Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Акимова Алена Андреевна

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ РОДА 1 МАЛОЙ СЛОЖНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 СКТ 2015

005563135

Челябинск, 2015

005563135

Работа выполнена на кафедре математического и функционального анализа Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет).

Научный руководитель: Сергей Владимирович Матвеев

член-корреспондент РАН, профессор, доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: Владимир Павлович Лексин

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и МПМД физико-математического факультета ГАОУ ВПО «Московский государственный областной социально-гуманитарный институт»

Денис Петрович Ильютко

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М. В .Ломоносова»

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклоса РАН

Защита состоится 27 октября 2015 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 на базе ФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН» (г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН и на сайте http:www.imm.uran.ru/C16/Diss/. Автореферат разослан « » сентября 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

<0

И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Напомним, что классический узел представляет собой произвольную простую замкнутую кривую в трёхмерном пространстве R3. При изображении классических узлов удобно использовать их проекции на плоскость. При этом перекрестками называются точки плоскости, в которые проектируются две различные точки узла. Диаграмма узла получается из проекции указанием (путем разрыва нити в окрестности каждого перекрестка), какой из участков узла проходит выше другого.

Основные результаты классификации узлов в R3 получены П. Тэйтом, Д. Рол-фсеном, Дж.Хосте, М. Фиселисвейтом, Дж.Виксом, Др. Бар-Натаном и др.

Тенденция к развитию теории узлов в трехмерных многообразиях, отличных от Ж.3, наблюдающаяся в последние годы, привела к задаче классификации этих узлов. Полученные к настоящему моменту результаты представлены в работах Ю.В. Дроботухиной (узлы в проективном пространстве 1LP3), Дж. Грина (виртуальные узлы)1, Б. Грабровсек и М. Мрокзковски (узлы в полном торе).

Теория виртуальных узлов была предложена Л. Кауффманом2, как естественное обобщение теории классических узлов. В настоящее время она разработана достаточно хорошо. Однако, такое направление, как классификация виртуальных узлов и составление таблиц значений их инвариантов, практически не было представлено в мировой литературе, за исключением таблицы1 в интернет-ресурсе. Это контрастирует с тем, что в классической теории узлов классификация играет весьма важную роль, и демонстрирует актуальность задачи классификации виртуальных узлов.

Сама по себе задача классификации узлов, которую называют центральной проблемой теории узлов, чрезвычайно сложна. В первую очередь это связано с вопросом о нахождении метода, позволяющего для двух данных узлов однозначно сказать, являются ли они эквивалентными.

В настоящей диссертации роль инварианта, различающего узлы при классификации, играет обобщенный полином Кауффмана. Аналогичный инварианту, рассматриваемому в статье [1], он представляет собой продолжение на случай узлов в утолщенном торе Т х I полинома Кауффмана классических узлов.

'Green, J. A table of virtual knots/J. Green// http://katIas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page.

2Kauffman, L.H. Virtual knot theory/L.H. Kauffman// Eur. J. Comb. - 1999. - V. 20, N.7. - pp. 663 — 691.

Цели и задачи. Первой целью настоящей диссертации является классификация примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I малой сложности. Для этого в настоящей диссертации решаются следующие задачи.

1. Составление таблицы всех абстрактных связных регулярных графов валентности 4 без петель, имеющих п < 5 вершин.

2. Рассмотрение вложений указанных графов и графа одномерного остова октаэдра в тор Т, дающих примарные проекции на торе Т, соответственно, сложности п < 5 и октаэдральные.

3. Доказательство различности всех построенных проекций.

Второй целью настоящей диссертации является классификация примарных виртуальных узлов рода 1 малой сложности: имеющих диаграммы с п < 5 перекрестками и с п = 6 специального вида. Решаются следующие задачи.

1. Построение всех примарных диаграмм на торе Т сложности п < 5 и минимальных октаэдральных.

(a) Преобразование каждой примарной проекции в набор соответствующих ей диаграмм путем указания типов перекрестков.

(b) Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса.

2. Преобразование полученных диаграмм на торе Т в виртуальные диаграммы тех же узлов.

Научная новизна работы состоит

в составлении таблиц малой сложности

• примарных проекций на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I,

• примарных диаграмм на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I,

• примарных виртуальных узлов рода 1

и в разработке ряда приемов

• построения проекций узлов в утолщенном торе Т х I,

• минимизации перебора диаграмм, соответствующих данной проекции.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для систематизации дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей.

Методология и методы исследования. В процессе работы над диссертацией применялись результаты и методы маломерной топологии, отраженные в работах отечественных и зарубежных авторов. В том числе, методы табулирования классических узлов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Классификация примарных проекций узлов в Т х I, которые

(a) или имеют п < 5 перекрестков,

(b) или являются вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

2. Классификация примарных виртуальных узлов рода 1, минимальные виртуальные диаграммы которых

(a) или имеют п < 5 классических перекрестков,

(b) или соответствуют проекциям, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра.

Апробация результатов. Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами всех утверждений, приведённых в диссертации, в то время как необходимые значения инвариантов подтверждаются программными вычислениями.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах: в ЧелГУ на семинаре под руководством C.B. Матвеева, в МГУ на спецсеминаре «Узлы и теория представлений» под руководством В.О. Манту-рова, Д.П. Ильютко и И.М. Никонова, в МГУ на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством А.Т. Фоменко, в ИММ УрО РАН на семинаре отдела алгебры и топологии под руководством A.A. Махнева.

Результаты диссертации в качестве докладов были представлены на следующих международных конференциях: «Современные проблемы математики и её приложений» (Екатеринбург, 2012, 2013), «Александровские чтения» (Москва, 2012), «Дни геометрии в Новосибирске» (2013), «Квантовая топология» (Магнитогорск, 2014), «Наука будущего» (Санкт-Петербург, 2014), «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2015). Кроме того, на конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (Челябинск, 2014).

Содержание работы отражено в публикациях [1] — [10], в т.ч. в [1] — [3] в журналах, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертаций.

В совместных работах соавтору принадлежат постановки задач и общая схема их исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 43 наименований, приложения. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя. Работа изложена на 77 страницах, снабжена 37 рисунками и 5 таблицами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 классифицируются примарные проекции узлов в утолщенном торе Т х /, которые или имеют п < 5 перекрестков, или являются вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

Утолщенным тором называется многообразие типа прямое произведение Тх1, где тор Т = 51 х 51 - прямое произведение двух экземпляров окружности 51, а / - отрезок [0,1]. Под узлом понимается произвольная простая замкнутая кривая, лежащая в утолщенном торе.

Узлы в утолщенном торе Т х I, как и классические узлы, могут быть представлены своими проекциями. Отличие в том, что узел проектируется не на плоскость, а на тор Т, который принято изображать в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами. Под проекцией понимается регулярный граф б С Т валентности 4 такой, что прохождение графа (3 по правилу «прямо вперед» определяет обход, составленный из всех ребер графа б и отвечающий узлу. Две проекции б и С называются эквивалентными, если пары (Т, (?) и (Т\ С) гомеоморфны.

Определение 1.1. Проекция узла О С Т называется составной, если выполнено по крайней мере одно из следующих условий.

1. Существует такой диск Б2 С Т, что его край дИ2 пересекает ребра проекции О трансверсалъно в двух точках, и пересечение б П В2 содержит вершины проекции й.

2. Существуют такие две отдельные нетривиальные окружности на торе Т, что каждая из них пересекает ребра проекции С трансверсалъно в одной точке, и оба кольца, на которые окружности разбивают тор Т, содержат вершины Сг.

Будем говорить, что проекция С? С Т допускает дестабилизацию, если дополнение к ней Т\(3 содержит нетривиальную окружность.

Определение 1.2. Проекция С называется примарной, если она не составная и не допускает дестабилизации.

В параграфе 1.1 при построении проекций узлов в утолщенном торе Тх I сложности п < 5 рассматриваются вложения абстрактных связных регулярных графов валентности 4, имеющих п вершин, в тор Т. Для построения прпмарных проекций достаточно рассмотреть вложения графов, не имеющих петель.

Лемма 1.1. Существуют ровно 11 абстрактных связных регулярных графов валентности 4, имеюгцих не более 5 вершин и без петель.

Теорема 1.1. Существуют, ровно различных примарных проекций на торе Т, имеющих п < 5 перекрестков, см. Рис. 1.

При доказательстве Теоремы 1.1 весьма полезным средством оказался прием устранения двуугольной грани проекции на торе Т. Этот прием представляет собой аналог для кривых второго движения Рейдемейстера. В результате такого устранения сложность проекции (число ее перекрестков) уменьшается на 2. Таким образом, перечисление проекций сложности п < 5, имеющих двуугольные грани, сводится к перечислению проекций сложности т < 3 и применению операции восстановления двуугольной грани всеми возможными способами (их немного). Оказалось, что, кроме 3 исключений, любая проекция из таблицы может быть получена указанной операцией из (необязательно включенной в таблицу) проекции сложности т < 3 в силу того, что большинство графов, вложения которых рассматриваются, содержит двойные ребра.

Различность построенных проекций доказывается путем сопоставления каждой проекции й ее /-вектора, в качестве координат которого берутся числа углов в гранях рассматриваемой проекции Этот метод позволил доказать различность большинства проекций. В немногих оставшихся случаях оказалось достаточным сравнить числа углов в гранях, примыкающих к вершинам.

Ручное перечисление примарных проекций сложности более 5 уже затруднительно — их очень много. С другой стороны, некоторый задел в этом направлении необходим для дальнейших исследований. В параграфе 1.2 классифицируются примарные октаэдральные проекции узлов в Т х I, т.е. примерные проекции, являющиеся вложением одномерного остова октаэдра в тор Т.

Теорема 1.2. Существуют ровно 8 различных примарных октаэдральных проекций на торе Т, см. Рис. 2.

При доказательстве Теоремы 1.2 весьма полезным оказался прием устранения трех треугольных граней проекции на торе Т. Отсутствие дубликатов, как и раньше, доказывается с помощью сопоставления каждой проекции С ее /-вектора.

В главе 2 строятся все примарные узлы в утолщенном торе Т х I, которые имеют диаграммы или с п < 5 перекрестками, или октаэдральные. Построение проводится в два этапа.

1. Преобразование каждой из проекций, построенных в предыдущей главе, в набор соответствующих ей диаграмм путем выбора для каждого перекрестка одного из двух возможных типов. Исключение всех замеченных дубликатов и непримарных узлов.

2. Группировка построенных диаграмм узлов по классам эквивалентности и доказательство примарности для каждого класса.

После этого полученные диаграммы на торе Т узлов в утолщенном торе Т х I преобразуются в виртуальные диаграммы тех ~же узлов.

Определение 2.1. Узел К С Тх1 называется составным, если выполнено по крайней мере одно из следующих условий:

1. К является нетривиальной связной суммой узлов Кх С Тх1 и К2 С Я3.

2. К является нетривиальной круговой связной суммой двух узлов вТх1.

Определение 2.2. Узел К с Т х I называется примарным, если он не составной и дополнение к нему Т х 1\К не содержит кольца ц х I с Т х I, где (1 С Т — некоторая нетривиальная окружность на торе Т.

Аналогично классическому случаю, узлы в утолщенном торе Т х I задаются своими диаграммами, т.е. проекциями на тор Т с'указанием типа каждого перекрестка, определяющего, какой из участков узла проходит выше другого в смысле величины координаты t £ I. При этом классические преобразования Рейдемейстера сохраняют свою роль: два узла в утолщенном торе Т х I изотопны тогда и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью преобразований Рейдемейстера — П3.

Две диаграммы D и D' называются эквивалентными, если пары (Т, D) и (Т", D') гомеоморфны, при этом дополнительно разрешается одновременная смена типов всех перекрестков на противоположные.

Диаграмма узла К С. Т х I называется минимальной, если её сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы каждого узла, эквивалентного К. Диаграмма D с Т примарка, если она соответствует некоторому примарному узлу К С Т х I.

Составные и октаэдральные диаграммы получаются из соответствующих проекций указанием типов перекрестков.

В параграфе 2.1 каждая из проекций на торе Т, построенная в главе 1 и имеющая п < 6 перекрестков, преобразуется в набор из 2П диаграмм на Т.

Конечно, составленный список диаграмм ещё содержит большое количество дубликатов. Чтобы выявить их, в параграфе 2.2 вычисляется обобщенный полином Кауффмана каждой диаграммы. Точная формула следующая:

(К) = (-а)"3^ - a"2)^V<5>. (2.1)

s

Здесь a(s) и /3(s) — числа сглаживаний типов А и В в данном состоянии s, 7(s) и 5(s) — числа тривиальных и нетривиальных окружностей наборе Ds, полученном на торе Т в результате разрешения диаграммы согласно данному состоянию s, и>(К) — число скручивания диаграммы. Сумма берется по всем состояниям s.

После вычисления обобщенного полинома Кауффмана каждой из построенных в параграфе 2.1 диаграмм доказывается эквивалентность диаграмм, имеющих одинаковое значение инварианта.

Прямые вычисления, проверенные программой «Manifold Recognizer»3, показывают, что все обобщенные полиномы Кауффмана диаграмм узлов, изображенных на Рис. 3 и Рис. 4, различны. Поэтому соответствующие узлы в утолщенном торе Т х I также различны.

Замечание 2.2. Как и в классическом случае, такие преобразования диаграммы, как ее зеркальное отражение или одновременная смена типов всех ее перекрестков на противоположный, влечет замену переменной а —»• а-1 в обобщенном полиноме Кауффмана.

3Tarkaev, V.V. Manifold Recognizer/V.V. Tarkaev// http:// www.matlas.math.csu. ru/?page=recognizer.

В параграфе 2.3 доказывается примарность всех построенных узлов. Для этого, согласно Определению 2.2, достаточно показать, что каждый из них не эквивалентен некоторому узлу К, который либо является составным, либо имеет диаграмму, допускающую дестабилизацию по нетривиальной окружности ц.

Для всех узлов, за исключением семи, достаточно показать, что обобщенный полином Кауффмана любого составного узла является приводимым, и убедиться, что полиномы построенных узлов не обладают этим свойством.

Лемма 2.1. Пусть узел К <zT х I является связной суммой К = К\Ц=К2 узлов A'i С Т х / и К2 С S3, тогда Х{К) = Х{Кг) ■ Х{К2).

Лемма 2.3. Пусть узел К С Т х I является круговой связной суммой К = К^К2 двух узлов вТ х I. Тогда Х(К) = ^ШША^

Таким образом, обобщенный полином Кауффмана составного узла допускает разложение на произведение полиномов. Заметим, что это утверждение справедливо в рамках гипотезы, утверждающей, что (обобщенный) полином Кауффмана каждого нетривиального узла в Т х I или в S3 является многочленом. В общем случае существование нетривиального узла, (обобщенный) полином Кауффмана которого является одночленом, не опровергнуто. Тем не менее, среди узлов в утолщенном торе Т х / до сложности бив трехмерной сфере S3 до сложности 16 таких примеров нет. Используя функцию Factor в пакете Mathematica, можно убедиться, что все узлы, за исключением семи, имеют неприводимые полиномы, а потому не могут быть составными.

Лемма 2.2. Пусть узел К С Т х I имеет диаграмму D С Т такую, что существует нетривиальная окружность ц С Т, пересекающая D трансвер-салъно и ровно в одной точке. Тогда X(К) = Р(а) ■ х.

Заметим, что любой узел К, являющийся нетривиальной круговой связной суммой двух узлов в Т х I, удовлетворяет условию Леммы 2.2, а потому его обобщенный полином Кауффмана имеет вид: Х{К) = Р(а) ■ х. Таким образом, узлы, полиномы которых имеют другой вид, не являются нетривиальной круговой связной суммой двух узлов в Т х I.

Рассмотрим более сильное обобщение полинома Кауффмана, вычисление которого также реализовано в программе3. Точная формула следующая:

Х(К) = (-a)~3»W ^2aa^s\-a2 - а-2)^х(Р, <l)5{s)- (2.2)

Единственное отличие от представленного в параграфе 2.2 обобщенного полинома Кауффмана Х(К) (2.1) состоит в том, что теперь нетривиальные окружности рассматриваются с точностью до изотопии на торе Т. Здесь множитель х(р, <?) соответствует нетривиальной окружности типа (р, ц) на торе Т, делающей р оборотов вокруг параллели и д оборотов вокруг меридиана тора Т, а ¿(в) — число таких нетривиальных окружностей в наборе И3, полученном на торе Т в результате разрешения диаграммы £> согласно состоянию я.

Полиномы Х{К\) и Х(К2) эквивалентны тогда и только тогда, когда существует гомеоморфизм тора на себя, переводящий набор кривых (риц^), соответствующий слагаемым в Х(Кх), в набор кривых (р;,<?£)> соответствующий слагаемым в Х{К2), с сохранением полиномиальных коэффициентов для всех i.

Лемма 2.4. Обобщенная нормализованная скобка Кауффмана (с учетом изотопических типов нетривиальных окружностей) является инвариантом узлов в утолщенном торе Т х I.

Лемма 2.5. Пусть узел К С Т х I является связной суммой К = узла КгсТ х I и узла К2 С 53. Тогда Х{К) = Х{К{) ■ Х(К2).

Следствие 2.3. Пусть Х(К) = ^Р^а) ■ а^р^д,)"'. Если полиномы Р^а) не имеют нетривиального общего делителя для всех I, то узел К с Т х / не может быть представлен в виде нетривиальной связной суммы узла в утолщенном торе Т х I и узла в трехмерной сфере 53.

Лемма 2.6. Пусть узел К С Т х I имеет диаграмму Б С Т такую, что существует нетривиальная окружность р, С Т, пересекающая £> трансвер-сально в одной точке. Тогда Х(К) = ^ РДа) • х(1, ф).

Узлы, которые не удовлетворят условию Следствия 2.3, не являются нетривиальной связной суммой узла К\ С Т х I и узла К2 С 53, условию Леммы 2.6 — круговой связной суммой двух узлов в утолщенном торе.

То, что оставшиеся три узла также не являются составными, можно проверить в рамках гипотезы, которая утверждает, что сложность составного узла равна сумме сложностей слагаемых.

Лемма 2.8. Если Х{К) узла К С Т х I содержит по крайней мере два элемента вида х(р, 9) и х(р',^), для которых выпол71яется хотя бы одно из условий р =/= р',д ф д', то ни одна из диаграмм узла К не допускает дестабилизацию.

Таким образом, для того, чтобы показать, что ни одна из диаграмм, изображенных на Рис. 3 и Рис. 4, не эквивалентна некоторой диаграмме, допускающей дестабилизацию, достаточно убедиться, что во всех полиномах присутствуют элементы, отвечающие различным изотопическим типам нетривиальных окружностей на торе Т. Такая возможность реализована в программе3.

Виртуальные узлы можно определить как класс эквивалентности узлов в утолщенных поверхностях относительно гомеоморфизмов утолщенной поверхности, переводящих узел в узел, операций стабилизации и дестабилизации. Напомним, что стабилизация состоит в приклейке ручки к поверхности Б таким образом, чтобы она не затрагивала диаграммы узла. Чтобы выполнить обратную операцию, дестабилизацию, достаточно выбрать нетривиальную кривую на поверхности 5", не пересекающую диаграммы узла, разрезать по ней и заклеить края разреза дисками. Род виртуального узла К - это наименьший род поверхности £> такой, что К расположен в Б х I.

Напомним, что виртуальная диаграмма представляет собой плоский регулярный граф валентности 4, снабженный дополнительной структурой в вершинах. Эта структура определяет тип перекрестка, соответствующий вершине: классический или виртуальный. Виртуальные перекрестки, изображаемые кружком, возникают из-за того, что два участка диаграммы Б С 5, не имеющие общих точек на поверхности 5, на плоскости не могут быть изображены без пересечения. Виртуальный узел можно определить комбинаторно как класс эквивалентности виртуальных диаграмм по модулю обобщенных движений Рей-демейстера.

Теория виртуальных узлов была предложена Л. Кауффманом2.

Виртуальный узел называется составным, если он может быть представлен в виде связной суммы двух нетривиальных виртуальных узлов, которая определяется аналогично соответствующей операции для классических узлов. Виртуальные узлы, не являющиеся тривиальными или составными, называются примарными.

В настоящей диссертации классифицируются примарные узлы малой сложности в утолщенном торе Т х I. Эта задача эквивалентна задаче классификации примарных виртуальных узлов рода 1 — в силу того, что тор Т является поверхностью рода 1.

В параграфе 2.4 составляется таблица виртуальных диаграмм узлов в утолщенном торе Т х I, имеющих построенные диаграммы на торе Т. Для того, чтобы диаграмму узла, изображенную на торе Т, представленном в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами, преобразовать в соответствующую ей виртуальную диаграмму, достаточно выполнить следующие два шага.

1. Замкнуть диаграмму, нарисованную на квадрате, по аналогии с замыканием косы. С этой целью соединить дугой каждую пару точек на противоположных сторонах квадрата, соответствующих одной и той же точке на торе Т. Точки пересечения добавленных дуг обозначить виртуальными перекрестками.

2. Удалить лишние виртуальные перекрестки, применив подходящую последовательность обобщенных движений Рейдемейстера.

Применив этот процесс ко всем диаграммам на торе Т, показанным на Рис. 3 и 4, можно получить таблицу соответствующих виртуальных диаграмм тех же узлов утолщенном торе Т х /, изображенную на Рис. 5 и 6. Построенные виртуальные диаграммы неэквивалентны между собой, потому что соответствуют узлам утолщенном торе Т х I, различность которых была доказана ранее.

Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Владимировичу Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Первым основным результатом настоящей диссертации является классификация примарных проекций узлов в утолщенном торе Т х I малой сложности. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Существуют ровно различных примарных проекций на торе Т, имеющих п < 5 перекрестков, см. Рис.1.

Теорема 1.2. Существуют ровно 8 различных примарных октаэдральных проекций на торе Т, см. Рис.2.

Вторым основным результатом настоящей диссертации является классификация примарных виртуальных узлов рода 1 малой сложности. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.3. Существуют ровно 90 различных примарных виртуальных узлов рода 1, имеющих диаграммы с не более чем 5 классическими перекрестками. Диаграммы этих узлов показаны на Рис.6.

Теорема 2.4. Существует ровно 51 различный примарный виртуальный узел рода 1, имеющий минимальные диаграммы, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра. Эти диаграммы показаны на Рис.5.

В процессе решения поставленных задач разработан ряд приемов, которые могут быть использованы при табулировании узлов в утолщенных поверхностях. Именно, разработаны приемы

• построения проекций узлов в утолщенном торе Т х I,

• минимизации перебора диаграмм, соответствующих данной проекции.

Кроме того, предложено обобщение полинома Кауффмана классических узлов на случай узлов в утолщенном торе Тх1 и составлен список значений этого инварианта построенных узлов.

Выполненная в рамках настоящего диссертационного исследования классификация виртуальных узлов с учетом двух параметров (рода виртуального узла и числа истинных перекрестков в его виртуальной диаграмме) естественнее и перспективнее классификации с учетом только второго параметра.

Список публикаций автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Акимова,А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном то-ре/А.А. Акимова, С.В. Матвеев // Вестник НГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». - 2012. - Т.12. №.3. - С. 10-21.

2. Акимова,А.А. Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрестков/А.А. Акимова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013.

- Т.5. №.1. - С. 8-11.

3. Акимова, А.А. Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат в кольце/А .А. Акимова// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2015. - Т. 7, № 1. - С. 5-10.

Публикации в других изданиях:

4. Akimova, A.A. Classification of genus 1 virtual knots having at most five classical crossings/A.A. Akimova, S.V. Matveev// Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2014. - V. 23, no. 6. - pp.1450031-1 - 1450031-19.

5. Akimova, A.A. Classification of Knots of Small Complexity in Thickened

Tori/A.A. Akimova, S.V. Matveev// Journal of Mathematical Sciences. -

2014. - V.202, no.l. - P. 1- 12. (является переводом статьи [?]).

L

Тезисы докладов:

6. Акимова, А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе/А.А.Акимова/ /Тез. Междунар. (43-й Всерос.) молодёжной школы-конф. - Екатеринбург, 2012. - С. 172-174.

7. Акимова, А.А. Классификация узлов малой сложности в утолщенном торе/А.А. Акимова//Всерос. конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сб. работ победителей / под общ. ред. А.С. Андреева. - Ульяновск, 2012. - С.5-6.

8. Акимова, А.А. Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности /А.А. Акимова //Тез. Междунар. (44-й Всерос.) молодёжной школы-конф. - Екатеринбург, 2013. - С. 173-175.

9. Акимова, А.А. Классификация виртуальных узлов рода 1 малой сложности /А.А. Акимова //Дни геометрии в Новосибирске, 2013: тез. междунар. конф. - Новосибирск, 2013. - С.9-10.

10. Akimova, A.A. Classification of low complexity knots in the thickened torus/ A.A. Akimova, S.V. Matveev//Abstracts of International Topological Conference «Alexandroff Readings». - Moscow, 2012. - pp.8.

26 а

2 3 7Ь 3,

246Ь 22210с 2239е 2248с 2248е 2338е

и

2347е 2 3 5 6 е 2446с 2455е 3346е 2 2 2 311« 2 2 2 410/ 2 2 2 410В

47

5з

А

22259/ 22259« 22268/ 2 2 3 310Я 223310} 223310] 22349« 22349]

54

5т

223 58* 22358] 2236 7* 22448] 22457В 2245 7« 22466Ш 22556]

5,4

519

17

23339} 23339] 23348£ 233481 23348] 23447] 23447] 23456Я

5го

5ге

527

I]

2345 бе

52а

23456] 23555] 528 5Эо

2444 6/ 5т

244 5 5« 5 32

33 34 7к

333 5 6]

Рис. 1: Примариые проекции с не более чем 5 перекрестками на торе Т, который представлен в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами. Каждая строка вида {г^... означает, что соответствующая проекция имеет тип графа х 6 {а, Ь, с, с£, е, /, д, /г, /с} и что её грани являются ¿„-угольниками, где 1 < т < п. Проекции — в лексикографическом порядке

333339 333348 333348 333357 333456 334446 334446 334455 61 62 63 64 65 66 67 68

Рис. 2: Примарные октаэдральные проекции на торе Т

5в1 5вг 5вз 5в4 5вв 5вв 5.7

Рис. 3: Диаграммы примарных узлов в утолщенном торе Т х I, имеющие п < 5 перекрестков. Тор Т представлен в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами

Рис. 4: Октаэдральные диаграммы примарных узлов в Т х I

Рис. 5: Примарные виртуальные узлы рода 1, имеющие минимальные диаграммы, в которых ребра, соединяющие классические перекрестки, образуют одномерный остов октаэдра

5е» 5в4 5аг 5в| 5М

Рис. 6: Примарные виртуальные узлы рода 1, имеющие не более 5 классических перекрестков

Акимова Алена Андреевна

КЛАССИФИКАЦИЯ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ РОДА 1 МАЛОЙ СЛОЖНОСТИ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 31.08.2015. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 424/530.

Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.