Инварианты виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

На правах рукописи

ЗЕНКИНА Марина Васильевна

ИНВАРИАНТЫ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ И УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 МАЙ 2013

005058428

Москва - 2013

005058428

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Мантуров Василий Олегович

Официальные оппоненты: Лексин Владимир Павлович

доктор физико-математических наук, профессор (ГАОУ ВПО «Московский государственный областной социально-гуманитарный институт», факультет математики, физики, химии и информатики, кафедра математики и методики преподавания математических дисциплин)

Ильютко Денис Петрович кандидат физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова», механико-математический факультет, кафедра дифференциальной геометрии и приложений)

Ведущая организация: ФГБУН «Институт проблем передачи

информации им. А.А.Харкевича Российской академии наук»

Защита диссертации состоится 31 мая 2013 года в 16 часов 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 30 апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

г,

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия важную роль в геометрии и топологии стали играть проблемы, связанные с топологией малых размерностей. При этом особое значение приобрели новые методы в теории узлов; особую актуальность приобрело обобщепие теории классических узлов — теория виртуальных узлов, которой и посвящена настоящая диссертация. Виртуальный узел (зацепление) представляет собой естественное комбинаторное обобщение обычного понятия узла: вводится новый тип перекрестка и пополняется список движений Рейдемейстера. Таким образом, классические узлы являются частью виртуальных узлов, которые были изобретены Кауфманом1. Топологическая природа виртуальных узлов заключается в следующем. Виртуальные узлы представляют собой узлы в утолщенных 2-поверхпостях Мх.1, где М — ориентированная замкнутая поверхность, I — ориентированный отрезок, с точностью до стабилизации/дестабилизации. Под дестабилизацией мы понимаем следующее. Пусть 5 — некоторая нестягиваемая окружность на замкнутой двумерной ориентированной поверхности М, для которой существует цилиндр С, лежащий в М х {0,1}, с краями на разных краях многообразия М х {0,1}, гомотопный цилиндру 5 х I, причем цилиндр С с краями не пересекает зацепления. Тогда дестабилизация — это разрезание двумерного многообразия М х / вдоль цилиндра с заклеиванием появившихся компонент края шайбами Г>2 х I, см. рис. 1. Под стабилизацией мы понимаем операцию, обратную к дестабилизации.

Определение 1. Представитель (М х I, L) виртуального зацепления L, где Мх.1 — утолщенная двумерная поверхность, a L — зацепление в М х называется минимальным, если к утолщенной двумерной поверхности М х I нельзя применить дестабилизацию.

Г.Куперберг доказал следующую ключевую теорему2: _

Теорема 1. Минимальный представитель каждого виртуального зацепления L единствен с точностью до диффеоморфизма пары (М xI,LcMxJ) на себя, переводящего верхнюю компоненту края М х {1} в себя, где М — двумерное ориентированное многообразие без края, I — ориентированный отрезок.

В силу теоремы 1, для попимапия виртуальных узлов имеет смысл рассматривать узлы в конкретных поверхностях. Актуальной задачей в теории виртуальных узлов является задача о том, является ли данный узел в утолщенной поверхности минимальным.

На теорию виртуальных узлов были обобщены многочисленные инварианты классических узлов, см., например, монографии34, в том числе гомологии Хованова, а также

1 Kauffman, L. Я. Virtual knot theory // Eur. J. Combinatorics. -1999. - 20(7). - C. 662-690.

2Kuperberg, G. (2003). What is a virtual link? Algebr. Geom. Topol. 3, pp. 587-591.

3Маптуров, В. О. Теория Узлов. — РХД, М.-Ижевск, 2005. — 512 с.

*Маптуров, D.O. Виртуальные узлы. Современное состояние теории (под редакцией Д.П.Ильютко).

различные модификации полинома Адександера5.

При доказательстве некоторых классических теорем используются виртуальные узлы, например, для доказательства теоремы Гусарова6 о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка7 для вычисления инвариантов Васильева классических узлов. В формулах типа Виро-Поляка появляются нереализуемые гауссовы диаграммы, то есть диаграммы виртуальных узлов.

Теорией виртуальных узлов занимались такие известные ученые, как В.А.Васильев, С.В.Матвеев, В.Г.Тураев, О.Я.Виро, М.Н.Гусаров, М.Г.Хованов, С.Картер, Д.Бар-Натан, Х.Мортон и другие. Этой теории посвящено множество работ.

С другой стороны, узлы в утолщенном торе Т2 х / стали привлекать внимание специалистов как «двояко-периодические узлы» или «текстильные структуры»89.

Одним из применений теории виртуальных узлов для задач теории классических узлов является применение инвариантов зацеплений в Т2 х I в случае классического зацепления L, состоящего из п + 2 компонент, две компоненты которого образуют зацепление Хопфа. В этом случае L можно считать виртуальным зацеплением из п компонент в утолщенном торе. Дополнением к зацеплению Хопфа является Т2 х J, где J — ориентированный интервал. Таким образом, можно применять теорию виртуальных узлов и узлов пТ2 у. I для задач теории классических зацеплений.

Фундаментальный вклад в теорию виртуальных узлов внес В.О.Мантуров, который доказал алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов, построил теорию гомо-логий Хованова для виртуальных узлов, теорию инвариантов длинных виртуальных узлов, теорию проекции виртуальных узлов на классические, а также теорию виртуальных группоидов10.

Цель и задачи диссертационного исследования. Цель работы состоит в построении инвариантов виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях с выделенной системой координат, распознающих обратимость, зеркальность, доказывающих неклассичность узлов, неэквивалентность диаграмм, которые не были распознаны существующими ранее инвариантами, и исследование свойств получающихся инвариантов.

Перечислим основные задачи исследования:

• построить инвариант зацеплений в утолщенном торе, используя картину Дена группы узла, и исследовать его свойства: обратимость, зеркальность, а также выяснить взаимосвязь значений полинома на тройках Конвея;

• построить инвариант узлов в утолщенных сферах с g ручками, используя картину Виртингера и понятие четности, введенное В.О.Мантуровым;

• построить инвариантный модуль для виртуальных узлов, используя иерархию чет-ностей, изобретенную В.О.Мантуровым, построить упрощение модуля, из которого получается инвариантный полином.

- Москва-Ижевск: РХД, 2010. - 492 с.

5 Мантуров, В. О. О полиномиальных инвариантах виртуальных зацеплений // Труды ММО- — 2004. -65 (1). - С. 175-200.

6 Goussarov, M., Polyak, M. and Viro, О. (2000). Finite type invariants of classical and virtual knots, Topology 39, pp. 1045-1068.

7Polyak, U. and Viro, О. (1994). Gauss diagram formulae for Vassiliev invariants, Int. Math. Res. Not. 11, pp. 445-453.

*Grishanov, 5. A., Meshkov, V. R.r Vassiliev, V. A. Recognizing Textile Structures by Finite Type Knot Invariants // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2009. — 18(2). — C. 209-235.

9Morton, H. IL, Grishanov, S. Doubly periodic textile patterns // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2009. - 18. — C. 1597-1622.

10Мантуров, В.О. Виртуальные узлы. Современное состояние теории (под редакцией Д.П.Ильютко).

- Москва-Ижевск: РХД, 2010. - 492 с.

Методы исследования. В диссертации применяются: методы трехмерной топологии, алгебраической топологии, комбинаторной топологии, теория четностей В.О.Манту-рова п ее обобщение — иерархия четностей.

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построен инвариантный полином z' зацеплений в утолщенном торе и исследованы свойства полученного полинома, а также рассмотрено применение инварианта z'.

2. Построен полиномиальный инвариант s для узлов в утолщенных сферах с д ручками.

3. Построен инвариантный модуль N для виртуальных узлов с использованием иерархии четностей. Построен модуль N', который является упрощением модуля ЛГ, а также инвариантный полином п\ для которого доказана мультипликативность связной суммы двух виртуальных диаграмм.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретический характер. Они могут найти применение в теории узлов, теории графов и маломерной топологии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены па следующих семинарах и конференциях:

• семинар «Узлы и теория представлений» (МГУ, Москва, неоднократно с 2009 по 2013) под руководством В.О.Мантурова, Д.П.Илыотко и И.М.Никопова;

• семипар «Современные геометрические методы» (МГУ, Москва, 24 марта 2010 и 6 марта 2013) под руководством А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, А.С.Мшцепко, A.A. Ошемкова, Е.А.Кудрявцевой, И.М.Никонова;

• 4-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 90-летию со дпя рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии паук Л.Д.Кудрявцева (РУДН, Москва, 25 марта 2013).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 4 печатных работы, из них 3 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 1 тезисы докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена па 103 страницах печатного текста, состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 90 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы

Во введении приводятся основные определения и формулировки базовых теорем, обосновывается актуальность тематики диссертационного исследования, представлены ее цели, задачи, результаты и краткое содержание.

Определение 2. Диаграммой виртуального зацепления или виртуальной диаграммой называется 4-граф на плоскости, имеющий следующую структуру: каждая вершина либо имеет структуру проход-переход, причем дуги прохода изображаются разрывной линией (классический перекресток, см. рис. 2(а)), либо является виртуальным перекрестком, как показано на рис. 2(6).

Определение 3. Виртуальными зацеплениями называются классы эквивалентности виртуальных диаграмм по модулю обобщенных движений Рейдемейстера: классических движений Рейдемейстера (рис. 3) и движения объезда (рис. 4).

Рис. 2: Локальная структура классического и виртуального перекрестков.

Первое движение Рейдемейстера Второе движение Рейдемейстера

Рис. 3: Классические движения Рейдемейстера.

Определение 4. Диаграммой зацепления на поверхности называется 4-граф, вложенный в б',, каждая вершина которого снабжена структурой проход-переход, где Зд — сфера с д ручками.

Каждому зацеплению в х где / — ориентированный отрезок, можно сопоставить диаграмму на плоскости. Заметим, что при проекции узла на плоскость необходимо, чтобы сохранялась ориентация в окрестностях перекрестков. Каждой виртуальной диаграмме на плоскости можно сопоставить диаграмму на поверхности следующим образом. Сначала по виртуальной диаграмме Ь мы строим поверхность с краем. В каждом классическом перекрестке диаграммы зацепления мы располагаем крест (рис. 5), а в каждом виртуальном — пару непересекающихся лент (рис. 6). Соединяя эти кресты и ленты не перекрученными лентами, идущими вдоль дуг зацепления, мы получаем ориентируемое

двумерное многообразие с краем М'. Диаграмма зацепления Ь отображается в М' таким образом, что дуги диаграммы отображаются в средние линии лент, а классические перекрестки соответствуют перекресткам внутри крестов. Заклеивая дисками граничные компоненты многообразия М', мы получаем ориентируемое многообразие М = М(Ь) без края с набором кривых, погруженных в него. Две диаграммы зацеплений в ориентируемом многообразии М без края являются эквивалентными тогда и только тогда, когда одна из них получается из другой движениями Рейдемейстера. Таким образом реализуется биекция между классами эквивалентности виртуальных диаграмм и классами эквивалентности диаграмм на ориентируемом многообразии М = М(Ь) без края11.

> _ «

Рис. 5: Локальная структура поверхности в классическом перекрестке.

Рис. б: Локальная структура поверхности в виртуальном перекрестке.

По диаграмме классического узла можно явно выписать копредставлеиие группы узла, называемое копредставлением Виртингера, которое имеет следующий вид: дуга соответствуют образующим, а определяющие соотношения происходят из перекрестков, см. рис. 7(а). Имеется также к (¡представление Дена группы узла, которое сопоставляет областям плоскости проекции образующие, а перекресткам — соотношения, см. рис. 7(6). Эти два копредставления фундаментальной группы приводят к двум определениям полинома Александера.

с=ЬаЬ"

АВСП=1

О

В

Рис. 7: Соотношения в перекрестке.

В диссертации при построении инвариантов виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях мы используем как подход Дена, так и подход Виртингера, то есть в перекрестке имеем соотношение, а образующими являются области (подход Дена) или

11 Мантурое, В.О. Виртуальные узлы. Современное состояние теории (под редакцией Д.П.Илъютко). - Москва-Ижевск: РХД, 2010. - 432 с.

дуги диаграммы (подход Виртингера). Мы строим инвариантные полиномы для узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, а также инвариантные модули для виртуальных узлов. Инвариантные модули, приводимые в диссертации, строятся с использованием методов, обобщающих стандарптные методы построения модуля Александера с привнесением новых идей, связанных с топологией виртуальных узлов и четностью12.

Пусть имеется некоторая теория узлов. Оказывается, что если есть пекоторый естественный способ поставить в соответствие каждому перекрестку 0 (четный перекресток) или 1 (нечетный перекресток), то это позволяет строить тонкие инварианты рассматриваемого класса узлов, которые чувствуют такие эффекты, как обратимость, зеркальность, неклассичность узлов, а также строить функториальные отображения в заданном классе узлов. Четностью занимались: Л.Х.Кауфман, И.М.Никонов, Д.П.Ильютко, Д.М.Афанасьев, С.Яблан, В.В.Чернов, М.Крисмаи и др. С помощью четности были усилены различные инварианты. Мы усовершенствуем этот метод, используя иерархию чет-ностей. В теории виртуальных узлов существует множество четностей. В диссертации мы будем использовать гауссову четность.

Пусть инвариант виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях получается с помощью некоторых соотношений в перекрестках. Тогда его можно усилить, используя четность. Четным и нечетным перекресткам мы ставим в соответствие различные соотношения, что и позволит нам строить более сильные инварианты виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях.

Определение 5. Хордовой диаграммой называется 3-граф, состоящий из выбранного неориентированного гамильтонового цикла (окружности) и неориентированных ребер (хорд), соединяющих точки на окружности.

Определение 6. Хорда а хордовой диаграммы называется зацепленной с некоторой хордой Ъ, если концы хорды Ь лежат в разных компонентах 51 \ а, где 51 — окружность хордовой диаграммы. Любая хорда не зацеплена сама с собой.

Пусть К — диаграмма ориентированного виртуального узла. Диаграмму К можно представить как гладкое погружение Д: 1 —у М2 окружности в плоскость, которое является взаимно однозначным отображением на образ везде, за исключением прообразов классических перекрестков; в каждом из перекрестков окрестность одного прообраза отображается на пару противоположных дуг, а окрестность другого — на другую пару противоположных дуг. Заметим, что каждой диаграмме виртуального узла или диаграмме узла на поверхности можно поставить в соответствие хордовую диаграмму с помощью к.

Определение 7. Пусть К — диаграмма ориентированного виртуального узла или диаграмма узла на поверхности, на которой выбрана произвольная точка, не совпадающая с вершиной диаграммы. Хордовой диаграммой С(К), соответствующей диаграмме К, называется хордовая диаграмма, состоящая из ориентированной окружности, па которой прообразы прохода и перехода для каждого перекрестка при отображении к соединепы хордой.

Определение 8. Перекресток диаграммы виртуального узла или узла в утолщенной поверхности называется четным (нечетным), если в хордовой диаграмме узла с хордой, соответствующей этому перекрестку, зацеплено четное (нечетное) число хорд.

В первой главе строится модификация полинома Александера для зацеплений в утолщенном торе с выделенными параллелью и меридианом.

Замечание 1. Если рассмотреть диаграмму зацепления в абстрактном торе, то будет иметь место замена базиса в гомологиях Н\{Т2,Ъ), при этом показатели степеней переменных, соответствующих образующим базиса, изменятся соответствующим образом.

12Мантуров, В. О. Четность в теории узлов // Матем. сб. —2010. — 201, № 5. — С. 65-110.

Рис. 8: Правило построения локальных меток.

В п. 1.1. построен полипомиальпый инвариапт г' зацеплений с использованием картины Дена. Мы рассматриваем ориентированные зацепления Ь произвольного числа компонент в ориентированном утолщенном торе Т2 х /, где I — ориентированный отрезок. Каждое такое зацепление естественным образом задается своей проекцией на тор Г2, которая в общем положении представляет собой четырехвалентный граф, вложенный в тор, каждая вершина которого снабжена структурой проход-переход, при этом два графа являются эквивалентными тогда и только тогда, когда один из них получается из другого стандартными движениями Рейдемейстера.

Определение 9. Диаграмма зацепления на Т2 называется правильной, если соответствующий граф разбивает тор на двумерные клетки.

Без ограничения общности будем считать, что области пересекают параллель и меридиан трансверсально по конечному числу отрезков. Таким образом, эти отрезки разделяют области на подобласти. Построим разметку подобластей. Каждой подобласти мы сопоставим пару целых чисел следующим образом.

В каждой области выберем произвольным образом одну подобласть и сопоставим ей пару (0,0). После этого действуем по следующему правилу. Если подобласти одной области граничат по меридиану, то они будут иметь одинаковый второй индекс, а первый индекс будет отличаться на единицу. При этом этот индекс будет больше у той подобласти, которая расположена справа. Аналогично, если две подобласти граничат по параллели, то второй индекс будет больше у той подобласти, которая расположена выше.

Занумеруем компоненты диаграммы Ь зацепления и построим матрицу М'{Ь) размера п х п, где п — количество прекрестков. Каждому перекрестку мы сопоставим строку матрицы, а каждой области — столбец. Элемент М'ц выражает инцидентность г-го перекрестка и области.

Если область инцидентна перекрестку с одной стороны, то правило построения инцидентности следующее. Пусть г-му перекрестку инцидентна подобласть у-Н области, имеющая метки (а, 6). Тогда элемент Му будет равен моному хауь, умноженному на один из мономов 1,2;,— 1,— где I — номер компоненты, которая образует переход в данном перекрестке. В г'-м перекрестке выберем дугу (1, образующую переход и ориентированную вверх. Сопоставим подобластям локальные метки по следующему правилу. Области, находящейся справа сверху от дуги с1, образующей переход, мы сопоставим локальную метку +1, после чего трем остальным подобластям мы сопоставим локальные метки —1, и, —и в порядке по часовой стрелке. Отметим, что при задании локальных меток мы не учитываем ориентацию дуги, образующей в ¿-ом перекрестке проход, см. рис. 8.

Предположим, что одна подобласть >й области инцидентна г-му перекрестку, тогда элемент М'ц равен моному х"уь, умноженному на локальную метку, где (а, 6) — метка подобласти; если таких подобластей несколько, то соответствующий элемент матрицы равен сумме таких мопомов по всем инцидентпым подобластям. Если подобласть области не инцидентна г-му перекрестку, тогда элемент равен 0.

Рассмотрим кольцо Р' = ..., 1т,х±1,где тп — число компонент зацепления. Мы строим матрицу инцидентности М\ зависящую от диаграммы Ь. Положим г'(Ь) —

с1еі(М'(£)), где г'Щ Є Р'. Центральным результатом п. 1.1. является следующая

Теорема 5. Если две диаграммы Ь и V зацеплений из т упорядоченных компонент на Т2 с выделенной системой координат эквивалентны, то

г'{Ь) = ■...■ О^у7 '

для некоторых целых чисел ац. аъ, ■ • ■, «и: /3,7В п. 1.2 рассмотрены свойства полинома г' и примеры, показывающие, что г' различает обратимые зацепления, зеркальные зацепления.

В п. 1.3 построено упрощение г полинома г' в случае зацеплений из т упорядоченных компонент, а также приведен пример зацеплений на торе, демонстрирующий, что полином г' является более сильным по сравнению с г, так как неэквивалентность рассматриваемых зацеплений на торе не доказывается с помощью полинома г, но доказывается с использованием инварианта г7.

Мы рассматриваем ориентированные зацепления из т компонент в утолщенном торе Г2 х I. Построим упрощение полинома г' следующим образом.

Рассмотрим кольца Р' = ЩЬ1^2,...,Ьт,х:11,у±1] и Р = 2[«,іі1,у;іа]. Существует гомоморфизм колец Р' и Р, при котором все и переходят в £. Таким образом, получаем полином г из более сложного полинома г' приравниванием всех и к і. Полученный инвариант г представляет собой полином Лорана от трех переменных I, х, у.

Теорема 7. Если две диаграммы Ь и V зацеплений из то упорядоченных компонент на Т2 с выделенной системой координат эквивалентны, то '¿(К) — ±?"х13у'1 ■ г(К') для некоторых целых чисел

В п. 1.4 доказано следующее утверждение:

Теорема 8. Полином г удовлетворяет соотношению типа Конвея:

Гіг (¿+) - Нг (І,") = («і - Н) г (і0)

с точностью до умножения каждого из слагаемых в левой части на один из мономов вида где к-целое число.

Во второй главе построена модификация полинома Александера для узлов в утолщенных сферах с р ручками с выделенной системой координат. Этот инвариант является полиномом Лорана, зависящим от 2д + 3 переменных. При построении инварианта мы используем картину Виртингера и понятие четности перекрестков, введенное В.О.Мантуровым13.

В п. 2.1 построен полином і' для ориентированных узлов в утолщенных сферах с д ручками.

Представим поверхность в виде склейки 4</-уголышка Ья. Далее мы будем изображать диаграмму узла на Ьд. Пусть дана диаграмма К ориентированного узла па Бя с п перекрестками, У(К) — множество перекрестков диаграммы К в Бд. Поставим в соответствие каждому перекрестку, принадлежащему У(К), либо 0 и назовем его четным, либо 1, и в этом случае говорим, что перекресток нечетный.

В четных перекрестках мы будем ставить локальные метки на дугах так, как показано на рис. 9(а), а в печетных перекрестках так, как показано на рис. 9(6).

Занумеруем перекрестки полученной диаграммы числами от 1 до п произвольным образом, где п — количество прекрестков. Количество дуг в этом случае равно п. Занумеруем дуги диаграммы теми же числами, что и перекрестки, таким образом, чтобы дуга с номером к выходила из перекрестка с номером к. Обозначим стороны 4д-угольника Ьд, учитывая склейку, через аі,а2, ...,а2г.

13Мантуров, В. О. Четность в теории узлов // Матем. сб. —2010. — 201, ДО 5. — С. 65-110.

а.

Рис. 10: Разметка дуг на примере Т2.

В 4д-угольпикп Ьд из каждой пары склеиваемых сторон выберем одну сторону. Выбранные стороны на чертеже выделяем жирными линиями (рис. 10). Стороны многоугольника разделяют дуги диаграммы на поддуги. Построим разметку подцуг следующим образом. Каждой подцуге, выходящей из к-го перекрестка, ставим в соответствие метку (0,0,...,0) длины 2д. Если дуга делится на поддуги меридианом ат, где т = 1,2,..., 2д, то при переходе через фиксированую сторону а™ число под номером ш, стоящее в метке, увеличивается на 1, то есть метка меняется на (0,0,..., 1,..., 0), если дуга переходит через меридиан, который не зафиксировали, то т-ое число в метке уменьшается па 1 (рис. 10).

Рассмотрим фактор-кольцо

С = д.р",*?1,4і, --^Ч/МР-0=0,^ = (1-і)(1 - Р)).

Построим квадратную матрицу размера п х п следующим образом. В матрице М(К) каждой дуге диаграммы К соответствует столбец, а каждому перекрестку — строка. Если ни одна поддуга і-ой дуги не инцидентна перекрестку і (не проходит через него, не начинается и не заканчивается в нем), поставим па пересечении г-ой строки и у-го столбца ноль. В случае, если лишь одна поддуга і-ой дуги инцидентна г-ому перекрестку, элемент Мц будет равен моному і™1!™2 • - ' хТд', умноженному на локальную метку, то есть па одип из мономов -1,1-і,{ в четном перекрестке и -1,р,ї в нечетном, где («і,а2ц) — метка, соответствующая подцуге в данном перекрестке. Если таких поддуг несколько, то соответствующий элемент матрицы равен сумме таких мономов по всем инцидентным поддугам.

Положим в(К) = с1о!(Л/(/<")), где ¿(К) Є <2, д — количество ручек.

Замечание 2. Полином я можно было построить, используя язык гомологий, причем если рассмотреть диаграмму узла в абстрактной сфере с д ручками, то будет иметь место замена базиса в гомологиях Яі(53,2), при этом показатели степеней переменных, соответствующих образующим базиса, изменятся соответствующим образом.

Центральным результатом п. 2.1 является следующая

Теорема 9. Если две диаграммы К и К' узлов в 53 х I эквивалентны, то ¡(К) =-±Р3р3д11 ■ я(К') для некоторых целых чисел п. р, 7.

В п. 2.2 доказана неэквивалентность узлов в кольце, см. рис. 11. Вопрос об эквивалентности данных узлов ранее ставился в работе 14 и не был решен авторами статьи. С помощью полинома а доказана неклассичность узла, рассмотренного Л.Х.Кауфманом15. Неклассичность этого примера была параллельно и независимо доказана Л.Х.Кауфманом и С.Ябланом с использованием проекции В.О.Мантурова16.

Рис. 11: Диаграммы узлов 1.12 и 1.13.

В третьей главе мы построим инвариантный модуль N(K), который является модификацией модуля Александера. При построении используем иерархию четностей, предложенную В.О.Мантуровым17. Мы разделим множество перекрестков диаграммы на три типа: на нечетные перекрестки (тип 0) и два типа четных перекрестков (типы 1 и 2).

Построим отображение /, которое диаграмме К виртуального узла сопоставляет диаграмму, получающуюся следующим образом. Каждый четный перекресток диаграммы К остается классическим перекрестком, а всякий нечетный удаляется, т.е. на диаграмме мы на его месте ставим виртуальный перекресток (рис. 12).

В п. 3.1 построен инвариантный модуль для виртуальных узлов. Гауссова четность устанавливает различия между четными и нечетными перекрестками, которые имеют разную природу (нечетность является комбинаторным аналогом гомологической нетривиальности). Оказывается, имеется естественный путь для дальнейшего различия между перекрестками. Пусть К — диаграмма виртуального узла, а }(К) — образ диаграммы К при отображении /. Тогда все перекрестки образа f(K) соответствуют четным перекресткам диаграммы К. Эти перекрестки, рассматриваемые как перекрестки диаграммы /(/Í), могут быть либо четными, либо нечетными. Мы говорим, что перекресток диаграммы К имеет тип 0, если он нечетный, в противном случае мы говорим, что перекресток имеет тип 1, если соответствующий перекресток диаграммы f(K) нечетный, и если соответствующий перекресток диаграммы f(K) четный, то мы говорим, что перекресток имеет тип 2. В каждом перекрестке мы зададим различные соотношения18.

14 Grishanov, S. A., Meshkav, V. R., Vassilicv, V. A. Recognizing Textile Structures by Finite Type Knot

Invariants // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2009. — 18(2). - C. 209-235.

16Kauffman, L. H. Ал Affine Index Polynomial Invariant of Virtual Knots. Algébrate Ibpology (math.AT); Géométrie Topology (math.GT), arXiv:1211.1601.

Manturov, V. O. (2012). Parity and Projection from Virtual Knots to Classical Knots, Géométrie Topology. - arXiv:1011.4640 [math.GT] - (to appear in JKTR).

"Илъютко, Д.П., Мантуров, B.O., Никонов, И.М. Четность в теории узлов и граф-зацепления, Топология, СМФН, 41, РУДН, М-, 2011, 3-163.

"Manturov, V.O. Fiat Hierarchy // Fundamenta Mathematícae, vol. 188 (2005), 147-154.

Рис. 12: Отображение /. ra+wb sb s-ia r>-ws'a) pa+qb fa ta+(1-t)b b

b/ \a b/\a ь/\a

типО

тип 1

Ъу \a

тип 2

Рис. 13: Перекрестки типов 0, 1 и 2.

Рассмотрим фактор-кольцо

д = ;

Ч/(9(р-<) = 0,92 = (1-<)(1-Р),

tu(l ■

s) = 0, U)(t - г) = 0, tu2 = (1 - t)(l - rs), w(ps 4- q - 1) = 0, w(r + Я — 1) = 0, vi{p — r) = 0, w2 = q(l — rs)).

Определение 10. Короткой дугой назовем ветвь диаграммы узла, которая идет от прохода в классическом перекрестке любого типа или перехода в классическом перекрестке типа 0 до следующего прохода или перехода перекрестка типа 0.

Пусть К — виртуальный узел. Построим модуль N(K) над Я. Образующими являются короткие дуги диаграммы узла. В каждом перекрестке мы используем соотношения, показанные на рис. 13, в соответствии с типом перекрестка. Заметим, что только для перекрестков типа 0 мы обращаем внимание на ориентацию дуги, образующей проход. Таким образом, мы имеем два различных правила для положительного и отрицательного перекрестков. Для перекрестков типов 1 и 2 мы используем только одно соотношение так же, как в определении локальных меток для полинома s.

Теорема 10. Модуль N(K) является инвариантом виртуальных узлов.

В п. 3.2 построено упрощение N'(K) модуля N(K) и получен инвариантный полином п' для виртуальных узлов. Рассмотрим модуль N'(K) = N(I<)/(r = iT1, to = 0) над фактор-кольцом

[i^.g.p".

1]/(<г(р-<) = о,д2 = (1-«)(1-р))-

Так как модуль Л" получается из модуля N посредством гомоморфизма, то имеет место следующая

Теорема 11. Модуль И'(К) является инвариантом виртуальных узлов.

Пусть К — диаграмма виртуального узла с п классическими перекрестками. Мы построим п х п-матрицу Л'"(/<") следующим образом. Каждой короткой дуге мы сопоставляем столбец, а строку ставим в соответствие каждому перекрестку. Если ни одна из дуг

j-ой короткой дуги не инцидентна г-ому перекрестку, то элемент N"j равен 0. В случае, когда только одна короткая дуга j-ой дуги инцидентна г-ому перекрестку, то элемент Л'," будет равен одному из мономов — 1,1 — t,t в перекрестках типа 2 и одному из мономов — 1,р, q в перекрестках типа 1. Если несколько коротких дуг инцидентны перекрестку, то соответствующий элемент матрицы равен сумме таких мономов по всем инцидентным коротким дугам. Получим матрицу N"(K), зависящую от диаграммы К. Пусть п'(К) = det(JV"(AT)), где п'(К) е R'.

Теорема 12. Если две диаграммы К и К' виртуальных узлов эквивалентны, то п'(К) — • п'(К') для некоторых целых чисел а, (.J, 7.

ТЬорема 13. Пусть даны две ориентированные виртуальные диаграммы и К2 и их связная сумма К\-$Кг. Тогда

¿{КфК2) - п'(Кг) ■ п(К2)

с точностью до умножения на моном ifp^q1, где а, /3, у — некоторые целые числа.

В п. 3.1 также рассмотрен пример виртуальных диаграмм, демонстрирующий, что полином п' различает обратимые узлы.

Благодарности.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Василию Олеговичу Мантурову за постановку задачи и ценные советы.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Зенкина, М. В. Инвариант зацеплений в утолщенном торе // Матем. замегки. — 2011. - Том 90, №2. - С. 242-253.

2. Зенкина, М. В., Мантуров В. О. Инвариант зацеплений в утолщенном торе // Записки научных семинаров ПОМИ. -2009. — Том 372. — С. 5-18.

3. Zenkina, M. V. The parity hierarchy and new invariants of knots in thickened surfaces // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2013. - Vol. 22, №4. - pp. 13400011-1340001-23.

Публикации в других изданиях

4. Зенкина, M. В. Иерархия четностей и новые инварианты узлов в утолщенных поверхностях // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д.Кудрявцева. — М.: РУДН, 2013. - С. 343.

Подписано в печать:

24.04.2013

Заказ № 8412 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru

ФГБОУ ВПО

«Московский педагогический государственный университет»

На правах рукописи

04201357129

м-

ЗЕНКИНА Марина Васильевна

ИНВАРИАНТЫ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ И УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

01.01.04 - геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.О. Мантуров

Москва - 2013

Оглавление

Введение 4

0.1 Основные определения и теоремы ..........................4

0.2 Актуальность темы исследования ..........................15

0.3 Цель работы ..................................................19

0.4 Основные задачи исследования: ............................19

0.5 Научная новизна..............................................20

0.6 Методы исследования........................................21

0.7 Примеры ......................................................21

0.8 Апробация работы............................................21

0.9 Публикации....................................................22

0.10 Структура диссертации......................................23

1 Полиномиальный инвариант зацеплений в утолщенном торе 25

1.1 Построение полиномиального инварианта г' .......26

1.2 Свойства инварианта г'......................................39

1.3 Инвариант г' в случае зацепления с одной компонентой . 42

1.4 Свойство инварианта г ...................45

2 Инвариант узлов в утолщенных поверхностях 51

2.1 Инвариант й узлов в х I..................................51

2.2 Применение полиномиального инварианта в .......68

3 Иерархия четностей и построение инвариантного модуля 74

3.1 Построение инвариантного модуля для виртуальных узлов 75

3.2 Инвариантный полином п'(К) ............... 82

Литература 93

з

Введение

0.1 Основные определения и теоремы

Настоящая диссертация посвящена одной из бурно развивающихся теорий — теории виртуальных узлов. Теория виртуальных узлов была изобретена Л.Х.Кауфманом [Каи7].

Определение 1. Диаграммой виртуального зацепления или виртуальной диаграммой называется граф на плоскости валентности 4, имеющий следующую структуру: каждая вершина либо имеет структуру проход-переход, причем дуги прохода изображаются разрывной линией (классический перекресток, см. рис. 1), либо является виртуальным перекрестком, как показано на рис. 2.

Определение 2. Виртуальные зацепления являются классами эквивалентности виртуальных диаграмм по модулю обобщенных движений Рейдемейстера: классических движений Рейдемейстера (рис. 3) и движения объезда, которое состоит в том, что ветвь диаграммы зацепления, содержащая последовательно несколько виртуальных перекрестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую ветвь с теми же начальной и конечной точками, а на месте новых пересечений и самопересечений ставятся виртуальные перекрестки (рис. 4)-

переход проход

Рис. 1: Локальная структура классического перекрестка

Рис. 2: Виртуальный перекресток

Определение 3. Виртуальным узлом называется виртуальное зацепление с одной компонентой.

Теория виртуальных узлов представляет собой естественное комбинаторное обобщение теории классических узлов и описывает топологические объекты. Виртуальные узлы — это узлы в утолщенных 2-поверхностях М х /, где М — ориентированная, компактная поверхность без края, I — ориентированный отрезок. М х I рассматриваются с точностью до стабилизации/дестабилизации. Под дестабилизацией мы будем понимать следующее. Пусть 5 — некоторая нестягиваемая окружность на замкнутой двумерной ориентированной поверхности М, для которой существует цилиндр С с краями на разных краях многообразия М х {0,1}, гомотопный цилиндру С х 7, причем цилиндр С с краями не пересекает зацепления. Тогда дестабилизация — это разрезание двумерного многообразия М х / вдоль цилиндра с заклеиванием появившихся компонент края шайбами И2 х /, см. рис. 5.

Под стабилизацией будем понимать операцию, обратную к дестабилизации. Другими словами, стабилизация и дестабилизация — это

Первое движение Рейдемейстера

V

Второе движение Рейдемейстера

Третье движение Рейдемейстера

Рис. 3: Классические движения Рейдемейстера

<-►

Рис. 4: Движение объезда

добавление и удаление ручек из поверхности так, чтобы добавляемые и удаляемые утолщенные ручки не содержали общих точек с рассматриваемым узлом (зацеплением) [Мап15].

Если рассматривать узлы в утолщенных поверхностях, то при проекции узла на плоскость появляются виртуальные перекрестки, в результате чего возникают обобщенные движения Рейдемейстера. Движения объезда, соответствующие движениям на утолщенных поверхностях, и их проекции изображены на рис. 6. Заметим, что при проекции узла на плоскость необходимо, чтобы сохранялась ориентация

Рис. 5: Дестабилизация пары (5г х i, к)

в окрестностях перекрестков.

Таким образом, каждому зацеплению в утолщенной поверхности можно сопоставить диаграмму на плоскости. Заметим, что при рассмотрении зацеплений в утолщенных поверхностях все перекрестки зацепления являются классическими, то есть необходимо доказывать инвариантность только относительно классических движений Рейде-мейстера.

Каждой виртуальной диаграмме на плоскости можно сопоставить диаграмму на поверхности следующим образом. Сначала по виртуальной диаграмме Ь мы строим поверхность с краем. В каждом классическом перекрестке диаграммы зацепления мы располагаем крест (рис. 7), а в каждом виртуальном — пару непересекающихся лент (рис. 8).

Полувиртуальное движение Первое виртуальное движение

Рейдемейстера

Второе виртуальное движение у Рейдемейстера

Третье виртуальное движение Рейдемейстера

Рис. 6: Виртуальные движения Рейдемейстера и утолщенные поверхности

Соединяя эти кресты и ленты не перекрученными лентами, идущими вдоль дуг зацепления, мы получаем ориентируемое двумерное многообразие с краем М'. Диаграмма зацепления Ь отображается в М' таким образом, что дуги диаграммы отображаются в средние линии лент, а классические перекрестки соответствуют перекресткам внутри крестов. Заклеивая дисками граничные компоненты многообразия Мг, мы получаем ориентируемое многообразие М = М(Ь) без края с набором кривых, погруженных в него.

Определение 4. Представителем виртуального зацепления называется пара (М х I, Ь), где М х I — утолщенная двумерная поверхность, а Ь — зацепление в М х /.

\ /

Рис. 7: Локальная структура поверхности в классическом перекрестке

Определение 5. Представитель виртуального зацепления называется минимальным, если к утолщенной двумерной поверхности М х I нельзя применить дестабилизацию.

Грег Куперберг доказал следующую ключевую теорему [Кир]:

Теорема 1. Минимальный представитель каждого виртуального зацепления Ь единствен с точностью до диффеоморфизма пары (М х I, Ь е М х I) на себя, переводящего верхнюю компоненту края Мх{ 1} в себя, где М — двумерное ориентированное многообразие без края, I — ориентированный отрезок.

В силу теоремы 1, важно рассматривать узлы в конкретных поверхностях. Актуальной задачей в теории виртуальных узлов являет-

ся задача о том, является ли данный узел в утолщенной поверхности минимальным. В главах 1 и 2 мы будем строить инварианты узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, а в главе 3 — инварианты виртуальных узлов. Оба вопроса актуальны в теории виртуальных узлов.

Определение 6. Назовем дугой диаграммы виртуального зацепления проекцию ветви узла от прохода классического перекрестка до следующего его прохода. В частности, в случае диаграммы классического узла/зацепления дугой называется проекция ветви узла от прохода перекрестка до следующего прохода.

Одним из наиболее ранних инвариантов в теории классических узлов является топологический инвариант — группа узла. Группой узла К С М3 (обозначение тт(К)) называется фундаментальная группа дополнения к узлу К, точнее говоря, к его малой трубчатой окрестности а именно, мы полагаем -к(К) = 7Г1(М3 \ М(К)).

По диаграмме узла можно явно выписать копредставление группы узла, которое называется копредставлением Виртингера. Копредставление Виртингера группы узла имеет следующий вид: дуги соответствуют образующим, а определяющие соотношения происходят из перекрестков, см. рис. 9. Имеем также копредставление Дена группы узла, которое сопоставляет областям плоскости проекции образующие, а перекресткам — соотношения, см. рис. 10. Главная трудность при использовании такого инварианта, как группа узла (зацепления), состоит в том, что группы, заданные различными копредставлениями, трудно сравнивать. В общем случае распознавание группы по копред-ставлению является неразрешимой проблемой. При этом группа узла является основой для построения более удобных (хотя и менее мощ-

ных) инвариантов узлов и зацеплений и доказательства структурных теорем.

с=ЬаЬ"1

Рис. 9: Соотношение в перекрестке (копредставление Виртингера)

г> С

А В

АВСГ)=1

Рис. 10: Соотношение в перекрестке (копредставление Дена)

В настоящей диссертации при построении инвариантов виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях мы будем пользоваться как подходом Дена, так и подходом Виртингера, то есть в перекрестке будем иметь соотношение, а образующими будут являться области (подход Дена, см. рис. 11) или дуги диаграммы (подход Виртингера, см. рис. 12). Мы будем строить инвариантные полиномы для узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, а также инвариантные модули для виртуальных узлов. Инвариантные модули, приводимые в настоящей диссертации, строятся с использованием методов, обобщающих стандарнтные методы построения модуля Александера с привнесением новых идей, связанных с топологией виртуальных узлов и четностью, см. [Мап16].

г -1

Рис. 11: Картина Дена

-1

Рис. 12: Картина Виртингера

Пусть инвариант виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях получается с помощью некоторых соотношений в перекрестках. Тогда его можно усилить следующим образом. Мы будем использовать понятие четности перекрестков, то есть каждому перекрестку мы будем ставить в соответствие 0 (четный перекресток) или 1 (нечетный перекресток) по некоторому правилу. Четным и нечетным перекресткам мы будем ставить в соответствие различные соотношения, что и позволит нам строить более сильные инварианты виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях.

Определение 7. Пусть К\ и — диаграммы узлов, получаемые друг из друга одним из движений Рейдемейстера, причем число перекрестков диаграммы К2 не больше, чем число перекрестков диаграммы К\. Говорят, что правило, по которому мы ставим в соответствие каждому перекрестку диаграммы 0 или 1, удовлетворяет аксиоматике четности, если выполняются следующие условия.

1. Если К2 получается из К\ первым движением Рейдемейстера, то перекресток диаграммы К\, участвующий в первом движении

является четным;

2. Если К2 получается из К\ вторым движением Рейдемейстера, то оба перекрестка, участвующие во втором движении, имеют одинаковую четность;

3. Если К2 получается из К\ третьим движением Рейдемейсте-ра, то мы имеем естественное соответствие между тройкой перекрестков диаграммы К\ и тройкой перекрестков диаграммы К2, участвующих в движении Рейдемейстера ((а\, аг), (Ь\, 62), {с\, С2)), см. рис. 13. Требуется, чтобы

a) четность соответствующих перекрестков совпадала;

b) из перекрестков <21,61, с\ число нечетных перекрестков было четным, то есть 0 или 2.

4- При каждом движении Рейдемейстера мы имеем взаимно однозначное соответствие между перекрестками диаграммамы К\ и перекрестками диаграммы К2, которые не участвуют в движениях Рейдемейстера. Требуется, чтобы соответствующие перекрестки имели одинаковую четность [Maní 6].

Для виртуальных узлов существуют различные четности. В настоящей диссертации мы будем использовать гауссову четность, которая

>

К2

Рис. 13: Соответствие между перекрестками диаграмм К\ и К2

удовлетворяет аксиоматике четности.

Определение 8. Хордовой диаграммой называется набор неупорядоченных пар различных точек на окружности Б1, каждая из которых соединена хордой. Хордовые диаграммы изображаются в виде окружности и набора хорд.

Определение 9. Хордовой диаграммой, соответствующей диаграмме виртуального узла или диаграмме узла на поверхности, называется диаграмма, состоящая из ориентированной окружности, на которой прообразы прохода и перехода для каждого классического перекрестка соединены хордой.

На рис. 14 показан пример построения хордовой диаграммы, соответствующей диаграмме узла в торе Т2.

а,

а2

а, 1

К С(К)

Рис. 14: Построение хордовой диаграммы для диаграммы узла в Т2

Определение 10. Хорда а хордовой диаграммы называется зацепленной с некоторой хордой Ъ, если концы хорды Ь лежат в разных компонентах 51 \ а. Любая хорда не зацеплена сама с собой.

Определение 11. Перекресток диаграммы виртуального узла или узла в утолщенной поверхности называется четным (нечетным), ес-

ли в хордовой диаграмме узла с хордой, соответствующей этому перекрестку, зацеплено четное (нечетное) число хорд [Maní 6].

Построим отображение /, которое диаграмме К виртуального узла сопоставляет диаграмму, получающуюся следующим образом. Каждый четный классический перекресток диаграммы К остается классическим перекрестком, а всякий нечетный удаляется, т.е. на диаграмме мы на его месте ставим виртуальный перекресток.

Теорема 2. Отображение / корректно определено на классах виртуальных узлов, т.е. переводит эквивалентные виртуальные диаграммы в эквивалентные [Maní 6].

Пусть А — инвариант виртуальных узлов. Тогда композиция A(f(K)) также определяет инвариант. В результате будем получать новые инварианты виртуальных узлов. Мы можем построить более тонкие инварианты следующим образом, не «забывая» полностью информацию в нечетных перекрестках, а также не «теряя» информацию в виртуальных перекрестках. Заметим, что на 2 типа перекрестки делили и ранее, в каждом из типов перекрестков ставили разные соотношения, см., например, [Al], [Мап16]. Мы усовершенствуем этот метод. Используя отображение / мы разделим перекрестки виртуальной диаграммы на 3 типа: тип 0, тип 1 и тип 2 (подробнее см. главу 3 стр. 75), то есть применим иерархию четностей для перекрестков диаграммы виртуального узла. В каждом из типов перекрестков будем ставить разные соотношения и получать новые инварианты виртуальных узлов.

0.2 Актуальность темы исследования

Главный объект исследования настоящей диссертации — виртуальный узел (зацепление) представляет собой естественное комбинатор-

ное обобщение обычного понятия узла: вводится новый тип перекрестка и пополняется список движений Рейдемейстера. Теория виртуальных узлов была изобретена Кауфманом в [Каи7]. Виртуальные узлы представляют собой узлы в утолщенных двумерных поверхностях, рассмотренных с точностью до изотопии и стабилизации/дестабилизации. На теорию виртуальных узлов были обобщены многочисленные инварианты классических узлов, см., например, [Мап15], в том числе гомологии Хованова, а также различные модификации полинома Алек-сандера, см. [Мап14].

Доказательство некоторых классических теорем использует виртуальные узлы, например, теорема Гусарова [GPV] о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка [PV] для вычисления инвариантов Васильева классических узлов. В этих формулах появляются нереализуемые гауссовы диаграммы, то есть диаграммы виртуальных узлов.

Теорией виртуальных узлов занимались такие известные ученые, как В.А.Васильев, С.В.Матвеев, В.Г.Тураев, О.Я.Виро, М.Н. Гусаров, М.Г.Хованов, С.Картер, Д.Вар-Натан, Х.Мортон и другие. Ей посвящено множество работ, например, [GV1], [APS], [Bar], [BF], [Dye], [GPV], [НК1], [Kau7], [Kau5], [Kaul], [Kau2], [Kau3], [KMar], [Kad], [Kami], [KK], [KL], [KR1], [KR2] [Kup], [Nel], [SW], [Sawl], [Ver], [Vir3], [CKS], [A2], [AM], [Av], [BDK], [BF], [Ch], [DK], [DKM], [FJSK], [FKM], [Man5], [HK2], [Kam2], [Miyal], [Miya2], [Sat], [Saw2], [SW], [ZinZu] и ссылки в них.

С другой стороны, узлы в утолщенном торе стали привлекать внимание специалистов как «двояко-периодические узлы» или «текстильные структуры», см. работу В.А.Васильева, В.Р.Мешкова, С.А.Гриша-нова [GMV1], а также работы В.А.Васильева, С.А.Гришанова [GV2],

Х.Р.Мортона, С.А.Гришанова [МО]. Топологическое исследование текстильных структур было начато в [ОМО].

Заметим также, что классическое зацепление, состоящее из п + 2 компонент, две компоненты которого образуют зацепление Хопфа (см. рис. 15), можно считать виртуальным зацеплением из п компонент в утолщенном торе. Дополнением к зацеплению Хопфа является Т2 х J, где J — ориентированный интервал. Таким образом, можно применять теорию виртуальных узлов и узлов в утолщенном торе для задач теории классических зацеплений.

Рис. 15: Зацепление Хопфа

Фундаментальный вклад в теорию виртуальных узлов внес В.О.Ман-туров, который доказал алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов, построил теорию гомологий Хованова для виртуальных узлов, построил теорию инвариантов длинных виртуальных узлов, построил теорию проекцию с вируальных на классические узлы, построил теорию виртуальных группоидов, см., например, [Manl2], [Manll], [Manl7], [MI], [Мап7], [КМап], [Мап9], [Мапб], [Мап8], [Мап2].

Стандартное копредставление Вирт