Меры на бесконечных пространствах и континуальные интегралы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I, о 3

^ -

МОСКШСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКГШ'ЬСКОЙ РЕВОЛЕЩИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО ФАСНОГО ЗНАМЕЕИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШИРСИГЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ыеханико-иатеыатическиЕ факультет

На правах рукошси УДК 517.955 : УДК 517.946

ЮАЕГУЛИДЗЕ ЕВГЕНИЙ ТЕНПСЗОШЧ

«ЕРЫ НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И КШГИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1990

Работа выполнена на кааедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.Ъ.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.М.Березанский,

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Косгюченко,

доктор омзико-математических наук, профессор А.Ъ.Угланов.

Ведущая организация - Математически*. институт имени В.А.Стеклова АН СССР.

Защита диссертации состоится 1991 г.

в 1г час. 05 шн. на заседании специализированного соьета по математике £ I (Д.05с.С5.С-4) при Московском государственном университете имени М.В.Лоыоносова по адресу: 119699, Москва, ГСП, Ленинские гфы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория ^-'-¿.4.

С диссертадае;. ыоню свнакошться в библиотеке механико-матештичес.-его факультета 1ЛГУ (Главное здание, атаг).

Автореферат разослан /)$_ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.05с..05.04 при МГУ Т/7.

а

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТЫ

Актуальность темы. Задачи, связанные с бесконечномерным интегрированием и мерами на бесконечномерных пространствах, возникли естественным образом из квантовой физики, статистической Физики и теории случайных процессов. Интерес к этим ооъектам Еызган такте потребностями современной математики. Континуальные интегралы и меры на бесконечномерных пространствах нашли применение при решении дифференциальных уравнении, в теории представление, спектральной теории дифференциальных операторов и дифференциальной геометрии.

Впервые определение гладкой меры на бесконечномерном линейном пространстве было предложено С.Ь.Фоминым в 15(:6 г. в докладе на Международном конгрессе математиков. Им нэ была высказана мысль о полезности построения бесконечномерного анализа, содержащего гладкие меры. Ь дальнейшем, это направление нашло широкое сграхение е большом количестве работ на эту тему. Одно;- из первых задач в теории гладких мер оыла задача о существовании разлоязния Хана-кордана в классе бесконечно дифференцируемых мер, т.е. представлении произвольном бесконечно дифференцируемой меры в виде разности двух неотрицательных бесконечно дифференцируемых мер.

Понятие гладко*: меры оказалось полезным при решении задачи построения квазиинвариатной меры. Интерес к квазииньариатныы мерам относительно деистшя группы диффеоморфизмов многообразия связан с задачей построения представлении этих групп и их разнообразными применениями е квантовом струнное теории и ее обобщениями, в дифференциальной геометрии и теории динамических

систем. Конструкции квазиинвариатных мер на пространствах локально конечных или сходящихся конфигураций были предпогены в работах Р.С.Исмагилова, А.М.Ьершика, И .М.ГелыЗанда, М.И.Граева. Ьоцрос о существовании таких мер на самих грушах диффеоморфизмов меньшего класса гладкости оставался открытым. Отметим, что трудности построения таглх мер вызваны тем, что группы диффеоморфизмов не являются локально компактными.

Дифференцируемые меры оказались полезными при изучении чейнманобских интегралов. Понятие континуального интеграла ¿первые появилось в работах феьнмана ь конце годов. Б дальнейшем интегралы Фе^нмана стали часто использоваться в аизических работах. Особые интерес к вш возник с развитием теории калибровочных полек, интегрированием в с упер сидае три чных полях и струнной теории поля.

Ь математической литературе наметились три основных подхода в определении неймановских интегралов. Идея первого подхода к определению улшшан обского интеграла как цредела конечномерных интегралов или секвенциального интеграла восходит к работам самого Фейшана и реализована во многих математических работах, в частности, в работах Нельсона, К..Л.Далецкого, А.Л.Алимова, Альбивеио, Хег-Кронна, ЬатанаСе, Джонсона, Глимыа, Джафце.

Несколько позже е работе Камерона появилось другое определена фе!':нманоьского интеграла с использованием аналитического продолжение по параметру или аналитического интеграла ое^иана.

о тот подход исследовался в работах Кто, Камерона, Сторвака, Клуьанека, м.А.Ьвграоова, Глиша, Дкайъе и др.

Сравнительно недавно было предложено третье определение интеграла Феьнмана с использованием равенства ьарсеваля и свойств обобщенного пуассоновского процесса в работах Ь.П.Маслова, A.M.Чеботарева, а такгв в работах Де Ъитт-Мсретт, О.Г.Смолкнова. А.Ь.Угланова, Альбиверио, Хег-Кронна и др.

Эквивалентность первых двух определении проверялось на. сравнителыю узком классе ФункиионалоЕ в работах Да.онсона, Камерона, Сторвака. Основные трудности, которые возниои при изучении интегралов Фе*.нмана, связаны с тем, что аппарат интегрирования по счетно-аддитивным мерам неприменим к этим интегралам, так как мера Фе^лмана не яатяется счетно-аддитивнол. Ьо этоь причине классы интегрируемых по мере Фейнмана сгункционалов, которые описаны в математическое литераторе, были сравнительно узкими и не содержали многих интересных с точки зрения приложения йункционалов. в частности, экспонент от полиномов степени выше второй.

Континуальные интегралы о: азались полезными при изучении решении дифференциальных уравнении (именно с этой целью они были Еведены в работах Фейнмана). С помощью интегралов Фейнмана удалось записать решение задачи Коши для ураЕнения Шредингера. Следует отметить, что из-за того, что описанные классы интегрируемых- по мере Фейнмана Функционалов были узкими, возможность представления решения уравнения Шредингера через интегралы Фейнмана была доказана только в случае сильных ограничении на вид потенциала.

Цель работы. Целью диссертации является получение разложения Хана-1;срдана для гладких мер и построение на группах дифпеомороизмоБ конечномерного многообразия борелевских мер, квазишвариантных относительно действия группы диффеомсрсизмоЕ более высокой гладкости. Работа посвящена усовершенствованию конструкции деинманоьских интегралов, распространению их на случаи (Тазовых пространств, установлению связи меззду различными определениями, расширению классов функционалов, интегрируемых по ыере Фейнмана; представлению решений уравненик Шредингера через интегралы Фе1нмана в базовом пространстве и для потенциалов полиноыиальног! вида и построению оператора йредингера б кЕантоьои теории поля для полиношального взаимодействия.

Общая методика исследования. Б диссертации используются методы и приемы бесконечномерного анализа для мер и Чгункади, а также аналитические методы комплексного анализа. При построении разложения }ьана-1.ордана и квазиинвариатных мер на грушах диффеоморфизмов получены формулы специального шда преобразовании и конструкции таких разложений и мер, при этом валную роль играют- оценки, найденные в диссертации.

При изучении интегралов 4е1.нмана даны ноше конструкции такого рода интегралов, включавдие в себя ранее известные конструкции. С использованием аналитических методов наедены Формулы для вычисления таких интегралоЕ с помощью интегралов по счетно-адциткЕНЫм мерам и получены оценки таких интегралов.

Научная ношзна. Бее основные результаты диссертации являются новыми и о пу б,-л кованы в работах ангора. .Ь диссертации получено разложение Хана-1 ордана для гладких мер, построены на группах диффеоморфизмов борелевские меры, квазиинвариатные относительно действия групп диффеоморфизмов более, высокого класса гладкости. Б диссертации такие даны ноше конструкции Фейнмановских интегралов, позволяйте рассматривать их в Фазовых пространствах. Описаны классы интегрируемых по мере Фейнмана функционалов, Еключающие в себя экспоненты от полиномиальных Функционалов. Получены представления решений уравнений Шредингера через интегралы Фейнмана в разовом пространстве и для потенциалов полиномиального вида и дана конструкция оператора Шредингера для полиномиального взаимодействия в квантовой теории поля.

Прююжения.Результаты диссертации могут найти применание при решении задач математическом физики, в тесрии представлений, в квантовой физике, в теории случашых процессов, а также при дальнейших исследованиях в бесконечномерном анализе.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах на механико-математическсм оакультете МГУ и в математическом институте им. Ь.А.Стеклова АН СССР, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на Международных конференциях по тесрии вероятностей и математическое статистике в г.Ьильнюсе, на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям им.И.Г .Петровского в МГУ. Они докладывались на математической школе по тесрии вероятностей и математической статистике в г.Бакуриани, на конференции "Методы алгебры и анализа" в г.Тарту, в Ленинград-

- г -

ском отделении математического института им. Ь.А.Стеклова АН СССР, в математическом институте АН УССР г.1шеь.

ПуОлигадай. Основные результаты диссертации опуоликованы в работах автора [I] - [Е], приведенных в конце автореу^ерата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, которые делятся в общей сложности на 14 параграбоЕ, а такме из списка цитированной литературы и списка работ по теме диссертации. Общи*' объем диссертации страниц. Список литературы содержит 7<~ названия.

СЕБСР С0ДЕР2 Ж

Бо вьедении диссертащи изло*.ена рассматриваемая в ней проблематика и дан исторически*, обзср результатов, связанных с темок диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приводится конструкция разложения Хана-1.срдана для гладких мер. Доказывается следующая теорема:

Пусть ^ - бесконечно дифференцируемая мера на лине ином пространстве X по линейному подпространству И , наделенному гильбертово*, структуро;:; Н, - линешое подпространство пространств- Н , такое, что существует оператор Гильберта-Шмидта Т : Н —■ Н , для которого выполнено равенство

И, = Т (м) , тогда существуют неотрицательные меры

. бесконечно дифференцируемые по подпространству определенные на пространстве X , которые удовлетворяют рагенству м -- •

Ьо в тор ал параграфе строится мера на о"-алгеоре борелевских подмножеств пространства ('(^непрерывных функций, заданных на окружности 5 . квазиинвариантная относительно действия регулярных представлений группы '-^<443 ( 5 ) диффеоморфизмов окружности о класса гладкости С3 .

Б третьем параграфе приводится конструкция борелевской ме ры на груше ^ I С 0, П ) диффеоморфизмов отрезка в себя класса гладкости с\ сохраняющих на месте концы отрезка, ктзиинвариантная относительно правого действия подгруппы £>{£{ ¿([0,11) (класса гладкости С1 ). Мера стрштся как прообраз меры Бинера на пространстве

С0 I СО, П ) (всех непрерывных функций на отрезке £ С1,-/], принимающих нулевое зшчение в точке 0 ) относительно отображения А : 0' (СО, П ) -* С, ( СО, /Л,

задаваемого равенством

(А </> ) (1) -- {лх у 'и) - <р'{0> ^( п)> кМ

Б четвертом параграфе дается конструкция счетно-аддитивна-, борелевской меры на группе диффеоморфизмов конечномерного многообразия, квазиинвариатной относительно действия подгруппы, состоящей из всех диффеоморфизмов более высокой степени гладкости, которые отличаются от тождественного только на компактных множествах. На многообразия накладывается ряд ограничений.

Вторая глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе дается определение секвенциального интеграла Фейнмана и описываются классы интегрируемых функционалов. При определении интеграла Фейнмана берется функционал / на сепарабельном банаховом пространстве Е вещественная квадратичная

(не обязательно положительная) июрма а, определенная на плотном подпространстве пространства £ и не вырожденная на возрастание* по размерности последовательности конечномерных подпрос ранств £Л> вложенных друг в друга и

удовлетворяющих равенству £ - у ¿V, ■

1огда интеграл Фейнмана определяется равенством

( J (X ) ф< ( d х ^ -г ¿Un . hílll £ n-— Сп

где

{ i а (у) - t II у и?

Г ( / ) - -Ct-m / fv ) ^

. ¡i C.(x-) - t ih!

Cn - \ p \ t dx)

í —0 ¿„

и Л„ мера Лебега в пространстве (-„.

Ьо втором параграф приводятся два специальных класса ЧункционалоЕ, интегрируемых по мере феймана. Ь частности, доказывается интегрируемость по мере Фейнмана иункционалов

I Р (V I

вида к ( * ^ е

где р - полином произвольной четной степени с рядом специальных ограничений, определенный на банаховом

пространстве £ = С (íQ:i) ( R"J ; и - ограниченная Функция на £ , имектая аналитическое продолжение в ком)лексную область и удовлетвфяицая ряду требований.

В третьем параграфе дается определение аналитического интеграла Фейнмана:

Пусть ъ - квадратичная вещеспенная (ьорма на плотном

линейном подпространстве Ь0 банахова сепарабельного пространства С , представишя е шде í = -6 . - 1.и , где ( - неотрицательные квадратичное фермы,

невырожденные на подпространствах ( ¿г , соответственно;

причем &I | 1 6 1 ? I £ ~~

и 1_с ~ £ ^ ; - функционал на пространстве £ ,

/!■ 1 ^ + ^ в- - мера Гаусса на пространстве Е

с нулевым средним, порожденная квадратичной нормой

± к ^ ( и *> о ) .

д ^ I -

Тогда аналитический интеграл Фекнмана определяется

равенством ) £ ( ) Ф ( с/ *.) ~ у* ( < ),

где - пункция, аналитическая на множестве

- { 4 £ С : \ < I ч I 'Г , а.^ - -- ? V

(при некотором ^ I ) , непрерывная на 'Ц „ и при и ( С ^ , ^ 1 удовлетворяющая равенству

? ' ^ = К ^ > ,«' , , + '

- 1 . I

В этом же параграфе описывается класс Функционалов интегрируемых по аналитической мере Фейнмана.

В четвертом параграфе рассматрихается специальный класс функционалов, интегрируемых по аналитической мере Фе^-нмана.

. > РСг)

Ъ него, в частности, входят функционалы шда ист) * где р - полиномы четвертого порядка, определенные на

- 1С -

банахог-ом пространстве С ( С 0,-t ] , Я ) (И — тильбертовое пространство) и ух овлетБсряизие ряду ограничений; " специального вида йункционалн.

Б пятом параграфе дается определение интеграла Фейнмана с испш_ьзоБанием равенства Парсеваяя. Пусть Е , F" банаховы пространства, находящиеся в двойственности < (-, Г"'; й - вещественная квадратичная Ферта, определенная на пространстве F .

Обозначим через M-f'J ) пространство всех счетно-аддитивных комп.>:екснозначных мер на пространстве f , а через fi (f ) - пространство всех функционалов на i , яеляеояхся пре офаз ованиями Фурье мер из пространства ft ^ ),

т.е. функционалов вида JiT (ж)= \ г < ^ ( ы V ^ >

где ч ( ^ ( f На пространстве hit) задается норма i • I ,, , определяемая равенством / м i л, " и'Г)

Пусть Т - линейное пространство, состоящее из некоторого семейства комплекснозначных функционалов, определенных на £ , содержащее множество А1 f L ) . Пусть такте на линейном пространстве У задана локально выпуклая топология, такая, что вложение /Ч ( Г ) J будет непрерывным и образ плотным в rf .

Тогда обобщеннак мерой Фейнмаяа 4 называется линеиный непрерывны!; Функщонал на пространстве Т , удовлетворяющий равен ству

I

Ч«> = Jp (dp

Интегралом Фекнмана для любого функдионаж <( (' * называется

величина Ф и обозначается через ) £ I*) Ф ).

Б этом ж параграфе доказывается совпадение различных определение интегралов Феьншнана достаточно лшрокоы классе оункционалов.

Третья глава состоит из трех параграфов. £ лервом параграфе дается решение задачи Коши для уравнения Шредингера з таде интеграла Фекнмана с использованием равенства Парсевалш-Пусть 0 , Р - банахогые пространства, находящиеся в двойственности Р>; л - непрерывная вещественная Функция на пространстве Е , ^ - вещественная <±унквдя на [' * С' , представимая в виде

у:(Р<4>= ^ \г

где - счетно-аддитивная осрелевская комплекснозначная

мера на банаховом пространстве 0 * Р .

Обозначим через ( Г ) пространство всех счетно-

аддитивных комплекснозначных мер на , удодлетвсрящих условию 5 п I а (р) \ I и I С Ар ) < i

Г ' .

и через Л1„ ((н ^ - Фурье-образ пространства А1,{ (I' ). На пространстве (' ) определяются псевдодиф(±еренциальные

Л 4

операторы л , ^ур > 00 значениями в пространстве

/Ч ( § ) и задаваемые равенствами ( и £ ) ( </ ) - * '1-1 '' Р ^ и ( р") ^м ( с!р ,

( л г ;и ), ?) -- 5" V " ^ *' V" г с/Р' }>

Сташтся задача Кош для уравнения Шредангера £ и а, у) =г <' Н и (г, ] Г£е М , а .. /Г9 р ,

\ /Ч .Л

или Н - ч - Л р , с начальньш условием а ( 0, у )= а 6 (у причем 1чр <г /1,1а ) , ii>-0 ии,-) 6 К ю). Доказана теорема о существовании и единственности решения это»! задачи в классе (Г1 ( с о, * *>), /М ((} )) О С (Сс,* \ ^ п.. Решение представляется в виде интеграла Фейнмана. Аналогичное утверждение получено для обобщенного уравнения Шредингера.

Бо втором параграфе -рассматривается задача Коши в гильбертовом пространстве <? для уравнения Шредингера

и ( I .()) Г Л г к /1, 1 I чЧ к (1.,(] )

с начальным условием к < с. <р : и г (гу) , где V - полином четвертого порядка специального вида, и „ - гладкая функция на а , удовлетворящая ряду ограничений, Д т - даф№рен-

«•■• л г*

циальный оператор, предсташмыи в виде 1 г

1 *

для некоторого ортонормированного базиса, причем 2

П - г

Решение это;, задачи строится в виде аналитического интеграла Феинмана.

Ь третьем параграфе получено решение задачи Коши для

конечномерного пространства « " , в котором рассматривается

и -^'й « а, Я н <' гЧЯ1 Ы

уравнение Шредингера -.-г '" ? ' > ' 1

с начальным условием и (С, ^ )- ы{ где а1 - полином произвольной четной степени специального вида, ис - гладкая Функция, удовлетворяющая ряду ограничений. Решение дается в виде секвенциального интеграла Фейнмана.

Четвертая глава состоит из двух параграфов и посвящена построению оператора Шредингера в квантовок теории псшя. Ь ней для полиномиального взаимодействия дается конструкция построения

оператора Шредингера в фоковском пространстве. Оператор Шредингера задается замкнутой квадратичной нормой специального вида, определенно!' в плотном подпространстве ооновского пространства.

ПУЕШКАЩИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Шавгулидзе Е.Т. Об одной мере, квазиинЕариатно*. относительно дейстшя группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия. -

ДАН СССР, 1568, т. 303, № 4, с.811-814.

-. Шавгулидзе Ь.Т. Один пример меры, квазиинвариатно:: относительно действия группы дийцеомср«измов окрукности. -Функц.анализ, 1978, т. Ь., Я Ъ, С.55-ГС.

3. Шавгулидзе Е.Т. Разложение Хана-1срдана для гладких мер. -Матем.заметки, т. ЗС, X 3, 1981, с.435-44;.

4. Шавгулидзе Е.Т. Некоторые свойства гиперполных локально выпуклых прострой те. - Труды Ш), 1975, т. с-, .

5. Шавгулидзе Е.Т. 0 решениях задач!- Кош»: для уравнении Шредингера, связанных с бесконечна:, рными механическими системами. - УМН, 1985, т. 4С, Л 5, с^8.

е . Шавгулидзе Е.Т. Один класс самос опрягжнных операторов, связанных с моделью • - ДАН СССР, 1587, т. ¿.94,

с.1349-1353.

7. ШаЕгулидзе Ь.Т. Теорема Минлоса для незнакоопределенкых мер. - УШ, 197* , т.с1, № 3,

8. ШаЕгулидзе Ь.Т. О прямом уравнении Колмогорова для мер

в гильбертовой шпале пространств. - Ьестник МГУ. Сер. мат. -1978, Л 3, с.19-^8.

9. Шавгулидзе Е.Т. Метод, параметрикса для уравнений относительно мер в бесконечномерных пространствах. -Некоторые вопросы математики и механики. М., изд-во Моск. ун-та. 1961, с.46-48.

1С. Шавгулидзе Е.Т. Об одном диффе ом оргазме локально выпуклого пространства. - УМН,. 1979, т. о4, Л 5, II. Шавгулидзе Е.Т. Распределения на бесконечномерных пространствах и вторичное квантование в струнных теориях Ц. -Пятая мегдунар. консбер. по теор. вер. и матем. стат., Вильнюс, 1989, 1. с.с59-сР0.

К. Шавгулидзе Е.Т. О существовании решений уравнения Иредингера с полиномиальными потенциалами. - Тезисы докладов конфер. "Методы алгебры и анализа", Тарту, 1968, с.Хьб.

В печать 22.04.91 Изд.Я 26п «¿оркат 60x84/16 Тираж 100 экз. Уч.-изд.Л 0,5 Печ. л. 1,0

Размножено в ШИПНТИКПК