Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Шурыгин Вадим Вадимович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ПУАССОНОВЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент

Малахальцев Михаил Арменович

доктор физико-математических наук, профессор

Лосик Марк Вольфович,

доктор физико-математических наук, профессор

Яковлев Евгений Иванович

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 20 апреля 2006 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан 18 марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

М.А. Малахальцев

¿tr&y

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многообразий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие применения в математической физике (см., например, монографии В.И.Арнольда и A.B.Гивенталя [1], М.В.Карасева и В.П.Маслова [6], В.В.Трофимова и А.Т. Фоменко [8], А. да Силвы и А. Вейнстейна [23], И. Вайсмана [25]).

Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую очередь следует отметить работы Ф. Байена, М. Флато, К. Фронсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [11], Дж.Донина [14], Я.Грабов-ского [15], М. Концевича [18], X. Омори, Й. Маеды и А.Йошиоки [22]. Алгебраические аспекты теории деформаций пуассоновых структур исследовались в работе Й. Хюбшманна [17].

А. Лихнерович [20] ввел в расмотрение так называемые пуассоно-вы когомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае сим-плектического многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Кошуль [19] ввел понятие гомологий пуассонова многообразия, впоследствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.

В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [13] было начато изучение когомоло-гий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомологиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано, что для случая симплектического многообразия квантовые когомологии получаются деформационным квантованием когомологий де Рама. В работе Ж.-Л. Брылинского [12], с использованием результатов работ [19] и [20], был получен ряд результатов о строении дифференциального комплекса, естественным образом ассоциированного с пуассоновой структурой.

В работах Ю.М.Воробьева и М.В.Карасева [5], Й.Хюбшманна [17], И. Вайсмана [24], А.Вейнстейна [27] изучены свойства пуассоновых ко-гомологий и приведены многочисленные примеры их вычисления. Работа в этом направлении активно ведется и в настоящее время.

Расслоение Вейля ТАМ гладкого многообразия М, определяемое локальной алгеброй А (алгеброй Вейля), было введено А. Вейлем [26]. К классу расслоений Вейля относятся, в частности, касательные расслоения. В работах Я.Грабовского и П.Урбанского [16], Г.Митрича и И. Вайсмана [21] были построены и изучены различного типа лифты симплектических и пуассоновых структур на касательные расслоения.

А.П. Широковым [10] было обнаружено, что расслоение Вейля ТкМ несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А. Это позволило применять при изучении геометрических структур на расслоениях Вейля методы теории многообразий над алгебрами. Изучению геометрии многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П.Широкова [9], В.В.Вишневского [2], [3], Г.И.Кручковича [7] и других авторов (ссылки на обширную литературу можно найти в монографии В.В. Вишневского, А.П. Широкова и В.В. Шурыгина [4]). Наличие структуры гладкого многообразия над алгеброй А на расслоении Вейля ТАМ приводит к появлению на этом расслоении геометрических объектов специального типа, а именно, А-гладких геометрических объектов (в частности, А-продолжений геометрических объектов с базового многообразия М), а также вещественных геометрических объектов, являющихся реализациями А-гладких геометрических объектов. Реализации тензоров и тензорных операций в пространствах над фробениусо-выми алгебрами посвящены работы В.В. Вишневского [3] и Г.И. Кручковича [7].

Цели работы:

1. Вычисление квантовых когомологий де Рама пуассоновых много-

образий.

2. Построение лифтов контравариантных тензорных полей и пуассо-новых структур с гладкого многообразия на его расслоение Вейля.

3. Изучение свойств пуассоновых структур на расслоениях Вейля гладких многообразий, их связей с пуассоновыми структурами на базовых многообразиях и вычисление их модулярных классов.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии и топологии пуассоновых многообразий, теории многообразий над алгебрами, теории слоений.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция «Колмогоров и современная математика» (Москва, 16-21 июня 2003 г.).

IX Международная конференция «Дифференциальная геометрия и приложения» (Чехия, Прага, 30 августа - 3 сентября 2004 г.).

XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 12-15 апреля 2005 г.).

Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003, 2005 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и заседаниях Казанского городского геометрического семинара.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ, в

том числе 5 статей и тезисы 2 докладов, сделанных на конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе и содержит

135 страниц. Список литературы насчитывает 112 наименований.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Вычислены когомологии двойного комплекса Брылинского пуас-сонова многообразия и квантовые когомологии де Рама пуассонова многообразия.

2. Развит единый метод построения лифтов тензорных полей с гладкого многообразия М на тотальное пространство его расслоения Вейля ТАМ для фробениусовой алгебры Вейля А.

3. Показано, что операция взятия полного лифта дифференциальных форм индуцирует гомоморфизм когомологий де Рама ЩЯ(М) —> Н*т(Т*М). Выяснена структура этого гомоморфизма в зависимости от выбора фробениусова ковектора на алгебре А.

4. Исследованы свойства пуассоновых структур на расслоении Вейля ТАМ пуассонова многообразия (М, го), определяемых полным ьР и вертикальным юу лифтами тензора Пуассона и>. Вычислены модулярные классы пуассоновых многообразий (ТАМ, и}с) и (ТАМ,и>у).

Краткое содержание диссертации

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

Глава 1, состоящая из 5 параграфов, носит в основном реферативный характер. Здесь приводятся необходимые для дальнейшего понятия и результаты из теории слоений, теории пуассоновых многообразий, теории локальных алгебр Вейля и многообразий над алгебрами. Также эта глава содержит ряд самостоятельных результатов автора, носящих вспомогательный характер и используемых в дальнейшем.

В §1.1 даются определения слоения на гладком многообразии и слоевых когомологий де Рама. Приводятся некоторые результаты вычисления этих когомологий.

В §1.2 приводится определение скобки Схоутена-Нейенхейса на внешней алгебре поливекторных полей на гладком многообразии и перечисляются ее свойства.

§1.3 посвящен краткому изложению теории пуассоновых многообразий. В п. 1.3.1 дается определение симплектического многообразия, приводятся примеры и простейшие свойства симплектических многообразий, в частности, теорема Дарбу о каноническом виде симплектической формы. В п. 1.3.2 приводятся определения скобки Пуассона и тензора Пуассона на гладком многообразии, определение регулярного пуассо-нова многообразия. Также здесь приводятся теоремы А. Вейнстейна о каноническом виде тензора Пуассона и теорема А. Кириллова о сим-плектическом слоении. В п. 1.3.3 рассматриваются пуассоновы кого-мологии, введенные А. Лихнеровичем, и ТР-когомологии регулярного пуассонова многообразия. Приводятся некоторые результаты их вычисления. Кроме того, здесь дается определение модулярного класса пуассонова многообразия. Наконец, в п. 1.3.4 рассматривается дифференциал Ж.-Л. Кошуля на пуассоновых многообразиях, приводятся определение канонических гомологий пуассонова многообразия, данное Ж.-Л. Брылинским, и некоторые результаты их вычисления, принадлежащие автору.

В §1.4 приводится определение локальной алгебры А в смысле А. Вей-ля, рассматриваются основные понятия, касающиеся локальных алгебр, приводится определение А-гладкого многообразия. Также здесь вводится расслоение Вейля 7Гд : ТАМ —» М гладкого многообразия М, рассматривается структура А-гладкого многообразия на ТкМ. Кроме того, приводится определение фробениусовой алгебры Вейля. §1.5 посвящен изучению структуры фробениусовых алгебр Вейля. Он содержит ряд

самостоятельных результатов автора, используемых в Главе 3.

Глава 2 посвящена рассмотрению некоторых дифференциальных комплексов, ассоциированных с пуассоновыми многообразиями и вычислению их когомологий. В §2.1 на пуассоновом многообразии (М, и!) определяется дифференциал £> = й + 6 и строится изоморфизм между дифференциальными группами (П*(М), <1) и (Г2*(М), В). После этого вводится двойной комплекс Л = (ПЧ~Р(М),8,(—1)Р(1), построенный Ж.-Л. Брылинским. Основным результатом параграфа является

Теорема 2.1. Для любого пуассонова многообразия (М,ги) четномер-ные пространства когомологий комплекса Л изоморфны прямой сумме пространств когомологий де Рама ® Н^(М), а нечетномерные

пространства когомологий комплекса Л изоморфны прямой сумме пространств когомологий де Рама ®

к^о ал

В §2.2 рассматривается квантовый комплекс де Рама, введенный Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [13]. Основной результат этого параграфа:

Теорема 2.4. Внешняя алгебра квантовых когомологий де Рама пуассонова многообразия (М, ъи) изоморфна внешней алгебре, полученной деформационным квантованием алгебры его когомологий де Рама.

Доказанная теорема полностью решает задачу вычисления квантовых когомологий де Рама, поставленную Х.-Д. Као и Ж. Чжоу.

В Главе 3 рассматриваются операции построения лифтов тензорных полей с гладкого многообразия М на тотальное пространство ТАМ его расслоения Вейля для фробениусовой алгебры Вейля А и изучаются свойства этих лифтов, в частности, их согласованность с основными дифференциальными операциями на гладких многообразиях.

В §3.1 рассматриваются лифты ковариантных и контравариантных тензорных полей с гладкого многообразия М на тотальное пространство расслоения ТАМ. В п. 3.1.1 приводится определение реализации А-значного тензора на А-модуле Ь и устанавливаются некоторые свой-

ства операции реализации, такие, как инъективность и согласованность с А-линейными отображениями А-модулей. Пп. 3.1.2-3.1.3 посвящены рассмотрению полных лифтов тензорных полей на расслоения Вей-ля. Полный лифт тензорного поля t определяется как реализация его аналитического продолжения Показано, что полный лифт внешних форм индуцирует гомоморфизм когомологий де Рама

ЛА : Н*т{М) — Я^(ГАМ), И

Доказана

Теорема 3.1. Пусть (А, д) — фробениусова алгебра Вейля, р — ее фробениусов ковектор, 1а — единица алгебры А, а М — гладкое многообразие. Еслир( 1д) ф 0, то гомоморфизм ^д является изоморфизмом. Если р(1д) = 0; то гомоморфизм является нулевым.

Кроме того, показано, что операция взятия полного лифта сохраняет скобку Схоутена-Нейенхейса поливекторных полей на многообразии М:

[и,у]С = [иС,УС]

для любых и, у € У*(М).

В п. 3.1.4 понятие вертикального лифта поливекторных полей на тотальное пространство касательного расслоения ТМ обобщается на случай расслоения Вейля ТАМ для произвольной фробениусовой алгебры Вейля А. Здесь устанавливаются соотношения, связывающие вертикальный лифт со скобкой Схоутена-Нейенхейса:

Предложение 3.1.8. Для любых и, у € У*(М) имеют место соотношения

a) [и,у)у = {иу,ус] = [ис,иу]-,

b) [иу,уу] = 0.

Кроме того, здесь вычисляется полный лифт тензорного произведения двух тензорных полей.

§3.2 посвящен изучению пуассоновых структур, возникающих на тотальном пространстве ТкМ расслоения Вейля пуассонова многообразия (М, ю).

Так, в п. 3.2.1 доказано, что полный лифт гис тензора ги есть тензор Пуассона на ТАМ и показано, что в том случае, когда ги есть сим-плектическая структура, полный лифт цР также есть симплектическая структура. Здесь показано, что полный лифт поливекторных полей индуцирует гомоморфизм когомологий Пуассона

Н*Р(М, ш) —* Н*Р{ТАМ, иис), [и] ь—+ [ис]

и указано, каким образом этот гомоморфизм связан с гомоморфизмом когомологий де Рама На, рассмотренным в п. 3.1.2, что позволяет вычислить его для случая симплектического многообразия. Также рассмотрен ряд примеров, показывающих, что в общем случае этот гомоморфизм может иметь различные свойства в зависимости от свойств тензора Пуассона ш и от размерности пространства когомологий.

Рассмотрению аналогичных вопросов для вертикального лифта иоу пуассоновой структуры посвящен п. 3.2.2. Показано, что вертикальный лифт поливекторных полей также индуцирует гомоморфизм соответствующих когомологий Пуассона

Н*Р{М,ю) —> Н*Р(ТАМ,[и] ► [иу].

Кроме того, здесь приведены примеры, показывающие, что в общем случае этот гомоморфизм может быть как мономорфизмом, так и иметь ненулевое ядро в зависимости от свойств тензора Пуассона го и от размерности пространства когомологий.

В пп. 3.2.3-3.2.4 показано, что полный лифт регулярной пуассоновой структуры и> является регулярной пуассоновой структурой на ТАМ и что имеют место естественные гомоморфизмы пространств когомологий соответствующих симплектических слоений и ТР-когомологий.

Эти гомоморфизмы вычислены для случая пуассонова многообразия М = S х N, являющегося произведением симплектического многообразия S и произвольного гладкого многообразия N, а именно, доказаны Теорема 3.3. Пусть (М = SxN,F) — многообразие со слоением Т на слои S х {у}, у £ N. Пусть (A, q) — фробениусова алгебра Вейля, р — ее фробениусов ковектор. Тогда для любого s = 0,..., dim S справедливы утверждения:

1) При г ^ 1 гомоморфизм

Hr's(M, Т) —» НГ'3(ТАМ, Т), [£] ■—► [£С]

является мономорфизмом.

2) При р(1д) ф 0 гомоморфизм

Н0'8 (М, Т) —» Я0-8 (ТАМ, Т), [£] » [£с]

является мономорфизмом. При = 0 его <яфо изоморфно H%R(S).

Теорема 3.5. Пусть регулярное пуассоново многообразие (М, w) ле-ляется произведением М = S х N симплектического многообразия S и произвольного гладкого многообразия N. Предположим, что dim HsdR(S) < оо.

Тогда при р(1д) ф 0 гомоморфизм

ЩР(М, w) —> Hj-P(TAM, wc), [и] ь-> [uc]

является мономорфизмом. При р( 1д) = 0 его ядро изоморфно H%R(S).

Наконец, п. 3.2.5 посвящен вычислению модулярных классов пуас-соновых многообразий, получаемых в результате наделения тотального пространства ТАМ расслоения Вейля полным wc и вертикальным wv лифтами пуассоновой структуры w, заданной на многообразии М. Здесь доказаны

Теорема 3.6. Пусть Ац — модулярное векторное поле пуассонова многообразия (M,w). Тогда для всякой фробениусовой алгебры Вейля

(A,q) модулярное векторное поле пуассонова многообразия (ТАМ. wc) имеет вид

AF = dimÄ- Д^,

где верхний индекс V означает вертикальный лифт.

Теорема 3.7. Для любой фробениусовой алгебры Вейля (А, q) модулярный класс пуассонова многообразия (ТАМ, wv) равен нулю.

Список литературы

[1] Арнольд, В.И. Симплектическая геометрия / В.И. Арнольд, A.B. Гивенталь. - Ижевск; Изд. дом «Удмуртский университет», 2000. - 168 с.

[2] Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. - 1972.

[3] Вишневский, В.В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами / В.В. Вишневский // Изв. вузов. Математика. - 1974. - № 5. - С. 62-65.

[4] Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1984. - 264 с.

[5] Воробьев, Ю.М. О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена / Ю.М. Воробьев, М.В. Карасев // Функ. Анализ и Прилож. - 1988. - Т. 22, Вып. 1. - С. 1-11.

[6] Карасев, М.В. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.В. Карасев, В.П. Маслов. - М.: Наука, 1991. - 368 с.

[7] Кручкович, Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I / Г.И. Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. -Вып. 16. - М.: Изд-во МГУ, 1972. - С. 174-201.

[8] Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоно-вых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. - М.: Факториал, 1995. - 448 с.

[9] Широков, А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами / А.П. Широков // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ. - Т. 1. - М., 1966. - С. 425-456.

[10] Широков, А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами / А.П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. - Т. 12: Проблемы геометрии. - М., 1981. - С. 61-95.

[11] Bayen, F. Deformation theory and quantization / F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer // Ann. of Physics. -1978. - Vol. 111. - Pp. 61-110.

[12] Brylinski, J.-L. A differential complex for Poisson manifolds / J.-L. Brylinski // J. Diff. Geom. - 1988. - Vol. 28. - Pp. 93-114.

[13] Cao, H.-D. On quantum de Rham cohomology [Электронный ресурс] / H.-D. Cao, J. Zhou. - Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/9806157, свободный.

[14] Donin, J. On the quantization of Poisson brackets / J. Donin // Adv. in Math. - 1997. - Vol. 127. - Pp. 73r93.

[15] Grabowski, J. Deformational Quantization of Poisson structures / J. Grabowski // Rep. Math. Phys. - 1995. - Vol. 35. - Pp. 267-281.

[16] Grabowski, J. Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids / J. Grabowski, P. Urbanski // Ann. Global. Anal. Geom. - 1997. - Vol. 15. - Pp. 447-486. •

[17] Huebschmann, J. Poisson cohomology and quantization / J. Huebschmann // J. für Reine und Angew. Math. - 1990. -Vol. 408. - Pp. 57-113.

[18] Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds / M. Kontsevich // Lett. Math. Phys. - 2003. - Vol. 66. - Pp. 157-216.

[19] Koszul, J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie / J.-L. Koszul // "Elie Cartan et les Math. d'Aujour d'Hui", Astérisque, hors-série. - 1985. - Pp. 251-271.

[20] Lichnerowicz, A. Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées / A. Lichnerowicz // J. Diff. Geom. - 1977. - Vol. 12. -Pp. 253-300.

[21] Mitric, G. Poisson structures on tangent bundles / G. Mitric, I. Vaisman // Diff. Geom. and Appl. - 2003. - Vol. 18. - Pp. 207228.

[22] Omori, H. Weyl manifolds and deformation quantization / H. Omori, Y. Maeda, A. Yoshioka // Adv. in Math. - 1991. - Vol. 85. - Pp. 224255.

[23] Silva, A.C. da. Geometrie Models for Noncommutative Algebras / A.C. da Silva, A. Weinstein. - Berkeley Lecture Notes. - 2000. — Vol. 10. - 184 pp.

[24] Vaisman, I. Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology / I. Vaisman // Ann. Inst. Fourier Grenoble. - 1990. - Vol. 40. - Pp. 951963.

[25] Vaisman, I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds / I. Vaisman. - Progress in Math. - Vol. 118. - Basel: Birkhâuser, 1994. - 205 pp.

[26] Weil, A. Théorie des points proches sur les variétés différentiables /

A. Weil // Colloque internat, centre nat. rech. sci. - Vol. 52. - Strasbourg, 1953. - Pp. 111-117.

[27] Weinstein, A. The modular automorphism group of a Poisson manifold / A. Weinstein // J. Geom. Phys. - 1997. - Vol. 23. - Pp. 379-394.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Шурыгин, В.В. (мл.) Тейлоровские и лорановские квантовые ко-гомологии де Рама симплектического многообразия / В.В. Шурыгин (мл.) // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 21: Материалы III всероссийской молодежной науч. школы-конференции «Лобачевские чтения-2003», Казань, 1-4 декабря 2003 г. - Казань: Каз. мат. общ-во, 2003. - С. 243-244.

[2] Шурыгин, В.В. (мл.) Когомологии двойного комплекса Брылинско-го пуассоновых многообразий и квантовые когомологии де Рама /

B.В. Шурыгин (мл.) // Изв. вузов. Математика. - 2004. - № 10 (509). - С. 75-81.

[3] Шурыгин, В.В. (мл.) О структуре кольца квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий / В.В. Шурыгин (мл.) // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. - Т. 147, кн. 1. - Казань: Изд-во КГУ, 2005. - С. 192-196.

[4] Shurygin, V.V., jr. Poisson structures on Weil bundles / V.V. Shury-gin, jr. // Lobachevskii J. Math. - 2005. - Vol. 17. - Pp. 229-256.

[5] Шурыгин, В.В. (мл.) Гомоморфизм когомологий де Рама, индуцированный полным лифтом дифференциальных форм в расслоение Вейля / В.В. Шурыгин (мл.) // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 31: Материалы IV всероссийской молодежной науч. школы-конференции «Лобачевские чтения-2005», Казань, 1618 декабря 2005 г. - Казань: Каз. мат. общ-во, 2005. - С. 177-179.

[6] Shurygin, V.V., jr. On the projective limit of fibered manifolds / V.V. Shurygin, jr. // International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, Russia, June 16-21, 2003: Abstracts. - Moscow, 2003. - P. 853.

[7] Shurygin, V.V., jr. Brylinski cohomology of Poisson manifolds and quantum de Rham cohomology / V.V. Shurygin, jr. // 9th International Conference on Differential Geometry and its Applications, Prague, Czech Republic, August 30 - September 3, 2004: Abstracts. - Prague, 2004. - Pp. 44-45.

г

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 3/40

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

f

f >

Л0б>6А

6 554

Введение

Глава 1 Слоения. Пуассоновы многообразия.

Расслоения Вейля

§1.1 Слоения на многообразиях.

§1.2 Скобка Схоутена-Нейенхейса.

§1.3 Пуассоновы многообразия.

1.3.1 Симплектические многообразия.

1.3.2 Пуассоновы многообразия.

1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассонова многообразия.

1.3.4 Дифференциал Кошуля.

§1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля.

§1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля.

Глава 2 Квантовые когомологии де Рама

§2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского.

§2.2 Квантовые когомологии де Рама

Глава 3 Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля

§3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля.

3.1.1 Реализации тензорных операций.

3.1.2 Полный лифт ковариантных тензорных нолей

3.1.3 Полный лифт контравариантных тензорных полей

3.1.4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных нолей

§3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий.

3.2.1 Полный лифт пуассоновой структуры.

3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры

3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта.

3.2.4 Полный лифт регулярной пуассоновой структуры

3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоениях Вейля.

Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многообразий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие применения в математической физике (см., например, монографии В.И.Арнольда и А.Б. Гивенталя [1], М.В. Карасева и В.П. Маслова [11], В.В. Трофимова и А.Т.Фоменко [23], [25], Дж. Марсдена и Т. Ратью [71], А. да Силвы и А. Вейнстейна [92], И. Вайсмана [97]).

Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую очередь следует отметить основополагающую работу Ф. Байена, М. Флато, К. Фронсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [34], в которой было указано, что «квантование следует понимать как деформацию структуры алгебры классических наблюдаемых», а кроме того работы М. Кон-цевича [64], Дж.Донина [43], Я. Грабовского [54], X. Омори, Й.Маеды, Н. Миязаки и А. Йошиоки [81, 82].

Общая теория деформаций ассоциативных алгебр была развита в работах М. Герстенхабера [49]—[52]. Алгебраические аспекты теории деформаций пуассоновых структур также исследовались в работе Й.Хюбш-манна [60].

А. Лихнерович [67] ввел в расмотрение так называемые иуассоновы ко-гомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае симнлекти-ческого многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Ко-шуль [66] ввел понятие гомологий пуассонова многообразия, впоследствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.

В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [38] было начато изучение когомоло-гий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомо-логиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано, что для случая симплектического многообразия квантовые когомологии получаются деформационным квантованием когомологий де Рама. В работе Ж.-Л. Брылинского [36], с использованием результатов работ [66] и [67], был получен ряд результатов о строении двойного дифференциального комплекса, естественным образом ассоциированного с пуассоновой структурой.

В работах Ю.М. Воробьева и М.В. Карасева [10], X. Аскарраги, А. Переломова и Х.Переса Буэно [33], В.Гинзбурга и Дж.Лю [53], Й.Хюбш-манна [60], Н. Наканиши [78], И. Вайсмана [96], А.Вейнстейна [101], П. Сю [102, 103] изучены свойства иуассоновых когомологий и приведены многочисленные примеры их вычисления. Работа в этом направлении активно ведется и в настоящее время (см. работы А. Гаммеллы [48], И. Кос-манн-Шварцбах [65], П. Моннье [75, 76], А. Пишерё [84], К. Роже и П. Ван-хеке [88]).

В работах Г. Митрича и И. Вайсмана [73], Я. Грабовского и П.Урбанского [55, 56] были построены и изучены различного типа лифты симплектических и иуассоновых структур на касательные расслоения. Э. Окассой [80] и В.А. Браиловым [2] изучались лифты симплектических структур на расслоения Вей ля.

Расслоение Вейля ТАМ гладкого многообразия М, определяемое локальной алгеброй А (алгеброй Вейля), было введено А. Вейлем [99] как обобщение расслоения (TV, д)-скоростей Ш. Эресмана [45]. К классу расслоений Вейля относятся, в частности, касательные расслоения. Геометрия расслоений Вейля и, в частности, лифты тензорных структур и связ-ностей с гладкого многообразия М на расслоение Вейля ТАМ, изучались А. Моримото [77], Л. Паттерсоном [83], П.Юэном [105].

А.П. Широковым [29] было обнаружено, что расслоение Вейля ТАМ несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А. Это позволило применять при изучении геометрических структур на расслоениях Вейля методы теории многообразий над алгебрами. Изучению геометрии многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П. Нордена [16], [17], Б.А. Розенфельда [20], А.П. Широкова [26], [27], В.В. Вишневского [5], [6], [7], Г.И. Кручковича [14] и других авторов (ссылки на обширную литературу можно найти в монографии В.В. Вишневского, А.П. Широкова и В.В. Шурыгина [9], а также в работах [29], [8]). Наличие структуры гладкого многообразия над алгеброй А на расслоении Вейля ТАМ приводит к появлению на этом расслоении геометрических объектов специального типа, а именно, А-гладких геометрических объектов (в частности, А-продолжений геометрических объектов с базового многообразия М), а также вещественных геометрических объектов, являющихся реализациями А-гладких геометрических объектов. Реализации тензоров и тензорных операций в пространствах над фробениусовыми алгебрами посвящены работы В.В. Вишневского [6] и Г.И. Кручковича [14]. Геометрия расслоения Вейля ТАМ как многообразия над алгеброй А изучалась в работах А.П. Широкова [29], В.В. Шурыгина [30], А.Я. Султанова [21].

Соответствие, относящее гладкому многообразию его расслоение Вейля, представляет собой ковариантный функтор, принадлежащий к классу так называемых функторов, сохраняющих произведение. Изучению функторов, сохраняющих произведение, и их связи с функторами Вейля посвящено много работ, библиографию которых можно найти в монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [63].

Цель работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии иуассоновых многообразий и геометрии гладких многообразий над алгебрами.

1. Вычисление квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий.

2. Построение лифтов контравариантных тензорных полей и пуассоновых структур с гладкого многообразия на его расслоение Вейля.

3. Изучение свойств пуассоновых структур на расслоениях Вейля гладких многообразий, их связей с иуассоновыми структурами на базовых многообразиях и вычисление их модулярных классов.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии и топологии пуассоновых многообразий, теории многообразий над алгебрами, теории слоений.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция «Колмогоров и современная математика» (Москва, 16-21 июня 2003 г.).

IX Международная конференция «Дифференциальная геометрия и приложения» (Чехия, Прага, 30 августа - 3 сентября 2004 г.).

XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 12-15 апреля 2005 г.).

Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003, 2005 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и заседаниях Казанского городского геометрического семинара.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах автора [106]—[112].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ВД^Х и содержит 135 страниц. Список литературы насчитывает 112 наименований.

1. Арнольд, В.И. Симплектическая геометрия / В.И. Арнольд,A.Б. Гивенталь. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 2000. - 168 с.

2. Браилов, В.А. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширения кольца скаляров / В.А. Браилов // Вестн. МГУ. Мат. Мех. 1983. - № 1. - С. 47-51.

3. Вагнер, В.В. Алгебраическая теория дифференциальных групп /B.В. Вагнер // ДАН СССР. 1951. - Т. 80, № 6. - С. 845-848.

4. Вагнер, В.В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков / В.В. Вагнер // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 10. - М.: Изд-во МГУ, 1956. - С. 31-88.

5. Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. 1972.

6. Вишневский, В.В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами / В.В. Вишневский // Изв. вузов. Математика. 1974. - № 5. - С. 62-65.

7. Вишневский, В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры / В.В. Вишневский // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 20: Проблемы геометрии. - М., 1988.C. 35-75.

8. Вишневский, В.В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации /В.В. Вишневский // Итоги науки и техн. / ВИНИТИ. Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - М., 2002. - С. 6-64.

9. Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин. Казань: Изд-во Казанского университета, 1984. - 264 с.

10. Воробьев, Ю.М. О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена / Ю.М. Воробьев, М.В. Карасев // Функ. Анализ и Прилож. 1988. -Т. 22, Вып. 1. - С. 1-11.

11. Карасев, М.В. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.В. Карасев, В.П. Маслов. М.: Наука, 1991. - 368 с.

12. Кириллов, А.А. Локальные алгебры Ли / А.А. Кириллов // Успехи мат. наук. 1976. - Т. 31, № 4. - С. 57-76.

13. Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 1. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу; перевод с англ. Л.В. Сабинина. М.: Наука, 1981. - 344 с.

14. Кручкович, Г.И. Гииеркомплексные структуры на многообразиях, I / Г.И. Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. -Вып. 16. М.: Изд-во МГУ, 1972. - С. 174-201.

15. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кэртис, И. Райнер; перевод с англ. Б.Н. Гартштейн и др.]; под ред. С.Д. Бермана. М.: Наука, 1969. - 668 с.

16. Норден, А.П. О параллельном перенесении дуальных векторов / А.П. Норден // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. Т. 110. - Вып. 3. -Казань, 1950. - С. 95-103.

17. Норден, А.П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства / А.П. Норден // Изв. вузов. Математика. -1972. № 12. - С. 84-94.

18. Пирс, Р. Ассоциативные алгебры / Р. Пирс; перевод с англ. А.С. Ра-пинчука и В.И. Янчевского; иод ред. А.Е. Залесского. М.: Мир, 1986. - 544 с.

19. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия / М.М. Постников. М.: Наука, 1987. - 480 с.

20. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1955. - 744 с.

21. Султанов, А.Я. Продолжения тензорных нолей и связностей на расслоение Вейля / А.Я. Султанов // Изв. вузов. Математика. 1999.- № 9. С. 81-90.

22. Трофимов, В.В. Построение канонических координат на орбитах коирисоединенного представления групп Ли / В.В. Трофимов // Труды семин. по вект. и тенз. анализу Вып. 25. Ч. 2. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - С. 148-151.

23. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоно-вых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. М.: Факториал, 1995. - 448 с.

24. Уэллс, Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / Р. Уэллс; перевод с англ. Е.М. Чирки; под ред. Б.С. Ми-тягина. М.: Мир, 1976. - 286 с.

25. Фоменко, А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 413 с.

26. Широков, А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами / А.П. Широков // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ. Т. 1.- М., 1966. С. 425-456.

27. Широков, А.П. Пространства определяемые алгебрами: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / А.П. Широков Казань, 1965.

28. Широков, А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях / А.П. Широков // Труды геометр, семин. / ВИНИТИ Т. 5. - М., 1974. - С. 311-318.

29. Широков, А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами / А.П. Широков // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 12: Проблемы геометрии. - М., 1981. - С. 61-95.

30. Шурыгин, В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй / В.В. Шурыгин // Успехи мат. наук.- 1993. Т. 48, № 2 (290). - С. 75-106.

31. Шурыгин, В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами / В.В. Шурыгин // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 9.- С. 74-88.

32. Abouqateb, A. Le classe modulaire d'une variete de Poisson reguliere et la classe de Reeb de son feuilletage symplectique / A. Abouqateb, M. Boucetta // C. R. Acad. Paris. Ser. I. - 2003. - Vol. 337. - Pp. 6166.

33. Azcarraga, J.A. de. The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures / J.A. de Azcarraga, A.M. Perelomov, J.C. Perez Bueno // J. of Physics. A: Math. Gen. 1996. - Vol. 29. -Pp. 7993-8009.

34. Bayen, F. Deformation theory and quantization / F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer // Ann. of Physics. -1978.-Vol. 111.-Pp. 61-110.

35. Bertelson, M. Foliations associated to regular Poisson structures Электронный ресурс] / M. Bertelson. Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/0010191, свободный.

36. Brylinski, J.-L. A differential complex for Poisson manifolds / J.-L. Brylinski // J. Diff. Geom. 1988. - Vol. 28. - Pp. 93-114.

37. Candel, A. Foliations I / A. Candel, L. Conlon. Graduate Studies in Math. - Vol. 23. - 2000. - 402 p.

38. Cao, H.-D. On quantum de Rham cohomology Электронный ресурс] / H.-D. Cao, J. Zhou. Режим доступа: http://arxiv.org/abs/math.DG/9806157, свободный.

39. Conn, J. Normal forms for analytic Poisson structures / J. Conn // Ann. of Math. 1984. - Vol. 119. - Pp. 577-501.

40. Conn, J. Normal forms for smooth Poisson structures / J. Conn // Ann. of Math. 1985. - Vol. 121. - Pp. 565-593.

41. Courant, T.J. Dirac manifolds / T.J. Courant // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. - Vol. 319. - Pp. 631-661.

42. Donin, J. On the quantization of Poisson brackets / J. Donin // Adv. in Math. 1997. - Vol. 127. - Pp. 73-93.

43. Eck, D.J. Product-preserving functors on smooth manifolds / D.J. Eck //J. Pure Appl. Algebra. 1986. - Vol. 42. - Pp. 133-140.

44. Ehresmann, С. Les prolongements d'une variete differentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm / C. Ehresmann // C. R. Acad. Sci. 1951. - T. 233. - Pp. 777-779.

45. El Kasimi-Alaoui, A. Sur la cohomologie feuilletee / A. El Kasimi-Alaoui // Compositio Math. 1983. - Vol. 49. - Pp. 195-215.

46. El Kasimi-Alaoui, A. Cohomologie bigraduee de certains feuilletages / A. El Kasimi-Alaoui, A. Tihami // Bull. Soc. Math. Belg. 1986. -T. 38, Ser. B, Fasc. 2. - Pp. 144-156.

47. Gammella, A. An approach to the tangential Poisson cohomology based on examples in duals of Lie algebras / A. Gammella // Pacific J. Math.- 2002. Vol. 203. - Pp. 283-319.

48. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1964. - Vol. 79. - Pp. 59-103.

49. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, II / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1966. - Vol. 84. - Pp. 1-19.

50. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, III / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1968. - Vol. 88. - Pp. 1-34.

51. Gerstenhaber, M. On the deformation of rings and algebras, IV / M. Gerstenhaber // Ann. of Math. 1974. - Vol. 99. - Pp. 257-276.

52. Ginzburg, V.L. Poisson cohomology of Morita-equivalent Poisson manifolds / V.L. Ginzburg, J.-H. Lu // Duke Math. J. 1992. - Vol. 68.- Pp. A199-A205.

53. Grabowski, J. Deformational Quantization of Poisson structures / J. Grabowski // Rep. Math. Phys. 1995. - Vol. 35. - Pp. 267-281.

54. Grabowski, J. Tangent lifts of Poisson and related structures / J. Grabowski, P. Urbanski // J. of Physics. A: Math. Gen. 1995.- Vol. 28. Pp. 6743-6777.

55. Grabowski, J. Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids / J. Grabowski, P. Urbanski // Ann. Global. Anal. Geom. 1997. - Vol. 15. - Pp. 447-486.

56. Grabowski, J. On characterization of Poisson and Jacobi structures / J. Grabowski, P. Urbanski // Central European J. Math. 2003. -Vol. 1. - Pp. 123-140.

57. Heitsch, J.L. A cohomology for foliated manifolds / J.L. Heitsch // Comment. Math. Helv. 1975. - Vol. 50. - Pp. 197-218.

58. Houh, Ch.-S. Tensor fields and connections on a cross-section in the tangent bundle of order r / Ch.-S. Houh, S. Ishihara // Kodai Math. Semin. Repts. 1972. - Vol. 24. - Pp. 234-250.

59. Huebschmann, J. Poisson cohomology and quantization / J. Huebschmann //J. fiir Reine und Angew. Math. 1990. -Vol. 408. - Pp. 57-113.

60. Hurder, S. The Godbillon measure of amenable foliations / S. Hurder // J. Diff. Geom. 1986. - Vol. 23. - Pp. 347-365.

61. Kainz, G. Natural transformations in differential geometry / G. Kainz, P. Michor // Czech. Math. J. 1987. - Vol. 37. - Pp. 584-607.

62. Kolar, I. Natural operations in differential geometry / I. Kolar, P.W. Michor, J. Slovak. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.- 434 pp.

63. Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds / M. Kontsevich // Lett. Math. Phys. 2003. - Vol. 66. - Pp. 157-216.

64. Kosmann-Schwarzbach, Y. Modular vector fields and Batalin-Vilkovisky algebras / Y. Kosmann-Schwarzbach // "Poisson Geometry". Banach Center Publications. - 2000. - Vol. 51. - Pp. 109-129.

65. Koszul, J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie / J.-L. Koszul // "Elie Cartan et les Math. d'Aujour d'Hui", Asterisque, hors-serie. 1985. - Pp. 251-271.

66. Lichnerowicz, A. Les varietes de Poisson et leurs algebres de Lie associees / A. Lichnerowicz //J. Diff. Geom. 1977. - Vol. 12. -Pp. 253-300.

67. Lichnerowicz, A. Varietes de Poisson et feuilletages / A. Lichnerowicz // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 1982. - T. 4. - Pp. 195-262.

68. Lie, S., Theorie der Transformationsgruppen, (Zweiter Abschnitt, unter Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich Engel) / S. Lie. Leipzig: Teubner, 1890.

69. Luciano, O.O. Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points / O.O. Luciano // Nagoya Math. J. 1988. - Vol. 109. -Pp. 67-108.

70. Marsden, J. Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. 2nd ed. //J. Marsden, T. Ratiu. Texts in Applied Math. - Vol. 17. - New York: Springer-Verlag, 1999. - 582 p.

71. Michor, P.W. Remarks on the Schouten-Nijenhuis bracket / P.W. Michor // Suppl. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II. 1987. - Vol. 16. - Pp. 207-215.

72. Mitric, G. Poisson structures on tangent bundles / G. Mitric, I. Vaisman // Diff. Geom. and Appl. 2003. - Vol. 18. - Pp. 207-228.

73. Molino, P. Riemannian foliations / P. Molino. Progress in Mathematics. - Vol. 73. - Boston-Basel: Birkhauser, 1988. - 339 pp.

74. Monnier, P. Poisson cohomology in dimension two / P. Monnier // Israel J. Math. 2002. - Vol. 129. - Pp. 189-207.

75. Monnier, P. A cohomology attached to a function / P. Monnier // Diff. Geom. Appl. 2005. - Vol. 22. - Pp. 49-68.

76. Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points / A. Morimoto // J. Diff. Geom. 1976. - Vol. 11. - Pp. 479-498.

77. Nakanishi, N. Poisson cohomology of plane quadratic Poisson structures / N. Nakanishi // Publ. RIMS, Kyoto Univ. 1997. - Vol. 33. - Pp. 7389.

78. Nijenhuis, A. Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields, I / A. Nijenhuis // Indag. Math. 1955. - Vol. 17. - Pp. 390-403.

79. Okassa, Б. Relevements des structures symplectiques et pseudo-Rie-manniennes a des varietes de points proches / Б. Okassa // Nagoya Math. J. 1989. - Vol. 115. - Pp. 63-71.

80. Omori, H. Weyl manifolds and deformation quantization / H. Omori, Y. Maeda, A. Yoshioka // Adv. in Math. 1991. - Vol. 85. - Pp. 224255.

81. Omori, H. Poincare-Cartan class and deformation quantization of Kahler manifolds / H. Omori, Y. Maeda, N. Miyazaki, A. Yoshioka // Commun. Math. Phys. 1998. - Vol. 194. - Pp. 207-230.

82. Patterson, L.-N. Connexions and prolongations / L.-N. Patterson // Canad. J. Math. 1975. - Vol. 27. - Pp. 766-791.

83. Pichereau, A. Cohomologie de Poisson en dimension trois /A. Pichereau // C. R. Acad. Paris. Ser. I. - 2005. - Vol. 340. -Pp. 151-154.

84. Reinhart, B.L. Foliated manifolds with bundle-like metrics /B.L. Reinhart // Ann. Math. 1959. - Vol. 69. - Pp. 119-132.

85. Reinhart, B.L. Harmonic integrals on foliated manifolds / B.L. Reinhart // Amer. J. Math. 1959. - Vol. 81. - Pp. 529-536.

86. Roger, C. Cohomologie (p, q) des feuilletages et applications / C. Roger // Asterisque. 1984. - Vol. 116. - Pp. 195-213.

87. Roger, C. Poisson cohomology of the affine plane / C. Roger, P. Vanhaecke // J. Algebra. 2002. - Vol. 251. - Pp. 448-460.

88. Scheffers, G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen / G. Scheffers // Berichte Sachs. Akad. Wiss. -1893. Vol. 45. - Pp. 828-842.

89. Schouten, J.A. Uber Differentialkonkomitanten zweier kontravarianter Grofien / J.A. Schouten // Indag. Math. 1940. - Vol. 2. - Pp. 79-85.

90. Shurygin, V.V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras / V.V. Shurygin // Lobachevskii J. Math. 1999. - Vol. 5. - Pp. 29-55.

91. Silva, A.C. da. Geometric Models for Noncommutative Algebras / A.C. da Silva, A. Weinstein. Berkeley Lecture Notes. - 2000. — Vol. 10. - 184 pp.

92. Vaisman, I. Varietes riemanniennes feuilletees / I. Vaisman // Czech. Math. J. 1971. - Vol. 21. - Pp. 46-75.

93. Vaisman, I. Cohomology and Differential Forms / I. Vaisman. Pure and Applied Mathematics. - Vol. 21. - New York: Marcel Dekker, 1973.- 284 p.

94. Vaisman, I. ^/-cohomology of Lagrangian foliations / I. Vaisman // Monatshefte Math. 1988. - Vol. 106. - Pp. 221-244.

95. Vaisman, I. Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology / I. Vaisman // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1990. - Vol. 40. - Pp. 951963.

96. Vaisman, I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds / I. Vaisman. Progress in Math. - Vol. 118. - Basel: Birkhauser, 1994.- 205 pp.

97. Vaisman, I. Second order Hamiltonian vector fields on tangent bundles / I. Vaisman // Differential Geoin. 1995. - Vol. 5. - Pp. 153-170.

98. Weil, A. Theorie des points proches sur les varietetes differentiables / A. Weil // Colloque internat. centre nat. rech. sci. Vol. 52. - Strasbourg, 1953. - Pp. 111-117.

99. Weinstein, A. The local structure of Poisson manifolds / A. Weinstein //J. Diff. Geom. 1983. - Vol. 18. - Pp. 523-557.

100. Weinstein, A. The modular automorphism group of a Poisson manifold / A. Weinstein // J. Geom. Phys. 1997. - Vol. 23. - Pp. 379-394.

101. Xu, P. Poisson cohomology of regular Poisson manifolds / P. Xu // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1992. - Vol. 42. - Pp. 967-988.

102. Xu, P. Morita equivalence of Poisson manifolds. / P. Xu // Commun. Math. Phys. 1991. - Vol. 142. - Pp. 493-509.

103. Yano, К. Tangent and Cotangent Bundles / K. Yano, S. Ishihara. -Pure and Applied Mathematics. Vol. 16. - New York: Marcel Dekker, 1973. - 423 p.

104. Yuen, P.C. Sur la notion d'une G-structure geometrique et les A-prolongements de G-structures / P.C. Yuen // C. R. Acad. Sci. 1970. - Vol. 270. - Pp. 1589-1592.Список работ автора по теме диссертации

105. Shurygin, V.V., jr. On the projective limit of fibered manifolds / V.V. Shurygin, jr. // International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, Russia, June 16-21, 2003.: Abstracts. Moscow, 2003. - P. 853.

106. Шурыгин, В.В. (мл.) Когомологии двойного комплекса Брылинско-го пуассоновых многообразий и квантовые когомологии де Рама / В.В. Шурыгин (мл.) // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 10 (509). - С. 75-81.

107. Шурыгин, В.В. (мл.) О структуре кольца квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий / В.В. Шурыгин (мл.) // Уч. зап-ки. / Казан, гос. ун-т. Т. 147, кн. 1. - Казань: Изд-во КГУ, 2005. - С. 192-196.

108. Shurygin, V.V., jr. Poisson structures on Weil bundles / V.V. Shury-gin, jr. // Lobachevskii J. Math. 2005. - Vol. 17. - Pp. 229-256.