Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных частично коммутативных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

004603260

На правах рукописи

Трейер Александр Викторович

АВТОМОРФИЗМЫ И ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- з ИЮН 2010

Омск 2010

004603260

Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

Романовский Николай Семёнович

Ведущая организация: Алтайский государственный университет.

Защита состоится 10 июня 2010г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ.212.179.07. при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, ул. Нефтезаводская И.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.

Автореферат разослан апреля 2010.

кандидат физико-математических наук доцент

Шевелин Михаил Александрович

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук,

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах и приложениях математики. Эти группы очень удобны для исследования благодаря удобным нормальным формам и разрешимости большинства алгоритмических проблем. Введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [10, 16].

Частично коммутативные группы (также известные как прямоугольные группы Аргона или графовые группы), по определению, являются конечно представимыми группами у которых определяющие соотношения состоят только из конечного числа соотношений вида [х,у] = 1, между элементами х и у из порождающего множества группы. Удобно задавать частично коммутативные группы с помощью конечного простого (то есть без кратных рёбер и петель) графа Г. Пусть граф Г имеет множество вершин X — (х!,...,хп} и множество рёбер Е(Г), тогда графу Г будет соответствовать частично коммутативная группа ^ заданная с помощью порождающих и определяющих соотношений:

Рг = (11,...,1в|[аг,!/] = 1 (а:>»)€Е(Г)}1 при этом граф Г часто называют графом коммутативности для группы

К настоящему времени опубликовано большое число статей посвящён-ных изучению частично коммутативных групп. Не имея возможности дать полный анализ работ, приведём небольшой обзор результатов тесно связанных с нашей диссертацией. В [12] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы коммутативности. В [13] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [7] показано, что фундаментальные группы почти всех поверхностей являются подгруппами частично коммутативных групп. В [18] введены понятия параболической и квазипараболической подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы произвольного множества элементов частично коммутативной группы. В [17] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.

Много статей посвящено изучению автоморфизмов частично коммута-

тивных групп. Одними из первых работ в этом направлении стали статьи [13] и [14], в первой работе описывается структура группы автоморфизмов частично коммутативной группы, вторая посвящена описанию порождающего множества для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В статье [20] подробно описывается стабилизатор решётки замкнутых множеств для группы F'r и показывается, что этот стабилизатор является арифметической группой. Таким образом, построена бесконечная серия арифметических групп в которой конечному простому графу Г соответствует арифметическая группа.

Частично коммутативную группу можно определить в любом многообразии групп М. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии М определяются заданием конечного неориентированного графа- Среди работ в этом направлении отметим работу Ч.К. Гупты и Е.И. Тимошенко [1], где для частично коммутативных ме-табелевых групп получено много интересных результатов, среди которых, в частности, доказано, что две частично коммутативные метабелевы группы имеют одинаковые элементарные теории тогда и только тогда, когда их графы изоморфны. Существует ряд работ посвященных изучению частично коммутативных групп в многообразии двуступенно нильпотентных Q-групп, среди них выделим работы A.A. Мищенко [4, 5], где решается проблема универсальной эквивалентности и описываются координатные группы алгебраических множеств для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп.

В настоящей диссертационной работе мы определяем и исследуем частично коммутативные двуступенно нильпотентные Д-группы, где R — биномиальное кольцо. Для этих групп решаются две основные задачи: описание группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных Л-групп и исследование выполнимости экзистенциальных формул специального вида, построенных по конечному простому графу, на частично коммутативных двуступенно нильпотентных /¿-группах (в случае если R — поле рациональных чисел). Изучение выполнимости специальных формул важно для решения проблемы универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп, что было сделано A.A. Мищенко в работе [4]. Отметим также, что исследование структуры группы автоморфизмов позволяет нам построить новую серию арифметических групп так как она от отличается от серии, полученной в [20].

Цели работы. В данной работе мы ставим перед собой следующие задачи: исследовать структуру группы автоморфизмов АиЬ{Сг) для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Я-группы Ср, описать порождающее множество для Ли/^Сг), построить новую серию арифметически групп, изучить выполнимость экзистенциальных формул специального вида на группе Ср в случае если Я - поле рациональных чисел.

Методика исследования. В качестве методов исследования использовались методы теории графов, и методы теории нильпотентных групп.

Научная новизна работы. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке их появления в работе:

1. Описана структура группы автоморфизмов Ли£(Сг) группы Ср. Описание Аи<(Сг) сводится к изучению Аи([(Сг) — линейной части группы автоморфизмов группы Ср. Затем, для Ли^(Сг) получено следующее разложение:

Лигг(Сг) = (ЦТ(рг) X У(Г)) X Ли£(Гс),

где {/Т(Ср) — унипотентяая часть Ли^(Ср). У(Г) — множество вершинных автоморфизмов, а /1?^£(ГС) — группа автоморфизмов компресс-графа Гс.

2. Вычислена ступень нильпотентности группы иТ{С1г).

3. Построена новая серия арифметических подгрупп.

4. Описано множество порождающих элементов группы автоморфизмов группы Сг

5. В случае когда биномиальное кольцо Я является полем рациональных чисел, описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на {^-группе Сг-

Теоретическая значимость. Достаточно подробно описана структура всей группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступен-но нильпотентных Я-групп. Исследована выполнимость экзистенциальных формул специального вида на частично коммутативных двуступенно нильпотентных <3-группах. Последний результат важен для решения проблемы универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных ф-групп.

Практическая ценность. Работа имеет теоретический характер.

Апробация работы. Результаты полученные в настоящей диссертации докладывались на международной математической конференции "Маль-цевские чтения" (г. Новосибирск 2006 г., 2008 г., 2009 г.); международной математической конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), международной школе-семинаре "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (г. Омск, 2009 г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического семинара.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [24. 25, 26, 23, 22]. ,Работы [24. 25, 26] выполнены совместно с Алексеем Александровичем Мищенко при равном вкладе соавторов. Работа [23] выполнена совместно с Владимиром Никаноровичем Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.

Структура и объем работы.

Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, параграфа «Предварительные сведения», двух глав и списка литературы. Главы разбить* на параграфы, некоторые параграфы структурированы по пунктам. Список литературы содержит 26 наименований.

Диссертация начинается с небольшого предварительного параграфа, где вводятся основные определения. Основное содержание диссертации разделено на две главы.

Первая глава диссертации посвящена изучению группы автоморфизмов -Аи£(Сг) группы Сг- Важную роль в доказательствах играет критерий когда произвольное отображение группы Су заданное на порождающих элементах продолжается до автоморфизма (теорема 1.3). Теорема

1.2 сводит описание Ап^(Сг) к изучению Лгф(Сг) — линейной части группы автоморфизмов группы Сг. Затем, в теореме 1.8 для группы АЫ^Сг) получены следующие разложения: Аи£|(Сг) — (^Т(Сг)ХУ(Г))Х Аи£(Гс), где 11Т(Сг) - унипотентная часть Ли^(Ср), У'(Г) - множество вершинных автоморфизмов, а Либ(Г') - группа автоморфизмов компресс-графа Гс. В параграфе 1.5 доказано, что ступень нильпотентности группы {/Т(Сг) равна некоторому числу которое зависит от графа Г и найдена мальцев-ская база для [/Т(£тг). В параграфе 1.7 описано множество порождающих элементов группы автоморфизмов группы (ЗУ-

Во второй главе, мы рассматриваем частично коммутативные двусту-пенно нильпотентные О-группы, то есть биномиальное кольцо й является полем рациональных чисел. Итак, по любому конечному простому графу Т в параграфе 2.1 определяется экзистенциальная формула специального вида ф(Т). Вторая глава посвящена решению следующей проблемы: для какого графа Т формула Ф{Т) выполнятся на (^-группе Ср? Для ответа на этот вопрос вводятся три специальные операции на графах, удовлетворяющие следующему свойству: если применяя данные операции к графу Т\ мы получаем граф То, то формула ф(Т\) выполняется на группе 6т тогда и только тогда, когда формула ф{Т2) выполняется на группе Ср. С помощью этих операций задача решается последовательно: сначала для случая, когда граф Т является путём или линейным графом, затем, для случая когда граф Т является циклом длины к без диагоналей (к > 3), и, наконец, задача решается для произвольного графа Т.

Содержание работы

Диссертация начинается с параграфа «Предварительные сведения», в котором мы вводим главный объект настоящей работы частично коммутативную двуступенно нильпотентную Д-группу и определяем другие нужные нам понятия. Сформулируем основные определения.

Определение. Произвольную коммутативную область целостности содержащую Ъ как подкольцо, назовём биномиальным кольцом Я, если для каждого элемента А 6 й и любого натурального числа п, кольцу Я. принадлежит следующий биномиальный коэффициент: А(А-1)(А-2)...(А-п + 1)

Определение. Нильпотентная группа (7 ступени нильпотентности т называется Н-группой {здесь Я - биномиальное кольцо), если для любого А £ Я и х € С? единственным образом определён элемент хх £ С, и для всех элементов группы б и кольца Я выполнены следующие аксиомы (х.у,х1,... ,хп £ С, А,ц £ Я):

1. х1 = х, ххх* = хх+>>, (ххУ = хх».

2. у~1хху = (у~1ху)х.

3. х\... хх = (хь • • • хп)хт?{Х)... т^(Х), где X = {хь..., х„}, ъ(Х) - г-ое слово Петреску. Напомним читателю, что для любого натурального г, г-ое слово Петреску рекурсивно определяется следующей формулой:

х\.. = ... Т$;\Х)Т?{Х)

в свободной группе Р с порождающими х\,..., хп, в частности,

п

Т1(Х) = Х1Х2...ХП, т2{Х) = П \Х1,ХА ъ{Р), где -

К},

третий элемент нижнего центрального ряда группы F.

В данной работе мы будем использовать нильпотентные группы ступени т = 2. Всюду далее, коммутатор двух элементов х,у £ б будем обозначать через [х, у] = х~1у~1ху, через С - коммутант группы С и через 2(С) - центр группы (7.

Определение. Многообразие двуступенпо нильпотентных групп N2 определяется тождеством:

С £ N2 если Ух, у. г £ С [я, у, г] = [[х, ?/], г] = 1.

В многообразии N2 третья аксиома в определении 2 Д-группы выглядит следующим образом:

' с2 п

З.хх...хх = (хи.. ■ х„)хт2 Х{Х). где т2(х\,... ,хп) = П

<¡ = 1

Класс двуступенно нильпотентных Д-групп будем обозначать через Л^д. Класс N2.fi является многообразием в языке Ьц = Ьдг и {/л |А £ Я}, где Ьдг - стандартный групповой язык, Д - унарная алгебраическая операция,

которая интерпретируется в некоторой алгебраической системе С данного языка следующим образом:

/д(х) = хх, где х Ев.

Будем называть алгебраические системы языка ¿д й-группами, если в них выполнены аксиомы группы и аксиомы 1,2 из определения 2, и нильпо-тентными Д-группами, если С - нильпотентная группа и в ней выполнены аксиомы 1,2,3.

Введём основное понятие данной работы - частично коммутативную двуступенно нильпотентиую Л-гругщу, где /¿-биномиальное кольцо, используя то, что в многообразии Л^.я, как и в других многообразиях, определена теория определяющих соотношений. Пусть /^д - свободная группа многообразия Л^д, с базой V = {а^,... ,ап}. Пусть Г - конечный простой граф (неориентированный граф без кратных рёбер и петель мы называем простым) с множеством вершин — V и множеством рёбер Б(Г). Определим частично коммутативную двуступенно нильпотентную Л-группу соответствующую графу Г с помощью порождающих и определяющих соотношений в многообразии N2^:

вг = где Яг = (Ка,] = 1| 6 £(Г)}.

Далее, для формулировки результатов диссертации введём операторы 1- и ас1: введём отношение эквивалентности на вершинах графа Г, и определим понятие компресс-графа.

Пусть Г — произвольный конечный простой граф с множеством вершин X — ..., хп}. Для пары вершин х, у из одной компоненты связности графа Г определим расстояние с1(х, у) как минимум из всех длин путей, соединяющих х и у. Если хну находятся в различных компонентах связности графа Г, то положим ¿(х, у) = ос. Для множества У С X определим его ортогональное дополнение:

У1^{хеХ\<1(х,у)<1Уу£¥}.

Определение. Будем говорить, что множество У С X является замкнутым, если с1(У) = У, где с1(У) = (Г1)1.

Обозначим через ЦГ) множество всех замкнутых подмножеств в X.

Определение. Для произвольного элемента х Е X обозначим через ай(х) = (аг1- \ {х})х и пусть ЬаЛ = {ас1(х)\х € X}.

Определение. Определим частичный порядок <аd на множестве X следующим образом: будем считать, что х <„,/ у тогда и только тогда, когда ad(x) С ad(y). Будем считать, что х <a,i У тогда и только тогда, когда ad(x) С ad(y).

Определим на множестве X отношение эквивалентности правилом х у, х, у € X, если и только если х1 = у1. Обозначим через [х] класс ±-эквивалентности для х. Введём на X другое отношение эквивалентности ~0 правилом х ~0 у, если и только если х1 \ х = у1 \у. Обозначим через [х]0 класс о-эквивалентности для х.

Определим отношение ~ на X по правилу х ~ у, если и только если или х ~ j_ у, или х ~0 у- Обозначим через [х] — класс эквивалентности элемента х £ X я пусть [ic 1 ],..., \хт] — множество всех классов эквивалентности для элементов из X.

Определение. Компресс-граф для графа Г есть граф Гс с вершинами Xе — {\х\\х £ X} и пары вершин [х] и [у] соединены ребром, если и только если (х,у) есть ребро в графе Г. Это определение ребра не зависит от выбора представителей в классах вершин [х] и [у].

Удобно рассматривать граф Гс в новой категории — в категории помеченных графов. Для этого разделим множество X в дизъюнктивное объединение трёх множеств:

X! = [х е Х\[х] = [х)0 = Их}, = {х е Х\\[х]±\ =гх> 2},

Х0 = {х € X||[i]0| =lx> 2}.

Если х € Xi, то метка х есть ц{х) = {1}. Если х £ то метка х есть ß(x) = {-L,rx}, если х £ то ц(х) — {о, 1Х}.

Обозначим через Avi[T) — группу автоморфизмов графа Г и через Aut(Tc) — группу автоморфизмов компресс-графа Гс как помеченного графа. Поскольку граф Гс конечный, то и группа автоморфизмов графа Aut(Гс) - конечная группа. Пусть ф G Aut(T), тогда фс = со ф есть автоморфизм Гс как помеченного графа. Обозначим через Aut(c) : Ли£(Г) -+ Ли<(Гс), АиЬ{с){ф) = фс- Для [ее] 6 Xе пусть 5|[х]| — симметрическая группа порядка |[х]|, тогда верно

Предложение 3. [17]. Отображение АиЦс) есть эпиморфизм АиЬ{Г) на Аи<(Гс). Более того, существует вложение i : Ли<(Гс) в Ли<(Г) такое, что

Аи1(Г) = ( П 51[х]1)ХЛ^(П.

Пусть У С X, подгруппу группы Сг, построенную на вершинах из У, будем обозначать через Ру.

Первая глава диссертации посвящена изучению структуры группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп.

Определим понятие /¿-автоморфизма двуступенно нильпотентной Я-группы С:

Определение. Пусть группа С из многообразия N2.f1- Отображение ф : С —► (? называется Я-автоморфизмом, если

1) ф групповой автоморфизм;

2) для любого х 6 С и любого а € Я выполнено ф(да) = Ф{д)а-

Пусть X — множество порождающих элементов группы С в многообразии .Л/г,д; С = (X)Ц. другими словами, наименьшая /¿-подгруппа, содержащая X, совпадает с С. Тогда, как обычно, автоморфизм ф полностью определяется своими значениями на порождающем множестве X.

Далее, для удобства изложения, примем следующие допущения:

• группа (7 — Д-группа;

• автоморфизм группы б является Я-автоморфизмом;

• Ли!(С) — группа всех /¿-автоморфизмов для (7.

Пусть Г — конечный простой граф, бг — частично коммутативная двуступенно нильпотентная /¿-группа, и ф — /¿-автоморфизм бт, X ---{хх,... ,х„} — множество канонических порождающих С?г- Пусть

ф(х1)=ха1"...х^с1,

ф(хп) = х^1...х^сп,

где с; € Ср. «у £ Я-А,з = 1,... ,п. Обозначим через \ф] — матрицу (оцу), ЬЗ = 1,.-.,п.

Так как коммутант Ст группы (?г характеристическая подгруппа, то автоморфизм ф индуцирует факторный автоморфизм ф на фактор-группе Ст/Ср, который является свободным Л-модулем с базой X = {хТ,... причём

и матрица [</>] = = (с*у) е GL(n, R), i,j — !.... ,п.

Во введённых обозначениях верна

Теорема 1.2. Пусть Gr частично коммутативная двуступенно нилъ-потентная R-группа с множеством канонических порождающих X — {xi,...,2:„}. Тогда:

1) существует короткая последовательность:

1 -f IAut(Gv) — Aut{Gr) Л GL(n, R) -»• 1,

где f — гомоморфизм факторизации, IAut(Gy) = ker /,

Auti(Gr) — Imf подгруппа факторных автоморфизмов в GL(n, R);

2) IAut(Gr) — абелева нормальная подгруппа, изоморфная Gr х ... х Gr,"

%. 1 v

п раз

3) множество порождающих Aut(Gr) есть объединение прообразов множества порождающих для Auti(Gr) и множества порождающих для IAut(Gr).

Теорема 1.2 сводит изучение структуры Aut(Gr) к изучению структуры группы факторных автоморфизмов Auti(Gr).

Важную роль в работе играет критерий для отображения группы Gr быть автоморфизмом. Перед его формулировкой введём понятие Г-допустимой матрицы:

Определение. Матрицу А = (а^) 6 GL(n,R) — назовёмТ-допустимой, если для любой пары индексов (i,j) таких, что (ij. Xj) € Е и любой другой пары индексов k,l, таких, что (xk,xi) ^ Е, минор порядка 2: ацt au

otjk atjl

Mkl = ч

= 0.

Теорема 1.3. Отображение ф, определённое выше, продолжается до Я-автоморфизма группы С?р тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Матрица [б] — (о^), г,] = 1... .п является Г - допустимой матрицей.

/сЛ

2. Столбец (7=111 является произвольным элементом из свобод-

\Сп/

ного Я-модуля (С'Г)п.

Следующие теоремы описывают структуру группы линейных автоморфизмов Ли£;((?г)-

Теорема 1.5. Группа вершинных автоморфизмов У'(Г) изоморфна прямому произведению групп вида С7£(п,-,.й),г = 1 ,...,т, другими словами,

т ¿=1

Подгруппу У*(Г) = (У(Г), АиЬ(Т)) из АЫ[{Сг) назовём обобщённой подгруппой вершинных автоморфизмов.

Теорема 1.6. Пусть У*(Г) — обобщённая подгруппа вершинных автоморфизмов, тогда

1. Группа ^(Г) является нормальной подгруппой в V* (Г).

2. Верно равенство У (Г) П Ли£(Г) = ксг АиЬс, где Аи(,с : Лм£(Г) —> АиЬ(Гс) — канонический автоморфизм.

3. Группа К*(Г) есть полупрямое произведение К(Г) и Агй(Гс), то есть У*(Г) = У(Г) X Ли((Гс).

Пусть автоморфизм ф 6 с матрицей [0] = = 1.... ,п

и автоморфизм А 6 Ли4(Гс). Для формулировки следующих теорем нам понадобится понятие А-проекции. В общих чертах, смысл понятия А-проекции заключается в занулении некоторых блоков матрицы [<^>], в соответствии с А.

Дадим подробное описание понятия А-проекции. Автоморфизм А графа Гс определяет подстановку 5д на множестве классов эквивалентных вершин графа Г:

[ Ы ••• [УшП (1)

Обозначим через Мх множество матриц вида:

[У2

[Ут

( 0 -V] о ^

О 0

VAvU о о /

где Л|лк1 есть матрица из кольца матриц размерности |[ytm]| над R.

Пусть ф е Aut¡(Gi) с матрицей А — (а1}). Пусть /(А) — множество пар (i,j), i,j = 1,...,п, таких, что (i,j) € /(А) тогда и только тогда, когда если хг € [у;], то х} <Е [?д.,], где sA([?/;]) = \Уь}- Обозначим через фх — отображение группы Gг с матрицей [<^>а] = (а,-), где = ctij, если (i,j) € /(А) и = 0, если (г, j) ф /(А). Ясно, что [^д] € Мх. Отображение фх назовём A-проекцией автоморфизма ф.

Теорема 1.7. Для любого автоморфизма ф 6 Aut¡(Gr) существует однозначно определённый автоморфизм тт(ф) из Aut(Гс) такой, что:

1. л{ф) - проекция для ф — отображение фж^ является единственным среди проекций автоморфизма ф, которое является автоморфизмом принадлежащим

2. Пусть ф = фо • фж{ф), тогда п{Фо) = е, где е — тождественный автоморфизм из Aui(rc).

3. Матрица [¿>о] является нижней клеточно-диагопалъной матрицей с единичными клетками на главной диагонали.

4■ Автоморфизм ф индуцирует перестановку ц(ф) на множестве Lad,

—Ф —

то есть = P(ad(x))i'W для всех х € X, или, другими словами,

а(хф) С а<1(х^ф)).

Теорема 1.8. В обозначениях из теоремы 1.7 верны следующие утверждения.

1. Отображение п : Aut¡(Gг) —» Лк£(Гс) является эпиморфизмом. Пусть кегтг = Autf(Gr). Тогда Aut¡(Gr) = Autf(Gr) X Aut(rc), то есть, Aut¡(Gr) есть полупрямое произведение групп Autf(Gr) и Aut{Гс).

2. Все матрицы автоморфизмов из Autf{Gr) являются нижне клеточно-диагоналъпыми и Autf(Gr) = UT{Gv)\V(T), edeUT(G?) = Autf{Gr)n UTc(n, R), где UTc(n, R) — группа нижних унитреуголъных матриц над R, у которых в блоковом представлении на главной диагонали находятся единичные блоки.

Перейдём к описанию унипотентной части UT(Gr).

Определение. Упорядоченное множество Т — {t\,...,tp}, р 6 N, элементов группы G называется мальцевской базой, если для него выполнены следующие условия.

1. Для любого g G G, существует однозначная запись в форме g — t J ¿J * ' ' ; Ûj G R

2. Пусть G,; = {U,... tp)n, тогда следующая цепочка подгрупп:

G - Gi < G2 <...< Gp < Gp+i - 1 (2)

является центральным рядом

3. Gi/Gi+i - одномерный свободный R-модуль с базой {Ьг}, где i € {1,... ,р}.

Элементами нашей мальцевской базы будут Г-допустимые трансвекции. Трансвекция lrl}(a) называется Г-допустимой, если х1 <„,; Xj.

Теорема 1.9. Пусть Т — множество Г - допустимых трансвекций вида Ьгц(1) с порядком определённым выше, тогдаТ — есть мальцевская база для UT(Gr)•

Определение. Высотой решётки допустимых множеств группы Gr назовём число равное максимальной длине строго убывающей цепочки элементов из X относительно порядка <ав.■ Будем обозначать это число через /i(Gr).

Теорема 1.10. Ступень нильпотентности группы автоморфизмов UT{GV) равна А(СГ).

Определим понятие арифметической группы над кольцом Z. Линейная алгебраическая группа, по определению, есть группа, основное множество которой есть аффинное алгебраическое множество, такое, что групповые операции умножения и обращения являются морфизмами в категории алгебраических множеств. Говорят, что линейная алгебраическая группа G Q-определена, если она есть подгруппа GL(n, С), а её основное множество определяется системой уравнений с коэффициентами из Q. Подгруппа А С G П GL(n, Q) называется арифметической подгруппой G, если она

соизмерима с G HGL(n,X). Напомним, что две подгруппы А и В группы G называются соизмеримыми, если Af)B является подгруппой конечного индекса и в А, и в В.

Пусть R — биномиальное кольцо, содержащееся в С. Тогда подобным образом можно определить и понятие Я-арифметической группы, заменяя поле Q на поле частных кольца R.

Теорема 1.11. Пусть R — биномиальное кольцо, содержащееся в С, и пусть Autt(Gr) — группа факторных автоморфизмов группы 6т,д-Тогда группа Auti{G?) является R-арифметической для случая, когда R есть кольцо Ъ или поле нулевой характеристики.

Перейдём к описанию порождающего множества для группы автоморфизмов Aut(G?)

Из теоремы 1.2. следует, что gen(Aut(Gг)) = gen(Auti(G\-))Ugen(IAut(G Также в теореме 1.2 показано, что группа IAut(Gr) = (С'г)п, где G'T -коммутант группы Gp. Поскольку коммутант G'r имеет структуру свободного R - модуля с базой Y — {Шг|для всех [xk,%i\ ^ 1}, то и его п-я степень IAut(Gr) = (Gp)n = G'r х ... х G'r также является свободным R - модулем размерности п ■ |У|. то есть имеет весьма понятную структуру, и система порождающих IAut(Gr), является произвольной базой для R-модуля (G'r)n. Таким образом, осталось описать порождающее множество для Auti(Gr).

По теореме 1.8, имеем следующие разложения для yluti(Gr):

1. Auti(Gv) -— Autf(Gr) X Aut(Fc): где Aut(Vc) - группа автоморфизмов графа Гс;

2. Autf(Gr) — UT(Gг) X V(Gt), где У(Г) - вершинная группа автоморфизмов, У(Г) ^ П GL{\[xi}\,R).

Ыех'

Из вышеуказанных разложений следует, что gen(Auti(Gr)) = gen(UT(Gr) gen(V(r))\Jgen(Aut{rc)). Мы в предыдущих параграфах описали порождающее множество для UT(Gr), описание же для группы вершинных автоморфизмов У(Г) даёт

Теорема 1.12. Подгруппа V(F) порождается:

1. если R = Z, то множеством матриц Diagz и Try.

2. если R - поле нулевой характеристики, то, соответственно, множеством матриц DiagR и Try.

Таким образом, описано порождающее множество для всей группы автоморфизмов группы Ср.

Во второй главе мы работаем только с частично коммутативными дву-ступенно нилыготентными (^-группами, или, другими словами, рассматриваем случай когда биномиальное кольцо К является полем рациональных чисел. Глава начинается с определения экзистенциальной формулы ф(Т) по конечному простому графу Т. Приведём это определение: каждой вершине графа Т взаимооднозначно ставится в соответствие одна из букв

..., гп формулы ф{Т), где |У(Т)| = п. Формула будет иметь вид:

ф(Т) = 3г1... гп{/\[гг, г,-] = 1 Л Д[г*, д] ф 1 Л Д г, ф х, Л Д ф 1),

\ф] г

где [г,;, г,] = 1 тогда и только тогда, когда вершины, соответствующие г* и

в графе Т, соединены ребром, и [гь г;] 1 если вершины, соответствующие г* и г; в графе Т, не соединены ребром.

Во второй главе описываются все такие графы Т для которых формула ф(Т) выполняется на группе Сг для фиксированного графа Г. Для решения этой задачи в параграфе 2.2 вводятся операции на графах, называемые раздутием и сжатием первого, второго и третьего рода, удовлетворяющие свойству: применение данных операций к графу Т сохраняет выполнимость формулы на группе Ср. Другими словами, если граф Т\ получен из графа Т2 раздутием или сжатием первого, второго или третьего рода, то формула ф(Т\) выполняется на группе Сг тогда и только тогда, когда формула Ф(Т2) выполняется на группе Сг-

Общий результат о выполнимости формулы ф(Т) на группе йг для заданных графов Т и Г получается последовательно в три этапа:

1. вопрос выполнимости ф{Т) решается для случая, когда граф Г — линейный граф (параграф 2.3);

2. вопрос выполнимости ф{Т) решается для случая, когда граф Г является циклом длины п ^ 4 без диагоналей (параграф 2.4);

3. рассматривается общий случай, то есть когда граф Г — произвольный конечный простой граф (параграф 2.5).

Решение случая пункта 3 основано на разборе первых двух случаев, на базе которых получается общий случай. Случай первого пункта разобран Мищенко А.А., случай второго разобран автором диссертации.

Под линейным графом длины п — 1 мы понимаем граф с вершинами {^1,..., хп} и п — 1 ребром, которые соединяют вершины с соседними номерами. Группу Сг; построенную по графу Г, обозначим через Сп. На рисунке 1 изображён линейный граф длины 5, по которому строится группа

с6.

II х2 х4 х5 х6

Рис. 1: Линейный граф длины 5. Ра1к& Линейный граф длины п — 1 будем обозначать РаЬкп. Обозначим за

Ра^ класс деревьев, полученных из РаОг^ добавлением висячих вершин к невисячим вершинам.

Рис. 2: Граф из класса Ра^к Обозначим за Сус^ - цикл длины п без диагоналей.

Vl vn

Рис. 3: Граф Сусъ

Определение. Конечный граф Т позовём к-циклическим графом, если в графе Т есть только один цикл длины к без диагоналей.

Определение. Обозначим за Суо„, класс п-циклических графов, полученных из Сусп добавлением висячих вершин к невисячим вершинам. (См. рис. 4)-

Основные результаты второй главы можно сформулировать в следующей серии теорем:

Теорема 2.1. Если ф(Т) выполняется на Gn, где Т - дерево, то найдётся к <п, такое, что Т € Path};.

Рис. 4: Граф из класса Сус,

Теорема 2.2. Формула ф(Т) выполняется на группе Оп для произвольного графа Т, тогда и только тогда, когда Т € РаШк для некоторого к <п, где Т' получается из Т полным сжатием первого и второго рода.

Теорема 2.3. Если ф{Т) выполняется на С1сУг^, где Т - дерево, то найдётся к < п, такое, что Т £ РаИг^.

Теорема 2.4. Если ф(Т) выполняется на СсУсп> где Т - п-циклический граф, то Т € СуСп.

Теорема 2.5. Формула ф(Т) выполняется на группе Ссус^ для произвольного графа Т,"тогда и только тогда, когда Т' £ РаЛк или Т* £ СуСп, к < п, где Т получается из Т полным сжатием первого и второго рода.

Теорема 2.6. Формула ф(Т) выполняется на группе Ср для произвольных графов Т и Г, тогда и только тогда, когда существует граф Го -полученный из Г последовательностью элементарных раздутий и сжатий первого, второго и третьего рода, такой, что Т полный подграф

Го-

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Никаноровичу Ремесленникову за постановку задачи и помощь в её решении, а также другу и соавтору Мищенко Алексею Александровичу за ценные советы по оформлению работы.

Список литературы

[1] Ч.К. Гупта, Е.И. Тимошенко, Частично коммутативные метабелевы группы: централизаторы и элементарная эквивалентность, // Алгебра и логика, 48(3) 2009, С. 309 - 341 2009.

[2] А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056 - 1059, 1981.

[3] А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Формульность множества маль-цевских баз и элементарные свойства конечномерных алгебр // Сиб. мат. журн., 23(5), С. 152 - 167, 1982. Translation in Sib. Math. J., 23(5), pp. 711 - 724, 1982.

[4] A.A. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93 - 100, 2008.

[5] А.А. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика, 48(3), С. 378 - 399, 2009.

[6] P. Hall. Nilpotent groups // Canad. Math. Congr. Summer. Sem., Univ. of Alberta, Edmonton, 1957; reprint, The Edmonton notes on nilpotent groups, Queen Mary College, London 1969.

[7] J. Crisp, B. Wiest, Embeddings of graph braid groups and surface groups in right-angled Artin groups and braid groups" Algebra, Geometry, Topology, 4, pp. 439 - 472, 2004.

[8] S.P. Humphries. On representations of Artin groups and the Tits conjecture // J. Algebra 169(3), pp. 847 - 862, 1994.

[9] C. Wrathall. Free partially commutative groups, // Combinatorics, computing and complexity (Tianjing and Beijing, 1988), Math. Appl. (Chinese Ser.), 1, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp. 195 — 216, 1989.

[10] R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141 - 158, 2007.

[11] R. Charney, J. Crisp and K. Vogtmann. Automorphisms of two-dimensional right-angled Artin groups // Geometry & Topology, 11, pp. 2227 - 2264, 2007, http://arxiv.org/abs/math/0610980v2.

[12] C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc., 100, pp. 407 - 408, 1987.

[13] H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups // J. Algebra, 126(1), pp. 34 - 60, 1989.

[14] M.R. Laurence. A generating set for the automorphism group of a graph group // J.London Math. Soc., 52(2), pp. 318 - 334, 1995.

[15] K.H. Kim, L. Makar-Limanov, J. Neggers, F. lloush. Graph Algebras // J. Algebra, 64, pp. 46 - 51, 1980.

[16] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Centraliser dimension and universal classes of groups / / Siberian Electronic Mathematical Reports, 3, 2006, http://semr.math.nsc.ru/2006/V3/pl97-215.pdf.

[17] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151 -176, 2008.

[18] A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // J. Algebra, 318(2), pp. 918 - 932, 2007, www.ar3dv.org/math.GR/0702431.

[19] E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319 - 348, 2005.

[20] A. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Automorphisms of partially commutative groups. I: Linear subgroups", arXiv:math/0803.2213vl [math.GR] 14, pp. 1 - 25, 2008.

[21] G.A. Noskov. The image of the authomorphism group of a graph group under the abelinization map // Статья представлена в Вестник Новосибирского Государственного Университета. Серия: математика, механика, информатика.

Список работ автора

[22] А.В. Трейер. Два результата для группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 10(2) 2010, С. 2 - 15, 2010.

[23j ВН. Ремесленников, A.B. Трейер. Структура группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступешю нильпотентных групп // Алгебра и логика, 51(1), С. 60 - 97, 2010.

[24] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Выполнимость ^-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynnax /'/ Вестник Омского Университета, 1, С. 15 - 17, 2006.

[25] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск, С. 98 - 102, 2007.

[26] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynn // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460 - 481, 2007.

Трейер Александр Викторович

Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных частично коммутативных групп.

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 27.04.2010. Формат бумаги 60x84 1/16. Псч. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ 106. Издательство ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.

Введение

Предварительные сведения

Нилытотентные группы.

Базисные коммутаторы.

Частично коммутативные структуры.

Решётка замкнутых множеств для конечных графов

Построение компресс-графа по конечному графу.

Абелинизированные параболические подгруппы.

1 Автоморфизмы частично коммутативных двуступенно нильпотентных Л-групп

1.1 Д-автоморфзимы.

1.2 Теорема Лоуренса.

1.3 Теорема о разложении Aut(Gr).

1.4 Две теоремы о разложении группы Auti(Gr).

1.4.1 Критерий для отображения быть автоморфизмом

1.4.2 Вершинные группы автоморфизмов.

1.4.3 Структура группы факторных автоморфизмов

1.4.4 Формулировки результатов.

1.4.5 Доказательство основных теорем.

1.5 Структура унипотентной части Auti(Gr).

1.5.1 Мальцевская база для UT(Gy).

1.5.2 Ступень нильпотентности UT{Gy).

1.6 Арифметичность группы Auti(Gr).

1.7 Порождающее множество для Aut(Gr)

2 Выполнимость формул на частично коммутативных нильпотентных группах

2.1 Экзистенциальные формулы.

2.2 Операции раздутия и сжатия для простых графов.

2.3 Случай линейного графа

2.3.1 Т - дерево.

2.3.2 Т - произвольный граф.

2.4 Случай цикла без диагоналей.

2.4.1 Т - к-циклический граф.

2.4.2 Т - произвольный конечный граф.

2.5 Произвольный случай.

Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах и приложениях математики. Эти группы очень удобны для исследования благодаря удобным нормальным формам и разрешимости большинства алгоритмических проблем. Введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [10, 16].

Частично коммутативные группы (также известные как прямоугольные группы Артипа или графовые группы), по определению, являются конечно представимыми группами у которых определяющие соотношения состоят только из конечного числа соотношений вида [х,у] — 1, между элементами х и у из порождающего множества группы. Удобно задавать частично коммутативные группы с помощью конечного простого (то есть без кратных рёбер и петель) графа Г. Пусть граф Г имеет множество вершин X = {rci,., хп} и множество рёбер -Е'(Г), тогда графу Г будет соответствовать частично коммутативная группа Fp заданная с помощью порождающих и определяющих соотношений:

FT=(x1,.ixn\[x,y] = l (х, у) G -Е'(Г)), при этом граф Г часто называют графом коммутативности для группы Fp.

К настоящему времени опубликовано большое число статей посвящён-ных изучению частично коммутативных групп. Не имея возможности дать полный анализ работ, приведём небольшой обзор результатов тесно связанных с нашей диссертацией. В [12] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы коммутативности. В [13] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [7] показано, что фундаментальные группы почти всех поверхностей являются подгруппами частично коммутативных групп. В [18] введены понятия параболической и квазипараболической подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы произвольного множества элементов частично коммутативной группы. В [17] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.

Много статей посвящено изучению автоморфизмов частично коммутативных групп. Одними из первых работ в этом направлении стали статьи [13] и [14], в первой работе описывается структура группы автоморфизмов частично коммутативной группы, вторая посвящена описанию порождающего множества для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В статье [20] подробно описывается стабилизатор решётки замкнутых множеств для группы Fr и показывается, что этот стабилизатор является арифметической группой. Таким образом, построена бесконечная серия арифметических групп в которой конечному простому графу Г соответствует арифметическая группа.

Частично коммутативную группу можно определить в любом многообразии групп М. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии М определяются заданием конечного неориентированного графа. Среди работ в этом направлении отметим работу Ч.К. Гуп-ты и Е.И. Тимошенко [1], где для частично коммутативных метабелевых групп получено много интересных результатов, среди которых, в частности, доказано, что две частично коммутативные метабелевы группы имеют одинаковые элементарные теории тогда и только тогда, когда их графы изоморфны. Существует ряд работ посвящённых изучению частично коммутативных групп в многообразии двуступенно нильпотентных Q-rpynn, среди них выделим работы А. А. Мищенко [4, 5], где решается проблема универсальной эквивалентности и описываются координатные группы алгебраических множеств для частично коммутативных двуступеппо нильпотентных групп.

В настоящей диссертационной работе мы определяем и исследуем частично, коммутативные двуступенно нильпотентные /?-группы, где 11 — биномиальное кольцо. Для этих групп решаются две основные задачи: описание группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных Д-групп и исследование выполнимости экзистенциальных формул специального вида, построенных по конечному простому графу, на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Л-группах (в случае если R — поле рациональных чисел). Изучение выполнимости специальных формул важно для решения проблемы универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп, что было сделано А.А. Мищенко в работе [4]. Отметим также, что исследование структуры группы автоморфизмов позволяет нам построить новую серию арифметических групп так как она от отличается от серии, полученной в [20].

Основные направления исследования были приведены выше, перечислим задачи поставленные в работе более детально: исследовать структуру группы автоморфизмов Aut(Gr) для частично коммутативной двуступенно нильпотентной 7?-группы Gt, описать порождающее множество для Aut(Gr), построить новую серию арифметически групп, изучить выполнимость экзистенциальных формул специального вида на группе Gr в случае если R - поле рациональных чисел.

В качестве методов исследования использовались методы теории графов, и методы теории нильпотентных групп. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке их появления в работе:

1. Описана структура группы автоморфизмов Aut(Gr) группы Gr■ Описание Aut(Gr) сводится к изучению Auti(Gr) — линейной части группы автоморфизмов группы Gr- Затем, для Auti(Gr) получено следующее разложение:

Auti(Gr) = (UT(Gr) X 1/(Г)) X Aut(Tc): где UT{Gt) — унипотентная часть Auti(Gr), У"(Г) — множество вершинных автоморфизмов, a Aut(Tc) — группа автоморфизмов компресс-графа Гс.

2. Вычислена ступень нильпотентности группы UT(Gr)

3. Построена новая серия арифметических подгрупп.

4. Описано множество порождающих элементов группы автоморфизмов группы 6т

5. В случае когда биномиальное кольцо R является полем рациональных чисел, описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на Q-группе Gr

Достаточно подробно описана структура всей группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Д-групп. Исследована выполнимость экзистенциальных формул специального вида на частично коммутативных двуступенно нилыютентных Q-группах. Последний результат важен для решения проблемы универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynn.

Работа имеет теоретический характер. Результаты полученные в настоящей диссертации докладывались на международной математической конференции "Мальцевские чтения" (г. Новосибирск 2006 г., 2008 г., 2009 г.); международной математической конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), международной школе-семинаре "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (г. Омск, 2009 г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического семинара.

Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 23, 22]. Работы [24, 25, 26] выполнены совместно с Алексеем Александровичем Мищенко при равном вкладе соавторов. Работа [23] выполнена совместно с Владимиром Никаноровичем Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, параграфа «Предварительные сведения», двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, некоторые параграфы структурированы по пунктам. Список литературы содержит 26 наименований.

1. Ч.К. Гупта, Е.И. Тимошенко, Частично коммутативные метабелевы группы: централизаторы и элементарная эквивалентность, // Алгебра и логика, 48(3) 2009, С. 309 - 341 2009.

2. А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056 1059, 1981.

3. А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Формульность множества маль-цевских баз и элементарные свойства конечномерных алгебр // Сиб. мат. журн., 23(5), С. 152 167, 1982. Translation in Sib. Math. J., 23(5), pp. 711 - 724, 1982.

4. А.А. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93 100, 2008.

5. А.А. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика, 48(3), С. 378 399, 2009.

6. P. Hall. Nilpotent groups // Canad. Math. Congr. Summer. Sem., Univ. of Alberta, Edmonton, 1957; reprint, The Edmonton notes on nilpotent groups, Queen Mary College, London 1969.

7. J. Crisp, В. Wiest, Embeddings of graph braid groups and surface groups in right-angled Artin groups and braid groups" Algebra, Geometry, Topology, 4, pp. 439 472, 2004.

8. S.P. Humphries. On representations of Artin groups and the Tits conjecture // J. Algebra 169(3), pp. 847 862, 1994.

9. C. Wrathall. Free partially commutative groups, // Combinatorics, computing and complexity (Tianjing and Beijing, 1988), Math. Appl. (Chinese Ser.), 1, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp. 195 — 216, 1989.

10. R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141 158, 2007.

11. R. Charney, J. Crisp and K. Vogtmann. Automorphisms of two-dimensional right-angled Artin groups // Geometry & Topology, 11, pp. 2227 2264, 2007, http://arxiv.org/abs/math/0610980v2.

12. C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc., 100, pp. 407 408, 1987.

13. H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups // J. Algebra, 126(1), pp. 34 60, 1989.

14. M.R. Laurence. A generating set for the automorphism group of a graph group // J.London Math. Soc., 52(2), pp. 318 334, 1995.

15. K.H. Kim, L. Makar-Limanov, J. Neggers, F. Roush. Graph Algebras // J. Algebra, 64, pp. 46 51, 1980.'

16. A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Centraliser dimension and universal classes of groups // Siberian Electronic Mathematical Reports, 3, 2006, http://semr.math.nsc.ru/2006/V3/pl97-215.pdf.

17. A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151 -176, 2008.

18. A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // J. Algebra, 318(2), pp. 918 932, 2007, www.arxiv.org/math.GR/0702431.

19. E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319 348, 2005.

20. A. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Automorphisms of partially commutative groups. I: Linear subgroups", arXiv:math/0803.2213vl math.GR] 14, pp. 1 25, 2008.

21. G.A. Noskov. The image of the authomorphism group of a graph group under the abelinization map // Статья представлена в Вестник Новосибирского Государственного Университета. Серия: математика, механика, информатика.Список работ автора

22. А.В. Трейер. Два результата для группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 10(2) 2010, С. 2 15, 2010.

23. В.Н. Ремесленников, А.В. Трейер. Структура группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп // Алгебра и логика, 51(1), С. 60 97, 2010.

24. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Выполнимость Е'-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах // Вестник Омского Университета, 1, С. 15 17, 2006.

25. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной ф-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск, С. 98 102, 2007.

26. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460 481, 2007.A