Метод сечений в теории инвариантов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Важными задачами в теории инвариантов являются вопрос о существовании геометрического фактора и проблема рациональности. Поясним подробно, что понимается под этими словами.

В диссертации основным полем считается поле комплексных чисел.

ВОПРОС О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ФАКТОРА.

Определение / см. [Gj /. Пусть линейная алгебраическая группа Q действует на неприводимом алгебраическом многообразии X » причем cKiYA ф- ■ ос) = сСйгп (G- -дс') для всех СС, ос '& X . Геометрическим фактором действия (9'Х называется такая структура алгебраического многообразия на множестве ^/q орбит действия (х-'Х, что

1. Канонически возникающее отображение множеств : X —* X/q является морфизмом алгебраических многообразий.

2. Для любой рациональной Q -инвариантной функции F на алгебраическом многообразии X , определенной в точке X. , существует такая рациональная функция } на алгебраическом многообразии

X/gi , определенная в точке R(ос) , что = F.

Замечание о терминологии. Слова "геометрический фактор ^/д. " означают "множество орбит д. со структурой алгебраического многообразия, которая является геометрическим фактором". Подмногообразием мы будем называть локально замкнутое подмножество в алгебраическом многообразии. Будем говорить, что два гладких подмногообразия X и гладкого алгебраического многообразия "Z пересекаются в точке "Z^XoY трансверсально, если касательное пространство в точке "2 алгебраического многообразия Z есть прямая сумма касательных пространств подмногообразий X и Т в точке

Приведем пример, когда у действия алгебраической группы G на неприводимом алгебраическом многообразии отсутствует геометрический фактор.

Пусть SL2: V - неприводимое YI -мерное линейное представление группы Sio ,

X = V I s l2-cc boj.

Мы утверждаем, что при W2-S не существует геометрического (рак-тора K/s>L2 • Допустим, что это не так и геометрический фактор X/sLg сУЩествУет« Положим

ГС : X--- X/SL^ ,

X,-„ (SLz xj.

Возьмём ХбХо и определённую в $t(vc) непостоянную на ^(Х.^ рациональную функцию f £ • ТогДа в (C(X)SL,z определена в точке ОС , причём, |x0^C<>tt#fc • Согласно (jlfJ , существуют ^е такие, что fjJ^" = jc*";f . Можно считать, что ^ и ^ не содержат общего непостоянного множителя и, значит, 0 • Но / см. [&] / и, значит.

Х0sCOfUyb • Противоречие. При исследовании вопроса о существовании геометрического фактора естественным образом возникает понятие пласта.

Определение. Пусть Q : X - действие линейной алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X • Для к= 0} 1,2,3,. положим

Подмножество Х^является подмногообразием в X » его неприводимые компоненты называют пластами.

Основной результат главы I диссертации относится к геометрии пластов присоединённого представления связной редуктивной алгебраической группы. В частности, мы доказываем, что у этих пластов существует геометрический фактор. Перед тем как сформулировать основную теорему, введём некоторые обозначения и напомним некоторые известные результаты.

Фиксируем связную редуктивную алгебраическую группу Q . Пусть Oj. - алгебра Ли группы - присоединённое представление, к - максимум размерностей Q- -орбит в Oj,. Пласт ^^ называется регулярным пластом. Описание регулярного пласта было получено Б.Костантом в • Оно состоит в следующем.

ТЕОРЕМ Б.КОСТАНТА. Существует -тройка фс0,Яо>Цо) такая, что XDe Cfl^. Пусть Ls - централизатор элемента в алгебре Ли Of. . Тогда

1. ^KCAdG^-C^L).

2. Каждая Q~ -орбита из пересекает OOp+L ровно в одной точке и пересечение происходит трансверсально.

3. Биекция

УУам --' *o+l определяет на множестве орбит структуру алгебраического многообразия, которая является геометрическим фактором.

В работах л.Диксмье, В.Боро, Х.Крафта и других jj€j было продолжено изучение пластов. В частности, в [iSj было доказано, что любой пласт в Of содержит ровно одну орбиту, состоящую из нильпотентных элементов. В [l?] было доказано, что для любого пласта S>cO|. существует параболическая подалгебра -j? и разрешимый идеая *Yf с f такие, что 'Yt'O S открыто и непусто и

S=(Ade)-(TnS)

Основным результатом главы I диссертации является ТЕОРЕМА I. Пусть S - пласт в CJ . Дополним нильпотент ОС0€ 6S до ^С^тройки (рСы ^о, % о) • Пусть L - централизатор элемента в , А - централизатор З^-тройки фс0, fi0, в Q- , А - связная компонента единицы в А . Определим подмногообразие Xе- L условием а0+Х ^ (рс0+L)n S п и разложим д на неприводимые компоненты: X'UXi . Тогда

1. Подмногообразия Х^ замкнуты в L и имеют одинаковую размерность.

2. Для любого L s = fide) ■ Хг)

3. Любая орбита из S пересекает линейное подмногообразие ОСр+L трансверсально.

4. А-^Со+Х) = СС0+Х причем подгруппа А <=-А действует на эс0+х тривиально и, таким образом, на СС0 + Х определено действие конечной группы •

5. Если эс,эс'бХ , то (AdG)-<bc0+3C)-= (AolG)-(sCo+x') тогда и только тогда, когда А До • (£с0+;х) « А/р* ■ £ос0+эс') .

6. Пусть

5С : ОСо+Х -^"^Ю/^А^)

- факторное отображение. Определим отображение s -» Х)/(а/а») следующим способом: f 6х) - <Jt(oc0+oc') где ос эос • Это определение корректно, слоями отображения У являются Q- -орбиты и возникающая биекция s4 *-* определяет на ^/д. структуру алгебраического многообразия, которая является геометрическим фактором.

Сравнивая формулировку теоремы I с формулировкой теоремы Б. Костанта нетрудно заметить, что теорема I является естественным обобщением теоремы Б.Костанта. Однако метод доказательства теоремы I принципиально отличен от метода доказательства теоремы Б.Костанта / см. [2. l] /.

Отметим, что доказательство теоремы I априорно, то есть не ис пользует классификацию простых алгебр Ли и табличные данные об этих алгебрах.

В главе I из теоремы I мы выводим следующий результат.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть X ~ неприводимое Q -инвариантное под многообразие в ^ , состоящее из орбит одинаковой размерности. Тогда существует геометрический фактор ^/О- •

Замечание. В [}б] для каждого пласта S cr Oj, было построено аффинное нормальное многообразие (^/i&f которое явилось бы нормализацией геометрического фактора ^/q. > если бы этот геометрический фактор существовал. Многообразие С^&О^ определяется своей алгеброй регулярных функций, которая, по определению, есть целое замыкание алгебры (£[s]^ в своем поле частных. В D&J было высказано предположение, что у любого пласта существует геометрический фактор и он является нормальным многообразием / и, таким образом, есть целое замыкание алгебры (C[s] в своем поле частных /. В это предположение было доказано для случая, когда пласт S является нормальным многообразием и было отмечено, что встречаются / хотя и редко / не нормальные пласты.

К настоящему моменту известно, что все пласты в ~ гладкие и, значит, нормальные|j1G} .

ПРОБЛЕМ РАЦИОНАЛЬНОСТИ В ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ.

Пусть Q- - линейная алгебраическая группа,

9 —* &L(V)

- линейное представление, поле Q- -инвариантных рациональных функций на линейном пространстве V . Естественным образом возникает вопрос: jty является ли поле чисто трансцендентньш расширением поля (С ?

Сформулированная проблема называется проблемой рациональности в теории инвариантов. К настоящему моменту она в общем случае не решена. Укажем известные сейчас факты.

Поле (Г^/)^" является подполем поля £>(v) , которое есть чисто трансцендентное расширение поля (С . Таким образом, проблема близка к проблеме Люрота, которая формулируется следующим образом: всякое ли подполе чисто трансцендентного расширения поля (С. , содержащее поле (С , является чисто трансцендентным расширением поля (0 ? Решение проблемы Люрота состоит в следующем:

1. Если степень трансцендентности подполя К с (С^Д;^, . .ЭГ,^ (К з (С^ над (С не больше, чем 2 , то поле К является чисто трансцендентным расширением поля С / [И , [15"] /.

2. При существуют подполя К С- (D (ocL,. - ( К ^ (С не являющиеся чисто трансцендентными расширениями поля (D О?).

В связи с этим, можем сделать следующий вывод для проблемы (X)

ПРЕЩЛаКЕНИЕ. Если степень трансцендентности поля не больше чем 2. , то поле является чисто трансцендентным расширением поля (£

В j^J было доказано, что проблема имеет положительное решение, если Qr является связной разрешимой алгебраической группой

Для теории модулей алгебраических многообразий наибольший интерес представляет решение проблемы рациональности для неприводимых линейных представлений группы SAn . Для этих представлений проблема рациональности была решена / положительно / лишь в немногих частных случаях, когда размерность пространства представления невелика. Например, для группы SL, была известна рациональ ность полей инвариантов неприводимых линейных представлений размер ноетей 4 ¥ . Основным результатом главы II диссертации является ТЕОРЕМ 3. Пусть

Р •. SL2-» G-L(V)

- такое неприводимое нечетномерное линейное представление группы su , что otimV Ф11. Тогда где - - •> ^vc " однородные алгебраически независимые SL^-ин вариантные рациональные функции.

Укажем переформулировку этой теоремы в терминах теории модулей алгебраических многообразий.

Обозначим через ^ множество гиперэллиптических кривых рода ^ . Множество ^ допускает естественную структуру алгебраического многообразия • Известно, что многообразие неприво-димо и унирационально для всех ^ , а при многообразие ^ рационально. Теорему 3 можно переформулировать следующим образом [14] : многообразие ^ рационально при всех ^ , кроме, быть может, ^ 1\ . Заметим, что множество 01^ всех кривых рода также допускает естественную структуру алгебраического многообразия и при этом является подмногообразием в Oty. . В [5] и (20J было доказано, что многообразие (К^ неприводимо, а при мерность Кодаиры многообразия 01^ совпадает с обычной размерностью. В частности, при многообразие Ot^ нерационально и даже неунирационально.

Идея доказательства теоремы 3 основывается на понятии (&х н)-- сечения :

Определение. Пусть Q - связная алгебраическая группа, действующая на алгебраическом многообразии X > И - подгруппа группы

Q . Неприводимое подмногообразие Y с: X называется (&,Н)-сечением многообразия X , если

1.

2. Если ty^Y > & £ j то Cf-^&Y тогда и только тогда, когда ty&H.

Если Y является (Q-{ Н)-сечением многообразия X » то определен изоморфизм полей с(х)& ^ с(y)h при котором функции (С(х)^" соответствует её ограничение j-jy на подмногообразие / доказательство см. в главе II /.

Пример I. Пусть

М: е- —» &L (у)

- присоединенное представление связной редуктивной алгебраической группы Q , - картановская подалгебра в алгебре Ли , С. Qr - соответствующий ей тор,

- нормализатор тора Т в группе Q- . Тогда множество элементов картановской подалгебры ^ , имеющих максимальную размерность орбиты, является N (Т)) -сечением многообразия OJ,.

Пример 2 / обобщение примера I /. Пусть

У : £ -, G-L (v)

- линейное представление связной редуктивной алгебраической группы Q■ . Согласно теореме Ричардсона существует непустое открытое подмножество такое, что стабилизаторы любых двух точек из V в группе Q- сопряжены. Пусть 3C&V , Н - стабилизатор точки ос в группе

- нормализатор подгруппы Н в группе G- , L = VH . Тогда Ln V1 является М (н)^ - сечением многообразия V.

Таким образом, в ситуации проблемы (*) мы .можем попытаться доказать рациональность поля построив ((?(Н) -сечение Y и доказав рациональность поля (Г^)^* В нашем распоряжении имеется метод построения Н) -сечений, который содержится в формулиров' ке следующего факта.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Пусть ^f является Н) -сечением алгебраического многообразия X , S - неприводимое алгебраическое многообр; зие, на котором действует группа (г , и Cf S -X ~ доминантный Q -эквивариантный морфизм. Тогда Н' '(Y)и существует неприводимая компонента F подмногообразия такая, что ^(F) =>Y » а если HF-F, то F является (Q-t Н.)-сечением многообразия S.

Приведем теперь схему доказательства теоремы 3.

Пусть SLa-\/(M)- каноническое представление группы SL2 в пространстве форм степени А от переменных и Н2 [{А} • Если выполнить построение -сечения согласно процедуре, указанной в примере 2, то мы получим (SLZ)Nl(H)j -сечение ^ многообразия причем clirnY:=2 и Y=V(4)H ~ линейное подпространство в Ч(Ч) . При этом группа подстановок четырех элементов.

Согласно jj9] существует ненулевой квадратичный ЗЬ^-эквивариант-ный мошзизм ' t : V -*V(*i).

Используя конструкцию, описанную в приведенном выше предложении, с помощью морфизма ^ можно построить Nfa)) -сечение X многообразия v . Подмногообразие x является одной из неприводимых компонент подмногообразия ^ '^у) которое, в свою очередь, есть открытое подмножество в пересечении трёх квадрик в v . Кроме того, <£*Х = X • Имеем: и мы должны доказать рациональность поля ота задача сводится к следующему утверждению / см. соответствующие рассуждения в главе II /:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть

- линейное представление группы SA Тогда поле рационально.

Доказательство см. в главе II.

Используя (&(И) -сечения, в главе III мы докажем следующий результат:

ТЕОРЕМ 4. Пусть s 1*2.■ " нетривиальные непри водимые линейные представления группы S, причем или к » или V^ четно. Точки из пространства —будем обозначать через где ф^1)£ Vc' . Тогда eft, где . алгебраически независимые рациональные функции, однородные по каждой переменной 2Г^ в отдельности.

Результаты диссертации были опубликованы в статьях [8]^[9J, [[^.оЗ • Приведенное в статье доказательство рациональности пространств модулей гиперэллиптических кривых содержит ошибку, хотя сам по себе этот результат верен: в статье диссертанта приведено верное доказательство, основанное на той же идее.

1. Ван дер Варден. Алгебра. - М.:Наука,Т979,с.252.

2. Винберг З.Б. Рациональность поля инвариантов треугольнойгруппы. Вестн.Моск.ун-та,1982,№2,с.23-24.

3. Винберг З.Б., Оншцик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. М.:МГУ,1969,с.7Э.

4. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.:Мир,1969,с.204.

5. Делинь П., Мамфорд Д. Неприводимость многообразия кривыхзаданного рода. Математика,1972,16:3,с.13--53.

6. Дъедонне Л{., Кэррол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теорияинвариант о в. М.:Мир,1974,с.89,133.

7. Псковских В.А., Манин Ю.И. Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота. Матем.сб.,1971,т. 86,PI,с.140-166.

8. Кацыло П.И. Сечения пластов редуктивной алгебраическойалгебры Ли. Изв.АН СССР,сер.матем.,1982, т.46,;;°3, с. 477-486.

9. Кацыло П.И. Сечения и проблема рациональности в теорииинвариантов. Тезисы сообщений 17 Всес. алгебр.конф.,Минск,1983,ч.I,с.88.

10. Кацыло П.И. Рациональность пространств модулей гиперэллиптических кривых. Изв.АН СССР,сер.матем., 1984,т.48, а/Ч, с.70547/0

11. Кацыло П.И. Рациональность пространств орбит неприводимых представлений группы SL2. Изв.АН СССР, сер. мат ем., 1983, т. 47, №1, с. 26-36.

12. Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. М.:Мир,1979,с.70,

13. Серр Я.П. Алгебраические когерентные пучки. Сб. Расслоенные пространства и их приложения, М.,1958, с.372-450.

14. Спрингер Т. Теория инвариантов. М.:Мир,1981,с.18,48,143.144.

15. Шафаревич И.Р. и др. Алгебраические поверхности. Трудыматем.ин-та АН СССР им.В.А.Стеклова,т.75, Наука,1965,с.46.

16. Q-fruLoun P. OL&&Z СгиШиссп£еАК&ии)Чал (fayuvu&cyicytAm i&ti Q-. идллсАогьь&С-ВЫ JL, ifiupzccj., Тии&шь, /£87, S.8

17. IUam.jWD. On -Uul ftodcufra oUnwn6ton of ika пьоЫмХс SjxLce. силг&гЪ.- йШмА. FOjoubh., /982, I/. 67, л/1 , p.23Ko^ytaW; B. (jibouf tief^AjZYifacfakHn amYvoYvujcdL ЪОадД. CUywx . J. /TUvt^. !3€3, v.27, p. 32?- 404.

18. R.W. P^aoCfaJ^ ог&лАх. Ъ^/х. J^t aiy:гсис i:ilOuibb<jkyzmafcjyn Ьроиль on ска.rlsSVO. Сги№мА. (9?2,V. 16, л/l, p.