Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

4841173

Казанцев Александр Дмитриевич

Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 Ч иы?

иыг1 ¿¿п

Москва—2011

4841173

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Дынников Иван Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор Лексин Владимир Павлович кандидат физико-математических наук, доцент Сосинский Алексей Брониславович Учреждение Российской академии наук, Санкт-Петербургское Отделение Математического Института имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 25 марта 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 25 февраля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета л

Д.501.001.84 при МГУ /У О

доктор физико-математических наук, (/.-Л,

профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация является исследованием в теории узлов - области геометрии и топологии, изучающей вложения окружности в трехмерное пространство. Центральным вопросом в теории узлов является вопрос классификации узлов и зацеплений. Однако, построение алгоритма, определяющего, являются ли два данных зацепления изотопными или нет, является труднейшей задачей. Формально, такой алгоритм построен. Он опубликован в работе С. В. Матвеева1 и использует теорию нормальных поверхностей. Однако, он не применим на практике в силу слишком большой вычислительной сложности. Это соображение мотивирует поиск новых алгоритмов в теории узлов, работающих быстро хотя бы в некоторых «очевидных» случаях.

Такие более эффективные алгоритмы удалось построить И. А. Дынникову2 благодаря развитой им технике изучения слоений на поверхностях, лежащих в дополнения к книжным представлениям зацеплений, соответствующих прямоугольным диаграммам зацеплений. В работе И. А. Дынникова было показано, что прямоугольную диаграмму тривиального узла можно привести к тривиальному виду при помощи элементарных движений, не повышающих сложность диаграммы (в дальнейшем мы будем говорить об этом как о монотонном упрощении прямоугольных диаграмм узлов и зацеплений). В той же работе показывается, что с помощью монотонного упрощения можно решить и задачу разложения узла или зацепления на простые неприводимые слагаемые. Под этим понимается следующее: при помощи элементарных преобразований не увеличивающих сложность, диаграмму узла/зацепления можно привести к виду, который представляет собой соответствующую композицию диаграмм простых составляющих данного узла/зацепления. Вышесказанное означает, что для каждой исходной прямоугольной диаграммы решения всех трех упомянутых задач достаточно искать только в классе диаграмм меньшей сложности, что существенно ускоряет время работы соответствующего алгоритма.

Естественно возникает следующий вопрос: верно ли, что и диаграмму любого сателлитного узла можно монотонно упростить до такого

'S. V. Matveev, A'.goritkmic topology and classification of S-manifolds, Springer, 2003

2I. A. Dyunikov, Arc-presentations of the. links. Monotonie simplification, ArXiv: math.GT/0208153v3, 16 Jul 2004

y

вида, где структура компаньона будет явно видна? Этот вопрос является центральным для данной диссертации. В качестве иллюстрации представлен следующий рисунок:

Метод, использованный в диссертации для получения ответа на этот вопрос был впервые предложен в серии статей Дж. Бирман и В. Менэско3,4'5'6'7'8. Авторы разработали технику для изучения зацеплений и узлов, представленных в форме замкнутых кос. Данная техника использует слоения на поверхностях, лежащих в дополнениях к зацеплениям, и содержит приемы, схожие с использовавшимися ранее в работах Д. Беннекена9.

Применяя и развивая вышеупомянутую технику Дж. Бирман и В. Менэско опубликовали в 1994 года' статью10, в которой они ввели для изучения класс торов, вложенных в дополнения к замкнутым косам. В частности, они доказали, что каждый такой тор может быть преобразован (под этим подразумевается изотопия поверхности в

3J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed. Braids. I. A finiteness theorem., Pacific Journal of Mathematics, Vol. 154, No. 1 (1992), 17-36.

4J. S. Birman and W, W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. 11. On a theorem of Benncquinn. II, Topology Appl. 40, No. 1 (1991), 71-82.

6J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. HI. Classifying links which are closed S-braids., Pacific Journal of Mathematics, Vol. 161, No. 1 (1993), 25-113.

6J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids IV: Split and composite links, Invent. Math. 102 (1990), 115-139.

7J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids V: Closed braid representatives of the unlink, Tians. AMS. 329:2 (1992), 585-606.

5J. S. Birman and W. VV. Mcnasco, Studying Links Via ClosetI Braiils. VI. A nonfiniteness theorem., Pacific Journal of Mathematics, Vol. 156, No. 2 (1992), 265-285.

9D. Bennequin, Entrelacements et equations de Pfaff, Asterisque 107-108 (1983), 87-161.

10J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Topology 33 (1994) No. 3, 525-556.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

дополнении к зацеплению вместе с изменением самого зацепления при помощи перестановочных преобразований) так, что слоение, высекаемое на торе страницами книжного представления будет являться так называемым шахматным слоением (далее мы будем использовать этот термин вместо оригинального standard tiling).

Однако, геометрическое описание торов из этого класса было неполным11. В частности, К. Нг12 представила серию примеров торов, обладающих шахматным слоением, однако не являющихся так называемыми тонкими торами (границами трубчатых окрестностей зацеплений), как ранее утверждалось в работе Бирман и Менэско13. Вопрос о возможности дальнейшего упрощения этих торов до вида тонких торов при помощи допустимых преобразований оставался открытым. В диссертации дается ответ на аналогичный вопрос сформулированный на языке прямоугольных диаграмм (вместо замкнутых кос).

Следует отметить, что идея изучения слоений на поверхностях, лежащих в дополнениях к зацеплениям была использована не только в случае замкнутых кос. В 1995-1996 П. Кромвелл14,15 использовал данную идею для изучения так называемых книжных представлений зацеплений и изучил некоторые основные свойства последних. Дальнейшее развитие этой техники и результаты для прямоугольных диаграмм зацеплений (которые являются просто другим способом описания книжных представлений зацеплений) и получил И. А. Дьшников в уже упоминавшейся работе16. В той статье показывается, что диск, в случае тривиального узла, или сфера в случаях разводимого зацепления или связной суммы двух узлов, могут быть преобразованы так, чтобы иметь специальные слоения, высекаемые на. них страницами книжного представления. Эти упрощения поверхностей проводятся при одновременном упрощении соответствующих книжных представлений при помощи элементарных движений, что в итоге дает то книжное

Jij. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Errata, Topology 37 (1998) No. 1, p. 225.

12K. Y. Ng, essential tori in link complements, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, Vol. 7, No. 2 (1998) 205-216.

13J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Topology 33 (1994) No. 3, 525-556.

HP. Cromwell, Embedding knots and links m an open book J: Basic properties, Topology and its Applications 64 (1995), 37-58.

15 P. Cromwell and I. J. Nutt, Embedding knots and links in an open book II: bounds on arc index, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119:2 (1996), 309-319.

16I. A. Dynnikov, Arc-presentations of the links. Monotonie simplification, ArXiv: math.GT/0208153v3, 16 Jul 2004

представление, которое требовалось получить.

Аналогично, в диссертации показывается, что каждый несжимаемый тор, лежащий в дополнении к зацеплению, может быть преобразован (вместе с упрощением соответствующего книжного представления путем применения последовательности элементарных преобразований) так, чтобы иметь шахматное слоение. Однако, в нашем случае получение шахматного слоения не означает, что пара (тор, книжное представление зацепления) может быть упрощена окончательно до вида, где тор будет тонким.

В диссертации объясняется, почему обсуждавшаяся до сих пор техника не дает окончательного упрощения пары (зацепление, тор), а также какие возникают препятствия для дальнейшего упрощения. Примеры прямоугольных диаграмм зацеплений и торов из дополнений соответствующих зацеплений, которые не могут быть окончательно упрощены при помощи элементарных преобразований без увеличения сложности, приводятся. Также указываются условия, когда монотонное упрощение возможно.

Цель работы

Цель диссертации - исследование возможности монотонного упрощения (т.е. путем применения последовательности рокировок и дестабилизации) прямоугольной диаграммы произвольного зацепления до такого вида, в котором структура любого несжимаемого тора из дополнения к зацеплению обнаружима явно на диаграмме зацепления.

Научная новизна

В диссертации решена задача о нахождении препятствий к выявлению сателлитной структуры на прямоугольной диаграмме зацепления или узла путем монотонного упрощения. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построены примеры зацеплений и несжимаемых торов в их дополнениях, такие, что соответствующие прямоугольные диаграммы не могут быть монотонно упрощены до такого вида, где структура торов станет явной.

2. Доказывается, что для серии примеров торов, полученной в работе К. Нг, возможно их упрощение разрешенными преобразованиями

до вида тонких торов, если они лежат в дополнении к узлу. При этом выявляется сателлитная структура на прямоугольной диаграмме соответствующего узла.

3. Доказано следующее:

• Любой тор сложности меньше, чем 22, лежащий в дополнении к узлу, может быть монотонно упрощен до вида тонкого тора.

• Существует пример узла сложности 11 и тора сложности 22, лежащего в дополнении к этому узлу, таких, что монотонным упрощением вложения пары (узел, тор) в трехмерную сферу нельзя добиться того, чтобы тор стал тонким. Соответственно, на прямоугольной диаграмме данного узла, сателлитная структура не выявляется при помощи монотонного упрощения.

• Существуют примеры торов, лежащих в дополнении к соответствующим зацеплениям, такие, что они не могут быть получены операцией "продавливания" из тонких торов.

Основные методы исследования

В диссертации используется техника, разработанная в серии статей Дж. Бирман и В. Менэско для узлов и зацеплений, представленных замкнутыми косами, а затем адаптированная И. А. Дынниковым для изучения прямоугольных диаграмм узлов и зацеплений. В работе также используются комбинаторные методы изучения вложений торов в трехмерную сферу. Кроме того, в работе использовалась компьютерная программа, написанная автором по представленному в диссертации алгоритму. Данная программа позволила получить множество практических результатов и конкретных примеров описания комбинаторных вложений торов в трехмерную сферу.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут найти применение в комбинаторике, теории узлов и маломерной топологии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• В 2009 и 2010 гг. на научно-исследовательском семинаре «Алгебраическая топология и ее приложения» кафедры высшей геометрии и топологии МГУ.

• На международной конференции «Knots in Poland 2010», Варшава (Польша), июль 2010 г.

• На XVII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, апрель 2010 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 2 работы. Список работ приводится в конце автореферата [1-2].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 5 глав (первая из которых является вводной) и библиографии (55 наименований). Общий объем диссертации 53 страницы.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из пяти глав, первая из которых является введением.

Во введении (глава 1) изложена краткая история вопроса, показана актуальность темы и приведены основные результаты диссертации.

В начале главы 2 даются определения узла, зацепления и плоской диаграммы узла. Затем приводятся следующие необходимые определения: Определение 2.4. Прямоугольной диаграммой узла (зацепления) называется плоская диаграмма D узла (зацепления), удовлетворяющая следующим условиям:

1. D состоит только из вертикальных и горизонтальных отрезков, которые мы будем называть ребрами.

2. В каждом пересечении вертикальное ребро проходит над горизонтальным.

3. Никакие два ребра не лежат на одной прямой

Определение 2.6. Две прямоугольные диаграммы мы будем называть комбинаторно эквивалентными, если их можно соединить изотопией плоскости, имеющей форму h(x,y) = (f(x),g(y)).

Определение 2.7. Следующие преобразования прямоугольных диаграмм будем называть элементарными преобразованиями:

1. Циклическая перестановка горизонтальных или вертикальных ребер (для примера циклической перестановки вертикальных ребер см. рис. 1 - слева)

2. Стабилизации и дестабилизации (для примера см. рис. 1 - в середине)

3. Перестановка лежащих рядом ребер, если их концы не перемежаются (такие преобразования ,еще называют рокировками; для примера рокировки горизонтальных ребер см. рис. 1 - справа)

Рис. 1.

Определение 2.9. Сателлитпным узлом (зацеплением) в пространстве 53 называют узел (зацепление) К, в дополнении к которому содержится несжимаемый тор, неизотопный £-окрестности данного узла (зацепления) в пространстве Б3\К. Сердцевину этого тора называют компаньоном данного узла.

Определение 2.11. Будем говорить, что прямоугольная диаграмма Кц зацепления К является компаньоном диаграммы £>ц зацепления Ь если выполняется следующее:

1. Расстояние по х (соответственно, по у) между любыми двумя соседними вертикальными (соответственно, горизонтальными) ребрами Кц является большим, чем некоторая константа й.

2. Существует набор С компонент Ьц, чьи вершины лежат достаточно близко к вершинам Кц. Вершины других компонент лежат достаточно далеко далеко от вершин К&. Под этим поднимается следующее: небольшой изотопией можно сделать так, чтобы расстояние от каждой вершины каждой компоненты из С до ближайшей вершины Кц было бы не больше, чем, например, ¿/100. В то же время, расстояние от любой вершины любой

г

компоненты Ьц, не включенной в С, до ближайшей вершины Кц больше, чем оС/5.

3. Кц и Ьц представляют разные зацепления.

Определение 2.12. Пусть Ь - зацепление в 53, а Т Б3\Ь является несжимаемым тором. Будем говорить, что структура тора Т непосредственно обнаружима (или сателлитная структура явно видна) на прямоугольной диаграмме Ьд зацепления Ь, если Т изотопен (в 5^1) границе трубчатой окрестности некоторого узла К, чья прямоугольная диаграмма К л является компаньоном диаграммы Ьд.

Определение 2.13. Пусть Ь - зацепление в Б3, а Т •—► является несжимаемым тором. Будем говорить, что структура тора Т обнаружима на прямоугольной диаграмме Ьц зацепления Ь при помощи монотонного упрощения, если существует последовательность дестабилизаций и рокировок, переводящая Ьц в на которой структура тора Т явно видна.

В конце главы 2 формулируются основные вопросы, изучаемые в диссертации. В самом общем виде вопрос, служащий отправной точкой для изучения, формулируется так:

Вопрос 2.14. Пусть дана прямоугольная диаграмма зацепления Ь. Верно ли, что структура любого несжимаемого тора из дополнения к данному зацеплению обнаружима на прямоугольной диаграмме при помощи монотонного упрощения?

Глава 3 описывает технику изучения прямоугольных диаграмм зацеплений при помощи слоений, высекаемых на поверхностях, лежащих в дополнениях к зацеплениям. Для этого даются необходимые определения, а также доказывается следующая теорема (аналогично тому, как это сделано в работе И. А. Дынникова):

Теорема 3.18. Пусть имеется зацепление Ь в книжном представлении и несжимаемый тор Т в дополнении к этому зацеплению. Тогда пару (Ь, Т) можно изотопно перевести в пару (£■', Т') такую, что:

1. V получено из Ь при помощи последовательности дестабилизаций и рокировок ■

2. Все вершины слоения высекаемого на торе V страницами книжного представления, имеют валентность 4. Любые два соседних седла слоения Р имеют разную ориентацию.

Будем, говорить,, что торы, получаемые в теореме 3.18, обладают шахматным слоением.

В конце главы 3 объясняется, почему наличие шахматного слоения, высекаемого на торе страницами книжного представления еще не означает, что тор является тонким.

В главе 4 строится пример прямоугольной диаграммы зацепления, на которой сателлитная структура не может быть обнаружена при помощи монотонного упрощения этой прямоугольной диаграммы. Показывается, что несжимаемый тор из дополнения к данному зацелению может быть устроен также, как пример тора, построенный в работе К. Нг17. Данный результат сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема 4.1. Существуют прямоугольные диаграммы LR и L'R зацепления L и несжимаемый, не параллельный трубчатой окрестности узла, тор Т <-» S3\L, такой, что выполняется следующее:

1. Структура Т непосредственно обнаружима на L'R.

2. Структура Т не обнаружима на Ьд.

3. Не существует последовательности дестабилизации и рокировок, преобразующей Ьц в L'R.

Кроме того, в главе 4 формулируются и доказываются следующие теоремы:

Теорема 4.9. Существуют прямоугольные диаграммы Lr и L'R зацепления L и несжимаемый тор Т <—> S3\L из JSJ-разложения S3\L, такой, что выполняется следующее:

1. Структура Т непосредственно обнаружима на L'R.

2. Структура Т не обнаружима на LR.

3. Не существует последовательности рокировок и дестабилизаций, преобразующей Lr в L'r.

Теорема 4.13. Существуют прямоугольные диаграммы LR и L'R зацепления L, состоящего из двух компонент и несжимаемый тор Т S3\L, такие, что выполняется следующее:

1. Структура Т непосредственно.обнаружима L'R.

2. Структура Т не обнаружима непосредственно на LR.

17К. Y. Ng, essential tori in link complements, Journal of Knot Theory £md Its Ramifications, Vol. 7, No. 2 (1998) 205-216.

3. Не существует последовательности рокировок и дестабилизации, переводящей Ьц в Ь'д.

Также приводится техническое утверждение 4.11. о том, что утверждения теорем 4.1. и 4.9. останутся верными, даже если разрешить использовать флайпы вместо элементарных движений.

В главе 5 приводится пример узла и тора, лежащего в дополнении к данному узлу и имеющего сложность 22, таких, что при помощи монотонного упрощения тор не может быть упрощен до вида тонкого тора. Доказывается также, что если тор в дополнении к книжному представлению узла имеет сложность менее 22, то при помощи монотонного упрощения структуру данного тора можно выявить на прямоугольной диаграмме узла. Кроме того, показывается, что любой тор из серии торов, предложенной К. Нг допускает монотонное упрощение до вида тонкого тора. Также находится пример вложения тора, которое не может быть получено в результате операции "продавливания" из тонкого тора (гипотеза о том, что любой тор может быть получен "продавливанием" из тонкого тора была выдвинута К. Нг).

Данные результаты сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 5.7. Пусть имеется узел К в книжном представлении и тор Нг в дополнении к этому узлу: Т <—► 53\А", являющийся компаньоном данного узла. Тогда производя лишь рокировки и дестабилизации, а также изотопно меняя вложение тора Т в в3\К, можно добиться того, чтобы тор Т стал тонким.

Теорема 5.20. Существует тор, имеющий шахматное слоение, который не может быть получен операцией продавливания из тонкого тора.

Теорема 5.22. Пусть имеется узел К в книжном представлении и несжимаемый тор Т в дополнении к нему. Пусть сложность вложения тора меньше, чем 22. Тогда пара (Т, К) может быть монотонно преобразована в пару (Т1, К'), где тор Т является тонким.

Теорема 5.24. Существуют прямоугольные диаграммы Ьд и Ь'к узла К и несжимаемый тор Т 83\Ь, такие что выполняется следующее:

1. Структура Т непосредственно обнаружима на Ь'к.

2. Структура Т не обнаружима непосредственно на Ьц.

3. Не существует последовательности флайпов, переводящей Ьц в Ь'Е без увеличения сложности промежуточных диаграмм.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Ивана Алексеевича Дынникова за постановку задачи, помощь, внимание и интерес к работе. Автор также благодарит всех сотрудников кафедры высшей геометрии и топологии за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Казанцев А. Д., Монотонное упрощение книжных представлений некоторых сателлитных узлов. Успехи математических наук, том 65, вып. 4 (394), стр. 195-196 (2010).

[2] A. Kazantsev, The problem of detecting the satellite structure of a link by monotonie simplification, Journal of knot theory and its ramifications, Vol. 20 (2011), No. 1, pp. 109-125.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ЮС экз. Заказ Кг /3

1 Введение

2 Постановка задачи

2.1 Основные определения.

2.2 Формулировки изучаемых вопросов.

3 Слоения на поверхностях

3.1 Книжные представления узлов и зацеплений.

3.2 Шахматные слоения, высекаемые на торах.

3.3 Препятствия к упрощению торов.

4 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к зацеплениям

4.1 Базовый пример.

4.2 Пример тора из ЛЗЛ-разложения.

4.3 Связь построенных примеров с примерами К. Нг.

4.4 Пример с двумя компонентами.

5 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к узлам

5.1 Частный случай: торы Нг.

5.2 Алгоритм нахождения всех торов, имеющих шахматное слоение

5.3 Упрощение торов, имеющих сложность менее 22.

5.4 Неупрощаемый тор сложности

Математическая теория узлов возникла в 19 веке усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был поначалу связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма и изучением строения атома, позднее теория узлов стала развиваться как самостоятельная наука. В конце XIX века в работах [1] и [2] были построены первые таблицы узлов малой сложности. Позже теория развивалась благодаря работам Дж. Алексапдера, М. Дэна, Г. Зейферта, К. Рейдемейстера и многих других математиков.

На этапе зарождения теории узлов последние представлялись регулярными проекциями на плоскость, а движения Рейдемейстера рассматривались как их элементарные преобразования [3], [4]. Позже было придумано другое комбинаторное описание - с помощью так называемых кос (впервые введены Е. Артином в работах [7] и [8]) и движений Маркова [5], [6]. Проблема равенства в группе кос также была решена Б. Артином.

Одним из важнейших направлений в теории узлов является построение алгоритмов (как чисто теоретических, так и работающих на практике) для решения существующих задач. При этом алгоритмические решения некоторых проблем оказываются довольно сложными. Например, алгоритмов, определяющих эквивалентность двух узлов или тривиальность данного узла, не существовало до середины 50-х годов XX века, хотя уже в начале века появились доказательства неэквивалентности и нетривиальности конкретных узлов. Нам также не известно ни о каких попытках построения алгоритма, определяющего является ли узел сателлитным, до этого времени.

Опишем кратко некоторые существующие в теории узлов алгоритмы.

В работе [52] В. Хакеном был построен алгоритм распознавания тривиального узла при помощи нормальных поверхностей Г. Кнезера [9]. В той же работе строятся алгоритмы для вычисления рода узла, а также определения разводимости зацепления.

В [10] X. Шуберт, продолжая работу В. Хакепа, построил алгоритм для разложения неразводимого зацепления в связную сумму простых слагаемых. Существование и единственность такого разложения была доказана Шубертом ранее в [11], а на произвольные зацепления этот результат обобщил Й. Хашицуме в [12].

Идеи решения проблемы распознавания зацеплений с помощью исследования их дополнительных пространств были сформулированы В. Хакеном в работах [13], [14]. При этом в реализации этих идей значительный вклад был внесен благодаря развитию теории достаточно больших многообразий в работах Ф. Вальдхаузена [15], Йоганнсона [51], У. Джейко и П. Шалена [48], а также решению Дж. Хемионом проблемы сопряженности в группах классов отображений [16]. Проблема алгоритмической классификации неприводимых достаточно больших многообразий многократно объявлялась решенной [17], [18], [19]. Однако, как указал С. Матвеев [20], этих результатов было все еще недостаточно для завершения программы Хакена. Пробел был заделан С. Матвеевым с помощью более поздних результатов [21], [22]. Полное описание алгоритма распознавания многообразий Хакена, дающего в частном случае алгоритм распознавания зацеплений, молено найти в работе [46]. \

В силу всего вышесказанного формально вопрос о разрешимости задачи сравнения двух данных зацеплений считается решенным. Однако, алгоритм, описанный в [46], настолько сложен, что реализовать его на практике (в виде компьютерной программы) практически невозможно даже в тех случаях, когда эквивалентность или неэквивалентность данных узлов «очевидна». При этом следует упомянуть, что существует и другой подход к алгоритмической классификации многообразий Хакена, основанный на теореме Тёрстона о гиперболизации [23], [24]. Однако, подробное его описание в литературе отсутствует.

В конце 1960-х в работах Г. С. Маканина [25], и Ф. Гарсайда [26] независимо была решена проблема сопряженности в группах кос. Полученные алгоритмы требовали очень большого перебора. Гарсайд указал также и новый алгоритм для решения проблемы равенства в группе кос, но этот алгоритм также был очень медленным.

Отметим, что примерно до середины 1980-х годов сложность алгоритмов, не связанных напрямую с решением технических задач, не обсуждалась. Интерес к подобным вопросам появился в связи с широким распространением персональных компьютеров, позволивших применять построенные алгоритмы для дальнейшего исследования. В 1980-хх гг. У. Тёрстон существенно улучшил алгоритм Гарсайда для распознавания кос и получил алгоритм с полиномиальной по длине входа оценкой на время работы. Тёрстон доказал, что группы кос обладают биавтоматной структурой [27]. Впоследствии и алгоритм для распознавания классов сопряженности кос был существенно ускорен [28]-[30].

В конце 1980-х - начале 1990-х Дж. Бирман и У. Менеско стали активно развивать подход Александера-Маркова, основанный на представлении зацеплений замкнутыми косами [34]-[41]. Развитые ими методы в том числе привели к построению нового алгоритма для распознавания тривиального узла [42], который, по-видимому, уступает алгоритму Хакена в скорости, но позволяет получать данные, полезные для дальнейшего исследования.

В недавней работе И. А. Дынников [31] предложил еще один алгоритм распознавания тривиального узла, принципиальное отличие которого от ранее известных состоит в том, что он не использует дополнительные конструкции такие, как триангуляции дополнительного пространства и расслоенные диски, а работает непосредственно с диаграммами узлов, монотонно их упрощая. В работе было показано, что прямоугольную диаграмму тривиального узла можно привести к тривиальному виду при помощи элементарных движений, не повышающих сложность диаграммы (в дальнейшем мы будем говорить об этом как о монотонном упрощении прямоугольных диаграмм узлов и зацеплений). В той же работе показывается, что с помощью монотонного упрощения молено решить и задачу разложения узла или зацепления на простые неприводимые слагаемые. Под этим понимается следующее: при помощи элементарных преобразований не увеличивающих сложность, диаграмму узла/зацепления можно привести к виду, который представляет собой соответствующую композицию диаграмм простых составляющих данного узла/зацепления. Естественно возникает следующий вопрос: верно ли, что и диаграмму любого сателлитного узла можно монотонно упростить до такого вида, где структура компаньона будет явно видна? Этот вопрос является центральным для нашего исследования. В качестве иллюстрации представлен рисунок 1.1. Р I

Яд. 1

Р(д. 2

Н] ф

11

Р!д.З Г В ф? т 1

11

Похожий вопрос для случая замкнутых кос изучался в работе Бирман и Менэско [40]. Однако, как выяснилось позже, в рассуждениях авторов была ошибка (см. [41], [33]), в связи с чем геометрическое описание найденных ими серий торов нельзя было считать оконченным.

Настоящая диссертация посвящена изучению возможности монотонного упрощения прямоугольной диаграммы сателлитного узла до диаграммы, на которой сателлитпая структура становится явной. Для этого в начале даются необходимые определения и теоремы, а также излагается техника, позволяющая упрощать прямоугольные диаграммы зацеплений при помощи изучения слоений на поверхностях, лежащих в дополнениях к ним. Далее, объясняется какие результаты удается получить при помощи этой техники и какие возникают проблемы для дальнейшего упрощения. В частности, объясняется какие существуют примеры вложений торов, чья структура не поддаются выявлению на прямоугольной диаграмме. Кроме того, в работе строится алгоритм поиска комбинаторных описаний всех торов, обладающих шахматным слоением. Данный алгоритм удалось реализовать на практике в виде работающей компьютерной программы. Некоторые иллюстрации данной диссертации являются результатом работы вышеописанной программы.

Основными результатами диссертации являются:

1. Теоремы 4.1, 4.9 и 4.13, в которых строятся примеры торов, лежащих в дополнениях к соответствующим зацеплениям, неупрощаемые до вида тонких торов (границ достаточно маленьких трубчатых окрестностей узлов).

2. Теорема 5.7, в которой доказывается, что для серии примеров торов, полученной в работе К. Нг, возможно их упрощение до вида тонких торов, если они лежат в дополнении к узлу. При этом выявляется сателлитная структура на прямоугольной диаграмме соответствующего узла.

3. Теоремы 5.22, 5.23 и 5.24 утверждающие следующее:

• Любой тор сложности меньше, чем 22, лежащий в дополнении к узлу, может быть монотонно упрощен до вида тонкого тора.

• Существует пример узла сложности 11 и тора сложности 22, лежащего в дополнении к этому узлу, таких, что монотонным упрощением вложений узла и тора нельзя добиться того, чтобы тор стал тонким. Соответственно, на прямоугольной диаграмме данного узла сателлитная структура не выявляется при помощи монотонного упрощения.

4. Теорема 5.20, в которой строится контрпример к гипотезе К. Нг (см. [33]) о том, что любой тор, обладающий шахматным слоением, может быть получен из тонкого тора операцией продавливания, описанной в той же статье.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ивану Алексеевичу Дынникову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе. Автор благодарит всех сотрудников кафедры высшей геометрии и топологии за творческую атмосферу, способствующую научной работе.

1. Т. P. Kirkman, The enumeration, description and construction of knots of fewer than ten crossings, Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1885, V. 32, 281-309

2. P. G. Tait, On knots, Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1877, V. 28., 145-190

3. J. W. Alexander, С. B. Briggs, On types of knotted curves, Ann. of Math. 1926/27. V. 28, 562-586

4. K. Reidemeister, Knotentheorie, Berlin: Springer-Verlag, 1932. (Ergeb. Math. Grenzgeb. V. 1. No 1.)

5. J. W. Alexander, A lemma on systems of knotted curves, Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 1923, V. 9, 93-95

6. A. A. Markoff, Uber die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe, Матем. сб. 1936, Т. 1 (43). No 1, 73-78

7. Е. Artin, Theorie der Zöpfe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1925, V. 4, 47-72

8. E. Artin, Theory of braids, Ann. of Math. (2), 1947, V. 48, No 1, 101-126

9. H. Kneser, Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 1929, V. 38, 248-260

10. H. Schubert, Bestimmung der Primfactorzerlegung von Verkettungen, Math. Z., 1961, V. 76, 116-148 (Русс, пер.: X. Шуберт. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые, Математика: Сб. перев. 1966, Т. 10, No 4, 45-78).

11. Н. Schubert, Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. KL, 1949, V. 1949, No 3, 57104

12. Y. Hashizume, On the uniqueness of the decomposition of a link, Osaka Math. J., 1958, V. 10, 283-300; 1959, V. 11, 249

13. W. Haken, Ein Verfahren zur Aufspaltung einer 3-Mannigfaltigkeit in irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten, Math. Z., 1961, V. 76, 427-467

14. W. Haken, Uber das Homdomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. /, Math. Z., 1962, V. 80, 89-120

15. F. Waldhausen, On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. of Math. (2), 1968, V. 87, 56-88

16. G. Hemion, On the classification of homeomorphisms of 2-manifolds and the classification of 3-manifolds, Acta Math., 1979, V. 142, No 1-2, 123155

17. F. Waldhausen, Recent results on sufficiently large 3-manifolds, Algebraic and Geometric Topology, Part 2, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1978, 21-38 (Proc. Sympos. Pure Math. V. 32)

18. K. Johannson, Classification problems in low-dimensional topology, Geometric and Algebraic Topology, Warsaw: PWN, 1986, 37-59 (Banach Center Publ, V. 18)

19. G. Hemion, The Classification of Knots and 3-Dimensional Spaces, New York: Clarendon Press, Oxford Univ. Press, 1992.

20. W. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeoporphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 1988, V. 19, No 2, 417-431

21. M. Bestvina, M. Handel, Train-tracks for surface homeomorphisms, Topology, 1995, V. 34, No 1, 109-140

22. W. Thurstnon, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1982, V. 6, 357-379

23. M. Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Boston, MA: Birkhhauser, 2001 (Progr. Math. V. 183)

24. Г. С. Маканин, Проблема сопряжености в группе кос, Докл. АН СССР, 1968, Т. 182, No 3, 495-496

25. F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1969, V. 20, No 78, 235-254.

26. D. B. A. Epstein, J. W. Cannon, D. F. Holt, S. V. F. Levy, M. S. Patterson, W. P. Thurston, Word Processing in Groups, Boston: Jones and Barlett, 1992

27. E. A. El-Rifai H. R. Morton, Algorithms for positive braids, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1994, V. 45, No 180, 479-497

28. J. Birman, K. H. Ko, S. J. Lee, The infimum, supremum, and geodesic length of a braid confugacy class, Adv. Math., 2001, V. 164, No 1, 41-56

29. N. Franco, J. Gonzalez-Meneses, Conjugacy problem for braid groups and Garside groups, J. Algebra, 2003, V. 266, No 1, 112-132.

30. I. A. Dynnikov, Arc-presentations of the links. Monotonic simplification, ArXiv: math.GT/0208153v3, 16 Jul 2004

31. I. A. Dynnikov, A New Way to Represent Links. One-Dimensional Formalismand Untangling Technology, Acta Appl. Math. 69 (2001), 243283.

32. K. Y. Ng, essential tori in link complements, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, Vol. 7, No. 2 (1998) 205-216.

33. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. I. A finiteness theorem, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 154, No. 1 (1992), 17-36. i

34. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. II. On a theorem of Bennequinn. //, Topology Appl. 40, No. 1 (1991), 71-82.

35. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. III. Classifying links which are closed 3-braids, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 161, No. 1 (1993), 25-113.

36. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids IV: Split and composite links, Invent. Math. 102 (1990), 115-139.

37. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids V: Closed braid representatives of the unlink, Trans. AMS. 329:2 (1992), 585606.

38. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. VI. A nonfiniteness theorem, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 156, No. 2 (1992), 265-285.

39. J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Topology 33 (1994) No. 3, 525-556.

40. J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Errata, Topology 37 (1998) No. 1, p. 225.

41. J. Birman and M. Hirsch, A new algorithm for recognizing the unknot, Geometry and Topology 2 (1998), 175-220.

42. D. Bennequin, Entrelacements et equations de Pfaff, Asterisque 107-108 (1983), 87-161.

43. P. Cromwell, Embedding knots and links in an open book I: Basic properties, Topology and its Applications 64 (1995), 37-58.

44. P. Cromwell and I. J. Nutt, Embedding knots and links in an open book-II: bounds on arc index, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119:2 (1996), 309-319.

45. S. V. Matveev, Algorithmic topology and classification of 3-Manifolds, Berlin: Springer-Verlag, 2003 (Algorithms Comput. Math. V. 9).

46. S. V. Matveev, Computer Recognition of Three-Manifolds, Experimental Math. 7:2, 153-161a

47. Jaco, William H.; Shalen, Peter B., Seifert fibered spaces in 3-manifolds., Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), No. 220

48. Jaco, William H.; Shalen, Peter B., Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Geometric, topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 91-99, Academic Press, New York-London, 1979

49. Johannson Klaus, Iiomotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries, Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979

50. W. Haken, Theorie der Normalflachen. Ein Isotopiekriterium fur der Kreisknoten, Acta Math., 105 (1961), 245-375

51. А. Е. Hatcher, A Proof of the Smale Conjecture Diff(S3) c* 0(4), Annals of Math. 117 (1983), 553-607Публикации автора по теме диссертации

52. А. Д. Казанцев, Монотонное упрощение книжных представлений некоторых зацеплений, Успехи математических наук, т. 65, No. 4 (394), 2010, 195-196

53. A. Kazantsev, The problem of detecting the satellite structure of a link by monotonic simplification, Journal of knot theory and its ramifications, Vol. 20, No. 1, 2011, 109-125