Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



'У У '

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШУРЫГИН ВАДИМ ВАСИЛЬЕВИЧ

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ

АЛГЕБРАМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ВЫСШЕГО

ПОРЯДКА

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

езидиу^ ВАК Рос с к у; ;

ениеот-^Ё.» ОЗ м»

осуди Л) ^ '

...............................Казань 1998

.зНих "у г, - з ■' Л "К - . ■- -. • ■

Содержание

-л

Введение

3

Глава 1 Гладкие многообразия над локальными алге-

брами 24

§ 1.1. Категория многообразий над алгебрами.......24

§ 1.2. Подмногообразия, порождаемые инвариантными подмодулями .........................32

§ 1.3. Локальные алгебры в смысле А.Вейля и гладкие

функции над локальными алгебрами.........34

§ 1.4. Расслоение А-струй А.Вейля .............44

§ 1.5. Функтор А.Вейля на категории многообразий над

алгебрами ........................51

§1.6. Расслоения неголономных струй Эресмана как многообразия над локальными алгебрами........62

§ 1.7. Трансверсальный функтор А.Вейля на категории

слоеных многообразий.................67

Глава 2 Геометрия расслоения А-струй А.Вейля 79

§ 2.1. Структурные группы расслоения А-струй......79

§ 2.2. А-аффинная связность на многообразии.......94

§ 2.3. Лифты полей геометрических объектов и А-гладкие поля геометрических объектов на расслоении А-

струй............................99

§ 2.4. Объект кручения связности в расслоении реперов

Втп............................108

§ 2.5. Связности высших порядков на многообразии . . .115 § 2.6. Связности высших порядков на римановых многообразиях .........................123

Глава 3 Специальные классы многообразий над ло-

кальными алгебрами 126

§ 3.1. Канонические слоения и канонические соприкасающиеся расслоения п-мерного многообразия над

локальной алгеброй...................126

§ 3.2. Представления голономии А-гладкого многообразия М„А ..........................135

о

§ 3.3. Радиантные Ап-многообразия.............148

§ 3.4. Радиантные А-гладкие многообразия.........154

о

§ 3.5. Препятствие к радиантности А"-многообразия . . .162 § 3.6. Препятствия к радиантности А-гладкого многообразия, моделируемого А-модулем А"........168

§ 3.7. Трансверсально радиантные структуры по отношению к каноническому 1-слоению...........175

Глава 4 Когомологии многообразий над локальными алгебрами 183

§ 4.1. Комплекс де Рама А-гладких форм на М„А.....183

§ 4.2. Биградуированные когомологии многообразия . 190 § 4.3. Резольвенты пучков А-гладких форм со значениями в фактор-алгебрах и идеалах...........197

§ 4.4. Когомологии с коэффициентами в пучках ростков

сечений расслоений на А-модули и их применение . 201 § 4.5. А-гладкие связности и классы Атьи-Молино .... 205 § 4.6. А-аффинные связности Эресмана на ......213

Список литературы 221

Список работ автора по теме диссертации 242

Введение

Теория гладких многообразий над локальными алгебрами принадлежит области геометрии и топологии многообразий, несущих интегрируемые полиаффинорные структуры, определяемые ассоциативными коммутативными алгебрами. Эта область исследований тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов, геометрией и топологией слоений.

Актуальность темы. Среди многообразий над алгебрами наиболее изученными являются комплексные аналитические многообразия. Их геометрии и топологии, а также геометрии и топологии почти комплексных многообразий, посвящено большое количество работ, из которых следует отметить труды П.А.Широкова [98], монографии К.Яно [204], А.Вейля [19], Чжэнь Шэн-шэня [86], Р.Уэллса [81], К.Кодаиры [150]. Теория комплексных многообразий находит многочисленные приложения в задачах математической физики. Укажем, например, работы А.П.Нордена [59], Р.Уэллса [199], В.Р.Кайгородова [39], Ю.И.Манина [54], А.В.Ами-новой и Д.А.Калинина [99]. Другие двумерные алгебры, алгебры двойных и дуальных чисел, использовались в геометрических исследованиях Э.Штуди [189], А.П.Котельниковым [43]. Неевклидовы пространства над этими алгебрами изучались Б.А.Розенфель-дом [76]. Дифференциальной геометрии многообразий над алгебрами размерности два, их приложениям к линейчатой геометрии посвящены работы П.К.Рашевского [73], А.П.Нордена [58], [60].

Исходным пунктом для развития дифференциальной геометрии пространств над ассоциативными коммутативными алгебрами общего вида явилась теория аналитических функций гиперкомплексного переменного, разработанная в трудах Г.Шефферса

[188], П.Кэтчума [147], Р.Вагнера [197]. Общей теории пространств над алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П.Широкова [91], В.В.Вишневского [22], Г.И.Кручковича [44], [45], И.Ванжуры [195], А.С.Подковырина [67] и других авторов (см. обзор А.П.Широкова [95], книгу В.В.Вишневского, А.П.Широкова, В.В.Шурыгина [27]). А.П.Широковым [95] были обнаружены структуры многообразий над алгебрами НЗ. KcL-сательных расслоениях и расслоениях A-близких точек в смысле А.Вейля [198], что позволило упростить построение лифтов тензорных полей и линейных связностей с базовых многообразий на указанные расслоения (см. работы К.Яно и Ш.Кобаяси [208],

A.Моримото [176], [172], Р.Баумана [108], Л.Паттерсона [179]).

B.В.Вишневским были введены полукасательные расслоения и изучались структуры многообразий над алгебрами плюральных чисел, возникающие на этих расслоениях [23], [24].

Одним из важнейших примеров многообразий над локальными алгебрами являются расслоения А-струй (A-близких точек, А-скоростей) А.Вейля [198], изучению которых посвящено много публикаций. Укажем, кроме упомянутых выше работ А.Моримото, Р.Баумана и Л.Паттерсона, исследования П.Юэна [209], [210], И.Коларжа [151], [152], Э.Окассы [177], [178], а также работы Д.Эка [122], Г.Кайнца и П.Михора [145], Я.Словака [187], О.Лучи-ано [162], В.Микульского [164], [165], Я.Ганкарзевича, В.Микульского и 3.Погоды [133], посвященные теории так называемых функторов сохраняющих произведения, приводящих к расслоениям А-струй и другим многообразиям над алгебрами А.Вейля. Касательные расслоения и расслоения п^-скоростей Ш.Эресмана [124] -[126], представляющие собой частные случаи расслоений А.Вейля, исследовались в работах В.В.Вагнера [15], К.Яно и Ш.Ишихары

[207], Ш.Сасаки [186], А.Моримото [174], [175], Р.Баумана [109], X. Гол лека [135], Н.В.Талантовой и А.П.Широкова [78], М.О.Раху-лы [72], В.В.Трофимова [79]. В.В.Вагнером [14], [15] была установлена связь локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков. Представлениям дифференциальных групп посвящены работы П.К.Рашевского [74], Ю.Г.Лумисте [50]. О.В.Мантуро-вым [55] изучались инварианты представлений полупрямых алгебр Ли, к классу которых принадлежат алгебры Ли некоторых дифференциальных групп. Расслоение А-струй является расслоением, ассоциированным с главным расслоением ç-реперов, где g — высота алгебры А, и поэтому геометрия расслоения А-струй естественным образом связана с теорией дифференциально-геометрических структур высших порядков. В.В.Трофимовым [80] изучались тензорные расширения алгебр Ли с помощью алгебр дуальных и плюральных чисел. Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков, геометрии дифференциальных уравнений, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Ш.Эресмана [127], Г.Ф.Лаптева [48], В.В.Вагнера [13], Б.Л.Лаптева [46],[47], А.М.Васильева [17], П.Либерман [160], [161], У. Пол а [181], Н.М.Остиану [64], Л.Е.Евтушика [34],[35], И.Колар-жа [152], [153], В.И.Близникаса [7],[8], М.В.Лосика [49], А.К.Рыбникова [77], А.М.Виноградова, И.С.Красильщика и В.В.Лыча-гина [20], А.М.Шелехова [90], И.Коларжа и М.Модуньо [155]. Структуры многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами, несут на себе трансверсальные (нормальные) расслоения слоеных многообразий и полукасательные расслоения различных типов над ступенчато расслоенными многообразиями.

Для построения полного лифта поля геометрического объекта с многообразия на трансверсальное или полукасательное расслоение необходимо, чтобы это поле было проектируемым. Поднятия геометрических объектов в трансверсальное и полукасательные расслоения изучались Р.Волаком [201], В.В.Вишневским и Т.А.Пантелеевой [25], [24]. Проектируемость полей геометрических объектов в расслоениях изучалась в работах К.Яно и Ш.Ишихары [205], [206], А.П.Широкова и К.М.Егиазаряна [96], Б.Н.Шапукова [89], В.Е.Фомина [82]. Отметим также работы Б.Рейнхарта [182], П.Молино [167], [168], Л.Кордеро и Р.Волака [113], посвященные трансверсальной геометрии слоений. Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана и расслоениям и функторам А.Вейля, различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А.П.Широкова [95], И.Коларжа [41], Б.Н.Шапукова [88], В.В.Вишневского [23], в монографиях К.Яно и Ш.Ишихары [207], Л .Е.Евтушика, Ю.Г.Лумисте, Н.М.Остиану и А.П.Широкова [36], Б.Л.Рейнхарта [183], П.Молино [169], И.Коларжа, П.Михора и Я.Словака [154].

Структуры гладких многообразий над алгеброй дуальных чисел естественно возникают на многообразиях с интегрируемыми почти касательной или почти трансверсальной структурой и некоторых их обобщениях. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений и другие проблемы исследовались в работах Ф.Брикел-ла и Р.Кларка [110], М.Крэмпина и Дж.Томпсона [116], С.Де Фи-липпо, Дж.Ланди, Дж.Мармо, Дж.Виласси [119], Дж.Томпсона и У.Швардмана [191], М.де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо [159]. Проблема эквивалентности симплектической структуры стандарт-

ной структуре кокасательного расслоения исследовалась М.К.Фа-мом [180]. Топологии многообразий над алгеброй дуальных чисел посвящены статьи М.А.Малахальцева [51] и [52].

Геометрия многообразий с почти комплексными структурами, структурами почти произведения, /-структурами, и другими по-лиаффинорными структурами изучалась многими авторами. Отметим ранее упоминавшуюся монографию К.Яно [204], обзорные работы В.Ф.Кириченко [40], Н.М.Остиану [65], Н.Д.Полякова [69], статьи Ш.Ишихары [144], А.А.Салимова [185], где можно найти ссылки на литературу по теории указанных структур. Аффинор-ные структуры, естественно возникающие на Ф-пространствах, см. монографию А.С.Феденко [83], изучались в работах В.В.Балащен-ко, Н.А.Степанова и Ю.Д.Чурбанова [3], [4], [87].

Многообразие над локальной алгеброй А несет на себе канонические слоения, соответствующие идеалам алгебры А, на слоях которых индуцируются структуры (X. (^-многообразий в смысле У.Терстона [192] (см. также монографию Б.А.Апанасова [2]), и, таким образом, многообразие над локальной алгеброй несет на себе структуры тангенциальных (X, С)-слоений (см. работы Т.Инабы [142], М.А.Малахальцева [53]). В частных случаях алгебр высоты q — 1 слои канонических слоений оказываются аффинными многообразиями, теория которых развита в работах Л.Ауслендера и Л.Маркуса [102], [101], Дж.Милнора [166], Д.Фрида, У.Голдмана и М.Хирша [132], [134]. Тангенциально аффинным структурам ла-гранжевых слоений посвящены работы И.Вайсмана [194], Т.Инабы [142]. Наличие мультислоеных структур (см. работу К.Кодаиры и Д.Спенсера [149]) на многообразиях над алгебрами обусловливает возможность применения методов теории слоений при их изучении. Из обширной литературы, посвященной слоениям на

многообразиях, отметим, кроме указанных выше, исследования С.П.Новикова [57], Р.Ботта [106], Ф.Камбера и Ф.Тондера [146], И.Вайсмана [193], И.Н.Бернштейна и Б.И.Розенфельда [6], А.Хеф-лигера [139], ДжХейтша [140], Р.Блюменталя и Дж.Хебды [103] — [105], Эль Касими [129], Н.И.Жуковой [38], В.Ю.Ровенского [75]. Подробную библиографию публикаций, посвященных слоениям, можно найти в обзоре Д.Б.Фукса [84], монографиях П.Молино [169], Б.Рейнхарта [183].

В работе Ш.Кобаяси [148] изучались многообразия, моделируемые модулями над алгебрами гладких функций на компактном многообразии, В.С.Владимировым и И.В.Воловичем [28] развито дифференциальное исчисление для функций над коммутативными банаховыми супералгебрами, структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И.Н.Бернштейном и Б.И.Ро-зенфельдом [6]. Функторы А.Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых удобными [156] локально выпуклыми векторными пространствами, изучались в работе А.Кригла и П.Михора [157]. Другое обобщение функтора А.Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И.Коларжем [153].

Таким образом, изучение в общей ситуации геометрии и топологии гладких многообразий над локальными алгебрами и геометрии расслоения А-струй А.Вейля как многообразия над алгеброй является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии и топологии.

Цели работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии гладких многообразий над ло-

кальными алгебрами.

1. Изучение действия функтора А.Вейля на категории многообразий над алгебрами и определение условий, при которых гладкое многообразие над локальной алгеброй А эквивалентно расслоению 1А1¥п А-струй А.Вейля некоторого вещественного гладкого многообразия 1¥п. Нахождение условий редуцируемоети псевдогрупповой структуры многообразия к подпеевдогруппе локальных А-диффеоморфизмов модельного А-модуля Ап, порождаемой А-продолжениями локальных диффеоморфизмов пространства К".

2. Построение комплекса А-значных дифференциальных форм на обобщающего комплекс Дольбо комплексного многообразия, и резольвенты пучка А-гладких дифференциальных форм на многообразии

3. Изучение А-аффинной дифференциальной группы, являющейся структурной группой расслоения /АМП, и соответствующих А-аффинных связностей в расслоении А-гладких полей геометрических объектов на 3АМп и условий их эквивалентности А-продолжениям полей вещественных объектов с базового многообразия Мп.

4. Нахождение препятствий к существованию А-гладких связностей на А-гладком многообразии и препятствий к продолжению трансверсальных связностей до А-гладких. Изучение А-аффинных горизонтальных распределений на и нахождение препятствий к их существованию.

Методы исследования. Многообразия над алгебрами несут на себе естественные псевдогрупповые структуры и канонические слоения. Это обусловливает необходимость применения при их изучении различных специальных методов. При исследовании

вопросов, относящихся к геометрии расслоений струй, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П.Молино [169], Л.Е.Евтушик, Ю.Г.Лу-мисте, Н.М.Остиану, А.П.Широков [36]). В разделах, посвященных изучению топологических свойств многообразий над локальными алгебрами, применяются методы геометрии и топологии слоений (Б.Л .Рейнхарт [183], П.Молино [171]), (X, £)-мнообразий (У.Терстон [192], Д.Фрид, У.Гольдман, М.Хирш [132], [134]), теории пучков (Р.Уэллс [81]).

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем:

1) Получены общие формулы для локального представления дифференцируемого над локальной алгеброй А отображения из области А-модуля А" © Кто в А-модуль А"' 0 Кт' и исследовано действие функтора А.Вейля на категории многообразий над алгебрами.

2) Построено присоединенное к расслоению А-струй JAMn главное расслоение В(А)Мп А-аффинных реперов на МП1 структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа. Построен объект А-аффинной связности на гладком многообразии и получены уравнения параллельного перенесения в А-аффинной связности.

3) Найдено необходимое и достаточное условие эквивалентности А-гладкого поля дифференциально-геометрического объекта на расслоении /АМП полному лифту поля дифференциально-геометрического объекта с базового многообразия Мп.

4) Получены новые условия ковариантной постоянности дифференциально-геометрических объектов относительно связностей высших порядков в терминах А-продолжений этих объектов. Уста-

новлена связь обращения в нуль формы кручения связности высшего порядка с инвариантностью горизонтальных подрасслоений расслоений А<ЭМ(е)®М(£)-струй относительно диффеоморфизмов, порождаемых автоморфизмами алгебры А ® <8>

5) В терминах когомологий с коэффициентами в пучке проектируемых сечений расслоения трансверсальных А-струй над многообразием Мп над локальной алгеброй А построены препятствия для редуцируемости псевдогрупповой структуры А-гладкого многообразия на Мп к подпсевдогруппе Г7, порождаемой А-продол-жениями вещественных диффеоморфизмов. Доказано, что полное А-гладкое многообразие, допускающее Г'-атлас, А-диффеоморфно расслоению А-струй А.Вейля.

6) Введено понятие голономии слоя канонического слоения гладкого многообразия над локальной алгеброй и установлены соотношения, связывающие это понятие с голономией слоя, как (X, (^-многообразия, и с голономией слоя в смысле теории слоений.

7) Построен ¿-комплекс А-значных дифференциальных форм на обобщающий, с одной стороны, ¿^-комплекс Дольбо ком�