Некоторые вопросы бирациональной теории алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1. Бирациональная классификация действий

Введение.

§1.1. Случай действия, имеющего стабилизатор общего положения.

§1.1.1. Относительное сечение.

§1.1.2. Сведение к случаю локально свободного действия.

§1.1.3. Существование инвариантного сечения

§1.1.4. Сведение к случаю редуктивной группы

§1.2. Действия над алгебраически незамкнутыми полями.

§1.2.1. Однородные пространства и когомологии Галуа

§1.2.2. Редуктивные и параболические подгруппы

§1.3. Случай действия с произвольными стабилизаторами

§1.3.1. Действия и однородные пространства

§1.3.2. Классификация действий

§1.4. Существование сечений.

§1.4.1. Случай одномерного фактора.

§1.4.2. Специальные группы.

§1.4.3. Действия специалных групп с унипотентными стабилизаторами.

§1.5. Доказательство теоремы 1.12.

§1.5.1. Правильное вложение произвольной подгруппы в параболическую подгруппу

§1.5.2. Относительные сечения и параболические подгруппы.

§1.5.3. Окончание доказательства теоремы 1.

§1.6. Существование относительного сечения

§1.6.1. Относительные сечения и разложение

Леви.

§1.6.2. Действия без относительных сечений

§1.6.3. Относительные сечения и бирациональная классификация действий

§1.6.4. Простые'Действия.

§1.7. Простые действия с определенным над полем инвариантов стабилизатором квазисечения

§1.7.1. Выбор подгруппы Н

§1.7.2. Относительное сечение простого действия

§1.7.3. Доказательство теоремы 1.19.

2. Существенная размерность и стабильная рациональность алгебраических групп

Введение.

§2.1. Основные определения

§2.2. Вложение в специальную группу.

§2.3. Существенная размерность.

§2.4. Стабильная рациональность.

3. От редуктивных групп к связным полупростым

§3.1. От редуктивных групп к связным редуктивным

§3.2. От связных редуктивных групп к полупростым

§3.2.1. Бирациональная классификация действий

§3.2.2. Существенная размерность

§3.2.3. Стабильная рациональность.

4. Группа Spinw

§4.1. Относительные сечения линейных действий

§4.1.1. Существенная размерность и бирациональная классификация.

§4.1.2. Стабильная рациональность.

§4.2. Переход от группы G<i х Ъч к группе Spirit

§4.3. Переход от группы Spinj к группе Spin\o

Данная работа посвящена некоторым вопросам бирацио-нальной теории линейных алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем к характеристики нуль.

Везде в данной работе, кроме §1.3 и §1.4.1, мы ограничимся рассмотрением рациональных действий алгебраической группы О над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики на алгебраическом многообразии X, для которых группа действует транзитивно на множестве неприводимых компонент X. В этом случае определено поле инвариантов К = к(Х)°.

Определение. Произвольное многообразие У, поле рациональных функций которого равно К, называется рациональным фактором действия С на X, а естественное отображение 7г: X —>■ У — отображением факторизации.

Подмножество И^ С X называется густым, если IV содержит плотное открытое по Зарисскому подмножество многообразия X.

Действие (7 : X называется локально свободным, если существует такое густое подмногообразие Ш С X, что стабилизатор любой точки ии £}¥ тривиален.

Одними из основных понятий и объектов изучения бира-циональной теории инвариантов являются понятия квазисечения и сечения действия.

Определение. Неприводимое подмногообразие Б С X называется сечением (соотв., квазисечением) действия а, если существует такое инвариантное густое подмножество Хо С X, что любая орбита индуцированного действия : Хо пересекает Б ровно в одной точке (соотв., по непустому конечному множеству).

Сечение существует далеко не всегда. В то же время любое действие допускает квазисечение (см., например, [5]).

Еще Д. Гильбертом были получены значительные результаты по бирациональной теории инвариантов. В частности, им была доказана теорема, которая может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 1 (см., например, [5]). Если группа (3 лвллет-ся

1) или аддитивной группой к,

2) или мультипликативной группой к*, то любое локально свободное действие группы (7 допускает сечение.

Первой фундаментальной работой по современной бирациональной теории инвариантов является работы М. Розен-лихта [25]. В ней, в частности, была доказана следующая теорема, являющаяся некоторым обобщением теоремы 1.

Теорема Розенлихта ([25]). Пусть V — произвольная связная разрешимая группа. Тогда любое действие группы V допускает сечение.

Дальнейшее развитие бирациональная теория инвариантов получила развитие в работах сборника [27].

В частности, в работах Ж.П. Серра и А. Гротендика этого сборника было введено новое очень важное понятие специальной группы и доказаны многие свойства этих групп.

Среди работ последних лет по бирациональной теории инвариантов, можно назвать работы [22], [17], [21], [19], [23], [26], [28].

Целью настоящей диссертации является сведение трех различных задач бирациональной теории инвариантов к аналогичным задачам для локально свободных действий ре-дуктивных групп.

А именно, изучаются следующие задачи:

1) бирациональная классификация действий;

2) нахождение существенной размерности действий;

3) выяснение того, является ли действие стабильно рациональным.

Используются методы и результаты структурной теории алгебраических групп, теории представлений алгебраических групп над алгебраически замкнутыми полями и теории однородных пространств алгебраических групп над алгебраически незамкнутыми полями.

Основные результаты работы являются новыми.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Основные результаты опубликованы в 4 работах ([7], [8], [10], [9]). Полный объем диссертации — 71 страниц, библиография включает 30 наименований.

1. Богомолов Ф.А., Стабильная рациональность фактор-пространств для односвлзных групп, Мат. сб. — 1986 — 130, N1, 3-17.

2. Богомолов Ф.А., Кацыло П.И., Рациональность некоторых фактор-многообразий, Мат. сб. — 1985 — 126, N4, 42-49.

3. Вейсфейлер Б.Ю., Об одном классе унипотентных подгрупп полупростых алгебраических групп, УМН 21 N2 (1966), 222-223.

4. Винберг Э.Б., Онищик A.JL, Семинар по группам JIu и алгебраическим группам, М.: Наука, 1988.

5. Винберг Э.Б., Попов B.JL, Теория инвариантов, Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. ВИНИТИ 55 (1989), 137-309.

6. Кацыло П.И., Рациональность пространств модулей гиперэллиптических кривых, — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, N4, с. 705-710.

7. Кордонский В.Э., О бирационалъной классификации действий алгебраических групп. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 декабря 1999 г., номер 3636-В99, 42 с.

8. Кордонский В.Э., Стабильная рациональность группы Spin10, — Успехи мат. наук 55, N1 (2000), 171-172.

9. Кордонский В.Э., Существенная размерность и стабильная рациональность алгебраических групп, — Вестник МГУ, математика, механика, N2 (2000), 18-21.

10. Кордонский В.Э., О бирационалъной классификации действий алгебраических групп, принято в печать, Изв. АН, N4, 2000.

11. Морозов В.В., Классификация нильпотентных алгебр Ли 6-го порядка, Изв. вузов. Мат. N4 (1958), 161-174

12. Платонов В.П., Рапинчук A.C., Алгебраические группы и теория чисел, М.: Наука, 1991.

13. Серр Ж.П., Когомологии Галуа, М.: Мир, 1968.

14. Спрингер Т.А., Линейные алгебраические группы, Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. напра-вл. ВИНИТИ 55 (1989), 5-136.

15. Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, М.: Наука, 1980.

16. Элашвили А.Г., Канонический вид и стационарные подалгебры общего положения, — Функцион. анализ и его прил., 1972, т. 6, N1, с. 51-62.

17. J. Buhler, Z. Reichstein, On the essential dimension of a finite group, Compositio Math., 106 (1997), 159-179.

18. I. V. Dolgachev, Rationality of fields of invariants, in Algebraic Geometry, Bowdoin 1985, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 46, part 2, AMS, 1987, 3-16.

19. H. Kraft, G. W. Schwarz, Reductive Group Actions with one-dimensional quotient, Publ. Math. IHES 76(1992), 197.

20. S. Lang, On quasi-algebraic clouser, Ann. Math., 55 (1952), 373-390.

21. V.L. Popov, Sections in Invariant Theory, The Sophus Lie Memorial Conference, Oslo, 1992, Proceedings. Scandinavian University Press 1994, 315-361.

22. Z. Reichstein, On the Notion of Essential Dimensions for Algebraic Groups, preprint, http://www.usc.orst.edu/~reichstz/pub.html, 1998.

23. Z. Reichtein, B. Youssin, Essential Dimensions of Algebraic Groups and a Resolution Theorem for G-varieties, preprint, http://www.usc.orst.edu/~reichstz/pub.html, 1999.

24. Richardson R.U., Deformations of Lie subgroups and the variation of isotropy subgroups, Acta Math. 129 N1-2 (1972), 35-73

25. Rosenlicht M., Some basic theorems on algebraic groups, Amer. J. Math. 178 (1956), 401-443.

26. M. Rost, On the Galois cohomology of Spin( 14), preprint, http://www.physik.uni-regensburg.de/~rom03516, 1999.

27. Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications, 2nd année, IHP, 1958.

28. J.P. Serre, Cohomologie Galoisienne: Progrès et Problems, Sémimaire BOURBAKI, 46ème, année, 1993-94, n°783.

29. Sansuc J.J., Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéairessur un corps de nombers, J. Reine Angew. Math., 327 (1981), 12-80.

30. Vinberg E.B., On invariants of a set of matrices, JOHT, 1996, 6, 249-269.