Функциональные интегралы и представления группы диффеоморфизмов окружности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

005014858

ДОСОВИЦКИЙ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный

и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

1 2 идр 2012

МОСКВА

2011

005014858

Работа выполнена на кафедре математического анализа

механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Смолянов Олег Георгиевич кандидат физико-математических наук Телятников Илья Вячеславович Ведущая организация: Московский государственный технический

Защита диссертации состоится 16 марта 2012 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Главное здание Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 15 февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук,

университет имени Н. Э. Баумана

профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Целью работы является исследование двух областей, связанных с интегрированием в бесконечномерных пространствах. Это, во-первых, изучение мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и связанных с ними представлений, соответственно, групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, и, во-вторых, математическое обоснование диаграммной техники Фейнмана в гильбертовых пространствах и в суперпространствах.

Исследования мер, квазиинвариантных относительно действия групп диффеоморфизмов многообразий, и связанных с ними представлений, начались в начале 1970-х годов в работах Р. С. Исмагилова1,2. В первой из этих статей вводится мера на пространстве сходящихся последовательностей на окружности, доказывается ее квазиинвариантность относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, а также неприводимость и унитарность соответствующих представлений; во второй близкие построения проводятся для компактного многообразия. В статье того же автора3 вводится пуассоновская мера на пространстве конфигураций (локально конечных множеств) в Rn и с ее помощью исследуются представления группы финитных (тождественных вне компакта) диффеоморфизмов.

Другими методами меры (в том числе пуассоновские) на пространстве конфигураций на некомпактном многообразии и связанные с ними представления изучаются в статье A.M. Вершика, И. М. Гельфанда, М.И. Граева4. Различным способам построения представлений группы диффеоморфизмов окружности посвящены статьи Ю. А. Неретина5,6 (представления со старшим весом) и отчасти — обширная работа7 того же автора.

Мера, квазиинвариантиая относительно действия группы диффеоморфизмов окружности и заданная не на пространстве последовательностей, а на

*Р. С. Исмагили», "Об унитарных нредегннлопикх группы диффечшорфизмон окружности", Функциональный amunv.t и его приложения, 5, N. 3, 1971, с. 45-".'i.

2Р. С. Исмагилов, "Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия", Известия Академии Наук СССР, Серия математическая, 36, 1972, с. 180-208.

3Р, С. Исмагилов, "Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства R71, га ^ 2", Математический сборник, 98(140), N. 1(9), 1375. с. 5Г.-71.

4А.М. Вертик, И.М. Гедьфанд, М.И. Граев, "Представления группы диффеоморфизмов", Успехи математических наук, 30. N. б, 1975, с. 3-50.

5Ю.А. Неретин. "Дополнительная серия представлений группы диффеоморфизмов окружности", Успехи математических наук, 37, N. 2(224), 1982, с. 213- -214.

бЮ. А. Неретин. "Унитарные представления со старшим весом группы диффеоморфизмов окружности", функциональный анализ и его приложения, 17. N ?>, 1983, с. &:>— Ш

7Ю. А. Неретин, "Представления алгебры Впрасоро и аффинных алгебр", Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 22, 1988, с. 163-224.

пространстве непрерывных функций на окружности, построена в работе Е. Т. Шавгулидзе8. Тем же автором9 другими методами построены киазиин-вариантные меры на группах диффеоморфизмов многообразий, в том числе окружности. Позже в работах Е. Т. Шавгулидзе10'11 развит новый подход к построению меры: вводится оператор А, задающий взаимно-однозначное соответствие между группой (^-диффеоморфизмов окружности и множеством непрерывных функций на отрезке, равных нулю в концах отрезка, и доказывается квазиинвариантность образа меры Винера при этом отображении. Та же тематика изучается в работах П. Малявена и М. П. Малявен12. В статье А. В. Косяка13 рассматривается серия представлений группы диффеоморфизмов окружности, построенных с помощью мер типа Шавгулидзе, доказывается их неприводимость и неэквивалентность. В работе П. А. Кузьмина14 доказывается квазиинвариантность мер Шавгулидзе относительно более широкого класса диффеоморфизмов, чем это сделано в оригинальных работах. В настоящей диссертации развивается подход Е. Т. Шавгулидзе к построению квазиинвариантных мер и представлений групп диффеоморфизмов.

Во второй половине двадцатого века в квантовой механике и, в частности, в квантовой теории поля, широкое распространение получило континуальное интегрирование, в том числе — интеграл Фейнмана. Этот подход к квантовой механике был предложен Р. Фейнманом в его знаменитой статье15, но без соответствующего математического обоснования. В дальнейшем теория интеграла Фейнмана получила развитие в работах С. Альбеверио, Ф. А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И. М. Гельфанда, Р. Камерона, В. П. Маслова, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, А. В. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А. Ю. Хренникова, А. М. Чеботарева, Е. Т. Шавгулидзе, П. Экснера, А. М. Яглома и многих других. Существует несколько определений интеграла Фейнмана: восходящее к самому Фейнману

NE. Т. Шавгулидзе, "Один пример меры, квазиинвариантной относительно действия групп!,! диффеоморфизмов окружности", Функциональный анализ и его приложения, 12, N. 3, 1978, с. 55-60,

!>Е. Т. Шавгулидзе, "Об одной мер«!, квазиинвариантной относительно действия группы дифеоморфизмов конечномерного многообразия", Доклады Академии Наук СССР, 303, N4, 1988, с. 811-814.

10Е. Т. Шавгулидзе, "Распределения на бесконечномерных пространствах и вторичное квантование в струнных теориях", V международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Июнь 1989: тезисы кратких сообщений. Вильнюс, ШЮ. <. 3."Н)-'Ш0.

1JE. Т. Шяпгудидм, "Кпгшикшифгпиггггьп! меры ин грушгнх диффшморфизмон", Труды МИАН им. Стоклипа, 217, 1997, с. ] 89-208.

12М.Р. Malliaviu, Р. Malluivin, "IiiU'gvalion он loop gvoups. I. CJuhsI hi varían). moasuros", Journal of Fmirt.iomil Atmlysis, 93, N1, 1990, pp. 207-237.

13A.V. Kosyak, "Irreducible Regular Gaussian Representador!s of thc Groups of thc Interval and Gírele DifícomorpMsms", Journal of FunctionaJ AnaJysis, 125, 1094, pp. 493-547.

l4P. A. Kuzmin, "On eircle difféomorphisms with discontinuous derivativea and quasi-invariance subgroups of Malliavin-Shavgulidze measures", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 330, 2007, pp. 744-750.

15R. P. Feynman, "Space-time approach to non-reladvistic quantum mechamos", Reviews of Modern Physics, 1948, 20. J/»2, pp. 367-387.

определенно через предел конечнократиых интегралов; предложенное Р. Камероном определение через аналитическое продолжение интегралов по гаус-совским мерам в комплексную плоскость; разработанное в статьях и книгах

B. П. Маслова16, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона17, А. М. Чеботарева определение интеграла через равенство Парсеваля. Хотя бы факт наличия такого количества определений, связи между которыми не вполне ясны, говорит о том, что теория интеграла Фейнмана далека от завершения. По-видимому, наиболее систематическое и строгое изложение математических результатов, связанных с интегралами Фейнмана, содержится в книге О. Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе18.

Суть диаграммной техники состоит в том, чтобы наглядным образом графически представлять сложные интегралы (обычно по бесконечномерным пространствам, часто интегралы Фейнмана), возникающие при использовании теории возмущений в физических вычислениях. Впервые подобный метод был предложен в 1930х гг. Э. Штюкельбергом при построении ковариантной теории возмущений для квантовой теории поля. Но широкое распространение и признание диаграммная техника получила после работы Р. Фейнмана19, где она была применена для вычислений в области квантовой электродинамики. К настоящему времени диаграммный метод — стандартный инструмент для различных физических вычислений, описанный в множестве стандартных текстов по квантовой теории поля. Тем не менее, в большинстве случаев использование диаграмм Фейнмана не сопровождается удовлетворительным с математической точки зрения обоснованием.

Имеются, однако, и работы о диаграммах Фейнмана, выполненные на математическом уровне с трогости. В книге О. И. Завьялова20 детально рассмотрены различные подходы к перенормировкам диаграмм Фейнмана. В работе А. Конна и Д. Креймера21 для рассмотрения структуры диаграмм применяется аппарат алгебр Хопфа, та же тема развивается в работах К. Эбрагими-Фарда и Д. Креймера, а также К. Брудера с соавторами. В книге Д. Креймера22 изучается связь между диграммной техникой и теорией узлов. В работе

C. X. Джаха, Г. Готтшалка и X. Эрдиана23 диаграммная техника применяется

16li. II. Мщ-ло», " Комплектные цепи Маркина и H-гтегргЫ Фейнмана jyi>t пелигп'йпых систем", М.: Наука, 197ÍÍ.

"S. Albe verlo, H, ïloef;li-Krolni, "Mathematical theory ol' l-'eymmni pal,Ii integrals", Г .eel. uro note.s in imtlli, üerlin: Springer, IST«.

lsO. Г. Cmo iwnon, K.T. П1апгулид;е,"Континуальные имтегр.иы", M.: Ичд-но МГУ, 1990.

I9R.P. Fevn'nrui, ViSpiu'e-'I'iuie Ap|e o¿ui to Qieunuiti Electrodynamics", Physical líx:view, 1 'И!>, 76, pp. 7GÜ-7K9.

20O. И. Завьялов, "Перенормированные диаграммы Фейнмана", М.: Наука, 1979.

31 A. Cornies, D. Kreimer. "Reuoniialization ill quantum field theory and the Riemaiin-Hilbert problem I:the Hopf algebra structure. of Kvivplis and the umin '.l.eoveie.1', Communications in Mathematical Physics, '¿(!Q0, 2LQ. №1, ',М'1-2ТА.

2aD. Kreimer, "Knots and Feynman diagrams". Cambridge: University Press. 2000.

23S.H. Djab, Ii. Gottschalk, II. Oiierdianc, "Feynman graph representation of the perturbation series for general functional

для вычисления интегралов по функциональным мерам типа Леви.

В физической литературе24 известна так называемая Ппкес1-с]и!йег кИеогет, утверждающая, что при вычислении диаграммным методом логарифма от некоторого интеграла можно ограничиться суммированием лишь по связным диаграммам среди всех соответствующих этому интегралу. Этот факт носит комбинаторный характер и доказательство его не слишком сложно, но на достаточно формальном уровне, особенно в случае интегрирования по анти-коммутирующим переменным (о которых сказано ниже), он не доказывался.

В физических теориях изучаются как бозонные (коммутирующие), так и фермионные (антикоммутирующие) поля. Последним естественным образом соответствуют интегралы по антикоммутирующим (в частности, грассмано-вым) переменным. Теория, изучающая функции антикоммутирующих переменных, получила название "суперанализ". Впервые попытки построить такую теорию на математическом уровне строгости предпринимаются в начале 1960-х годов. Первыми работами в этой области принято считать статьи Дж. Л. Мартина. В дальнейшем предложенный Дж. Л. Мартином подход развивался в работах Ф. А. Березина25, Д. А. Лейтеса26 и других авторов. Сейчас это направление называют алгебраическим суперанализом. Другой взгляд на антикоммутирующие переменные основан на понятии суперпространства, введенном в работах А. Салама и Дж. Стратди27. Такой подход получил развитие в работах Б. Де Витта28, А. Роджерс29, В. С. Владимирова и И. В. Воло-вича30'31, О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе32,33, А. Ю. Хренникова34 и других. Это направление носит название функциональный суперанализ. Именно этот подход используется в диссертации при вычислении интегралов по антикоммутирующим переменным.

Все сказанное определяет актуальность темы диссертации.

measures", Journal of Functional Analysis. 2005, 227, №1, pp. 153-1S7.

24R. D. Mattuck, "A Guide to Fevnman Diagrams in the Many-Body Problem", McGraw-Hill, New York, 1967.

25Ф. А. Березин, "Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными", М.: Изд-во МГУ, 1983.

20Д. А. Лейтес, "Теория супермногообразий", Петрозаводск: АН СССР, Карельский филиал, 1983.

27A. Salam, J. Strathdee, "Feynnian rules for superflelds", Nuclear Physics B, 1975, 86, X'l, p. 142-152.

2*B.S. De Witt, "Supermanifolds". Cambrige: U.P., 1984.

J<1A. Rogers, "Fermionic patli integration and Grassmann Brownian motion", Communications in Mathematical Physics, 1980, 113, №3, pp. 353-368.

;ii,B. С. Владимиров, И. В. Воловий. "Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление", ТМФ, 1984, 59, №1, с. 3-27.

;1,В.С. Владимиров, И.В. Волович, "Суперанализ. II. Интегральное исчисление", ТМФ, 1984, 60, №2, с. 169-199.

J20. Г. Смоляной. Е. Т. Шавгулидзе, "Преобразование Фурье и псевдадифференциальные операторы в суперанализе", Доклады РАН, 1989, 299, Х'4, с. 816-830.

•'•'О. Г. Смоляной, Е. Т. Шавгули;пе, "Представление решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка континуальными интегралами", Доклады РАН, 1989, 309, №3, с. 545-549.

а. Ю. Хренников, "Функциональный суперанализ", Успехи математических наук, 1988, 43, Л'»2(260), с. 87-144.

Цель работы

Заключается, во-первых, в построении новой серии мер, квазиинварианг-ных относительно действия групп диффеоморфизмов окружности и отрезка и изучении регулярных представлений этих групп, построенных в пространствах функций, квадратично интегрируемых по этим мерам; во-вторых — в строгом математическом обосновании диаграммного метода вычисления интегралов по фейнманоиским мерам в гильбертовых пространствах и по гаус-совским супермерам в суперпространствах.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Построены две серии мер: на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и отрезка. Доказана квазиинвариантность построенных мер относительно действия С3-диффеоморфизмов, соответственно, окружности и отрезка, причем приведена явная формула для плотности преобразованной меры относительно исходной.

2. Доказана квазиинвариантность построенных мер относительно более широкого класса диффеоморфизмов, а именно, (^-диффеоморфизмов окружности и отрезка с ограниченной борелевской второй производной.

3. В пространствах функций, квадратично интегрируемых но построенным мерам, введены регулярные представления групп С3-диффеоморфизмов, соответственно, окружности и отрезка. Доказана неприводимость и попарная неэквивалентность построенных представлений.

4. Обоснован метод диаграмм Фейнмана вычисления интегралов в двух следующих случаях: интегралы по гауссовским супермерам в суперпространствах и интегралы по фейнмановским мерам в гильбертовых пространствах.

5. Для диаграммного метода вычисления интегралов от экспонент от полиномов в обоих приведенных случаях доказано, что при переходе от интеграла к его натуральному логарифму перебор диаграмм ограничивается лишь связными диаграммами.

Основные методы исследования

В работе используются методы математического анализа, бесконечномерного анализа, теории случайных процессов.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты, касающиеся представлений группы диффеоморфизмов окружности, могут быть использованы в струнных теориях; результаты, относящиеся к диаграммам Фейн-мана, — для вычисления интегралов, возникающих в квантовой теории поля.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Семинар механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством д.ф.-м.н. проф. О. Г. Смолянова и д.ф.-м.н. проф. Е.Т. Шавгулидзе (2007-2011 гг.)

• XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2008 г.)

• XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2010 г.)

• XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2011 г.)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет. Все 3 публикации в изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации — 107 страниц, библиография включает 74 наименования. Диссератция содержит 4 иллюстрации.

Краткое содержание работы

Во введении приводится обзор ранее полученных результатов, близких к теме диссертации, и кратко формулируются основные положения диссертации. Это обосновывает актуальность диссертационной работы и научную новизну исследований.

Скажем кратко о содержании глав.

В первой главе строятся серии мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и доказывается их квазиинвариантность относительно действия групп диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности.

Во второй главе с использованием этих мер строятся серии неприводимых неэквивалентных унитарных представлений групп диффеоморфизмов окружности и отрезка.

В третьей главе описывается диаграммная техника для интегралов по гаус-совским супермерам Смолянова- Шавгулидзе в суперпространствах Владимирова-Воловича и для интегралов Фейнмана в гильбертовых пространствах.

Теперь изложим содержание глав подробнее.

Глава 1

В первой главе строятся серии мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и доказывается их квазниивариантность относительно действия групп диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности.

Ключевую роль в построении мер играет оператор А, введенный в статье Е. Т. Шавгулидзе11, ус танавливающий биекцию между множеством кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и множеством кусочно-непрерывных функций на отрезке. А именно, обозначим РБ1А^_([0,1]) = {/ : [0,1] —> [0,1]; /(0) = 0,/(1) = 1;/ 6 С([0.1]), ЗГ1 е С([0,1]);Эг, Зт0 = 0 < п < ... < тг < 1 = тг+1 : / € СЧ[0• 1]\{гЛ]-=1), /-1 6 С1([0,1]\{/(г,)}^1);/'(г,-±0) < оо, (/_1)'(г;- ±0) < оо, ] — 1, — множество сохраняющих ориента-

цию кусочно-С^гладких гомеоморфизмов отрезка [0,1] и РСо([0,1]) = {а; : [0,1] Ж.; аг(0) = 0:3г, Зг0 = 0 < тх < ... < тг < 1 = гг+1 : х £ С([0,1]\{т)}£=1); х{т] - 0) = а:(г,-), х{т, + 0) < оо, ) — 1,... ,г} — множество кусочно-непрерывных функций на отрезке [0,1], непрерывных слева. Зада-

дим отображение А: РСо([0,1]) —> PDifi+([0,1]) следующей формулой:

(Ax)(t) = \-. (1)

JVMdr о

Прямая проверка показывает, что формула

(¿-7)(i)=ln/(t)-ln/'(0)

задает обратное отображение. Следовательно, А устанавливает взаимнооднозначное соответствие между РСо([0,1]) и PDiffJ_([0,1]).

Меры строятся на специальных подмножествах множества PDiff^_([0,1]). Каждое такое подмножество задается натуральным числом г и наборами вещественных чисел {0 < t\ < ... < tr < 1} и {Ii,..., Ir} и представляет из себя множество

функций / € PDiffi([0,l]), имеющих изломы в точках tj, причем ~ e'J ■ Обозначим его через F(ti,... ,tr,ii,... ,ir). Снабдим F метрикой

ги/ь/2)= sup \т-т\

и соответствующей топологией.

Опишем прообраз F относительно отображения А. Введем в пространстве РСо([0,1]) оператор В сдвига на ступенчатую функцию с скачками ij в точках tj:

г

В = Btl..........ir: РСо([0,1]) - РСо([0.1]): x(t) ь-> x(t) + £ - tj),

j=i

(2)

j 1, t > 0,

где Bit) = < — функция Хевисайда.

[О, t <0

Положим X = X(tu ...,tr,lh...,ir) = Bh.....ir,(l,...,rr(C0([0,1])), где C0([0,1]) =

{с e C([0,1]) : c(0) = 0} и снабдим X Э x,y метрикой

r.x{x,y)= sup \x(t)-y(t)\. ie[o.i]\{ij};=1

Несложно понять, что F = F(ti,. ..,tr,l i,..., lr) = AX(ti, ...,tr, li,..., Ir) — образ X при отображении А, и, более того, А — гомеоморфизм X в F.

Теперь можно задать на множестве F меру. Пусть Wa — мера Винера с дисперсией а в Со([0,1]). Вореленскую меру ца определим как образ при отображении АВ меры Wa, т.е. fia(U) = \Уа{{АВ)~ги) для любого борелев-ского множества U С F.

Для натурального к положим Diff+([0,1]) = {g : [0,1] —> [0,1], <j(0) = 0, д{ 1) = 1, g G СА'([0,1]), е Сл([0,1])} — группа сохраняющих ориентацию Ск-диффеоморфизмов отрезка [0,1]. Для любого к эта группа действует на F композицией: если g е Diffîj.([0,1]), / е F, то (Ls/)(i) = g{f(t)). Тот факт, что Ьд не выводит за границы F, т.е. V/ € F : Lgf £ F, проверяется непосредственно. Следующие теоремы показывают, как преобразуется мера ц„ при этом действии.

Теорема 1. Мера ца квазиинвариантпна относительно действия группы Diff+([0,1]), т.е. для любого борелевского множества U С F и любого g € Diff+([0,1]) выполняется

Ha(LgU) = j pff.g{f)iio{df), и

причем плотность paJI дается формулой

р°М)=ттте

где Sg{s) = - | - шварциан функции д.

Меры fia квазиинвариантны и относительно действия более широкого класса диффеоморфизмов. Однако явно выписать формулу для плотности в этом случае уже не удается.

Теорема 2. Пусть g е Diff^([0,1])

и д" — ограниченная борелевская функция. Тогда мера ¡.ia квазиинвариантна относительно действия Lg. Кроме того, если последовательность диффеоморфизмов gn G DifF^([0,1]) такова, что {<?"} ограничены в совокупности и сходятся к g" п.в. на [0,1], то

lim pa.gn = Ра,g ПО МСрЧ.

П—»00

Для случая мер, квазиинвариантных относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, построения в основном повторяют приведенные только что. Обозначим через Fo(h,... ,tr,li,..., [г) множество функций

г

! 1С ^

/ G F(t\,..., in 1ь • ■ • Лг) с дополнительным условием 4Ш = б'-1 \

Легко понять, что Fo = АХо, где Хо = Xo{tu..,, tr, 11, •. •, lr) = Btl.....tr,i1,....ir(Coo([0) 1])),

a Coo([0,1]) = {c€ C([0,1]) : c(0) = c(l) = 0}. Ha C00([0,1]) задан броуновский мост (условная мора Винера) Wjj. Определим борелевскую меру как образ при отображении АВ меры W{J, т.е. n°a(U) = W®((AB)~1U) для любого борелевского множества U С Fq.

Обозначим через Diff^. 0([0,1]) множество диффеоморфизмов g G Diff* ([0,1]) таких, что д^1\0) = <7^(1)> г = 1, • ■. > Такие диффеоморфизмы естественно интерпретировать как диффеоморфизмы окружности, оставляющие на месте одну фиксированную точку (ноль). Несложно понять, что Diff* o([0,1]) действует композицией на Fq. Мера преобразуется при этом действии следующим образом:

Теорема 3. Мера квазиинвариантпа относительно действия группы Diff3 о([0,1]), т.е. дм любого борелевского множества U С. Fq и любого g G Diffij. g ([0,1]) выполняется

fi(LgU) = j pl9U)M), и

причем плотность дается формулой

Теорема 4. Пусть g G Diff+0([0,1]) и g" — ограниченная борелевская функция. Тогда мера /i® квазиинвариантпа относительно действия Lg. Кроме того, если последовательность диффеоморфизмов gn 6 Diff+i0([0,1]) такова, что {gJJ} ограничены в совокупности и сходятся к g" п. в. на [0,1], то lim Р%9„ = Р%з по мере.

П—• 00 '3

Далее в диссертации проводятся доказательства сформулированных теорем, при этом технически сложные моменты вынесены в отдельные леммы.

Глава 2

Во второй главе с использованием результатов главы 1 о мерах, квазиинвариантных относительно действия групп диффеоморфизмов, строятся серии

неприводимых неэквивалентных унитарных представлений групп диффеоморфизмов окружности и отрезка.

Пусть ВД,..., £г, [],..., [г) определено как в главе 1; А е М, сг £ Зададим представление их~" группы 01й,+ 0([0,1]) в пространстве Ьг^о, ¡лйа) Э Ф квадратично интегрируемых по мере /I® комплекснозначных функций следующей формулой:

где г — мнимая единица. Следующие утверждения описывают основные свойства этих представлений:

Предложение 4. Представления С/А,сг унитарны и непрерывны. Теорема 5. Представления

неприводимы.

Теорема 6. Пусть и и^2'"2 — построенные выше представления группы 1]) в пространствах Ьг^о^},... [},..., и ^{^о^,... ..., соответственно, причем 1} Ф 0, г — 1,2, у = 1,...,Г{. Эти представления эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняются сяедуюи^ис равенства:

п = г2; г) =-- г), 1} = 3 = 1,..., п; Аг = А2, <У\ = <т2. (3)

Представления группы 1]) строятся совершенно аналогичным об-

разом в пространстве Ъ2(Р, /¿Д Р = Р(Ь\,..., ¿г, [х,..., Сг). Для них имеют место все сформулированные выше утверждения, причем доказательства совпадают практически дословно, с точностью до замены некоторых обозначений. Поэтому далее в диссертации доказываются лишь теоремы о свойствах представлений группы 1]). Снова технически сложные вычисления

выносятся в отдельные леммы.

Глава 3

Третья глава состоит из двух разделов: в первом описывается диаграммная техника для интегралов по гауссовским супермерам Смолянова-Шавгулидзе в суперпространствах Владимирова-Воловича, во втором — для интегралов Фейнмана в гильбертовых пространствах. В каждом из разделов вначале даны предварительные сведения, затем описан формализм диаграммной техники, и наконец сформулированы и доказаны основные теоремы о переходе к суммированию по связным диаграммам.

Скажем подробнее о первом разделе. Вначале приводятся необходимые определения и утверждения из теории сунерпространств30,31, в частности —

ЧУ чч

гауссовских супермер

Супералгеброй называется йг-градуированная алгебра Л = Ло ф Лх с единицей е € Ло и четной операцией умножения, т.е. р (аЬ) = р(а)+р (6) (той2) для любых однородных а и Ь (однородными называются элементы из Ло или Ль функция четности р(а) определена для однородных элементов и принимает значение 0, если а £ Ло и значение 1, если а 6 Лх). Супералгебра называется коммутативной, если суперкоммутатор любых двух элементов равен нулю, т.е.

[а,Ъ} = аЪ-{-1уМг(-Ча = 0.

Наконец, супералгебра называется банаховой, если она является банаховым пространством с нормой || • |[, удовлетворяющей условиям

Н/зН < II/Н1Ы1. /.»еЛ; ||е|| = 1,

причем Ло и Л1 — замкнутые подпространства Л.

Суперпространством размерности (п, т) над коммутативной банаховой супералгеброй Л называется банахово пространство

= Л0 х ... х Л0ух Дх х ... х Л; = Л£ х А?

с нормой

п+т

и^р^н^г+н^н^Еи^н'+Ен^и^Е!1^"2

г=1 ]=1 к-1

причем здесь и далее для г е Ед'т приняты следующие равносильные обозначения:

г = (х, 9) = (х\ ...,хп,в\...,вт) = (г1,..., гп+т). Частные производные определим для функций вида

¡{х)ви ц,...,це{1 ,...,т}, ^г. (4)

следующим образом:

Интеграл определим для функций вида (4) отдельно по коммутирующим и антикоммутирующим переменным, а интеграл по всему пространству будем понимать как ног,торный. Пусть V С К" — борелевское множество, и = (и1,...,ип) прямоугольные декартовы координаты в К". Тогда положим по определению

J f{x)9h ... в{Чх = ( J /(uie,..., ипе) <

.......)<Ь |6>г>...0\

V \У

если последний интеграл, понимаемый как интеграл Вохнера по мере Лебега, существует. Для интеграла по антикоммутирующим переменным естественным оказывается следующее определение:

Jn'W-wt

Ai

6i=О

Для так определенных производных и интегралов оказываются верными аналоги стандартных теорем анализа (правило Лейбница дифференцирования производной, формула интегрирования по частям, теорема о замене переменной в интеграле) , отличающиеся от своих классических аналогов лишь возникающими в некоторых местах знаками.

Пусть Н — суперпространство с четной размерностью нечетной части, т.е. Я = Шп/т = х Л2"1. В таком случае удобно записывать элементы Я в виде

г = (х,в,0) = (х[,..., хп, в1,..., вт, в1,..., вт) - (г1,..., zn+2m). Введем на Я суперскалярное произведение по формуле

п т. т

= + zi = {xi,eiA), ¿ = 1,2. (5)

fc= 1 1=1 1=1

Отметим, что этой же формулой можно задать форму (■, •) на всем включающем Я пространстве Лп+2т.

Обозначим через Л(Н, Н) пространство обратимых вещественно-линейных отображений из Я в Я, действие которых задается "умножением слева" на матрицы вида

А - ( ° ) , Аоо S е ® Mat (n, п), Ап е Al0 ® Mat (то, ш), \ 0 An}

где Л0 = Лд ® (IП Ло). I = 1Л1 — левый аннулятор Ль Пусть А £ А(Н, Я). Обозначим через цд супермеру с плотностью

р11а = (2тг)-«(-1)т(вай л)-^-!^"1*^"1*»,

т.е. положим / / /(2)/лд(<£г) = / / /(г)рцл(г)с1г, где последний интеграл

V Л?'» _ V Л?'"

по йг = ¿с1... йхпМ1гЮ1... дМт<16т понимается в описанном выше смысле. Напомним, что бсЫ — это супердетерминант, и для оператора А € А{Н, Н) он вычисляется так: йсМ А = с^ Лцо • с^"1 Ац.

На этом заканчиваю тся необходимые предварительные сведения. Далее доказывается несколько утверждений о вычислении некоторого класса интегралов по гауссовским супермерам, результаты этого раздела резюмируются в следующем обобщении известной теоремы Вика:

Теорема 11. Пусть П = Лд х А\т — суперпространство, А е А(Н,Н), (Аг 1,22) = (22,^22) для любых г 1,22 € Я; г>1 — некоторые век-

торы пространства Н. Ук+г, ■ ■ ■ ,Ук+к ~ некоторые векторы пространства

Л" х Лрт. Положим 3 — /(г»1, г )■■■■• (Ук+К, 2 )цд(с1г). Тогда, если нечет-

н

но хотя бы одно из чисел к и к, имеем 7 = 0; е противном случае

(к+к)/2

3 = ]С Ъ9п{р) П (Ауа1,Аьь,)• Здесь символом {(а;,6;)} обозначено {(а,А)} 1=1

спаривание, т.е. разбиение множества чисел от 1 до к + к на (к + к)/2 пар 01,61,..., Щк+к)/2> Ь(к+к)/2- Суммирование ведётся по всевозможным таким разбиениям. Кроме того, р £ — перестановка, приводящая числа к + 1,..., к + к в тот порядок,, в котором они входят в упорядоченный набор а,и Ьи-. ■ ,а(к+к) ¡2,\к+к)! 2-

Для наглядного перечисления всевозможных спариваний удобно изобразить к + к отрезков и соединять их пунктирными линиями попарно. Тогда соединенные отрезки означают спаренные индексы, а если каждый отрезок соединен с каким-то другим, то задано спаривание.

Далее такой метод вычисления интегралов переносится сначала на одночлены вида г4 ... ги, ц € {1,..., п}, / = 1,..., с; ц е {п + 1,... ,п + 2т}, I = с + 1,..., с1, (т.е. зависящих от с четных переменных и с? — с нечет-

пых), затем — на интегрирование многочленов вида

п п+2т

Р(*) = Е Е (6)

¡1 = 1 !2с+1=11 + 1 гс=1 ¿,|=п+1

Такой многочлен, зависящий от с четных переменных и с нечетных, назовем многочленом степени (с?, с). От коэффициентов Рц...^ € К потребуем (без ограничения общности), чтобы они были симметричны относительно перестановок первых с индексов и антисимметричны относительно перестановок последних й — с индексов, т.е. чтобы для произвольных перестановок р е £с, о £ Бл-с и произвольного набора индексов ¿1,...,^ имели место равенства = Рч-й, Рц..лсг„{с+1)..л„{,1) = вдп(а)рк..Аг

Затем приводится диаграммный способ вычисления интегралов от произведения нескольких многочленов вида (6). А именно, /Р\(г).. .рг(г)рА{<1г) =

я

п п •(-2т

{(а|А)} ¿¿=1 =п+1

где (1 = ¿х + ... + ¿г, г., с одним нижним индексом обозначают линейно упорядоченные г^: по возрастанию а для одинакового ] — по возрастанию к, т.е. (гь. = (г}, ¿2,... .. .. а — перестанов-

ка, приводящая числа сх + 1,..., , ¿1 + сг + 1,..., £¿1 + с^, ■ ■ ■, ¿1 + ■ •. + + Сг + 1,..., ¿1 + • • • + <1Г в тот порядок, в котором они встречаются в упорядоченном наборе аь &1,..., ац/2, Ьф. Для перечисления спариваний удобно воспользоваться диаграммами: каждому многочлену р^, 2 = 1,..., г в соответствие ставится точка с выходящими из нее о^ отрезками. Каждый такой отрезок обозначает один индекс суммирования г^, к — 1,... причем из них отрезков соответствуют четным неременным многочлена и называются "четными отрезками", а оставшиеся с^ — с$ соответствуют нечетным переменным и называются "нечетными отрезками". Далее отрезки попарно соединяются пунктирными линиями, причем четные с четными, а нечетные с нечетными.

Наконец, описывается интегрирование экспоненты от полинома и от суммы полиномов, а также формулируются и доказываются соответствующие теоремы о переходе к суммированию по связным диаграммам. Пусть требуется

вычислить интеграл

J ep{z)HAÍdz).

я

(считаем, что многочлен р таков, что этот интеграл существует). Полагаем

т=J (7)

я

Тогда интересующий пас интеграл есть /(1). Будем приближать это значение начальным отрезком ряда Тейлора функции / в точке 0. При этом мы не будем обсуждать точность и правомерность такого приближения, а сосредоточимся на вычислении производных /^(0). Дифференцирование под знаком интеграла возможно:

Предложение 9. Если функция f определена формулой (7), р — такой однородный многочлен степени (d, с) с четными коэффициентами, что интеграл для f(t) сходится при всех t Є R+ иг — произвольное натуральное число, то

/(г)(0) = JШУ ■ é^»A{dz) = Jpr{z)nA(dz). н t=о Я

Последний интеграл вычисляется диаграммным методом. Кроме того, справедлива следующая теорема:

Теорема 12. Пусть Н — суперпространство; А є А{Н,Н) — такой оператор, что (Azi, Z2) = {z\, Azi) для любых Z\,Z2 Є Н; f(t) = J еір^цА(dx),

я

где t Є R+; р(х) — такой однородный многочлен степени (d,c) с четными коэффициентами, что указанный интеграл сходится при всех t Є К.+; to — такое число, что ||/(/) - 1|| < 1/2 при t Є [0,¿o]- Положим g(t) = ln/(í) для t Є [0, ¿o] ■ Тогда gfr\0) вычисляется суммированием по всем связным диаграммам среди соответствующих 0).

Аналогичное утверждение формулируется для интегрирования экспоненты от суммы полиномов:

Теорема 13. Пусть Н — суперпространство; А Є А{Н, Я) — такой оператор, что {Azi,z2) — (z\,Azz) для любых Zi,Z2 Є Я; f(ti,...,t¡) =

¡é^+-+t^fiA{dz): где Ц Є R +,j = 1 Pj(x),j = 1 - ma-

я

кие однородные многочлены степеней (dj,Cj) с четными коэффициентами,

что dj — Cj четно и указанный интеграл сходится при всех tj Є 1R+; ío такое число, что ||/(íi,... ,t¡) - 1|| < 1/2 при tj Є [0,ío]- Положим g(ti, ...,t¡) = ln f(ti,... ,t¡) для tj Є [O, ¿o]- Тогда для любого набора целых неотрицательных чисел г и..., г/ выражение "„г, g (0) вычисляется сум-

OTj ...Olj

мированием по связным диаграммам среди соответствующих выражению

Доказательством этой теоремы заканчивается часть главы, посвященная диаграммной технике г. суперпространстве.

Во второй части главы 3 излагается диаграммная техника для фейнманов-скнх интегралов в гильбертовых пространствах.

Пусть Н — сепарабелыюе гильбертово пространство над ЕиТ - ядерный самосопряженный положительно определенный оператор на Н. Обозначим через семейство гауссовских мер на Я с корреляционными операторами Т/а2, где сг Є R+.

Приведем, следуя книге О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе18, определение аналитического интеграла Фейнмана. Пусть Ur = {сг Є С : | arg<7| < 7г/4, 1 /г < |<т| < г}, т > 1. Назовем функцию / интегрируемой по мере Фейнмана Фу, если для некоторого г > 1 существуют интегралы f f(x)i>Tt<7(dx)

__я

при всех а Є [1 /г; г] и непрерывная функция ip:Ur—*C, аналитическая на

Ur и такая, что ф(а) — f f(x)ux.a{dx) при а Є [1/г;г]. При этом величину я

ф(е~*) называем интегралом Фейнмана и обозначаем через f ¡p(x)<&x(dx). Бу-

н

дем, кроме того, называть интегралами по (обобщенным) мерам Фейнмана значения гр(а), а Є Ur. Для так определенных интегралов Фейнмана доказывается теорема Вика:

Теорема 14. Пусть ri,...,v¡¡ произвольные векторы пространства Н, (•, ■} скалярное произведение в Н. Т ядерный самосопряженный положительно определенный оператор на Н, а € С, |argcr| < 7г/4, а ф 0.

Положим J{a) = Ц {v\,x)... {vk,x)$T,a{dx). Тогда при нечетном чис-н

ле к сомножителей под знаком интеграла имеем J = 0, а при четном к/2

J — 2 ГІ{Tva¡, Vb¡ )■ Здесь символом {(a;, b¡)} обозначено спаривание, {(а,,б,)} '=1

т.е. разбиение множества чисел от 1 док на к/2 пар (ai, í>i),..., (а/с/2,b¿/г). Суммирование ведется по всевозможным таким разбиениям.

Возьмем функцию Р: Hxd —» R, линейную по каждому из d аргументов и непрерывную. Однородным многочленом степени d назовем функцию р(х) — Р(х,..., х). Функцию Р без ограничения общности будем считать симметричной. Через V(H) обозначим множество полиномов р, удовлетворяющих следующим условиям: степень р четна, р(х) < 0 при х =4 0, функция р вогнутая, существует такое положительное число С, что для любых х\,Xd выполняется неравенство

т^ь-.-^^КС-Иа;!)^...^)^ (8)

Диаграммная техника в этом случае аналогична описанной в первой части главы, так что сразу формулируются теоремы о интегрировании экспоненты от полинома и от суммы полиномов, которые и завершают главу.

Теорема 15. Пусть И — сепарабелъное гильбертово пространство; Т —

ядерный самосопряженный положительно определенный оператор;

/(£) = f etpt-x^T,a(dx). где t £ М+, р(х) £ V{H); t0 такое число, что я

| f(t) - 1| < 1/2 при t £ [0, t0] - Положим g{t) = ln/(t) для t £ [0, í0] - Тогда g(r\0) вычисляется суммированием по всем связным графам среди соответствующих /^(0).

Теорема 16. Пусть Н — сепарабелъное гильбертово пространство; Т —

ядерный самосопряженный положительно определенный оператор;

/(Í1,...,Í¿) = Adx), edetj £ м+, Pj(x) £ V(H),j =

н

1,... ,1; to — такое число, что |/(fi,.. ■ ,t¡) — 1| < 1/2 при tj £ [0,ío]. Положим g(ti,..., t¡) = ln/(íi,..., t¡) для tj £ [0,¿o]- Тогда для любого набора целых неотрицательных чисел ri,..., r¡ выражение 9 (0) вычисляется суммированиям по связным диаграммам среди соответствующих выраже-

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Евгению Тен-гизовичу Шавгулидзе за постановку задач, постоянное внимание к работе и многолетнюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] А. А. Досовицкий. Об одном свойстве интеграла Фейнмана, Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика, механика, 2007, №5, с. 65-69.

[2] А. А. Досовицкий, Некоторые меры па множестве кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и связанные с ними представления группы диффеоморфизмов окружности, Математические заметки, 2010, 88, №6, с. 946-949

[3j A. A. Dosovitskii, Quasi-invariant measures on sets of piecewise smooth homeorriorphisms of closed intervals and circles and representations of diffeomorphism groups , Russian Journal of Mathematical Physics, 2011, 18, №3, pp. 258-296, DOI: 10.1134/S1061920811030022.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № 9

61 12-1/552

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.986.4, 517.987.4

ДОСОВИЦКИЙ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Е. Т. Шавгулидзе

МОСКВА 2011

Оглавление

Введение ....................................................................4

1 Меры, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов. 10

1.1 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов отрезка................................................11

1.2 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов окружности............................................13

1.3 Доказательства теорем................................................14

1.3.1 Доказательство теоремы 1....................................14

1.3.2 Доказательство теоремы 2....................................17

1.3.3 Доказательство теоремы 3....................................19

1.3.4 Доказательство теоремы 4....................................20

1.4 Доказательства лемм..................................................21

1.4.1 Доказательство леммы 1......................................22

1.4.2 Доказательство леммы 2......................................24

1.4.3 Доказательство леммы 3......................................29

1.4.4 Доказательство леммы 4......................................40

2 Представления групп диффеоморфизмов отрезка и окружности. 44

2.1 Доказательства предложений и теорем..............................45

2.1.1 Доказательство предложения 4..............................45

2.1.2 О доказательствах теорем....................................46

2.1.3 Доказательство теоремы 5....................................47

2.1.4 Доказательство теоремы 6....................................48

2.2 Доказательства лемм..................................................50

2.2.1 Доказательство леммы 5......................................50

2.2.2 Доказательство леммы 6......................................62

2.2.3 Доказательство леммы 7......................................64

3 Диаграммы Фейнмана. 66

3.1 Диаграммная техника в суперпространствах........................66

3.1.1 Супоралгебры и суперпространства..........................67

3.1.2 Производная и интеграл......................................68

3.1.3 Суперскалярпое произведение и гауссовские супермеры. . 70

3.1.4 Теорема Вика и её обобщения................................72

3.1.5 Интегралы от одночленов......................................76

3.1.6 Интегралы от многочленов....................................78

3.1.7 Диаграммы и графы..........................................80

3.1.8 Интегрирование экспоненты от многочлена..................87

3.1.9 Интегрирование экспоненты от суммы многочленов. ... 93

3.2 Диаграммная техника в гильбертовых пространствах..............95

3.2.1 Интеграл Фейнмана, теорема Вика..........................95

3.2.2 Интегрирование многочленов и экспонент от многочленов. 97

Заключение.................................101

Список литературы ............................102

Введение.

В настоящей диссертации рассматривается два круга вопросов, связанных с интегрированием в бесконечномерных пространствах. Это, во-первых, изучение мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и связанных с ними представлений групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, и, во-вторых, математическое обоснование диаграммной техники Фейнмана в гильбертовых пространствах и в суперпространствах.

В первой главе диссертации изучаются меры на специального вида подмножествах множества кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и отрезка, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности, с борелевской ограниченной второй производной. Далее во второй главе строятся серии неприводимых представлений групп С3-диффеоморфизмов окружности и отрезка в пространствах функций, квадратично интегрируемых по этим мерам.

Исследования мер, квазиинвариантных относительно действия групп диффеоморфизмов многообразий, и связанных с ними представлений, начались в начале 1970-х годов в работах P.C. Исмагилова [1, 2, 3, 4, 5]. В статье [1] вводится мера на пространстве сходящихся последовательностей на окружности, доказывается ее квазиинвариантность относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, а также неприводимость и унитарность соответствующих представлений. В работах [2, 3] близкие построения проводятся для группы диффеоморфизмов компактного многообразия. В статьях [4, 5] вводится пуассоновская мера на пространстве конфигураций (локально конечных множеств) в 1", и с ее помощью исследуются представления группы финитных (тождественных вне компакта) диффеоморфизмов. Другими методами меры (в том числе пуассоновские) на пространстве конфигураций на некомпактном многообразии и связанные с ними представления изучаются в статье A.M. Вершика, И. М. Гельфанда, М.И. Граева [6]. Также различные

способы построения представлений группы диффеоморфизмов окружности изучаются в работах Ю. А. Неретина [7, 8, 9]. Мера., квазиинвариантная относительно действия группы диффеоморфизмов окружности и заданная не на пространстве последовательностей, а на пространстве непрерывных функций на окружности, построена в работе Е. Т. Шавгулидзе [10]. Тем же автором в статье [11] другими методами построены квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов многообразий, в том числе окружности.

Позже в работах Е. Т. Шавгулидзе [12, 13, 14] развит новый подход к построению меры: вводится оператор А, задающий взаимно-однозначное соответствие между группой (^-диффеоморфизмов окружности и непрерывных функций на отрезке, равных нулю в концах отрезка, и доказывается квазиинвариантность образа меры Винера при этом отображении. Та же тематика изучается в работах П. Малявена и М. П. Малявен [15, 16]. В статье А. В. Косяка [17] рассматривается серия представлений группы диффеоморфизмов окружности, построенных с помощью мер типа Шавгулидзе, доказывается их неприводимость и неэквивалентность. В работе П. А. Кузьмина [18] доказывается квазиинвариантность мер Шавгулидзе относительно более широкого класса диффеоморфизмов, чем это сделано в оригинальных работах. В диссертации развивается подход Е. Т. Шавгулидзе к построению квазиинвариантных мер и представлений группы диффеоморфизмов окружности.

Третья глава диссертации посвящена математическому формализму диаграммной техники вычисления некоторых классов функциональных интегралов: в гильбертовых пространствах — интегралы Фейнмана, в суперпространствах Владимирова-Воловича — интегралы по гауссовским супермерам (в смысле Смолянова-Шавгулидзе). Доказывается, что в некоторых случаях можно ограничиться суммированием лишь по связными диаграммами, если вычислять логарифм интеграла.

Во второй половине двадцатого века в квантовой механике и, в частности, в квантовой теории поля, широкое распространение получило континуальное интегрирование, в том числе — интеграл Фейнмана. Этот подход к квантовой механике был предложен Р. Фейнманом в его работе [19] (и более подробно — в книге [20]), но без соответствующего математического обоснования. В дальнейшем теория интеграла Фейнмана получила развитие в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И. М. Гель-

фанда, Р. Камерона, В. П. Маелова, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смоля-нова, А. В. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А. Ю. Хренникова, А. М. Чеботарева, Е. Т. Шавгулидзе, П. Экснера, А. М. Яглома и многих других. Существует несколько определений интеграла Фейнмана: восходящее к самому Фейнману определение через предел конечнократных интегралов; предложенное Р. Камероном определение через аналитическое продолжение интегралов по гаус.совским мерам в комплексную плоскость; разработанное в статьях и книгах В. П. Маелова [21], С. Альбеверио и Р. Хег-Крона ¡22}. А. М. Чеботарева определение интеграла через равенство Парсеваля. Хотя бы факт наличия такого количества определений, связи между которыми не вполне ясны, говорит о том, что теория интеграла Фейнмана далека от завершения. По-видимому, наиболее систематическое и строгое изложение математических результатов, связанных с интегралами Фейнмана, содержится в книге О. Г. С-молянова и Е. Т. Шавгулидзе [23].

Суть диаграммной техники состоит в том, чтобы наглядным образом графически представлять сложные интегралы, возникающие при использовании теории возмущений в физических вычислениях. Впервые подобный метод, по-видимому, был предложен в 1930х гг. Э. Шткжельбергом при построении кова-риантной теории возмущений для квантовой теории ноля. Но широкое распространение и признание диаграммная техника получила после работы Р. Фейнмана [24], где она была применена для вычислений в области квантовой электродинамики. К настоящему времени диаграммы Фейнмана — стандартный инструмент для различных физических вычислений, описанный в множестве стандартных текстов по квантовой теории поля [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 Однако в большинстве случаев использование диаграмм Фейнмана не сопровождается удовлетворительным с математической точки зрения обоснованием.

Имеются, однако, и работы о диаграммах Фейнмана, выполненные на математическом уровне строгости. В книге О. И. Завьялова [32] детально рассмотрены различные подходы к перенормировкам диаграмм Фейнмана. В работах А. Конна и Д. Креймера [33, 34] для рассмотрения структуры диаграмм применяется аппарат алгебр Хопфа, та же тема развивается в работах К. Эбрагими-Фарда и Д. Креймера [35], а также К. Брудера с соавторами [36, 37]. В книге Д. Креймера [38] изучается связь между диграммной техникой и теорией узлов. В работе С. X. Джаха, Г. Готтшалка и X. Эрди-

ана [39] диаграммная техника применяется для вычисления интегралов по функциональным мерам типа Леви.

В физической литературе (см. например книги Р. Д. Маттука [40], К. Хуан-га [41], М. Чини [42], В. Нолтиига [43]) известна так называемая linked-cluster theorem, утверждающая, что при вычислении логарифма от некоторого интеграла можно ограничиться суммированием лишь по связным диаграммам среди всех соответствующих этому интегралу. Этот факт ноеит комбинаторный характер и доказательство его не слишком сложно, но на достаточно формальном уровне, особенно в случае интегрирования по антикоммутирую-щим переменным, он не доказывался. В статье К. Брудера и Ф. Патраша [44] эта теорема доказывается в абстрактной форме в контексте алгебраического подхода к диаграммной технике.

В физических теориях изучаются как бозонные (коммутирующие), так и фермионные (антикоммутирующие) поля. Последним естественным образом соответствуют интегралы по антикоммутирующим (грассмановым) переменным. Теория, изучающая функции антикоммутирующих переменных, получила название суперанализ. Впервые попытки построить теорию антикоммутирующих переменных на математическом уровне строгости предпринимаются в начале 1960-х годов. Первыми работами в этой области принято считать статьи Дж.Л. Мартина [45, 46]. В дальнейшем, предложенный Дж. Л. Мартином подход развивался в работах Ф. А. Березина [47, 48, 49, 50], Д. А. Лейтеса [51, 52] и других авторов. Сейчас такой подход называют алгебраическим супсранализом. Другой подход к антикоммутирующим переменным основан на понятии суперпространства, введенном в работах А. Салама и Дж. Стратди [53. 54]. Этот подход развивался в работах Б. Де Витта [55], А. Роджерс [56, 57, 58], В. С. Владимирова и И. В. Воловича [59, 60], О. Г. Смо-лянова и Е. Т. Шавгулидзе [61, 62], А. Ю. Хренникова [63, 64, 65] и других. Это направление носит название функциональный суперанализ. Именно этот подход используется в диссертации при вычислении интегралов по антикоммутирующим переменным.

Теперь подробнее скажем о структуре диссертации.

В главе 1 строятся две серии мер на, соответственно, двух типах специального вида подмножеств множества кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка. Множество первого типа задается двумя наборами вещественных чисел

{О < ¿1 < ... < и < 1} и {[1,..., [г} и представляет из себя множество гомеоморфизмов отрезка [0,1], непрерывно дифференцируемых всюду, кроме точек tj) в которых имеют изломы, причем = е[?'. Множество второго типа за-

дается такими же наборами и удовлетворяет тем же условиям и еще одному

г

дополнительному: ущ — е1=г . Оказывается, что каждое из множеств первого типа можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством функций Со([0,1]) = {с е С([0,1]) : с(0) = 0}, а каждое из множеств второго типа — с множеством Соо([0,1]) = {с £ С0([0,1]) : с(1) = 0}. Меры получаются как образы меры Винера (соответственно,броуновского моста) при этих соответствиях. Основные результаты главы сформулированы в теоремах 1-4 и состоят в следующем:

• Доказана квазиинвариантность построенных мер относительно действия С3-диффеоморфизмов окружности и отрезка, причем приведена явная формула для плотности преобразованной меры относительно исходной.

• Доказана квазиинвариантность мер относительно более широкого класса диффеоморфизмов, а именно, (^-диффеоморфизмов окружности и отрезка с ограниченной борелевской второй производной.

В главе 2 изучаются свойства представлений групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, задаваемых на пространствах функций, квадратично интегрируемым по построенным в главе 1 мерам следующей формулой:

(идГ)(х) = (Рд-1(х))^+хЩд-1х). (1)

Здесь Рд{х) = ц(д (1х)/¡1(<1х) — плотность образа меры ¡1 при действии элемента группы д относительно самой меры ц, А — произвольный вещественный параметр. Оказывается естественным изучать представления группы диффеоморфизмов отрезка на пространствах функций, заданных на множествах первого типа, а представления группы диффеоморфизмов окружности — второго тина. Каждое представление задается наборами {0 < < ... < < 1} и {[1,..., 1г}, дисперсией о меры Винера (броуновского моста) и параметром Л из формулы (1). Основные результаты этой главы — теоремы 5 и 6 — состоят в следующем:

• Доказана неприводимость построенных представлений.

• Доказана попарная неэквивалентность построенных представлений.

В главе 3 настоящей диссертации обосновывается диаграммный метод вычисления интегралов от полиномов и экспонент от полиномов в следующих двух случаях:

1) Гауссовские и фейнмановекие интегралы в гильбертовых пространствах. При этом используется определение аналитического интеграла Фейнмана, приведенное в книге О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [23].

2) Гауссовские интегралы в суперпространствах. Все факты, касающиеся анализа на суперпространствах, взяты из работ B.C. Владимирова и И. В. Во-ловича [59, 60], а определение гауссовских супермер — из работы О. Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [61].

Для таких интегралов доказываются аналоги linked-cluster theorem (теоремы 12, 13, 15, 16), состоящие в следующем:

• Если /(t) = f elp^p(dx), g(t) = In f(t), где p(x) — полином (в случае суперпространства — с четными коэффициентами), а /х — гауссовская мера, фейнмановская псевдомера или гауссовская супермера, то (при некоторых дополнительных условиях) при вычислении диаграммным методом д(п\0) суммирование следует проводить лишь по связным диаграммам среди соответствующих /^(0).

• Если /(*!,...,*,) = f etlPl^+'"+tlPi^ p(dx) 7 g(tu...,ti) = In f{tu ..., tt\ где Pj{x) — полиномы (в случае суперпространства — с четными коэффициентами и четными значениями), а р — гауссовская мера, фейнмановская псевдомера или гауссовская супермера, то (при некоторых дополнительных условиях) при вычислении диаграммным методом gfi 9 (0) суммирование следует проводить лишь по связным диаграммам среди соответствующих щт^т J (0).

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Евгению Тен-гизовичу Шавгулидзе за постановку задач, постоянное внимание к работе и многолетнюю поддержку.

Глава 1

Меры, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов.

В этой главе строятся две серии мер: одна — на множестве кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка, другая — на множестве кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности. Доказывается их квазиинвариантность относительно действия групп С^-диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности, с ограниченной борелевской второй производной. Кроме того, для действия более гладких С3-диффеоморфизмов в обоих случаях явно вычисляется формула для плотности преобразованной меры относительно исходной.

Глава организована следующим образом: сначала формулируются основные результаты вместе с необходимыми предварительными сведениями и определениями; затем приводятся доказательства теорем, в которых технически сложные вычисления вынесены в отдельные леммы; наконец, доказываются эти леммы.

Ключевую роль в построении мер играет оператор А, введенный Е. Т. Шав-гулидзе в статье [13], устанавливающий биекцию между множеством кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и множеством кусочно-непрерывных функций на отрезке. А именно, обозначим 1]) = {/ : [0,1] [0,1]; /(0) = 0,/(1) = 1;/ € С([0,1]), З/"1 £ С([0,1]);3г, Зт0 = 0 < п < ... < гг < 1 = тг+1 : / е С1([0,1]\{г7)5=1), /-1 е С1 «0,1]\{/(т,)Ц=1);Г(т,±0) < оо, (f~1У(тj ± 0) < оо, ] — 1,..., г} — множество сохраняющих ориентацию кусочно- С1 -гладких гом�