Теоретико-модельные и алгебро-геометрические задачи для нильпотентных частично коммутативных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

13

На правах рукописи

Мищенко Алексей Александрович

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ И АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЧАСТИЧНО КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕН 2009

Омск 2009

003487713

Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных методов

алгебры и логики Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Ремесленников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.И. Тимошенко

Ведущая организация: Алтайский государственный университет.

Защита диссертации состоится 24 декабря 2009 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан "1£" ноября 2009 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

М.А. Шевелин

Ученый Секретарь диссертационного сове кандидат физ.-мат. наук,

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес, к частично коммутативным группам вызван многими замечательными свойствами этих групп. К этим свойствам можно отнести удобные нормальные формы, разрешимость большинства алгоритмических проблем, богатую нодгруниовую структуру. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах математики, в частности в компьютерных науках. Хорошим введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [26, 19].

Частично коммутативная группа полностью определяется заданием конечного неориентированного графа Г (без петель и кратных ребер) с множеством вершин X = ..., хп} и множеством ребер Е(Г) с помощью порождающих и определяющих соотношений. Графу Г соответствует свободная частично коммутативная группа Ег, которая имеет представление

•Рг = ^¡Х; = (х,,^) € £(Г)>,

то есть, соотношение коммутативности между порождающими элементами имеет место тогда и только тогда, когда вершины х, и х^ соединены ребром в графе Г. Свободную частично коммутативную группу часто также называют частично коммутативной группой.

Частично коммутативные группы линейны [29]. В [21] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы. В [33] найдено множество порождающих для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В [22] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [25] введены понятия параболической и квазипараболичсской подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы частично коммутативных групп. В [24] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.

Понятие частично коммутативной группы можно ввести в многих многообразиях алгебраических систем, в частности в многообразии нильпотентных О-групп фиксированной ступени нильпотентности, где поле рациональных чисел. В настоящей работе частично коммутативные группы определяются и исследуются в многообразии нильпотентных О-групн ступени нильпотентности 2. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии двуступенно нильпотентных 0>-групп полностью определяются заданием конечного неориентированного графа Г, а потому соответствующую группу мы будем обозначать Сг-

В данной диссертации для частично коммутативных двуступенно нильпо-

тентных Q-групп решаются дне осиовнмс задачи: нервам из mix связана с созданием основ алгебраической геометрии для данного многообразия групп, а вторая связана с проблемой универсальной эквивалентности для этих групп (решение проблемы В.Н. Ремесленникова, формулировку проблемы смотри ниже).

Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А. В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией. Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным нолем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами (не обязательно полями) -- это новое направление в математике. На сегодняшний день оно представлено работами в основном но алгебраической геометрии над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баумслага, А. Г. Мясни-кова, В.Н. Ремесленникова [14], А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [35] и Б.И. Плоткииа [38, 30], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы, причем, классификация координатных групп дана на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отмстим среди них работы Р. Линдона [34], К.И. Аппеля [12], Р. Брайнта [16], Г.С. Маканина [2], A.A. Раз-борова [4, 40], В.Н. Ремесленникова [5], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [27], 3. Селы [43], А. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Ссрбина [ЗС, 37|. Заве))-шающий результат был получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [30, 31, 32].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шашо [18], В.Н. Ремесленникова [6], В. Ремесленникова и Р. Штёра [41, 42], В.Н. Ремесленникова и Н.С. Романовского [7, 8], В.Н. Ремесленникова и Е.И. Тимошенко [9[.

Проблема классификации групп с точностью до универсальной эквивалентности стала весьма популярной в последние годы. Отметим в этом направлении

работы О. Шашо ]18), В. Ремесленникова и Р. Штерн |41, 42|, Н.С. Романовского [10. 11] и Ч.К. Гуиты Ii Н.С. Романовского 128]-

В.Н. Ремесленникоиьш была сформулирована, следующих проблема. Пусть заданы дна коночных графа Г) и 1\> п частично коммутативные группы и Gr, Ii некотором многообразии групп. По произвольному конечному простому графу 71 определяется экзистенциальная формулаф(Т) (определение формулы смотри и параграфе 1.1). Если фиксирован граф Г, то обозначим

ф(Г) = {Ф(Т)\ ф(Т) выполняется на Gr}.

Проблема В.Н. Ремесленникова состоит в следующем: группы Gr, и Gr2 универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда Ф(Г]) = Ф(Гг).

Одним из основных результатов данной диссертации является положительное решение данной проблемы в классе двуступенно нильпотентных Q-rpynn. Для решения этой проблемы понадобилось развить комбинаторную технику связанную с графами. Эта техника излагается н главе 1 диссертации.

Цель работы. Две основные цели были сформулированы выше, конкретизируем цели более детально. В данной работе мы ставим перед собой задачи: описать формулы выполняющиеся на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах, описать структуру централизаторов для этих групп, определить понятия алгебраической геометрии над частично коммутативными двуступенно ннльпотентными О-грунпамн, классифицировать координатные группы и алгебраические множества, доказать необходимое и достаточное условие универсальной эквивалентности.

Методика исследования. В качестве методов исследования использовались методы теории графов, методы алгебраической геометрии над алгебраическими системами и методы теории нильпотентных групп.

Научная новизна работы. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Для фиксированной частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы Gr описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на этой группе. Случай, когда грае]) Г имеет общий вид непосредственно следует из разбора двух специальных случаев, когда Г - линейный граф н когда Г ^-циклический граф. Результаты, касающиеся случая, когда Г линейный граф, принадлежат автору диссертации, а результаты, касающиеся fc-циклического графа принадлежат A.B. Трейеру.

2. Описана структура централизатора произвольного множества элементов для частично коммутативной двустуненно нилыютентной Q-группы па языке параболических и квазинараболическнх подг1)упп. Результаты, касающиеся описание централизаторов одного элемента группы получены A.B. Трейером.

3. Доказан критерий универсальной эквивалентности для частично коммутативных двустуненно нильпотентных Q-групп.

4. Получено описание алгебраических множеств для систем уравнений от одной переменной и для невырожденных систем уравнений для частично коммутативных двустуненно нильпотентных Q-групп.

5. Доказано, что любые две неабслсвые частично коммутативные двустуненно нильпотентные Q-группы геометрически эквивалентны.

Теоретическая значимость. Исследована структура централизаторов, получено описание алгебраических множеств для систем уравнений от одной переменной и для невырожденных систем уравнений для частично коммутативных двуступснно нильпотентных Q-групп. Также для этих групп доказан критерий универсальной эквивалентности, решена проблема геометрической эквивалентности и проблема универсальной геометрической эквивалентности.

Практическая ценность. Работа имеет теоретический характер.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной математической конференции "Мальцевские чтения"(г. Новосибирск, 2006г. и 2008г.), международной математической конференции "Эйлер и современная комбинаторика"(г. Санкт-Петербург, 2007г.), международной школе-семинаре "Новые алгебро-логические методы 1>ешения систем уравнений в алгебраических системах"(г. Омск, 2009г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического Семинара.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [45, 46, 47, 48, 49]. Работы [47, 48, 49] выполнены совместно с Александром Викторовичем Трейером при равном вкладе соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 109 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на на-

раграфы, большая часть параграфов с.грукгурщюияня но разделам. Список литературы содержит' 49 наименований.

Диссертация начинается с небольшого предварительного параграфа, где в во дятся основные определения. Основное содержание диссертации разделено на три главы.

В первой главе но любой п-ке элементов группы мы определяем так называемый граф коммутативности Т, и по этому графу Т в параграфе 1.1 естественным образом определяется экзистенциальная формулаф(Т). Первая глава посвящена решению следующей проблемы. Пусть задан граф Г, но графу Г строи тся частично коммутативная двустуненно нилыютентная (^группа 6т-Нас интересует вопрос: для какого графаТ формула ф(Т) выполнятся на группе Для решения этой задачи вводятся три специальные операции на графах, удовлетворяющие следующему свойству: если применяя данные операции к графу Т\ мы получаем граф 7г, то формула ф(7\) выполняется на группе б; тогда и только тогда, когда формула ¿»(ТЬ) выполняется на группе 6'г-

С помощью этих операций задача решается последовательно: сначала для случая, когда граф Г является линейным графом, затем для случая когда граф Г является циклом длинны к без диагоналей (к > 3), и в конце задача решается для произвольного графа Г. Результаты данной главы являются существенным шагом для доказательства гипотезы В.Н. Рсмеслснникова об универсальной эквивалентности - теорема 3.3.

Во второй главе мы решаем проблему описания централизаторов для частично коммутативной двуступснно нилыютентной О-группы. Для этого, следуя статье [25], вводятся понятия параболической и квазипараболической подгрупп, понятие блокового разложения элемента и некоторые операции ортогональности в графах, с помощью которых вводится решетка замкнутых множеств СБ{Х) для графа. Основной результат формулируется в этих терминах в гпеорелсе 2.1.

В случае свободных частично коммутативных групп централизаторы одного элемента были описаны Серватиусом [44]. Централизаторы нескольких элементов описываются в статье [25].

Третья глава диссертации посвящена проблемам алгебраической геометрии над частично коммутативной двустуненно нилыютентной О-гругшой. Основы алгебраической геометрии изложены в работах [14, 20, 35]. Следуя этим работам, в третьей главе мы вводим соответствующие определения в нашей категории групп. Прежде всего мы решаем проблему классификации алгебраических множеств для систем уравнений от одной переменной и невырожденных систем уравнений от нескольких переменных. Данные результаты формулируются в теореме 3.7 для систем уравнений от одной переменной, и в теореме

3.8 для систем невырожденных уравнений.

Б.И. Плоткнн ввел понятие геометрической эквивалентности двух алгебраических систем. Неформально две алгебраические системы геометрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые алгебраические геометрии. В общем случае проблема Плоткина геометрической эквивалентности для групп была решена в стать«! А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова ¡35]. Тем не менее, в каждом конкретном классе групп эта проблема конкретизируется и требует решения, учитывая индивидуальные особенности групп из данного класса.

Если мы рассмотрим не все алгебраические множества, а только неприводимые алгебраические множества, то по аналогии с проблемой Плоткина формулируется проблема универсальной геометрической эквивалентности. В диссертации по этому направлению получены следующие две теоремы. Теорема 3.5, в которой говорится об геометрической эквивалентности двух неабелевых частично коммутативных двуступенно нильпотентныхО-грунп, и теорема 3.6, формулирующая необходимое и достаточное условие универсальной геометрической эквивалентности двух групп из данного класса.

Содержание работы

Диссертация начинается с небольшого параграфа «Предварительные сведения», в котором мы вводим основной объект данной работы частично коммутативную двуступенно нильпотентную О-группу. Сформулируем основные определения.

Определение 1. Произвольную коммутативную область целостности содержащую Ъ как подкольцо, назовём биномиальныл1 кольцом Я, если для каждого элемента А € Я и любого натурального числа п, кольцу Я принадлежит следующий биномиальный коэффициент:

А(А-1)(А-2)...(А-п + 1)

л л!

Определение 2. Нилъпотентная группа С? ступени нильпотентности т называется В.-группой (здесь Я - биномиальное, кольцо), если для любого А 6 Я и х е й единственным образом определён элемент хх € и для всех элементов группы б и кольца Я выполнены следующие аксиомы (х,у,хи...,хп 6 С,А,¿г е Я):

1. а;1 = х, ххх>1 = а:АнЛ (х*)* = Xх

у ' гл,/ •• (у 1ху)х.

3. х* ... т* = (.г,,... х„)хъ1{Х)... Т„7 (X), где X = {*,,..., .т„ }, т, (X) i-

ое. слано Петреску. Напомним читателю, что для любого иппщхьиъного

i, i-oc слово Петреску рекурсивно определяется следующей формулой:

в свободной группе F с порождающими Xj,... ,.г„, о частности,

п

Г](Х) = хлх2... х„, Т2(Х) = П Ixi.Xj] mod ул(Р), где 73(F) третий

i<j. i,j = 1

элемент нижнего центрального ряда группы F.

В данной работе мы будем использовать нилытотонтные группы ступени т = 2. Всюду далее, коммутатор двух элементов х, у € G будем обозначать через [яг, у] — х~1у~1ху, через G' коммутант г руппы G и через Z(G) центр группы G.

Определение 3. Многообразие дауапупенио нилыготпентпых групп^ определяется следующим тождег.тао.ы:

G е т2 если Var, y,zeG [х, у, г] = [[г, у], г] = 1.

В многообразии ЭД2 третья аксиома в определении 2 Я-гругшы выглядит следующим образом:

' с'1 п

3. х\...х* = (.х-ь...х„)аг2'л(Аг), гдет2(хi,...,ar„)= П fc,',^]-

• < 3.

>■> -1

Класс двустуненно нильнотентных Я-групн будем обозначать через ОТг.л-Класс yi2.fi является многообразием в языке Ьц = Lgr U {fx |Д 6 R}, где Lgr - стандартный групповой язык, fx унарная алгебраическая операция, кото-ран интерпретируется в некоторой алгебраической системе G данного языка следующим образом

fx{x) = х\ где х £ G.

Будем называть алгебраические системы языка Ьц R группами, если в них выполнены аксиомы группы и аксиомы 1,2 из определения 2, и нилыютентны-мн Я-груниами, если G нильнотентная группа и в ней выполнены аксиомы 1,2,3.

Введем основное понятие данной работы частично коммутативную двустуненно нилыютентную Я-грунпу, где Я биномиальное кольцо, используя то, что

в многообразии как и в других многообразиях, определена теория опре-

деляющих соотношении. Пусть Fn R свободная группа, многообразия Т^.я, с. базой V — {«],..., о,,}. Пусть Г конечный простой граф (неориентированный граф без кратных рёбер и петель мы называем простым) с множеством вершин V(T) = V и множеством рёбер Е(Т). Определим частично коммутативную двуступенно нильнотентную Я-группу соответствующую графу Г с. помощью порождающих и определяющих соотношений в многообразии

Gr = (V\Rrhhjl, где Rr = {la,-, a,] = 1| (at,a}) G E(T)}.

В данной работе в качестве кольца R будет использоваться ноле рациональных чисел Q. Таким образом, везде далее за Gr мы будем обозначать час тично коммутативную двуступенно нильпотентную Q-rpynny.

В параграфе 1.1 первой главы по конечному неориентированному графу Т вводятся формулы специального вида ф(Т) следующим образом: каждой вершине графа Т ставится в соответствие одна из букв z\,...,zn формулы ф(Т), где |V(T)| = п. Тогда формула будет иметь вид

ф(Т) = 3г,... гн(Д[гьг,] = 1 А Д[гь г,] ф 1 А Д * ф Zj А Д ф 1),

г

где [z;, Zj] = 1 тогда и только тогда, когда вершины, соответствующие г, и Zj в графе Т, соединены ребром, и zi] ф 1 если вершины, соответствующие z/t и Z[ в графе Т, не соединены ребром.

В первой главе описываются все такие графы Т для которых формула ф{Т) выполняется на группе Gr для фиксированного графа Г. Для этого в параграфе 1.2 вводятся специальные операции на графах, называемые раздутием и сжатием первого, второго и третьего рода, удовлетворяющие следующему очень важному свойству: применение данных операций к графу Т сохраняет выполнимость формулы на группе Gr- Иными словами, если граф Т\ получен из графа Тг раздутием или сжатием первого, второго или третьего рода, то формула ф('Г[ ) выполняется на группе Gr тогда и только тогда, когда формула выполняется на группе Gr-

Задача определения выполняется ли формула ф{Т) на группе Gr для заданных графов ГиГ решается последовательно в три этапа:

1. Рассматривается случай, когда граф Г линейный граф (параграф 1.3);

2. Рассматривается случай, когда граф Г является циклом длинны п > 4 без диагоналей (параграф 1.4);

3. Рассматривается случай, когда граф Г произвольный (параграф 1.5).

Доказательство основало на тщательном разборе первых двух случаев, па базе которых достаточно быстро получается общий случай. Случай и.1 разобран автором диссертации, случай п.2 разобран A.B. Тренером. Для удобства читателя Mi.i приводим в диссертации доказательства результатов, полученных A.B. Трейером. К тому же, критерий выполнимости формулы на группе Gr можно существенно уточнить, используя структуру графа Г, поэтому п.1 и ч.2 рассматриваются отдельно.

Под линейным графом длинны п— 1 мы понимаем граф с вершинами {т,},..., и п — 1 ребром, которые соединяют вершины с соседними номерами. Группу Gp, построенную по графу Г, в данном случае обозначим Gn. На рисунке 1

изображен линейный граф длинны 5, по которому строится группа Gr,. а--m-(-а-e--ф

Х\ х2 хл Хт,

Рис. 1: Линейный граф длинны 5, Pat.hu

Линейный граф длинны п — 1 будем обозначать Path,,. Обозначим за Path), класс деревьев, полученных из Path^ добавлением висячих вершин к не висячим вершинам.

1 [/ 1/\[/ , \ 1/ .

А I Ч / ч »

Рис. 2: Граф из класса Pathiь ■ •>

Обозначим за Сусп - цикл длины п без диагоналей.

Рис. 3: Граф Сус„

Определение. Конечный граф» Т назовем к-цикличехким графом, если в графе Т сеть только один цикл длины к без диагоналей.

Определение. Обозначим за Сусп класс п-цикличееких графов, полученных из С ус,, добавлением висячих вершин к не висячим вершинам. (См. Рае.

Результаты первой главы можно сформулировать в следующей серии теорем.

Теорема 1.1. Если ф(Т) выполняется на G„, где: Т - дерево, то найдется к < п, такое, что Т € Path

Теорема 1.2. Формула ф{Т) выполняется на группе Gn для произвольного графа Т, тогда и только тогда, когда Т" € Pathk для некоторого к < п, где Т получается из Т полным сжатием первого и второго рода.

Следующие три теоремы (теорема 1.3, теорема 1.4 и теорема 1.5) принадлежат A.B. Трейеру.

Теорема 1.3. Если ф(Т) выполняется на Gcyc„, где Т - дерево, то найдется к <п, такое, что Т £ Pathk-

Теорема 1.4. Если ф(Т) выполняется па 6V;yc„> '¿de Т - п-циклический граф, то Т € Сусп.

Теорема 1.5. Формула ф(Т) выполняется па группе Gcyc„ для произвольного графа Т, тогда и только тогда, когдаТ' € Pathk или Т' € Сусп, к < п, где Т' получается из Т полным сжатием первого и второго рода.

Теорема 1.6. Формула ф{Т) выполняется на группе Gr для произвольных графов Т и Г, тогда и только тогда, когда существует граф) Го полученный из Г последовательностью элементарных раздутий и сжатий первого, второго и третьего рода, такой, что Т полный подграф Го.

Во второй главе диссертации, следуя идеям статьи [25], мы описываем структуру централизаторов для частично коммутативной двуегунешю нильиотент-ной Q-групиы на языке параболических и квазииараболичсских подгрупп.

Структура централизаторов для свободной частично коммутативной группы описана в работе [25|. Следует отметить, что формулировки результатов, они-

4).

Рис. 4: Граф из класса С ус,

сывающие структуру централизаторов в случае частично коммутативных дву-етунонно пильпотептных групп и свободных частично коммутативных групп, весьма схожи, но доказательства этих результатов различаются.

В параграфе 2.2 описывается структура централизатора произвольною зло-мента группы Ср. Результаты параграфа 2.2 принадлежат А.В. Тренеру, но для полноты изложения и удобства читателя мы приводим в диссертации доказательства этих результатов. В параграфе 2.3 вводятся понятия параболической и квазииараболической подгруппы для группы Ср. И наконец, в параграфе 2.4 сформулирован и доказан главный результат' данной главы - необходимое и достаточное условие, когда произвольная подгруппа, группы С г является централизатором некоторого множества элементов (теорема 2.1).

Введем основные определения второй главы.

Пусть элемент группы д € 6'р имеет вид д = ж"1... агЦ" тогда обозна-

чим

д^х?

Заметим, что д = ^Пз/«"' 11 для Л|°бого элемента группы ш € бр выполнено равенство [и>,<7] = [и>,д\. Для произвольного элемента д 6 Ср определим множество а(д) С X множество всех образующих группы Ср входящих в запись 3-

Рассмотрим граф А - двойственный к графу Г, V(Д) = У(Г) = X и вершины х, и € К(А) соединены ]кйром тогда и только тогда, когда ж, и не соединены ребром в графе Г. Легко заметить, что если Д = 1\ и ... и где 1\,..., 1к компоненты связности графа Д, то для любых £ /, и х2 € /,, г ^ имеем [хьггг] — 1- Для элемента д 6 6'р обозначим Д(а(<?)) максимальный подграф графа Д на множестве вершин а(<7).

Элемент у 6 б"р называется блоковым, если Д(а(<;)) - связный граф.

Пусть5 € б*р и А(а(д)) — ^и.. .иЖ, где. </), .., Л ~ компоненты связности графа Д(а(з)). Тогда 5 можно записать в виде 5 = »1... ад, где Д(а(ад)) = ,/,. Назовем и>1... ад блоковым разложением элемента (?. Пусть х € X, напомним, что х1 мы обозначаем следующее множество {г/ € X |(г/х) е £'(Г)} и {ж}. Для

У С X будем обозначать У1 = П у1.

уеУ

Пусть У С X, тогда замыкание множества У обозначим с1{У) — (У1)1. Подмножество У С X называется замкнутым в X, если У = с1(У). Обозначим СЗ(Х) множество замкнутых в X подмножеств.

Такие же определения введены в (23) для свободной частично коммутативной группы.

Пусть У С X, Г (У) - максимальный подграф графа Г на вершинах У, тогда за (У) будем обозначать подгруппу группы Ср с множеством порождающих У

и определяющими соотношениями построенными по графу Г(К).

Пусть w € Сг, обозначим за A(iv) = (У), где Y — or(w)1.

Для произвольного ы € &Y обозначим за C(w) = {9 € G"r| [#,«)] = 1} централизатор элемента w. В параграфе 2.2 описываются множества O(w) для произвольного элемента га группы Gr-

Если |п(ад)| — 0, то w = 1, и элемент w принадлежит коммутанту. Следовательно, его централизатор совпадает со всей группой Gy. Если |«(к»)| — 1, то легко заметить, что C(w) — A(w) ■ G'r.

Теперь рассмотрим случаи, когда |«(и>)1 > 1- Следующая лемма описывает централизатор элемента w в случае если он является блоковым.

Лемма 2.1. Пусть w € Gr блоковый элемент, причем |a(w)[ > 1. Тогда

C{w) = ((w) х A(w)) ■ G'r

В случае, когда w произвольный элемент группы Gr, имеем следующее описание централизатора C(w).

Лемма 2.2. Пусть w € Gr и w = Wi... Wk блоковое разложение элемента w, тогда

СМ = ( П (и»,-) X ЛИ) • Сг.

1«Ы!>1

В параграфе, 2.3 вводятся понятия параболической и квазипараболической подгрупп. Пусть Y С X, Г(У) - максимальный подграф графа Г на вершинах Y, тогда Gr(y) = Gt(Y) — {Y) - каноническая параболическая подгруппа группы Gp-

Определение. Пусть Ср(У) некоторая каноническая параболическая подгруппа, тогда подгруппу P{Y) = Gr(V) ■ G'r назовем параболической подгруппой.

Лемма 2.5. Пусть Р\ и Р2 - параболические подгруппы. Тогда Р = Р] ПЛг также является параболической подгруппой.

Следствие 2.1. Пересечение произвольного конечного количества параболических подгрупп также является параболической подгруппой.

Пусть, как и ранее, Г - конечный неориентированный граф с множеством вершин X, Gp частично коммутативная двуступенно нилыютентнаяО-грунна соответствующая графу Г. Пусть w = w-[... w*. блоковое разложение элемента w G Gr. Введем понятие квазипараболической подгруппы.

Определение. Подгруппа Q = ((u;i) х ... х (w*) х Gr(Z)) ■ G'r, где Z С X, [a{w),Z] = 1, Gr{Z) каноническая параболическая подгруппа, называемся квазипараболической подгруппой.

Предположим, что <*(ии) = 1, для некоторого г — 1.. .к, то есть блок и^ состоит из одного символа х'ь тогда соответствующая квазнпараболичеекая подгруппа О допускает запись н более коротком виде: С} = ({и>\} х ... х («V- ¡) х {ги,-+]) х ... х хСГ(г1))-Сг, где — Zu{x,}. Мы можем продолжить процесс укорачивания записи подгруппы (.} до тех пор, пока не останется блоков, состоящих из одной буквы. Таким образом, можно ввести понятие стандартной записи квазииараболической подгруппы.

Определение. Квазипа]шболичсекая подгруппа С) — ((ш]) х ... х (год) х й!•(/?)) • Су записана в стандартной форме, если |о:(ш,-)| > 1, г — 1... к.

Стоит отметить, что запись квазииараболической подгруппы в стандартной форме является единственной.

Лемма 2.7. Пересечение конечного числа, квазипараболических подгрупп является квазииараболической подгруппой.

В параграфе 2.4 формулируется и доказывается главная теорема второй главы критерий, по которому можно определить является ли данная подгруппа централизатором некоторого множества элементов группы (Зр или нет.

Теорема 2.1. Подгруппа Н группы С'р является централизатором тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Подгруппа Н квазипараболическая.

2. Если квазипараболическая подгруппа Н = ((и^) х ... х (ни) X (Зр(У)) • СГ записана в стандартной форме, то У 6 С5(Х) и У 6 С5(а(ю)1).

В разделе 3.] третьей главы мы приступаем к доказательству гипотезы В.Н. Ремесленннкова. Напомним, что В.Н. Ремесленниковым была сформулирована следующая гипотеза: пусть Рг1 и Ргг - частично коммутативные группы, построенные но графам Гх и Г2 соответственно, тогда группа /р, универсально эквивалентна группе тогда и только тогда, когда Ф(Г1) = Ф(Г2). За Ф(Г) обозначено множество всех формул специального вида 0(Г), выполненных на группе Fp. Определения формул смотри в параграфе 1.1. В разделе 3.1 эта гипотеза доказывается для частично коммутативных групп в многообразии двуступенно нильнотентных О-грунн, где <(2 иоле рациональных чисел.

При доказательстве гипотезы использовался критерий универсальной эквивалентности из статьи Г. Ваумслага, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова [14] и результат, полученный в совместной работе с А.В. Трейером [49] теорема 1.6.

Кроме самого критерия универсальной эквивалентности отметим еще один вспомогательный результат.

Теорема 3.2. Пусть Г2 мемснтщтос. ]шдутис первого, второго или третьего роди графа. Г;. Тогда группы и Gr, универсально жвивалеит-иы.

В параграфе 3.1.3 доказывается критерий универсальной эквивалентности, который формулируется п виде следующей теоремы.

Теорема 3.3. Пусть Ti и Гг произвольные графы, Gr, и GY2 частично ко.ммутативпые двуступенно нильпотенншые Q-группы, построенные по графам Fi и Г2 соответственно. Тогда £?г, =v G\\, тогда и только тогда, когда Ф(Г,) = Ф(Г2).

В разделе 3.2 вводятся основные определения и обозначения алгебраической геометрии над частично коммутативными двуступепно нилыютентпьши Q-группами.

Пусть G - двуступепно нильнотентная группа. Декартова степень Gn — G х • • ■ х G (п копий) называется аффинным проетранством над G. Пусть X — {xi,...,хп) - множество букв, a G[X] обозначает нильпотентное произведение G*<yi2 F(X), где F(X) - свободная двуступенно нильпотентн;гя группа с базой X. Система уравнений 5 над G есть подмножество из G[Xj. Элемент и € S может рассматривается как некоммутирующий полином от переменных xi,..., хп с коэффициентами из G. Элемент р = (gi,...,g„) 6 Gn назовем корнем полинома и = и{х\,...,хп), если и{д\,... ,gn) = 1 в группе G. Пусть S - подмножество G\X], тогда р называется корнем 5, если р является корнем для каждого и 6 S. Подмножество V аффинного пространства G" называется алгебраическим множеством над G, если V - множество всех решений системы уравнений S С G[X]. Для данного S через К?(5) обозначим алгебраическое множество всех решений системы S. Кроме того, для V и S таких, что V = VG(S), определим радикал системы S

Radc(V) = {гл е G[X] |u(p) = 1 для всех р е 1^(5)}.

Группа Г(^) = G[X]/Rad<7(Vr) называется координатной группой алгебраического множества V. Алгебраические множества и координатную группу аналогичным образом можно ввести и для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы Gr, построенной по графу Г.

В параграфе 3.3 мы рассматриваем свойство геометрической эквивалентности для систем уравнений без коэффициентов. Пусть L групповой язык без констант.

Определение. Две группы А и В называются геометрически эквивалентными в языке L, если для любого натурального числа п и для любой системы уравнений S от п перемеииьа: имеет место равенство радикалов:

RacU(S) = RadB(S).

Другими слонами геометрическая эквивалентность двух групп означает, что нахождение ранении системы уравнений в одной группе и нахождение решений той же самой системы уравнений в другой группе эквивалентные задачи.

Теорема 3.5. Пусть Ср, и б'г^ </«<: неабелевых частично коммутативных двуапупсипо нильпотс.нтныхф-группы. Тогда С\\ и Сг, геометрически эквивалентны.

Еще одним важным понятием является понятие унивс]>салыюй гсометриче-ской эквивалентности.

Определение, ^«с группы А и В называются универсально геомстри-чески жвивале.итньши в языке Ь, если для любого натурального числа п и для любой системы уравнений 5 от п переменных имеет место равенство радикалов:

На(Ы5) =

и радикал Иа(1д(5) неприводим над А тогда и только тогда, когда радикал Иас1в(5) неприводим над В.

Теорема 3.6. Две частично коммутативные двуступпнио иилъпотпент-ные группы С г, и б г, универсально геометрически эквивалентны тогда и только тогда, когда Ф(Г1) = Ф(Гг).

Под основной задачей алгебраической геометрии над группой С мы понимаем задачу классификации всех алгебраических множеств над (7. Так же, как и в алгебраической геометрии над нолем, здесь справедлива теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных групп. Этот результат является основанием для двух эквивалентных подходов к решению основной задачи алгебраической геометрии над б":

• Классификация алгебраических множеств над <?;

• Классификация координатных групп над С.

В параграфе 3.4.1 мы получаем описание алгебраических множеств для систем уравнении от одной переменной. Данный результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 3.7. Пусть С г - частично коммутативная двуступенно нгшь-потентшш группа, X — {х} множество переменных, и в С бтРП -система уравнений от одной переменной. Тогда мнолсество решений V(5) системы 5 будет одним из следующих:

1. У(Б) = 0;

2. = Сг;

3- = {у}, где 9 € 6'г;

4- У(5) = {дс | с € С], где д б (?г. « С централизатор некоторого множества элементов группы (?г-

Пусть X = {аь ..., х,,} множество переменных, и Сг частично коммутативная двуступснно нильиотснтиая О-групиа с множеством порождающих {й1,..., а/;}. И пусть 5 С произвольная система уравнений. Систему 5

можно записать в общем виде следующем образом

' а?» ... <'»а?" ... П [*»> ^ ПК а/'" П [аь = 1;

'<} г,] !<}

• • • ■ ■ ■ 4тк П К ПК а/"' п [аь а,]^ = 1,

к.) ¿от '<]

где [а,:, о7] ф 1 в группе Сг, и ау, % еУ е О-

Рассмотрим матрицу коэффициентов при переменных из X

Л(5) =

«и ■••

«mi • • • а„

В параграфе 3.4.2 дается описание множества решений системы S, состоящей из т уравнений, от п переменных над частично коммутативной двусту-пенно нильпотентной Q-группой в случае, когда матрица коэффициентов при переменных .А(5) имеет ранг т.

Теорема 3.8. Пусть Gг - частично коммутативная двуступенпо ниль-потептпая Q-группа, X = {ij,... ,х„} множество переменных, и S С Gr[X¡ - система из т уравнений от п переменных над группой Gp. Кроме того пусть матрица коэффициентов переменных Л (5) имеет ранг т. Тогда множество решений V(S) системы S с точностью до изоморфизма будет одним из следующих:

1. =

2. V(S) = Gp' m) - аффинное пространство над группой Gr размерности п — т.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Никаноровичу Ремсслснникову за постановку задачи и внимательное отношение к идеям по се решению, а также Эвелине Данияровой за обсуждение результатов и конструктивные советы.

Список литературы

|l| Э.К). Дапиярова. Основы алгебраической гоомочрпи над алгебрами Ли // Вестник Омского Университета, специальный выпуск, С. 8 40, 2007.

|2) Г.С. Макании. Уравнении в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 4С(С) С. 1199 1273, 1982.

J3J А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильнотситных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056 1059, 1981.

[4] А.А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

[5] В.Н. Ремесленников. Е-свободные группы // Сиб. мат. ж.урн., 30(6), С. 153 157, 1989.

[6| В.Н. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метаболевой группой // Фундам. и нрикл. мат., 7, С. 873 -885, 2000.

[7| В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О мстабелевых произведениях групп // Алгебра и логика, 43(3), С. 341 352, 2004.

(8] В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601 621, 2005.

¡9) В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологической размерности и-групн // Сиб. мат. жури., 47(2), С. 414- 430, 2006.

|10j Н.С. Романовский. Делимые жесткие группы // Алгебра и Логика, 47(6), С. 762 - 776, 2008.

|11] Н.С. Романовский. Нётеровость но уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258 279, 2009.

J12] K.I. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912 918, 1968.

[13] C. Bates, D. Bundy, S. Perkins and P. Rowley. Commuting Involution Graphs for Symmetric Groups // J. Algebra, 266, pp. 133 153, 2003.

[14] G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Reineslennikov. Algebraic: geometry over groups. I. Algebraic set and ideal theory // J. Algebra, 219(1), pp. 16 79, 1999.

(15) R. Brauer and K.A. Fowler. On groups of even order // Ann. Math, 02, pp. 565 583, 1955.

J16] R. Bryant,. The verbal topology of a group // J. Algebra, 48, pp. 340 346, 1977.

[17] C.C. Chang, H.J. Keisler. Model theory // North-Holland Publ. C., New York, 1973.

[18] O. Chapuis. V-free inetabelian groups //J. Symbolic Logic, 62, pp. 159 174, 1997.

[19] R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141-158, 2007.

[20] E. Daniyarova, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics, 1, 2008.

[21] C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc., 100, pp. 407-408, 1987.

[22] G. Dunchamp, D. Krob. Partially commutative Magnus transformations // Int. J. Algebra Comput,., 3(1), pp. 15-41, 1993.

[23] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Ccntraliser dimension and universal classes of groups // Siberian Electronic Mathematical Reports, 3, 2006. http://semr.math.nsc.ru/2006/V3/pl97-215.pdf.

¡24] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151- 176, 2008.

[25] A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups //J. Algebra, 318(2), pp. 918-932, 2007. www.arxiv.org/math.GR/0702431.

[26] E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319 348, 2005.

[27[ R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

[28[ C.K. Gupta, N.S. Romanovskiy. The property of being equationally Noetlierian for some soluble groups // Algebra and Logic, 46(1), pp. 28-36, 2007.

[29] T. Hsu, D. Wise. On linear and residual properties of graph products // Mich. Math. J., 46(2), pp. 251 259, 1999.

|30| C). Kliariainpovicli, A. Myasnikov. Irreducible aifino vatictios over free group I: irreducibility of quadratic equations and Nullstellcnsati; // J. Algebra, 200, pp. 472 51G, 1993.

[31| O. Kliariainpovicli, A. Myasnikov. Irreducible affinc vatictios over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residua])}' free groups // .]. Algebra, 200(2), pp. 517 570, 1998.

[32j O. Kliariainpovicli, A. Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213 318, 2005.

[33| M.R. Laurcncc. A generating set for the authomorphism groups of a graph group // .J. Loud. Math. Soc., II. Ser., 52(2), pp. 318 334, 1995.

[34| R.C. Lyndon. Groups with parametric exponents. // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533, I960.

[35] A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations. // J. Algebra, 234(1), pp. 225-276, 2000.

[36] A.G. Myasnikov, V.N. Remeslennikov. Exponential groups 2: extension of ccntralizcrs and tensor completion of csa-groups // International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687-711, 1996.

[37] A. Myasnikov, V. Remeslennikov, D. Sorbin. Regular free length functions on Lyndon's free Z(i)-group Fz(0 // Contemp. Math., 378, pp. 37-77, 2005.

¡38] B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 04 97, 1997.

¡39] B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties // Izrael J. Math., 96(2), pp. 511-522, 1996.

[40] A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269283, 1995.

[41] V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491 513, 2005.

[42| V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191 214, 2004.

[43] Z. Sela. Diophantine geomet.ry over groups I: Mnkaniii-Razborov diagrams // Publications Mathématiques de FIHES, 93, pp. 31 105, 2001.

[44] H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups //' J. Algebra, 12G(1), pp. 34 60, 1989.

Список работ автора

[45] A.A. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нилыютентных Q-rpyrui // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93-100, 2008.

[46] A.A. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильиотентимх группах j j Алгебра и логика, 48(3), С. 378-399, 2009.

[47] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Выполнимость ^-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотечных Q-груипах // Вестник Омского Университета. 1, С. 15-17, 2006.

[48] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск., С. 98-102, 2007.

[49] A.A. Мищенко, A.B. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нилыютентных Q-групп // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460-481, 2007.

Мищенко Алексей Александрович

Теоретико-модельные и алгебро-геометрические задачи для нилыютентных частично коммутативных групп

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.11.2009. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,5. Уч.-цзд. л. 1,3. Тираж 110 экз. Заказ 502. Издательство ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.

Введение

Предварительные сведения

Частично коммутативные нильпотентные Д-группы.

1 Выполнимость формул на частично коммутативных ниль-потентных группах

1.1 Экзистенциальные формулы

1.2 Операции на графах.

1.3 Случай линейного графа

1.3.1 Т - дерево.

1.3.2 Т - произвольный граф.

1.4 Случай цикла без диагоналей.

1.4.1 Т - циклический граф.

1.4.2 Т - произвольный конечный граф.

1.5 Произвольный случай.

2 Структура централизаторов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Лемма о централизаторе.

2.3 Параболические и квазипараболические подгруппы.

2.4 Критерий когда квазипараболическая подгруппа является централизатором

3 Элементы алгебраической геометрии над частично коммутативной двуступенно нильпотентной группой

3.1 Универсальная эквивалентность.

3.1.1 Универсальная теория.

3.1.2 Категория G-групн.

3.1.3 Доказательство теорем об универсальной эквивалентности

3.2 Элементы алгебраической геометрии над группами.

3.3 Геометрическая и универсальная геометрическая эквивалентности

3.4 Описание алгебраических множеств.

3.4.1 Системы от одной переменной

3.4.2 Системы от нескольких переменных.

Интерес к частично коммутативным группам вызван многими замечательными свойствами этих групп. К этим свойствам можно отнести удобные нормальные формы, разрешимость большинства алгоритмических проблем, богатую подгрупповую структуру. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах математики, в частности в компьютерных науках. Хорошим введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [26, 19].

Частично коммутативная группа полностью определяется заданием конечного неориентированного графа Г (без петель и кратных ребер) с множеством вершин X = {xi,., хп} и множеством ребер Е{Г) с помощью порождающих и определяющих соотношений. Графу Г соответствует свободная частично коммутативная группа которая имеет представление

Fr = (Х\ XiXj = XjXi (xi,xj) в Е(Г)), то есть, соотношение коммутативности между порождающими элементами имеет место тогда и только тогда, когда вершины Х{ и Xj соединены ребром в графе Г. Свободную частично коммутативную группу часто также называют частично коммутативной группой.

Частично коммутативные группы линейны [29]. В [21] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы. В [33] найдено множество порождающих для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В [22] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [25] введены понятия параболической и квазипараболической подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы частично коммутативных групп. В [24] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.

Понятие частично коммутативной группы можно ввести в многих многообразиях алгебраических систем, в частности в многообразии ггальпо-тентных Q-групп фиксированной ступени нильпотентности, где Q - поле рациональных чисел. В настоящей работе частично коммутативные группы определяются и исследуются в многообразии нильпотентных Q-групп ступени нильпотентности 2. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии двуступенио нильпотентных Q-rpynn полностью определяются заданием конечного неориентированного графа Г, а потому соответствующую группу мы будем обозначать Gr.

В данной диссертации для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп решаются две основные задачи: первая из них связана с созданием основ алгебраической геометрии для данного многообразия групп, а вторая связана с проблемой универсальной эквивалентности для этих групп (решение проблемы В.Н. Ремесленникова, формулировку проблемы смотри ниже).

Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А. В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией. Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами (не обязательно полями) — это новое направление в математике. На сегодняшний день оно представлено работами в основном по алгебраической геометрии над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баум-слага, А. Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [14], А.Г. Мясникова, В.Н. Ре-месленникова [35] и Б.И. Плоткина [38, 39], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы, причем, классификация координатных групп дана на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [34], К.И. Аппеля [12], Р. Брайнта [16], Г.С. Маканина [2], А.А. Разборова [4, 40], В.Н. Ремесленникова [5], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [27], 3. Селы [43], А. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [36, 37]. Завершающий результат был получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [30, 31, 32].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [18], В.Н. Ремесленникова [6], В. Ремесленникова и Р. Штёра [41, 42], В.Н. Ремесленникова и Н.С. Романовского [7, 8], В.Н. Ремесленникова и Е.И. Тимошенко [9].

Проблема классификации групп с точностью до универсальной эквивалентности стала весьма популярной в последние годы. Отметим в этом направлении работы О. Шапю [18], В. Ремесленникова и Р. Штёра [41, 42], Н.С. Романовского [10, 11] и Ч.К. Гупты и Н.С. Романовского [28].

В.Н. Ремесленниковым была сформулирована следующая проблема. Пусть заданы два конечных графа Гх и Г2 и частично коммутативные группы и Gr2 в некотором многообразии групп. По произвольному конечному простому графу Т определяется экзистенциальная формула ф(Т) (определение формулы смотри в параграфе 1.1). Если фиксироваи граф Г, то обозначим ф(Г) = {ф(Т)| ф(Т) выполняется на Gr}.

Проблема В.Н. Ремесленникова состоит в следующем: группы G^ и Gt2 универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда Ф(Г1) = Ф(Г2).

Одним из основных результатов данной диссертации является положительное решение данной проблемы в классе двуступенно нильпотентных Q-групп. Для решения этой проблемы понадобилось развить комбинаторную технику связанную с графами. Эта техника излагается в главе 1 диссертации.

Две основные цели данной работы были сформулированы выше, конкретизируем цели более детально. В данной работе мы ставим перед собой задачи: описать формулы выполняющиеся на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах, описать структуру централизаторов для этих групп, определить понятия алгебраической геометрии над частично коммутативными двуступенно нильпотентными(^-группами, классифицировать координатные группы и алгебраические множества, доказать необходимое и достаточное условие универсальной эквивалентности.

В качестве методов исследования использовались методы теории графов, методы алгебраической геометрии над алгебраическими системами и методы теории нильпотентных групп. Все результаты, полученные в данной диссертации, являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Для фиксированной частично коммутативной двуступенно нильпо-тентной Q-группы Gг описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на этой группе. Случай, когда граф Г имеет общий вид непосредственно следует из разбора двух специальных случаев, когда Г - линейный граф и когда Г - /с-циклический граф. Результаты, касающиеся случая, когда Г - линейный граф, принадлежат автору диссертации, а результаты, касающиеся fc-циклического графа принадлежат А.В. Трейеру.

2. Описана структура централизатора произвольного множества элементов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы на языке параболических и квазипараболических подгрупп. Результаты, касающиеся описание централизаторов одного элемента группы получены А.В. Трейером.

3. Доказан критерий универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynn.

4. Получено описание алгебраических множеств для систем уравнений от одной переменной и для невырожденных систем уравнений для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpyrin.

5. Доказано, что любые две неабелевые частично коммутативные двуступенно нильпотеитные Q-группы геометрически эквивалентны.

Работа имеет теоретический характер.

Результаты работы докладывались на международной математической конференции "Мальцевские чтения"(г. Новосибирск, 2006г. и 2008г.), международной математической конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (г. Санкт-Петербург, 2007г.), международной школе-семинаре "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (г. Омск, 2009г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического Семинара.

Результаты диссертации опубликованы в работах [45, 46, 47, 48, 49]. Работы [47, 48, 49] выполнены совместно с Александром Викторовичем Трей-ером при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на 109 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам. Список литературы содержит 49 наименований.

1. Э.Ю. Даниярова. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли // Вестник Омского Университета, специальный выпуск, С. 8-40, 2007.

2. Г.С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199-1273, 1982.

3. А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056-1059, 1981.

4. А.А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

5. В.Н. Ремесленников. Е-свободные группы // Сиб. мат. журн., 30(6), С. 153-157, 1989.

6. В.Н. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873-885, 2000.

7. В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика, 43(3), С. 341-352, 2004.

8. В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

9. В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологической размерности u-групп // Сиб. мат. журн., 47(2), С. 414-430, 2006.

10. Н.С. Романовский. Делимые жёсткие группы // Алгебра и Логика, 47(6), С. 762-776, 2008.

11. Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

12. K.I. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918, 1968.

13. C. Bates, D. Bundy, S. Perkins and P. Rowley. Commuting Involution Graphs for Symmetric Groups // J. Algebra, 266, pp. 133-153, 2003.

14. G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups. I. Algebraic set and ideal theory // J. Algebra, 219(1), pp. 16-79, 1999.

15. R. Brauer and K.A. Fowler. On groups of even order // Ann. Math, 62, pp. 565-583, 1955.

16. R. Bryant. The verbal topology of a group // J. Algebra, 48, pp. 340-346, 1977.

17. C.C. Chang, H.J. Keisler. Model theory // North-Holland Publ. C., New York, 1973.

18. O. Chapuis. V-free metabelian groups // J. Symbolic Logic, 62, pp. 159174, 1997.

19. R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141-158, 2007.

20. E. Daniyarova, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics, 1, 2008.

21. C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc., 100, pp. 407-408, 1987.

22. G. Dunchamp, D. Krob. Partially commutative Magnus transformations // Int. J. Algebra Comput., 3(1), pp. 15-41, 1993.

23. A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Centraliser dimension and universal classes of groups // Siberian Electronic Mathematical Reports, 3, 2006. http://semr.math.nsc.ru/2006/V3/pl97-215.pdf.

24. A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151-176, 2008.

25. A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // J. Algebra, 318(2), pp. 918-932, 2007. www.arxiv.org/math.GR/0702431.

26. E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319-348, 2005.

27. R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

28. C.K. Gupta, N.S. Romanovskiy. The property of being equationally Noetherian for some soluble groups // Algebra and Logic, 46(1), pp. 28-36, 2007.

29. Т. Hsu, D. Wise. On linear and residual properties of graph products // Mich. Math. J., 46(2), pp. 251-259, 1999.

30. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine vatieties over free group I: irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200, pp. 472-516, 1998.

31. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine vatieties over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

32. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213-318, 2005.

33. M.R. Laurence. A generating set for the authomorphism groups of a graph group // J. Lond. Math. Soc., II. Ser., 52(2), pp. 318-334, 1995.

34. R.C. Lyndon. Groups with parametric exponents. // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533, 1960.

35. A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations. //J. Algebra, 234(1), pp. 225-276, 2000.

36. A.G. Myasnikov, V.N. Remeslennikov. Exponential groups 2: extension of centralizers and tensor completion of csa-groups // International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687-711, 1996.

37. A. Myasnikov, V. Remeslennikov, D. Serbin. Regular free length functions on Lyndon's free Z(£)-group Fzw // Contemp. Math., 378, pp. 37-77, 2005.

38. В. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64-97, 1997.

39. B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties // Izrael J. Math., 96(2), pp. 511-522, 1996.

40. A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

41. V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

42. V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191-214, 2004.

43. Z. Sela. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques de 1'IHES, 93, pp. 31-105, 2001.

44. H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups // J. Algebra, 126(1), pp. 34-60, 1989.Список работ автора

45. А.А. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93-100, 2008.

46. А.А. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика, 48(3), С. 378-399, 2009.

47. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Выполнимость Е'-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотечных Q-группах // Вестник Омского Университета. 1, С. 15-17, 2006.

48. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск., С. 98-102, 2007.

49. А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460-481, 2007.V