Классификация некоторых коизотропных действий алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Лосев, Иван Вадимович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный университет имени М В Ломоносова
Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 512 745
Лосев Иван Вадимович
Классификация некоторых коизотропных действий алгебраических групп
Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра й теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ ~ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2007
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени M В Ломоносова
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Эрнест Борисович Винберг
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Аркадий Львович Оншцик, доктор физико-математических наук, доцент Дмитрий Иванович Панюшев
Ведущая организация:
Математический институт им. В А Стеклова РАН
Защита диссертации состоится 12 октября 2007г в 16— на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете имени М.В Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1,'Ленинские горы, Московский государственный университет имени MB Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени M В Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан 12 сентября 2007г
Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ доктор физ.-мат наук, профессор
В H Чубариков
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Гамильтоново действие алгебраической группы на неприводимом сим-плектическом алгебраическом многообразии называется коизотропным, если орбита общего положения является коизотропным подмногообразием. Аналогично определяются коизотропные гамильтоновы действия групп Ли на аналитических многообразиях Особый интерес вызывают действия групп на кокасательных расслоениях к своим однородным пространствам. Если такое действие коизотропно, то однородное пространство называется слабо коммутативным.
Специальный класс коизотропных действий был впервые рассмотрен в работе Гийемина и Стернберга1. Именно, в этой работе рассматривались действия компактных групп Ли на кокасательных расслоениях однородных пространств Интерес Гийемина и Стернберга к этим действиям объяснялся тем, что любая инвариантная гамильтонова система на соответствующем многообразии является интегрируемой в интегралах Нетер (т.е. первые интегралы могут быть полиномиально выражены через гамильтонианы действия) Оказывается, что этот факт верен для всех коизотропных действий (по крайней мере, в алгебро-геометрической ситуации). Этот результат получен в препринте Вин-берга и Якимовой2. Таким образом, коизотропные гамильтоновы действия играют важную роль в теории интегрируемых гамильтоновых систем
В диссертации нас интересуют, в основном, вопросы классификации коизотропных действий Поэтому мы перечислим классификационные результаты. Исследователей, преимущественно, интересовали два класса коизотропных действий-
1 Случай, когда группа компактна или редуктивна.
2. Случай, когда многообразие является кокасателъным расслоением над однородным пространством с компактным стабилизатором
В первом случае исключительно важную роль играют результаты Кнопа3, из которых следует, что действие редуктивной группы G на ко-касательном расслоении Т*Х коизотропно тогда и только тогда, когда
JV Guillemin, Sh Sternberg, Uulüphaty-free spaces J Diff Geometry, 19(1984), p 31-56
2E В Vmberg, О S Yakimova Complete families of commuting functions for coisotropic Hamiltontan actions Preprint (2005), arXiv math SG/0511498
3F Knop Weylgruppe und Momentabbüdung Invent Math 99(1990), p 1-23
G-многообразие X является сферическим, т.е. борелевская подгруппа группы G имеет открытую орбиту на X
Имеются различные результаты, касающиеся классификации сферических многообразий. Во-первых, имеется классификация сферических однородных пространств с редуктивным стабилизатором (сам стабилизатор называется сферической подгруппой). В работе Крэмера4 получена классификация редуктивных сферических подгрупп в простых группах Классификация для непростых групп была получена независимо в работах Микитюка5 и Бриона6
Следует отметить, что в указанных работах классификация осуществляется в явных терминах, т е алгебры Ли сферические подгрупп описываются, по сути, как подмножества в объемлющей алгебре Ли Однако нередуктивных сферических подгрупп уже слишком много, и их явное описание, по видимому, невозможно Подход к решению классификационной задачи в этом случае принадлежит Луне7. Идея этого подхода состоит в том, чтобы классифицировать сферические подгруппы в терминах некоторых комбинаторных данных В настоящее время подход Луны реализован при ограничениях на группу G
Второй класс сферических многообразий, для которых имеется явная классификация, - это сферические модули. Неприводимые сферические модули были классифицированы работе Каца8 Классификация в общем случае была получена в независимо Бенсоном-Ратклифф9 и Леи10
Перейдем теперь к изложению результатов, касающихся классификации слабо коммутативных однородных пространств группы Ли G с компактным стабилизатором К
Первая попытка систематического изучения таких пространств была предпринята в работе Э.Б Винберга11 В этой работе были доказаны некоторые структурные теоремы о слабо коммутативных однородных пространствах с компактным стабилизатором. С их помощью в работе12
4М Kramer Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen Compos Math 38 (1979), 129-153
5 И В Микитюк Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами. Мат сборник 129(1986), N4, с 514-534
eM Brion Classification des espaces homogènes sphériques Compositio Math 63(1987), 189-208
7D Luna. Vanétés sphénques de type A IHES Publ Math , 94(2001), 161-226
8V Kac, Some remarks on mlpotent orbits, 3 Algebra 64(1980), 190-213
9C Benson, G Ratkhff, A classification of multiphcity free actions 3 Algebra, 181(1996), p 152-186
10A S Leahy A classification of multiphcity free représentations 3 Lie Theory, v 8(1998), p 367-391
ПЭ Б Винберг Коммутативные однородные пространства и коиэотроппые слитаектические действия УМН, т 56(2001), вып 1(337)
12Э Б Винберг Коммутативные однородные пространства гейзенбергова типа. 1)?уды ММО, ,
N64(2003)
задача классификации была решена в случае, когда К является максимальной компактной подгруппой в G при некоторых дополнительных технических предположениях неприводимости на G Классификация в общем случае была проведена в препринте Якимовой13, ее результаты можно найти также в статье14
Наконец, в препринте Ф Кнопа15 были классифицированы произвольные коизотропные представления редуктивных групп К моменту появления этого препринта работа автора [1] (см. список литературы в конце автореферата), содержащая тот же классификационный результат, уже выходила из печати. Кроме того, отметим, что техника, использованная Кнопом существенно отличается от примененной в [1].
Цель работы.
Целью работы является
1. классификация коизотропных симплектических линейных действий редуктивных групп,
2. классификация слабо коммутативных однородных пространств не-редуктивных алгебраических групп с редуктивным стабилизатором
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа изложена на 114 страницах и состоит из введения и пяти глав Библиография включает 43 наименования
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Получена полная классификация коизотропных линейных действий редуктивных алгебраических групп
lsO S Yakimova Gelfand pairs Bonner Mathematische Schriften, N 374 Bonn, 2005 "OS Yakimova Principal Gelfandpairs Transformation groups, 11(2006),N2,p 305-335
15F Knop Classification of multiplicity free spnplectic representations Preprint (2005), arXiv math SG/0505268
2. Получена классификация комплексных слабо коммутативных однородных пространств алгебраических грухш G с редуктивным стабилизатором при некоторых технических предположениях Именно, требуется, чтобы грухша G обладала следующими свойствами:
• Унипотентный радикал N группы G не является коммутативным
• Представление максимальной редуктивной подгруппы L С G в векторном пространстве N/ (N, N) неприводимо
Основные методы исследования.
При решении обеих классификационных задач мы пользуемся методами теории инвариантов, теории алгебраических груш преобразовании, теории гамильтоновых действии групп Ли, теории представлений редук-тивных алгебраических групп, и усовершенствованной в работе теории алгебраических гамильтоновых действий
Теоретическая и практическая ценность работы.
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для теории гамильтоновых действии групп Ли, геометрии однородных пространств, теории интегрируемых систем, теории инвариантов.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах
1 Семинар "Коммутативные однородные пространства" под руководством Э Б Винберга, мех-мат МГУ, 2004 г Доклады- "Классификация коизотропных симплектическихпредставлений", "Слабо коммутативные комплексные однородные цространства специального вида"
2 Семинар "Algèbre et géométrie" под руководством M Бриона и др , Umversite J. Fourier, Grenoble, 2006. Доклад "Algebraic Hamiltonian actions"
3 Семинар "Lie groups" под руководством Ф Кнопа, Rutgers University, New Brunswick, 2007 Доклад "Hamiltonian actions on affine varieties"
Публикации автора по теме диссертации.
Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]
Краткое содержание работы
Диссертация состоит из введения и пяти глав
Во введении мы даем необходимые определения, приводим мотивации для изучения коизотропных действий и слабо коммутативных однородных пространств, формулируем основные результаты работы В завершение введения мы приводим соглашения, которыми мы пользуемся в работе, и список обозначений. Сформулируем основные классификационные результаты
Теорема 0.3.1. Все неприводимые коизотропные линейные группы G приведены в таблице 1.
Под коизотропной линейной группой мы понимаем образ группы при коизотропном линейном представлении.
Таблица 1- Неприводимые коизотропные группы
N G N G
1 Sp(21) 2 A*SL(6)
3 Spm(ll) 4 Spin(13)
5 AOSP(6) 6 Spin±(12)
7 Е7 8 S3SL(2)
9 Sp(2т) ® SO(n) 10 Sp(2m) <g> Spin(7)
11 SL(2) Cg> Spin(9) 12 SL(2) ® G2
13 Sp(4) <g> G%
Приводимых коизотропных представлений уже очень много. Однако, можно выделить некоторый специальный класс базовых коизотропных представлений, классифицировать их, и показать, как свести классифи-
кацию всех коизотропных представлений к классификации базовых Ко-изотропная линейная группа С? с Зр(У) называется базовой, если она неразложима, т.е , не представляется в виде нетривиальной прямой суммы двух симплектических линейных групп, насыщена, т.е , централизатор (? в Бр(У) содержится в С, и Ах-нескленна, т е, каждая нормальная подгруппа в С? типа А\ представляется нетривиально лить в одном минимальном симплектическом подмодуле в V
Теорема 0.3.4. Пусть (9 - базовая коизотропная линейная симплек-тическая группа. Тогда выполняется в точности одна из приведенных ниже трех возможностей
(1) Линейная группа <3 неприводима и содержится в таблице 1
(2) С-модуль V имеет вид V = 11Ф и*, где II - сферический О-модулъ
(3) Линейная группа С приведена в таблице 2
Отметим, что из условия насыщенности следует, что линейная группа б однозначно восстанавливается по своему коммутанту
Таблица 2. Базовые приводимые коизотроп-ные группы
N (О, О)
1
2 <^(7Г1,7Г1,7Гх),г > 1
3
4 Дг(7Г1,7Г1,7Г2)
5 Ов(1Г5, 7ГЬ 7п)
6 8рш(12)
7
8 (БЬ(2) © 81,(2)) ® ЗО(п), п > 4
9 Зр(2т) +5р(2т) Зр(2то) <8> 80(п)
10 Зр(4) +эр(4) Эр (4) (2> 8рт(7)
11 (БЬ(2) ф БЬ(2)) ® 8рш(7)
12 ЭЦ2) ® 80(11) -Ьбоси) 8рт(11)
13 Эр(2т) <8> 30(12) +8рШц2) 8рш±(12)
14 Бр(4) +8р(4) ЭО(5) б) 8р(2т)
15 вЬ(2) ® 80(7) +8рт(г) Зрш(7) ® ЭЬ(2)
16 БЬ(2) <8> ЭО(8) +эо(8) Зрш+(8) ® 8Ь(2)
N (G,G)
17 SL(2) <8> SO(8) +so(8) Spin+(8) <g> Sp(4)
18 A" SL(6) +SL(6) (SL(6) (8. SL(2))^
19 SL(2) ® SO(5) +so(5) Sp(4)sympi
20 Sp(2m) <g> SO(6) +sl(4) SL(4)5ympi
21 SL(2) ® SO(6) +Sl(4) (SL(4) 0 SL(2))^'
22 SL(2) ® SO(7) +so(7) Spm(7)^
23 SL(2) <g> SO(8) +SO(8) Spin±(8)sympi
24 SL(2) ® SO(IO) +soîio) Spm±(10)s^
Отметим, что для восстановления всех коизотропных линейных групп из базовых необходимо также знать стабильные подалгебры общего положения для базовых коизотропных групп Эти подалгебры также вычисляются в диссертации.
Перейдем к изложению классификации слабо коммутативных однородных пространств Введем некоторые обозначения. Пусть Н - редук-тивная подгруппа в б, Ь - максимальная редуктивная подгруппа группы С?, содержащая Н, N - унипотентный радикал группы б, I), I, п — соответствующие алгебры Ли. Слабая коммутативность пространства й/Н зависит лишь от пары (д, ¡)) (или от тройки (п, I, I))), поэтому мы можем говорить о слабо коммутативных парах (или тройках) алгебр Ли
В сделанных технических предположениях ступень нильпотентности алгебры п не превосходит 4 Однако, наиболее интересны случаи, когда эта ступень нильпотентности равна 2. Здесь мы ограничимся результатами классификации слабо коммутативных троек (п, (, ()), удовлетворяющих этому дополнительному условию Для алгебры Ли ступени нильпотентности 2 мы полагаем з = [п, п],0 .= п/з Для симплектиче-ского модуля V через 1)е1з(У) мы обозначаем соответствующую алгебру Гейзенберга.
Теорема 0.4.1. Пусть п, 0,3,1 таковы, как описано выше. В пунктах (1),(2) алгебра I предполагается полупростой
(1) Если сЬтз = 1, то тройка (п, Г, [) слабо коммутативна в том и только в том случае, когда п = где V - коизотропный симплектический {-модуль
(2) Слабо коммутативные тройки (п, I, () со ступенью нильпотентности алгебры Ли п равной 2 и неприводимым {-модулем п/[п, п] перечислены в таблице 3.
(3) Если алгебра I не полупроста, то слабая коммутативность троек (п, I, [) и (п, [С, I], [Г, I]) эквивалентна
Таблица 3- Слабо коммутативные тройки
(п,Ц)
N Г 0 3
1 so(n),n > 2,п Ф 4 Vfa) Vfa)
2 02 V{m) F(Tn)
3 spm(7) Vfa) n^i)
4 *1(7) Vfa)
5 sl(n) х 5о(т),тф 2 V(7Ti) ® V(7li) V(n2)
6 so(13) У{Щ) УЫ
7 so(14) V(n6) vfa)
8 sp(2n),ra > 1 V(n) V(TT2)
9 st(ra) x sptn(7), n четно, или n = 3,5 V(n2)
10 sl{n) x G2, n — 3,4 К(я*) ® V(fci) Vfa)
11 s((3) x spm(9) V(-ni) ® V(TT'4) V(n2)
12 sp(4) x so(n),n > 2 V(TTI) ® V(wi) V(TT2)
13 sp(4) x spin(7) V(n)®V(K'3) V(ir2)
14 эр{2m) x sp(2n), m < 2 V(tti) ® V{TT[) V(2tt1)
15 «1(5) x «1(2) F(7r2)®F(7n) V(n)
16 «[(rc) x sp(2m),n > 2 V(îTl)®V(7ri) V(2TTI)
17 spm(9) x sl(2) У(тт4) ® VVi) V{m)
18 sptn(lO) x si(2) V(iи) ® F(Tti) vfa)
19 spin(13) F(vr6) F(7TI)©F(0)
20 sp(2n),n > 1 УЫ V(tt2) ф У(0)
21 sp(4) x so(n),ra > 2 V(m) ® F(7ri) F(tt2)®F(0)
22 sp(4) x spm(7) Vfa)®!^) V(w2)@V( 0)
23 spin(9) x sl(2) V(TT4)®V(iri) v(*i)ev(o)
24 sl(2) x si(2) ^(tti) ® У(ттО V(2m) e V(2tc{)
Здесь 7г, обозначают фундаментальные веса первой алгебры, а тг'} -второй.
Перейдем к изложению результатов для случая I ф (]. Для этого нам потребуется несколько определений.
Мы говорим, что тройка (п, [, (]) неразложима, если не существует
разложения [ = I1 х I2 в прямое произведение идеалов, для которого Р действует в п тривиально = Классификация в общем
случае тривиально сводится к случаю неразложимых троек
Мы говорим, что тройка (п, (, [)) насыщена, если сЬтз(1) = 1, з({) представляется в ь нетривиально, и П[((|) = Г). Классификацию всех слабо коммутативных троек можно свести к классификации насыщенных
Пусть Го — редуктивная алгебра Ли, (}о — ее редуктивная подалгебра, а п - нильпотентная алгебра Ли, в которой действует дифференцированиями алгебра Ли (о х 51(2) Положим [ = 1о х е1(2) х вр(2= 1}о х е1(2) х яр(2п — 2), где идеал 5[(2) алгебры () вложен диагонально в 51(2) х зр(2п). Мы говорим, что тройка (п, Г, I)) получена из тройки (п, Го х з[(2), 1)о х з((2)) з{{2)-удвоением
Теорема 0.4.6. Следующие тройки насыщены, неразложимы и слабо коммутативны Обратно, любая насыщенная неразложимая слабо коммутативная тройка есть одна из перечисленных
1. (Ье1е(С2т+2п),€ х 5р(2ш + 2п),С х яр(2ш) х 5р(2п)), (()е15(С2п),С х 5р(2п) х 5р(2п), С х 5р(2п)), ([]еш(С7 ® С2), С х ао(7) х з[(2), С х С?2 х *[(2)).
2 (п, I, получается однократным (соотв , двукратным) $1(2)-удво-ением из тройки вида (Р)еш(С2п), С х С х где (х С вр(2п) - одна из следующих линейных алгебр Ли. вр{2т\) <8> 50(7712) С вр(2т\ГП2) (Ш1 = 1 или т2 = 3,4,), 5ргп(2& +1) <8> в1(2) С зр(2к+1),к = 3,4,<32 <8> 5[(2)С5р(14) (соотв зр(2т) ® ло(4) С £р(8т)).
3 (п, I, I)) получается однократным или двукратным в1(2)-удвоением троек (п, [1, [1) из следующего списка.
(a) [1=Сх з1(2 п) х 50 (ш), п > 1, т = 3,4, о = С2п О С2т, 3 = Д2 С2п.
(b) [1 = С х 51(5) х 5[(2), о - Д2 С5 ® С2, г = (С5)*
(c) 11 = С х в1(п) х 51(2), о = Сп (8) С2, з = 52€"
(¿) = 50(10) х 51(2), с = С16 <8>€2,з = С10 (здесь С16 обозначает полуспинорный 50 (10) -модуль).
Глава 1 не содержит новых результатов. Мы приводим там основные свойства коизотропных гамильтоновых действий, их численных инвариантов - коранга и дефекта, слабо коммутативных однородных пространств, и симплектических представлений редуктивных групп
Глава 2 посвящена доказательству теоремы 0 2 5, которая для гамиль-тонова действия редуктивной группы на аффинном многообразии описывает стабилизатор общего положения, доказывает разделение орбит общего положения полиномиальными инвариантами, получает критерий стабильности такого действия и формулу для коранга через стабилизатор общего положения. Последняя (вместе с ее следствиями) играет ключевую роль в классификации коизотропных линейных действий в главе 3 Основная идея доказательства теоремы 0 2.5 состоит в том, чтобы свести его к случаю многообразий очень специального вида (т н центрально-нильпотентных многообразий), а затем, исследуя структуру таких многообразий, доказать теорему для них Для сведения мы используем теорему о локальном сечении, восходящую к Гкйемину и Стер-нбергу16. Оказывается, что у любого гамильтонова многообразия есть некоторое локальное сечение, которое является центрально нильпотент-ным гамильтоновым многообразием для подходящей подгруппы Леви в G Мы показываем, что достаточно доказать теорему 0.2 5 лишь для сечения. Затем мы исследуем структуру аффинных центрально-нильпотентных гамильтоновых многообразий, теорема 2 2.1. Эту теорему несложно вывести из результатов препринта автора17, но мы приводим более прямое доказательство
Наконец, мы применяем теорему 0.2 5 к линейным симплектическим действиям Мы получаем рекуррентную формулу для вычисления коранга симплектического представления и его стабилизатора общего положения (точнее его связной компоненты), предложение 2.3.2
Глава 3 посвящена классификации коизотропных линейных действий Сначала мы классифицируем неприводимые коизотропные представления (теорема 0 3.1). Это делается с помощью формулы для коранга, полученной в теореме 0 2 5 и вычисления стабилизаторов общего положения неприводимых представлений, проведенного в работе Элашвили18 Далее мы применяем теорему 0.2 5 для доказательства предложений 0 3 2, 0.3 3, которые обеспечивают редукцию классификации к базовым случаям, и теорему 0.3 4. Основным средством используемым при доказательстве является предложение 2.3 2
В главах 4,5 мы классифицируем слабо коммутативные однородные пространства при ограничениях на группу G, указанных выше.
leV. Guillemm, Sh Sternberg, Sympiectic techniques tn physics Cambridge University Press, 1984
"I.V Losev Algebraic Hamiltonian actions Preprint (2006), arXivmath AG/0601023
18 А Г Элашвили Стационарные подалгебры общего положения для неприводимых линейных групп Ли Функциональный анализ и его приложения, т 5, выл 2, 1972, с 65-78
В главе 4 мы доказываем теорему 4 01 Сперва, мы доказываем предложение 411, дающее необходимые и достаточные условия слабой коммутативности тройки (п, Г, I) в терминах корангов некоторых линейных симплектических действий, вообще говоря, нередуктивных групп Следующим важным инструментом, применяемым для классификации, являются оценки на размерность пространства Ь, которые получаются из предложения 4 3 1 Последним подготовительным шагом является получение ограничений на вид ¿-модуля з, предложения 4 4 2-4 4 4 После этого мы переходим непосредственно к классификации, сначала для неприводимого модуля з (это самая сложная часть классификации), затем в случае приводимого з со ступенью нильпотентности алгебры п равной 2, и, наконец, для ступени нильпотентности большей 2
В главе 5 мы классифицируем слабо коммутативные тройки (п, I, ()) с 1 ф [) В основе классификации (как и в случае компактного стабилизатора) лежит теорема 5 11, которая сводит проверку слабой коммутативности тройки (п, I, ()) к проверке трех условий Сформулируем эти условия в простейшем случае Выберем элементы 7 € п*,/3 € ([/[))* общего положения Теорема 511 утверждает, что тройка (п, [, (]) слабо коммутативна тогда и только тогда, когда
1 I = I, + Ц,
2 тройка (п, 1)р, 1)0) слабо коммутативна,
3 пара (Ц, Е)7) слабо коммутативна
В случае, когда алгебра 1у редуктивна, первое условие можно проверять с помощью результатов Онищика19, а условие 3-е помощью классификации Крэмера, Микитюка и Бриона Однако, для случая, когда алгебра Ц не редуктивна, приходится применять другие средства, и этот случай представляет наибольшую трудность при классификации
Благ одарности
Я благодарю моего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Эрнеста Борисовича Винберга за постановку задач и внимание к работе Я также благодарю к ф -м н , доцента Дмитрия Андреевича Тимашева и к ф -м н Леонида Григорьевича Рыбникова за полезные обсуждения Я выражаю благодарность коллективу кафедры высшей алгебры за теплую творческую атмосферу
19 А Л Онищик Разложения редуктивкых групп Ли. Мат Сборник, 80(1969), 554-599
Литература
[1] Й.В. Лосев. Коизотропные представления редуктивных групп. Труды Московского Математического Общества, (66)2005, 156-183.
[2] И.В. Лосев О комплексных слабо коммутативных однородных пространствах. Труды Московского Математического Общества, 67(2006), с. 228-255.
[3] И В Лосев Классификация слабо коммутативных комплексных однородных пространств. Успехи Математических Наук 62(2007), N2, с. 181-182
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 95*0$. О?
Формат 60 х 90 1 / 16 Уел печ л б, УЬ
Тираж 100 экз Заказ 32.
Введение
0.1 Коизотропные гамильтоновы действия и слабо коммутативные однородные пространства.
0.2 Структура аффинных гамильтоновых действий.
0.3 Классификация коизотропных симплектических линейных действии
0.4 Классификация слабо коммутативных однородных пространств с редуктивным стабилизатором.
0.5 Содержание работы.
0.6 Благодарности
0.7 Соглашения и обозначения.
1 Гамильтоновы действия
1.1 Базовые определения.
1.2 Численные инварианты гамильтоновых действий.
1.3 Общие замечания о слабо коммутативных однородных пространствах
1.4 Симплектические модули над редуктивными группами
2 Структура гамильтоновых действий редуктивных групп
2.1 Локальные сечения
2.2 Структура центрально-нильпотентных гамильтоновых многообразий
2.3 Случай линейных представлений
3 Классификация коизотропных симплектических модулей
3.1 Случай неприводимых модулей.
3.2 Сферические модули.
3.3 Завершение классификации.
4 Классификация слабо коммутативных троек вида (п, [, 1)
4.1 Редукция к представлениям
4.2 Условия коммутативности.
4.3 Оценки на размерность.
4.4 Вид Ь-модуля 3.
4.5 Классификация в случае неприводимого модуля 3.
4.6 Случай приводимого модуля 3.
4.7 Случай, когда ступень нильпотентности алгебры п больше
5 Классификация слабо коммутативных пространств в общем случае
5.1 Критерий слабой коммутативности пространств с редуктив-ным стабилизатором
5.2 Сферические однородные пространства с редуктивным стабилизатором
5.3 Разложения редуктивных алгебр Ли
5.4 Вспомогательный результат.
5.5 Следствия теоремы 5.1.1.
5.6 Случай сИтз = 1.
5.7 Случай, когда 3 - нетривиальный неприводимый модуль
5.8 Классификация ненасыщенных троек.
0.1 Коизотропные гамильтоновы действия и слабо коммутативные однородные пространства
Диссертация посвящена классификации двух классов действий алгебраических групп на симплектических многообразиях, которые мы опишем ниже в этом пункте.
Основным полем является поле С комплексных чисел. Пусть G - связная алгебраическая группа, а X - гладкое неприводимое алгебраическое многообразие. Говоря, что многообразие X симплектическое, мы имеем в виду, что на X задана регулярная симплектическая 2-форма. Напомним, что 2-форма ш на X называется симплектической, если она замкнута, т.е. duj = 0, и невырождена в каждой точке многообразия X. В этой работе для нас будут важны два класса симплектических многообразий: векторные пространства с постоянной симплектической формой и кокасательные расслоения.
Определение 0.1.1. Пусть G регулярно действует на X симплектомор-физмами, т.е. преобразованиями, сохраняющими симплектическую форму. Действие называется коизотропным, если орбита общего положения является коизотропным подмногообразием в X.
Напомним, что подпространство U в симплектическом векторном пространстве V называется коизотропным, если оно содержит свое косоорто-гональное дополнение, т.е. подпространство
Ul := {v 6 V\u){v,u) = 0,Vw 6 f/}, где через ш обозначена постоянная симплектическая форма на V. Подмногообразие Y в симплектическом многообразии X называется коизотропным, если для любой точки у Е Y касательное пространство TyY является коизотропным подпространством в симплектическом векторном пространстве ТУХ.
Оба класса интересующих нас действий удовлетворяют одному ограничению: они гамильтоновы.
Определение 0.1.2. Действие связной группы (7 на X симплектомор-физмами называется гамильтоновым, если задано линейное отображение £ #£ из касательной алгебры д группы (7 в алгебру С[Х] регулярных функций на X, которое обладает следующими двумя свойствами:
1) Н^ = {#£, где {•, •} - скобка Пуассона на X, определяемая бивектором, обратным к симплектической форме.
2) Вектор скорости элемента £ совпадает с косым градиентом функции Щ.
Симплектическое многообразие X с заданным на нем гамильтоновым действием группы (7 мы называем гамильтоновым (^-многообразием.
Отображение '■ X -> д*, заданное формулой ьхех. (0.1) называется отображением моментов гамильтонова (^-многообразия X.
Точные определения скобки Пуассона и косого градиента будут даны в пункте 1.1.
Отметим, что определения гамильтонова действия можно ввести не только для действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях, но и для действий групп Ли на гладких вещественных многообразиях. Для этого алгебра регулярных функций заменяется на алгебру гладких функций.
Поскольку действие группы (7 на поле С(Х) сохраняет скобку Пуассона, то для двух рациональных (^-инвариантов /, д их скобка {/, д} также будет (2-инвариантна. Таким образом, имеем индуцированную скобку на поле рациональных инвариантов С(Х)с. Стандартным результатом (см. следствие 1.2.2) является следующая алгебраическая характеризация ко-изотропных гамильтоновых действий: действие (7 : X коизотропно тогда и только тогда, когда пуассоново поле С(Х)с коммутативно, иными словами, {/, д} = 0 для любых элементов /, д Е С(Х)с.
Интерес к коизотропным гамильтоновым действиям объясняется с одной стороны тем, что они являются самыми "маленькими", а стало быть, наиболее поддающимися изучению, гамильтоновыми действиями. С другой стороны, они обладают многими замечательными свойствами. Так, например, в препринте [41] показано, что любая инвариантная гамильтонова система на коизотропном гамильтоновом (7-многообразии X интегрируема в классе интегралов Нётер. Именно, пусть размерность многообразия X равна 2п. Гамильтонова система на X с (^-инвариантным гамильтонианом Н называется интегрируемой в классе интегралов Нётер, если найдется п первых интегралов, т.е. коммутирующих между собой и с Н (относительно скобки Пуассона) алгебраически независимых функций 5 на X, каждый из которых является полиномиальной комбинацией функций Я^. Поскольку во многих случаях функции Hç можно указать явно, см., например, примеры 1.1.3,1.1.4, то для интегрируемой в смысле Нётер инвариантной гамильтоновой системы мы можем, по крайней мере теоретически, построить наборы первых интегралов.
Ещё одно замечательное свойство, не доказанное ещё в полной общности, но проверенное для многих частных случаев, состоит в том, что при квантовании коизотропного гамильтонова действия G : X (7-инварианты продолжают коммутировать. Объясним, что понимается под квантованием. Во многих случаях с пуассоновой алгеброй С[Х] можно связать некоторую ассоциативную алгебру "близкую" к С[Х]. Если X является симплектическим векторным пространством, то в качестве такой алгебры обычно берется алгебра Вейля пространства X, т.е. фактор тензорной алгебры пространства X по соотношениям вида ху — ух = и>(х, у), где через и обозначается симплектическая форма на X. Если же X - кокасательное расслоение, скажем, многообразия Y, то в качестве ассоциативной алгебры берется алгебра D(Y) регулярных дифференциальных операторов на Y.
Опишем теперь, какие классы гамильтоновых действий мы будем исследовать.
Первый класс гамильтоновых действий, который нас интересует - это действия редуктивных групп на гладких аффинных многообразиях. Основной для нас пример здесь - линейные симплектические действия: многообразие является симплектическим векторным пространством, а действие группы задается посредством гомоморфизма в полную симплектическую линейную группу. Явный вид отображения моментов приведен в примере 1.1.4.
Второй класс гамильтоновых действий, который мы будем рассматривать, это коизотропные действия на кокасательных расслоениях (симплектическая форма и отображение моментов для кокасательного расслоения описаны ниже в примере 1.1.3). В связи с этим нам будет удобно ввести следующее
Определение 0.1.3. Пусть G - алгебраическая группа, X - гладкое неприводимое G-многообразие. Мы говорим, что G-многообразие X является слабо коммутативным, если гамильтоново действие G на Т*Х коизо-тропно.
Нас интересуют слабо коммутативные однородные пространства G/H, где подгруппа H редуктивна. Мы даем полную классификацию слабо коммутативных однородных пространств такого вида при некоторых ограничениях технического характера. Эти ограничения будут описаны в следующем пункте.
Теперь объясним почему многообразия называются слабо коммутативными. Как мы упомянули выше, коизотропность действия (7 : Т*Х эквивалентна коммутативности поля С(Т*Х)° относительно скобки Пуассона, стало быть, влечет коммутативность скобки Пуассона на алгебре С[Т*Х}С. Обратное неверно. Причина состоит в том, что поле частных последней алгебры может быть значительно меньше поля С(Т*Х)с, соответствующий пример будет приведен в пункте 1.3.
Квантовым аналогом пуассоновой алгебры С[Т*X] является алгебра (алгебраических) дифференциальных операторов на X, которую мы обозначим через Т>{Х). Отметим, что группа (2 естественным образом действует на Т>(Х) автоморфизмами, поэтому можем рассмотреть алгебру (З-инва-риантных дифференциальных операторов Т>(Х)С.
Определение 0.1.4. (^-многообразие X называется коммутативным, если алгебра Т)(Х)° коммутативна.
Недостатком предыдущего определения, опять же, является то, что инвариантных дифференциальных операторов может быть слишком мало. Правильным требованием, вероятно, должно являться коммутативность подтела инвариантов в подходящем варианте тела частных алгебры Т>(Х).
В завершении пункта мы сделаем краткий обзор ранее полученных результатов, относящихся к теме диссертации.
Первой работой, посвященной коизотропным гамильтоновым действиям является статья Гийемина и Стернберга [25]. В ней рассматривались ко-изотропные действия компактных групп на вещественных многообразиях.
Классификация слабо коммутативных линейных действий редуктивных групп дана в [26],[21],[33]. Одновременно с автором классификация ко-изотропных линейных действий общего вида была получена Кнопом, [30]. Подход, примененный в той работе, отличен от нашего.
Среди слабо коммутативных однородных пространств наиболее интенсивному изучению подвергались однородные пространства редуктивных групп. Как показал Кноп в [27], многообразие с действием редуктивной группы слабо коммутативно тогда и только тогда, когда оно сферическое.
Определение 0.1.5. Пусть С? - связная редуктивная алгебраическая группа. Неприводимое нормальное алгебраическое (^-многообразие X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы (? имеет открытую орбиту в X.
Сферические однородные пространства с редуктивным стабилизатором были классифицированы в работах [32] (для простой группы (7),[23], [14] (в общем случае). Классификация последних двух работ была, формально, неполной. Она завершена в [42]. Классификация сферических однородных пространств общего вида является, по-видимому, очень сложной задачей, 7 в настоящий момент она проведена лишь для групп специального вида. Подход к классификации принадлежит Луне, [36]. В той же работе проведена классификация сферических однородных пространств для групп £ типа А, т.е. для таких групп, все простые идеалы касательной алгебры которых являются специальными линейными алгебрами Ли.
Второй класс слабо коммутативных однородных пространств, который изучался достаточно интенсивно - это однородные пространства вещественных групп Ли с компактным стабилизатором (определения слабой коммутативности и коммутативности, данные выше, переносятся на этот случай с понятными модификациями). Геометрически, условие компактности стабилизатора означает наличие инвариантной римановой метрики. Обзор замечательных свойств слабо коммутативных однородных римано-вых пространств см. в [4],[42]. Упомянем лишь, что такие однородные пространства являются коммутативными, см. [17]. Классификация слабо коммутативных однородных пространств с компактным стабилизатором в частном случае была проведена в [5], а в общем - в [42].
Следующие три пункта посвящены формулировке результатов диссертации.
0.2 Структура аффинных гамильтоновых действий
Первый из наших основных результатов касается структуры аффинного гамильтонова ^-многообразия для редуктивной группы (7 на подходящем открытом подмножестве.
Именно, пусть С? - связная редуктивная алгебраическая группа, а X -симплектическое гладкое аффинное алгебраическое многообразие, на котором группа (7 действует гамильтоново. Для формулировки основного результата нам потребуется напомнить некоторые понятия из теории алгебраических групп преобразований.
Определение 0.2.1. Пусть (7 - произвольная алгебраическая группа, действующая на неприводимом алгебраическом многообразии X. Стабилизатором общего положения (сокращенно с.о.п.) для действия С? : X называется подгруппа (?о С для которой найдется открытое подмножество Х° С X, стабилизаторы всех точек которого сопряжены с (?о в б. Касательную алгебру стабилизатора общего положения мы называем стабильной подалгеброй общего положения (сокращенно, с.п.о.п.).
Из определения видно, что стабилизатор общего положения (если существует) определен однозначно с точностью до сопряжения.
Обозначим через морфизм категорной факторизации X —> Х//0 для действия (7 : X. Напомним (см. [6], теорема 7.12), что (для произвольного неприводимого аффинного (7-многообразия X) существует открытое 8 подмножество Z С X//G, для всех точек £ которого замкнутая орбита в слое 7Tq^x(z) совпадает с однородным пространством G/C, где подгруппа С С G определена однозначно с точностью до сопряжения в G.
Определение 0.2.2. Подгруппа С из предыдущего абзаца (автоматически редуктивная) называется главной изотропной подгруппой для действия
G:X.
Нам потребуется ещё одна подгруппа в G, связанная уже со структурой гамильтонова действия G : X.
Определение 0.2.3. Главным централизатором гамильтонова G-много-образия X называется централизатор в G элемента £ 0 для точки х £ X общего положения (здесь, как обычно, нижний индекс s обозначает полупростую часть).
Отметим, что главный централизатор совпадает с главной изотропной подгруппой для действия G : im/i^x, а потому существует и определен однозначно с точностью до сопряжения в G. Заметим, наконец, что главный централизатор является подгруппой Леви в G.
Далее, нам понадобятся два численных инварианта гамильтонова многообразия. Напомним, что рангом (соотв. дефектом) кососимметриче-ской билинейной формы и на конечномерном векторном пространстве V называется число dim У — dimkero; (соотв. dimkerw).
Определение 0.2.4. Пусть G - произвольная связная алгебраическая группа, и X - неприводимое гамильтоново G-многообразие с симплектической формой си. Корангом (соотв. дефектом) гамильтонова G-многообразия X (обозначаются согкс(Х),defer (X), соответственно) называется ранг ограничения формы и на пространство (соотв. дефект ограничения и на 0*х), где х Е X - точка общего положения. Здесь и далее верхний индекс z обозначает косоортогональное дополнение относительно симлектической формы.
Отметим, что гамильтоново многообразие коизотропно тогда и только тогда, когда его коранг равен 0.
Теперь мы готовы сформулировать основной результат, который будет описывать с.о.п., главную изотропную подгруппу, выражать дефект и коранг в их терминах, а также устанавливать некоторые теоретико-инвариантные свойства гамильтонова G-многообразия X. Некоторые части этой теоремы были доказаны в [11].
Теорема 0.2.5. Пусть G - связная редуктивная алгебраическая группа, X - неприводимое аффинное алгебраическое гамильтоново G-многообра-зие. Мы обозначаем через Go стабилизатор общего положения, через Lq главную изотропную подгруппу, и через L главный централизатор для действия G : X. Имеют место следующие утверждения. 9
1) Подгруппа LqCG сопряжена подгруппе в L, содержащей (L,L).
2) Найдется разложение Lq = Lq X Sp(2mi) х. х Sp(2mfc), для которого подгруппа G^ сопряжена с подгруппой Lq х Sp(2mi — 1) х. X — 1) (здесь и далее через Sp(2m—1) обозначается стабилизатор ненулевого вектора для тавтологического представления группы Sp(2m)).
3) Общий слой морфизма факторизации ttg,x ' X X//G содержит плотную G-орбиту.
4) Следующие условия эквивалентны: a) Общая орбита группы G замкнута в X (стабильность действия G:X). b) Подгруппа Go редуктивна. c) Подмножество полупростых элементов в {тцс,х плотно (сим-плектическая стабильность действия G : X; термин принадлежит Э.Б. Винбергу).
5) Имеют место равенства deiG(X) = vkG-rkL0, corkG (X) = dim X - dim G - rk G + dim G0 + rk L0 dimX - dimG - ikG + dimC0 + vk(G°0, G°0) + dim Z(G°0).
Поясним последнее равенство. Поскольку группа Go не редуктивна, то rk(G?o,Gro) + dimZ(Go) ф rkC?o (напомним, что под рангом произвольной произвольной алгебраической группы понимается максимальная размерность подгруппы, изоморфной тору, в этой группе). Например, в случае G°q = Sp(2n - 1) мы имеем rk(G$, = rkG^ = n - 1, dimZ(G°0) = 1.
Отметим, что пункт 5 теоремы позволяет проверять коизотропность многообразия, зная с.о.п. (или только с.п.о.п.).
0.3 Классификация коизотропных симплектических линейных действий
На данном пункте G - связная редуктивная алгебраическая группа, V -симплектическое векторное пространство, на котором G действует линейными симплектоморфизмами. Этот пункт посвящен изложению результатов классификации коизотропных действий G : V, полученных в [11].
Если G - подгруппа группы Sp(V), то будем говорить, что линейная группа G коизотропна, если действие G : V коизотропно. В этом же смысле мы употребляем термины "коизотропное представление, коизотропная линейная алгебра Ли".
Из предложения 2.3.2 будет следовать, что симплектические прямые слагаемые коизотропного представления также являются коизотропными. Поэтому первым шагом к классификации всех коизотропных представлений является классификация неприводимых. Следующая теорема, которую мы докажем в пункте 3.1, классифицирует неприводимые коизотропные представления.
Теорема 0.3.1. Все неприводимые коизотропные линейные группы (7 приведены в таблице 0.1.
Таблица 0.1: Неприводимые коизотропные группы
N С 00
1 8р(2/) вр(21 - 1)
2 А^Ь(6) 5Г(3)0 5Г(3)
3 8рт(11) 51(5)
4 8рт(13) 51(3) ф 51(3)
5 Ап^р(б) 5Г(3)
6 8рт±(12) 51(6)
7 е7 ее
8 53 ЭЬ(2) 0
9 Эр(2ш) 0 80(п) п ^ 2т : $о(п — 2т) х 1 (т) 2т > п : лр(2т - п) х 1([п/2])
10 8р(2т) 0 8рт(7) т = 1 : 51(3) х 1(1) т = 2 :1(2) т = 3,4:0 т ^ 5 : 5р(2т -'8)
И ЭЬ(2) 0 8рт(9) 51(3) X 1(1)
12 БЬ(2) 0 С2 аг х 1(1)
13 Эр(4) 0 0
В таблице 0.1 приведена следующая информация: линейная группа (см. объяснение обозначений в пункте 0.7), с.п.о.п. до Для действия (7 : V. При этом, в строках 9-13 полупростая часть алгебры до содержится во втором (ортогональном) множителе алгебры д в случаях (7 = Яр(2т) <8> БО(п), п > 2т + 2, БЬ(2) 0 8рт(7), БЬ(2) 0 8рт(9), БЬ(2) 0 (?2, и совпадает со с.п.о.п. для действия этого множителя.
Из таблицы 0.1 следует, что у неприводимой коизотропной группы С количество простых множителей не превосходит 3 (и равно 3 для группы О = Бр(2т) 0 80(4) = 8р(2т) 0 БЬ(2) 0 8Ь(2) и только для неё).
Рассмотрим теперь случай, когда V = II ф £У* для некоторого (^-модуля и. Известно, см. теорему 3.2.1, что (7- модуль V коизотропен в том и только том случае, когда С/ является сферическим, см. определение 0.1.5. Известна классификация сферических С-модулей. Кроме того, известно как находить в этом случае стабильную подалгебру общего положения для V. Эти результаты приводятся в пункте 3.2.
Перейдем к изложению результатов классификации коизотропных представлений общего вида. Явное их описание заняло бы слишком много места, однако можно указать "базовые" коизотропные представления, из которых очень несложно получаются все остальные. Для того, чтобы сформулировать соответствующие результаты, нам потребуется некоторая терминология.
Симплектическую линейную группу мы будем называть разложимой, если она представляется в виде прямой суммы двух нетривиальных сим-плектических линейных групп. В противном случае группу будем называть неразложимой. Классификация всех коизотропных групп тривиально сводится к классификации неразложимых.
Приводимую линейную группу С С (или соответствующее представление) будем называть насьщенной(ым), если Zsp(y^(G) — Z(G) (т.е., если группа (7 имеет максимальный возможный центр при заданном коммутанте (С, (7)).
Для заданной приводимой линейной группы С С 8р(1/Г) всегда существует насыщенная симплектическая линейная группа С С Вр(1/), для которой (С, (?) С С С (?. Последняя определена однозначно с точностью до сопряженности в Zsp(v)(G). Линейную группу С будем называть насыщением группы (3. Отметим, что если насыщение С группы (7 неразложимо, то и сама группа О неразложима, в то время, как обратное неверно. Классификацию коизотропных групп можно свести к классификации насыщенных коизотропных групп вместе с нахождением стабильных подалгебр общего положения для последних.
Предложение 0.3.2. Пусть й - связная редуктивная подгруппа в 8р(1/Г), С - её насыщение, и Iо - стабильная подалгебра общего положения для действия С : V. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Действие С : V коизотропно.
2) Действие С? : V коизотропно, и д + [0 = 0.
Следующее утверждение позволяет ограничиться ещё более узким классом коизотропных групп. Пусть (7 = 8Ь(2) х БЬ(2) X Со - редуктивная алгебраическая группа и р - коизотропное локально эффективное симплектиче-ское представление группы С. Рассмотрим подгруппу С = БЬ(2) х Со С (?, где множитель БЬ(2) вложен в БЬ(2) х БЬ(2) С й диагонально. Представления вида р\д будем называть А\-склеенными, а все оставшиеся - Ai-не-склеенными. Аналогичную терминологию будем применять и к линейным симплектическим группам и т.д. Следующее предложение сводит классификацию всех коизотропных действий к классификации Лгнесклеенных.
Предложение 0.3.3. Пусть Gq, G,G и р таковы, как в предыдущем обсуждении. Пусть ío - с.п.о.п для представления р. Тогда ío П до является с.п.о.п для представленияр\а, а коизотропностъ представления р\а эквивалентна равенству codim^ lo П до = 2.
Насыщенные Ai-несклеенные неразложимые коизотропные представления (линейные группы, модули) мы будем называть базовыми. Классификация всех базовых коизотропных модулей дается следующей теоремой.
Теорема 0.3.4. Пусть G - базовая коизотропная линейная симплектиче-ская группа. Тогда выполняется в точности одна из приведенных ниже трех возможностей:
1) Линейная группа G неприводима и содержится в таблице 0.1.
2) G-модуль V имеет вид V = U ф U*, где U - G-модулъ, приведенный в таблицах 3.2,3.3.
3) Линейная группа G приведена в таблице 0.2.
Ненасыщенные коизотропные группы, насыщение которых является одной из групп таблицы 0.2, — это в точности линейные группы (G, G) под номерами 1,18,20 (последняя для т= 1). Стабильная подалгебра общего положения во всех трех случаях есть редуктивная подалгебра в í) коразмерности 1, при этом, в случае 20 её проекция на sl(2) нетривиальна.
Таблица 0.2: Базовые приводимые коизотропные группы
N (G.G) So
1 Л(тГЗ, 7Г1, 7Гб) (sl(2)es((2))xt(l)
2 Cl(7Г1, 7Г1, 7Ti), / > 1 $p(2l - 3)
3 Сз^тгьтп) 0
4 В2(Щ,Щ,7Г2) 0
5 Dq(7Г5, 7Г1, 7Ti) *m
6 Spin(12) st(2)©sl(2)
7 AJSp(6) 51(2)
8 (SL(2) ф SL(2)) <g> SO(n), n > 4 so(n - 4)
N (С, С) 00
9 Бр(2т) +8р(2т) йр(2т) ® 80(п), т > 1,п > 2 2 т> п: $р(2т - п - 1) 2т ^ п : 50 (п — 2га)
10 вр(4) +8р(4) Бр(4) <8> 8рт(7) 0
И (БЬ(2) е ЭЬ(2)) (8) 8рт(7) 0
12 Эф)® 80(11) +80(11) 8рт(11) 5((3)
13 8р(2т) ® 80(12) +8рш(12) Зрт±(12), т = 1,2 т = 1 : 51(4) х 1(1) т = 2 : $1(2)
14 Эр(4) +8р(4) 80(5) ® 8р(2т) т = 1 : 1(1) т > 1 : зр(2т - 5)
15 ЭЬ(2) ® 80(7) +8Р}П(7) 8рт(7) ® вЬ(2)
16 вЬ(2) ® 80(8) +80(8) 8рт+(8) ® БЦ2) 51(2) х 1(2)
17 БЬ(2) ® 80(8) +80(8) 8рт+(8) ® вр(4) 0
18 Л^Цб) +8Ц6) (БЦб) ® БЬ(2)Уутр1 1(1)
19 ЭЬ(2) ® 80(5) +80(5) 8р(4)5^ 0
20 8р(2т) ® 80(6) +8Ц4) ЗЪ(4.уутр1 т = 1 : 1(2) т = 2,3 : 0 т ^ 4 : $р(2т - 6)
21 $Ц2) ® БО(6) +SL(4) (ЭЬ(4) ® БЦ2)уУтР1 0
22 БЦ2) ® 80(7) +80(7) §рт(7Уутр1 0
23 8Ц2)®БО(8) +80(8) 8рт±(8)^ 51(2) х 1(1)
24 БЦ2) ® 80(10) +80(ю) $рт±{10Уутр1 51(2)
Поясним использованные в таблице 0.2 обозначения. Выделение жирным шрифтом множителя 8Ь(2) означает, что проекция стабилизатора общего положения на этот множитель нетривиальна (в случае 16 проекция стабилизатора общего положения на нормальный делитель БЬ(2) х8Ь(2) С (7 двумерна). Выделение множителя вида Бр(2т) означает, что для т = 1 выполняется вышеозначенное.
Подход к классификации, который мы применяем, базируется непосредственно на теореме 0.2.5 для неприводимых модулей, и на предложении 2.3.2 для приводимых. Он является усовершенствованием подхода, примененного в работе [И]. Независимо классификация была осуществлена Ф. Кнопом в [30]. Она использует теорию, развитую в [31].
0.4 Классификация слабо коммутативных однородных пространств с редуктивным стабилизатором
Здесь (7 - связная алгебраическая группа, а Я - её алгебраическая подгруппа. Общая задача состоит в классификации всех слабо коммутативных однородных пространств вида (2/Я, где подгруппа Я редуктивна.
Впрочем, мы накладываем некоторые технические ограничения на С, Я.
Отметим, во-первых, что слабая коммутативность пространства (7/Я зависит лишь от пары (д, I)), см. следствие 1.3.2. Мы говорим, что пара (0,1)), состоящая из алгебраической алгебры Ли д и её алгебраической подалгебры I) слабо коммутативна, если однородное пространство С/Я, где касательные алгебры групп С, Я суть д, [), таково. Аналогично, коммутативность однородного пространства С/Я также зависит только от пары (д, I}) (лемма 1.3.7), что дает нам возможность говорить о коммутативной паре (д,Г)).
Отметим, что если подгруппа Я редуктивна, то существует разложение Леви С = ь X n, где группа ь редуктивна, а группа n унипотентна, для которого Я С Ь. Мы говорим, что тройка (п, I, ()) соответствующих алгебр Ли слабо коммутативна (коммутативна), если пара (п XI [, ()) такова.
Теперь обсудим накладываемые ограничения технического плана. Во-первых, мы вводим довольно типичное для теории инвариантов ограничение: именно, мы требуем, чтобы [-модуль п/[п, п] был неприводим. Множество слабо коммутативных однородных пространств без ограничений на структуру модуля п/[п, п] кажется совершенно необозримым. Второе условие, которое мы накладываем: [п, п] ф {0}. Опять же, слабо коммутативных пространств, удовлетворяющих первому условию, но не удовлетворяющих второму, оказывается довольно много, и дать их описание представляется проблематичным.
Классификацию мы проводим в два этапа. Именно, слабая коммутативность тройки (п, I, [)) влечет слабую коммутативность тройки (п, I, I). Это следует, например, из предложения 5.5.8. Поэтому на первом этапе мы описываем слабо коммутативные тройки вида (п, I, I), а потом находим подалгебры I) С [, для которых тройка (п, [, [)) остается слабо коммутативной.
Сейчас мы изложим результаты классификации слабо коммутативных троек вида (п, I, [) (для которых (-модуль п/[п, п] неприводим, и [п, п] ф {0}). При этом мы можем ограничиться случаем, когда представление алгебры I в п эффективно. Отметим также, что если п - коммутативная алгебра, то тройка (п, I, I) автоматически слабо коммутативна.
В случае, когда группа n имеет ступень нильпотентности 2, мы называем соответствующую тройку (п, [, [) тройкой гейзенбергова типа. В этом случае через 3 мы обозначаем [-модуль [п, п]. Через 0 мы обозначим некоторый [-подмодуль в п, дополняющий 3. Согласно нашим соглашениям, [-модуль о неприводим, и 3 ф {0}. Операция коммутирования в алгебре п задается произвольным отображением из Д2 О на 3. Алгебра [ будет действовать на получившейся алгебре дифференцированиями в том и только том случае, когда это отображение Д и 3 является [-эквивариантным.
Сформулируем теперь основную классификационную теорему.
Теорема 0.4.1. Пусть п, 0,3, [ таковы, как описано выше. В пунктах 1-4 алгебра I предполагается полупростой.
1) Если dim3 = 1, то тройка (п, [, [) слабо коммутативна в том и только в том случае, когда n = fjeis(V), где V - коизотропный сим-плектический [-модуль.
2) Неприводимые слабо коммутативные тройки (n, I, I) гейзенбергова типа с неприводимым (соотв. с приводимым) [-модулем dim} > 1, перечислены в таблице 0.3 (соотв. таблице 0.4)
3) Существует ровно 2 слабо коммутативных тройки (n, i, I) со ступенью нильпотентности алгебры п большей 2. Для них ступень нильпотентности алгебры п равна 3 или 4■ Тройка (п, I, I), для которой ступень нильпотентности равна 4 получается следующим образом: i = si(2), n = ф$=1 Щ, где rii, П3 суть двумерные sl(2)-модули, а П2, гц = 3(п) - одномерные. При этом, для произвольных х, у Е щ,и 6 Пз и некоторых ненулевых элементов z £ П2,г> Е П4 выполняются соотношения коммутирования [х,у] = det(x,y)z,[x,z\ = ф(х), где ф есть в[(2)-эквивариантный изоморфизм из t\i в П3, [х,и] = det(x,u)v. Тройка, для которой ступень нильпотентности алгебры п равна 3, есть (n/ri4, [, i).
4) Всякая слабо коммутативная тройка (n, i, I), для которой [-модуль п/[п, п] неприводим, коммутативна.
5) Если алгебра i не полупроста, то слабая коммутативность троек (п, I) и (п, [[, I], [I, I]) эквивалентна.
Таблица 0.3: Неприводимые слабо коммутативные тройки (п, [, I) с неприводимым I-модулем з, dimз > 1
N 1 0 г
1 so(n),n > 2, п ф 4 УЫ УЫ
2 с2 V( tti) УЫ
3 spin(7) УЫ УЫ
4 «[(7) УЫ УЫ
5 $[(п) х во{т),тф 2 Vfa) ® Vfri) УЫ
6 so(13) УЫ УЫ
7 50(14) УЫ) УЫ
8 sp(2n), п > 1 УЫ УЫ
9 sl(n) X 5pin(7), n четно, или n = 3,5 V(m) <8> V(TT'3) УЫ
N I 0 3
10 5\(п) хС2)п = 3,4 УЫ) <8> У(тг» ^(тг2)
И 51(3) х 5рт(9) УЫ) <8> К«) ^(тг2)
12 5р(4) х 5о(п),п > 2 У(щ) ® УЫх) УМ
13 5р(4) х 5рт(7) УЫ) ® УМ) УЫ)
14 5р(2т) х 5р(2п), т ^ 2 У(7Г1)0У(7Т'1) У( 2п)
15 51(5) X 51(2) У(1г2) <8> У{7Гх) УЫ)
16 5((п) х 5р(2т),п > 2 У(7П) <8> У{ У( 2тп)
17 5рт(9) х 51(2) УЫ)®У(А) у(тп)
18 5рт(10) х 51(2) 7(тг4) (8) 7(7^) к(тп)
Таблица 0.4: Неприводимые слабо коммутативные тройки (п, I, I) с приводимым [-модулем з
N [ 0 г
1 5рт(13) УЫ) ^(тп)еу(о)
2 5р(2п),п > 1 УЫ) УЫ) Ф ^(0)
3 бр(4) х 5о(п),п > 2 УЫ) ® У(7Г1) УЫ) ® ^(о)
4 5р(4) х 5рт(7) УЫ) ® Ж) УЫ) ф ^(о)
5 5рт(9) х 51(2) ^(тг4) (8) К(ТГ1) УЫ) Ф У(0)
6 51(2) X 51(2) ^(7Гх) (8> УЫх) У(2щ) 9 У(2тт{)
Здесь 7гг- обозначают фундаментальные веса первой алгебры, а - второй.
Замечание 0.4.2. Отметим, что во всех перечисленных в таблицах случаях спектр модуля з прост, и кратность каждого неприводимого подмодуля 1-м о дуля з в Д20 равна 1. Отсюда несложно следует, что структура алгебры Ли на д определяется по о и з однозначно с точностью до изоморфизма.
Теперь мы перейдем к рассмотрению случая ( ф (). Соответствующие результаты опубликованы в [13]. Из следствия 1.3.4 следует, что \) является сферической подалгеброй в I (по определению, это означает, что соответствующее однородное пространство Ь/Н сферическое).
Все слабо коммутативные тройки (п, I, [)), где ступень нильпотентности алгебры п больше 2, несложно получаются из троек пункта 4, см. следствие 5.5.4. Ниже в этом пункте мы полагаем, что ступень нильпотентности алгебры п равна 2. Обозначения в,з имеют тот же смысл, что и выше.
Для изложения наших результатов нам потребуется несколько определений.
Определение 0.4.3. Пусть ri - нилыготентная алгебра Ли, I - редуктив-ная алгебра Ли, которая представляется в п дифференцированиями, f) -редуктивная подалгебра в Î. Тройку (n, I, f)) мы назовем неразложимой, если не существует разложения I = Ï1 ф I2 в прямую сумму идеалов, для которого = (Î1 П f)) $ (l2 fil)), al2 представляется в п тривиально. Неразложимую тройку (n, i1,^1) мы называем главной частью тройки (n, I, f)), если [ = l1 х [2, где [2 представляется в I тривиально, и \) = f)1 х f)2, где 1)г С 1\ г = 1,2.
Определение 0.4.4. Тройку (n, [, f)) мы назовем насыщенной, если dim3([) = 1, з(1) представляется в n нетривиально, и ri[(ï)) = f).
С данной неразложимой тройкой (n, [, fj), где ступень нильпотентности алгебры равна 2, а \) - сферическая подалгебра в J^ можно связать естественную насыщенную тройку. Именно, положим î := î, если з(1) ф {0}, иначе [ := I х t(l), где элемент х Е t(l) представляется в D умножением на 1, а в з - умножением на 2. Далее, положим ï) = rt^(ïj). Тройку (n, 1, I)) мы называем насыщением тройки (n, I, I}). Можно показать (это следует из следствия 1.2.3 и предложения 5.5.8), что если тройка (n, I, f)) слабо коммутативна, то и тройка (n, î, î)) такова.
Определение 0.4.5. Пусть fo - редуктивная алгебра Ли, f)o - её редуктивная подалгебра, an- нильпотентная алгебра Ли, в которой представляется дифференцированиями алгебра lo xst(2). Положим [ = [q X5Î(2) xsp(2n), f) = f)o x $1(2) x sp(2n — 2), где идеал st(2) алгебры f) вложен диагонально в sl(2) x sp(2n). Мы говорим, что тройка (n, Î, ï}) получена из тройки (n, (о x sl(2), f)o x sl(2)) s\(2)-удвоением.
Теорема 0.4.6. (1) Насыщенные неразложимые слабо коммутативные тройки (n, I, Î?) с f) ф Î суть в точности тройки одной из следующих форм: a) (fyz\s(C2m+2n),sp(2m+2n),sp(2m)x$p(2n)), (i)eis(C2n),5p(2n)xsp(2n) ,sp(2n)). b) (n, î, Ij) получается однократным (соотв., двукратным)$1(2)-удвоением из тройки (f)eis(F), t(l) x li,t(l) x у, где li С sp(V) - линейная алгебра NN9-12 (соотв., N9) из таблицы 0.1 (имеющая, разумеется, один или два идеала изоморфных si(2)). c) (n, I, fj) получается однократным (соотв., двукратным) sl(2)-удвоением из троек вида (n, t(l) x li,t(l) x Ii), где (n, (i,li) - тройка NN5,15,16,18 (соотв. N5) из таблицы 0.3.
2) Ненасыщенные неразложимые слабо коммутативные тройки (n, 1,1)) cl) ф I суть в точности тройки одной из следующих форм (отметим, что пункты (b) и (с) частично перекрываются):
18 a) (п, [[, I], Р)П[1, (]), где (п, I, I)) - насыщенная неразложимая слабо коммутативная тройка с [1,1] С Ьb) (п, I1 х I2,11 х \)2), где (п, I1,11) - тройка N15 из таблицы 0.3, а пара (I2,1)2), ¡)2 ф I2 - сферическая. c) (п, I, где 1} [I, I], пара ([I, I], П [I, I]) сферическая, а насыщение тройки (п, {, ()) слабо коммутативно.
0.5 Содержание работы
Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь разбиты на пункты. Теоремы, примеры, замечания и т.д. нумеруются в пределах пункта, а таблицы и уравнения -в пределах главы.
Сразу после введения мы приводим соглашения, которые используются в работе и список наиболее часто встречающихся обозначений.
1. Е.М. Андреев, Э.Б. Винберг, А.Г. Элашвили. Орбиты наибольший размерности полупростых линейных групп Ли, Функц. анализ и его прил. 1 (1967), 1, 3-7.
2. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли, главы 7-8, М.; Мир, 1978.
3. Э.Б. Винберг. Инвариантные линейные связности на однородном пространстве. Труды ММО 9(1960), 191-210.
4. Э.Б. Винберг. Коммутативные однородные пространства и коизо-тропные симплектические действия. УМН, т.56(2001), вып.1(337).
5. Э.Б. Винберг. Коммутативные однородные пространства гейзенбер-гова типа. Труды ММО, N64(2003).
6. Винберг Э.Б., Попов. B.JI. Теория инвариантов, в сер. Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т.55 Алгебраическая геометрия 4 М.: ВИНИТИ, 1989, с. 137-309.
7. Э.Б. Винберг, A.JI. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995.
8. Е.Б. Дынкин. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. Мат. сборник (нов. сер.) т.30(1952), с. 349-462.
9. X. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов. М.:Мир, 1987, 312с.
10. С. Ленг. Алгебра. М., Мир, 1968.И. И.В. Лосев. Коизотропные представления редуктивных групп. Труды ММО, (66)2005, 156-183.
11. И.В. Лосев. О комплексных слабо коммутативных однородных пространствах. Труды ММО, 67(2006), с. 228-255.
12. И.В. Лосев. Классификация слабо коммутативных комплексных однородных пространств. УМН 62(2007), N2, с. 181-182.
13. И.В. Микитюк. Об интегрируемости инвариантных гамилътоновых систем с однородными конфигурационными пространствами. Мат. сборник, 129(1986), N4, с. 514-534.
14. A.JI. Онищик. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований. Труды ММО, 11(1962),199-242.
15. B.JI. Попов. Критерий стабильности действия полупростой группы на факториальном многообразии. Изв. АН СССР, сер. мат., 36(1970), N2.
16. Л.Г. Рыбников. Слабо коммутативные однородные пространства с редуктивным стабилизатором. УМН 59, вып.4, стр. 199-200.
17. А.Г.Элашвили. Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли. Функциональный анализ и его приложения, т.5, вып. 1, 1972, сс. 51-62.
18. А.Г.Элашвили. Стационарные подалгебры общего положения для неприводимых линейных групп Ли. Функциональный анализ и его приложения, т.5, вып. 2, 1972, с. 65-78.
19. О.С. Якимова. О слабо коммутативных однородных пространствах. УМН т.57(2002), вып. 3, с. 171-173.
20. С. Benson, G. Ratkliff, A classification of multiplicity free actions. J. Algebra, 181(1996), p. 152-186.
21. C. Benson, G.Ratkliff. Rationality of the generalized binomial coefficients for a multiplicity free action, J. of Australian Math. Society, ser. A, 68(2000), 387-410.
22. M. Brion. Classification des espaces homogènes sphériques. Compositio Math. 63(1987), 189-208.
23. V. Guillemin, Sh. Sternberg, Symplectic techniques in physics. Cambridge University Press, 1984.
24. V. Guillemin, Sh. Sternberg, Multiplicity-free spaces. J. Diff. Geometry, 19(1984), p. 31-56.
25. V. Kac, Some remarks on nilpotent orbits, J. Algebra 64 (1980), 190-213.
26. F. Knop. Weylgruppe und Momentabbildung. Invent. Math. 99(1990), p. 1-23.
27. F. Knop. Weyl groups of Hamiltonian manifolds, I. Preprint (1997). dg-ga/9712010.
28. F. Knop. Some remarks on multiplicity free spaces. Proc. NATO Adv. Study Inst, on Representation Theory and Algebraic Geometry (A. Broer, G. Sabidussi, eds.). Nato ASI Series C, v. 514, Dotrecht: Kluwer, 1998, p. 301-317.
29. F. Knop. Classification of multiplicity free symplectic representations. Preprint (2005), arXiv: math.SG/0505268.
30. F. Knop. Invariant functions on symplectic representations. Preprint (2005), arXivrmath.AG/0506171.
31. M. Krämer. Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen. Compos. Math. 38 (1979), 129-153.
32. A.S. Leahy. A classification of multiplicity free representations. J. Lie Theory, v.8(1998), p. 367-391.
33. P. Littelmann. Koreguläre und äquidimensionale Darstellungen halbeinbacher Liegruppen. J. Algebra, v. 123(1989), N1, p. 193-222.
34. I.V. Losev. Algebraic Hamiltonian actions. Preprint (2006), arXiv:math. AG/0601023.
35. D. Luna. Variétés sphériques de type A. IHES Publ. Math., 94(2001), 161226.
36. J. Marsden, A. Weinstein. Reduction of symplectic manifolds with symmetry. Rep. Math. Phys. 5, 121-130 (1974).
37. D.I. Panyushev. Inductive formulas for the index of seaweed Lie subalge-bras. Moscow Math. J. 1(2001), p. 221-243.
38. G. Schwarz. Representations of simple Lie groups with regular rings of invariants. Invent. Math., 49 (1978), pp. 167-191.
39. E.B. Vinberg. On stability of actions of reductive algebraic groups, in "Lie algebras, rings and related topics", Fong Yuen, A.A. Mikhalev, E. Zel-manov eds. Springer-Verlag, Hong Kong (2000), 188-202.
40. E.B. Vinberg, O.S. Yakimova. Complete families of commuting functions for coisotropic Hamiltonian actions. Preprint (2005), arXiv:math.SG/0511498.
41. O.S. Yakimova. Gelfand pairs. Bonner Mathematische Schriften, N.374. Bonn, 2005.
42. O.S. Yakimova. Principal Gelfand pairs. Transformation groups, 11(2006),N2,p. 305-335.
