Геометрия слоений со связностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Жукова Нина Ивановна

ГЕОМЕТРИЯ СЛОЕНИЙ СО СВЯЗНОСТЯМИ 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

IУ ПАП 2С14

Казань 2014

005549289

Работа выполнена на кафедре геометрии н высшей алгебры механико-математического факультета ФГАОУ ВПО „Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (Национальный исследовательский университет)",

Яковлев Евгений Иванович

Науч н ы й ко не ул ьтант:

доктор физико-математических наук, профессор Кордюков Юрий Аркадьевич,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИМ ВЦ УНЦ РАН

Берестовский Валерий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ОФ ИМ СО РАН

Степанов Сергей Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор, Финансовый университет при Правительстве РФ

Московскпй государственны ¡1

Ведущая организация:

университет им. м.В.Ломоносова

Защита состоится 19 июня 2014 года в 14:30 часов на заседании Диссертационного совета Д.212.081.10 при Казанском (приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. йо,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан сМоал^. 2014 г.

У чены й сек ретарь д пссертаци о н но го совета кандидат физ.-мат. паук, доцент

Лииачёв Е.К.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию слоений, согласованных со связ-ностями Эресмана и Картана. Картановы связности включают в себя такие обширные классы связностей, как аффинные, проективные, конформные, псевдоримановы и римановы, лоренцевы, вейлевы и параболические. Говорят, что на многообразии задана картанова геометрия, если оно является базой главного расслоения, в котором задана картанова связность.

Блюменталь и Хебда ввели дифференциально-топологическое понятие связности Эресмана для слоений как такое распределение, трансверсаль-ное слоению, для интегральных кривых которого определен перенос вдоль кривых в слоях1. Если слоение образовано слоями субмерсии, то для него понятие связности Эремана эквивалентно известному понятию связности Эремана для субмерсии. Связность Эремана для слоений является ключевым инструментом исследования в данной работе.

Наличие связности Эресмана у слоений, согласованных с геометрическими структурами, позволило диссертанту с единой точки зрения исследовать их дифференциально-геометрические и топологические свойства и доказать теоремы о глобальной структуре таких слоений.

Актуальность темы Теория связностей в расслоенных пространствах занимает центральное место в дифференциальной геометрии. Основные идеи общей теории связностей восходят к Э.Картану. Современная глобальная форма теории связностей на языке расслоений создана Ш.Эресманом.

После введения Р.А.Блюменталем и Дж.Хебдой гомотопического понятия связности Эресмана для слоений эта тематика привлекла внимание ряда современных математиков, таких как В.В.Шурыгин, Р.А.Волак.

Е.И.Яковлев существенно использовал римановы слоения и их связности Эресмана в разработанном им методе решения вариационной задачи с закрепленымн концами для многозначных функционалов действия систем с гироскопическими силами. Это позволило ему свести исходную проблему к

1Blumenthal, R.A. Ehresmann connections for foliations / R.A.Blumenthal, J.J.Hebda // Indiana Univ. Math. J. - 1984. - V. 33, № 4. - P. 597-611.

аналогичной задаче для однозначных функционалов на пространстве путей, соединяющих фиксированную точку с некоторым слоем риманова слоения.

Слоения со связностями Эресмана естественным образом возникают в дифференциальной геометрии. Каждое приводимое риманово многообразие допускает параллельное слоение с интегрируемой связностью Эресмана. Исследованиям параллельных слоений на приводимых римановых многообразиях посвящены работы Я.Л.Шапиро.

Влияние кривизны на геометрию некоторых классов слоений на римановых многообразиях исследовалось в работах В.Ю.Ровенского и С.Е.Степанова. Слоениям со слоевыми структурами посвящены работы Р.А.Блю-менталя и Дж.Хебды, а также М.А.Малахальцева. К слоениям со слоевыми структурами относятся лагранжевы слоения, естественным образом возникающие в симплектической геометрии, которые изучались в работах В.В.Трофимова и А.Т.Фоменко, И.Вайсмана и других. Несколько статей Ю.А.Кордюкова посвящены эллиптическим операторам на римановых слоениях. Однородные пространства с инвариантными слоениями классифицировались В.Н.Берестовским, а также В.В.Горбацевичем. В работах Ш.Ка-сивабары, В.А.Игошина, Р.А.Блюменталя и Дж.Хебды и других доказаны теоремы о разложении односвязных многообразий с двуслоением (З^Зу.

Слоения, согласованные с геометрическими структурами исследовались многими авторами, в том числе в следующих книгах: Б.Л.Рейнхарта „Дифференциальная геометрия слоений"; Ф.Камбера и Ф.Тондеура „Слоеные расслоения и характеристические классы"; П.Молино „Римановы слоения"; Ф.Тондеура „Слоения на римановых многообразиях"; В. Ровенского „Слоения на римановых многообразиях и подмногообразиях "; И. Моер-дейка и Я.Мркана „Введение в слоения и Ли группоиды"; А.Бежанку и Х.Р.Фарран „Слоения и геометрические структуры"; а также в работе Р.А.Волака „Геометрические структуры на слоеных многообразиях".

Связности, введенные Эли Картаном, сейчас называются картановыми связностями. Такие связности определяют картановы геометрии, которые можно рассматривать одновременно как обобщение римановой геометрии и однородных пространств. Они были названы Картаном „espaces généralités".

Среди геометрических структур картановы выделяются благодаря их универсальности, поскольку они включают в себя параболические, проективные, конформные, аффинно-связные, псевдоримановы и римановы структуры на многообразиях. Актуальность исследования картановых геометрий подтверждается возросшим в последние годы интересом к ним, о чем свидетельствуют статьи Д.В.Алексеевского и П.Михора, Е.Альта, Ш.Франца и других, а также монографии Р.Шарпэ2, А.Чапа и Я.Словака3. Исследованию проективных преобразований псевдоримановых многообразий посвящена монография А.В.Аминовой4.

Проблема существования и строения минимальных множеств является одной из центральных в теории слоений. А.Х.Арансоном, В.З.Гринесом и Ж.Левиттом получена топологическая классификация нетривиальных минимальных множеств потоков и слоений на замкнутых поверхностях рода р> 2. Минимальные множества римановых слоений исследовались П.Моли-но5, А.Хефлигером, а затем Э.Салем без использования термина "минимальное множество". Любое слоение на компактном многообразии имеет минимальное множество. Это неверно для некомпактных многообразий. Слоения без минимальных множеств (на некомпактных многообразиях) построены в работах Ж.Бенье и Г.Мейньеза6, а также Т.Инабы, М.Куликова.

Наиболее известными и изученными картановыми геометриями являются римановы и конформные. Напомним, что конформной структурой на многообразии M называется класс конформно эквивалентных римановых метрик [g], то есть метрик, отличающихся друг от друга положительным функциональным множителем. Группа конформных преобразований рима-нова многообразия (М,д) называется несущественной, если она является группой изометрий риманова многообразия (M, h), где h £ [д].

2Sharpe, R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Progpam. Grad. Texts in Math. V. 188 / R.W.Sharpe. - New York: Springer, 1997. - 421 p.

3Cap, A. Parabolic Geometries I: Background and General Theory / A.Cap, J.Slovak // AMS: Publishing House, 2009. - 628 p.

4Аыинова, A.B. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий / А.В.Аминова. - М.: Янус-К, 2002. - 609 с.

5Molino, P. Riemannian Foliations. Progress in Math. / P. Molino. - Boston: Birkhauser, 1988. - 339 p.

6Beniere, J.-C. Flows without minimal set /J.-C.Beniere, G.Meigniez // Erg. Th. and Dyn. Sys. - 1999. -V. 19, № 1. - P. 21-30.

Лихнерович выдвинул гипотезу о том, что любое компактное п-мерное риманово многообразие, допускающее существенную группу конформных преобразований, при п > 3 конформно стандартной n-мерной сфере Sn.

Доказательству этой гипотезы посвящены работы М.Обаты, Д.В.Алек-сеевского, Ж.Ферранд и других. Д.В.Алексеевский показал, что, если группа конформных преобразований некомпактного риманова многообразия M существенная, то M конформно n-мерному евклидову пространству.

С.Таркини7, а затем С.Таркини и Ш.Франц8 поставили следующий вопрос о конформных слоениях:

Каждое ли конформное слоение коразмерности q > 3 на компактном многообразии либо является римановым, либо — (Conf(Sq), Б^-слоением?

При q = 2 это не верно. Существуют конформные слоения коразмерности два, которые не являются ни римановыми, ни (Conf(Sq),S4)-слоениями. Положительный ответ на поставленный вопрос Ш.Франц и С.Таркини назвали „Аналогом гипотезы Лихнеровича для конформных слоений" и дали его при некоторых дополнительных предположениях.

Одной из центральных проблем в дифференциальной геометрии является вопрос о том, когда группа преобразований геометрической структуры является конечномерной группой Ли. Решение этого вопроса для различных геометрических структур на многообразиях содержится в классических работах С.Майерса и Н.Стинрода, К.Номидзу, Дж.Хано и А.Моримото, Ш.Эресмана.

В теории слоений с трансверсальными геометриями под автоморфизмами понимаются диффеоморфизмы, отображающие слои в слои и сохраняющие трансверсальные геометрии. Группа всех автоморфизмов слоения (M, 1) с трансверсальной геометрией обознается через А(М, У). Пусть Аь{М,3) — нормальная подгруппа группы А(М, 2F), образованная автоморфизмами, отображающими каждый слой в себя. Факторгруппа A{M,U)/Al{M,3) называется группой базовых автоморфизмов и обозна-

7Tarquini, С. Feuilletages conformes / C.Tarquini // Ann. Inst. Fourier. - 2004. - V.52, №2. - P. 453-480.

8Frances, C. Autour du theoreme de Ferrand-Obata / C.Frances, C.Tarquini // Annals of Global Analysis and Geometry. - 2007. - V. 21, № 1. - P. 51-62.

чается через Дв(М, Зг).

При исследовании слоений (М, 3") с трансверсальной геометрической структурой естественно задать вопрос о существовании структуры (конечномерной) группы Ли в группе базовых автоморфизмов Ав(М, У). Эта проблема поставлена И.В.Белько в статье9, где исследуются слоения с трансверсальной проектируемой связностью. Первая известная работа о нахождении достаточных условий для того, чтобы некоторая группа базовых автоморфизмов допускала структуру группы Ли, принадлежит Дж.Лесли.

Орбифолды используются в современной теоретической физике в качестве пространства распространения струн. Они также возникают в теории слоений как пространства слоев. Первые результаты по римановой геометрии орбифолдов принадлежат И. Сатаки и У. Терстону.

Истоком теории слоений считаются основополагающие работы Ш.Эрес-мана и Ж.Риба середины XX столетия. Ш.Эресманом и Ж.Рибом поставлены проблемы локальной и глобальной устойчивости слоев слоений. Известные теоремы Ж.Риба о локальной и глобальной устойчивости слоев стали классическими и вошли в учебники по теории слоений10,11. Известны также результаты Ш.Эресмана о локальной устойчивости слоев некоторого класса римановых слоений и Ш.Эресмана и С.Вейшу об устойчивости компактных слоев. Дальнейшее развитие геометрической теории слоений, изучающей свойства слоев, связано прежде всего с известными работами Б.Л.Рейнхарта, А.Хефлигера, С.П.Новикова, П. Швейцера и Х.Винкельнкемпера.

Все вышесказанное говорит об актуальности темы исследования.

Цели диссертационной работы I. Развитие теории слоений со связностями, включающее в себя введение связностей Эресмана и групп голономии для слоений с особенностями, и развитие метода Молино, основанного на конструкции слоеного расслоения, подход к геометрическим структурам на орби-фолдах как к трансверсальным для ассоциированных слоений.

9Белько, И.В. Аффинные преобразования трансверсальной проектируемой связности на многообразии со слоением / И.В.Белько // Матсм. сб. - 1982. - Т. 117, № 2. - С. 181-195.

10Тамура, И. Топология слоений / И.Тамура. - Ы.: Мир, 1979. - 317 с.

uCandel, A. Foliations I. Graduate Studies in Math. /A.Candel, L.Conlon. - AMS: Publishing House, 2000. - 402 p.

II. Применение разработанных методов к решению проблем геометрической теории слоений таких, как: существование и строение минимальных множеств и аттракторов, возможность введения структуры конечномерной группы Ли в группе базовых автоморфизмов, существование структурно устойчивых слоений.

Методы исследования В диссертации применяются методы локальной и глобальной дифференциальной геометрии; методы топологии слоений, включающие слоеные расслоения; результаты и методы теории динамических систем и действий групп.

Научная новизна Полученные результаты являются новыми. Наиболее значимые из них, выносимые на защиту:

1. Введение понятия связности Эресмана и группы *£Щ-голономии для слоений с особенностями и доказательство теорем о глобальной устойчивости компактных слоев с конечными группами *ЯП-голономии и конечными фундаментальными группами. Критерий изоморфности ростковых групп голономии группам ЯП-голономии для регулярных слоений со связностями Эресмана 9Л .

2. Построение и исследование ассоциированного слоения с особенностями, названного автором ореольным, на многообразии с полным картановым слоением произвольной коразмерности. С помощью ореольных слоений сведение задач о существовании и строении минимальных множеств кар-танова слоения типа {С, Н) к аналогичным задачам о минимальных множествах индуцированного действия группы Ли Н. Описание минимальных множеств картановых слоений типа д/() с компактно вложенной подалгеброй () в алгебру Ли д, допускающих связность Эресмана.

3. Критерий римановости конформного слоения коразмерности д > 3. Для неримановых конформных слоений коразмерности > 3 — существование аттрактора, являющегося минимальным множеством, и доказательство аналога гипотезы Лихнеровича.

4. Для полных конформных слоений коразмерности д >3 - существование глобального аттрактора и описание строения в целом таких слоений. Реализуемость любой счетной подгруппы конформной группы Ли Соп/(Зч) в качестве глобальной группы голономии некоторого полного конформного слоения.

5. Построение алгебраического инварианта д0 = до(М, У) слоения (М, 3") с трансверсальной жесткой геометрией (кратко ТЖГ) в категории слоений с ТЖГ, где изоморфизмы сохраняют не только слоения, но и трансверсальную геометрию. Доказательство существования и единственности структуры конечномерной группы Ли в группе базовых автоморфизмов произвольного слоения (М, СГ) е ОЬ($£) при равенстве нулю его структурной алгебры Ли 0о-

6. Применение слоений со связностями:

• Приложение результатов о группах базовых автоморфизмов карта-новых слоений к группам автоморфизмов картановых орбнфолдов.

• Классификация компактных лоренцевых 2-орбифолдов с некомпактными группами изометрий.

• Два критерия локальной устойчивости компактных слоений. Теорема о глобальной устойчивости компактных слоев конформных слоений.

• Теоремы о достаточных условиях существования структурно устойчивых надстроечных слоений с заданными компактными слоями.

Практическая и теоретическая значимость Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в фундаментальных исследованиях по геометрии и топологии слоений, согласованных с различными трансверсальными и слоевыми геометрическими структурами: картановыми, включающими в себя параболические, проективные, конформные, римановы, псевдоримановы геометрии, линейные связности и б-структуры конечного типа; а также при исследовании геометрии в целом многообразий, наделенных указанными геометрическими структурами.

Результаты диссертации и разработанные в ней методы могут быть использованы в учебных курсах по геометрии и топологии слоений на механико-математическом факультете ННГУ им. Н.И. Лобачевского и на физико-математических факультетах других ВУЗов (при чтении спецкурсов, при подготовке бакалаврских и магистерских работ).

Структура и содержание работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы (или части) и подразделы, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 279 страниц, включая 4 рисунка. Список литературы состоит из 235 наименований.

В Главе 1 вводятся и исследуются связности для слоений с особенностями, названные связностями Эресмана или обобщенными связнос-тями Эресмана ([16], [29]). При этом слоения без особенностей называются регулярными.

Для слоения (M, ÎF) с особенностями в смысле Сусмана и Стефана мы определяем связность Эресмана как некоторое обобщенное распределение Ш на многообразии М, позволяющее переносить интегральные кривые распределения Ш, называемые горизонтальными, вдоль кривых в слоях слоения, называемых вертикальными. В отличие от регулярного случая такие переносы являются многозначными отображениями. Поэтому мы определяем группу *9Я-голономии *H<m(L, а) произвольного слоя L слоения (М, Э') как группу преобразований некоторого фактормножества ila/p множества Па горизонтальных кривых с началом в точке а. Слоение (М, ?) со связностью Эресмана 5Ш называются эресмановыми. Мы предполагаем, что эресманово слоение (М, CF, Ш1) удовлетворяет условиям:

(Со) объединение М° слоев максимальной размерности является связным подмножеством в M ;

(Ci) для любого особого слоя L существует такой горизонтальный путь а G Г2а, <т(0) = а G L, что a(s) G М° при всех s G (0,1];

(Сг) распределение ШТ обладает свойством локальной трансверсальной проектируемое™.

Нами доказана следующая

Теорема 1.2.3. Пусть — эресманово слоение с особенностями,

удовлетворяющее условиям (Со) — (Сг)- Если существует компактный слой L максимальной размерности с конечной группой голопомии *Нуц(Ь,хо) (или конечной фундаментальной группой), то все слои этого слоения компактны и имеют конечные группы *Ш-голономии (соответственно, конечные фундаментальные группы).

Теорема 1.2.3 является аналогом известной теоремы Риба о глобальной устойчивости компактного слоя с конечной фундаментальной группой для слоений класса Cr, г > 2, коразмерности один на компактных многообразиях.

Нами показано, что римановы и вполне геодезические слоения с особенностями на полных римановых многообразиях обладают естественной обобщенной связностью Эресмана, образованной дополнительным по ортогональности обобщенным распределением. Доказано также, что орбиты любого собственного гладкого действия группы Ли на многообразии образуют слоение с особенностями, допускающее связность Эресмана.

Если (M, 3") — регулярное слоение, то введенное нами понятие связности совпадает с понятием связности Эресмана для (М, У), а группа *9Я-го-лономии *H<m(L,x) совпадает с группой 9Л-голономии Н^ц(Ь,х), введенной Р.А.Блюменталем и Дж.Хебдой. Поэтому из теоремы 1.2.3 вытекает теорема Р.А.Блюменталя и Дж.Хебды о глобальной устойчивости компактного слоя с конечной группой 9Л-голономии для регулярного слоения со связностью Эресмана 9Я12. Другое доказательство указанной теоремы Р.А.Блюменталя и Дж.Хебды мы получили в качестве применения введенного нами графика G<m(M, У) слоения (Ai, 9") со связностью Эресмана Ш ([16], [21]).

Для регулярных слоений нами доказан следующий критерий изоморф-ности ростковой группы голономии Г(L,x), общепрнятой в теории слоений, группе ЯЯ-голономии Нщ(Ь,х).

Теорема 1.4.1. Пусть {М,3) — слоение со связностью Эресмана Ш. Для того, чтобы естественный эпиморфизм групп голономии

Ха : Hm(L,a) -> Г(L,a)

12Blumenthal, R. Complementary distributions which preserve the lcaf geometry and applications to totally gcodesic foliations / R.Blumenthal, J.Hebda // Quarterly J. Math. Oxford. - 1984. - V. 35. - P. 383-392.

был изоморфизмом для любой точки а £ М, необходимо и достаточно, чтобы псевдогруппа голономии слоения (М, З'), была квазианалитической.

Из теорем 1.2.3 и 1.4.1 вытекает Следствие 1.4.3. Пусть (М, 3~) — слоение, принадлежащее по крайней мере одному из следующих классов: 1) полные слоения с трансверсалъ-ной жесткой геометрической структурой в смысле главы 4; 2) трансвер-сально голоморфные слоения со связностью Эресмана; 3) трансверсалъно действительные аналитические слоения со связностью Эресмана; 4) С-сло-ения со связностью Эресмана, включающие в себя симплектические и трансверсалъно эллиптические слоения со связностью Эресмана, Тогда, если существует компактный слой с конечной ростковой группой голономии, то все слои этого слоения компактны и имеют конечные группы голономии.

Следствие 1.4.3 содержит известные теоремы для различных трансвер-сальных геометрий, полученные ранее несколькими авторами, в том числе П.Молино, Р.А.Блюменталем, Р.А.Волаком.

Интегрируемые связности Эресмана Здесь все слоения предполагаются регулярными, то есть, без особенностей. Приведем обзор некоторых работ по слоениям с интегрируемой связностью Эресмана, в том числе и диссертанта.

Сохраняя терминологию, предложенную Я.Л. Шапиро, пара трансвер-сальных слоений дополнительной размерности (З^Зг) на многообразии М называется двуслоением, если эти слоения образованы слоями субмерсий, то говорят о двурасслоении.

Пусть к : М —> М — универсальное накрывающее отображение многообразия М с заданным на нем двуслоением (3*1,3^). Если М = М\ х Мг, причем индуцированные слоения на М совпадают с тривиальми слоениями этого произведения, то говорят, что двуслоение (31,32) накрыто произведением. Я.Л.Шапиро назвал такие многообразия ¿'-приводимыми. Любое полное приводимое риманово многообразие допускает пару ортогональных слоений дополнительной размерности и, в силу теоремы Де Рама о разложении, является ¿'-приводимым многообразием. Исследованию геометрии в целом приводимых римановых многообразий посвящены работы Я.Л.Шапи-

ро13, 14, а также Я.Л.Шапиро и диссертанта15.

Пусть (М, З') — слоение со связностью Эресмана причем распределение ШТ интегрируемо, то есть существует слоение (М, 3*) такое, что Ш = ТЗrt. Тогда говорят, Ш — интегрируемая связность Эресмана для (М, 3~). Согласно теореме Ш.Касивабары о разложении одиосвязных многообразий с двуслоением в произведение16, если (М, CF) — слоение с интегрируемой связностью Эресмана 9Я, где 9Я = ТЗ*, то двуслоение (3,3*) накрыто произведением.

Исследованию двуслоешш, накрытых произведением, посвящена кандидатская диссертация автора (1976 г.). Описанию глобального строения дву-слоений, накрытых произведением, согласованных с дополнительными структурами, образующими некоторую категорию, посвящена статья диссертанта17. В18 Я.Л.Шапиро, диссертант и В.А.Игошин указали двуслоения на полных римановых многообразиях, накрытые произведением, и получили теоремы об их строении в целом. Структура многообразий с набором из к > 2 слоений, накрытых произведением, изучается в статье Я.Л.Шапиро и диссертанта19 и диссертанта [23].

Глава 2 посвящена исследованию минимальных множеств картановых слоений со связностями Эресмана ([13], [11], [3]).

В разделе 2.1 мы даем новое определение картанова слоения. Такой подход необходим для корректного определения слоеного расслоения, одной из основных конструкций, используемых при изучении картановых слоений. В случае эффективности трансверсальной картановой геометрии, наше опре-

13Шапиро, Я.Л. О приводимых римановых пространствах и двулистных структурах на них / Я.Л.Шапиро // ДАН СССР. - 1972. - Т. 206, № 4. - С. 831-833.

14Шапиро, Я.Л. О приводимых римановых многообразиях в целом / Я.Л.Шапиро // ДАН СССР. -1972. - Т. 206, № 6. - С. 1305-1308.

15Шапиро, Я.Л. Глобальная структура приводимых римановых многообразий/ Я.Л.Шапиро, Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1980. - № 10. - С. 60-62.

16Kashiwabara, S. The decomposition of differential manifolds and its applications / S.Kashiwabara // Tohoku Math. J. - 1959. - V. 11. - P. 43-53.

17Жукова, H.H. О некоторой категории приводимых двулистных структур / Н.Н.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1976. - № 3. -С. 103-105.

18Шапиро, Я.Л. Слоения на некоторых классах римановых многообразий / Я.Л.Шапиро, Н.И.Жукова, В.А.Игошин // Изв. вузов. Матем. - 1979. - № 7. - С. 93-96.

19Шапиро, Я.Л. О приводимых fc-листных структурах / Я.Л.Шапиро, Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1977. - № 1. - С. 144-147.

деление эквивалентно определению Р.А. Блюменталя20.

Нами показано (предложение 2.1.1), что любое слоение с неэффективной трансверсальной картановой геометрией допускает также эффективную картанову геометрию. Таким образом, исследование топологии указанных слоений сводится к эффективным трансверсальным геометриям.

Основным методом исследования в этой главе является конструкция слоеного расслоения над данным картановым слоением (М, 3"), содержащая информацию как о трансверсальной геометрии этого слоения, так и о его группах голономии. Впервые конструкция слоеного расслоения была применена в работах П.Молино, а также Ф.Камбера и Ф.Тондеура. Мы существенно используем результаты П. Молино для е-слоений при исследовании слоения (TZ, F), полученного поднятием картанова слоения (А/, 3") на пространство слоеного расслоения ж : 7Z —> М.

Мы доказываем существование связности Эресмана для полного картанова слоения (предложение 2.2.2). Показываем, что для неримановых конформных слоений коразмерности q > 3 полнота эквивалентна существованию связности Эресмана (теорема 3.10.1).

Для картанова слоения (М, 3"), допускающего связность Эресмана, на том же многообразии M нами построено (теорема 2.6.1) слоение с особенностями (М, О), названное ореольным. Слои слоения (М, О), названные ореолами, представляют собой объединения слоев слоения 3", причем каждый слой L S 3" всюду плотен в содержащем его ореоле. Описано строение слоений, индуцированных на ореолах (теорема 2.6.2).

Напомним, что слой L слоение (М, 3") называется собственным, если L — вложенное подмногообразие в М. Слоение называется собственным, если все его слои — собственные.

Картановы слоения образуют категорию морфизмами которой являются диффеоморфизмы, переводящий слои — в слои, локально сохраняющие трансверсальную картанову структуру.

Для картановых слоений, допускающего связность Эресмана, введена структурная алгебра Ли 0о(М, 3") и показано, что она является инвариантом

20BIumenthal, R. Cartan submersions and cartan foliations / R.Blumenthal // Illinois J. Math. - 1987. -V. 31. - P. 327-343.

в категории картаиовых слоений ££ (предложение 2.5.1). Для римановых слоений (М, 1) на компактных многообразиях алгебра Ли $о{М, 7) совпадает с инвариантом, введенным Молиио. При равенстве д0(М,Эг) нулю ореольное слоение сливается с исходным, что всегда выполняется для собственных слоений (предложение 2.6.3).

Напомним, что подмножество многообразия М называется насыщенным, если оно является объединением некоторых слоев слоения (М, 3"). Непустое, замкнутое, насыщенное подмножество Л4 в М называется минимальным множеством слоения (М, 3"), если каждый слой из М всюду плотен в М. Минимальные множества для групп диффеоморфизмов многообразий определяются аналогично слоениям с той разницей, что слон заменяются орбитами группы.

С помощью ореольного слоения показано, что задачи существования и строения минимальных множеств полного картанова слоения сводятся к аналогичным задачам о минимальных множествах индуцированной группы Ли диффеоморфизмов базового многообразия IV (теорема 2.7.1).

Установлено, что существование минимальных множеств слоений с особенностями является трансверсальным свойством (следствие 2.7.1).

Рассматриваются картановы слоения (М, ¿Г) типа с компактно вложенной подалгеброй Ли [) в д, когда группа Ли Я имеет конечное число компонент связности. Предполагается существование связности Эресмана для (М, Эг). Доказано, что такие слоения являются римановыми, а замыкание любого слоя совпадает с ореолом и образует минимальное множество (теорема 2.8.1). Стуктура таких слоений коразмерности д = 1 описывается теоремой 2.8.2.

Глава 3 посвящена конформным слоениям ([8], [4], [11]). Мы показываем, что группа голономии произвольного слоя конформного слоения изоморфна некоторой подгруппе группы Ли Я = СО{ц) к Яд, причем эта подгруппа определена с точностью до сопряженности (предложение 3.1.1). Поэтому корректно следующее определение. Группа голономии слоя конформного слоения называется нами несущественной, если соответствующая ей подгруппа в группе Ли Я относительно компактна. В противном случае группа

голономии слоя называется существенной.

Прежде всего мы доказываем следующий критерий римановости конформного слоения.

Теорема 3.2.1. Пусть (М, — конформное слоение коразмерности д>3, моделируемое на конформной геометрии (Лг, [<7]). Тогда для существования римановой метрики <1 € [д] такой, что (М, 5") — риманово слоение, моделируемое на (N,(1), необходимо и достаточно, чтобы все группы голономии этого слоения были несущественными.

Непустое насыщенное подмножество М слоения (М, У), для которого существует такая открытая насыщенная окрестность Ы, что замыкание произвольного слоя из Ы \ !М содержит множество М, называется аттрактором этого слоения, а окрестность Ы называется бассейном аттрактора М и обозначается через АЫг{Ж). Если, более того, АНг(М) = М, то аттрактор М называется глобальным.

Аналогично определяются аттракторы и глобальные аттракторы для групп диффеоморфизмов.

Применение теоремы 3.2.1, введенных автором нехаусдорфовых конформных многообразий и предложения Алексеевского-Иошимацу-Ферранд позволило нам доказать следующее свойство конформных слоений. Подчеркнем, что при этом компактность слоеного многообразия М не предполагается.

Теорема 3.5.1. Любое конформное слоение (М, ¡Г) коразмерности <7 > 3 либо является римановым, либо имеет аттрактор, являющийся замыканием слоя с существенной группой голономии, причем сужение слоения на бассейн аттрактора есть (Соп/(Зч), Зч)-слоение.

Слой Ь называется замкнутым, если Ь является замкнутым подмножеством многообразия М.

Следствие 3.9.1. У любого собственного нериманова конформного слоения коразмерности <7 > 3 существует замкнутый слой с существенной группой голономии, являющийся аттрактором.

Теорема 3.6.1 описывает структуру конформных слоений на компакт-

ных многообразиях.

Теорема 3.6.1. Любое конформное слоение коразмерности q>3 на

компактном многообразии M либо риманово; либо (Conf(Sq), Sq)-слоение. В последнем случае оно имеет конечное число минимальных множеств, все они — аттракторы, образованы замыканиями слоев с существенными группами голономии, причем каждый слой слоения принадлежит бассейну по крайней мере одного из них.

Из теоремы 3.6.1 следует положительный ответ на сформулированный выше вопрос С.Таркини и Ш.Франца о конформных слоениях коразмерности q > 3 на компактных многообразиях, названный ими „Аналогом гипотезы Лихнеровича для конформных слоений".

Теорема 3.6.1 при q > 3 усиливает первую часть основной теоремы Б.Диройна и В.Клепцына21, согласно которой любое конформное слоение на компактном многообразии либо допускает трансверсальную инвариантную меру, либо имеет конечное число минимальных множеств с вероятностными мерами, обладающими некоторыми свойствами. Как отмечено во введении указанной работы, Э.Жнсом была высказана гипотеза о том, что в отсутствие аттракторов инвариантная мера задается римановой метрикой. Из теоремы 3.6.1 диссертанта вытекает, что эта гипотеза Э.Жиса верна.

Разработанные нами методы и развитие некоторых идей Ш.Франца позволяют нам обобщить все указанные выше результаты для конформных слоений на слоения с трансверсальными параболическими геометриями ранга один [1].

Далее мы доказываем теорему 3.8.1 о строении (G, Лг)-слоений, допускающих связность Эресмана. Для таких слоений определена глобальная группа голономии Ф = Ф(М, Э~).

Как известно, группа Conf(Sq) изоморфна мебиусовой группе Mob{q). Пусть Eq — ç-мерное евклидово пространство, Sim(Eq) — группа Ли всех подобий Eq. Она представляет собой полупрямое произведение Conf(Eq) = CO(q) к Rq конформной группы CO(q) = R+ ■ 0{q) и абе-

21Deroin, В. Random Conformai Dynamical Systems / B.Deroin, V.Kleptsyn // Geometric And Functional Analysis. - 2007. - V. 17, № 4. - P. 1043-1105.

левой нормальной подгруппы И4. Любое (Зт(Ед), Ея)-слоение называется трансверсально подобным [13]. Мы доказали (теорема 3.9.1), что любое полное трансверсально подобное слоение коразмерности > 1, не являющееся римановым, имеет глобальный аттрактор, а также указали достаточное условие для регулярности этого аттрактора (теорема 3.9.2).

Следующая теорема описывает структуру конформных слоений со связностями Эресмана.

Теорема 3.11.1 Пусть (М, У) — конформное слоение коразмерности ц > 3, допускающее связность Эресмана. Тогда выполняется одно из следующих трех утверждений:

1) либо (М, 3") — риманово слоение со связностью Эресмана и замыкание каждого слоя образует регулярное минимальное множество;

2) либо (М, З') — полное трансверсально подобное слоение с единственным минимальным множеством М, являющимся глобальным аттрактором;

3) либо (М,1) накрыто расслоением г : М —> Б4, где / : М —> М — некоторое регулярное накрытие, и определена глобальная группа голономии Ф = Ф(М, 3"), подгруппа группы Ли Соп/(5?). Кроме того, в случае 3) выполняется одно из следующих двух утверждений:

1. Слоение (М, 3") имеет либо один замкнутый слой, являющийся глобальным аттрактором, либо два замкнутых слоя Ь\ и Ь2, объединение которых — глобальный аттрактор.

2. Существует единственное нетривиальное минимальное множество М слоения (М, 3"), совпадающее с замыканием любого слоя с существенной группой голономии и являющееся глобальным аттрактором этого слоения, причем М = /(г_1(Л(Ф))), где Л(Ф) — минимальное множество глобальной группы голономии Ф.

В случаях 2) и 3) индуцированное слоение (Мо,Зд/0) на дополнении Мо := М\М является римановым слоением со связностью Эресмана, замыкание слоев которого в Мо образует риманово слоение с особенностями, причем замыкание Ь в М любого слоя Ь € 3" из Мо равно £ и М; где £ — вложенное подмногообразие в М, совпадающее с замыканием слоя Ь в

открытом подмногообразии Мо-

Следствие 3.11.1 У произвольного конформного слоения коразмерности д > 3 со связностью Эресмана существует минимальное множество.

Следствие 3.11.2 Любое полное конформное слоение коразмерности ц, где д > 3, либо является римановым, либо — (Соп/(Б4), Б11)-слоением.

Согласно теореме 3.11.1, трансверсальное строение глобальных аттракторов полных конформных слоений полностью определяется строением аттракторов глобальных групп голономии этих слоений.

Следствие 3.12.1 Полное конформное слоение (М, 7) имеет глобальный аттрактор, являющийся исключительным (или экзотическим) минимальным множеством тогда и только тогда, когда его глобальная группа голономии Ф имеет глобальный аттрактор, являющийся исключительным (соответственно, экзотическим) минимальным множеством.

Применяя теорему 3.11.1, мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3.12.2 Любое собственное конформное слоение (М,&) коразмерности д > 3. допускающее связность Эресмана, имеет строение одного из следующих трех типов:

1) слоение (М, 3~) является римановым со связностью Эресмана, каждый его слой замкнут, а пространство слоев гладкий ц-мерный орбифолд;

2) слоение (М,3") является полным трансверсально подобным нерима-новым слоением на некомпактном многообразии М, имеет единственный замкнутый слой Ь0, представляющий собой глобальный аттрактор;

3) (М,5) является полным (Ф, Б4)-слоением, накрытым расслоением г : М —> где Ф — элементарная дискретная подгруппа конформной группы Соп/(59). Либо существует один замкнутый слой, являющийся глобальным аттрактором, либо существуют два замкнутых слоя и объединение которых — глобальный аттрактор.

Более того, в случаях 2) и 3) объединение М0 незамкнутых слоев представляет собой открытое связное всюду плотное подмногообразие, причем (Мо.Э'л/,,) —риманово слоение со связностью Эресмана, пространство слоев

которого есть гладкий q-мерный орбифолд, а замыкание La в M произвольного слоя La из М0 равно La U M.

Следствие 3.11.3 Каждое полное собственное нериманово конформное слоение коразмерности q> 3 имеет один или два замкнутых слоя.

Теорема 3.12.1 о реализации доказана нами конструктивным путем.

Теорема 3.12.1 Любая счетная подгруппа Ф группы Conf(Sq), где q > 3, реализуется в качестве глобальной группы голономии некоторого двумерного конформного слоения (М,3) коразмерности q. Если группа Ф имеет конечное число образующих, то такое слоение (М,3) существует на замкнутом многообразии M размерности q + 2.

Построены примеры полных конформных слоений, глобальные аттракторы которых являются регулярными, исключительными и экзотическими минимальными множествами (раздел 3.13).

В Главе 4 ([12], [28]) мы вводим понятие жестких геометрий. При этом жесткие геометрии в смысле М. Громова22 также, как картановы геометрии, входят в этот класс. Слоения, допускающие в качестве трансверсальной структуры эффективную жесткую геометрию, называются нами для краткости слоениями с ТЖГ. По аналогии с картановыми слоениями определяются полнота и структурная алгебра Ли ß0 = 0о(М, 3") таких слоений.

Через Btrg обозначается категория слоений с трансверсальными жесткими геометриями. Автоморфизмом слоения (М, £Г) в категории с S'TRG является диффеоморфизм многообразия М, переводящий слои — в слои и сохраняющий трансверсальную геометрию (определение 4.4.1). Пусть (M,iF)

— слоение с фиксированной трансверсальной жесткой геометрией, А{М,3)

— группа его автоморфизмов в категории Strg- Факторгруппа Ав{М, 3) А(М, Зг)/Аь{М, 3), где Аь{М, У) := {/ е А(М, 3") | f(L) = L VL е 3} -нормальная подгруппа слоевых автоморфизмов, называется группой базовых автоморфизмов слоения (М,3). Из теоремы 4.8.1 вытекает

22Gromov M. Rigid transformations groups // Geometrie différentielle (Paris, 1986), Travaux en Cours, 33. Paris: Hermann. 1988. P. 65-139.

Теорема. Пусть (М, 3") — полное слоение с трансе ер сальной жесткой геометрией {N,0, где £ = {Р(М,Н),ш). Если структурная алгебра Ли до (Л/, У) равна нулю, то группа всех базовых автоморфизмов Ав{М,Эг) является группой Ли, причем ее размерность удовлетворяет неравенству

<ИтАв{М,3-) < <ИтР. (1)

Кроме того, топология и структура группы Ли в Ав{М,3) определены однозначно, а оценка (1) точная.

Нами найдены также некоторые топологические условия, достаточные для выполнении условий данной теоремы, в частности, для собственных слоений эти условия заведомо выполняются. Рассмотрено приложение к кар-тановым слоениям (теорема 4.10.1). Построены примеры вычисления групп базовых автоморфизмов (раздел 4.11).

Глава 5 посвящена приложениям слоений со связностями.

В части 1 мы исследуем геометрические структуры на орбифолдах. Результаты этого раздела опубликованы в [30], [14], [27].

Ассоциированным слоением с орбифолдом А/" мы называем любое слоение (М, 1) со связностью Эресмана, пространство слоев которого М/3* совпадает с Л/". При исследовании групп преобразований ^-мерных орбифолдов М естественно применить каноническое ассоциированное слоение (М, У), являющееся главным СЬе(Я^ + 1)-расслоенпем над А/", как это сделано нами в этой главе. Мы замечаем, что картанова геометрия на орбифолде является трансверсальной геометрией для ассоциированного слоения, доказываем, что группа автоморфизмов А(А/", О орбифолда, наделенного кар-тановой геометрией, канонически изоморфна группе базовых автоморфизмов Ав{М,7) указанного ассоциированного картанова слоения. Поскольку структурная алгебра Ли любого ассоциированного картанова слоения равна нулю, то, применяя результаты главы 4 для групп базовых автоморфизмов этих слоений, мы получаем, что группа всех автоморфизмов картанова орбифолда допускает единственную структуру группы Ли и находим оценки размерности этой группы (теорема 5.1.2).

Применение индуцированной группы автоморфизмов страты орбифолда, введенной диссертантом в работе с А.В.Багаевым [31], позволяет получить

более точные оценки размерности группы автоморфизмов геометрической структуры орбифолда, учитывающие его стратификацию.

Полученные результаты применены к известным классам картановых связностей: аффинным, проективным и псевдоримановым геометриям на ор-бифолдах и диссертантом получены теоремы 5.1.3 — 5.1.5.

Часть 2 Главы 5 посвящена классификации лоренцевых метрик с некомпактными группами изометрий на двумерных компактных орбифолдах. Результаты этой части опубликованы совместно с Е.А.Рогожиной в [5].

Как известно, среди замкнутых лоренцевых поверхностей только плоские торы могут допускать некомпактную полную группу изометрий. Кроме того, для любого п > 3 стандартный плоский n-мерный тор с канонической метрикой имеет некомпактную полную группу Ли изометрий. Нами показано, что при п = 2 это не верно (пример 5.2.1).

М.Деффаф, К.Мельник и А.Зегхиб23 поставили проблему классификации замкнутых лоренцевых многообразий с некомпактными полными группами Ли изометрий. Естественно поставить эту проблему для более широкого класса объектов — лоренцевых орбифолдов.

Эта задача решена нами в размерности п = 2 для поверхностей (теорема 5.2.2) и для двумерных орбифолдов (теоремы 5.2.3-5.2.4), не являющихся многообразиями.

Диссертантом доказано, что любой двумерный собственный компактный лоренцев орбифолд с некомпактной полной группой Ли изометрий 3(Л/", дм) изоморфен в категории Otb стандартной подушке, т.е., AÍ = Т^/Фо, где Ф0 =< 1р0 >, трв =< — Е, {0} >. Показано, что группа сохраняющих ориентацию изометрий лоренцева орбифолда {Я, дм) изоморфна полупрямому произведению групп Z к (Z2 х Z2) (теорема 5.2.3).

Пусть К — множество упорядоченных четверок целых чисел (а, Ь, с, d), удовлетворяющих соотношениям

ad - be = 1, а + d > 2 (3)

н обладающих свойством:

23Deffaf, М. Actions of noncompact semisimple groups on Lorentz manifolds / M.Deffaf, K.Melnick, A.Zeghib /,/ GAFA. - 2008. - V. 18. - P. 463-488.

(S) не существует такого, отличного от ±1, общего делителя к трех чисел (a - d), b, с, что целые числа аь Ьь сь d\, где а - d = k(ai - di), b = kbi, с = кс\, удовлетворяют соотношениям (3).

Равенство s(a, b, с, d) = (d, -b, -с, а) определяет инверсию s : К —> К. Рассмотрим группу S с образующей s, изоморфную Z2. Пусть /С = К/5 — пространство орбит группы S, а ц : К —► /С — факторотображение. Обозначим орбиту точки (a,b,c,d) € К через [a,b,c,d]. Тогда /С = {[a,6,c,d] | (a,b,c,d) € К}.

Напомним, что две лоренцевы метрики д\ и д2 на многообразии М называются подобными, если они отличаются постоянным множителем, т.е., если существует число А ф 0 такое, что g2 = Xgi- Подобие — отношение эквивалентности на множестве всех лоренцевых метрик многообразия М. Класс эквивалентности, содержащий д, обозначается через [5]. Подобные лоренцевы метрики имеют равные полные группы изометрий.

Диссертантом получена следующая классификация лоренцевых метрик на замкнутых 2-орбифолдах с некомпактной полной группой изометрий [5].

Теорема 5.2.4. Рассмотрим орбифолд N = Т2/Фо, где Ф0 =< Фо >, Фо = < -£,{0} >, именуемый стандартной подушкой, и факторотображение г : М —> ЛГ. Обозначим через £ = {[gw]} множество классов подобных лоренцевых метрик на орбифолде Я с некомпактной полной группой изометрий. Тогда определена биекция

а : /С С : [а, Ь, с, d] н-> [дм],

причем лоренцева метрика д = г*дх на торе Т2 является полной, плоской и в стандартном базисе задана матрицей

(9ij) = (~~2с a~dу

УУз> \a-d 2 Ъ )

Следствие 5.2.3. Полная некомпактная группа изометрий У{Я,дя) лоренцева орбифолда {Я, дм) является счетной.

В части 3 Главы 5 ([3], [21], [25]) автором доказаны следующие два критерия локальной устойчивости слоев (в смысле Эресмана и Риба) для

компактных слоений без предположения компактности слоеных многообразий.

Теорема 5.3.1. Компактное слоение {М,3) произвольной коразмерности q локально устойчиво тогда и только тогда, когда псевдогруппа голономии этого слоения является полной и квазианалитической.

Следствие 5.3.1. Любое компактное (G,X)-cnoeHue локально устойчиво.

Теорема 5.3.2. Для локальной устойчивости компактного слоения (М, 3") произвольной коразмерности q необходимо и достаточно выполнения двух условий: существования связности Эресмана и квазианалитичности псевдогруппы голономии этого слоения.

В качестве приложения результатов главы 3 мы получаем следующую теорему о глобальной устойчивости компактного слоя для конформных слоений без предположения существования связности Эресмана.

Теорема 5.3.4. Пусть (М, 3") — конформное слоение q > 3 на компактном многообразии М. Если существует компактный слой с конечной ростковой группой голономии, то каждый слой этого слоения компактен, имеет конечную группу голономии, а слоение (М, 3") локально устойчиво.

Аналогичная теорема для голоморфных слоений на компактных кэле-ровых многообразиях доказана Д.В.Перейра24.

В части 4 Главы 5 исследуются вопросы структурной устойчивости слоений. Основные результаты этого раздела опубликованы в статье автора [6].

Мы рассматриваем категорию Fol® гладких слоений класса Cr, г > 1, в которой морфизмом двух слоений (М, 3") и (М', У) является непрерывное отображение d : М —> М', переводящее слои слоения 3" в слои слоения Эг/.

Пусть М — Сг-гладкое многообразие, компактность которого не предполагается. Через Folq(M) обозначается множество гладких слоений (М, 3") класса Сг, коразмерности q с топологией Хирша-Эпштейна Эг 25.

24Pereira, J.V. Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manfolds / J.V.Pereira // Qual. Theory Dyn. Syst. - 2001. - V. 2. - P.381-384. "Epstein D.B.A. A topology for the space of foliation // Geometry and Topology, Lecture Notes in Math.

Определение 5.4.2. Слоение (M, J) называется структурно устойчивым, если для любой окрестности U = и(Ым) в Нотео(М) существует такая окрестность U = U(5,U) слоения У в Folq{M), что для каждого слоения У G U найдётся гомеоморфизм d G U, который является изоморфизмом слоений (М,Т) и (М, 3"') в категории Fol0.

Качественная теория слоений является новой мало изученной областью математики. Как отмечено М.Брунеллой26, в настоящее время имеется мало примеров структурно устойчивых слоений.

Целью данного раздела работы является исследование вопроса:

Какие многообразия могут быть компактными слоями структурно устойчивого слоения на компактном многообразии?

Для доказательства существования структурно устойчивого слоения с данным компактным слоем применяем надстроечные слоения, введенные А.Хефлигером, которые образуют подкласс слоений с интегрируемой связностью Эресмана.

Как известно из работ Дж.Палиса27, диссертанта и Г.И.Чубарова [9], структурная устойчивость слоения, полученного надстройкой гомоморфизма

р : G = 7Ti(B,bo) —> Diff(T),

обозначаемого через {M, J) = Sus{T,B,p), эквивалентна структурной устойчивости представления р. В [9] нами предполагаются: компактность многообразия Т и конечная порожденность группы G.

Находим достаточные условия для структурной устойчивости некоторых представлений групп (теорема 5.4.1, следствия 5.4.1-5.4.2), доказываем реализуемость этих условий и, применяя их к надстроечным слоениям, мы получаем следующую теорему.

Теорема 5.4.5. Пусть Т и L — компактные С°°-многообразия. Предположим, что фундаментальная группа G := ni(L,bo) имеет абелеву

1976. V. 597. Р. 132-150.

26Brunella M. Remarks on structure stable proper foliations // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1994. V. 115, №1. 111-120.

27Palis, J. Regidity of centralizers of diffeomorphisms and structural stability of suspended foliations / J.Palis // Lect. Notes in Math. - 1978. - V. 652. - P. 114-121.

нормальную подгруппу G0 положительного ранга. Тогда существует такое представление р : G -* Diffx(T), что (М,3") = Sus(T,L,p) - С°°-структурно устойчивое слоение на компактном многообразии М, имеющее компактный слой L и трансверсалъное многообразие Т.

Благодаря следствиям 5.4.1, 5.4.2, из теоремы 5.4.1 вытекают соответствующие утверждения о структурной устойчивости слоений, полученных надстройками гомоморфизмов р : G = щ (В,Ь0) -» Diff(T) разрешимых, в частности, нильпотентных и абелевых групп G.

Построены серии примеров структурно устойчивых слоений с компактными слоями. Нами выделен класс структурно устойчивых слоений, все слои которых компактны и устойчивы в смысле Эресмана и Риба (теорема 5.4.6). Показано, в частности, что любое компактное многообразие с конечной фундаментальной группой реализуется в качестве слоя структурно устойчивого слоения на некотором компактном многообразии (следствие 5.4.4).

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались более, чем на 40 международных конференциях, в том числе: на международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, КГУ, 2004); на международной конференции "Неевклидова геометрия в современной физике и математике", (Н.Новгород, ННГУ, 2004), на международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, МГУ, 2004), на международной конференции „Топология, анализ и приложение в математической физике" (Москва, 2005), на международной конференции „Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М.Никольского (Москва, 2005), на „5th International Conference BGL: Methods of Non-Euclidian Geometry in Modern Physics" (Минск, Беларусь, 2006), на международной конференции на международной конференции „Операторная алгебра и топология" (Москва, 2007), на международной конференции „Laminations and group actions in dynamics" (Москва, 2007), на международной конференции „Неевклидова геометрия и ее приложения"(Венгрия, г.

Дебрецен, 2008), на международной конференции Центра Эдуарда Чеха (Чешская республика, г.Трешт, 2008), на международной конференции „Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (оз. Банное, Южный Урал,

2009), на „Международной конференции по С*-алгебрам и эллиптической теории." (Польша, Центр Банаха, Бедлево, 2009), на международной конференции „Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летнему юбилею Л.С. Понтрягина (Москва, 2009), на международных конференциях "VII, VIII Колмогоровские чтения" (Ярославль, 2009,

2010), на 8 Международном Конгрессе „ISAAC-2011" (Москва, РУДН,

2011), на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2006, 2008, 2010, 2012); на международных конференциях (Russian-Germann Geometry Meetings) „Alexandroff Readings" (Санкт-Петербург, 2007, 2012), на международной конференции „Foliations 2012" (Польша, г. Лодзь, 2012), на международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», посвященной памяти проф. Л.П.Шильникова ( Н.Новгород, ННГУ, 2013).

По теме диссертации были также сделаны два доклада на геометрическом семинаре в Гумбольдтском университете в Берлине (1987, руководитель проф. Р.Зуланке); на научном семинаре кафедры дифференциальной геометрии Нижегородского государственного педагогического университета (1994, руководитель доц. Н.А.Степанов); на геометрическом семинаре в Казанском государственном университете (2004, руководитель проф. Б.Н.Шапуков; 2013, руководитель проф. В.В.Шурыгин); на геометрическом семинаре в Московском государственном университете (2004, 2013, руководитель академик А.Т.Фоменко); на заседании Нижегородского математического общества (Н.Новгород, 2004); на геометрическом семинаре в Масарик университете г. Брно, Чешская республика (2008, руководитель проф. Я.Словак); многократно на геометрических семинарах в Нижегородском государственном университете (2001-2013), руководитель проф. Е.И.Яковлев).

Гранты Работа автора по теме диссертации на протяжении ряда лет поддерживалась следующими грантами: грант Международного Научного Фонда (№NP 4000)(Руководитель); грант Международного Научного Фонда и Правительства РФ (№NP 4300)(Руководитель); 1994-1995 гг. Грант РФФИ № 94-01-00492 -а (Руководитель); грант Конкурсного Центра Фундаментального Естествознания № 95-0-1.3-87; 1998-1999 гг. Грант РФФИ № 98-01-01148-а (Руководитель); 1999 г. Грант РФФИ № 99-01-10849-3 (Руководитель); 2001-2003 гг. Грант РФФИ № 01-01-590-а (Исполнитель, руководитель проф. Е.И.Яковлев); 2004 г. Грант Конкурсного Центра Фундаментального Естествознания № А03-2.8-480 (Руководитель); 2005г. Ведомственная программа "Развитие научного потенциала высшей школы "Грант № 6403 (Руководитель); 2006-2008гг. Грант РФФИ № 06-01-00331-а (Исполнитель, руководитель проф. Е.И.Яковлев); 2008 г. Грант РФФИ № 06-01-08299-а (Руководитель); 2009-2011 гг. ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", контракт JMI495 (Исполнитель, руководитель проф. Е.И.Яковлев); 2010-2012 гг. Грант РФФИ № 10-01-00457-а (Исполнитель, руководитель проф. Е.И.Яковлев); 2012-2013 гг. ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 20122013 годы", контракт № 14.В37.21.0361 (Исполнитель, руководитель проф. А.Д.Морозов); 2012-2013 гг. НИР по заданию Минобрнауки РФ, шифр заявки 1.1907.2011 (Исполнитель, руководитель проф. М.И.Сумин).

Конкретное личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации По теме диссертации опубликовано 35 статей, из которых 24 -в изданиях, рекомендованных ВАК.

9 работ написаны со своими учениками: 4 с А.В.Багаевым, защитившим кандидатскую диссертацию в 2007 г., 3 с Г.В.Чубаровым, защитившим кандидатскую диссертацию в 2013 г., 1 со студенткой Е.А.Рогожиной и 1 с аспиранткой А.Ю.Долгоносовой. В тексте диссертации сделаны соответствующие ссылки. В совместных работах с учениками вклад каждого из соавторов составляет 50%. Остальные 26 статей написаны диссертантом единолично.

Все результаты, выносящиеся на зашиту, получены лично автором. Благодарности

В заключение мне хотелось бы с благодарностью вспомнить моего учителя профессора Якова Львовича Шапиро, который ввел меня в круг задач геометрической теории слоений и с которым написаны мои первые статьи о слоениях.

Выражаю благодарность профессору Гумбольдтского университета в Берлине Рольфу Зуланке, под руководством которого я прошла научную стажировку, обратившему мое внимание на картановы связности, считавшего актуальным исследование слоений, согласованных с ними.

Благодарю моего научного консультанта, профессора Евгения Ивановича Яковлева за полезные обсуждения и замечания.

Я глубоко признательна Михаилу Ивановичу Кузнецову, заведующему кафедрой геометрии и высшей алгебры, и сотрудникам этой кафедры за создание благоприятной атмосферы для проведения научных исследований.

Статьи автора по теме диссертации в журналах из списка ВАК

1. Жукова Н.И. Аттракторы слоений с трансверсальной параболичекой геометрией ранга один / Н.И.Жукова // Матем. заметки. - 2013. - Т. 93, № 6. - С. 994-946.

2. Zhukova, N.I. The automorphism groups of foliations with transverse linear connection / N.I.Zhukova, A.Yu.Dolgonosova // Cent. Eur. J. Math. - 2013. V. 11, № 12. - P. 2076-2088.

3. Zhukova, N.I. Local and global stability of compact leaves and foliations / N.I.Zhukova // J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2013. -V. 9. - P. 400-420.

4. Жукова Н.И. Глобальные аттракторы полных конформных слоений // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 3. С. 79-106.

5. Жукова, Н.И. Классификация компактных лоренцевых 2-орбифолдов с некомпактной полной группой изометрий / Н.И.Жукова, Е.А.Рогожина

// Сиб. матем. журн. - 2012. - Т. 53, № 6. - С. 1292-1309.

6. Жукова, Н.И. Компактные слои структурно устойчивых слоений / Н.И.Жукова // Тр. МИАН. - 2012. - Т. 278. - С. 102-113.

7. Жукова, Н.И. Обобщенные надстроечные слоения / Н.И.Жукова, Г.В.Чубаров // Вестник ННГУ. - 2012. - № 5(1). - С. 157-164.

8. Жукова, Н.И. Аттракторы и аналог гипотезы Лихнеровича для конформных слоений / Н.И.Жукова // Сиб. матем. журн. - 2011. - Т. 52, № 3. - С. 555-574.

9. Жукова, Н.И. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений / Н.И.Жукова, Г.В.Чубаров // Вестник ННГУ. - 2011. - № 1. - С. 153-161.

10. Жукова Н.И. Концы типичных слоев полных картановых слоений / Н.И.Жукова // Матем. заметки. - 2010. - Т. 87, № 2. - С. 316-320.

11. Жукова Н.И. Вейлевы слоения / Н.И.Жукова // Нелинейная динам. -2010. - Т. 6, № 1. - С. 219-231.

12. Zhukova, N.I. Complété foliations with Transversal Rigid Geometries and Their Basic Automorphisms / N.I.Zhukova // Вестник РУД H. Cep. Математика. Физика. Информатика. - 2009. - Вып. 2. - С. 14-35.

13. Жукова, Н.И. Минимальные множества картановых слоений / Н.И.Жукова // Тр. МИАН. - 2007. - Т. 256. - С. 115-147.

14. Багаев, А.В. Группы изометрий римановых орбифолдов // А.В.Багаев, Н.И.Жукова // Сиб. матем. журн. - 2007. - Т. 48, № 4. - С. 723-741.

15. Жукова Н.И. Связность Эресмана для слоений с особенностями и глобальная стабильность слоев / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. -2004. - № 10. - С. 45-56.

16. Жукова, Н.И. Свойства графиков эресмановых слоений / Н.И.Жукова // Вестник ННГУ. Сер. Матем. - 2004. - Вып. 1. - С. 73-87.

17. Багаев, А.В. Группы автоморфизмов G-структур конечного типа на орбиобразиях / А.В.Багаев, Н.И.Жукова // Сиб. Матем. Журнал. 2003. Т. 44, № 2. С. 263-278.

18. Zhukova, N.I. Aspects of the quality theory of suspended foliations / N.I.Zhukova, G.V.Chubarov // J. Differ. Equ. Appl. - 2003. - V. 9. № 34. - P. 393-405.

19. Жукова, H.И. Нехаусдорфовы множества слоений / Н.И.Жукова // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. - 2001.

- Вып. 1. - С. 28-37.

20. Жукова, Н.И. Слоения с локально стабильными слоями / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1996. - № 7. - С. 21-31.

21. Жукова, Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1994. - № 2. - С. 79-81.

22. Жукова, Н.И. Слоения, согласованные с системами дифференциальных уравнений произвольного порядка / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем.

- 1992. - № 9. - С. 42-48.

23. Жукова, Н.И. Слоения, согласованные с системами путей / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1989. - № 7. - С. 5-13.

24. Zhlzv85 Жукова, Н.И. Простые трансверсальные полирасслоения / Н.И.Жукова // Изв. вузов. Матем. - 1985. - № 9. - С. 61-64.

Работы автора по теме диссертации в других изданиях

25. Zhukova, N.I. Local and global stability of leaves of conformai foliations / N.I.Zhukova // in: Foliations 2012. Proceedings of the International Conference Lodz, Poland, 25 - 30 June 2012. - Singapur: World Scientific. - 2013.

- P 215-233.

26. Zhukova, N.I. Attractors of conformai foliations // in: Progress in Analysis. Proceedings of the 8th Congress of the International Society for Analysis,

its Applications, and Computation. 22-27 August 2011. Moscow, Peoples' Friendship University of Russia. - 2012. - V. 2. - P. 238—247.

27. Bagaev, A.V. The Automorphism Group of Some Geometric Structures on Orbifolds / A.V.Bagaev, N.I.Zhukova // Chapter 16 in: Lie Groups: New Reseach. New York: Nova Science Publishers, 2009. - P. 447-483.

28. Zhukova, N.I. Groups of basic automorphisms of foliations with transverse rigid geometries / N.I.Zhukova // Acta physica Debrecina. - 2008. - V. 42. -P. 49-63.

29. Zhukova, N.I. Singular foliations with Ehresmann connections and their holonomy groupoids / N.I.Zhukova // Banach Center Publ. - 2007. - V. 76.

- P. 471-490.

30. Zhukova, N.I. Cartan geometry on orbifolds / N.I.Zhukova // in: Non-Euclidean Geometry in Modern Physics. Proceedings of the Fifth International Conference Bolyai - Gauss - Lobachevsky, B.I. Stepanov Inst. Physics, National Academy of Sciences of Belarus. - 2006. - P. 228-238.

31. Bagaev, A.V. Affinely connected orbifolds and them automorphisms / A.V.Bagaev, N.I.Zhukova // Proceedings of Fourth International Conference "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics and Mathematics". N. Novgorod-Kiev. Kiev: Пол1граф1чна дшьниця HAH Украши. 2004. P. 31—48.

32. Zhukova, N.I. Ehresmann connections for singulsar foliations / N.I.Zhukova // J. Dyn. Control Syst. - 2004. - V. 10, № 1. - P. 143-145.

33. Жукова, Н.И. Слоения со связностями и гипотеза Милле / Н.И.Жукова //в кн.: Фундамент, проблемы мат. и мех. Матем. М.: МГУ, 1994. - Т. 1.

- С. 174-177.

34. Zhukova, N.I. Geometry of foliations with Cartan connections on leaves / N.I.Zhukova // Proc. Intern. Congress of the Assoc. "Women - Math." Moscow - Puschino, 1994. V. 3. N.Novgorod: NNGU, 1994. - C. 15-19.

35. Zukova N. On the stability of leaves of Riemannian foliations / N.Zukova // Ann. Global Anal, and Geom. - 1987. - V. 5, № 3. - P. 261-271.

Подписано в печать 24.03.2014 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2. Заказ № 159. Тираж 120 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37