Проблема рациональности в теории инвариантов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 ОД

, г.-- 1 '" Г', РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

< I

ГЛАТЕ?ЛАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ВД.СТШШ4 .

на правах рукописи УДК 519

КАЦИЛО Павел Иванович ПРОБЛНМА РАЦИОНАЛЬНОСТИ В ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ

01.01.06 -математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ •диссертации ла соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском институте электронного машиностроения

Официальные оппоненты: 'доктор физико-математических наук А.НсТюрин

доктор физико-математических . наук, профессор В.Е.Воскресенский

доктор физико-математических наук, про{>ессор А.С.Тихомиров

Ведущая организация! Московский государственный университет

Защита состоится " 3) " (^U-OHd Ï933 г. в JA fia заседании специализированного совета Д 002,38.02 при Математическом институте РАН им. В. А.Стеклова по адресу: Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией мочено ознакомится в библиотеке Математического института РАН им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан "_2l_"_сАЛДаФ- 1333 г.

Ученый секретарь спецсовета, доктор физико-математических наук

И.П.Циивав

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема рациональности является классической проблемой теории инвариантов и алгебраичвской геометрии. Пусть & - линейная алгебраическая группа,, V .- . - конечномерное линейное пространство, (?:\/ - линейное представление, ~ алгебра инвариантов, - поле

инвариантов. Изучение алгебры инвариантов является

одной из основных задач теории инвариантов начиная с ее зарождения. К настоящему времени получены результаты проясняющую структуру алгебры инвариантов во многих случаях. Изучение поля инвариантов также является старой задачей, см. например I/. Однако лишь в последнее время были сделаны существенные продвижения в изучении поля . Поле является подполем поля , которое, очевидно, является чисто трансцендентным расширением поля . Таким образом,' поле I (У)^ унирационально. Проблема рациональности.в теории инвариантов состоит в вопроса о том будет ли это поле рациональным. Наиболее интересен классический частный Ьлучай этой проблемы - случай когда к- ¿) - поле комплексных- чисел. Недавно Д.Зальтман построил контрпример к проблеме рациональности в теории инвариантов /см. 2//. С другой стороны, было

1) V/. ЪмлЛик, "Т|или^ ^мАл сгикоъ

ФсутйЛ, ЬШ Нспк,. 19 И • ¿) I). ЭхМггшъ," МоШшс'Ь рйсЖЬ/п, Шт. ал- ак^штЩ

замечено, что во всех исследованных случаях ответ на вопрос о рациональности поля зависит от группы & . , а не

от представления G : V . Так ли это всегда, неизвестно, однако говорят, что для группы G положительно решается проблема рациональности, если для любого представления группы & поле его инвариантов рационально.

■ В настоящее время имеются следующие гипотезы, а/ Если группа & связна, то для нее положительно решается проблема рациональности, б/ Если для какого-нибудь линейного представления G : V , стабилизатор точки общего положения которого тривиален, поле инвариантов (С(V)^ рационально, то для Q положительно решается проблема рациональности, в/ Если поле инвариантов <£(V^ стабильно рационально, то оно рационально. Эти гипотезы тесно связаны мазду собой, во всех ис-следовакных случаях они подтверздаются.

По-видимому, реаешо проблемы рациональности в общем случае или хотя бы доказательство одной из перечисленных выше гипотез является чрезвычайно трудной задачей. Дело в том, что различные частные случаи проблемы рациональности являются классическими проблемами. Укажем эти проблемы.

n, i fcr • V - .прямая сумма двух присоединенных представлений. В этом случае вопрос о рациональности поля - это классическая задача о парах

матриц. К этой задаче сводятся несколько известных вопросов из алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории ассоциативных алгебр /см. 3//. В настоящее время известно,

З) Уи. frux^rv X , "Some гслт&ь on '¿aiccnoX 'шЬй/Х

'итьicuut*", J. A^c&oi, р.Ш-433.

-k-

что поле С(\/) рационально при /ото очевидно/,

а также при П = / это доказано в 4/ и 5//. Стабильная рациональность поля известна при я / Ц 3,0.

- пространство форм степени с1 от переменных зсх , ... , хл , £?•'V - каноническое представление. Рациональность поля известна при \г~ I , <к> - любое /это очевздно/, , сС ~ любое. Частный случай М = 3 , = 4 - это классическая задача о пространстве тернарных квартик.

3» Вопрос о рациональности многообразий модулей кривых рода £ эквивалентен /при ^ 6 / соответствующему частному случаю проблемы рациональности в теории инвариантов.

4« Вопрос о рациональности многообразий модулей стабильных векторных расслоений над проективной плоскостью сводится к частшг-1 случаям проблемы рациональности в теории инвариантов. •

. В настоящее время ситуацию можно описать следующим образом. Имеется "много" групп и у каждой группа имеется "много" представлений. Для всякого представления естественным образом формулируется проблема рациональности. Однако.интерес вызывают лишь продвижения в решении перечисленных выше классических проблем. При этом интересен не тольио сам факт установления рациональности поля инвариантов, но и метод, с помощью которого это сделано.

4) Е. РсятсциМ. , "Ни. с-Ни. 3, 8% 3 глоЬгШь",

5) Е . РохлпплбМ , "ти ашЬс 4 -Вы, и^ 4

Цель работы. В диссертации получены результаты для

каждой из перечисленных выше классических задач. А именно,

•

доказана редукционная теорема о полях инвариантов пар матриц, доказана рациональность многообразий модулей плоских кривых рэдпени 5 к 3-182,1 , доказана рациональность многообразия модулей кривых рода пять, доказана редукционная теорема о ■бирациональнои геометрии многообразий модулей стабильных векторных расслоений над проективной плоскостью, доказана рациональность многообразий модулей математических инстанто-нов с зарядом Сг-.2,3,5 /новым является случай /,

Научная новизна. Новыми являются основные результаты диссертации. А именно.

а/ Редукционная теорема; если (Ь взаимно просты,

то поле инвариантов пар матриц порядка ни стабильно изоморфно тензорному произведению /над £ / полей инвариантов пар матриц порядка а и т. .

б/ Доказана рациональность многообразий модулей плоских кривых степени . ■

в/ Доказана рациональность многообразия модулей кривых рода 5.

г/ Доказана рациональность многообразий модулей стабильных векторных расслоений ранга Ъ над проективной плоскостью с Сх = 0 , (Сд,Ъ) = 1,2,г,

д/ Доказана рациональность многообразия модулей математических инстантонов с зарядом Сд-5 .

Все эти результаты изложены с подробными доказательствами.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории инвариан--6-

тов, бирациональной алгебраической геометрии, теоретической физика. Результаты и методы диссертации были использованы:

в теории трехмерных коммутативных алгебр со следом ноль -- установлена их сачзь с тернарными квартрками,

в проблеме рациональности в теории инвариантов - доказана рациональность многообразия модулей кривых рода три, доказана рациональность многообразия модулей трехмерных коммутативных алгебр со следом ноль.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинара по алгебраической геометрии /МИАН-СССР, 1988, 1990 гг./, Всесоюзных школах-семинарах по алгебраической геометрии в Ярославле /февраль 1982, август 1992/, семинаре по теории инвариантов /мех-мат МГУ, ноябрь 1988/, семинаре по алгебре Математического института в Базеле /но- ' ябрь 1991/. .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах автора, указанных в конце автореферата.

Структура .диссертации. Диссертация состоит из введения и семи глав. Общий объем диссертации - 145 страниц, иэ них пять страниц занимает список литературы, содержащий'тридцать ■ семь названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко-изланаются результаты диссертации. •

В главах I и II диссертации рассматривается вопрос о рациональности поля

- Y- - .

В случае П.»!» поле (-к) , - очевидно, рационально для всех с(, .

В случае 1\ = 2, поле (*) тоже рационально для всех с1. Для рациональность поля известна с 19 века, для

с1 = 6 рациональность поля (*) доказал Игуса/см. б//. Недавно, используя (&, Н) -сечения автор настоящей диссертации доказал рациональность поля (*) при сС?^ , с(Ф10. Также с помощь» (6, Н) -сечений Ф.А.Богомолов доказал рациональность поля (*) в оставшемся случае (¿=10.. В главе I Дй£сертации доказана рациональность поля (ф при методом двойного расслоения. Таким образом, результат главы I новым не является, однако приведенное в главе I доказательство рациональности поля (*) при >8 проще, чем известное до него доказательство методом (&, Н) -сечений. Отметим, что ыотодом двойного расслоения несложно доказать рациональность поля (*) и при нечетных с1- <2

В случае П. = 5 вопрос о рациональности поля .(*) полностью не решен. Для = Шепард Барон доказал рациональность поля '(*) методом нелинейных отображений /см. 7//. Метод нелинейных отображений работает для достаточно больших о1^0пис13 • Однако техническая реализация этого метода до-

6) 1., " Аи-^пШс чЯюсеАу. 0$ гллзШл. -Ьи&э", Лап. ПЪхЬЬ., 75,1960,

и. I. -болкоа, "Т>и, ¡.айси!^ [{

тосМя Бр^аЛ . саУЫсЬ", Сап^Цо МхЬк ,

51-И.

статочно трудна. Именно из-за технических трудноствй Шепард-Барон ограничился случаем d - ßk+L . Для

о*

Шепард-Барон доказал рациональность поля (*) методом Л --трюка /см. '?//. В главе II диссертации доказана рациональность поля 00 Для с1-Ъкъ i%2l .'Метод доказательства -- двойные расслоения.

В главе III диссертации рассматривается вопрос о стабильной рациональности поля

Несколько известных задач теории инвариантов и алгебраичвской геометрии сводятся к вопросу о рациональности /стабильной рациональности/ поля К п. • 0 полях известно следующее.

При П. =1,2. поле рационально /ото очевидно/.

При а = поле Кп рационально, дти факты впер-шо доказал Лорманек /см, 4/ и 5//.

При 0.2.5 рациональность поля Кц, неизвестна.

При а = 5 , 'f поле Кп стабильно рационально, отот факт доказали Ле Бран и К.Беэенродг /ал. Q//.

В главе III диссертации доказана редукционная теорема: если а Ii № взаимно просты, поля К^, , Krw стабильно рациональны, то поле Kam, стабильно рационально. Из этой теоремы и приведенных выше результатов следует, что если делит , то поле К а стабильно рационально.

%) Ск.

6{/AiruiccU , Xl Згицгь & "SiaMi га&хнУ^-ЧаХ^ ОЖЬХЛП. (yjuzUitvbb'', йШл-t.Haih.,

112,(931, И8 -19S.

В главе 1У диссертации рассматривается вопрос о рациональности многообразий модулей кривых рода ^ .

Как известно, при многообразие модулей кришх

рода является неприводимым алгебраическим многообразием размерности - >3 . Вопрос о рациональности Н^ - это классическая проблема модулей. Известно, что при нечетном

и при четном $ кодаировская размерность М|

совпадает с обычной размерностью; в частности, при этих д. многообразии И ^ нерационально. С другой стороны, при ^ ¿10 многообразие М^. унирационально. Более того, при 6 6 вопрос о рациональности М^ эквивалентен частному случаю проблемы рациональности в теории инвариантов. Используя эту редукцию к проблеме рациональности в теории инвариантов была установлена рациональность Нд -/Игуса/, Мц и /Ще-

пард-Барон/, /см. 6/, 9/, 10//. В главе 1У диссертации доказана рациональность М5 . А именно, в главе 1У решен соот- • ветствущий И5- частный случай в проблеме рациональности: доказана рациональность поля

а с^ц-зцхс*

3) д/. Г. 51и.р1иию1 - Вомгоа, " "Пи. гхиЫопаИ^. с^ оогДлог, &ра.огл ал^ссыйЫ. Чо Ьтм^стоЛ сиМбб" кЬ^гом. белтл^/Бслб^осгь, 1385. . 1о) I. ъЬх^&епЛ- бамьст., " ¿мЗа&Сал^б Оихпу.

\аг 35 ои\о1 -Во. чсЛшхо} Не " , Сотр.

В главе У диссертации рассматривается вопрос о рациональности /стабильной рациональности/ многообразий модулей • стабильных векторных расслоений над проективной плоскостью о классами Черна CL = О » Сд = Н .

Пусть И ('И , nL , - множество стабильных векторных расслоений над проективной плоскостью, ранга 4 с классами Черна = % , • Как известно, М , П.^ до-

пускает структуру алгебраического многообразия. Относительно этой структуры ^ (А, , Яд^ является грубым пространством модулей стабильных векторных расслоений над Р3 с классами Черна Ci = » сд - ^а . Обозначим

М (Ъ,ч)=Н(*,0,«).

, В главе У приводится теоретико-инвариантное описание многообразия. . Ключевым шагом в исследовании бира-

циональной геометрии М (fi., fl) является редукция вопроса о рациональности к частному случаю проблемы

рациональности в теории инвариантов. В главе У ш осуществляем эту редукцию. Далее, с помощью (G г Н) -сечений, устанавливается изоморфизм полей

где' d, - наибольший общий делитель чисел к и П . Таким . образом, вопрос о рациональности многообразия сво-

дится к вопросу о /стабильной/ рациональности поля Kd , рассмотренному в главе III. В теории векторных расслоений наиболее принципиальным считается случай Ü-Z .В этом случае мы.получаем, что поле

-Ii-

¿ы / . Л = 1 имлу и,

рационально.

В глава У1 диссертации рассматривается вопрос о рациональности /стабильной рациональности/ многообразий модулей ^ &; а) стабильных симплектических векторных расслоений над /РА ранга с классами Черна С^ = 0 , С^ - И. . В главе У1 приводится теоретико-инвариантное описание многообразия Мм (й. & , М .Мы осуществляем редукцию вопроса о рациональности к частному случаю проблемы рациональности в теории инвариантов. Далее, с помощью (р, И^ -сечений мы устанавливаем изоморфизм

Ф^М) * ¿А

где сб - наибольший общий делитель чисел Хк

и IV ,

АоС - пространство симметрических матриц с1*сС , -

ортогональная группа,

- линейное представление. Таким образом, вопрос о рациональности /стабильной рациональности/ многообразия , г^ . сводится к вопросу о рациональности /стабильной рациональности/ поля ¿оС • В главе У1 диссертации мы докажем, что при (£•= 1 ,2 ,3 или Ц поле L¿ рационально. Таким образом, в качестве следствия получаем, что при или Ц многообразие

рационально.

В главе УН диссертации рассматривается вопрос о рациональности многообразий модулей математических ин~ стантонов при небольших значениях & . Как известно, М(А) неприводимо при £ 5 , Имеется гипотеза о неприводимости м(&) ПРИ ®сех & • Рациональность. М(&) известна при 1 , 2. , 3 /см. II/, 12//. В главе УП приводится теоретико-инвариантное описание многообразия М (-1^), полученное из описания М (4) , на!1денного Бартом /см. 13//. Используя это описание мы получаем новое доказательство рациональности М(&) при & = X и 3 и получаем новый результат о рациональности многообразия М(?) .

и) И.НилСь^ти , гшЖк ¿шчШл о^тпк!

12) в. Шли<улмс1, 5.Л. 5ЫотпьС1 "'шгк-! ■всскп вшхо(М оп 1Р3 >£0Ьк 3 * Нл1к.

.Апп., -255, 1<Ш , £¿3-135.

1.3) М доМ , " ОШскхоики^ -От брьсс 4 Нос1 [фглй-ЬхоЛ СпьЬл-Ьпй вип<£Ы ШШУ. чапМ. I йяс1 С2 --к ", НйЬк. А<иь., 251, 1Ш, -Ж.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кацыло П.И. Рациональность многообразий модулей плоских кривых степени 3& . Математический сборник, 1988, т. 178, Р 7, стр. 377 - 383.

2. Кацыло П. И. Рациональность многообразий модулей кривых рода 5 . Математический сборник, 1991, т. 182, № 3, стр. 457 - 464.

3. Кацыло П.И. Бирациональная геометрия многообразий модулей векторных расслоений над Р^ . Известия АН СССР, серия математическая, 1991, т. 55, № 2, стр. 429 - 438.

4. Кацыло П.И. Стабильная рациональность полей инвариантов линейных представлений групп PS¿¿ и РЗА^ . • Математические заметки, 1990, т. 48, выл, 2, стр.

49 - 52.

5. Кацыло П.И., Богомолов Ф.А. Рациональность некоторых фактормногообразий. Математический сборник, 1985,

т. 168, № 4, стр. 584 - 589.

е. Ка-и^ь Р.Г. КоШюЩ 4 ^ <гихЫХ

$ таД^гпа£Сш£ шМтЬт с^ 5. А<Штт

¿п ЪоШЬ МосШта-(хСб,1дЗ^, рЛ05-Ш.

- и-