТУПЕНИ II

§1.1 Уравнения с одной неизвестной в конеч -но-определённых нильпотентных группах ступени 3 II

§1.2 Уравнения с одной неизвестной в конеч -но-определённых нильпотентных группах ступени

Глава 2. УРАВНЕНИЯ В СВОБОДНЫХ НШШОТЕНШЫХ

ГРУШАХ

§2.1 Уравнения в свободных нильпотентных группах ступени съЗ

§2.2 Некоторые технические леммы

§2.3 Уравнения с одной неизвестной в свободных нильпотентных группах

Первые работы, посвященные алгоритмическим проблемам для конечно-определённых нильпотентных групп, принадлежат А.И.Мальцеву и Р.Линдону. Ими построен алгоритм для распознавания равенства слов в конечно-определённых нильпотентных группах (см. £5} и [201 ). В дальнейшем, с помощью финитной алроксимируемости А.И.Мальцевым был построен алгоритм для распознавания вхождения в конечно-порождённые подгруппы конечно-определённых нильпотентных групп (см. 16] ). Блэкберн в работе \15"i доказал финитную апроксимируемость относительно сопряжённости конечно-определённых нильпотентных групп. Это позволило ему построить алгоритм для распознавания сопряжённости в конечно-определённых нильпотентных группах. Недавно доказано, что в классе всех конечно-определённых нильпотентных групп положительно решается алгоритмическая проблема распознавания изоморфизма групп (см [161, tI7] ). Многие алгоритмические проблемы получили положительное решение и в классах групп, являвдихся естественными обобщениями класса конечно-определённых нильпотентных групп (см.,например, [3] ).

Небезуспешными оказались и попытки отыскания алгоритмически неразрешимых проблем, связанных с конечно-определёнными нильпотентньши группами. Так, А.И. Мальцевым в работе [7] была доказана алгоритмическая неразрешимость элементарной теории каждой неабелевой свободной нильпотентной группы. В последствии, Ю.Л. Ершовым был даже найден необходимый и достаточный критерий алгоритмической неразрешимости элементарной теории конечно-определённой нильпотентной группы. А именно, он показал, что элементарная теория конечно-определённой нильпотентной группы разрешима тогда и только тогда, когда эта группа почти абелева (см. [2] ).

Однако, долгое время не удавалось найти никаких более простых алгоритмически неразрешимых проблем для конечно-определённых нильпотентных групп. Большое влияние на исследования в этой области оказало отрицательное решение Ю.В.Ма-тиясевичем в 1970 году десятой проблемы Гильберта (см. 183 и [91 ). Появилась возможность применить восходящий к Мальцеву и Блэкберну ме.тод моделирования диофантовых уравнений в нильпотентных группах.

В 1977 году В.А. Романькову удалось разыскать на этом пути естественную алгоритмически неразрешимую теоретико-групповую проблему. Оказалось, что для свободных нильпотентных групп счётного ранга и ступени > 9 алгоритмическая проблема распознавания эндоморфной сводимости элементов имеет отрицательное решение. Эта проблема состоит в построении алгоритма, который по двум произвольным элементам ^ и К группы G- распознаёт наличие эндоморфизма (£ • & ^ , переводящего элемент g, в элемент К, .

Непосредственным следствием из этого результата является следующая теорема.

Теорема (В.А. Романьков, 1977 г.). Для каждой свободной нильпотентной группы счётного ранга и ступени с ь 9 невозможен алгоритм, распознающий разрешимость уравнений.

В дальнейшем В.Г. Дурнев изучал вопросы распознавания разрешимости систем уравнений в свободных нильпотентных группах. Использовав метод моделирования систем диофанто-вых уравнений, он доказал (см. [1] ), что для каждой неабе-левой свободной нильпотентной группы невозможен алгоритм, распознающий разрешимость систем уравнений. В.Г. Дурнев также отметил, что из его результата вытекает алгоритмическая неразрешимость VVJB. .В - фрашента позитив

Yt ной теории неабелевой свободной нильпотентной группы. Здесь Ть - достаточно большое натуральное число. Этот результат несколько уточняет теорему Мальцева о неразрешимости элементарной теории свободной нильпотентной группы.

Естественный путь отыскания более простых алгоритмически неразрешимых проблем для конечно-определённых нильпотентных групп состоит в рассмотрении каких-либо специальных классов уравнений в этих группах. Данная работа посвящена изучению проблем распознавания разрешимости уравнений с одной неизвестной в конечно-определённых нильпотентных группах. Работа состоит из двух глав. В первой главе исследуются вопросы распознавания разрешимости уравнений с одной неизвестной в конечно-определённых нильпотентных группах малых ступеней. Вторая глава посвящена изучению проблем распознавания разрешилости уравнений в свободных нильпотентных группах.