Строение конечномерных нильпотентных алгебр и их тождества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

'гз од

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УИИВКРСИТГОТ

- 8 ОПТ №о

На правах рукописи ПЕТРОВ Евгений Петрович

СТРОЕНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

НИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР И ИХ ТОЖДЕСТВА

01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной попон и кандидата физико-математических наук

Омск - 1396

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета.

Научные руководители : доктор физико-математических наук,

профессор Бокуть Л.Л., доктор физико-математических наук, профессор Мальцев Ю.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гришков А.Н., кандидат физико-математических науь Львов И.В.

Ведущая организация: Новосибирский государственный иедаг<

гический университет.

Защита состоится яЗ-пЛ- 1996 года в часов на

заседании диссертационного Совета К 064.36.02 по защите дисссрта ций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55 - А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан 1996г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, д.ф.-м.н.

Романькон В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и задачи исследования

Знаменитая теорема Веддерберна сводит вопрос о строении произвольной ассоциативной конечномерной алгебры над полем к соответствующему вопросу для полной алгебры матриц и нильпотентной алгебры, которые к настоящему времени, достаточно хорошо изучены. Тем не менее, как для матричных, так и для нильпотентных алгебр остается нерешенным довольно широкий круг задач. В рамках данной работы нас будут интересовать следующие направления в указанной проблематике:

1) описание тождеств нильпотентной алгебры фиксированной размерности над произвольным полем;

2) строение минимальных некоммутативных алгебр.

Рассмотрению этих направлений посвящены первые две главы

данной работы.

Относительно первого направления заметим, что в 80-е годы в Днестровской тетради [5] была поставлена задача (N 1.23) об описании тождеств, выполняющихся во всех n-мерных ассоциативных алгебрах над полем (п - фиксированное число). В 1980 году С.А.Пихтиль-ковым [13] эта задача была решена для алгебр с единицей при п < 18. В 1986 году Ю.Б.Мальцевым [12] изучалось многообразие Мл ассоциативных алгебр над произвольным полем, порождённое всеми n-мерными нильпотентными алгебрами. Такие многообразия там были описаны для п = Т7б, а также доказано, что каждая п-мерная нильпотентная алгебра удовлетворяет тождествам:

1) XiX2... хп_2 = aV(i)av(2)... я„(в_2), <т е Sn-2, п > 6;

2) [xi,aS2,... ,Хк] = 0, где к = pf1] + 1.

Кроме того, в работе [12] был поставлен следующий вопрос:

(*) Какова степень минимального тождества в многообразии .М,?

з

Заметим, что описание многообразия Мп на языке тождеств зволит ответить на вопрос: когда приведснио свободная алге£ некоторого многообразия аппроксимируется ¿-мерными нильпотс) ными алгебрами (к < п)? Исходя из этого, представляется естеств ным изучение тождеств сначала нилытотентных п-мерных алгеб] а затем уже произвольных п-мерных алгебр.

Далее, в 1989 г. И.Л.Гусевой [3] была анонсирована, следуюн теорема:

Теорема 1.1.1. Пусть В. —п-мерная нилъпотентная алгебр к — [§] +- 2. Тогда II удовлетворяет стандартному тождеств

Зк(хи ...,хк)= £ • • • х*(к) = О-

Как будет показано в настоящей работе, число к — [§]+2 не являет степенью минимального тождества в Мп. Поискам решения проб, мы (*) и будет пеимпхгнз, :1п,р-г-аа глаза диссертации.

Что касается второго направления, строение и свойства леком» тативных колец (алгебр), все собственные подкольца (подалгебр которых коммутативны, издавна вызывали определенный интер Такие кольца (алгебры) называют кольцами (алгебрами) 1-ой с пени. Еще в 1959 году Г.И.ес1е1 в своей книге [24] дал некотох описание ненильпотентных колеи, 1-ой ступени, оставив для ни; потентных колец вопрос открытым. В 60-х годах Л.Р.Бусаркино) [1],[2] изучались кольца и алгебры 1-ой стуиени. Было доказано частности, что нильпотентное кольцо 1-ой ступени конечно. Но сих пор не решена проблема об описании нилыютентных колец 1-ступени (с точностью до изоморфизма).

Необходимо заметить, что в теории групп подобная задача р конечных групп уже давно решена. Еще в 1903 году Л.Г.МШез Н.Е.Могепо ¡20] изучали конечные группы 1-ой ступени, полное о\ сание которых получил в 1947 году ЬЛескч [22]. К этой темат*

также относятся работы [16], [23].

В данной работе' изучается строение нильпотентных алгебр 1-ой ступени над произвольным нолем, у которых, кроме этого, все собственные факторы коммутативны. Этому посвящена вторая глава диссертации.

Естественным продолжением исследования строения колец 1-ой ступени является изучение почти коммутативных многообразий колец. Многообразие ассоциативных колец М называется почти коммутативным, если М — некоммутативное многообразие, а каждое собственное подмногообразие N С М является коммутативным. Из леммы Цорна следует, что каждое некоммутативное многообразие содержит почти коммутативное. Поэтому изучение таких многообразий представляет определенный интерес. В 1976 году в работе Ю.Н.Мальцева [9] было док?зал:'5. что почта коммутативные многообразия порождаются одним конечным кольцом. В ненильпотентном случая указан базис тождеств таких многообразий. В нильпотент-ном случае найден базис тождеств для многообразий индекса 3. В 1982 году Е.Н.Захаровой [8] продолжено изучение нильпотентньтх почти коммутативных многообразий алгебр. Точнее, было сведено описание таких многообразий к описанию полиномов специального вида (коммутативных критических) в свободной двупорожденной коммутативной алгебре. В частности, было доказано, что существует бесконечно много различных нильпотентных почти коммутативных многообразий алгебр над полем.

Добавим, что полное описание колец 1-ой ступени или почти коммутативных многообразий дало бы эффективный алгоритм проверки коммутативности Р/-колец, что следует из результата работы [11].

В данной работе изучаются почти коммутативные многообразия экспоненты р, р - простое число. Этому посвящена третья глава.

диссертации.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми, бота носит теоретический характер. Ее результаты и методы гут найти применение в теории конечномерных алгебр, теории алгебр и при доказательстве теорем коммутативности. Они та могут быть использованы при чтении алгебраических спецкурс« подготовке учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывал на 2-й международной конференции по алгебре, посвященной пам А.И.Ширшова, (Барнаул, 1991) и на 3-й международной колферен по алгебре, посвященной памяти М. И .Карг аполова, (г.Красном 1993). Все результаты подробно излагались на семинаре "Алгс и логика" в Новосибирском государственном университете, на а наре "Теория колец" Института математики СО РАН и на алге! ическом семинаре в Алтайском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций, в числе 3 тезиса [28], [29], [32], 3 статьи [27], [30], [31].

Структура и объем работы. Диссертация изложена н; страницах текста, выполнена в системе (12р1), и состой

введения, трёх глав и списка литературы, включающего 32 на нования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В изложении мы будем придерживаться общепринятой терминологии, все определения, понятия и факты, не приводимые в работе, можно найти по теории конечномерных алгебр — в книгах [4], [б]; но теории нильпотентных колец — в книге [19]; по теории PI-алгебр и

многообразий колец — в книгах [7j, [18], [21], [25].

1

Введем необходимые дополнительные определения и обозначения. Будем называть типом алгебры R следующую строчку натуральных чисел: (51,32,53,..., где а,- = dimR1 /Я,+1, 1 < г < т — 1,

т — индекс нильпотентности алгебры II. Типу алгебры 11 соответствует следующая таблица, которую мы будем называть базис-таблицей:

[> I! !1 Р •••

хт *% Ж(3) <3 L - J r(m-i;

S

где {х}1);У = 1,... — базис И}/Е1+\ » = 1,..., т - 1. Если подмножество алгебры Л, то через (5) будем обозначать подалгебру, порожденную Я. Если I Е Й,1 ^ й1 то, рассматривая его образ в й/й', условимся вместо х + II' писать х там, где это не вызовет недоразумений. Обозначим:

aeSk

где подстановка а пробегает симметрическую группу Sk.

Первая глава диссертации посвящена изучению тождеств произвольной и-мерной нильпотентной алгебры над полем (п - фиксировало). В §1 главы 1 установлены некоторые вспомогательные результаты, отражающие свойства таких алгебр, и на основании этих результатов предложено независимое доказательство теоремы J .J.J. И.Л.Гусевой [3]. Среди вспомогательных утверждений следует выделить

Предложение 1.1.1. Пусть R — конечномерная нильпотент-ная алгебра индекса т, и для некоторого i € {!,..., т — 1} :

dimi?/Ri+l = 1.

Тогда R удовлетворяет тождеству р°+1{х¡,..., xt+j) = 0 для всех а е Si+1.

Это лягко -i>w:t самостоят^'Иими ?w-

терес; оно будет применяться в дальнейшем неоднократно на протяжении первых двух глав.

В §2 главы 1 мы формулируем следующую гипотезу: (**) Пусть R — n-мерная нилъпотентная алгебра и

fe= [1±4Ш].

Тогда R удовлетворяет стандартному тождеству

В качестве подтверждения этой гипотезы приводится пример n-мерной алгебры, удовлетворяющей тождеству Sk{xj,.,., Sjt) — О, к = [l±VlHEji но не удовлетворяющей никакому полилинейному тс ждеству меньшей степени и доказывается следующий основной р< зультат первой главы.

Теорема 1.2.1. Пусть Я — п-мерная нилъпотентная алгебра, причем ИтЕг/Я3 < 2. Тогда

а) для каждого г = 2,... ,т — 1 ( т — индекс нильпотентности алгебры Я): <ИтЯ>/Я,+1 ^ 2;

б) алгебра Я удовлетворяет тождеству:

= О, =

Из этой теоремы, в частности, следует, что тождество ¿^(х],...= О,А; = является минимальным тожде-

ством в Мп для п < 12 и п = 15. Таким образом, для малых размерностей получен положительный ответ на вопрос (*).

В §3 главы 1 утверждается, что гипотеза (**) остается верной для класса так называемых 2-алгебр, введенных Ю.М.Рябухиным и Р.С.Флоря в [15]. Под 2-алгеброй понимается локально инльпотент-ная алгебра, порожденная такими элементами г, что квадрат соот-эе'кггауюгцс ;.Ч"..> •..: с:»-(г) равен Н}глю. Лменяо, ч.-мгпг •.:■ -.о

следующий результат:

Теорема 1.3.1. Если Я — п-мерная 2-алгебра, то в Я. выполняется тождество

Во второй главе изучается строение минимальных некоммутативных алгебр над произвольным полем, все собственные факторы у которых коммутативны. Такие алгебры назовем, для кратности, С-алгебрами.

В §1 главы 2 выявляются основные свойства С-алгебр, выясняются ограничения на их базис-таблицу (леммы 2.1.1 - 2.1.4). В §2 описывается строение С-алгебр с условием йгтЯ2 ¡Я3 — 1 с точностью до изоморфизма.

Теорема 2.2.1. С-алгебра Я, г условием <ИтЯ.г/Я3 = 1, изоморфна (антиизоморфна) одной из следующих алгебр:

а аЬ

Ь

]). N, базис.-таблица которой имеет вис):

ютея соотношения: а2 = Ь2 — аЬ+ Ьа = (I, причел* сЛатР ф 2. 2). N(7, базис-таблица которой имеет вид:

и выполи.

а а2 °3! ■ ■ •

6

I > 3,

и выполняются соотношения: аЬ — ах \ Ьа = О,

Ь2 = 7 а''1 лё^.

Предложение 2.2.1. Пусть 71,70 — различные элементы

из полл Р. Тогда

(а) Р'-алгебры N(71,3) и //(72,3) не изоморфны;

(б) при I > 4 Е-алгебры М{71,0 г< Л'(72,0 изоморфны тогда 'Г.ОАЬКП "чюсдо. когда я Р $ «.•»цмсясй "■ кмъюк ЫОЙ, чяго ° = 11.

7а

В качестве следствия получаем следующий интересный факт:

Теорема 2.2.2. С-алгебра К с условием <ИтЯ2/Ил — 1 порожд> ет почти коммутативное многообразие тогда и только тогд\ когда

1) Я /V;

К = N(7,3) и сЛатР — 2.

В §3 главы 2 описывается базис-таблица и определяющие акг ношения произвольной С-алгебрм с условием <1гтп Ь':/ и ! — "¿.

Теорема 2.3.1. Всякая С-алгебра Н. с условием сИшК2/К'1 — имеет такую систему образующих {а, Ь}, что ее базис-таблица определяющие соотношения имеют один из следующих видов:,

(I).

а а2 ak akb

b ab ak~lb

k> 2,

ba = ab+aakb, cx E F, ос ф 0; charF < (к + I) и алгебры этого типа удовлетворяют, тождеству xk+l — 0.

(II).

(III).

а a2 ak akb fc> 2, 1

Ь ab ak~1b

ba — ab + akb, ak+1 = 0, b2 = ab(modR3), (то есть akb = bk+l), |F| = 2.

а a3 ak ak+1 ak+t j

b ab ak~lb >

к > 2, /. > 1,

ba = o6+ at+\ ahb — 0 не соотношении

Jfc-bt—1 .,. к-г Ь = Е /?;а,+1 + Е 7.а'6, ßi,li€F, i-t i=i

ялгмент пола fit 4- 0.

Обратно, каждая смгебра типов (I), (II), (III) является С-алгеброй.

Дальнейшие утверждения этого параграфа посвящены условиям конечности С-алгебры типа (I), уточнению определяющих соотношений С-алгебр типов (1),(Ш). (Предложения 2.3.!.- 2.3.3.). Необходимо заметить, что в общем случае проблема изоморфизма для С-алгебр типов (I) - (III) решается довольно сложно. Поэтому в конце §3 приводятся критерии изоморфизма таких алгебр в более простых частных случаях (предложение 2.3.4).

Третья глава диссертации посвящена изучению почти коммутативных многообразий экспоненты р, р — произвольное простое число. В §1 главы 3 рассматривается нильпотентнос почти коммутативное многообразие М индекса п (н > 3).

Лемма 3.1.2. Если ехрМ = р, р - простое, то п — (р - 1 )t + 3, t е N.

Согласно этой лемме, индекс почти коммутативного пильпотент-ного многообразия М может совпадать с одним из следующих чисел:

3,р -+-2,2;?+ 1,3р,____Рассматривая ряд этих чисел, напомним, что

многообразия индекса 3 описаны в [9], там же приведён пример ниль-потентного почти коммутативного многообразия индекса (р + 2):

Я ~ уаг(рх = х\х2 ■. .хр+2 = [ж, у] + схту = 0,(е,р) = 1).

Что касается индексов (2р+1) и Зр, то имеет место следующие утверждения:

Предложение 3.1.1. Почти коммутативных нильпотентпых многообразий колец экспоненты р индекса (2р + 1), р > 2, не существует.

Теорема 3.1.1. Пусть М — многообразие колец, заданное тождествами

Р* —С\ [Щ] 1 ¿Ж2?"1/- =

= Х1...Х$...Х?... Хр+1 - Х1...Х^...ХР{ ... Хр+1 ~ О,

г,а = Т7р , = %р + 1;

= С .. .х?.. .х?.. .хр — 0, где для всякого набора чисел

0 = \9ijfi < з\I = 1 ,р — 1..7 = 2,р} выполняются сравнения:

Е^т = 0(тос1р),т ~ Т~р;

1

.. .х3р = 0; р - простое > 2;е £ 0(тойр)-,е,в^ С Ъ.

Тогда М — почти коммутативное нилъпотентное многообразие колец индекса 3р.

Из последней теоремы, в частности, видно, что нильпотентные почти коммутативные многообразия устроены довольно сложно.

Для случая, когда р = 2, имеет место следующее утверждение:

Предложение 3.1.2. Многообразия колец

иаг{2х = [х,у] + х3у -- х1х2хз%4хь — 0,ж2уг = ху1х = хуг2},

var{2x = [х,у] + х*у = х\х2хъх^х6 — О,

х2уг1 — — хугН — хугЬ2)

являются нилъпотснтными почти коммутативными многообразиями.

В §2 главы 3 изучаются решеточные свойства почти коммутативных многообразий. Используя результаты §1, выясняются базисы тождеств пересечения и объединения различных нильпотентных почти коммутативных многообразий индексов (р+2) и Зр. (предложение 3.2.1). В частности, замечаем, что при р > 3 дистрибутивность решетки группоида нильпотентных многообразий экспоненты р нарушается. Далее в этом параграфе рассматривается семейство всех почти коммутативных многообразий колец экспоненты р, р - произвольное простое число. Поскольку каждое почти коммутативное многообразие порождается конечным кольцом [9], то это семейство счетное. Обозначим его через {Ма, а = 1,2,...}. В свою очередь, {Ма} представляет собой объединение семейств ненильпотентных {К,р, /3 = 1,2,...} и нильпотентных {Л^, у = 1,2,...} почти коммутативных многообразий. Доказана следующая:

Теорема 3.2.1.

уаг < рх — ху = 0 >= шгОр, где Ор - кольцо с. нулевым умножением характеристики р;

со

П К.р = уаг < рх = {х, у] = хру - ху = 0 >= уаг2р ф Ор;

оо

П = «агО„ при р > 2;

7=1

П Л^ — уаг <2х — [х, у] = хуг — 0 > =уаг 7=1

при р = 2.

, . оо оо , г

(2) V Ма = V К.0 = уаг < рж = [я.гф,*] = 0 >= уй.Т

а=1 /3=1

оо

V -Л/1 = гаг < рх = х[у, г] = [х,у]г = 0 > .

7=1

(1) Л Ма

о=1

/0 О: /П

0 0 ОТ /а,/3

И1 0 П У

ър\х) О Ъ?\х\

г \

П

В §3 главы 3 результаты предыдущих параграфов применяются для доказательства теоремы 3.3.1, относящейся к разряду так называемых "теорем коммутативности", история которых начиналась с известной теоремы Веддерберна о коммутативности конечного тела и продолжалась в работах Н.Джекобсона., И.Херстейна, И.Капланского и др. В отличие от методов доказательства, используемых в указанных работах, при доказательстве данной теоремы используется подход, предложенный в работе [11]. Из теоремы 3.3.1 вытекают следующие:

Следствие 3.3.1. Пусть кольцо Я характеристики р > 2 удовлетворяет тождеству

Е г У + Еу)к + Е и{\х, у}у,[х,у}ю{ = О, где a¡,b¡,u¡,v¡,Wi 6 Х{х,у) без свободных членов. Тогда Я коммутативно.

Следствие 3.3.2. Пусть кольцо П. характеристики р > 2 удовлетворяет тождеству

[г, у] + хру + хур+ Е Щ^У1 [х, у]+ + Е'' 6ц[х,у]х'у' + + £ <ф, у]Ьг + = О,

»> 1 I {

где Уцпроизвольные целые числа, ai,b¡íUi,Vi>Wi £ г£(х,у) без свободных членов.

Тогда Н коммутативно.

В заключение автор выражает искренную благодарность Л .А. Боку т; под руководством которого была выполнена эта работа, а также Ю.Н.Мальцеву за многочисленные полезные обсуждения и поддержку в работе над диссертацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бусаркина Л.Р. О кольцах первой ступени с нильпотентными образующими. - Мат. записки Уральского гос. университета, 1962, т. III, N 3, с. 25-29.

2. Бусаркина JI.P., Сесекин II.Ф. Об алгебрах первой ступени. - Мат. записки Уральского гос. униветситета, 1965, т. V,

N 1, с. 28-34.

3. Гусева И.JI. О тождествах конечномерных нильпотентных алгебр. - Тезисы сообщений международной конференции по алгебре, посвященной памяти Мальцева А.И., Новосибирск, август 1989 г., с. 13.

4. Джекобсон Н. Строение колец. - М., ИИЛ, 1961.

5. Днестровская тетрадь (нерешённые проблемы теории колец и модулей). - 3 изд., Новосибирск, 1982, 7 с.

6. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. - Кие! Вища школа, 1980.

7. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И.. Кольца, близкие к ассоциативным. - М., Наука, 1978.

8. Захарова E.H. Почти коммутативные нилыютентные многообразия алгебр. - Изв. АН МССР, 1982, N 1, с. 3-10.

9. Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия ассоциативных колец. - Сиб. мат. журнал, 1976, т. XVII, N 5,

с. 1086-1096.

10. Мальцев Ю.Н. Некоторые примеры многообразий ассоциативных колец. - Алгебра и логика, 1980, 19, N6, с.669-676.

11. Мальцев Ю.Н. Об одном методе доказательства теорем комму тативности. - Изв. Вузов, N П, 1985, с. 72-75.

12. Мальцев Ю.Н. О тождествах нильпотентных алгебр. - Изв. Вузов, N 9, 1986, с. 68-72

13. Иихтильков С.А. О многообразии, порождённом n-мерными алгебрами. - Деп. в ВИНИТИ, 1980, N 1213 - 80.

14. Полин С.В. Тождества алгебры треугольных матриц. - Сиб. мат. журнал, 1980, 21, N4, с. 206-215.

15. Рябухин Ю.М., Флоря P.C. 2-алгебры и тождества в них. -Мат. исслед. (Кишинёв), 1984, N 76, с.107-132.

16. Сесекнн Н.Ф., Широковская О.С. Об одном классе двуступен-ных групп. - Мат. сборник, 1958, т. 46(88), N 2, с.133-142.

17. Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры треугольных матриц над произвольным нолем. - Плиска Български мат. студии, 1982, N2, с. 143-153.

18. Jacobson N. Pi-algebras: An Introduction. - Springer Lecture Notes in Math., 441, 1975.

19. Kruse R., Price D. Nilpotent rings. - New York : Gordon, Breach, 1969.

20. Miller J.A., Moreno H.C. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian. - Tran. Amer. Math. Soc., 4(1903),

p. 394-404.

21. Procesi C. Rings with polynomial identities. - Dekker, New-York, 1973.

22. Redei L. Das "Schiefe Produkt" in der ... - Comment Math. Helt., 20(1947), 225-264.

23. Redei L. Eine Bemerkung über die.endlichen einstufig nicht kommutativer Gruppen. - Acta Scient., Math., 1958, 19,

N 1-2, 127-128.

24. Redei L. Algebra, 1. - Leipzig, Akademische Verlag., 1959.

25. Rowen L.H. Polynomial identities in ring theory. - Academic Press, 1980.

26. Streb W. Zur Structure nicht commutativer Ringen. - Math. J.

Okayama Univ., 31(1989), p. 135-140.

16

Работы ангора по теме диссертации

27. Пегров Е.Г1. О тождествах конечномерных нилыштшшх алгебр. - Алгебра и логика, 30, N о, 1991, с. 540-550.

28. Петров Е.П. О тождествах конечномерных нильпотентных алгебр. - Тезисы сообщений Между и ар. конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова, Барнаул, август 1991 г., с. 92.

29. Петров Е.П. О тождествах конечномерных нильпотентных алгебр. - Тезисы сообщений Междунар. конф. по алгебре памяти М.И.Каргогтолова, Красноярск, август 1993 с. 264.

30. Петров Е.ГТ. О почти коммутативных многообразиях колец. -

- Алт. гос. ун-т, Барнаул, 1996, 30 е., Деп. в ВИНИТИ, 21.05.96, N 1506 - В 96.

31. Петров Е.П. О строении минимальных некоммутативных нильпотентных алгебр. - Алт. гос. ун-т, Барнаул, 1996, 25 е., Деп. в ВИНИТИ, 21.06.1996, N 1985 - В 06.

32. Петров Е.П. О почти коммутативных многообразиях колец. -

- Тезисы докладов Второго Сибирского Конгресса гго при кладной и индустриальной математике, Новосибирск, июнь 1996 г., с. 194.

i" -/ . I

Подписано в печать 9.09.96 г. Формат 60x90/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная, Усл.- печ. .п. I, Уч.- изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ Доп. 8.

Типография Алтайского государственной) университета.: 656099, Барнаул, ул. Димитрова, 66.