Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов

Алленов, Сергей Владимирович

Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Алленов, Сергей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов»

Автореферат диссертации на тему "Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов"

На правах

Аллёнов Сергей Владимирович

ДИАГРАММЫ ГАУССА И

ИНВАРИАНТЫ ВАСИЛЬЕВА УЗЛОВ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии физико-математического факультета Коломенского государственного педагогического института

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Лексин Владимир Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Ахметьев Пётр Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Дыиникои Иван Алексеевич

Ведущая организация - Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Защита состоится " 4 " декабря 2006 года в 16 часов в аудитории 301 на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, ауд. 204.

Автореферат разослан " 1%» ОуСут2ооб года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Карасёв Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и история вопроса. Классическая теория узлов и зацеплений, как часть топологии, изучает широкий круг задач, связанных с расположением одномерных многообразий внутри трехмерного пространства К3 или трехмерной сферы S3. Ее истоки восходят к концу восемнадцатого века. Уже у К. Гаусса в записных книжках встречаются заузленные геометрические объекты похожие на косы и узлы, он же вывел интегральную формулу для коэффициента зацепления двух замкнутых кривых в пространстве.

Основная задача теории узлов и зацеплений состоит в их классификации с точностью до изотопии в IR3. Эта задача полностью по решена до сих пор. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов.

Задачами теории узлов систематически начал заниматься П. Тейт под влиянием У. Томпсона (лорд Кельвин) в конце XIX века. Они предприняли попытку построения геометрической теории для решения некоторых задач из области математической физики.

Как самостоятельная ветвь топологии теория узлов сформировалась в начале 30-х годов XX века после работ Дж. Александера1, в которых был открыт полиномиальный инвариант узлов и установлена связь теории узлов с теорией кос. В 1933 г. К. Рейдемейстер2 определил движения, сводящие пространственную изотопию узлов к преобразованию их диаграмм на плоскости.

Полиномиальные инварианты играют важную роль в теории узлов. В последние годы построено много различных полиномиальных инвариантов, появление которых стимулировано работой В. Джонса3 в 1984 г. В этой работе был открыт новый подход к построению полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений. Полином Джонса различает некоторые узлы, не отличимые с помощью полинома Александера.

1 Alexander J.W. Topological invariants of knot and links, Transi. Amer. Math. Soc. 1923. V. 20. P. 275-306.

2Reidemeister K. Knotten und gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1933.

3Jones V.F.R., A polynomial invariant for links via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 198S. V. 129. P. 311-334.

М.Л. Концевича, M.H. Гусарова, Дж. Бирман и др. Инварианты узлов конечного порядка (называемые также в литературе "инвариантами Васильева") были введены В.А. Васильевым4 и М.Н. Гусаровым5 в начале 1990-х годов. На данный момент это самый сильный класс инвариантов. Подход В.А. Васильева основан на теории особенностей и использует дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов. Немногим позже М.Н. Гусаров независимо предложил более геометрическое описание этих инвариантов.

Пространство инвариантов конечного порядка имеет естественную фильтрацию. Соответствующее градуированное векторное пространство возможно описать в терминах хордовых диаграмм, которое имеет структуру алгебры Хопфа. Алгебра хордовых диаграмм активно изучалась в работал Д. Бар-Натана6, C.B. Дужина, С.К. Ландо, C.B. Чмутова7.

Связь классических полиномиальных инвариантов узлов с инвариантами конечного порядка изучалась Дж. Бирман, Кс. Лин8, И.А. Дынниковым9.

Значительный вклад в эту новую теорию был сделан М.Л. Концевичем10, построившим универсальный инвариант Z(K) для инвариантов конечного порядка узлов. Определение Концевича для Z(K) использует сложные кратные интегралы от логарифмических дифференциальных форм oj¡j = которые зависят от реализации узла как гладкой кривой в К3.

П. Картье, Т. Лс, Дж. Мураками и С. Пиунихин дали комбинаторную конструкцию для Z{K), использующую плоские диаграммы узлов и теорию категорий.

4 Vassiliev V.A. Cohomology of knot spaces// Theory of Singularities and its Applications. Adv. in Soviet Math. 1990. V.l. p. 23-69.

ьГусаров М.Н. Новая форма полинома Джонса-Конвея для ориентированных зацеплений// Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т. 193. № 1. 1894. С. 4-9.

"Bar-Natan D. On the Vassiliev knot invariants // Topology. 1995. V. 34. P. 423-475.

7Chmutov S.V., Duzhin S.V., Lando S.K. Vassiliev knot invariants I-III. - Adv. Sov. Math. № 21. 19941 P. 117-126.

8Birman J. and Lin X.S. Knot polynomials and Vassiliev's invariants // Invent. Math. .V ш, 1993. p, 225-270.

0Дынников И.А. Полином Александера многих переменных выражается через инварианты Васильева // УМН. 1997. Т. 52, № 1. С. 227-228.

10Kontsevidi M. Vassiliev's knot invariants// Adv. Soviet Math. 1993. V. 16. P. 137-150.

риантов второго порядка и для некоторых других инвариантов конкретных узлов. Естественно возникает задача о вычислении всех инвариантов Васильева, в частности, малых порядков и предъявлении для них явных формул.

Первые комбинаторные формулы для инвариантов Васильева второго и третьего порядков узлов описаны в 1993 г. в работе Ж. Ланна11.

В 1994 г. О.Я. Виро и М.Б. Поляк12 получили явные диаграммно-стрелочные формулы для этих же инвариантов и анонсировали формулу для одного из инвариантов четвертого порядка. Первоначальный вариант формулы для инвариантов четвертого порядка содержал неточность, которая была исправлена в 1997 г. О. Остлундом13.

В 1999 г. С.Д. Тюрина14 анонсировала диаграммно-стрелочные формулы для двух базисных инвариантов Васильева четвертого порядка, дополняющих инвариант Виро-Поляка.

В работе Т. Очиаи15 предъявлены явные комбинаторные формулы другого типа для инвариантов четвертого порядка, однако эти формулы до сих пор не доказаны.

Идея определения инвариантов Васильева по диаграмме Гаусса узла состоит в задании функции на их диаграммах Гаусса, которые должны эффективно вычисляться по достаточно простым комбинаторным правилам. Диаграммно-стрелочные формулы являются реализациями этого намерения.

М.Н. Гусаров16 в 1998 г. доказал теорему существования представления любого инварианта Васильева порядка не выше п V„(K) в виде стрелочного полинома Рп, определенного на диаграмме Гаусса Q(К) узла К по следующей формуле

Vn (K) = {Pn,Ç(K)),

где стрелочный многочлен Рп имеет порядок п (т.е. включает стрелочные диаграммы с не более чем п стрелками и хотя бы одну диаграмму с п стрелками).

11 Laanes Л. Sur les invariante ds Vassiliev de degreé inférieur ou égal à 3// L'Enseignement Mathématique. 1993. T. 39. 295-316.

12Polyak M., Viro O. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants// Int. Math. Res. Notices. 1994. V. 11. P. 445-453.

13Ôstlund О .-P. A Combinatorial approach to Vassiliev knot invariants. Preprint Uppsala University, 1997.

иТюрина С.Д. Диаграммные формулы типа Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка// УМН. 1999. Т. 54. № 3. С. 187-188.

15Odiiai T. The combinatorial Gauss diagram formula for Kontsevich intégral, GT/0006184.

ieGoussarov M.N. Finite type invariants are presented by Gauss diagram formulas

Цель диссертационной работы

1) построить явные диаграммно-стрелочные формулы для двух базисных инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов.

2) вычислить нормировочный множитель универсального инварианта Ва-сильева-Концевича неузла для универсальной весовой системы, отвечающей супералгебре Ли д[(1|1).

Научная новизна. Построены явные диаграммно-стрелочные формулы для двух инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Показано, что все ранее анонсированные другими авторами диаграммно-стрелочные формулы инвариантов четвертого порядка оказались неверными, в частности, подробно разобраны соответствующие контрпримеры. Анализируется интеграл Концевича для неузла и вычислен нормировочный множитель д[(1|1)-вссовой системы для универсального инварианта Васильева-Концевича пеузла.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах теории дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии и топологии, теории динамических систем, теории особенностей исследуемых в МГУ им. М.В. Ломоносова, СПбГУ, РГПУ им. А.И. Герцена, Челябинском ГУ.

Апробации результатов работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях: Международная конференция "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященная столетию Л.В. Келдыш (Москва, 2004); Всероссийская научнометодическая конференция "Геометрия „в целом" и преподавание геометрии и вузе и школе" (Великий Новгород, 2004); Международная конференция "Топология, анализ и приложения в математической физике", посвященная памяти проф. Ю.П. Соловьёва (Москва, 2005); Международная научная конференция "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения", (ТВМНА-2005) посвященная 85-летию профессора А.Д. Мышкиса и 75-летию профессора Ю.Г. Борисовича (Воронеж, 2005); Международная топологическая конференция "Александровские чтения - 2006", (Москва, 2006); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006), а

также на семинаре по алгебраической топологии и ее приложениям им. М.М. Постникова в МГУ им. М.В. Ломоносова и на научном семинаре по геометрии и топологии многообразий малых размерностей под руководством доктора физ.-мат. наук В.П. Лексина в Коломенском государственном педагогическом институте.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, списка литературы и приложения. В начале каждой главы приводится краткое введение и обзор известных работ, обсуждаются полученные результаты. Список литературы содержит 52 наименования. В приложение включены две таблицы. Объем диссертации 112 стр.

Содержание работы

Во введении обсуждается история проблемы, изучаемой в диссертационной работе. Приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации. Изложены основные результаты представляемой диссертации и её структура.

В первой главе даны необходимые определения, утверждения, обобщения некоторых известных результатов. Объектами нашего исследования являются узлы, сингулярные узлы и их кодировки.

Определяются инварианты конечного порядка (инварианты Васильева), затем приводятся примеры вычисления этих инвариантов.

Составлена таблица значений инвариантов Васильева до четвертого порядка включительно для узлов с не более десятью двойными точками. Она получена непосредственным вычислением инвариантов по определению с использованием основного соотношения Васильева.

Вводится модуль Васильева (объект, двойственный пространству инвариантов Васильева).

Под ориентированным узлом Я" : S1 —V К3 в диссертации понимается гладкое вложение ориентированной окружности S1 в трехмерное пространство м3.

Два узла называются эквивалентными, если существует сохраняющий ори-

ентацию гомеоморфизм пространства К3 в себя, переводящий один узел в другой.

Особое внимание уделено изучению свойств диаграмм Гаусса узлов. Они являются удобным способом кодирования ориентированных узлов.

Определение 1.4.1. Возьмём узел и его плоскую диаграмму, отметим на ориентированной окружности прообразы всех двойных точек плоской диаграммы узла. Пары, соответствующие одной двойной точке диаграммы соединим стрелкой, то есть хордой с направлением, по следующему правилу: ориентируем хорду от прообраза прохода к прообразу перехода. Каждой полученной стрелке сопоставим знак "+" или "—" в зависимости от типа перекрестка в соответствующей двойной точке диаграммы узла:

Построенный объект называется диаграммой Гаусса узла.

Приведём пример узла 61 и соответствующей ему диаграммы Гаусса (используются стандартные обозначения табличных узлов)

Узел однозначно восстанавливается по диаграмме Гаусса с точностью до изотопии.

Доказывается необходимое условие реализуемости диаграммы Гаусса.

Теорема 1.4.1. Если диаграмма Гаусса кодирует узел, то для любой стрелки все стрелки которые ее пересекают можно разбить на пары сона-правленных стрелок различных знаков или противоположно направленных стрелок одного знака.

Доказательство опирается на теорему Жордана и исследование типов перекрестков диаграммы узла.

Аналогичным образом можно сопоставить диаграмму Гаусса сингулярно-

точками называют регулярное погружение ориентированной окружности

му узлу.

Определение 1.1.2. Сингулярным узлом Кт : Э1 —> К3 ст сингулярными

81 в пространство К3, допускающее конечное число т двойных точек самопересечения с линейно-независимыми касательными векторами, в каждой из точек самопересечения.

Обозначим пространство сингулярных узлов с не более, чем ш двойными точками )Ст, в частности пространство узлов обозначим /Со- Отметим, что Кп С £„„ для всех т ^ п.

Диаграмма Гаусса сингулярного узла обобщает диаграмму Гаусса узла и получается из нее добавлением хорд с точкой, сопоставляемых сингулярным точкам узла. Эти хорды с точкой такие, что если хорду ориентировать в направлении точки, то знак соответствующего, определяемого возникшей стрелкой, перекрестка будет положительным.

Диаграммы Гаусса сингулярных узлов названы в диссертации стрслочно-хордовыми диаграммами.

Каждый инвариант узлов V: /Со -4 к со значениями в абелевой группе к можно продолжить на все пространство сингулярных узлов К.т для всех ш > 0 индуктивно по правилу:

(основное соотношение Васильева).

Определение 1.7.1. Инвариант Уп называется инвариантом Васильева порядка не выше п, если он принимает значение 0 на любом сингулярном узле Кт с числом двойных точек большем, чем п, т.е.

Порядком инварианта Васильева У„ называется минимальное неотрица-

Определяются стрелочные диаграммы и их вложеиия в диаграмму Гаусса узла, а также знаки этих вложений.

Стрелкой в окружности назовём ориентированную хорду, то есть хорду с

Уп(Кт) = 0 для любых т> п.

тельное число п, удовлетворяющее определению 1.7.1.

выбранным на ней направлением.

Определение 1.11.1. Стрелочной диаграммой называется ориентированная окружность с несколькими стрелками кратности 1 или 2. Стрелки кратности 2 будем обозначать на рисунке двойной стрелкой. Определение 1.11.2. Пусть Я{К) диаграмма Гаусса узла К. Поддиаграммой диаграммы Гаусса стрелочного типа А называется вложение у : А —► в (К), переводящее окружность в окружность с сохранением ориентации и каждую стрелку А в стрелку О (К), при этом кратность стрелок в диаграмме Гаусса не учитывается.

Заметим, что диаграмма Гаусса может иметь несколько различных поддиаграмм стрелочного типа А.

Назовем знаком е(А,у) поддиаграммы стрелочного типа А произведение знаков стрелок в образе вложения -у. При этом образ двойной стрелки стрелочной диаграммы всегда подсчитывается со знаком плюс.

Существуют стрелочные диаграммы, которые вкладываются в диаграмму Гаусса несколькими симметричными способами. Геометрически это означает, что новое вложение 7' получено из вложения 7 взятием композиции его с поворотом на некоторый угол относительно центра окружности, переводящим стрелочную диаграмму в себя.

Определение 1.11.3. Обозначим через {А,б(К)) алгебраическую сумму знаков всех поддиаграмм стрелочного типа А, при этом подсчитываем каждое симметричное вложение в диаграмму Гаусса Я {К) узла К отдельно

(Л, <?(#)) = Е

Г-А^К)

Положим по определению, что для формальной линейной комбинации стрелочных диаграмм щА{ с коэффициентами из заданного поля .Р,

выполняется равенство

к к

¿=1 «=1 Определение 1.11.4. Формальную линейную комбинацию стрелочных диаграмм будем называть стрелочным полиномом. Порядком т. стрелочного полинома Рт назовем максимальное количество стрелок в стрелочных диаграммах, которые его определяют.

Приведем примеры вычислений определённой величины

= 12 и

Формулы, определенные выражениями {Рт, Я (Л")), названы в диссертации диаграммно-стрелочными.

Вычисление инвариантов Васильева по определению весьма трудоемкое занятие. В работе [12] О.Я. Виро и М.Б. Поляк нашли явные диаграммно-стрелочные формулы для инвариантов второго и третьего порядков и поставили вопрос: Каждый ли инвариант Васильева длинного узла может быть определен по его диаграмме Гаусса некоторым стрелочным полиномом?

В 1998 г. М.Н. Гусаров ответил на этот вопрос положительно. Он доказал, что любой инвариант Васильева порядка п выражается через стрелочные полиномы. Отметим, что доказательство данной теоремы неконструктивное, т. е. не позволяет найти и описать явным образом стрелочные полиномы инвариантов узлов конечного порядка. Однако теорема Гусарова побуждает к поиску этих стрелочных полиномов.

Во второй главе вычисляется значение д((1|1)-весовой системы, применённой к интегралу Концевича неузла. Это значение является нормировочным множителем для универсального инварианта Васильсва-Концсвича узла, отвечающего супералгебре Ли дГ(1|1). Используемая весовая система есть функция, определенная на пространстве хордовых диаграмм, со значениями в центре 2, универсальной обертывающей алгебры для 0[(1|1),

Изучаются свойства алгебры хордовых диаграмм, алгебры диаграмм Фей-нмана, алгебры графов Фейнмана.

Определяется интеграл Концевича Я{К), задающий инвариант морсов-ского узла со значениями в пополненной алгебре хордовых диаграмм. Интеграл Концевича неинвариантен относительно деформаций, меняющих число критических точек проекции узла. Следующая модификация интеграла Концевича представляет собой настоящий инвариант узла (универсальный инвариант Васильева-Концевича)

1{К) =

2{К)

жеО)^'

где qJ) - общепринятое обозначение неузла с четырьмя критическими точками, а т(К) - число критических точек узла К.

1(К) называется универсальным инвариантом Васильева-Концевича. Все инварианты Васильева получаются из него применением некоторых весовых систем к хордовым диаграммам, входящим в выражение интеграла.

Вычислен знаменатель в указанной формуле с использованием универсальной д[(1|1)-весовой системы. Это значение является нормировочным множителем необходимым при вычислении инвариантов узлов.

Определяется весовая система, отвечающая супералгебре Ли g[(l|l). Пусть 0[(1|1) - матричная супералгебра Ли суперпространства С1'1. Рассмотрим универсальную весовую систему Wei(i|i) со значениями в центре Z(£/(gi(l|l))) универсальной обёртывающей алгебры t/(g[(l|l)) супералгсбры Ли gl(l|l). Известно, что ¿Г(Г/(д[(1|1))) = С[и, с], где и есть образ единичной матрицы в универсальной обертывающей алгебре U(gl(l|l)), а с - квадратичный элемент Казимира в t/(gl(l|l)).

Весовая система WB[(i|i) определяется следующими значениями на элементарных графах Фейнмана (см. 17).

Wmi)(Y) = -и2 и И/В1(1т( —) = с.

Формулу интеграла Концевича неузла в терминах графов Фейнмана а>2П получили Д. Бар-Натан, С. Гарифалидис, Л. Розанский, Д. Тёрстон18. Рассмотрим "колеса" Ш2П, то есть графы Фейнмана вида:

U)2= j/ , Uli > '"••

произведение на них определяется как несвязное объединение (обозначим его U) графов Фейнмана.

Теорема 2.4.1. ([18]). Интеграл Концевича неузла выражается равенством:

Z({J)) = expu 1 У; Ь2пШ2п

\Т1>1

17 Вайнтроб А. Универсальные системы весов и расширение Мелвина-Мортона цветных инвариантов Джонса для узлов // Итоги науки и техники. Т. 34, ВИНИТИ, М., 2001, С. 195-216.

18 Bar-Natan D-, Garoufalidis S., Rozansky L., Thurston D. Wheels, wheeling, and the Kontsevich integral of the unknot // Israel J. Math. V. 119. 2000.

где ехри вычисляется как формальная экспонента линейной комбинации графов Фейнмана и>2П, ¿>2п - числа Бернулли, определяемые равенством

Сформулируем полученные результаты. Лемма 2.5.1. Имеет место следующее рекуррентное равенство для 0[(1|1)-весовой системы на графах Фейнмана Ш2П

Доказательство использует фундаментальные соотношения универсальной весовой системы И^хц) и некоторые вычисления для графов Фейнмана

п-

Лемма 2.5.2. Для натурального п = щ + пг + ■ • • 4- п* имеем

Доказательство следует из свойства мультипликативности 01(1|1)-весовой системы, нормировочных условий и леммы 2.5.1.

Теорема 2.5.3. Универсальной весовой системе И^щц) супералгсбры Ли д1(1|1) отвечает следующее значение интеграла Коицевича от пеузла

Доказательство опирается на применение весовой системы И^щ) к интегралу Концевича неузла, использует определение чисел Бернулли и леммы 2.5.1. и 2.5.2.

В третьей главе опровергаются Явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка, которые были анонсированы разными авторами [12, 14].

^0Г(1|1)(У2П1 и ■ • •ищ2„1) = (-2)ки2п.

исправил О.-П. Остлунд в 1997 году. Диаграммно-стрелочпые формулы для двух других базисных инвариантов четвертого порядка V* и V43 были анонсированы С.Д. Тюриной в 1999 году.

Доказывается, что ни одна из указанных формул не задаёт инвариант Васильева четвертого порядка. Для этого в каждом случае строится контрпример. Мы указываем диаграмму некоторого узла и третье движение Рей-демейстера в ней, относительно которого рассматриваемая формула неинвариантна.

Доказывается неипвариантность формулы О.Я. Виро, М.Б. Поляка, О.П. . Остлунда для инварианта узлов четвертого порядка относительно третьего движения Рейдемейстера для правого трилистника, заданного диаграммой с семью перекрёстками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 77 сменой "прохода" на "переход" в одном из перекрестков.

Опровергаются две формулы, анонсированные С.Д. Тюриной для инвариантов четвертого порядка. Показано, что первая формула неинвариантна, например, относительно третьего движения Рейдемейстера для связной суммы двух левых трилистников, заданных диаграммой с восемью двойными точками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 821. Затем рассмотрен правый трилистник, заданный диаграммой с восемью пересечениями, диаграмма узла получена из табличной диаграммы узла Sis- Доказано, что вторая формула также не инвариантна относительно третьего движения для этого узла. То есть формулы из [12, 14] не определяют ни одного инварианта четвертого порядка.

В четвёртой главе построены явные диаграммно-стрелочпые формулы инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Доказана инвариантность полученных диаграммно-стрелочных формул относительно всех движений Рейдемейстера.

Точнее, указаны два стрелочных полинома Р| и Р42, определенных на диаграммах Гаусса узлов. Полином Р\ определяет однородный чётный инвариант V4, а неоднородный чётный инвариант V"42 четвертого порядка для узлов. Коэффициенты в формулах для стрелочных полиномов Pl и получены с помощью анализа переопределенных систем линейных уравнений с большим числом неизвестных.

Опишем более подробно результаты данной главы.

Детально проанализированы движения Рейдемейстера для ориентированных узлов. Выделены движения, достаточные для установления эквивалентности диаграмм Гаусса узлов.

Любая композиция последовательности движений Рейдемейстера диаграммы Гаусса произвольного узла, может быть представлена как композиция последовательности движений Рейдемейстера диаграммы Гаусса, изображенных на рис. ниже:

Неизвестно никакого критерия, позволяющего каким-то образом выбирать необходимые стрелочные диаграммы для включения их в стрелочный полином для инварианта конечного порядка. В силу этого мы берём стрелочный полином Р = Ylj xjSj, содержащий всевозможные стрелочные диаграммы Sj с не более чем четырьмя стрелками. Составляется матричное уравнение UX = V4, где U - матрица коэффициентов иц = (Sj,Q(Ki)), X = (xj) -столбец неизвестных коэффициентов в искомом стрелочном полиноме, V4 -значения некоторого инварианта Васильева четвертого порядка для последовательности табличных узлов. Замечено, что при увеличении количества рассматриваемых узлов, начиная с некоторого номера, ранг матрицы U стабилизируется и не увеличивается при увеличении размера U, т.е. при увеличении количества рассматриваемых табличных узлов. Этот ранг равен 36. Для V41 и V42 составлены матричные уравнения UX = V4 и UX = У42. Эти уравнения решены с помощью системы компьютерной математики Maple. Получены стрелочные полиномы Pi и которые указаны ниже.

Теорема 4.6.1. Если Q{K) - диаграмма Гаусса узла К, то

V}{K) = (Pl,Q(K))

является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 1 на узле 4х, значение 0 на узлах З1, 5х и 5г, где стрелочный полином Р1 имеет вид

+ 2'

+ 4'

Теорема 4.7.1. Если О [К) - диаграмма Гаусса узла К, то

у*{К) = {Р1МК))

является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 3 на узле З1, 4 - на узле 25 - на узле 61, 13 - на узле 5г, где полином Р| имеет вид

Ра =

+<е>+г.<е>+<о>+..

+ 2-

+ 2.

+ 2-

+ 3-

+ 2.

Доказано, что стрелочные полиномы Р4 и Р| инвариантны относительно всех движений Рейдемейстера и задают два линейно-независимых инварианта Васильева четвертого порядка. Центральное место в доказательстве занимает метод фрагментов диаграммы Гаусса Я {К). Доказывается, что инварианты и {К) имеют четвёртый порядок.

Лемма 4.8.2. Пусть Уп(К) = (Рп,Я(К)) - инвариант узлов и Рп стрелочный полином п-го порядка, тогда инвариант Уп имеет порядок не выше п.

Доказательство опирается на определение инвариантов конечного порядка и использует индуктивное правило преобразования стрелочно-хордовой диаграммы в(Кп+1) сингулярного узла в линейную комбинацию диаграмм Гаусса узлов.

Теорема 4.9.1. Порядок каждого из инвариантоб V^(K) и V/(K) равен четырем.

Основным моментом в доказательстве является вычисление весовых систем, которые задаются инвариантами V4 и V42. Используется разложение сингулярных узлов в модуле Васильева.

Теорема 4.10.1. Инварианты V,V/ и квадрат инварианта второго порядка (V2)2 образуют аддитивный базис в пространстве инвариантов Васильева четвертого порядка, с точностью до инвариантов порядка не выше трёх.

Произвольный инвариант Васильева порядка не выше четырёх f(K) можно разложить по указанному выше базису следующим образом:

f(K) = Vf (К). (3/(30 + /(40 - /(52)) + Vi(K). (™/(3i) + ¿/(31)" -|/(50 + |/(52>) + СVi)\K) • (|/(3x) - ¿Д3J) + lf(Si) - §/(52)) +

+ v3(К) ■ (i/(3l) - |/(3Î)) + V2(K). (¡f(3l) + ¿/(3Î) - ¿/(5x) -\f(Sa))'.

Таким образом, для пространства инвариантов Васильева узлов до четвертого порядка включительно дано комбинаторное описание в терминах стрелочных диаграмм.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук Владимиру Павловичу Лексину за постановку задач и большую помощь в написании работы.

Работы автора по теме диссертации

1. АЛЛЁНОВ C.B. Диаграммно-стрелочные формулы инвариантов узлов четвертого порядка. Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, № 5. с. 3-17. (0,95 печ.л.)

2. АЛЛЁНОВ C.B., ЛЕКСИН В.П. О диаграммных формулах инвариантов узлов. Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2006. Т. 252. с. 10-17. (0,5 печ.л. вклад автора 70%)

3. АЛЛЕНОВ C.B. Универсальные весовые системы и интеграл Концевича неузла. Современная математика и её приложения, Труды Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, - Тбилиси, 2006. Т. 38, № 3. с. 3-9. (0,44 печ.л.)

4. АЛЛЁНОВ C.B. Инварианты узлов четвертого порядка и их вычисление. Сборник научных статей аспирантов и соискателей (Начало). -Коломна: КГПИ 2006. вып! 5. с. 191-197. (0,35 печ.л.) ~

5. АЛЛЁНОВ C.B. Весовые аппроксимации интеграла Концевича, Тезисы докладов мсжд. конференции "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященной столетию JI.B. Келдыш, Матем. институт им. В.А. Стеклова, М. 2004. с. 23-24. (0,06 печ.л.)

6. АЛЛЁНОВ C.B. Универсальные весовые системы супералгебры 0Î(1|1) и аппроксимация интеграла Концевича для неузла, Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия „в целом" и преподавание геометрии в вузе и школе", - РГПУ им. А.И. Герцена, НГУ им. Ярослава Мудрого, Великий Новгород. 2004. с. 20-23. (0,2 печ.л.)

7. АЛЛЁНОВ C.B. Комбинаторные формулы базисных инвариантов четвертого порядка, Тезисы докладов межд. конференции "Топология, анализ и приложения в математической физике", посвященной памяти проф. Ю.П. Соловьёва, - МГУ, М. 2005. с. 6-7. (0,1 печ.л.)

8. ALLYONOV S.V. Arrow diagram formulae for knot invariant, Материалы межд. научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения", посвященной 85-летию профессора А.Д. Мышкиса и 75-летию профессора Ю.Г. Борисовича, - ВГУ, Воронеж. 2005. с. 4-5. (0,06 печ.л.)

9. АЛЛЁНОВ C.B. Явные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов, Тезисы докладов межд. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, - ВлГУ, Суздаль. 2006. с. 18-19. (0,1 печ.л.)

№

Подл, к печ. 12.10.2006 Объем 1 п.л. Заказ №. 156 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Алленов, Сергей Владимирович

Введение

1 Узлы, сингулярные узлы и их кодировки

1.1 Узлы, сингулярные узлы и их плоские диаграммы.

1.2 Изотопическая эквивалентность узлов.

1.3 Движения Рейдемейстера

1.4 Диаграммы Гаусса узлов

1.5 Движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса.

1.6 Сингулярные узлы и хордовые диаграммы.

1.7 Инварианты Васильева.

1.8 Размерности пространств хордовых диаграмм и весовых систем. Теорема Концевича.

1.9 Модуль Васильева

1.10 Таблицы для инвариантов малых порядков

1.11 Стрелочные полиномы

1.12 Примеры вычислений значений стрелочных полиномов

1.13 Условия инвариантности диаграммно-стрелочных формул

1.14 Теорема Гусарова.

2 Универсальные весовые системы и интеграл Концевича неузла

2.1 Алгебра графов Фейнмана.

2.2 Универсальный инвариант Васильева-Концевича.

2.3 Универсальные весовые системы, отвечающие супералгебре

Ли д[(1|1).

2.4 Интеграл Концевича неузла.

2.5 Нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича.

3 Контпримеры к некоторым формулам инвариантов Васильева четвертого порядка

3.1 Диаграммно-стрелочные формулы.

3.2 Обсуждение диаграммных формул и контрпримеров.

3.3 Опровержение формулы Виро-Поляка для инварианта четвертого порядка

3.4 Опровержение формул Тюриной для базисных инвариантов четвертого порядка.

4 Комбинаторные формулы базисных инвариантов четвертого порядка

4.1 Обзор и обсуждение результатов.

4.2 Анализ движений Рейдемейстера.

4.3 Порождающие движения Рейдемейстера на диаграммах Гаусса

4.4 Поиск диаграммно-стрелочных формул инвариантов Васильева четвертого порядка.

4.5 Решение системы уравнений

4.6 Однородный инвариант узлов четвертого порядка.

4.7 Неоднородный инвариант узлов четвертого порядка.

4.8 Порядок диаграммно-стрелочных инвариантов

4.9 О порядке инвариантов Vi(K) и V£(K).

4.10 Базис инвариантов четвертого порядка.

4.11 Разложение произвольного инварианта порядка не выше четырех по базису

Введение диссертация по математике, на тему "Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов"

Актуальность И история вопроса. Классическая теория узлов и зацеплений, как часть топологии, изучает широкий круг задач, связанных с расположением одномерных многообразий внутри трехмерного пространства R3 или трехмерной сферы §3. Ее истоки восходят к концу восемнадцатого века. Уже у К. Гаусса в записных книжках встречаются заузленные геометрические объекты похожие на косы и узлы, он же вывел интегральную формулу для коэффициента зацепления двух замкнутых кривых в пространстве.

Основная задача теории узлов и зацеплений состоит в их классификации с точностью до изотопии в ®3. Эта задача полностью не решена до сих пор. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов.

Задачами теории узлов систематически начал заниматься П. Тейт [49] под влиянием У. Томпсона (лорд Кельвин) в конце XIX века. Они предприняли попытку построения геометрической теории для решения некоторых задач из области математической физики.

Как самостоятельная ветвь топологии теория узлов сформировалась в начале 30-х годов XX века после работ Дж. Александера [25], в которых был открыт полиномиальный инвариант узлов и установлена связь теории узлов с теорией кос. В 1933 г. К. Рейдемейстер [46] определил движения, сводящие пространственную изотопию узлов к преобразованию их диаграмм на плоскости.

Полиномиальные инварианты играют важную роль в теории узлов. В последние годы построено много различных полиномиальных инвариантов, появление которых стимулировано работой В. Джонса [35] в 1984 г. В этой работе был открыт новый подход к построению полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений. Полином Джонса различает некоторые узлы, не отличимые с помощью полинома Александера.

Вскоре полиномиальные инварианты получили обобщение в конструкциях квантовых инвариантов узлов, в теории инвариантов конечного порядка. Наиболее значимые результаты здесь получены в последние три десятилетия. Эти достижения связаны с именами Дж. Конвея, В. Джонса, В.А. Васильева, МЛ. Концевича, М.Н. Гусарова, Дж. Бирман и др. Инварианты узлов конечного порядка (называемые также в литературе "инвариантами Васильева") были введены В.А. Васильевым [50] и М.Н. Гусаровым [13] в начале 1990-х годов. На данный момент это самый сильный класс инвариантов. Подход В. А. Васильева основан на теории особенностей и использует дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов. Немногим позже М.Н. Гусаров независимо предложил более геометрическое описание этих инвариантов.

Пространство инвариантов конечного порядка имеет естественную фильтрацию. Соответствующее градуированное векторное пространство возможно описать в терминах хордовых диаграмм, которое имеет структуру алгебры Хопфа. Алгебра хордовых диаграмм активно изучалась в работах Д. Вар-Натана [26], С.В. Дужина, С.К. Ландо, С.В. Чмутова [31].

Связь классических полиномиальных инвариантов узлов с инвариантами конечного порядка изучалась Дж. Бирман, Кс. Лин [29], И.А. Дынни-ковым [16].

Значительный вклад в эту новую теорию был сделан МЛ. Концевичем [37], построившим универсальный инвариант Z(K) для инвариантов конечного порядка узлов. Определение Концевича для Z(K) использует сложные кратные интегралы от логарифмических дифференциальных форм d(zi-zj) КОТОрЫе зависят от реализации узла как гладкой кривой в R3.

J Z\ Zj

П. Картье [30], Т. Ле, Дж. Мураками [39] и С. Пиунихин [44] дали комбинаторную конструкцию для Z(K), использующую плоские диаграммы узлов и теорию категорий.

Нахождение всех инвариантов конечного порядка для произвольных узлов в явном виде с помощью интеграла Концевича Z(K) требует сложных аналитических вычислений. Такие вычисления проведены только для инвариантов второго порядка и для некоторых других инвариантов конкретных узлов (см. [24]). Естественно возникает задача о вычислении всех инвариантов Васильева, в частности, малых порядков и предъявлении для них явных формул.

Первые комбинаторные формулы для инвариантов Васильева второго и третьего порядков узлов описаны в 1993 г. в работе Ж. Ланна [38].

В 1994 г. О.Я. Виро и М.Б. Поляк [43] получили явные диаграммно-стрелочные формулы для этих же инвариантов и анонсировали формулу для одного из инвариантов четвертого порядка. Первоначальный вариант формулы для инвариантов четвертого порядка содержал неточность, которая была исправлена в 1997 г. О. Остлундом [41].

В 1999 г. С.Д. Тюрина [21] анонсировала диаграммно-стрелочные формулы для двух базисных инвариантов Васильева четвертого порядка, дополняющих инвариант Виро-Поляка.

В работе Т. Очиаи [40] предъявлены явные комбинаторные формулы другого типа для инвариантов четвертого порядка, однако эти формулы до сих пор не доказаны.

М.Н. Гусаров [34] в 1998 г. доказал теорему существования представления любого инварианта Васильева порядка не выше п Vn(K) в виде стрелочного полинома Рп, определенного на диаграмме Гаусса Q{K) узла К по следующей формуле vn(K) = (рп,от, где стрелочный многочлен Рп имеет порядок п (т.е. включает стрелочные диаграммы с не более чем п стрелками и хотя бы одну диаграмму с п стрелками).

Цель диссертационной работы

2) вычислить нормировочный множитель универсального инварианта Васильева-Концевича неузла для универсальной весовой системы, отвечающей супералгебре Ли |1).

Научная новизна. Построены явные диаграммно-стрелочные формулы для двух инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Показано, что все ранее анонсированные формулы инвариантов четвертого порядка оказались неверными, в частности, подробно разобраны соответствующие контрпримеры. Анализируется интеграл Концевича для неузла и вычислен нормировочный множитель д1(1|1)-весовой системы для универсального инварианта Васильева-Концевича неузла.

Содержание работы

Вводится модуль Васильева (объект, двойственный пространству инвариантов Васильева).

Под ориентированным узлом К : S1 —> R3 в диссертации понимается гладкое вложение ориентированной окружности S1 в трехмерное пространство R3.

Два узла называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм пространствам3 в себя, переводящий один узел в другой.

Определение 1.4.1. Возьмём узел и его плоскую диаграмму, отметим на ориентированной окружности прообразы всех двойных точек плоской диаграммы узла. Пары, соответствующие одной двойной точке диаграммы соединим стрелкой, то есть хордой с направлением, по следующему правилу: ориентируем хорду от прообраза прохода к прообразу перехода. Каэ/сдой полученной стрелке сопоставим знак "+" или "—" в зависимости от типа перекрестка в соответствующей двойной точке диаграммы узла:

Построенный объект называется диаграммой Гаусса узла.

Приведём пример узла 6i и соответствующей ему диаграммы Гаусса (используются стандартные обозначения табличных узлов [23])

Узел однозначно восстанавливается по диаграмме Гаусса с точностью до изотопии.

Доказывается необходимое условие реализуемости диаграммы Гаусса.

Теорема 1.4.1. Если диаграмма Гаусса кодирует узел, то для любой стрелки все стрелки которые ее пересекают моэюпо разбить на пары сонаправленпых стрелок различных знаков или противоположено направленных стрелок одного знака.

Доказательство опирается на теорему Жордана и исследование типов перекрестков диаграммы узла.

Аналогичным образом можно сопоставить диаграмму Гаусса сингулярному узлу.

Определение 1.1.2. Сингулярным узлом Кт : S1 —> R3 cm сингулярными точками называют регулярное погружение ориентированной окружности S1 в пространство R3, допускающее конечное число т двойных точек самопересечения с линейно-независимыми касательными векторами, в каждой из точек самопересечения.

Обозначим пространство сингулярных узлов с не более, чем т двойными точками Кт, в частности пространство узлов обозначим JCq. Отметим, что Кп С Кт, для всех т ^ п.

Диаграммы Гаусса сингулярных узлов названы в диссертации стрелочно-хордовыми диаграммами.

Каждый инвариант узлов V: /Со —5► к со значениями в абелевой группе к можно продолжить на все пространство сингулярных узлов Кт для всех ш > 0 индуктивно по правилу: основное соотношение Васильева).

Определение 1.7.1. Инвариант Vn называется инвариантом Васильева порядка не выше п, если он принимает значение 0 на любом сингулярном узле Кт с числом двойных точек большем, чем п, т.е.

Vn(Km) = 0 для любых 772 > п.

Порядком инварианта Васильева Vn называется минимальное неотрицательное число тг, удовлетворяющее определению 1.7.1.

Определяются стрелочные диаграммы и их вложения в диаграмму Гаусса узла, а также знаки этих вложений.

Стрелкой в окружности назовём ориентированную хорду, то есть хорду с выбранным на ней направлением.

Определение 1.11.2. Пусть Q{K) диаграмма Гаусса узла К. Поддиаграммой диаграммы Гаусса стрелочного типа А называется вложение 7 : А —> Q{K), переводящее окружность в окружность с сохранением ориентации и каждую стрелку А в стрелку Q{K), при этом на кратность стрелок при вложении в диаграмму Гаусса не обращаем внимания.

Заметим, что диаграмма Гаусса может иметь несколько различных поддиаграмм стрелочного типа А.

Назовем знаком е(А, 7) поддиаграммы стрелочного типа А произведение знаков стрелок в образе вложения 7. При этом образ двойной стрелки стрелочной диаграммы всегда подсчитывается со знаком плюс.

Определение 1.11.3. Обозначим через (A,Q(K)) алгебраическую сумму знаков всех поддиаграмм стрелочного типа А, при этом подсчитываем каждое симметричное вложение в диаграмму Гаусса Q(K) узла К отдельно лмю)= £ гА-+в(к)

Положим по определению, что для формальной линейной комбинации стрелочных диаграмм Х)г"=1 с коэффициентами из заданного поля F, выполняется равенство к к i=i

Определение 1.11.4. Формальную линейную комбинацию стрелочных диаграмм будем называть стрелочным полиномом. Порядком т стрелочного полинома Рт назовем максимальное количество стрелок в стрелочных диаграммах, которые его определяют.

Приведем примеры вычислений определённой величины

Формулы, определенные выражениями (Рт, Q(K)), названы в диссертации диаграммно-стрелочными.

Вычисление инвариантов Васильева по определению весьма трудоемкое занятие. В работе [43] О.Я. Виро и М.Б. Поляк нашли явные диаграммно-стрелочные формулы для инвариантов второго и третьего порядков и поставили вопрос: Каждый ли инвариант Васильева длинного узла может быть определен по его диаграмме Гаусса некоторым стрелочным полиномом?

Во второй главе вычисляется значение 0[(1|1)-весовой системы, применённой к интегралу Концевича неузла. Это значение является нормировочным множителем для универсального инварианта Васильева-Концевича узла, отвечающего супералгебре Ли £jt(l|l). Используемая весовая система есть функция, определенная на пространстве хордовых диаграмм, со значениями в центре Z универсальной обертывающей алгебры для fll(l|l).

Изучаются свойства алгебры хордовых диаграмм, алгебры диаграмм Фейнмана, алгебры графов Фейнмана.

Определяется интеграл Концевича Z(K), задающий инвариант морсов-ского узла со значениями в пополненной алгебре хордовых диаграмм. Интеграл Концевича неинвариантен относительно деформаций, меняющих число критических точек проекции узла. Следующая модификация интеграла Концевича представляет собой настоящий инвариант узла (универсальный инвариант Васильева-Концевича) т =

V ' Г7 / П \ т(АГ)

ОД) 2 где (^j - общепринятое обозначение неузла с четырьмя критическими точками, а т(К) - число критических точек узла К.

Вычислен знаменатель в указанной формуле с использованием универсальной 01(1[1)-весовой системы. Это значение является нормировочным множителем необходимым при вычислении инвариантов узлов.

Определяется весовая система, отвечающая супералгебре Ли fl[(l)l). Пусть (jt(l|l) - матричная супералгебра Ли суперпространства С1'1. Рассмотрим универсальную весовую систему Wfl[(i|i) со значениями в центре Z(U(qI(1\1))) универсальной обёртывающей алгебры £/(gl(l|l)) супералгебры Ли fll(l|l)). Известно [12], что Z(U(qI( 1|1))) = С[и,с], где и есть образ единичной матрицы в универсальной обертывающей алгебре [/(^((l |1)), а с - квадратичный элемент Казимира в U(qI( 1|1)).

Весовая система W0[(i|i) определяется следующими значениями на элементарных графах Фейнмана (см. [12]).

Wfl[(i|i)(Y) = -у2 и W0[(i|i)(-) = с.

Формулу интеграла Концевича неузла в терминах графов Фейнмана uj2n получили Д. Бар-Натан, С. Гарифалидис, JI. Розанский, Д. Тёрстон [27]. Рассмотрим "колеса" Ш2П, то есть графы Фейнмана вида: произведение на них определяется как несвязное объединение (обозначим его U) графов Фейнмана.

Теорема 2.4.1. ([27]). Интеграл Концевича неузла выраэюается равенством: где ехри вычисляется как формальная экспонента линейной комбинации графов Фейнмана Ш2П, Ь2п - числа Бернулли, определяемые равенством

Сформулируем полученные результаты. Лемма 2.5.1. Имеет место следующее рекуррентное равенство для gl(l|l)-eecoeou системы на графах Фейнмана и)2П

Щ{\\\)(ъ)2п) = u2Ws[m(uJ2n-2)

Доказательство использует фундаментальные соотношения универсальной весовой системы Wfl[(i|i) и некоторые вычисления для графов Фейнмана w2n.

Лемма 2.5.2. Для натурального п = п\ + п2 Н-----Ь Щ имеем

Доказательство следует из свойства мультипликативности 0[(1|1)-весовой системы, нормировочных условий и леммы 2.5.1.

Теорема 2.5.3. Универсальной весовой системе Wfl[(i|i) супералгебры Ли flt(l|l) отвечает следующее значение интеграла Концевича от неузла п> 1 Ь2пх2п = 1Н

2 х/2 •

Wmi){uJ2ni U Uj2n2 U . U U2nk) = (-2)ku2n.

Доказательство опирается на применение весовой системы W^iji) к интегралу Концевича неузла, использует определение чисел Бернулли и леммы 2.5.1 и 2.5.2.

В третьей главе опровергаются явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка, которые были анонсированы разными авторами [43], [21].

В 1994 году О.Я. Виро и М.Б. Поляком были построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева второго и третьего порядков, определенные по диаграмме Гаусса узла. Более того, была анонсирована формула одного из трех базисных инвариантов четвертого порядка V41, которую исправил О.-П. Остлуид в 1997 году. Диаграммно-стрелочные формулы для двух других базисных инвариантов четвертого порядка VI и У43 были анонсированы С.Д. Тюриной в 1999 году.

Доказывается неинвариантность формулы О.Я. Виро, М.Б. Поляка, О.П. Остлунда для инварианта узлов четвертого порядка относительно третьего движения Рейдемейстера для правого трилистника, заданного диаграммой с семью перекрёстками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла li сменой "прохода" на "переход" в одном из перекрестков.

Опровергаются две формулы, анонсированные С.Д. Тюриной для инвариантов четвертого порядка. Показано, что первая формула неинвариантна, например, относительно третьего движения Рейдемейстера для связной суммы двух левых трилистников, заданных диаграммой с восемью двойными точками. Эта диаграмма получена из табличной диаграммы узла 821. Затем рассмотрен правый трилистник, заданный диаграммой с восемью пересечениями, диаграмма узла получена из табличной диаграммы узла 8is-Доказано, что вторая формула также не инвариантна относительно третьего движения для этого узла. То есть формулы из [43], [21] не определяют ни одного инварианта четвертого порядка.

В четвёртой главе построены явные диаграммно-стрелочные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов. Доказана инвариантность полученных диаграммно-стрелочных формул относительно всех движений Рейдемейстера.

Точнее, указаны два стрелочных полинома и Р|, определенных на диаграммах Гаусса узлов. Полином Pj определяет однородный чётный инвариант VI, а Р| неоднородный чётный инвариант V/ четвертого порядка для узлов. Коэффициенты в формулах для стрелочных полиномов Pj и Р| получены с помощью анализа переопределенных систем линейных уравнений с большим числом неизвестных.

Опишем более подробно результаты данной главы.

Неизвестно никакого критерия, позволяющего каким-то образом выбирать необходимые стрелочные диаграммы для включения их в стрелочный полином для инварианта конечного порядка. В силу этого мы берём стрелочный полином Р = ^ XjSj, содержащий всевозможные стрелочные диаграммы Sj с не более чем четырьмя стрелками. Составляется матричное уравнение UX = V\, где U - матрица коэффициентов иц = {Sj, Q(Ki)), X = (xj) - столбец неизвестных коэффициентов в искомом стрелочном полиноме, V4 - значения некоторого инварианта Васильева четвертого порядка для последовательности табличных узлов. Замечено, что при увеличении количества рассматриваемых узлов, начиная с некоторого номера, ранг матрицы U стабилизируется и не увеличивается при увеличении размера U, т.е. при увеличении количества рассматриваемых табличных узлов. Этот ранг равен 36. Для У/ и составлены матричные уравнения UX = VI и UX = V42. Эти уравнения решены с помощью системы компьютерной математики Maple. Получены стрелочные полиномы Р4* и Р|, которые указаны ниже.

Теорема 4.6.1. Если Q(K) - диаграмма Гаусса узла К, то v№ = (Pl,g(K)) является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 1 па узле 4i, значение 0 на узлах Зь 5i и 5г, где стрелочный полином Р| имеет вид

Теорема 4.7.1. Если Q{K) - диаграмма Гаусса узла К, то v?(K) = {p!,g(K)> является инвариантом Васильева четвертого порядка, который принимает значение 3 на узле 3i, 4 - на узле 4i, 25 - на узле 13 - на узле 5г, где полином имеет вид

Доказано, что стрелочные полиномы Р\ и Р| инвариантны относительно всех движений Рейдемейстера и задают два линейно-независимых инварианта Васильева четвертого порядка. Центральное место в доказательстве занимает метод фрагментов диаграммы Гаусса G(K). Доказывается, что инварианты V}(K) и V%(K) имеют четвёртый порядок.

Лемма 4.8.2. Пусть Vn(K) = (Pn,Q(K)) - инвариант узлов и Рп стрелочный полином п-го порядка, тогда инвариант Vn имеет порядок не выше п.

Доказательство опирается на определение инвариантов конечного порядка и использует индуктивное правило преобразования стрелочно-хордовой диаграммы G(Kn+1) сингулярного узла в линейную комбинацию диаграмм Гаусса узлов.

Теорема 4.9.1. Порядок каэ)сдого из инвариантов VI(К) и Vl(K) равен четырем.

Основным моментом в доказательстве является вычисление весовых систем, которые задаются инвариантами V} и V/. Используется разложение сингулярных узлов в модуле Васильева.

Теорема 4.10.1. Инварианты V±, и квадрат инварианта второго порядка (V2)2 образуют аддитивный базис в пространстве инвариантов Васильева четвертого порядка, с точностью до инвариантов порядка не выше трех.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю -доктору физико-математических наук Владимиру Павловичу Лексину за постановку задач и большую помощь в написании работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Алленов, Сергей Владимирович, Москва

1. Аллёнов С.В. Диаграммио-стрелочиые формулы инвариантов узлов четвертого порядка // Фунд. и прикл. математика. 2005. Т. И, № 5. С. 3-17.

2. Аллёнов С.В., Лексин В.П. О диаграммных формулах инвариантов узлов // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2006. Т. 252. С. 10-17.

3. Аллёнов С.В. Универсальные весовые системы и интеграл Концевича неузла // Современная математика и её приложения. 2006. Т. 38, № 3. С. 3-9.

4. Аллёнов С.В. Инварианты узлов четвертого порядка и их вычисление. Начало: сборник научных статей аспирантов и соискателей. -Коломна: КГПИ 2006. вып. 5. с. 191-197.

5. Аллёнов С.В. Комбинаторные формулы базисных инвариантов четвертого порядка, Тезисы докладов Международной конференции "Топология, анализ и приложения в математической физике", посвященной памяти проф. Ю.П. Соловьёва, МГУ, М., 2005, С. 6-7.

6. Аллёнов С.В. Явные формулы инвариантов Васильева четвертого порядка для узлов, Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, ВлГУ, Суздаль. 2006, С. 18-19.

7. Бурман Ю.М. Длинные кривые, гауссовы диаграммы и инварианты // Математическое просвещение, сер. 3, вып.З. 1999. С. 94-115.И. Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.

8. Вайнтроб А. Универсальные системы весов и расширение Мелвина-Мортона цветных инвариантов Джонса для узлов // Итоги науки и техники. Т. 34, ВИНИТИ, М., 2001, С. 195-216.

9. Гусаров М.Н. Новая форма полинома Джонса-Конвея для ориентированных зацеплений // Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т. 193. № 1. 1994. С. 4-9.

10. Дужин С.В., Каишев А.И., Чмутов С.В. Алгебра 3-графов // Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 221. С. 168-196.

11. Дужин С.В., Чмутов С.В. Узлы и их инварианты // Математическое просвещение, сер. 3, вып.З. 1999. С. 59-93.

12. Дынников И.А. Полином Александера многих переменных выражается через инварианты Васильева // УМН. 1997. Т. 52, № 1. С. 227-228.

13. Кассел К., Россо М., Тураев В. Квантовые группы и инварианты узлов М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

14. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов М.: Мир, 1967.

15. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии М.: Наука, 1998.

16. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия М.: МЦНМО, 1997.

17. Тюрина С.Д. Диаграммные формулы типа Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка // УМН. 1999. Т. 54, № 3. С. 187-188.

18. Тюрина С.Д. О формулах типа Ланна и Виро-Поляка для инвариантов конечного порядка // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 4. С. 635-640.

19. Фарбер М.Ш., Чернявский А.В. Узлов теория // Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1984.

20. Arnold V.I. Vassiliev's theory of discriminants and knots, talk at ECM1. Paris, 1992.

21. Alexander J.W. Topological invariants of knot and links // Transl. Amer. Math. Soc. 1923. V. 20. P. 275-306.

22. Bar-Natan D. On the Vassiliev knot invariants // Topology. 1995. V. 34. P. 423-475.

23. Bar-Natan D., Garoufalidis S., Rozansky L., Thurston D. Wheels, wheeling, and the Kontsevich integral of the unknot // Israel J. Math. V. 119. 2000. P. 217-237.

24. Bar-Natan D., Le Т., Thurston D. Two applications of elementary knot theory to Lie algebras and Vassiliev invariants // Geometry and Topology. V. 7. 2003. P. 1-31.

25. Birman J. and Lin X.S. Knot polynomials and Vassiliev's invariants // Invent. Math. № 111. 1993. P. 225-270.

26. Cartier P., Construction combinatoire des invariants de Vassiliev-Kontsevich des noends // C.R. Acad. Sci. Paris. № 316. 1993. 1205-1210.

27. Chmutov S.V., Duzhin S.V., Lando S.K. Vassiliev knot invariants I-III. Adv. Sov. Math. № 21. 1994. P. 117-126.

28. Chmutov S.V., Duzhin S.V. CDBook. Book about chord diagrams. Introduction to Vassiliev Knot Invariants, http:// www.pdmi.ras.ru/duzhin/papers/ cdbook.ps.gz

29. Chmutov S.V., Varchenko A. Remarks on the Vassiliev knot invariants comming from sl2 // Topology. 1997. V. 36. P. 153-178.

30. Goussarov M.N. Finite type invariants are presented by Gauss diagram formulas, Sankt-Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute preprint (translated from Russian by O. Viro), December 1998.

31. Jones V.F.R. A polynomial invariant for links via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 1985. V. 129. P. 311-334.

32. Kassel C. Quantum groups, Graduite texts in Math. № 155, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1995.

33. Kontsevich M. Vassiliev's knot invariants // Adv. Soviet Math. 1993. V. 16. P. 137-150.

34. Lannes J. Sur les invariants de Vassiliev de degree inferieur on egal a 3 // L'Enseignement Mathematique. 1993. T.39. 295-316.

35. Le T.Q.T. and Murakami J. The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links // Сотр. Math. № 102. 1996. P. 41-64.

36. Ochiai T. The combinatorial Gauss diagram formula for Kontsevich integral, GT/0006184.

37. Ostlund O.-P. A Combinatorial approach to Vassiliev knot invariants. Preprint Uppsala University, 1997.

38. Ostlund O.-P. Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves. J. Knot Theory Ramifications, 10(8), 2001, P. 12151227.

39. Polyak M., Viro O. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants // Int. Math. Res. Notices. 1994. V. 11. P. 445-453.

40. Piunikhin S. Combinatorial expression for universal Vassiliev link invariant. Comm. Math. Phys. V. 168. 1995. P. 1-22.

41. Piunikhin S. Weights of Feynman diagrams, links polynomials and Vassiliev knot invariants // J. of Knot Theory and Its Ram. V.4 № 1. 1995. P. 163-188.

42. Reidemeister K., Knot Theory. Chelsea Publ. Co. New York, 1948.

43. Tyurina S.D. Diagram Invariants of knots and the Kontsevich integral // Journal of Mathematical Sciences. 2006. V. 134. № 2. P. 2017-2071.

44. Tyurina S. and Varchenko A., A remark on the 5I2 approximation of the Kontsevich integral of the unknot // Journal of Mathematical Sciences. 2005. V. 131. № 1. P. 5270-5274.

45. Tait P.G. On knots In: Scientific paper I. P. 273-274. (London: Cambridge University Press).

46. Vassiliev V.A., Cohomology of knot spaces // Theory of Singularities and its Applications. Adv. in Sov. Math. 1990. V.l. P. 23-69.

47. Vassiliev V.A., Combinatorial formulas for cohomology of knot spaces // Moscow Math. J. 2001. V.l. no.l. P.91-123.

48. Willerton S. A combinatorial half-integration from weight system to Vassiliev knot invariant // J. of Knot Theory and Its Ram. V.7 № 4. 1998. P. 519-52G.