Методы теории случайных процессов в континуальных интегралах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и Я В >

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

92-88

На правах рукописи

Сторчак Сергей Николаевич

МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕСССОВ В КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛАХ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 19 92

М-24

Работа вьшолнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино).

Научный руководитель - доктор физико-математических наук Б.А. Арбузов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Б.М. Ба байтов, доктор физико-математических наук М. Б. Менский.

Ведущая организация - Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук (г. Москва).

Защита диссертации состоится "_" _ 1992 г.

в _ часов на заседании специализированного совета Д 034.02.01

при Институте физики высоких энергий (142284, г. Протвино Московской обл.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" __________ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Ю.Г. Рябов

© Институт физики высоких энергий, 1992.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теоретической физике метод континуального интегрирования является одним из основных методов, используемых для квантования динамических систем. Широкое распространение этого метода вызвано тем, что в нем непосредственно прослеживается связь с классической динамикой задачи. Такое обстоятельство особенно важно при квантовании систем, обладающих калибровочными степенями свободы.

Однако из-за того, что в настоящее время не существует способов точного вычисления произвольных (а не тольк'о гауссовых) континуальных интегралов, метод континуального интегрирования применяется в основном при квантовании систем по теории возмущений. Потребность преодоления при квантовании рамок теории возмущений приводит к необходимости дальнейшей разработки метода континуального интегрирования, особенно в том его. аспекте, который касается вычисления негауссовых континуальных интегралов.

В последнее время значительный прогресс в решении проблемы вычисления негауссовых континуальных интегралов был достигнут в области континуальных интегралов квантовой механики. В работе Дюра и Клайнерта о квантовании атома водорода методом континуальных интегралов был применен новый способ преобразования континуальных интегралов, связанный с репараметргоацпей путей при помощи нового времени. Другие названия этого способа — "подстановка нового времени" п "пространственно-временное преобразование".'Новый способ преобразования.'континуальных интегралов дал возможность представить функцию Грина (континуальный интеграл ) для одной кзантоломехашгческой задачи через функцию Грина другой задачи.

>

Дальнейшие работы по квантованию методом континуального интеграла конкретных точно решаемых квантовомеханических задач показали, что мера континуального интеграла относительно репараметризацни путей, сопровождающейся обычно еще к преобразованием континуальных интегралов, связанных с однородными точечными преобразованиями классической механики, не является инвариантной.

Для решения вопроса об инвариантности меры. при таких преобразованиях использовались два подхода к континуальному интегралу. В первом подходе континуальный интеграл определялся через дискретные аппроксимации. Во 'втором подходе, преодолевающем трудности первого, принималась точка зрения на континуальный интеграл как на интеграл* по мере Винера, а преобразование репараметризацни путей связывалось с известной из теории случайных процессов процедурой случайной замены времени. ,

г

Цель диссертационной работы — исследование свойств континуальных интегралов при помощи методов теории случайных процессов и распространение новых методов преобразования континуальных интегралов на континуальные интегралы, заданные на многообразиях, а также па континуальные интегралы, представляющие решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными высших порядков параболического типа.

I

Научные результаты и новизна работы

1. Показано, что процедура "подстановки нового времени" в континуальных интегралах состоит из двух преобразований: преобразования репараметризащщ путей и однородного точечного преобразования. Получена формула преобразований континуальных интегралов в одномерном пространстве при репараметризацни путей, когда случайная функция, изменяющая масштаб времени, зависит от двух переменных: от переменной, по которой идет интегрирование в континуальном интеграле, и от переменной времени. Выведена формула преобразования символов континуальных интегралов при реономном однородном точечном преобразовании.

2. Установлено интегральное соотношение между функциями Грина для двух одномерных квантовомеханичесхих задач с гамильтонианами общего вида. Показано, что в частном случае это соотношение переходит в формулу Шепна для континуальных интегралов - для

задач с нестационарными квадратичными.по.координатам потенциалами.

3. Методом континуального интеграла точно решена задача квантования нестационарного "водородоподобного" потенциала.

4. Получена формула преобразования континуальных интегралов на многообразиях при репараметризации путей.

5. Установлена связь между континуальными интегралами (функциями Грина) для квантовомеханичеекпх задач, описывающих движения на "скрученном" многообразии и на одном из его подмногообразий.'

6. Показано,- что при квантовании атома водорода методом континуального интеграла происходит взаимное сокращение якобианов, возникающих от преобразования репараметризации путей и от преобразования редукции динамической системы. Отмечена принципиальная возможность появления якобиана в континуальном интеграле при редукций динамической системы, обладающей симметрией.

7. Введена процедура случайной замены времени для случайных процессов, связанных с квазимерами.

8. Получены аналоги формул Гирсанова-Камерона-Мартина для ква-зимер, порожденных случайными процессами, которые используются в вероятностном представлении решений линейных дифференциальных уравнений с частными ирризводнымп четвертого л третьего порядков.

9. Для континуальных интегралов, представляющих решения таких уравнений, получены формулы преобразований при репараметризации путей,, и на их основе выведены интегральные соотношения между функциями Грина для потенциальных задач.

. Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты'могут быть использованы при квантовании динамических систем, при исследовании систем, обладающих стохастическим поведением, а также при решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-9] и докладывались на семинарах Отдела теоретической физи-. ки ИФВЭ, на семинаре Международного центра теоретической физики (г. Триест) и на семинаре в Лаборатории теоретической фпзики ОИЯИ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста и заключения, содержит список литературы (69 ссылок, 108 работ). Объем диссертации 144 страницы.

■ - V

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор современного состояния дел в области континуального интегрирования, определяются цели и задачи исследования, которое будет проводиться в диссертации. Помимо этого, здесь сравниваются преимущества и недостатки различных подходов к континуальному интегралу и обосновывается принятое1 в диссертации определение континуального интеграла. Это Определение состоит в следующем. .

Под континуальными интегралами в диссертации понимаются интегралы по .мерам, порожденным случайными процессами. Сами процессы' при таком определении задаются при помощи стохастических дифференциальных уравнений. Различие в определениях континуальных интегралов связацо с выбором вида стохастического дифференциального уравнения, используемого для этой Дели.

Каждому континуальному интегралу сопоставляется символ континуального интеграла. В качестве-символа использован символ гамильтонова континуального, интеграла ( или интеграла по фазовому пространству). Соответствие символа континуального интеграла континуальному интегралу по мере, порожденной случайным процессом, фиксируется тем, что для символа континуального интеграла, в котором стоит классический гамильтониан, выбирается вполне определенное правило квантования. Это правило таково, что получающийся оператор Гамильтона есть тот самый дифференциальный генератор случайного процесса, который определяет меру. • •

В первой главе диссертации излагаются необходимые сведения из теории случайных процессов. 4

■ 2о второй главе исследуются свойства континуальных интегралов по одномерному пространству, связанные с репараметрйзацией путей и однородными точечными преобразованиями переменных интегрирования.

Аналогом однородных точечных преобразований континуальных интегралов в случайных процессах служит фазовое преобразование процесса.

На основе этой взаимосвязи в диссертации показывается, как преобразуется континуальный интеграл с гамильтонианом общего вида под действием реономных однородных точечных преобразований:.

Преобразование репараметризации путей в континуальных интегралах также рассматривается с точки зрения случайных процессов. Для этой цели используется процедура случайной замены времени. Суть такой процедуры состоит в том, что в диффузионном процессе делается подстановка: вместо переменной I берется случайная функция ^(ш), которая определяется из решения следующего уравнения:

йц 1

л яШп)У 4 а

с произвольной, но удовлетворяющей ряду аналитических ограничений функцией д. В результате такой подстановки оказывается, что процесс связан с процессом т}{Ь,ш) = ^(г^ш),^). Для осуществления преобразования репараметризации путей случайная замена времени сделана в резольвенте полугруппы, ядром которой является плотность вероятности перехода (пли ядро оператора эволюции в случае уравнения Шрединтера).' Это приводит к интегральному соотношению между интегрированием функционалов по мерам /¿7 и д-, порожденным случайными процессами х\ и

Но поскольку стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет процесс не обладает видом, зафиксированным в определении континуального интеграла, то делается еще одно преобразование процесса — преобразование Гирсанова-Камерона-Мартяна. . После этого интегральное соотношение переписывается в виде формулы для преобразования символа континуального интеграла.

На основе формул преобразования континуальных интегралов при реономных однородных точечных преобразованиях переменных и при репараметризации путей (путем последовательного осуществления этих преобразований) в диссертации устанавливается интегральное соотношение между функциями Грина для квантовомеханнческих задач с нестационарными гамильтонианами. ,

Затем в этой главе рассмотрено два примера применения полученного интегрального соотношения. В первом примере показало, как из этого интегрального соотношения выводится формула Шеппа для континуальных

интегралов с нестационарными гамильтонианами, содержащими квадра тичные по координатам потенциалы.

Вторым примером является точное вычисление континуального инте грала для квантовомехаяической задачи с нестационарным гамильтониа ном

Я = Н- д СХР (~оЛ!21 - 1 а2 тгех2 , х £ (0,оо), а > 0, д < 0, 2т х 8

в области х £ [0,со).

В третьей главе диссертации исследуются континуальные интегра лы на конечномерном компактном многообразии. Здесь также континуаль ный интеграл определяется как интеграл по мере, порожденной случай ным процессом. Но процесс уже задан на многообразии. Такой случайны) процесс, определенный по методу Ю.Л.Даледкого через экспоненциально отображение на многообразии, имеет в качестве производящего генератор; оператор Лапласа-Бельтрами. В диссертации к производящему генерато ру дополнительно добавлены слагаемые, учитывающие вклад от члено: гамильтониана линейных по импульсам.

При помощи случайной замены времени в этой главе получена фор мула преобразования континуального интеграла при репараметризаци путей. В случае многообразия репараметризация путей в континуально] интеграле приводит к замене метрики многообразия на конформно эквв валентную, и вычисленный в диссертации якобиан такого преобразован!! имеет экспоненциальную часть (добавку к гамильтониану), пролорцис нальную разности скалярных кривизн этих метрик.

В этой же главе полученная формула применяется к задаче кванте вания атома водорода. Квантование атома водорода методом хоятинуатп ного интеграла выявило противоречия между различными подходами этой задаче при определении континуальных интегралов через дискреч ные аппроксимации. Спорным является вопрос о наличии или отсутстви якобианов при преобразовании континуального интеграла, а также вопро их сокращения.

В подходе .к континуальному интегралу, который реализуется в дш сертации, удается прояснить эту ситуацию. Здесь показывается, что пр преобразовании континуального интеграла якобианы от репараметризг ции путей и от преобразования Кустаанхеймо-Штифеля (нреобразоваши связанного с редукцией конкретной динамической системы атома вод( рода) сокращаются. Рассмотренный пример квантования атома водород

указывает на принципиальную возможность появления якобианов при редукции континуальных; интегралов в задачах, обладающих симметрией.

.¿другим применением формулы преобразования континуальных интегралов при репараметризации путей, выведенной "в этой главе, является ее использование для разделения переменных при движении частицы на "скрученном" многообразии. "Скрученное" многообразие — это многообразие, состоящее ш произведения двух подмногообразий. 'Метрика такого многообразия представляет собой сумму метрик двух подмногообразий, причем метрика одного из них содержит общий конформный множитель, зависящий от координат другого подмногообразия.

В результате применения формулы репараметризации путей в континуальных интегралах на многообразии в этой главе получено интегральное соотношение между функциями Грина для квантовых задач движений на "скрученном" многообразии и одном из его подмногообразий, которое ранее было выведено методом континуального интеграла только для частного вида многообразий.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию континуальных интегралов, связанных с линейными дифференциальными уравнениями с частными производными четвертого и третьего порядков параболического типа в одномерном пространстве. Такие континуальные интегралы, даже если они и "винероаские", при стандартном подходе восстановления счетной аддитивности меры уже не могут считаться интегралами по каким-либо мерам, а их следует рассматривать как интегралы по квазимерам. Под квазимерой понимается конечно-аддитивная мера, заданная на алгебре" цилиндрических множеств. Эта мера строится при помощи согласованной системы конечномерных распределений, а континуальный интеграл определяется как соответствующий слабый предел (при измельчении разбиения ) конечнократных интегралов.

Во вводной части главы (на примере процессов для дифференциальных ураинешш четвертого порядка) приводятся основные сведения о случайных процессах, связанных с квазимерамн.'Такие процессы имеют много общих (аналогичных) свойств с хорошо известными обычными случайными процессами.

Кроме изложения известных свойств таких процессов, во вводной части показано, что если распространить понятие стохастического интеграла на интегралы, у которых на пределах интегрирования стоят случайные функции (марковские моменты), то для процессов, связанных с квазимерами, можно ввести процедуру случайной замены времени. В диссертации

показано также, как применяется процедура случайной замены времени в стохастических дифференциальных уравнениях, списывающих такие процессы.

Кроме того, во вводной части этой главы при помощи аналога формулы Ито получена формула, обобщающая формулу Гирсанова-Камерона-Мартина, а также формула производящего генератора для полугруппы общего вида. ' '

Далее в этой главе случайные процессы, связанные с квазимерами, применяются для вывода формул преобразования континуальных интегралов при репараметризации путей. На основе случайной замены време-* ни это делается сначала для континуальных интегралов, представляющих решения дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка. Затем формула репараметризации путей используется для получения интегрального соотношения между функциями Грина для двух потенциальных задач.

В этой главе подобным же образом проводится исследование и континуальных интегралов, представляющих решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка. Для таких континуальных интегралов также получена формула преобразования при репараметризации путей и выведено интегральное соотношение между соответствующими функциями Грина.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертаций. 1 , ■ .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Storchak S.N. Paths reparametrization in the path integral for Morse potential: Preprint IHEP 82-20. — Serpukhov, 1982.

2. Сторчак C.H. Репараметризация e континуальном интеграле: Препринт ИФВЭ 83-157. — Серпухов, 1983.

3. Сторчак С.Н. Репараметризация путей в континуальном интеграле па конечномерном многообразии. // ТМФ. 1988. т. 75,№3. с. 403-415.

4. Storchak S.N. Rheonomic homogeneous point transformation and repararnet in the path integral // Pliys. Lett. 1989 v. A135. No. 2. p. 77-85.

5. Storchak S.N. Path integral solution for some time-dependent potential. // Phys. Lett. 1992. у. A161. p. 397-402.

6. Сторчак. C.H. Замечание 'о квантовании атома водорода методом континуального интеграла. // ТМФ. 1990. т. 82. №1.'С. 47-54.

7. Storchak S.N. Path integrals on warped product manifolds: IHEP Preprint 91-190. — Serpukhov, 1991.

8. Storchak S.N. Homogeneous point transformation and reparametrization in the path integral for the fourth order differential equation: Preprint IHEP 90-188. — Serpukhov, 1990.

9. Storchak S.N. A note on path reparametrization in the path integral for third order differential equation: Preprint IHEP 91-78, — Serpukhov, 1991.

Рукопись поступила 17 июня 1992 года.

С.Н.Сторчак.

Методы теории случайных процессов в континуальных интегралах.

Оригинал-макет подготовлен с помощью системы LWgX

Редактор Н.В.Ежела. Технический редактор Л.П.Тимкина.

Подписано к печати 18.06.1992 г. Формат 60 х 90/16.

Офсетная печать. Печ.л. 0,50. Уч.-изд.л. 0,69. Тираж 150. Заказ 322. Индекс 3649 Бесплатно.

Институт физики высоких энергий, 142284, Протвино Московской обл.