Диаграммные инварианты узлов и интеграл Концевича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТЮРИНА СВЕТЛАНА ДМИТРИЕВНА

ДИАГРАММНЫЕ ИНВАРИАНТЫ УЗЛОВ

И ИНТЕГРАЛ КОНЦЕВИЧА

/01.01.01. - математический анализ/

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: к.ф.-м.н., доцент В.П.Лексин к.ф.-м.н., доцент Е.Е.Петров ^у7

Москва - 1999

[П\\-1

ш

\\

Содержание

Введение 6

I Топологические инварианты узлов 20

1.1. Краткая история вопроса и обсуждение результатов . 20

1.2. Узлы, сингулярные узлы и диаграммы..................24

1.2.1. Изотопическая эквивалентность узлов ..... 24

1.2.2. Диаграммы узлов........................26

1.2.3. Типы узлов..................................29

1.2.4. Диаграммы Гаусса................................32

1.2.5. Диаграммы Гаусса зеркального и инверсного

отображений узла............................34

1.2.6. Движения Рейдемейстера на языке диаграмм

Гаусса......................................35

1.2.7. Хордовые диаграммы..............................37

1.3. Инварианты узлов.................................40

1.3.1. Инварианты узлов конечного типа..............42

1.3.2. Инварианты Васильева ....................44

1.3.3. Весовые системы..................................46

1.4. Примеры вычисления инвариантов......................48

1.4.1. Инварианты нулевого и первого порядков ... 48

1.4.2. Инварианты второго порядка....................49

1.4.3. Инварианты третьего порядка ..................50

1.5. Модуль Васильева..........................................52

1.5.1. Двойственность пространств инвариантов и син-

гулярных узлов....................................53

1.5.2. Разложения инвариантов в модулях Васильева 53

1.5.3. Теорема разложения.........................58

II Формулы типа Ланна и Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка 64

2.1. Обзор и обсуждение результатов........................64

2.2. Инварианты Васильева как производные ..............65

2.2.1. Аналог теоремы Лейбница для инвариантов

конечного типа....................................65

2.2.2. Аналог формулы Лагранжа......................67

2.2.3. Интегрирование....................................68

2.2.4. "Координаты" на узле............................69

2.2.5. Разложение инварианта в ряд Тейлора .... 70

2.3. Формулы Ланна.................................72

2.3.1. Формулы Ланна для инвариантов нулевого и

первого порядков..................................73

2.3.2. Формулы Ланна для инвариантов второго и

третьего порядков................................73

2.4. Формулы Виро-Поляка.....................75

2.4.1. Формулы Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева второго порядков ............................75 '

2.4.2. Формулы Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева третьего порядков............................76

2.4.3. Новая формула инварианта Васильева третье-

го порядка........................................76

2.5. Диаграммные формулы для инвариантов 4-го порядка 79

2.5.1. Формула Виро-Поляка для инварианта Василь-

ева четвертого порядка..........................79

2.5.2. Анализ формулы Виро-Поляка для инварианта

Васильева четвертого порядка..................80

2.5.3. Новая формула для инвариантов Васильева чет-

вертого порядка.............................81

2.6. Инварианты Васильева для торических узлов..........84

III Интеграл Концевича и вычисление инвариантов 88

3.1. Обзор и обсуждение результатов........................88

3.2. Интеграл Концевича......................................89

3.2.1. Определение интеграла Концевича..............89

3.2.2. Сходимость интеграла............................91

3.2.3. Универсальный инвариант Васильева..........93

3.3. Интеграл Концевича для танглов........................95

3.3.1. Определение тангла................................95

3.3.2. Хордовые диаграммы танглов....................96

3.3.3. Разложение узлов в композицию элементарных

танглов............................................97

3.3.4. Вычисление интеграла для элементарных танг-

лов ..................................................99

3.3.5. Сокращение количества слагаемых под знаком

интеграла.....................102

3.4. Вычисление интеграла Концевича для узлов.....104 '

3.4.1. Вычисление интеграла Концевича для компо-

зиции танглов..................104

3.4.2. Вычисление интеграла Концевича для У-узла . 106

3.4.3. Вычисление интеграла Концевича для трилистника и восьмерки ................109

Библиография......................ИЗ

Введение

Актуальность темы. Основными задачами математического анализа являются задачи дифференцирования и интегрирования функций. Данная работа посвящена решению проблемы интегрирования старших производных инвариантов конечного типа (весовых систем) до настоящих инвариантов, определенных на пространстве узлов.

Современная теория инвариантов узлов восходит к работе Алек-сандера 1923 года [1], в которой впервые был построен полиномиальный инвариант узла. Для его определения было разработано свободное дифференциальное исчисление Фокса [30].

Спустя 60 лет появилось много работ (Конвей, Джонс, НотАу, Кауффман и др, см. [23], [24], [39], [60], [27].) с аналогичными конструкциями. В 1984 году В. Джонс построил полиномиальный инвариант называемый теперь полиномом Джонса. Он возник из теории операторных алгебр и связан с П-факторами Дж.фон-Неймана.

Следующий этап в теории инвариантов узлов связан с построением инвариантов конечного типа. В 1990 г. В.Васильев [52], [53], используя дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов, построил инварианты, которые начиная с некоторого момента имеют нулевые производные (т.е. ведут себя как многочлены). Эти инварианты теперь на-, зываются инвариантами Васильева. Их старшие производные (или весовые системы) связаны с хордовыми диаграммами и, в отличие от самих инвариантов, имеют простое комбинаторное описание. Возникает задача восстановления инвариантов по их весовым системам, т.е. задача интегрирования.

Теорема о восстанавлении весовой системы произвольного порядка до инварианта того же порядка была доказана в 1993 г. М.Концевичем (см. [28]), который дал выражение для всех инвариантов Васильева в виде кратных интегралов по соответствующим конфигурационным пространствам.Эти формулы являются обобщением электродинамической формулы Гаусса, выражающей коэффициенты зацепления двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве в виде двойного интеграла.

Таким образом, интеграл Концевича является интегралом в двух смыслах: во-первых, с помощью него интегрируются весовые системы до инвариантов, а во-вторых, его слагаемые являются обычными интегралами от дифференциальных форм вида = ^-^х

3

После решения принципиальных вопросов, связанных с описанием пространств весовых систем и возможности их интегрирования, возникла задача эффективного вычисления инвариантов по простым исходным данным, например, по координатам на диаграмме узла.

Первые явные формулы были построены Ж.Данном [31], который, используя идею разложения инвариана в ряд Тейлора, получил выражения для базисных инвариантов второго и третьего порядков.

Затем О.Виро и М.Поляк дали комбинаторно-диаграммную трактовку этого метода [41], а М.Гусаров в 1998 г. доказал теорему о существовании представления любого инварианта в виде стрелочно-хордового полинома, которая является аналогом теоремы Ланна о разложении инварианта в ряд Тейлора.

Цель работы - опираясь на идеи дифференциального и интегрального исчисления и применяя их к теории инвариантов узлов,

исследовать пространство инвариантов Васильева конечных порядков, построить явные формулы для вычисления инвариантов 4-го порядка и установить связь коэффициентов при весовых функциях в этих формулах с коэффициентами хордовых диаграмм в интеграле Концевича, вычислить соответствующие слагаемые ряда Концевича, определить критерий целочисленности инвариантов 4-го порядка, получить формулы для произвольных инвариантов до 4 порядка включительно.

Научная новизна. Получена формула для вычисления двух базисных инвариантов 4-го порядка. Установлено, что формула Виро и Поляка для третьего базисного инварианта 4-го порядка не всегда дает правильные ответы. Подробно разобран соответствующий контрпример для узла 5ь Показано, что при определенных дополнительных условиях инварианты произвольного порядка получаются с помощью формул типа Ланна. Эти формулы используются для анализа ряда Концевича.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут найти применение в математическом анализе, в теории дифференциальных уравнений, в алгебраической геометрии и топологии, в теории динамических систем, в теории особенностей, в магнитотермодина-мике, биологии.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством М. М. Постникова в Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова, на семинаре под руководством В. А. Васильева в Независимом московском университете, на семинаре под рук. В. А. Голубевой в Коломенском педагогическом институте.

Кроме того, результаты работы в качестве докладов были пред-

ставлены на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998) и на международной конференции по монодромии и дифференциальным уравнениям в Международном Центре математических исследований в Люмини (Франция, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведён в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 15 параграфов. Каждая глава снабжена кратким введением, где даётся сжатый обзор известных результатов и работ, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов. В список литературы включено 60 названий.

Во введении обсуждаются история, главные идеи и наиболее важные работы и результаты, относящиеся ко всему кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации. Изложены основные результаты диссертации и её структура.

Глава /содержит ряд предварительных сведений (необходимые определения, утверждения), обобщение некоторых известных результатов. В первом параграфе описаны основные определения и свойства узлов, зацеплений, сингулярных узлов, соответствующих им диаграмм Гаусса и хордовых диаграмм, изотопической эквивалентности. На следущих рисунках изображен узел трилистник и соответствующая ему диаграмма Гаусса.

о (ф

К в{К)

Аналогично сингулярному узлу К^пе сопоставляется диаграмма Гаусса ) следующим образом:

КГ8 <ю{кг*)

Рис. 10

На следующем рисунке изображен сингулярный узел с тремя двойными точками и соответствующая ему хордовая диаграмма с тремя хордами.

КГё ¿{КГ*)

Рис. 17

Во втором параграфе рассматривается пространство хордовых диаграмм, весовых функций (систем) на нем, дается определение инвариантов конечного типа (инвариантов Васильева), а в третьем параграфе приводятся примеры вычисления этих инвариантов. В четвертом параграфе вводится модуль Васильева (объект, двойственный пространству инвариантов Васильева).

Определение. Модуль Васильева порядка п — это модуль Уп над кольцом Ъ или порожденный изотопическими классами ори-

ентированных узлов и сингулярных узлов со следующими соотношениями:

1. Е — О, где Е - тривиальный узел,

2. скейн-соотношение Васильева:

- V _ \/

3. К= 0, если т>п.

Затем вычисляются разложения всех нетривиальных узлов с минимальным числом двойных точек плоской проекции, не превышающим 7. Результаты этих вычислений приводятся в таблице 5.

Обозначим сингулярный узел с хордовой диаграммой 0 через ж, с диаграммой ^^ через к, а сингулярные узлы, соответствующие хордовым диаграммам а, с/ и д (см. ниже) — через соответственно.

© = <*, (© = *>, @ = © = @ = е, © = /, ф = д.

В модулях Васильева второго, третьего и четвертого порядков имеются следующие разложения узлов:

Узел К у2 Уз Разложения Уз в модулях

3* X Т Т Т

31 X Т -2/1 гр* гр*

41 — X -Т + к \гр 1 гр* 21 2Х

51 Зх 3Г-8/1 -Т + 4 Т* -Т + 4 Т* +д

52 2х 2Т — Ыг -\Т + |Т*

61 —2х -2 Т + 3/1 1 гр 3 гр * 2 21

62 —х -Т + 2к -Т* -Т* +и-Ы + д

63 X Т — к \т +1 т* +

Табл. 5.

Продолжение

К у2 Уз Ъ у4

2х 2Т — 2к Гр гр* Г + Г* + а

71 6х 6Т - 20/1 —АТ + ЮТ* -АТ + ЮТ* 4- 5д

72 Зх ЗТ + Зк 9 гр 3 гр* 2 2 \Т-\Т*-а-& +

73 Ьх ЪТ + 6к 8Т - 3Т* 8Т — ЗТ* + а — 3ё + Ад

74 Ах АТ + Ак 6Т - 2Т* 6Т - 2Т* + 2а-Ъё + Зд

75 Ах АТ + Ак -2 Т + 6Т* -АТ + 6Т* + а + ё. + 2д

76 X Т-Зк -\Т + \Т* -АТ+§Т* -\й+\д

77 —х -Г+ 2/1 _гр* -Т* + в,

31#41 0 -к -АГ + ±Т* -1 а + ±д

81 —Зх -3 Т + 6Л -зт* -ЗТ* + 10а - Ш + 3д

82 0 и \гр 1 гр* 2 21 -\T-\T* + 6а-^+§

83 -Ах -АТ + Ак —2Т — 2Т* -2Т-2Т* + 6а — 1Ы + Ъд

84 —Зх -3 Т + 8 к 71 _ 4у* Т-4Т* + 11а -17(1 +Ад

85 —х —Т — 2к —2Т + Т* -2Т + Т* + 9а-Ш + 2д

86 -2х -2 Т + 9к 5 гр 9гр* 21 2 §Т-|Т* -Ь 9а — Щ^в, + \д

8т 2х 2 Т 2Т 2Т - За + - д

88 2х 2 Т-к 3 гр . 1 гр * 2 2 §Т+±Т* -а+^-^д

89 -2х -2Т + 2к _у_ у* _гр_гр* + 8й _ 14(г + 3_

8ю Зх 3 т зг зт +3сг

8ц —х -Т + Зк \гр 3 т* 21 2

812 —Зх -3 Т + 3 к '¿гр 3 гр* 2 2 -|Т-|Т* +7о-^ + |

813 X Т Т Т -За + Ы-д

814 0 0 0 За — 6(1 + д

815 Ах АТ-11к -\Т+Ц-Т* +а + \ё+\д

816 X Т-2к гр* Т* - За+ Ы-д

817 —х —Т + 2к -т -Т* + За-Ъ(1 + д

818 X Т-к № + м-

819 Ъх ЪТ + Ък 15/71 5/71* 2 2 ^т - §т* +

820 2х 2Т — Ак 2Т* 2Т* + в.

821 0 к 1 гр 1 /т>* 21 2 ±Т-|Т* +3а-\ё+^д

41#41 —2х -2 Т + 2 к гр гр* -Т - Т* +3а-3ё + д

31#5! Ах АТ - 10к -Т + ЪТ* -Т + 5 Т* + За +д

Зх ЗТ + к 7 гр 1 т* 2 • \T-\T* +2а-\ё+\-д

Табл. 5.

В таблице использованы общепринятые обозначения узлов (см., например, [35]), К* обозначает зеркальный образ узла К. Сингулярные узлы выражаются через обычные узлы следующим образом:

х = Т

к = н + т

а = Р-3^ + # + 4Г ¿ = Р-2Р + Т д = Р -4 Г + Г*

Предложение. В этих разложениях (см. таблицу 5) коэффициенты при ж, к + х,а,с1,д являются, соответственно, инвариантами Васильева 2-го, 3-го и 4-го порядков 1/2, Кз, VI, У43.

Далее приводится таблица значений инвариантов Васильева порядка не выше 4:

Таблица значений инвариантов Васильева

К Уз V} VI

31 1 -1 0 0 0

41 -1 0 1 3 2 1 2

51 3 -5 0 0 1

52 2 -3 0 1 2 1 2

61 -2 1 5 2 Л 2 3 2

62 -1 1 3 -5 1

63 1 0 -1 5 2 1 2

3!#3; 2 0 1 0 0

71 6 -14 0 0 5

г2 3 6 -1 1 2 3 2

73 5 И 1 -3 4

74 4 8 2 -5 3

75 4 8 1 1 2

Табл. 6.

Продолжение

К у2 Уз V!

76 1 -2 0 3 2 1 2

77 -1 1 0 1 0

31#4! 0 -1 0 3 2 1 2

8! -3 3 10 -13 3

82 0 1 6 21 2 3 2

83 -4 0 6 -и 5

84 -3 5 11 -17 4

85 -1 -3 9 -14 2

86 -2 7 9 27 2 5 2

87 2 2 -3 7 -1

88 2 1 -1 7 2 1 2

89 -2 0 8 -14 3

8ю 3 3 0 3 0

8ц -1 2 6 11 £ 3

812 -3 0 7 17 2 2

813 1 1 -3 6 -1

8н 0 0 3 -6 1

815 4 -7 1 1 2 3 2

816 1 -1 -3 6 -1

817 -1 -1 3 -5 1

818 1 0 2 7 2 1 2

819 5 10 0 2 5 2

820 2 -2 0 1 0

821 0 1 3 9 2 1 2

-2 0 3 -3 1

31#52 4 -6 3 0 1

ЦФЦ 3 4 2 1 2 1 2

Табл. 6.

Затем доказывается формула разложения произвольного инварианта порядка не выше 4 по базисным инвариантам.

Теорема. Пусть V/ = V/ (К) - ый базисный инвариант Васильева порядка г, г = 2,3,4, ] = 1,2,3. Тогда

= [У2/2 + У3/2 - З^1 + 4VI + У43]У<4(Т)+

П4/2 - Уз/2 + У?]У<4{Т*) + [-V? + У42 + 2У43]^<4(Я)+ [V? - з^42]у<4(^) + 1# 7<4(Р),

где Т = 3*, Г* = Зь Я = 4Ь Р = 5*, Т = 5*.

В заключение первой главы приводится формула разложения узла в модуле Васильева произвольного порядка п : Теорема 1.5.1. Любой узел К в модуле Васильева п-го порядка (п > 1) имеет следующее разложение:

г+3 ¿=1

где г - размерность пространства инвариантов Васильева порядка меньшего или равного (п— 1),

5 - размерность пространства весовых систем порядка гг, VI - инварианты Васильева порядка меньшего или равного п, К{ - фиксированные (базисные) узлы.

Последнее равенство можно переписать в таком виде:

У2(х,)

У2(ХГ+3 У2(К)

где через Хг, Х2,..., Хг+3 обозначены базисные узлы в модуле Уп.

Глава IIпосвящена исследованию проблемы как проинтегрировать данную весовую систему, чтобы получить инвариант конечного типа. В первом параграфе инварианты Васильева определяются через дискретные производные и обсуждаются их основные

ТО)

=о.

УЦх^.) УЦК)

У£(ХГ+3) Хг+3

У'(К) к

свойства. Затем вводится понятие интегрирования весовой системы. Для этого диаграмме узла сопоставляются некоторые функции - координаты. Например, "координаты" на трилистнике выглядят так:

5Х = 1, ех = 1

8У = О, Еу — 1 6Я = 1, ея == 1

Аналогично разложению Тейлора строится разложение в ряд инварианта конечного типа:

Предложение 2.2.7. Для любого инварианта / порядка не выше т существует аналог разложения в ряд Тейлора:

2т/(К) = £ еРсР(К), Ре-Р<т

где суммирование ведется по всем подмножествам Р множества V двойных точек диаграммы узла К, т.е.

--• • • 1 -^-п}?

ср(К) - Дв1 о ДЖ2 о ... о ЛХп,

АХ{ = (Лв./)(К) = ¡(К + а*) - ¡{К - х{), узлы К + х{ и К-Хг получаются из узла К заменой перекрестков в точке Х{ на перекрестки со значениями соответственно равными 1 и 0. отличаются

В третьем параграфе описаны явные формулы для инвариантов порядков 2 и 3, полученные Ж.Ланном [31]. Обсуждается аналогичная формула для инвариантов 4-го порядка. В следующем параграфе приводятся стрелочные формулы Виро-Поляка для этих же инвариантов, а также доказывается новая формула для инварианта порядка 3 с целыми коэффициентами:

В пятом параграфе получена новая формула для двух (из трех) базисных инвариантов 4-го порядка:

ъ(к) = |^4(0) <0'°> ) <Ф +© >с> +

Кроме того, показано, что известная формула Виро-Поляка для третьего базисного инварианта порядка 4 некорректна, и подробно рассмотрен соответствующий контрпример - узел 61.

В последнем параграфе вычислены все инварианты Васильева для торических узлов типа (2,п), п = 2к + 1, к > 1.

Теорема. Пусть п > 7. Тогда инварианты Васильева торических узлов связаны следующими соотношениями:

14(п) = 214(п - 2) - 14(п - 4) + Ук-2(п - 2), к > 4, п > 7

У3(п) = 2У3(п - 2) - У3(п - 4) + п,

У2(п) = 2У2(п - 2) - У2(п - 4) + 2.

Для п = Ъ имеем У2(3) = 2, У3(3) = 1, "Ц(З) = 0, г > 4, а для п = 5 гшеелс У2(5) - б, К3(5) = 5, 1^(5) = 2, 1^(5) = 1, ^(5) = О, г > 6.

В Главе III вычисляются все слагаемые интеграла Концевича до 4-го порядка включительно. В первом параграфе дается определение интеграла Концевича и доказывается теорема о сходимости интеграла.

__л

Представим трехмерное пространство R как прямое произведение комплексной прямой С с координатой г и действительной прямой R с координатой t.

Вложим узел К в пространство R3 = Cz х Rt так, чтобы координата t была функцией Морса на К. Это значит, что во всех т�