Асимптотические оценки гауссовских континуальных интегралов, содержащих большой параметр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

~ г

УДК

Белорусский государственный университет 0 ^

517.15

Гуло Ирина Николаевна

Асимптотические оценки гауссовских континуальных интегралов, содержащих большой параметр

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск, 1998

Работа выполнена в Белорусском государственном педагогическом университете им. М. Танка

Научный руководитель — член-корреспондент HAH Беларуси,

доктор физико-математических наук, профессор Янович Леонид Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жидков Евгений Петрович; доктор физико-математических наук, профессор Русак Валентин Николаевич

Оппонирующая организация — Гродненский государственный

университет

Защита состоится 11.12.98 в 10.00 на заседании совета по защите диссертаций Д. 02.01.07 в Белорусском государственном университете (220050, г. Минск, пр. Ф. Скорины, 4, Белшсуниверситет, главный корпус, к.206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверсите-

та.

Автореферат разослан " 1998 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

Килбас A.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Изучение интегрировния по гауссовой мере в бесконечномерных пространствах начато работами Н.Винера в 20-х годах нашего века. Им была введена в пространстве непрерывных функций для исследования броуновского движения специальная мера, которую сейчас обычно называют "винеровской" или мерой Винера. Эта мера включается в более общий класс мер в функциональных пространствах, которые принято называть гауссовыми.

Начиная с 40-х годов, исследования по различным аспектам задачи интегрирования по мере Винера и некоторым смежным вопросам этой тематики значительно расширились.

Практическое использование функциональных интегралов основано на приближенных методах их вычислений. Первые работы по приближенному вычислению интегралов по гауссовой мере появились в 50-ых годах. Они относились к приближенному вычислению интегралов по мере Випера. В последние годы разработаны методы приближенного вычисления интегралов по мерам, соответствующим различным случайным процессам, и квазимерам:.

Приближенное вычисление функциональных интегралов вызывает значительные трудности. Вместе с тем, наличие большого или малого параметров в таких интегралах делает задачу приближенного вычисления еще более сложной. Здесь значительную помощь оказывает знание асимптотики интегралов относительно этих параметров.

Асимптотика континуальных интегралов играет важную роль не только в задаче приближенного интегрирования, но и во многих других задачах анализа. Это делает задачу изучения асимптотики континуальных интегралов актуальной.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научных программ: "Комплексное исследование многомерных дифференциальных систем", шифр "Дифференциал 3" (1986-1990 г.г.); "Аналитические, асимптотические и качественные методы дифференциальных уравнений", шифр "Дифференциал 4" (1991-1995 г.г.); "Исследование структурных свойств бесконечномерных ядерных динамических систем управления", шифр "Математические структуры 16".

Цель и задачи исследования. Целью работы было получение асимптотических оценок континуальных интегралов по гауссовым мерам. Для этого понадобилось дальнейшее развитие и обобщение при-

менительно к континуальным интегралам ряда методов классического асимптотического анализа:

— метода интегрирования по частям;

— метода Лапласа;

— метода последовательных разложений.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются гауссовские континуальные интегралы, интегрируемые функционалы которых содержат большой числовой параметр. Изучается асимптотика континуальных интегралов в общих линейных пространствах, в пространстве непрерывных функций и некоторых других. Рассмотрены интегралы по конкретным гауссовым мерам и от специального вида интегрируемых функционалов.

Методология и методы проведенного исследования. Используется аппарат классического анализа, общие подходы приближенных и асимптотических методов. Синтез этих подходов, применительно к задаче изучения асимптотики континуальных интегралов, позволил получить новые результаты в теории асимптотических методов функционального интегрирования.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Теория получения асимптотических оценок для континуальных интегралов, содержащих большой параметр, в настоящее время находится в стадии разработки. Число работ, посвященных данной тематике, невелико.

Необходимость в развитии этой теории вызвана решением многих практических задач. Получены новые асимптотические оценки для рассматриваемых классов интегралов по мерам Винера и общим гауссовым мерам. Выделены главные члены асимптотик, а в некоторых случаях и полные асимптотические разложения.

Практическая и экономическая значимость полученных результатов. Диссертация имеет, в основном, теоретическое значение. Приведенные в ней асимптотические оценки могут быть использованы, в частности, для изучения энергетических спектров квантомеханических систем и для приближенного вычисления континуальных интегралов.

Экономическую значимость результатов диссертации в настоящее время оценить не представляется возможным.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Получены асимптотические оценки и выделены главные члены асимптотики для функциональных интегралов по гауссовым мерам методами интегрирования по частям и Лапласа.

2. Методом Лапласа получена асимптотическая оценка и выделен

главный член асимптотики для одного вида кратных континуальных интегралов.

3. Перенесен на континуальные интегралы специального вида один из вариантов метода последовательных разложений.

4. Получены асимптотические оценки для специального вида интегралов по мере Винера и условной мере Винера.

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертационной работы получены автором лично. Результаты, приведенные в совместных работах с научным руководителем, получены на паритетных началах.

Апробация результатов диссертации. О результатах работы докладывалось в Белорусском государственном педагогическом университете им. М. Танка, на шестой конференции математиков Беларуси (г. Гродно, 1992), на международной конференции "Программирование и математические методы для решения физических задач" (г. Дубна, 1994), на международном семинаре "Нелинейные явления в сложных системах" (г. Минск, 1995), па международном семинаре "Интегралы по путям: теория и приложения" (г. Дубна, 1996), на научной конференции " Статистический и прикладной анализ временных рядов" (г. Брест, 1997), на конференции преподавателей БГПУ им. М. Танка " Фундаментальные проблемы математики" (г. Минск, 1997).

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях научных журналов, в о статьях научных сборников, в 2 тезисах научных конференций.

Общее количество опубликованных материалов составляет 45 страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глаз, заключения и списка использованных источников, включающего 106 наименований. Общий объем диссертации составляет 91 страницу машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана краткая оценка исследуемой проблемы, указаны основные методы получения асимптотических оценок, обоснована необходимость проведения исследований в этом направлении.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней приводятся определения асимптотических оценок и даются основные их свойства. Кроме того приводится ряд фактов из теории гауссовских мер и интегралов

по гауссовым мерам. В этой главе приведен обзор литературы по теме диссертации. Дается краткий очерк основных этапов развития асимптотических методов в данной области.

Глава 2 посвящена методу интегрирования по частям. В разделе 2.1 приведена формула интегрирования по частям и формула, связывающая функционал с его вариацией по заданному направлению.

В разделе 2.2 для интеграла

1(\) = /е*>ЫН\,х)<1р{х) (1)

х

(X— линейное топологическое пространство, #(£),/(А,х)— заданные на X функционалы, ц{х)— гауссова мера, Л — большой числовой параметр), в результате многократного применения формулы интегрирования по частям, получаем асимптотическое разложение

/еЛ*М/(А,х)<11х(х) = £ ЦРй(А)+гв(А) х *=1 Л

относительно шкалы {А~кдк(А)} (к = 1, тг). Функционалы дь(А) и г„(А) задаются рекурентными формулами

0ь(А) = /еЛ^(А,х)(аьа^{х),

х

Г»(Л) = 1еЫх) {К^{\,х){ап+1,х)-8Рп+г[\,х-,ап+г})й11{х),

х

где

Рк(А,г) = 8Рк-1[\,х\ ак-1\6~1 д[х\ак\, ак— элементы гильбертова пространства Н, порожденного гауссовой мерой ¡1 пространства X, а (а, х)—линейный измеримый на X функционал (к = 2,п + 1). '

Рассмотрено несколько частных случаев, когда д(х) имеет вполне определенный вид. Получены асимптотические разложения для следующих интегралов

х

п { к Ч"1 (п+1 I"1

= + гя(А),

где, в этом случае, в выражениях для дк(А) и г„(А) следует положить Х,х)=Г{Х,х), Гк(\,х) = 6к~1/[\,х-,аиа2,...,ак-1Ъ к = 1),

т.е. — есть здесь (к — 1)-я вариация функционала /(А, ж) по

направлениям а1,а25 ■ •■й]ь-1; (а, а,) ф 0; г = 1, п 4-1, а £ II. А также для интегралов

/ е,'Аг«"-е>>/(А,а:ЖаО =

х

п Г а I"1 С —11" Гп+1 -I-1

"£■(¡V Ш«*"* Г"(А)'

где

х

При выделении главных членов асимптотики методом интегрирования по частям падо было находить для данного функционала первообразный.

Возможности этого метода проиллюстрированы на примерах, которые приведены в разделе 2.3.

В главе 3 получены асимптотические оценки для континуальных интегралов с помощью метода Лапласа. Как и в случае обычных интегралов, идея этого метода состоит в том, что наибольший вклад в значение континуального интеграла вида

Е{ А) =

х

дают интегралы по окрестностям тех точек, в которых функция д(х) принимает наибольшее значение. Вычисление или оценки интегралов по этим окрестностям, а также по оставшемуся множеству области интегрирования, и составляют основную трудность применения метода Лапласа при исследовании асимптотики конкретных классов интегралов.

В разделе 3.1 рассмотрен интеграл вида

= / /(я) ехр{А3(< >)}ф(г), (2)

х

где X - линейное топологическое пространство, д(и) - числовая функция с областью определения Т С Д, /(я) и < аг > - заданные на Л' функционалы, причем < <р, х > - линейный, А- большой числовой параметр, р. - гауссова мера с нулевым средним значением и корреляционным функционалом К((р,-ф) 6 X').

Была доказана

Теорема 3.1. Пусть функция д(и) и функционал f(x) удовлетворяют следующим условиям:

1. Максимум. д(и) достигается только в одной точке щ (ио 6 Т).

2. Функция д(и) является (2т + 1)-раз непрерывно дифференцируемой в точке и0, д'{и0) = д"{щ) = ... = д^Цщ) = 0, а д^Ы) = -<?(? > О).

3. Для всех и£Т выполняется условие

Функционал f{x) непрерывен в точке хо, где хо £ X такая, что < (р,хо >= щ, в следующем смысле: для любого е > 0 найдется 6 > О, что для всех х из окрестности А = {х 6 X :< (р,х — хо >2т< <5} будет выполняться неравенство |/(х) - /(жо)| < е-5. /(^о) ф О и функционал f(x) такой, что

1\1{х)\йц{х) =М < оо. х

Тогда при А —> оо

плнад^ + оа)],

где

/Х(А) = а(А) /ехр{—*;2т - Ь(А)[1{М1}^2 + «о«]}*/,

На основании этой теоремы была сформулирована Теорема 3.2. Пусть условия 1-5 теоремы 3.1 выполнены, тогда при А —> оо для интеграла (2) имеет место равество

Затем был рассмотрен более общий, чем (2), вид интегралов:

Ф(А) = / е^'х>^(Х,х)й^(х). (3)

х

И в этом случае доказана

Теорема 3.3. Пусть функция д(и) удовлетворяет условиям 1-3 теоремы 3.1, а функционал /(А, х) при больших Л условиям:

/(Л,х) — непрерывен в точке хо в следующем смысле: для любого е > 0 существует 6 > 0, что для всех х из окрестности

А = {х 6 X :< <р, х - го >2т< 5}

будет выполняться неравенство |/(А,х) — /(А,:со)| < е. 5. /(А, ¿то) ф 0 и функционал /(А,х) такой, что

! |/(Л,я)|йу,(х) = М < оо.

Тогда при А —> оо

Далее рассматривался интеграл

*\А) = /е^^ДА,*)^), х

где !р(и) — дифференцируемая па луче [0; +оо) функция, ь(х) и /(А, х)— функционалы, заданные на X. И для него доказана

Теорема 3.4. Пусть ь{х) измеримый функционал и /(А,х) > 0 на Х- функция (р(и) достигает максимума в единственной нулевой точке и <р"(0) = —5 (д > 0), а ее третья производная у'"(и) в точке ви, где 0 < я < 1, удовлетворяет следующим условиям:

1. <0, и > 0;

2. <р'"(зи)и3 —> 0 при и —> -Ьоо;

3--с0 < (р'"(зи)и2,0 < с0 < М < со. Тогда

Р(Х) = е~^я^(Х,х)йц(х)[1 + о(1)].

В разделе 3.2 дается асимптотическая оценка для интеграла (3), когда функция д{и) имеет.максимум в двух точках. Доказана

Теорема 3.5. Пусть функция д(и) и функционал /(А,х) удовлетворяют следующим условиям:

1. д(и) достигает максимума в точках и\,и2 € Т.

2. д(и) трижды непрерывно дифференцируема в точках щ^щ и

~д'(щ) = д'(щ) = О, /00 = -чи д"Ы = -да (?1 > 0,?2 > 0). 3. Для всех веТ, выполняется условие

д{и) - д(иг) <-1(и- и02, - д(и2) < -/(и - и2)2

где I > 0.

Функционал /(А,я) непрерывен в точках х\,х<1 е X , где х\,х^ такие, что < <р,х\ >= щ,< <р,Х2 >— «2, в следующем смысле: для любого е > 0 найдутся 61,82 > 0, что для всех х из окрестностей

Д1 = {х 6 X :< <р,х -XI >2< 5!}, А2 = {х£Х :< <р,х - х2 >2< <$2}

будет выполняться неравенство

|/(Л,г)-/(А,х1)|< е,

|/(А,г)-/(А,х2)|<е. 5. /(Л, жх) ^ 0, /(Л, Ж2) 5^0 и функционал /(А,х) такой, что

У |/(А,г)|с/^(х) = М < оо. х

Тогда при А —+ оо

^(А) = С^(А> + 7-2(А))[1 + 0(1)],

где

Л(А) = «¿(А) / ехр{-</2 - Ь;(А) + }*>,

В разделе 3.3 дается конкретизация отдельных результатов предыдущих разделов и получены другие асимптотические оценки для некоторых специальных классов интегралов в случае пространства непрерывных функций С[а,Ь].

Получены, в частности, следующие асимптотические оценки:

//(х)ехр /= /(0)сЛ-*л/А[1 +о(1)];

j f(x)explX<p f x(t)dt

d}i{x)

■s/ЩКТI

exp -

A qu20

2 XqK +1

[l + o(l)j,

i

где щ = / х{Ь)й1 — невырожденная точка максимума функции <р(ы),

"(ио)

Ь 6

-д = г ' q > О, К — } } 5(í, s)dtds,B(t, й) — корреляционная функция

^ а а

гауссовой меры /г;

J ехр | Луз

j x(t)dt

- 1ЫеЫщ)\^ХдщК + 1 4 K-JvXq

хК

1/4

ехр|-

/ (iXqupK + I)2 \ ШдК2

f(x)dfi(x) =

{АХдщК- I)2 — '2 32XqK2

[l+o(t)],

В разделе 3.4 рассматриваются интегралы вида

F{x) = Jexp{Xg(< <р,х >)}f(x)dfi(x),

(4)

где X = х Хг х ... х Хп, Х{ — линейное топологическое пространство, 9{и) = з(и1-и2, —>^п) — заданная действительная функция от п переменных, < >= (< ^1,2?! >,< >,-■,< <Рп,з:п >), < (р^,Х{> — линейный непрерывный функционал на X,-, йр{х) = df^l(xl)dfl^(x<2) ■ ■ • df^n{xn), //, — гауссова мера, задаваемая нулевым средним значением тп^ср) = О и корреляционным функционалом е е X]), г = 1,те. Для них доказана Теорема 3.6. Пусть функция д(и) = #(«1, «2, (и 6 Л") и функционал ¡(х) = /(х1,х2,...,хп) удовлетворяют следующим условиям:

1. д(и) достигает максимум только в одной точке щ = (и®, и^, и"). £ з(и) трижды дифференцируема в Яп функция, причем

дщди^

Wuiduj duk

< с,

с

(I,у,к = 1 ,п, с — некоторая постоянная) в окрестности точки щ. 3. Для всех «6 Д" выполняется условие

s(u) - д(щ) < -I - i > о-

=i

Функционал f(x) непрерывен в точке хц, (здесь = (г?,®^—)^) такая, что (< >,< £2 >>••■>< >) = Щ, ) в следующем

смысле: для любого £ > 0 найдется 8 > О, что- для всех х из окрестности Д = {a € X : Е < Pi,®« ~ >< выполняется неравенство

Ш - /(*<,)! < е.

f{x0) О u функционал f(x) такой, что

J \f{x)\dß(x) = М < оо.

Тогда при А —* оо

пл) . /ЫехР(Дг(Ы} ехр{Л £ j^J +

п + 1)х/2 1 2 i=1 Agi-tfi +1J

¡=1

= (?< > 0). Д =

Отдельно рассмотрен двумерный случай для интеграла (4) и сформулирована аналогичная теорема.

В последней главе 4 получены асимптотические оценки для специального вида континуальных интегралов по мере Винера и условной мере Винера, а также рассмотрен вариант континуального аналога метода последовательных разложений А.Н. Тихонова и A.A. Самарского.

В разделе 4.1 с помощью аналога метода последовательных разложений для интеграла

J (А) — Ju(X,x)F(\,x)dp(x), х

где функционал ш(А, х) можно представить в виде

«(МНё^^ + АЛА,*),

к=О

аь(А,:г) = 0, п) и рп(Х,х) (п = 0,ЛГ) заданные зависящие от А функционалы, определенные на а — последовательность неотрицательных действительных чисел, доказана

Теорема 4.1. Имеет место равенство

+ г„(А),

Ък{ А) + с,(А)

Aw-i А«

= £

¿=о

где

bt(A) = J ик(Х,х)Фк(Х,х)<1ц(х),

х

Ck(А) = j ak(X,x)FM{X,x)dp,{x),rn(X) = Jрл(Х, x)Fn+1(X, x)d)i(x). x x

{Ф^(А, — произвольная система функционалов, а функционалы

шк(Х,х) и Fk(X,x) определяются реку рентными формулами

u>k+l{X,x) = A^-'u^A,^ - ак(Х,х), Fk+i(X,x) =

= Рк(Х,х)-Фк(Х,х),

Здесь cjo(A, х) = си(Х, х), Fo(A, г) = F(A, х), ¡i-i = 0. С помощью этой теоремы для интеграла

J{А) = (cos | ~ f x(t)dt 1 ехр Ц /x2(t)dt > dwx

с lAo J l20 J

выделен главный член и получена асимптотическая оценка

_ 1 tgl ~ 1 tgl - 1 П W ~ v^l + 2A2Vcosl + + ° U4

В разделе 4.2 получены асимптотические разложения функциональных интегралов вида

feXv^)f(X,x)d^{x), с

где fi(x)~ мера Винера или условная мера Винера на пространстве С —

= С[0,1], ||ж||2 = I x2(t)dt, а функция ц>(и) и функхщонал f(X,x) удовлетворяют указанным далее условиям .

Сначала рассмотрен случай меры Винера W, соответствующий ви-неровскому процессу с корреляционной функцией B(f, s) = min(i, s) и нулевым средним значением. А затем изучены, аналогично предыдущему случаю, асимптотики интегралов такого же вида, но по условной мере Винера с тем же средним значением и корреляционной функцией B(t, s) = min(t, s) — ts. Для получения основного результата раздела доказывются в начале две леммы.

Лемма 4.1. Для интеграла

/0(А) - / е-тМР^г с

справедливо равенство

^о(А) = £ ^+1(А)4Л*-2"А,

где [|] - целая часть числа |, аи - числа, которые не зависят от А. Лемма 4.2. Для интегралов

/е-^«2 \\х\\2%ух с

справедливо равенство

Ге-^Цх^х = -^-^Ас/Г^Д [1 + о(1)], А = о, 1,2,..., с ^

при А —> оо.

Для интегралов указанного вида по мере Винера справедлива Теорема 4.2. Пусть функция <р(и) имеет единственный максимум в точке и = 0, причем <р'(й) = О, <р'{0) = —<? (д > 0) и выполняются другие условия теоремы 3.4, а для функционала /(А, х) справедливо разложение

/(А,г) = ¿а*(А)|И|и + гп(А,1)||х||2"+2,

¡с=0

где ® е С[0; 1], в^А) = О (а*(А)Аа'), а*(А) > О,

О < аь < 1/2, |гя(А, х)| < Мап(Х)Ха" (0 < М < оо). Тогда

=

Для случая условной меры Винера И7* было получено асимптотическое равенство

2 1 У ч \ 1/2

= [1 + 0(1)], 4 = 0,1,2,...,

на основании которого доказана

Теорема 4.3. Пусть функциями) и функционал f(X,x) удовлетворяют условиям теоремы Тогда

J eXv^f{X,x)dw,x = с

= еМ0) (Jpb)1/2 £ J^) cth^q\l + .(1)] . [shy/ц) V 4i кп

В конце раздела приводятся два примера, иллюстрирующие использование полученных оценок.

В разделе 4.3 получена асимптотическая оценка для интегралов вида

/ eW\M)f(\,x)dwX,

с2

где С2 = Ci(Q) — пространство непрерывных на квадрате

Q = [0; 1] х [0; 1] фупкций двух переменных х = x(t,s), функция ip(u) и

функционал /(Л,ж) удовлетворяют указанным далее условиям,

||г||2 = / x2{t\s)dtds. Мера Винера W задается здесь нулевым средним Q

значением и корреляционной функцией — ^ min(ii;si) min(i2;s2)

(t,s £ Q, t — (ii; ¿2)5 s = (si; s2))- Обозначим

00 1 2Л

Лемма 4.4. Для производной k-го порядка функции о(Х) справедливо равенство

= 'I' £

где Qffcj -некоторые не зависящие от X числа, — целая часть числа 2 •

Лемма 4.5. Для интеграла

/0(А) = / e~^dwx

Сг

справедлива асимптотическая оценка

А) = (-1)«70(А)^(А) [1 + 0(1)], (А сю). . На основании этих лемм доказывается

Теорема 4.4. Пусть фунщуия <р(и) имеет единственный максимум в нулевой точке, причем </(0) = 0, ¥>"(0) = —q (q > 0) и выполняются другие условия теоремы 3-4, а для функционала f(X,x) справедливо разложение

f(\,X) = ±ak(\)\\xfk + rn(A,x)\\x\t+\ k=о

где х е C2{Q), аш{А) = О (ак{A)AQl), в*(Л) > О, О < ак < 1/2, |г„(А,г)| < Мап{ А)Аа" (О <М < оо). Тогда

F{А,х) = io(A)e^°> £ (^^(А) [1 + о(1)] (А —> оо).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предложенной диссертационной работе перенесены некоторые из методов классического асимптотического анализа на континуальные интегралы. В результате:

1. С помощью аналога метода интегрирования по частям получены асимптотические разложения для определенного вида континуальных интегралов по асимптотической шкале, элементы которой удовлетворяют рекурентным соотношениям. Результаты опубликованы в [1, 9].

2. Метод Лапласа перенесен на класс континуальных интегралов по пространству непрерывных функций и для интегралов по любому линейному пространству. Получены асимптотические оценки и выделены главные члены асимптотики для интегралов, подынтегральные функционалы которых удовлетворяют определенным условиям, а также, подынтегральный функционал которых содержит в аргументе экспоненциального множителя функционал, имеющий две критические точки. С помощью метода Лапласа получена асимптотическая оценка и выделен главный член асимптотики для одного вида кратных интегралов [2 — 5].

3. Для континуальных интегралов специального вида применен один из вариантов метода последовательных разложений, предложенный А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским для однократных интегралов. В результате получена асимптотическая оценка, которая включает в себя произвольную систему функционалов, что может быть удобным на практике при построении асимптотик для конкретных интегралов [6].

4. Получены асимптотические оценки для интегралов по мере Винера и условной мере Винера [7, 8, 10].

Каждый метод сопровождается иллюстрацией построения асимптотик для интегралов по конкретным линейным пространствам с различными гауссовыми мерами. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при построении асимптотических оценок континуальных интегралов, а также для приближенного вычисления этих интегралов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

Статьи в научных журналах и рецензируемых научных сборниках

1. Янович Л.А., Лопатюк (Гуло) Й.Н. Получение асимптотических разложений континуальных интегралов по гауссовой мере методом интегрирования по частям // Докл. Акад. наук Беларуси. — 1992. — Т. 36, №1. — С. 5-8.

2. Гуло И.Н. Асимптотические оценки для гауссовых континуальных интегралов по пространству непрерывных функций // Линейные функционально-дифференциальные соответствия: Сб. научн. ст./Минский пединститут им. A.M. Горького; Редсовет Ю.А. Быка-доров, Н.Т. Стельмашук, В.А. Шилинец. — Минск, 1993. — С. 37-41.

3. Янович Л.А., Гуло Й.Н. Построение асимптотических оценок для одного класса континуальных интегралов // Докл. Акад. наук Беларуси. — 1994. — Т. 38, №5. — С. 5-9.

4. Yanovich L.A., Gulo I.N. Asymptotic Estimates for a class Functional Integrals // Proceed. Intern. Conferen. "Program. and Mathem. Techniques in Physics" / World Scientific. — Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1994. -- P. 10-13.

5. Yanovich L.A., Gulo I.N. On an Asymptotic Expansion of Some Functional Integrals, Involving Large Parameter // Proceed. Fourth. Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems". —Minsk, 1996.

P. 233-238.

6. Yanovich L.A., Gulo I.N. Some Asymptotic Formulas for Functional Integrals // Proceed. Intern. Seminar "Path Integrals: Theory and Applications" and 5th Intern. Conf. "Path Integrals From meV TO MeV". — Dubna, 1996. — P. 364-368.

7. Гуло И.Н. Асимптотическая формула для одного вида винеровских интегралов в пространстве непрерывных функций двух переменных // Статистический и прикладной анализ временных рядов: Труды между-народн. научн. конф., Брест, 11-13 ноября 1997 / Мип-во образования РБ. Бел. гос. ун-т. Брестский гос. ун-т. — Брест, 1997. — С. 171-178.

8. Гуло И.Н. Асимптотические оценки для интегралов Винера специального вида//В есщ Нац. Акад. навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. — 1998. — №1. — С. 46-51.

Тезисы докладов

9. Гуло И.Н. Применение формулы интегрировалия по частям к изучению асимптотики континуальных интегралов // Конференция математиков Беларуси : Тез. докл. Ч. 2, Гродно, 29 сент,- 2 окт. 1992 / Гродн. гос. ун-т — Гродно, 1992. — С. 133.

10. Гуло И.Н. Об асимптотике функдионалоных интегралов по гауссовой мере // Статистический и прикладной анализ временных рядов: Материалы международн. научн. конф., 8ААТ8-97, Брест, 11-13 ноября 1997 / Брестский гос. ун-т. — Брест, 1997. — С. 55-56.

РЕЗЮМЕ Гуло Ирина Николаевна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ГАУССОВСКИХ КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР

Ключевые слова: функциональный интеграл, гауссовая мера, мера Винера, асимптотическая оценка, метод Лапласа, метод интегрирования по частям, метод последовательных разложений.

Объектом исследования диссертационной работы являются гауссов-ские континуальные интегралы, интегрируемые функционалы которых содержат большой числовой параметр. Изучается асимптотика континуальных интегралов в линейных пространствах.

Целью работы было получение асимптотических оценок для такого класса континуальных интегралов. Для этого понадобилось дальнейшее развитие и обобщение применительно к континуальным интегралам ряда методов классического асимптотического анализа.

При исследовании использовался аппарат классического анализа, общие подходы приближенных и асимптотических методов. Синтез этих подходов применительно к задаче изучения асимптотики континуальных интегралов позволил получить новые результаты в теории асимптотических методов функциональных интегралов.

В результате получены новые асимптотические оценки для рассматриваемых классов интегралов по мерам Винера и общим гауссовым

мерам. Выделены главные члены асимптотик, а в некоторых случаях и полные асимптотические разложения.

Необходимость в развитии этой теории вызвана решением многих практических задач. Приведенные в диссертации асимптотические оцеп-ки могут быть использованы, в частности, для изучения энергетических спектров квантомеханических систем и для приближенного вычисления континуальных интегралов.

РЭЗЮМЭ Гуло 1рына Млкалаеупа

АС1МПТАТЫЧНЫЯ АЦЭНК1 ГАУСАУСК1Х КАНТЫНУАЛЬНЫХ 1НТЭГРАЛАУ, ЯК1Я ЗМЯШЧАЮЦЬ ВЯЛ1К1 ПАРАМЕТР

Ключавыя словы: функцыянальны щтэграл, гаусава мера, мера Вшера, ас1мптатычная оценка, метад Лапласа, метад штэгравання па частках, метод нaблiжaныx раскладау.

Аб'ектом даследавання дысертадыйнай работы з'яуляюццагаусаусюя кантынуалыгыя штэгралы, штэгравальныя функцыяналы яшх змяшча-юць вялш лшавы параметр. Вывучаецца асшптотыка кантынуальных штэгралау у лшейных прасторах.

Мэтай работы было атрыманне аамптатычных ацэнак для такого класу кантынуальных штэгралау. Для гэтага патрабавалася далей-гаае разв1цце I абагульненне у прымяненш да каптынуальных штэгралау шэрагу метадау клаачнага аамптатычнага анал1зу.

Пры даследаванш выкарыстоувауся аппарат класхчнага анализу, агульныя падыходы прыбл1зных 1 аамптатычных метадау. Слнтез гэ-тых падыходау у прымяненш да задачы вывучэння аамптотьш кантынуальных штэгралау дазвол!у атрымаць новыя вынЫ у тэорьп аамптатычных метадау для фушсцыянальных штэгралу.

У вышку атрыманы новыя аамптатычныя ацэша для разгледжанных класау штэгралау па мерах Венера 1 агульныхтаусавых мерах. Вылу-чаны галоуныя члены аамптотык, а у некаторых выпадках 1 поз"'ныя аамптатычныя расклады.

Неабходнасць у paзвiццi гэтай тэорьп выклпсана рашэннем мнопх практычных задач. Аамптатычныя ацэнш, як1я прыведзены у дысер-тацьй, можна выкарыстоуваць, у прыватнасш. для вывучэння энерге-тычных спектрау квантомехашчных сктем 1 для прыбл1знага выл1чэння калтынуальных штэгралау.

SUMMARY Gulo Irina Nikolaevna

ASYMPTOTIC VALUATIONS OF GAUSSIAN CONTINUAL INTEGRALS INVOLVING LARGE PARAMETERS

Key words: Functional integral, Gaussian measure, Wiener measure, asymptotic valuation, Laplace method, method of integration by parts, method of sequential expressions.

The object of research of this work are Gaussian Continual integrals, the integrated functionals of which contain a large numerical parameter. Asymptotic of continual integrals in linear space is studied.

The aim of this work is obtaining of asymptotic valuations for such class of continual integrals. For this purpose further development and generalization of a number of metods of classical asymptotic analysis in reference to continual integrals became necessary.

In research a system of classical analysis and general approaches of approximate and asymptotic methods were used. Synthesis of this approaches in reference to the task of studying of asymptotics of continual integrals made it possible to obtain new results in the theory of asymptotic methods of functional integrals.

As a result new asymptotic valuations for the above mentioned classes of Wiener integrals and of integrals with respect to the Gaussian measures, main parts of asymptotics and full asymptotic expansions in some cases are obtained.

The necessity in the development of this theory is caused by the solution of many practical problems. The asymptotic valuations given in it can be used for the studying of power spectrum of quantummechanical systems in particular and for the approximate calculations of continual integrals.