Обобщенные расслоения Вейля многообразий, зависящих от параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Бушуева Галина Николаевна

ОБОБЩЕННЫЕ РАССЛОЕНИЯ ВЕЙЛЯ МНОГООБРАЗИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ

01 01 04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Шурыгин Вадим Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

Евтушик Леонид Евгеньевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация Московский государственный педагогический

университет

Защита состоится 1 декабря 2005 г в 14 ч. 30 мин на заседании Диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им В. И. Ульянова-Ленина по адресу 420008, г Казань, ул Кремлёвская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина /Казань, ул,Кремлёвская, 18/.

Автореферат разослан 30 октября 2005 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

1№15&

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Расслоения дифференциалыю-геометричес-ких объектов над гладкими многообразиями являются одними из основных объектов изучения дифференциальной геометрии. Соответствие Р, относящее многообразию М расслоение РМ М дифференциально-геометрических объектов данного типа, как правило, представляет собой функтор из категории многообразий, морфизмами которой являются локальные диффеоморфизмы /: М„ —>• М'п. в категорию локально тривиальных расслоений. Особое место среди таких функторов занимают так называемые функторы, сохраняющие произведение, то есть функторы Р. относящие произведению многообразий МхМ' произведение соответствующих расслоений РМ х РМ' -4 М х М'. В работах Г. Кайпца и П. Михора. Д. Эка. О. Лучиано [15] было получено полное описание функторов, сохраняющих произведение, в терминах расслоений Вейля. Расслоение Вейля ТкМ. определяемое локальной алгеброй А в смысле А.Войля было введено А. Вей-лем в работе [19} как обобщение расслоения п*-скоростей Ш.Эресмана |14]. Связь теории локальных алгебр и их групп авчоморфтмов с теорией дифференциально-геометрических объектов была установлена также в работах В. В. Вагнера [1].

Геометрии расслоений Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Моримото. Л. Паттерсона. исследования П. Юэна, А. П. Широкова |11. 12] И. Коларжа. Э. Окассы. В. В Щурыгина [13], А. Я Султанова [9], Я. Дебекки. Касательные расслоения и расслоения пк-скоростей Ш.Эресмана [14], представляющие собой частные случаи расслоений А. Вейля. исследовались в работах В. В. Вагнера [1], К.Яно и Ш.Ишихары [20], Ш.Сасаки, А. Моримото. Н.В Талантовой и А.П.Широкова и других авторов. Теории функторов, сохраняющих произведения. посвящены работы В. Микульского [17], И. Коларжа и В. Микульского [16], Я. Ганкарзевича, В. Микульского и 3 Погоды

Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Г Ф. Лаптева |8|. В. В. Вагнера [1], А. М. Васильева [2], Н. М. Остиану. Л. Е Евтушика [6|, Б. Н. Ша-

пукова [10], М.В.Лосика, А.К.Рыбникова, И. Коларжа и М. Модуньо.

Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана, расслоениям и функторам А Вей-ля. различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А. П. Широкова [12], в монографиях Л. Е. Евтушика, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану и А. П. Широкова [5], П. Молино [18] И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака ¡15].

А. П. Широковым [12] было установлено, чш расслоение Вейля ТАМ„ обладает естественной структурой гладкого многообразия над алгеброй А. что позволило применять при изучении геометрии расслоений Вейля теорию многообразий над алгебрами. Общей теории пространств над алгебрами и ее применению посвящены работы В. В Вишневского ¡3]. Г. И. Круч-ковича [7], В. В. Шурыгина |13], и других авторов (см. обзор А. П Широкова [12], книгу В. В. Вишневского. А. П. Широкова. В В. Шурыгина |4|).

Структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И. Н. Боршптойиом и Б. И. Розенфельдом. Функторы А. Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых локально выпуклыми векторными пространствами. изучались в работе А. Кригла и П. Михора. Другое обобщение функтора А. Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И. Коларжем.

Таким образом, изучение геометрии гладких многообразий над локальными алгебрами и геометрии расслоений Вейля как многообразий над алгебрами является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии.

В теории дифференциальных уравнений, при построении различных геометрических моделей лагранжевой и гамильтоновой механики возникает необходимость в рассмотрении расслоеиий вида У* —>■ М (или в более общем случае У —> Кт), где К — время. Такие расслоения тривиализуемы, то есть У ~ М х К. При этом возникают геометрические структуры, зависящие от параметров (времени) . В этой связи отмстим работы А. Вондра, М. Ра-нады, М. де Леона и К. Маррсто. Поэтому актуальным становится подход

4

к изучению дифференциально-геометрических структур на многообразиях вида M х Mm с точки зрения теории функторов Вейля.

Целью диссертационной работы является обобщение теории функторов Вейля на случай естественных категорий многообразий, зависящих от параметров, установление взаимосвязи обобщенных функторов Вейля с функторами, сохраняющими произведение, и изучение геометрии обобщенных расслоений Вейля.

Методы исследования. При изучении функторов Вейля и функторов. сохраняющих произведение, на категориях многообразий, зависящих от параметров, применяются методы изучения естественных расслоений и функторов сохраняющих произведения (см. монографию И. Коларжа. П. Михора и Я. Словака [15]), а также методы теории многообразий над алгебрами (см. книгу В. В. Вишневского. А. П. Широкова. В. В Шуры-гина [4]. обзорные работы А.П.Широкова [12]. В.В.Шурыгина [13|) При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Войля. используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П. Молино [18]. JL Е. Евтушик. Ю. Г. Лумисте, H. М. Ос-тиану, А. П, Широков [5]).

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Построено обобщенное расслоение Вейля многообразия Мп х R"'. зависящего от m параметров, структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа D„(А).

2 Выяснена структура расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории многообразий М„ х Rm. зависящих от m параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения проектирующиеся в тождественные отображения пространства параметров Жт. Доказано, что все такие функторы определяются т-параметрическим семейством A(i), t 6 M7", алгебр Вейля и набором

о о

из m гладких функций t н- A (t), где А - максимальный идеал алгебры А, состоящий из всех ее нильлотентных элементов. Анялогич-

ная задача решена для категории многообразий, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения проектирующиеся в трансляции пространсч ва параметров Ет В этом случае всякий расслоенный функтор, сохраняющий произведение эквивалентен некоторому обобщенныму функтору Вейля, определяемому постоянной алгеброй Вейля А и набором из т элементов идеала

о

А.

3 Получены условия эквивалентности обобщенных функторов Войля в терминах изоморфизмов пар локальных алгебр (А, В), где В -- подалгебра в А.

4. Изучено строение структурной группы С„(А) расслоения В' (А)ТАМ„ А-гладких реперов порядка г расслоения Вейля ТАМп гладкого многообразия Мп. Определена структурная форма расслоения Вг(А)ТАМп и получены структурные уравнения этою рагтлоишя. Доказано, что локальные диффеоморфизмы расслоения ВГ(А)ТАМ„. сохраняющие структурную форму, являются продолжениями локальных А-диффеоморфизмов расслоения Вейля ТАМ„

5. Построено главное расслоение Вт(Мп х Ж"') реперов порядка г многообразия, зависящего от тп параметров, ассоциировано« с обобщенным расслоением Вейля. Определена структурная форма расслоения Вт(Мп х Мт) и получены структурные уравнения. Выяснено строение локальных диффеоморфизмов расслоения Вг(Мп х Кт), сохраняющих структурную форму.

6. Построен объект связности в расслоении В'(Мп х К'") и получеиы уравнения горизонтального распределения индуцируемых еня.нюетей в ассоциированных обобщенных расслоениях Вейля.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях естественных расслоений и дифференциально-геометрических структур высшего порядка, а также и геометрии многообразий,

несущих на себе структуру представления коммутативной ассоциативной унитальной алгебры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция по геометрии и анализу. Пенза, 9 И октября 2002 г.;

Международный семинар имени Н. И. Лобачевского «Современная I еомстрия и теория физических полей», Казань 28 ноября 1 декабря 2002 г.:

Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова «Колмогоров и современная математика». Москва, 16-21 июня 2003 г.;

9-ая Международная конференция по дифференциальной геометрии и ее приложениям. Прага, 30 августа 3 сентября. 2004 г.:

Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения», Казань, 28 ноября - 1 декабря 2001, 2002 гг.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, включающих в себя 22 параграфа, и списка литературы, содержащего 87 работ. Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста. Нумерация предложений теорем и формул в главах изолированная.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

В Главе 1 приведены необходимые определения из теории локальных алгебр Вейля и расслоений Вейля. В §1.5 введена категория Mfm многообразий. зависящих от m параметров, и построен (обобщенный) функ-

7

тор Вейля ТА: М}т —> МГ\ определяемый локальной алгеброй Вейля ширины т, действующий на многообразиях этой категории. Многообразием, зависящим от т параметров, называется тривиальное расслоение р: Мп х Кт -)• Мт с преобразованиями координат вида х1' = ^'(х1,?1). £"' = Морфизмами в категории М/т являются расслоенные отображения Мп х Кт МЦ. х Мт проектирующиеся в тождественные отображения Ы: Ет.

Обобщенное расслоение Вейля 7г: ТА(МпхШт) —► М„хК'" многообразия р: Мп х Кт Шт определяется как множество А-струй (А-скоростей) ростков сечений в: (Кт,£) -» (М„хК™, [х, ¿)) расслоения р. Функтор Вейля ТА М/т является функтором сохраняющим произведение

В этом же параграфе построено главное расслоение В(А)М„ х Кт. присоединенное к расслоению ТА(Мп хЖт). Расслоение В(к)Мп хК"1 называется расслоением А-аффиниых реперов многообразия МпхШ"'. Показано, что структурной группой расслоения В{к)М„ х Ж'" является А-аффинная дифференциальная группа £>„(А) [13].

Глава 2 посвящена изучению расслоенных функторов общего вида, сохраняющих произведение, на категориях многообразий, -зависящих от параметров.

В §2.1 введены категория ТМ1П расслоений над многообразиями из категории М}т и подкатегория М/ х Кт в М/'" морфизмы которой не зависят от i £ Кт. В этом же параграфе сформулировано определение расслоенного функтора Р: М/т ТМт как ковариаитного функтора, удовлетворяющего условиям продолжения и локальности (см. [15| в случае категории М,/). и изучена конструкция произведения на категориях Л4/"1 и .ТАГ.

В §2.2 определено понятие т-параметрического семейства локальных алгебр Вейля и построен функтор ТА(*'. действующий из категории

х К"1 в категорию ТМт. названный т-иараметрическим семейством функторов Вейля.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 2.1. Для всякого расслоенного функтора, .Р: М}'т —>

?Мт, сохраняющего произведение, функтор F: Л4/ х Мт ТМ.т естественно эквивалентен некоторому т-параметрическому семейству функторов Вейля .

В этом параграфе также построены некоторые примеры одпопарамет-рических семейств локальных алгебр Вейля.

§2.3 посвящен выяснению строения расслоенных функторов Р: М/т —>• РМт, сохраняющих произведение, определенных на всей категории М/т- Итогом этого параграфа является следующая

Теорема 2.2. Всякий расслоенный функтор Р: М/т —>• ТА4т, сохраняющий произведение, однозначно определяется т-параметрическим

а

семейством алгебр Вейля А(£) х К"1 и набором функций. Кт Э 1: >-> 6 А(«), а = 1,...,т, задающих сечение 1т ->■ Щ)т х Кт.

В §2.4 вводятся категории МЦ'Т1 многообразий и ТМ."\ расслоений, зависящих от параметров. Объекты и морфизмы -»тих категорий имеют более общий вид по сравнению с ранее изучавшимися категориями М}т и ТМт. Объекты категории Л4/™ представляют собой расслоения р: Мп х и II, где II — область в Кт. а морфизмами в М./"' являются расслоенные отображения Мп х II М{. х С"., проектирующиеся в трансляции ^ • V Э

Аналогично случаю категории Л4/т вводится подкатегория (М/ х Мш)1г. морфизмами которой являются расслоенные отображения, не зависящие от £ £ Кт.

В §2.5 получено описание расслоенных функторов С: (М/ х К"')и-РМ™. сохраняющих произведение:

Теорема 2.3. Расслоенный функтор С: {М/ х -»■ РМ™, сохраняющий произведение, естественно эквивалентен функтору ТА: (М/ х К"1^ ->■ {ТМ X Ет)(1. определяемому некоторой алгеброй Вейля А.

В параграфах 2.6 и 2.7 выяснено строение произвольного расслоенного функтора Р: М./™ —> РМ™, сохраняющего произведение. Доказана

Теорема 2.4. Всякий расслоенный функтор Р: М/™ -»• ^Л^^. го-храняющий произведение, естественно эквивалентен обобщенному функ-

9

тору Вейля ТА: М->■ ТМ™, определяемому некоторой алгеброй Вейля

0 О

А и набором элементов аа Е А, о = 1,..., т.

В §2.8 найдены условия, при которых два обобщенных функтора Вейля ТА и ТА' естественно эквивалентны. Сечение ст: М'" —>■ А"1 определяется

С о °

набором элементов {и1,... ,сгт} максимального идеала А алгебры А Это сечение задает гомоморфизм локальных алгебр : Щт, д) —у А. относящий образующим {И, а = 1 ,...,ш} алгебры Щт.д) срезанных многочленов степени д от т переменных, соответственно, элементы аа. Образом гомоморфизма является подалгебра В„ С А Доказана следующая

Теорема 2.5. Функторы ТА и ТА эквивалентны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм г): А -¥ А', там/) ■что т] о£„ =

При этом справедливо

Предложение 2.4. Множество всех естественных -жвиваъент-иостей Ф: ТА ТА находится в биективном соответствии г множеством Ш-линейных автоморфизмов г): А —> А.

В главе 3 изучается строение расслоения Вг(А)ТаМ„ А-гладких реперов порядка г расслоения Вейля ТАМ„ гладкого многообразия Мп. А-гладким г-репером в точке X € ТАМ„ называется г-струя ростка А-диффеоморфизма Ф: (А",0) -4 (ТАМ„.Х). Множест во всех А-гладких т-реперов В' (А)ТАМп образует А-гладкое главное расслоение над ТАМп.

В §3.1 изучается структурная группа Ли А) расслоения ВГ{А)ТАМ„. Доказана

Теорема 3.1. ¡) Группа Ли <3^(А) изоморфна группе Ли А-линейных автоморфизмов алгебры А ® М(п, г).

11) Алгебра Ли 0„(А) группы Ли СЦА) изоморфна алгебре. Ли А-линейных дифференцирований алгебры А®Щп,г) с операцией скобки ОЦ = В2 о £>! - А о Ю2.

§3.2 посвящен построению А <8> К(п. г)-модуля фундаментальных полу векторных полей (в смысле А.М.Басялмчт [2]) на расслоении ВГ(А)ТАМ„, представляющих собой сечения векторного расслоения Тт~1Вг{А)ТаМп -)■ ВГ(А)ТАМП, являющегося обратным образом касательного расслоения ТВГ~1(А)ТАМП ВГ_1(А)ТАМП относительно про-

екции Вт{К)ТкМп —У Br 1(А)ТАМП. Установлена связь полувек горных полей с А-линейными дифференцированиями из алгебры A®R(n, г) в алгебру A®R(n,r- 1).

В §3.3 фундаментальные полувекторпые поля используются для определения структурной формы ©г расслоения Br{k)TKMv (следуя подходу Л.Е.Евтушика [6]) и изучения ее свойств.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 3.2. Пусть Ф: ВТ{А)ТАМп Вг{к)ТкМ'п локальный диффеоморфизм, при котором структурная форма &' расслоения Br(k)TAMn переходит в структурную форму О1' расслоения Br(h)TAM!„. Тогда в окрестности всякой точки X € Вг(А)ТаМ„ Ф совпадает с A®R (п, г)-продолжением локального k-диффеом,орфизма Ф: ТАМП —> ТАМ'п.

В §3.4 получены структурные уравнения расслоения А-гладких репс-ров Вг(А)ТкМп.

Глава 4 посвящена изучению геометрии высшего порядка па многообразиях. зависящих от параметров.

В §4.1 построено и изучено главное расслоение Br(Mn х U) реперов порядка г многообразия Мп X U. Доказана

Теорема 4.1. i) Группа JIu Dr(n.m) изоморфна группе Ли R(rn,r)-линейныг автоморфизмов алгебры R(n, г) ® R(m. г).

И) Алгебра Ли Ьг(п,т) группы Ли Dr(n,m) изоморфна алгебре Ли R(m, г)-линейных дифференцирований алгебры R(n, г) ® R(m, г).

В §4.2 определена структурная форма вТ расслоения ВГ(Мп х Rm) и изучены ее свойства.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 4.2. Пусть Ф: Br(Mn х U) ВГ(М,'. х U') - локальный диффеоморфизм, при котором структурная форма 91' расслоения ВТ(Мпх U) переходит е структурную форму 9'Т расслоения Br(M'n х I"). Тогда в окрестности всякой точки X е Br(Mn х U) отображение Ф совпадает с R(n, г) ® R(m, г)-продолжением изоморфизма ((р. tr(o): MnxU -t М'п х U'

В §4.3 доказана

Теорема 4.3. На расслоении Вт(Мп х U) имеютп место следуюи1,ие структурные уравнения:

№ = в3 Л dj О в1 + 0° Л да о в\ Sa = 0.

где вТ = +вае{Г1) — разложение формы 0'' с использованием стан-

дартного базиса в прямой сумме 7J-1Br(Rn х Rm) =Щп + т,г- 1)'; векторных пространств R(п + т1г-1)"иР/ = itrrz\ ° а 9,. 771, г) ->• R(n 4 т,г - 1) и R(n 4 т,г) -> R(n + ш,г-1) дифференцирования, определяемые условиями <9,(б1) = 5гу dj(vb) — 0. да(г1) = 0,

В §4.4 построен объект связности в главном расслоении Br(Mn х U). Горизонтальное распределение связности в Br(Mn х U) задается уравнениями

dX' - r^^XVc^ - г^', ta)xwdt° = О, в ^ где X' — координаты в слоях Br(Mn х [/), принимающие значение в максимальном идеале алгебры срезанных многочленов R(n + т,г).

При преобразовании координат на базе х1' = fl'(x\ta). t"' — t" + ig коэффициенты связности преобразуются следующим образом

/ßAi' п \

=Ъ ЫеР+< .

Г'

^ " дх}' dia

1=1 ^

8а д?'

где функции ^'(ж*,^) £ М(т, г)/т(М(то, г))'р1 задаются соотношениями

' 1 дЫ+Мр'

Л'Р(^Пе"= Е фГаЩГ^

1р|+|»|=1 И

а (А*,е')" = Аи для А' = А\е* и и = («ь ..., ип)

В §4.5 построена связность в обобщенном расслоении Вейля ТА(Мп х 11), индуцируемая связностью в расслоении Вг(Мп х Жт). Уравнения гори-

12

зонтального распределения этой связности имеют вид'

dXl - Грз}{х3,ta)Xpasdx] - Грзо(х>,ta)XWdta = 0.

о _ ^ч,

где Хг - координаты в слоях расслоения Т*(Л/„ х U) принимающие значение в максимальном идеале алгебры А.

В качестве примера рассмотрена аффинная (нелинейная) связность на многообразии Мп х U. соответствующая случаю т = г = 1.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Вагнер, В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. // Труды семин. по вект и тенз. анализу. - вьш 10. — МГУ, 1956 - С. 31-88.

[2] Васильев, А. М. Полувекторные поля на расслоениях. / А М. Васильев // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ -- Т. 7: Проблемы геометрии. - М., 1975. - С. 23-26.

[3] Вишневский, В. В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации. / В. В. Вишневский // Итоги науки и техн. / ВИНИТИ. — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002 - С. 5-64, -

[4] Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами. / В В. Вишневский, А. П Широков, В. В. Шурыгин. — Казань изд-во Казанского университета. 1984. — 264 с.

[5] Дифференциально-геометрические структуры па многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ -- Т. 9' Проблемы геометрии.— М.. 1979.-247 с.

[6] Евтушик, Л. Е. Дифференциальные связности и инфинигезимальные преобразования продолженной псевдогруппы 'Л Е Евтушик '''Труды геом семин. / ВИНИТИ- Т 2.- М.. 1966,- С. 119-150

[7] Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры па многообразиях, I. / Г. И. Кручкович //Труды семин по вект. и тенз. анализу вып. 16 — М.: Изд-во МГУ, 1972. - С. 174-201.

[8] Лаптев, Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семин. - Т. 1. - М.: Институт науч. инф. АН СССР. 1966. С. 139- 189.

[9] Султанов А. Я. Продолжения тензорных нолей и связнсх-тей на расслоения Вейля. / А. Я. Султанов // Известия вузов. Ма!ематика. 1999. - № 9 - С. 81-90.

[10] Шапуков, Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. Б. Н. Шапуков// Итоги науки и техники. / ВИНИТИ- Т. 15: Проблемы геометрии. — М., 1985. - С, 61 95.

[11] Широков. А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях. , А. П. Широков // Труды геометр, семип. / ВИНИТИ Т. о.- М., 1974. - С. 311-318.

[12] Широков, А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. / А. П. Широков // Итоги науки и техники. ' ВИНИТИ Т. 12: Проблемы геометрии. - М.. 1981 - С. 61 95.

[13] Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля. / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - М„ 2002 - С. 162-236.

[14] Ehresmann, С. Les prolongements d'une variété difïérentiable. i. calcul des jets, prolongement principal / C. Ehresmann // С. R. Acad. Sei. — 1951 -Vol. 233. no. 11. - Pp. 598-600.

[15] Kolâr, I. Natural Operations in Differential Geometiy. / I. Kolâr. P. W. Mi-chor, J. Slovâk. — Berlin Heidelberg: Springer-Veilag. 1993. 434 pp.

[16] Kolâr, I. On the fiber product preserving bundle functors. / I Kolâr.

W. M. Mikulski // Differ. Geom. and Appl. -- 1999. - Vol. 11 - Pp. 105115.

[17] Mikulski. W. M. Product preserving bundle functois on fibered manifolds W. M. Mikulski // Archiv. Math. - 1996 - Vol 32.- Pp 307 316.

[18] Molino, P. Théorie des G-structure: le problème d'equivalencc. / P. Molino // Lecture Notes in Mathematics. - 1977. - Vol. 588.

[19] Weil, A. Théorie des points proches sur les vaiiétctes différentiables / A. Weil // Colloque internat, centre nat rech. sei. Vol. 52. Stiasbourg-1953. - Pp. 111-117.

[20] Yano, K. Tangent and cotangent bundles. / К. Yano. S. Ishihaia- Marcel Dekker. N.Y., 1973.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Бушуева, Г Н. Расслоения Вейля над многообразиями, зависящими от параметров. / Г. Н. Бушуева // Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник научных трудов. / Пензенск. гос. педа-гогич. ун-т. - Пенза, 2002.- С. 24-34.

[2] Бушуева, Г. Н. Связности высших порядков и ноля геометрических объектов на многообразиях, зависящих от параметров. / Г H Бушуева // Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб науч. тр. / Казаиск. гос. ун-т, - вып. 24.- Казань. 2003. С. 31 43.

[3] Бушуева, Г. Н. Функторы Вейля и функторы, сохраняющие произведение, на категории многообразий, зависящих от параметров / Г. Н. Бушуева // Известия ВУЗов. Математика. - 2005. № 5 (516). С. 1421.

[4] Бушуева, Г. Н. Функторы типа Вейля на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г Н. Бушуева '/ Уч зап-ки Казан, гос. ун-т Т. 147, кн. 1. - Казань: Изд-во КГУ, 2005. С. 37 50

[5] Bushueva, G. N. On the highei order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent manifolds ' G. N Bushueva. V. V. Shurygin // Lobachevskii J. of Math 2005 - Vol. 18 ■ Pp. 53105.

[6] Бушуева, Г. H. Функторы Вейля на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г. Н. Бушуева // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. — Т 12- Материалы международной молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтспия-2001». Казань, 28 ноября - 1 декабря 2001 г - Казань: Изд-во «ДАС». 2001. С 24 25.

[7] Бушуева, Г. Н. Лифты обобщенных аффиных связностей на касательные расслоения в категории многообразий зависящих от параметров / Г Н. Бушуева // Труды математического центра им Н. И Лобачевского - Т 18: Материалы международной молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения-2002», Казань, 28 ноября - 1 декабря 2002 г. Казань: Каз мат. общ-во. 2002. - С 12-13.

У

i

í L

0 8 И

РНБ Русский фонд

2006-4 19386

Отпечатано в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В ,И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 10/104

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

Введение

1 Расслоения Вейля

§1.1 Алгебры Вейля.

§1.2 Строение А-гладких отображений.

§1.3 Расслоения Вейля.

§1.4 Структурные группы расслоения Вейля.

§1.5 Обобщенные расслоения Вейля.

2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории многообразий, зависящих от параметров

§2.1 Категория Mfm многообразий, зависящих от параметров

§ 2.2 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf х Жт.

§ 2.3 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mfm.

§ 2.4 Категория Mf™ многообразий, зависящих от параметров

§ 2.5 Расслоенные функторы, сохраняющие произведение, на категории (Mf х Rm)tr

§ 2.6 Обобщенный функтор Вейля ТА

§ 2.7 Функторы, сохраняющие произведение, на категории Mf™

§ 2.8 Эквивалентность функторов ТА.

3 Геометрия высшего порядка расслоений Вейля на категории гладких многообразий

§3.1 Расслоение Вг(А)ТАМп А-гладких r-реперов на ТАМп

§ 3.2 Фундаментальные полувекторные поля на Вг(А)ТАМп

§ 3.3 Структурная форма расслоения Вг(А)ТАМп

§3.4 Структурные уравнения расслоения Вг(А)ТаМп.

4 Геометрия высшего порядка многообразий, зависящих от параметров

§ 4.1 Расслоения реперов высшего порядка многообразий из категории M.f™.

§4.2 Структурная форма расслоения Br(Mn х U)

§4.3 Структурные уравнения расслоения Br(Mn х U).

§ 4.4 Связности в расслоении Br(Mn xU).

§ 4.5 Ассоциированные связности в Т^(Мп х U).

Актуальность темы. Расслоения дифференциально-геометрических объектов над гладкими многообразиями являются одними из основных объектов изучения дифференциальной геометрии. Соответствие F, относящее многообразию М расслоение FM —»• М дифференциально-геометрических объектов данного типа, как правило, представляет собой функтор из категории многообразий, морфизмами которой являются локальные диффеоморфизмы /: Мп —> М'п, в категорию локально тривиальных расслоений. Особое место среди таких функторов занимают так называемые функторы, сохраняющие произведение, то есть функторы F, относящие произведению многообразий М х М' произведение соответствующих расслоений FM х FM' —> М х М'. В работах Г. Кайнца и П Михора [51], Д. Эка [46], О Лучиано [65] было получено полное описание функторов, сохраняющих произведение, в терминах расслоений Вейля. Расслоение Вейля ТАМ, определяемое локальной алгеброй А в смысле А.Вейля было введено А. Вейлем в работе [83] как обобщение расслоения пй-скоростей Ш Эресмана [47]. Связь теории локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией дифференциально-геометрических объектов была установлена также в работах В. В. Вагнера [4,5].

Геометрии расслоений Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Моримото [72], Л Паттерсо-на [75], исследования П. Юэна [86,87], А. П. Широкова [30,31], И. Ко-ларжа [53, 55], И. Коларжа и В Микульского [57, 59], Э Окассы [74], В. В Шурыгина [36—38], А. Я Султанова [23], Я. Дебекки [43] Касательные расслоения и расслоения ^-скоростей Ш.Эресмана [47], представляющие собой частные случаи расслоений А. Вейля, исследовались в работах В. В. Вагнера [5], К-Яно и Ш Ишихары [84], Ш.Сасаки [78], А. Моримото [71], Н.В.Талантовой и А.П.Широкова [24] и других авторов. Теории функторов, сохраняющих произведение, посвящены работы В. Микульского [66—68], Я. Ганкарзевича, В. Микульского и 3. Погоды [48],

Я. Ганкарзевича, Н Рахмани и М. Сальгадо [49], А. Сабрас и И Коларжа [41,42].

Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связностей высших порядков, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Г. Ф Лаптева [18], В. В Вагнера [3], А. М. Васильева [7], Н.М.Остиану [21], Л. Е. Евту-шика [13, 14], Б. Н Шапукова [27, 28], М В.Лосика [20], А К.Рыбникова [22], И. Коларжа и М. Модуньо [60].

Более полную библиографию работ, посвященных касательным расслоениям, расслоениям струй Эресмана, расслоениям и функторам А Вейля, различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в обзорах А. П. Широкова [31], в монографиях Л. Е Евтушика, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану и А. П. Широкова [11], Б. Л Рейнхарта [77], П Молино [69], И Коларжа, П Михора и Я Словака [56].

А. П. Широковым [31] было установлено, что расслоение Вейля ТАМп обладает естественной структурой гладкого многообразия над алгеброй А, что позволило применять при изучении геометрии расслоений Вейля теорию многообразий над алгебрами. Общей теории пространств над алгебрами и ее применению посвящены работы А П. Широкова [29, 32], В. В. Вишневского[8,9], Г. И. Кручковича[16,17], В. В. Шурыгина [39], и других авторов (см. обзор А. П. Широкова [31], книгу В. В. Вишневского, А. П. Широкова, В. В. Шурыгина [10]).

Структуры гладких многообразий над бесконечномерными алгебрами, являющимися обратными пределами конечномерных, возникают на бесконечномерных многообразиях, рассматривавшихся И Н Бернштей-ном и Б. И. Розенфельдом [1]. Функторы А. Вейля на категории бесконечномерных многообразий, моделируемых локально выпуклыми векторными пространствами, изучались в работе А. Кригла и П. Михора [61]. Другое обобщение функтора А. Вейля на случай бесконечномерных многообразий построено И. Коларжем [52].

Таким образом, изучение геометрии гладких многообразий над локальными алгебрами и геометрии расслоений Вейля как многообразий над алгебрами является направлением исследований, взаимодействующим со многими интенсивно развивающимися областями современной геометрии

В теории дифференциальных уравнений, при построении различных геометрических моделей лагранжевой и гамильтоновой механики возникает необходимость в рассмотрении расслоений вида У —К (или в более общем случае У —Жт), где R — время. Такие расслоения тривиализуемы, то есть У ~ М х Ж. При этом возникают геометрические структуры, зависящие от параметров (времени). В этой связи отметим работы А. Вон-дра [82], М. Ранады [76], М. де Леона и К. Маррето [64] Поэтому актуальным становится подход к изучению дифференциально-геометрических структур на многообразиях вида М х Жт с точки зрения теории функторов Вейля.

Целью диссертационной работы является обобщение теории функторов Вейля на случай естественных категорий многообразий, зависящих от параметров, установление взаимосвязи обобщенных функторов Вейля с функторами, сохраняющими произведение, и изучение геометрии обобщенных расслоений Вейля.

Методы исследования. При изучении функторов Вейля и функторов, сохраняющих произведение, на категориях многообразий, зависящих от параметров, применяются методы изучения естественных расслоений и функторов, сохраняющих произведение (см. монографию И. Коларжа, П. Михора и Я Словака [56]), а также методы теории многообразий над алгебрами (см книгу В В Вишневского, А. П. Широкова, В В. Шу-рыгина [10], обзорные работы А П. Широкова [31, 32], В. В. Шурыги-на [39]) При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Вейля, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях (П. Молино [69], Л. Е Евтушик, Ю Г Лу-мисте, Н. М. Остиану, А П. Широков [11]).

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем1

1 Построено обобщенное расслоение Вейля многообразия Мп х Rm, зависящего от т параметров, структурной группой которого является А-аффинная дифференциальная группа Dn(А)

2. Выяснена структура расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории многообразий М х Rm, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения, проектирующиеся в тождественные отображения пространства параметров Rm. Доказано, что все такие функторы определяются т-параметрическим семейством А(£), t 6 Rm, алгебр Вейля и набоо о ром из т гладких функций t ь-А(£), где А — максимальный идеал алгебры А, состоящий из всех ее нильпотентных элементов. Аналогичная задача решена для категории многообразий, зависящих от т параметров, морфизмами которой являются расслоенные отображения, проектирующиеся в трансляции пространства параметров Шт В этом случае всякий расслоенный функтор, сохраняющий произведение, эквивалентен некоторому обобщенному функтору Вейля, определяемому постоянной алгеброй Вейля А и набором из т элео ментов идеала А.

3. Получены условия эквивалентности обобщенных функторов Вейля в терминах изоморфизмов пар локальных алгебр (А, В), где В — подалгебра в А.

4 Изучено строение структурной группы Grn{А) расслоения Вг(А)ТаМп А-гладких реперов порядка г расслоения Вейля ТАМп гладкого многообразия Мп Определена структурная форма расслоения Вг(А)ТаМп и получены структурные уравнения этого расслоения. Доказано, что локальные диффеоморфизмы расслоения Вг{А)ТаМп, сохраняющие структурную форму, являются продолжениями локальных А-диффеоморфизмов расслоения Вейля ТАМп.

5. Построено главное расслоение Br(Mn х Mm) реперов порядка г многообразия, зависящего от m параметров, ассоциированое с обобщенным расслоением Вейля. Определена структурная форма расслоения В7 (Мп х Мт) и получены структурные уравнения Выяснено строение локальных диффеоморфизмов расслоения Br{Mn х Rm), сохраняющих структурную форму.

6. Построен объект связности в расслоении Br(Mn х Жт) и получены уравнения горизонтального распределения индуцируемых связ-ностей в ассоциированных обобщенных расслоениях Вейля.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут найти применение в исследованиях естественных расслоений и дифференциально-геометрических структур высшего порядка, а также в геометрии многообразий, несущих на себе структуру представления коммутативной ассоциативной унитальной алгебры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах

Международная конференция по геометрии и анализу, Пенза, 9—11 октября 2002 г;

Международный семинар имени Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2002 г;

Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова «Колмогоров и современная математика», Москва, 16-21 июня 2003 г,

9-ая Международная конференция по дифференциальной геометрии и ее приложениям, Прага, 30 августа — 3 сентября, 2004 г;

Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения», Казань, 28 ноября — 1 декабря 2001, 2002 гг.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского университета

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [88-94]

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

1. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами. / В. В Вишневский, А. П. Широков, В. В Шурыгин. — Казань- изд-во Казанского университета, 1984. — 264 с.

2. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. / JI. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 9: Проблемы геометрии — М., 1979. — 247 с.

3. Евтушик, Л. Е. Дифференциальные связности и инфинитезималь-ные преобразования продолженной псевдогруппы. / Л Е. Евтушик// Труды геом. семин. / ВИНИТИ — Т. 2. — М., 1966. — С. 119-150.

4. Евтушик, Л. Е. Нелинейные связности в метрических пространствах высших порядков. / Л. Евтушик // Известия вузов. Математика. — 1970, — № 1 — С 48-60.

5. Евтушик, Л. Е. Нелинейные шр-связности в главных расслоениях. / Л. Евтушик//Матем. заметки. — 1972. — Т. 11, № 3. — С 341—351.

6. Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 2. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу; перевод с анг. Л. В. Сабинина — М. Наука, 1981. — 344 с.

7. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I. / Г И. Кручкович // Труды семин по вект. и тенз. анализу. — вып.16. — М Изд-во МГУ, 1972. — С. 174-201

8. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, II. / Г. И Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.— вып.17. — М. Изд-во МГУ, 1974. — С. 218-227

9. Лаптев, Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семин. — Т. 1 — М. Институт науч. инф. АН СССР, 1966. — С 139— 189.

10. Ленг, С. Алгебра: пер. с анг. / С. Ленг— Москва: Мир, 1968.— 434 с.

11. Лосик, М. В О теореме приведения для связностей высшего порядка. /М. В Лосик// Дифференциальная геометрия, межвуз. сб. науч. тр. / Саратовский гос. ун-т. — вып.5. — Саратов, 1980 — С. 53—64.

12. Остиану, Н. М. Ступенчато-расслоенные пространства. // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ АН СССР— т. 5.— М., 1974, —С. 259-309.

13. Рыбников, А. К. О реализации аффинных связностей второго порядка. / А К Рыбников // Вестник МГУ. Мат Мех. — 1984. — № 3. — С. 41-46

14. Султанов, А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 1999. — №9, — С 81-90.

15. Талантова, Н. В Замечания об одной метрике в касательном расслоении./ Н В. Талантова, А. П. Широков // Известия вузов. Математика— 1975 — № 6. — С. 143-146.

16. Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. В 2 т. Т. 1. / К. Фейс; перевод с анг. Л. А. Койфмана и др]; под ред. Л. А. Скорнякова. — М. Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.

17. Фукс, Д Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. / Д. Б. Фукс — М. Наука, 1984. — Т. 233.

18. Шапуков, Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. / Б. Н. Шапуков// Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 15. Проблемы геометрии. — М., 1985. — С. 61—95.

19. Шапуков, Б. Н. Производная Ли на расслоенных многообразиях. /Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техн. / ВИНИТИ.— Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002 — С. 103-134.

20. Широков, А. П Пространства определяемые алгебрами. Дис. . .докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / А П. Широков — Казань, 1965.

21. Широков, А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях. / А П Широков //Труды геометр, семин / ВИНИТИ — Т. 5 — М., 1974 — С 311-318.

22. Широков, А. П Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. / А. П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ — Т. 12: Проблемы геометрии. — М„ 1981. — С. 61-95.

23. Широков, А. П. Пространства над алгебрами и их применения. /A. П. Широков // Итоги науки и техн. // ВИНИТИ. — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002, — С. 135-161

24. Шурыгин, В. В. К теории дифференциальных групп высших порядков. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика.— 1984 — № 11. — С. 77-81.

25. Шурыгин, В. В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами. /B. В Шурыгин // Итоги науки и техники / ВИНИТИ — Т. 19' Проблемы геометрии. — М., 1987. — С 3—22.

26. Шурыгин, В. В. Структурные уравнения расслоения Л-аффинных реперов. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика. — 1989. — № 12. — С. 78-80

27. Шурыгин, В В. Связности высших порядков и лифты полей геометрических объектов. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика — 1992. — № 5. — С 96-104.

28. Шурыгин, В В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй. / В. В. Шурыгин // Успехи мат. наук — 1993 — Т. 48, № 2 (290). — С. 75-106.

29. Шурыгин, В. В. О категории многообразий над алгебрами /В В. Шурыгин // Труды геометр семин — Т 22. — Казанск. ун-т , 1994.—С 107-122

30. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля. / ВВ. Шурыгин // Итоги науки и техн / ВИНИТИ — Т 73. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры — М., 2002. — С 162-236

31. Alonso, R J. Jet manifolds associated to a Weil bundles / R. J Alon-so//Arch. Math — 2000.—Vol 36.—Pp 195-199

32. Cabras, A. Prolongation of tangent valued forms to Weil bundles. / A. Cabras, I. Kolar//Arch. Math.— 1995.— Vol. 31.— Pp. 139145

33. Cabras, A. Prolongation of second order connections to vertical Weil bundles / A Cabras, I. Kolar // Arch Math.— 2001 — Vol. 37 — Pp. 333-347

34. Debecki, J. Linear liftings of skew-symmetric tensor fields to Weil bundles. / J. Debecki // Czech. Math. J. — 2005. — Vol. 55, no. 3. — Pp. 809-816.

35. Doupovec, M. Natural affinors on time-dependent Weil bundles / M Doupovec, I. Kolar//Arch. Math — 1991. — Vol. 27. — Pp. 205209.

36. Doupovec, M. Iteration of fiber product preserving bundle functors. / M. Doupovec, I. Kolar // Monatsh Math.— 2001 — Vol. 134. — Pp 39-50.

37. Eck, D. J. Product-preserving functors on smooth manifolds / D. J Eck // J. Pure Appl. Algebra. — 1986. — Vol. 42. — Pp. 133140.

38. Ehresmann, C. Les prolongements d'une variete differentiable. i. calcul des jets, prolongement principal / С Ehresmann // C. R. Acad Sci. — 1951, —Vol. 233, no 11.—Pp. 598-600.

39. Gancarzewicz, J. Lifts of some tensor fields and connections to product preserving functors. / J Gancarzewicz, W. Mikulski, Z. Pogoda // NagoyaMath. J. — 1994, — Vol. 135. — Pp. 1-41.

40. Gancarzewicz, J. Connections of higher order and product preserving functors / J Gancarzewicz, N. Rahmani, M Salgado // Czech Math. J. — 2002 — Vol. 52. — Pp. 889-896.

41. Guillemin, V. Deformation theory of pseudogroup structures. / V Guillemin, S. Sternberg// Memoirs of Amer. Math. Soc. — 1966. — Vol. 64.

42. Kainz, G. Natural transformations in differential geometry. / G. Kainz, P Michor// Czech. Math. J — 1987. — Vol. 37 — Pp 584-607.

43. Kolar, I An infinite dimensional motivation in higher order geometry. // Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Brno, Czech Republic, Aug.28 — Sept 1, 1995. / Silesian University — Brno, 1996.—Pp. 151-159.

44. Kolar, I Affine structures on Weil bundles. / I Kolar // Nagoya Math J.— 2000,—Vol 158.—Pp. 99-106.

45. Kolar, I On the geometry of fiber product preserving bundle functors // Proceedings of the Conference on differential geometry and applications. Opava, Czech Republic, August 27—31, 2001. / Silesian University — Opava, 2001. — Pp 85-92

46. Kolar, I. A general point of view to nonholonomic let bundles. /1. Kolar // Cahiers topol. geom diff. categ — 2003 — Vol XLIV-2 — Pp. 149— 160.

47. Kolar, I Natural Operations in Differential Geometry. / I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. — 434 pp.

48. Kolar, I. On the fiber product preserving bundle functors. / I. Kolar,W. M. Mikulski // Differ Geom. and Appl — 1999 — Vol 11 — Pp. 105-115.

49. Kolar, I. Natural lifing of connections to vertical bundles. // Rend. Circ. math. Palermo Ser.II, Suppl.63 — 2000. — Pp. 97-102

50. Kolar, I. Contact elements on fibered manifolds. /1 Kolar, W M. Mikulski//Czech. Math J — 2003,—Vol 53 — Pp 1017-1030

51. Kolar, I. On the algebraic structure on the jet prolongations of fibred manifolds / I. Kolar, M Modugno // Czech. Math J.— 1990.— Vol. 40. — Pp 601-611.

52. Kriegl, A Product preserving functors of infinite dimensional manifolds. / A. Kriegl, P W Michor // Archiv. Math — 1996. — Vol 32 — Pp 289-306.

53. Kurek, J The natural operators lifting 1-forms to some vector bundle functors. / J. Kurek, W. Mikulski // Colloq Math. — 2002. — Vol 93, no. 2. — Pp. 259-265.

54. Kures, M. The natural operators lifting vector fields to bundles of Weil contact elements. / M. Kures, W. Mikulski // Czech. Math. J. — 2004. — Vol. 54, no. 4. — Pp. 855-867.

55. Leon M. de. Contrained time-dependent Lagrangian systems and La-grangian submanifolds. / M. de. Leon, C. Marreto // J Math Phys — 1993. — Vol. 34. — Pp 622-645.

56. Luciano, О. О Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points / О. O. Luciano // Nagoya Math J.— 1988.— Vol 109, — Pp. 67-108.

57. Mikulski, W. M. Natural transformations of Weil functors into bundle functors / Mikulski, W. M. // Rend. Circ mat. Palermo. Ser 2. — 1989, — Vol.22— Pp 177-191.

58. Mikulski, W. M. Natural transformations transforming vector fields into affinors on the extended r-th order tangent bundles. / W. M. Mikulski // Archiv. Math. — 1993. — Vol 29 — Pp. 59-70.

59. Mikulski, W. M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds. / W. M. Mikulski // Archiv Math.— 1996,— Vol. 32 — Pp. 307-316.

60. Molino, P Theorie des G-structure: le probleme d'equivalence. / P. Moli-no // Lecture Notes in Mathematics — 1977. — Vol. 588.

61. Molino, P Riemannian Foliations / P. Molino — Birkhauser, 1988.

62. Morimoto, A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order. / A Morimoto // Nagoya Math. J. — 1970 — Vol. 40.— Pp 99-120.

63. Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. / A. Morimoto // J. Different. Geom. — 1976.— Vol 11, no. 4. — Pp. 479-498.

64. Munoz, J Weil bundles and jet spaces. / J. Munoz, J. Rodriguez, F. Muriel // Czech. Math. J. — 2000 — Vol. 550, no. 4 — Pp. 721— 748

65. Okassa, E. Prolongements des champs de vecteur a des varietes de points proches. / E. Okassa // C. R Acad. Sci. ser 1. — 1985. — Vol. 300, no. 6 — Pp 173-176.

66. Patterson, L.-N. Connexions and prolongations. / L.-N. Patterson // Canad. J. Math. — 1975. — Vol. 27, no 4 — Pp. 766-791.

67. Ranada, M. Time-dependent Lagrangian systems' A geometric approach to the theory of systems with constraints / M. Ranada // J. Math. Phys — 1994 — Vol. 35. — Pp. 748-767.

68. Reinhart, B. L. Differential geometry of foliations. The fundamental inte-grability problem. / B. L. Reinhart. — Springer, 1983.

69. Sasaki, S On the differential geometry of tangent bundles of Riemanni-an manifolds. / S. Sasaki // Tohoku Math J — 1958 — Vol. 10, no 3 — Pp. 333-354.

70. Shurygin, V V The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras. / V V Shurygin // Lobachevskn J of Math — 1999 — Vol. 5 — Pp 29-55

71. Vondra, A. Sprays and homogeneus connections on M x TM / A Von-dra // Archiv Math. — 1992, — Vol 28 — Pp 163-173.

72. Weil, A. Theorie des points proches sur les vanetetes differentiables. / A. Weil // Colloque internat. centre nat. rech sci — Vol 52 — Strasbourg. 1953.—Pp 111-117

73. Yano, K. Tangent and cotangent bundles. / K- Yano, S Ishihara — Marcel Dekker, N Y, 1973.

74. Yano, K. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I. General theory. / K. Yano, S. Kobayashi // J. Math Soc. Japan — 1966. — Vol 18, no 2 — Pp. 194-210.

75. Yuen, P. С Prolongements de G-structures aux espaces de prolonge-ment. / P. C. Yuen // C. R. Acad. Sci. — 1970. — Vol. 270, no. 3. — Pp. 538-540.

76. Yuen, P С Sur la notion d'une G-structure geometrique et les A-prolon-gements de G-structures. / PC. Yuen // C. R. Acad. Sci. — 1970. — Vol. 270, no. 24. — Pp. 1589-1592.Список публикаций автора по теме диссертации

77. Бушуева, Г. Н. Расслоения Вейля над многообразиями, зависящими от параметров. / Г. Н. Бушуева // Движения в обобщенных пространствах: межвуз сб науч тр. / Пензенск. гос пед. ун-т — Пенза, 2002. — С. 24-34.

78. Бушуева, Г. Н Связности высших порядков и поля геометрических объектов на многообразиях, зависящих от параметров. / Г. Н. Бушуева // Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. — вып. 24. — Казань: Изд-во КГУ, 2003. — С. 31-43.

79. Бушуева, Г. Н. Функторы Вейля и функторы, сохраняющие произведение, на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г. Н. Бушуева // Известия ВУЗов. Математика.— 2005.— № 5 (516) — С 14-21.

80. Бушуева, Г. Н. Функторы типа Вейля на категории многообразий, зависящих от параметров. / Г. Н Бушуева // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. — Т 147, кн. 1 — Казань. Изд-во КГУ, 2005. — С. 37-50.

81. Bushueva, G. N. On the higher order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent manifolds /G. N. Bushueva, V. V. Shurygin // Lobachevskn J. of Math. — 2005. Vol. 18. — Pp. 53-105.Щ