Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

11-1 489

На'правах рукописи

Воробьев Юрий Михайлович

Полулокальные нормальные формы пуассоновых структур и гамильтонизация динамических систем

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор М.В. Карасев

Официальные оппоненты:

академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор А.Т. Фоменко

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Сергеев

доктор физико-математических наук, профессор Г. С. Погосян

Ведущая организация:

Институт теоретической физики РАН

Защита диссертации состоится 18 января 2011 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б.Трехсвятительский пер., 3 (ауд. 526).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан " !'1 " 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 кандидат физико-математических наук -

П.В. Шнурков

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА 2011

Актуальность темы. За последние 40 лет теория пространств с общими нелинейными скобками Пуассона стала ареной актуальных исследований, тесно взаимодействующих с различными областями математики и математической физики, такими как теория гамильтоновых систем, интегрируемость и приводимость, теория сингу-лярностей, теория квантования, спектральная теория (см., например, [12], [23], [26], [40], [67], [72]).

Изучение вырожденных скобок Пуассона восходит к работам Софуса Ли, который, в качестве частного случая, развил также теорию линейных скобок на векторных пространствах; сегодня они называются скобками Ли-Пуассона и играют фундаментальную роль в различных задачах математической физики. Дальнейший рост интереса к вырожденным пуассоновых структурам был связан с обнаружением многочисленных физических моделей, в частности, моделей, обладающих группами симметрий или связями, в которых пуассоновы многообразия появляются в качестве фазовых пространств, описывающих динамику. Здесь одним из важнейших примеров является скобка Дирака, которая применяется для изучения систем со связями. Другой мотивацией для изучения вырожденных пуассоновых структур стало развитие теории редукций и некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем, начатое в работах [18], [58], [59].

Интересные пуассоновы структуры были получены при решении задачи гамиль-тонизации уравнений движения, описывающих важные физические системы, например, для уравнения Вонга классической частицы в поле Янга-Миллса [65], для кова-риантных ВМТ-уравнений заряженной релятивистской частицы со спином [24], для уравнения движения твердого тела [2], [15]). Задача гамильтонизации для важного класса линеаризованных гамильтоновых динамик изучалась в работах [54], [57] и, например, для модели Хиггса и уравнений Зайберга-Виттена в [22]. Большой клас примеров нелинейных скобок Пуассона полиномиального типа возникают при изучении алгебр симметрий интегрируемых и суперинтегрируемых систем, в частности, резонансных алгебр (см., например, [2], [9], [16], [19], [20], [21], [49], [50], [51], [52]).

В контексте хорошо известной задачи о связи между вырожденной лагранжевой и гамильтоновой формулировками классической механики, пуассоновы структуры можно также получить из пресимплектических структур [38], [46]. Геометрический способ построения (пре)симплектических структур на расслоениях с помощью связ-ностей, который называется методом спаривания, был предложен Стернбергом [69] и получил дальнейшее развитие в работе [47]. Кроме того, в работе [66], процедура спаривания была распространена на некоторый специальный класс векторных пуассоновых расслоений (коприсоединенных расслоений, ассоциированных с главными расслоениями) и были введены калибровочные структуры Ли-Пуассона.

Отметим, что пуассонова геометрия связана еще с целым рядом интересных гео-метрико-дифференциальных объектов таких, как локальные алгебры Ли [14], алгеб-роиды Ли и группоиды Ли [56], и структуры Дирака [29]. Геометрически, пуассоново многообразие можно трактовать как объединение симплектических многообразий (симплектических листов), обычно различных размерностей, которые согласуются друг с другом некоторым гладким образом. Другими словами, общее пуассоново многообразие является сингулярным слоением симплектическими многообразиями в смысле [68], [70]. Например, в случае структуры Ли-Пуассона симплектические

листы являются коприсоединенными орбитами, несущими симплектическую структуру, называемую формой Кириллова [13].

В отличие от случая симплектических многообразий, локальная структура общих пуассоновых многообразий оказывается очень непростой. Важный вклад в понимание этой структуры был сделан Вайнстайном в работе [80]. Теорема Вайнстайна о локальном расщеплении дает локальную нормальную форму пуассоновой структуры и приводит к важному понятию локальной трансверсальной пуассоновой структуры. В той же работе была сформулирована знаменитая задача линеаризации, которая положила начало многочисленным глубоким исследованиям [17], [27], [28], [33], [39], [61], [64], [82], [84], [85].

В частности, важные результаты относительно локальной линеаризации пуассоновой структуры, как в аналитическом так и в гладком случаях, были получены Конном в работах [27], [28]. Доказательство теоремы Конна о гладкой линеаризации содержит в высшей степени нетривиальные аналитические рассуждения, основанные на объединении метода Ньютона и аппроксимирующей схемы Нэша-Мозера. Только недавно в работе [33] было предложено геометрическое доказательство теоремы Конна, которое опирается на метод гомотопии Мозера и результаты о собственных групоидах и интегрируемости алгеброидов Ли [30], [31].

Одним из первых глобальных результатов в пуассоновой геометрии является теорема о симплектической реализации произвольного пуассонова многообразия, доказанная Карасевым [10] (локально см. также в [80]) и разработанная на этой основе теория соответствия между пуассоновыми многообразиями и симплектическими группоидами [11], [81].

В 1977 году, в терминах исчисления Схоутена для поливекторных полей, Лихнеро-вич в работе [55] дал "алгебро-дифференциальное"определение пуассоновой структуры, что послужило толчком систематического изучения пуассоновых когомологий. В частном случае симплектического многообразия, пуассоновы когомологии совпадают с когомологиями де Рама. Однако, в общем случае, даже для регулярных пуассоновых многообразий, вычисление пуассоновой когомологии является сложной задачей. Первые результаты в этом направлении были получены в работах [8], [53] и затем в [44], [71], [83]. В сингулярном случае, в работе [63] были вычислены ростковые пуассоновы когомологии для двумерной пуассоновой структуры, обладающей простыми сингулярностями в смысле [1].

За последние 10 лет было проведено много исследований, посвященных полулокальной пуассоновой геометрии, т.е. геометрии в окрестности сингулярного симплектического листа ненулевой размерности пуассонова многообразия [25], [32], [37], [41], [42], [43], [45], [60], [62]. В работах [48], [53] было показано, что инфинитезималь-ные свойства листа полностью определяются его транзитивным алгеброидом Ли, который, в частности, приводит к понятию редуцированной линейной голономии листа [41], [42], [45]. В работе [48] было показано, что обращение в нуль второй группы когомологий транзитивного алгеброида Ли симплектического листа гарантирует формальную эквивалентность пуассоновых структур вблизи этого листа. В недавней работе [34], было доказано, что условие такого типа также достаточно для стабильности компактного симплектического листа в смысле работы [80]. Кроме того, как было показано в [32], явления жесткости и гибкости, известные в симплектической

геометрии, также имеют место в контексте пуассоновой геометрии и теории сингулярных слоений. Все эти результаты ориентированы на изучение нормальных форм пуассоновой структуры вблизи сингулярных симплектических листов, что является предметом активных исследований в настоящее время.

Цель работы. Диссертация посвящена развитию новых дифференциально-геометрических методов изучения (вырожденных) пуассоновых структур и их применению в теории гамильтоновых систем.

Научная новизна и теоретическое значение результатов. В диссертации получены следующие новые результаты и введены новые понятия в теории скобок Пуассона и гамильтоновых систем.

• Развит новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.

• Получена полулокальная теорема расщепления пуассоновой структуры над вложенным (сингулярным) симплектическим листом. Введено понятие полулокальной трансверсальной пуассоновой структуры.

• Получены критерии полулокальной пуассоновой эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.

• Дано описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях Ли-Пуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.

• Введено понятие линеаризованной пуассоновой структуры над сингулярным симплектическим листом.

• Доказана теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоновой структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.

• Получены геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Дано описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.

• Построен гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой динамики над; сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.

Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на 9 международных конференциях.

• Июнь 2000 — Международная конференция "Poisson 2000", CIRM, Люмини, Франция.

• Июль 2002 — XXI Международная конференция "Геометрические Методы в Физике", Беловежа, Польша.

• Май 2004 — XI Международная конференция "Симметрии в Физике", Чешский Технический Университет, Прага, Чешская Республика.

• Июль 2005 — Летняя школа и конференция по пуассоновой геометрии, ICTP, Триест, Италия.

• Июнь 2005 — II Международная конференция по сверхинтегрируемым системам в классической и квантовой механике, Дубна, Россия.

• Август 2006 — Международный математический конгресс, Мадрид, Испания.

• Июль 2008 — XXVII Международная конференция "Геометрические методы в физике", Беловежа, Польша.

• Июль 2009 — XIII Международная конференция "Методы симметрии в физике", Дубна, Россия.

• Июнь 2010 — VIII Международная конференция AMS-SMM, Беркли, Калифорния, США.

Публикации. Содержание диссертации отражено в 12 научных публикациях, в

том числе, в 9 статьях в научных журналах из перечня ВАК:

• Ю.М. Воробьев, Гамилътоновы структуры систем в вариациях и симплекти-ческие связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

• Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algtbroids, J. of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамилътоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

• Ю.М. Воробьев, Линеаризуемостъ пуассоновых структур на сингулярных сим-плектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

• Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst, of Phys. 1079, 235240 (2008).

• Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).

• G. Dávila Rascón, R. Flores Espinoza, and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

• G. Dávila Rascón and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008);

а также в статьях, помещенных в коллективные монографии:

• Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie Algebroids and Related Topics in Differential Geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sei., Warsaw, 2001, vol. 54, pp. 249-274.

• Yu, Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds. Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 137-239.

• Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 241-277.

Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором или при решающем участии автора.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы (169 литературных источников); имеет объем 196 страниц.

Краткое содержание диссертации

Глава 1 состоит из трех разделов и, в основном, содержит предварительные сведения. В этой главе приводятся необходимые понятия, определения и факты из исчисления Схоутена, теории пуассоновых многообразий и теории связностей Эресмана, которые используются в дальнейшем тексте диссертации. В разделе 1.1 приведены определение и основные свойства скобки Схоутена [, ] хк{М) х хш(М) —> х*+т-1(М) для поливекторныех полей на многообразии М, которая является естественным обобщением скобки Ли для векторных полей. Основная цель раздела 1.2 — зафиксировать некоторые основные понятия и определения теории пуассоновых многообразий. В разделе 1.3 дается краткое введение в теорию связностей Эресмана на расслоении общего вида 7Г Е —* В (гладкая сюръективная субмерсия). Через V = кет dir с ТЕ и Vo С Т*Е обозначаются вертикальное подрасслоение и его аннулятор. Связность Эресмана на расслоении обычно задается векторнозначной 1-формой Г € Г21 {Е\ V) такой, что Г |у— id, которая индуцирует разложение

Т£ = Ш©¥, (1)

где И = ker Г является горизонтальным подрасслоением. Горизонтальный лифт векторного поля и € £(£?) = хЧ^О обозначается через horr(u). Интегрируемость горизонтального иодрасслоения И эквивалентна следующему условию: форма кривизны Curvr 6 Í22(¿?; V) связности Эресмана обращается в нуль.

Для любого бивекторного поля П на тотальном пространстве Е разложение (1) порождает следующее расщепление:

П = П2,о + Пи + По,2, (2)

где через € 8ес(Л'Н) Л Эес^Л^У) обозначено 2-бивекторное поле бистепени (г, 7).

Одним из основных объектов развиваемого нами исчисления является ковариант-пый внешний дифференциал дг 0.к(В)®С°°(Е) -> С1к+1(В)®С°°(Е), ассоциированный со связностью Эресмана Г, который действует на С°°(-В)-модул ях Пк(В)®С°°(Е) С°°(Е)-значных Аг-форм на базе В. Условие кограничности для дг эквивалентно условию нулевой кривизны для связности Г В конце раздела, собраны некоторые свойства пуассоновых связностей на пуассоновом расслоении (тг Е —► В, Т), оснащенном вертикальный пуассоновым тензором Т € 8ес(Л2¥). Класс пуассоновых связностей Г определяется следующим условием согласованности: для любого и € Х(В), горизонтальный лифт Ьогг(и) является инфинитезимальным пуассоновым автоморфизмом вертикального пуассонова тензора.

В главе 2 развивается геометрический подход, который называется методом спаривания, к построению пуассоновых структур на пуассоновых расслоениях общего вида (раздел 2.1) и доказывается теорема о полулокальном расщеплении (раздел 2.2). В подразделе 2.1.1 сформулированы технические результаты о факторизации тождества Якоби для некоторых классов бивекторных полей на расслоенных пространствах. В подразделе 2.1.2 изучаются горизонтально невырожденные бивектор-ные поля, параметризованные геометрическими данными. Для заданного расслоения 7г Е В, под геометрическими данными мы подразумеваем тройку (Т, Г, Т), состоящую из вертикального бивекторного поля Т € 8ес(Д2¥), связности Эресмана Г <Е V) и горизонтальной 2-формы Т € £12(В) ® С°°(Е),

где (£,х) = (£', ха) — это (локальная) система координат на тотальном пространстве Е такая, что (£') являются координатами на базе В, а (х") являются координатами вдоль слоев. Геометрические данные называются допустимыми, если 2-форма Т невырожденна, (Зе^.?^) ф 0. Каждому набору допустимых геометрических данных (Т, Г, Р) ставится в соответствие бивекторное поле П на тотальном пространстве Е, которое имеет вид

П = ПН + Т, (3)

где горизонтальное бивекторное поле Пя е 8ес(Д2Н) однозначно определяется парой (Г, Т) по формуле

Пя = -^'(е,х)ЬогГлЬог;г (4)

вертикальная часть задана бивекторным полем Т:

(5)

Здесь — и Ьоггг = Ьогг(^-). Бивекторное поле П (3) является горизонтально

невырожденным в том смысле, что образ аннулятора V0 под действием индуцированного морфизма векторных расслоений П11 Т*Е —> ТЕ является дополнительным подрасслоением к вертикальному подрасслоению V С ТЕ.

В подразделе 2.1.3 сформулирован ключевой результат.

Теорема 1 ([74]). Бивекторное поле П в (3) удовлетворяет тождеству Якоби

[П,П] = 0 (б)

тогда и только тогда, когда геометрические данные (Т, Г, Т) удовлетворяют структурным уравнениям

[Т,Т] = 0, (7)

ЬЬогГ(„)Т = 0, (8)

дТТ = 0, (9)

Сигуг(и,и) = Т Ч{Т{у,ч)) (10)

для всех у,и€. %{В).

Таким образом, допустимые геометрические данные (Т,Г, удовлетворяющие структурным уравнениям (7)—(10), индуцируют пуассонов тензор П (3), называемый пуассоновой структурой спаривания. Условия (7) и (8) означают, что вертикальное бивекторное поле Т является пуассоновым тензором и Г — это пуассонова связность на пуассоновом расслоении (Е, Т). Условие (9) означает, что 2-форма Т является Г-ковариантно постоянной. В общем случае, форма кривизны пуассоновой связности принимает значения в пространстве вертикальных пуассоновых векторных полей относительно Т. Последнее условие (10), называемое тождеством кривизны, означает, что форма кривизны принимает значения в пространстве вертикальных гамильто-новых векторных полей.

Пуассонов тензор П = Пя + Т является результатом спаривания невырожденный 2-формы Т и вертикального пуассонова тензора Т посредством пуассоновой связности Г В общем случае, горизонтальная компонента Пя не явлется пуассоновым тензором, но имеет постоянный ранг. Вертикальная компонента Т является вертикальной пуассоновой структурой, отражающей сингулярные эффекты симплектиче-ского слоения пуассоновой структуры спаривания П.

Множество пуассоновых структур спаривания на заданном расслоении 7г Е —► В также можно описать следующим образом. Всякое горизонтально невырожденное бивекторное поле П на Е индуцирует связность Эресмана Г, горизонтальное подрас-слоение которой задается уравнением

Н = П*(У°). (11)

Тогда в разложении (2), ассоциированном с подрасслоением (11), имеем П^х = 0, и бивекторное поле П принимает вид (3), где

Пя = П2,0, (12)

Т = П0,2. (13)

Следствие 2 ([74]). Всякий горизонтально невырожденный пуассонов тензор П на Е является пуассоновой структурой спаривания, для которой допустимые геометрические данные (Т, Г, Т) задаются формулами (11)-(13) и соотношением

^1,1Ц2)=Пя(/?ь/?2)

при € ЗС(В) и £ Зес(У°) такими, что

П^(А) = Ьог['Ы и П*я(/?2) = Ъотг(и2).

Теорема 1 распространяет на случай общего пуассонова. расслоения процедуру спаривания, первоначально разработанную для симплектических расслоений и для коприсоединенных расслоений. Дальнейшие результаты относительно общей процедуры спаривания, введенной в (74], были получены в [73] и в [79| (для случаев многообразий со слоениями и структур Дирака).

В разделе 2.1.4 описывается частный случай пуассоновых структур спаривания, ассоциированных с плоскими пуассоновыми связностями.

Предложение 3. Пусть {-к Е —* В, Т) — пуассоново расслоение над симплекти-ческим многообразием (В, и). Тогда любая плоская пуассонова связность Эресмана Г = ГЯа' на Е,

£ьогг(„)Т = 0. Сигуг = 0,

индуцирует пуассонов тензор спаривания ПЯа1 на Е, ассоциированный с геометрическими данными (Т,ГЯа1,и> <8> 1) и имеющий вид

П^' = Ьогг(^) + Т. (14)

Здесь ф Е у? {В) — это невырожденный пуассонов тензор, соответствующий сим-плектической форме и и Ьогг(^) — это горизонтальный лифт тензора тр относительно связности Г

Пуассонов тензор ППа' в (14) называется плоской пуассоновой структурой спаривания. Его горизонтальная компонента П# является пуассоновым тензором, образующим пуассонову пару с вертикальной компонентой Т.

В разделе 2.1.5 описываются симметрийные свойства структурных уравнений. Пусть (7г Е —► В) — векторное расслоение и (Т, Г, Т) — некоторые геометрические данные, удовлетворяющие структурным уравнениям (7)—(10), где 2-форма Т не обязательно является невырожденный. Тогда имеем дифференциальный комплекс

—» 0к-1(В)®Са51га(Е1 Т) Пк(В)®Сяят(Е, Т) Г2*+1(В)®Сазнп(£, Т) —> где кограничный оператор определен как ограничение

ковариантного дифференциала <9Г на подпространства, состоящие из всех Аг-форм на В, принимающих значения в пространстве функций Казимира Са£1т(.Е, Т) вертикальной пуассоновой структуры Т.

Теорема 4 ([78]). Геометрические данные (Т,Г, Т), удовлетворяющие структурным уравнениям (7)-(10), и любая пара (<2, С), состоящая из 1 -формы <2 6 ® С°°{Е) и 2-коцикла С е П2(В) ® Саят(Я,Т),

д1С = 0,

индуцируют новое решение (Т, Г, Т) уравнений (7)—(10), которое имеет вид

г = г - т^д, (16)

т = т - (агд + л д}т) + с. (17)

В частности, можно положить С = и>® 1, где ш € £12(В) — произвольная замкнутая 2-форма на В.

Следствие 5. Если (Т, Г,^) геометрические данные пуассонова тензора спаривания П и преобразование (16), (17) сохраняет невырожденность формы Т, то пара (ф, С) индуцирует деформированную пуассонову структуру спаривания П, ассоциированную с геометрическими данными (Т, Г, Р).

Другой тип симметрий структурных уравнений происходит из следующего наблюдения: всякое решение (Т, Г, Р) уравнений (7)-(10) индуцирует однопараметрическое семейство решений (^Т, Г, еТ), где е € К \ {0}.

Предложение 6 ([36], [76], [78]). Пусть (тг Е —> В, Т) — пуассоново расслоение над симплектическим многообразием (В,ш). Пусть (Т, Г, Т7) — некоторые геометрические данные на Е, удовлетворяющие структурным уравнениям (7)-(10). Тогда, для любой открытой области N С Е с компактным замыканием и для всех достаточно малых £ ф 0, набор

(^Т, Г, 1 + е?) (18)

дает допустимые геометрические данные, которые индуцируют пуассонов тензор спаривания П£ на N. В частности, если тотальное пространство Е компактно, то можно выбрать N — Е.

Пуассонов тензор П£, ассоциированный с геометрическими данными (18), называется пуассоновой структурой слабого спаривания и имеет следующее координатное представление:

П£ = лЬш?Л А, (19)

где + е?&3) = 5).

В подразделе 2.1.6 описываются симплектические слоения пуассоновых структур спаривания. В частности, показано, что в случае симплектического расслоения, наш подход приводит к результатам [47]. В подразделе 2.1.7, инфинитезимальные пуассо-новы автоморфизмы пуассоновой структуры спаривания описываются в терминах ее

геометрических данных. При заданном пуассоновом тензоре спаривания П = П// + Т, ассоциированном с геометрическими данными (Т, Г, 3-), вводится следующая подалгебра Ли:

V = {А е Ро1зв(£;, П) I АУ е Наш(Е, Т)}

в алгебре Ли Ро!^./?, П) инфинитезимальных пуассоновых автоморфизмов. Здесь Ау обозначает вертикальную компоненту а расщеплении А — Ан + Ау относительно разложения (1), соответствующего пуассоновой связности Г.

Теорема 7. (а) Элементы А подалгебры V С Ро^Бв^, П) параметризуются парами (С,/3), состоящими из произвольной функции С £ С°°(Е) и -коцикла ¡3 € О.1 (В)® Сва)т(Е,Т),

&О0 = О-

Любой элемент Лб? имеет вид

А = АН + П^С,

где горизонтальная составляющая Ац однозначно определена условием

\АяТ = Р-дГС.

(b) Первая группа горизонтальных пуассоновых когомологий изоморфна первой группе дЦ-когомологий,

Р/Езт(Е,Т1) = Н1дг{Е).

(c) Пусть первая группа вертикальных пуассоновых когомологий Ну(Е,Т) — Ро1ззк(-Е') Т)/Нат(£\ Т) вертикальной пуассоновой структуры Т тривиальна; тогда

Н1П(Е) = Н1дг(Е).

Здесь Н}п (Е) — первая группа когомологий пуассоновой структуры П.

В подразделе 2.1.8 показано, что сохраняющие слои диффеоморфизмы сохраняют класс пуассонов структур спаривания.

Теорема 8 ([77], [78]). Пусть д Е —> Е — сохраняющий слои диффеоморфизм между двумя расслоениями 7Г Е —> В и тт Е —* В. Пусть П = Пя + Т — пуассонов тензор спаривания П, ассоциированный с геометрическими данными (Т, Г, Т). Тогда опускание П = является пуассоновым тензором спаривания на Е, ассоциированным с геометрическими данными (д+Т,д*Г,

В разделе 2.2, используя результаты предыдущих разделов, выводится теорема полулокального расщепления, которая утверждает, что произвольная пуассонова структура вблизи (сингулярного) симплектического листа реализуется как пуассонова структура спаривания. Пусть задано пуассоново многообразие (М, Ф) с вложенным симплектическим листом (В,ш). Рассмотрим нормальное расслоение Е = ТвМ/ТВ над листом В с проекцией 7г Е —» В. Под экспоненциальным отображением будем понимать диффеоморфизм i Е —> М из тотального пространства Е на открытую окрестность листа В в М такой, что Г |я — 1с1в и V о йв£ = т Здесь у ТВМ —► Е является естественным проектированием и т ТВЕ —> Е — это проекция вдоль ТВ по отношению к каноническому разложению ТВЕ = ТВ ® Е.

Теорема 9 ([74], [77]). При заданном экспоненциальном отображении f Е —» М, существует открытая окрестность N нулевого сечения В С Е такая, что ограничение П пуассонова тензора РФ на N является пуассоновой структурой спаривания, ассоциированной с геометрическими данными (Т, Г, J7),

П = Пя + Т на N. (20)

Нулевое сечение В С Е является симплектическим листом пуассоновой структуры П, и геометрические данные имеют следующие свойства:

(i) вертикальная пуассонова структура Т обращается в нуль в точках симплек-тического листа,

Т =0 на В С N\

(ii) горизонтальное подрасслоение Н С ТЕ пуассоновой связности Г задается соотношением

И» = (^f-1) О О (d^-'YiE0^) (т € N)

и совпадает с касательным расслоением ТВ в точках нулевого сечения В;

(iii) ограничение формы спаривания на симплектический лист (В,ш) совпадает /имплектической формой и),

F(utv) |в— ui[u,v)

для всех и, v £ £(£).

Кроме того, вертикальный пуассонов тензор Т в разложении (20) пе зависит от выбора экспоненциального отображения f с точностью до полулокального диффеоморфизма на Е, который является тождественным на В.

Этот результат является полулокальным обобщением локальной теоремы расщепления, полученной в [80].

Из теоремы 9 следует, что в окрестности N — f(N) симплектического листа В С М пуассонов тензор Ф допускает разложение Ф = Фгее + Ф8ш, где регулярная компонента Фгеб = £,Пя является бивекторным полем постоянного ранга (rank ФгеБ = dim В). Сингулярная компонента Ф8)П = f,T является пуассоновым тензором, обращающимся в нуль в точках листа (rank Фе1п = 0 на В) и однозначно определенным с точностью до полулокального изоморфизма. Пуассонов тензор Ф6ш на М (и, соответственно, его представитель Т на Е) называется тюлулокалыюй тпрансверсальной пуассоновой структурой над симплектическим листом В. Он дает важную информацию о сингулярном симплектическом слоении пуассоновой. структуры Ф вблизи В.

Следствие 10. Если замкнутый симплектический лист (В, ш) пуассонова многообразия (М, Ф) является регулярным, то полулокальная трансверсальная пуассонова структура над листом В является нулевой. В окрестности листа В пуассонова структура Ф изоморфна пуассоновой структуре спаривания П, ассоциированной с геометрическими данными (Пу = 0, Г, Т = w® 1), которые включают плоскую связность Эресмана Г Следовательно, полулокальная нормальная форма пуассоновой структуры Ф вблизи В является плоской пуассоновой структурой спаривания на

нормальном расслоении Е, которая задается как горизонтальный лифт невырожденного пуассонова тензора тр на листе (В, ы) относительно плоской связности Г,

ППа1 = Ьогг (•!/>).

В конце этой главы, в подразделе 2.2.2, для иллюстрации общих результатов вычисляются трансверсальные пуассоновы структуры двумерных коприсоединенных орбит коалгебр эо*(4) и е*(3).

В главе 3 изучается полулокальная эквивалентность пуассоновых структур спаривания с помощью контравариантной версии метода гомотопии Мозера.

В подразделах 3.1.1 и 3.1.2 развивается общая идея метода гомотопии и получены некоторые технические результаты. Пуассонов изоморфизм между двумя пуассоно-выми тензорами ПиПна многообразии Е строится методом гомотопии в три шага:

(1) выбирается гладкий путь {П(}^[0)1| пуассоновых тензоров на Е, соединяющий П и П, П0 = П, Пг = П;

(2) решается уравнение для зависящего от времени векторного поля А1 на Е:

+ (21)

(3) определяется пуассонов диффеоморфизм между П и П как поток ф за единичное время £ = 1 векторного поля Д, ф*П = П.

Уравнение (21) можно переформулировать в терминах когомологии дифференциального оператора Лихнеровича пуассонова тензора П4, а именно: класс кого-мологий 2-коцикла ^ равен нулю для любого £ 6 [0,1]. В симплектическом случае, разрешимость уравнения (21) следует из соображений невырожденности. Чтобы применить похожие соображения в пуассоновом случае, мы разложим пуассонову структуру на регулярную и сингулярную компоненты, применяя процедуру спаривания.

Пусть (7Г Е —* В) — расслоение и {П^46[01| — гладкое однопараметрическое •.емейство пуассоновых тензоров на Е такое, что для любого 4 € [0,1], П4 является пуассоновой структурой спаривания, ассоциированной с геометрическими данными (Т,Г',Я),

П, = (П£)я + Т, (22)

где Т — это вертикальная пуассонова структура на Е, не зависящая от

Теорема 11 ([74], [77]). Предположим, что зависящие от параметра £ данные (Г4, Т1) удовлетворяют следующему условию: существует гладкое семейство {<3'} 1 -форм € ПЧ-В) ® С°°(Е) такое, что

1югГ' (и) - Ьогг° («) + {и), (23)

я = ^°-(аг0о| + |{д|лд£}т) (24)

для все гс< £ [0,1] ии Е Х(В). Тогда, зависящее от £ горизонтальное векторное поле А1 € Зес(Н'), однозначно определяемое равенством

является решением уравнения (21), ассоциированным с семейством пуассоновых структур (22).

Здесь Н£ С ТЕ — это горизонтальное подрасслоение связности Г' и {, }т обозначает скобку Пуассона, порожденную тензором Т

Теорема 12 ([77]). Если условие (23) выполняется для некоторого гладкого семейства {<3'} 1-форм и уравнение (22) допускает решение вида

А1 = г1 + Т^Ы, (26)

для некоторого € 8ес(Н4) и № € С°°(Е), то семейство можно выбрать

так, чтобы выполнялось условие (24).

В подразделе 3.1.3 изучается класс Соир(5, Т) пуассоновых тензоров спаривания на пуассоновом расслоении (7Г Е —»• В, Т), вертикальные компоненты которых фиксированы и равны Т. В этом классе вводится соотношение эквивалентности: два пуассоновых тензора спаривания П, П 6 Соир(£', Т), ассоциированных с геометрическими данными (Т, Г, Т) и (Т, Г, Т), эквивалентны, если пуассоновы связности Г и Г удовлетворяют условию

Г = Г - Т^(тг*д) (27)

для некоторой 1-формы £ 0}(В)®С°°(Е). В этом случае мы пишем П П. Каждой такой паре (П, П) ставится в соответствие 2-форма С^п € П2(5)® Саэт^, Т) на базе В, принимающая значения в пространстве Саз1т(£', Т) функций Казимира вертикальной пуассоновой структуры Т и определяемая соотношением

<?пп = ? - Г+ + А <2}т). (28)

Теорема 13 ([74], [77]). (а) 2-Форма заданная соотношением (28), является 2-коциклом,

90ГСЙП = 0, (29)

у которого класс д^-когомологий [С^щ] зависит от выбора 1-формы ф в (27).

(Ь) Для любых пуассоновых тензоров спаривания П, П', П" € Соир(£', Т) из одного и того же класса эквивалентности, выполняются следующие тождества:

[Сп'п] = — [Спп']|

[Сп'п] + [Спп"] + [Сп"п'] = 0.

2-Форма С^л называется относительным 2-коциклом Казимира пары (П, П) пуассоновых тензоров, удовлетворяющих соотношению эквивалентности (27).

В этих терминах, достаточные условия (23), (24) для разрешимости уравнения (21), приведенные в теореме 11, имеют вид П4 П0 и Сп£п0 = 0 Для всех £ 6 [0,1]. Теорему 12 можно переформулировать следующим образом: если П4 П0 и уравнение (21) допускает решение вида (26), то необходимо, чтобы условие [Сп,п0] = 0 выполнялось для всех Ь Е [0,1].

Следствие 14. Если первая группа вертикальных когомологий пуассоновой структуры Т тривиальна, Ну(Е, Т) = {0}, то любые два пуассоновых тензора П,П S Coup(£,,T) удовлетворяют соотношению эквивалентности (27) и, следовательно, относительный 2-коцикл Казимира СцП хорошо определен. Класс его -когомологий [Cfjn] является внутренней характеристикой пары (П, П).

Отметим также следующее свойство: класс когомологий относительного коцикла Казимира сохраняется при естественном действии группы Inn((£, Т) внутренних пуассоновых автоморфизмов на Casim(£, Т).

В разделе 3.2 изучается эквивалентность пуассоновых структур вблизи общего симплектического листа. В подразделе 3.2.1 формулируется постановка задачи. Пусть 7Г Е —> В — векторное расслоение над связной симплектической базой (В, и), которое отождествляется с некоторым вложенным подмногообразием в Е посредством нулевого сечения. Через Coups(.E) обозначим множество всех пуассоновых структур П на Е, для которых подмногообразие (В,со) является симплектическим листом. В некоторой открытой окрестности листа, всякий элемент П G Coup в(Е) является пуассоновым тензором спаривания П = П# + Т, вертикальный компонента которого Т представляет трансверсальную пуассонову структуру листа.

Через Diff %(Е) обозначим псевдогруппу всех полулокальных изотопий на Е, тождественных на В. Это означает, что, для любого ф G Diff °g(E), существует открытая окрестность N листа В в Е и гладкое однопараметрическое семейство полулокальных диффеоморфизмов {Ф'}{е[о,1] на Е такое, что N С Бош(Ф') V t G [0,1] и

ф° = id, Ф1 = ф на N Ф' \в~ idß

Также введем псевдогруппу Gau %{Е) полулокальных калибровочных изотопий на Е, состоящую из всех элементов ф G Diff °в [Е), сохраняющих слои векторного расслоения.

В подразделах 3.2.2 и 3.2.3, получены некоторые свойства трансверсальных пуассоновых структур. В частности, показано, что из Diff д(.Е)-эквивалентность пуассоновых структур в Coup в(Е) следует Gau д(.Е)-эквивалентность трансверсальных пуассоновых структур.

Теорема 15 ([77]). Пусть П, П G Coup В(Е) — две пуассоновы структуры, и Т, Т — соответствующие трапсверсальные пуассоновы структуры. Если П и П изоморфны, т.е. ф*П = П для некоторого ф G Diff g (.Е), то существует полулокальная калибровочная изотопия g € Gqxl%(E) такая, что Т = g*Т

В подразделе 3.2.4 сформулированы основные результаты относительно полулокальной пуассоновой эквивалентности.

Теорема 16 ([74], [77]). Пусть П,П G Coupв(Е) — два пуассоновых тензора спаривания, ассоциированных с геометрическими данными (Т, Г, J-) и (Т,Г, J-) и определенных на некоторых открытых окрестностях N и N листа В в Е, соответственно. Предположим, что

(a) вертикальные компоненты бивекторных полей П и П совпадают,

Т = Т onNHN;

(b) существует 1-форма Q 6 SI1 (В) ® C°°(N П N) такая, что

horf (и) = horr(u) + VdQiu), (30)

f = jr-(drQ+l-{QAQ} т). (31)

Тогда пуассоновы структуры П и П изоморфны при помощи полу локально го диффеоморфизма ф G Diff %{Е),

ф* П = П,

где Dom(<£) С N и ф(Вот(ф)) С N.

Наконец, выводятся следующие необходимые и достаточные условия для существования пуассонова изоморфизма в случае произвольных пуассоновых тензоров в Coup в (£)•

Теорема 17 ([77]). Пусть П, П €Е Coup в{Е) — два пуассоновых тензора спаривания, ассоциированных с геометрическими данными (Т, Г, Т) и (Т, Г, ¿F) и определенных на открытых окрестностях N и N листа В в Е, соответственно. Тогда П и П изоморфны в классе полулокальных диффеоморфизмов из псевдогруппы Diff % (Е) тогда и только тогда, когда соответствующие геометрические данные удовлетворяют условию: существует полулокальный диффеоморфизм g 6 Gau°д(Е), где

Dom (g) С N, g(Dom{g)) С N,

такой, что трансверсальные пуассоновы структуры изоморфны при помощи g,

g*Т = Т на Nn.Dom(g),

и поднятия g*Г и д"Т связности Г и 2-формы Т связаны с данными (Г, Т) посредством формул

hor5*^) = hör1» + П^д(и), (32)

g*ï = T-(drQ + ±{QAQ}nv) (33)

для некоторой 1-формы Q G П!(#) ® C°°(N П Dom(g)).

Кратко, условия (32), (33) можно выразить следующим образом: д*П П и

В главе 4 описан новый класс пуассоновых структур на векторном расслоении Ли-Пуассона, ассоциированным с транзитивными алгеброидами Ли.

Теорема 18 ([74], [75]). Пусть [А,р А —► В, {, }д) — транзитивный алгеброид Ли над замкнутым симплектическим многообразием (В, ш). Пусть Е — д*в — расслоение дуальное изотропии Qb = kerp и 7 ТВ —> А — связность на А. Тогда пара (А,7) индуцирует пуассонову структуру спаривания П"4,7 на Е, ассоциированную с допустимыми геометрическими данными (Л, Г7, J77) и состоящую из

• линейного вертикального пуассонова тензора Л на Е, однозначно определенного послойной структурой алгебры Ли на расслоении вв,

• однородной связности Эресмана Г7 на Е,

К. =

(для всех т? £ Зес(бв) и для всех и € ЗЕ(В));

• 2-формы Т'1 £ О,2(В) ® С^(Е), определенной симплектической формой и) и формой кривизны 711 € Г12(В;дв) связности 7,

Г1 = и ® 1 - £(тг7)

Здесь через £ Зес(дв) —>■ СщКбв) обозначена естественная идентификация, а через V7 обозначена присоединенная связность на расслоении алгебр Ли (дВ] [, ]Яв), индуцированная 7.

Пуассонов тензор Пл'7 хорошо определен в окрестности нулевого сечения В в Е = и имеет следующее представление:

ПАл = _ 1.ГЧ6 х)" ЬогГ Л ЬогГ +Л. (34)

В частности, подмногообразие (В,ш) является симплектическим листом этой пуас-соновой структуры. Скобка Пуассона, соответствующая П"4,7 не сохраняет пространство послойно линейных функций на Е, что отличает её от хорошо известных скобок на алгеброидах Ли [29]. В частном случае транзитивного алгеброида Ли, ассоциированного с главным расслоением, формула (34) приводит к так называемой калибровочной структуре Ли-Пуассона, введенной в [66].

Следовательно, для заданного алгеброида Ли А, имеем семейство пуассоновых структур П'4,7, параметризованное связностями 7. Однако, следующий результат утверждает, что ростки над В пуассоновых тензоров

П ¿л

остаются изоморфными

при различных выборах связности 7.

Теорема 19 ([74], [75]). Пусть П"4,7 и П4,7 — два пуассонова тензора спаривания на Е, индуцированных связностями 7 и 7 на транзитивном алгеброиде Ли А. Тогда существует полулокальный диффеоморфизм ф Е ОЩд(Е') такой, что ф* ПА'7

П^.7

Кроме того, в подразделе 4.2.3 получен более сильный результат: изоморфные алгеброиды Ли Л и Л с произвольными связностями 7 и 7 индуцируют пуассоновы структуры П"4,7 и П'4,7, которые изоморфны в окрестности нулевого сечения В.

В главе 5 рассматривается проблема полулокальной линеаризации и изучаются нормальные формы вблизи замкнутого (сингулярного) симплектического листа {В,ш) ненулевой размерности в пуассоновом многообразии (М, Ф).

В разделе 5.1 введено понятие линеаризованной пуассоновой структуры на нормальном расслоении Е = ТвМ/ТВ. В отличие от нульмерного случая, эта структура не может быть непосредственно получена линеаризацией (вырожденного) пуассо-нова тензора Ф над В, поскольку процедура линеаризация не сохраняет тождество Якоби, которое является существенно нелинейным уравнением.

Зафиксируем трансверсаль С к листу В С М, т.е. подрасслоение С С ТВМ такое, что ТвМ = ТВ © С. Возьмем экспоненциальное отображение ( Е —> М такое, что (йв£){Е) = С. Рассмотрим пуассонов тензор спаривания П = РФ = Пя + Т на Е, ассоциированный с геометрическими данными (Т, Г, Т). Применяя оператор растяжения р£ Е —> Е (£ е К) на нормальном расслоении Е, р^,х) ¿гг),

определим линеаризованные геометрические данные (Л, Г^1', -Г^1'), формулами

А = Ит«(/>:Т), (35)

Г^ШпрГГ, (36)

зф + (37)

Здесь Л является линейным вертикальным пуассоновым тензором на Е, совпадающим с линеаризованной трансверсальной пуассоновой структурой над симплектиче-ским листом В. Пара (Г^,^.1^) однозначно определяется выбором трансверсали С и состоит из однородной связности Эресмана Г^ на Е и 2-формы З7^ на В, принимающей значения в пространстве послойно аффинных функций С^(Е) на Е.

Предложение 20. Линеаризованные геометрические данные (Л, Г^,^1^) в (35)-(37) удовлетворяют структурным уравнениям (7)-(10). 2-Форма ^ 6 0?(В) ® С^(Е) является невырожденный в окрестности нулевого сечения В С Е.

Через Ехв(£?) С 01й В(Е) обозначим псевдогруппу, состоящую из всех полулокальных диффеоморфизмов ф на Е, тождественных на В, и таких, что т о <1вФ ° с = ¿(¿е, где I Е ТВЕ — это отображение включения.

Теорема 21 ([4], [74], [77]). Пусть (М, Ф) — пуассоново многообразие с замкнутым симплектическим листом (В, и>). Пусть Е = ТвМ/ТВ — нормальное расслоение. Для любой трансверсали £ С ТВМ, линеаризованные геометрические данные (Л, Г™*™) в (35)-(37) индуцируют пуассонов тензор спаривания П^, который хорошо определен в окрестности нулевого сечения В С Е и имеет следующие свойства:

(I) подмногообразие (В, ш) является симплектическим листом пуассоновой структуры П^ ;

(II) вертика^гьная компонента пуассонова тензора спаривания П^ совпадает с линеаризованной трансверсальной пуассоновой структурой Л над листом В С М,

(III) для любого экспоненциального отображения { Е —» М такого, что е^(Е) — £, бивекторное поле П^ дает первую аппроксимацию вблизи В для поднятого тензора П = РФ,

П = П^ + 02;

(iv) пуассонов тензор П}- не зависит от выбора трансверсали С с точностью до полулокального диффеоморфизма из псевдогруппы Ехв(Е).

Этот результат позволяет ввести следующее понятие: Пуассонов тензор спаривания П^ называется линеаризованной пуассоновой структурой над симплектическим листом В С М, ассоциированной с трансверсалью С. Росток над В линеаризованной пуассоновой структуры зависит от выбора трансверсали С, но различные выборы приводят к эквивалентным ростковым пуассоновым структурам.

Через Casirritf обозначим пространство ростков над нулевым сечением В С Е функций Казимира для линейной вертикальной пуассоновой структуры А, обращающихся в нуль на В.

Предложение 22. Существует дифференциальный оператор Пк(В) ® £asimB -» fi*+1(5) ® £asimfl,

определенный равенством

я(1) def „г*.0 _ дК1' I

°0 — °0 = ° |Ofc(B)®CasimB >

где дГ£} flk(B) ® С°°(Е) —» О*"1"1 (В) ® Ст(Е) — это ковариантный внешний дифференциал для однородной связности Г^ на Е, ассоциированной с трансверсалью £ к В. Это определение не зависит от выбора трансверсали С.

Пограничный оператор д^ назовем однородным дифференциальным оператором, ассоциированным с замкнутым симплектическим листом В пуассонова многообразия (М, Ф).

Теорема 23 ([77]). Всякая пара (С,С), состоящая из трансверсали С и 2-коцикла С € Q2 (В) ® Casimfl (.£?), д^С — 0, индуцирует С-деформированную линеаризованную пуассонову структуру П^, определяемую как пуассонов тензор спаривания, ассоциированный с допустимыми геометрическими данными

(А, = С).

Если класс д^-когомологий 2-коцикла С тривиален, [С] = 0, то существует полулокальный пуассонов диффеоморфизм ф 6 Ехв(£") между П^ и

В подразделе 5.1.4 показано, что альтернативный способ определить линеаризованную пуассонову структуру дает использование пуассоновой структуры, ассоциированной с транзитивными алгеброидами Ли. Пусть (Т*М, Ф*,{, }т'М,) — ко-касательный алгеброид Ли пуассонова многообразия (М, Ф) [81]. При заданном замкнутом симплектическом листе (В, ш) пуассонова многообразия (М, Ф) скобка Ли

{, }т-м на 1-формах на М индуцирует структуру алгебры Ли {, на пространстве сечений ограниченного на В кокасательного расслоения ТдМ. Результатом является транзитивный алгеброид Ли (ТдМ, {, }т-вм,Рв) листа В с якорным отображением рв = Ф# ¡ТдМ■ Всякая трансверсаль С С ТдМ к листу В индуцирует связность 7с ТВ —> ТдМ на транзитивном алгеброиде Ли ТдМ = £° ф (ТВ)0, задаваемую соотношением

1с = (Рв \с°у1 (38)

Теорема 24 ([74], [77]). Линеаризованная пуассонова структура П^1' симплекти-ческого листа В С М, ассоциированная с трансверсалъю С, совпадает с пуассоновой структурой спаривания Птям,7£, индуцированной транзитивным алгеброидом Ли (ТдМ, {, }тдМ> Рв) симплектического листа и связностью тс, (38),

n(i) = nT¿M,7c

В разделе 5.2 рассматриваются полулокальная линеаризация и нормальные формы. Предположим, что задано пуассоново многообразие (М, Ф) с замкнутым сим-плектическим листом (В, и>) и пусть Е = ТдМ/ТВ является нормальным расслоением.

Определение 25 ([6], [74], [77]). Пуассонова структура Ф называется линеаризуемой над симплектическим листом В, если существует экспоненциальное отображение f Е —у М, являющееся полулокальным пуассоновым изоморфизмом между Ф и линеаризованной пуассоновой структурой ассоциированной с трансверсалыо С = dBf(E) С ТвМ, а именно:

Г Ф = П^ (вблизи В С Е).

В силу теоремы 21, это определение является корректным в том смысле, что не зависит от выбора представителя П^ в классе линеаризованных пуассоновых структур симплектического листа.

Пусть Е* ~ (ТВ)0 — конормальное расслоение листа. Тогда Е* является локально тривиальным расслоением алгебр Ли, типовой слой которого обозначается через g и называется изотропией симплектического листа. Предположим, что

0 — полупростая компактного типа. (39)

Из этого условия следует, что симплектический лист должен быть сингулярным, т.е. ранг пуассоновой структуры Ф не является постоянным вблизи симплектического листа В.

Через Ехд "(Е1) обозначим псевдогруппу, состоящую из всех полулокальных диффеоморфизмов g G Exfl(¿£), сохраняющих слои нормального расслоения.

Зафиксируем экспоненциальное разложение f Е —► М и рассмотрим пуассонов тензор спаривания П = РФ = П# + Т на Е, ассоциированный с геометрическими данными (Т, Г, !F). Пусть П^ = (П^я + Л — линеаризованная пуассонова структура, ассоциированная с линеаризованными геометрическими данными (A,rW = lf\jF(1) = где L = dBf(E).

Следующее предложение существенным образом опирается на результаты относительно локальной линеаризации, полученные Конном [28].

Предложение 26 ([6), [77]). Трапсверсальная пуассонова структура Т линеаризуема над В в том смысле, что существует полулокалъный диффеоморфизм д € Ехдаи(£) такой, что

9* Т = Л. (40)

Кроме того, существуют открытая окрестность N нулевого сечения В в Е и 1-форма <5 £ С11(В) <8> Сд3(ТУ) такие, что

Ьог®*г(п) = Ьогг<1) (и) + КЧЯ{и) (41)

для всех и £ Э£(В).

Фиксируя д в (40) и <3 в (41), введем ¿^-коцикл С € 0?(В) ® €авхтв{Е,А), определенный как относительный 2-коцикл Казимира пуассоновой структуры д*П и

с = С9.п,п(1, = д-Т - + (дГ{1)(2 + А д}А). (42)

Предложение 27 ([6], [77]). Класс ростковых д^-когомологий [С] 2-коцикла Казимира С (42) не зависит от выбора полулокального диффеоморфизма д, 1-формы <3 и экспоненциального отображения i.

Используя 2-коцикл Казимира С (42), определим С-деформированную линеаризованную пуассонову структуру как Пуассонов тензор спаривания на Е, ассоциированный с геометрическими данными (Л, ^ ^ = + С).

Следствие 28. С-Деформированная линеаризованная пуассонова структура определена однозназно по модулю полулокальных диффеоморфизмов в псевдогруппе Ехв(Е).

Теорема 29 ([6], [7], [77]). Если замкнутый симплектический лист (В,ш) пуассонова многообразия (М, Ф) удовлетворяет условию (39), то выполняются следующие утверждения.

(a) (Нормализация). Пуассонова структура Ф изоморфна С-деформированной линеаризованной пуассоновой структуре на Е при помощи диффеоморфизма т N —► и между двумя открытыми окрестностями N С Е и 17 С М листа В, тождественного на В,

т*Ф =

т |в= 1с1.

(b) (Критерий линеаризуемости). Пуассонова структура Ф линеаризуема над В тогда и только тогда, когда класс ростковых д^-когомологий 2-коцикла Казимира С (42) пулевой, [С] = 0.

В разделе 5.2.4 приводятся некоторые примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур, которые были также построены с использованием Казимир-взвешенных произведений в [37].

В главе 6 рассматривается задача гамильтонизации для проектируемых динамических систем на пуассоновом расслоении общего типа. Наш подход базируется на теории спаривания пуассоновых структур, развитой в предыдущих главах, и на теории инвариантных нелинейных связностей, представленной в разделе 6.1. Несколько критериев существования согласованных гамильтоновых структур для проектируемых векторных полей на пуассоновом расслоении получены в разделе 6.2. Пусть (тг Е —> В, Т) пуассоново расслоение, оснащенное вертикальной пуассоновой структурой Т е Зес(Л2¥). Предположим, что база расслоения 7г является связным симплектическим многообразием (В, ш) и задано гладкое сечение б В —> Е, 7г о з = такое, что Т = 0 на з(В). Кроме того, предположим, что пуассоново расслоение допускает плоскую пуассонову связность Г°, согласованную с сечением б с помощью следующего условия: горизонтальное подрасслоение И0 связности Г° совпадает с касательным расслоением Те (В) во всех точках подмногообразия б(В) С Е. Рассмотрим проектируемое векторное поле V на Е, вида

V = Ьогг°(г;/) + Т^Г, (43)

для некоторых функций / 6 С°°(В) и Г £ С°°(В). Здесь через г*/ обозначено га-мильтоново векторное поле на (В,ш) функции / € С°°(В). Подмногообразие з(В) инвариантно относительно потока векторного поля V.

Теорема 30. Пусть в окрестности N подмногообразия я(В) в Е существует, горизонтальная 1 -форма <5 £ О,1 (В) ® С°°(./V), удовлетворяющая уравнению

¿Ьог^ + О^Ь—^У, (44)

и условие <3(^1, г^) |з(в)= 0 выполняется для любых «1,1/2 € ЗЕ(В). Тогда, в окрестности N С N подмногообразия ${В), это решение <р индуцирует пуассонову структуру спаривания Пд, ассоциированную с геометрическими данными (Т, Г®, Т®), задаваемыми формулами

= Г° — (45)

Кроме тпого, проектируемое векторное поле V является гамильтоновым па N относительно П<2 и функции

н = тг7 + (г-Ц0),

т.е. У =

Уравнение (44) имеет следующую геометрическую интерпретацию: горизонтальное подрасслоение И13 связности Г13 инвариантно относительно дифференциала потока векторного поля V.

Также имеет место следующая версия этой теоремы для случая слабого спаривания, где вместо существования согласованных сечений требуется условие компактности.

Теорема 31. Пусть (тг Е Я,Т,Г°) — плоское пуассопово расслоение над сим-плектической базой (В, со). Пусть V — проектируемое векторное поле V вида (43) на Е. Если в открытой области N С Е уравнение (44) допускает решение ф 6 П1(В)®С00(^)> то для любой открытой области N С N с компактпным замыканием и для всех достаточно малых е Ф 0 векторное поле V является гамильтоновым относительно функции

НЕ = п*} + е{Г (46)

и пуассонова тензора слабого спаривания Пд £/ ассоциированного с геометрическими данными задаваемыми (45) и равенством

В подразделе 6.2.3 рассматривается случай тривиального пуассонова расслоения, когда Е = В х Р является произведением симплектического многообразия В и пуао сонова многообразия Р Предположим, что пуассонова структура на Р обращается у нуль в точке х° € Р Через и {,}р обозначим канонические лифты, на тотальное пространство Е, скобок Пуассона на В и Р, соответственно. Проектируемую динамическую систему векторного поля (43) можно записать в виде скобочных соотношений

^ = (47)

^ = (48)

где £ = (£') Е В, х = (ха) £ Р я тгв В х Р —* В — каноническая проекция. Эта система имеет инвариантное подмногообразие В х {г0}. В соответствии с каноническим разложением ТЕ = ТВ © ТР имеем плоскую пуассонову связность Г°, ас :о-циированную с горизонтальным подрасслоением

Н° = ТВ. Внешний ковариантныи дифференциал дГ совпадает с внешним дифференциалом <1д на Е вдоль В.

Теорема 32 ([36], [78]). Если в окрестности сечения В х {р0} в Е = В х Р существует горизонтальная 1-форма = удовлетворяющая уравнению гомологического типа

+ {/-", <ЭЬ = с1в/-

и условию 0) = 0, то проектируемая динамическая система (47), (48) является гамильтоновой относительно пуассоновой структуры Пд, ассоциированной с этим решением и функцией (46).

В разделе 6.3 изучается задача гамильтонизации линейных векторных полей на расслоениях Ли-Пуассона. В этом разделе вводится класс согласованных пуассоно-вых структур на расслоении Ли-Пуассона и формулируются различные критерии существования гамильтоновой структуры для линейных уравнений Эйлера. Пусть Е = В х д* — тривиальное расслоение Ли-Пуассона над связной симплектической базой (В,и), типовой слой которого является коалгеброй 0* алгебры Ли д. Рассмотрим линейную систему Эйлера на Е вида

§ = (ее В), (49)

— = х (гбд') (50)

для некоторых / 6 С°°(В) и т] е С°°(В) ® д.

Теорема 33 ([76]). Предположим, что алгебра Ли д удовлетворяет условиям

0 = Сеп1;(д)©[д,д], (51)

Я'(0;0) = 0. (52)

Зафиксируем г) в (50) условием 7] е С°°(В) ® [д,д]. Тогда разрешимость уравнения гомологического типа

£»//* + [т?,/х], = йвт)

для 1-формы // € 01(5)® [д, д] является необходимым и достаточным условием для того, чтобы система Эйлера (49), (50) была гамильтоновой в классе согласованных пуассоновых структур на Е = В х д*

Заметим, что условия (51), (52) выполняются, если д — полупростая алгебра Ли. Для случая д = зо(3), применения этой теоремы приведены в [35].

Наконец, в разделе С.4, рассматривая задачу гамильтонизации для проектируемых векторных полей на симплектическом векторном расслоении, мы улучшаем результаты, полученные в работе [3].

В главе 7 изучается линеаризованная гамильтонова динамика над сингулярным симплектическим листом (В, и/) пуассонова многообразия (М, Ф) в контексте задачи гамильтонизации. Пусть Хр — гамильтоново векторное поле на (М, Ф) функции F 6 С°°(М). Соответствующая линеаризованная динамика над листом В задается линейным векторным полем уагв(Хр) на нормальном расслоении Е = ТвМ/ТВ\ это поле называется системой в вариациях векторного поля Хр. В терминах экспоненциального отображения £ Е —> М это поле можно определить как предельное выражение

\зхв(Хр) = Шп(Гор£)*ЛГт?, £—»0

которое не зависит от выбора экспоненциального отображения Г Кроме того, линейное векторное поле уягв(Х) дает первую аппроксимацию для Хр в том смысле, что

$ о р£)*Хр = уаг в(Хр) + 0(е),

и нулевое сечение В С Е инвариантно при действии потока этого векторного поля. В общем случае, уаг в(Хр) не наследует какую-либо гамильтонову структуру от исходной гамильтоновой системы (М, Ф, Е), поскольку поднятие пуассоновой структуры (Г о рЕ)*Ф не имеет предела при е —> 0.

Теорема 34 ([5], [76]). Пусть (М, Ф,.Р) — гамильтонова система на пуассоновом многообразии и В С М замкнутый симплектический лист. Выполнены следующие утверждения:

(а) Если существует расщепление

ТвМ = ТВ®С,

инвариантное относительно дифферегщиала потока гамилътонова векторного поля Хр, то система в вариациях var в(Хр) является гамильтоновой относительно линеаризованной пуассоновой структуры П^, ассоциированной с Хр-инвариантной трансверсалью С,

где f = F \в и F^ — Нт^о — ir*(F |в)] — первая вариация функции F

В вдоль трансверсали L.

(Ь) Наоборот, если линейное векторное поле varв(Хр) гамильтоново относительно линеаризованной пуассоновой структуры П^, соответствующей трансверсали С к листу В, то подрасслоеиие С, С ТВМ является Хр-инвариантным.

Список литературы

[lj В.И. Арнольд, Замечания о пуассоновых структурах на плоскости и других степенях форм объема, Труды Сем. им. И.Г. Петровского 12, 37-46 (1987).

[2] A.B. Борисов и И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамиль-тоновой механике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999.

[3] Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплек-тические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

[4] Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

[5] Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтпоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

|6] Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

[7] Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).

[8J Ю.М. Воробьев и М.В. Карасев, О пуассоновых многообразиях и скобке Схо-утена, Функц. Анализ и Его Прил. 22 (1), 1-11 (1988).

[9] Я.И. Грановский, A.C. Жеданов и И.М. Луценко, Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. Проблема Кеплера, Теорет. Мат. Физ. 91 (3), 396-400 (1992).

[10] М.В. Карасев, Условия квантования Маслова в высших когомологиях и аналоги объектов теории Ли для канонических расслоений симплектических многообразий, Москва, МИЭМ, 1981, ВИНИТИ № 1091-82, 1092-82; на англ.яз.: Selecta Math. Sov. 8 (3), 213-258 (1989).

11] M.B. Карасев, Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона, Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем. 50 (3), 508-538 (1986).

12] М.В. Карасев В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, Москва, 1991.

13] A.A. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, Москва, 1972.

14] A.A. Кириллов, Локальные алгебры Ли, Успехи Мат. Наук 31, 55-75 (1976).

15] В.В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой динамике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1995.

16] И.М. Кричевер и A.B. Забродин, Спиновое обобщение модели Рейсенарса-Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Toda и представления алгебры Склянина, Успехи Мат. Наук 50 (6), 3-56 (1995).

17] О.В. Лычагина, Нормальные формы пуассоновых структур, Мат. Заметки 61 (2), 220-235 (1997).

18] A.C. Мищенко и А.Т. Фоменко, Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамилътоновых систем, Функц. Анализ и Его Прил. 12 (2), 46-56 (1978).

19] С.П. Новиков, Гамгьльтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, Успехи Мат. Наук 37 (5), 3-49 (1982).

20] М.А. Олыпанецкий, Эллиптическая гидродинамика и квадратичные алгебры векторных полей на торе, Теорет. Мат. Физ. 150 (3), 355-370 (2007).

21] O.E. Орел, Алгебро-геометрические скобки Пуассона в проблеме точного интегрирования, Регул, и Хаотич. Дин. 2 (2), 90-97 (1997).

22] А.Г. Сергеев, Об адиабатическом пределе в некоторых нелинейных уравнениях калибровочной теории поля, Современная Математика. Фундаментальные направления 3, 33-42 (2003).

23] Л.А. Тахтаджяп и Л.Д. Фаддеев, Гамилътонов подход в теории солитонов, Наука, Москва, 1986.

24] A. Bette, Twistor phase space dynamics and the Lorentz force equation, J. Math. Phys. 34 (10), 100-130 (1993).

25] O. Brahic, Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf, ArXiv:math. SG/0403136, 2004.

26] A. Cannas da Silva and A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras. In: Berkeley Mathematics, Lectures, American Math. Soc., Providence, 1999, vol. 10.

27] J. Conn, Normal forms for analytic Poisson structures, Annals of Math. 119, 576601 (1984).

[28| J. Conn, Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. 121, 565-593 (1985).

[29] T.J. Courant. Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (2), 631-661 (1990).

[30| M. Crainie and R.L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. Math. 157 (2), 575-620 (2003).

[31] M. Crainie and R.L. Fernandes, Integrability of Poisson brackets, J. Differ. Geom. 66, 71-137 (2004).

[32] M. Crainie and R.L. Fernandes, Rigidity and flexibility in Poisson geometry, Travaux Mathématiques 16, 53-68 (2005).

[33] M. Crainie and R.L. Fernandes, A geometric approach to Conn's linearization theorem, arXiv.0812.3060, 2008.

[34] M. Crainie and R.L. Fernandes, Stability of symplectic leaves, Inventions of Mathematics 180 (3), 481-533 (2010).

[35] G. Dâvila Rascon, R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

[36] G. Dâvila Rascôn and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35^44 (2008).

[37] B.L. Davis and A. Wade, Nonlinearizability of certain Poisson structures, Travaux Mathématiques, 16, 69-85 (2005).

[38] B.A. Dubrovin, M. Giordano, G. Marmo, and A. Simoni, Poisson Brackets on presymplectic manifolds, Intern. J. Moden Phys. 8, 3747-3771 (1993).

[39] J.-P. Dufour, Linéarisation de certaines structures de Poisson, J. Diff. Geom. 32 (2), 415-428 (1990).

[40] J.-P. Dufour and N.T Zung, Poisson structures and their normal forms, Birkhàuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2005, 321p.

[41] R.L. Fernandes, Connections in Poisson geometry I: Holonomy and invariants, J. Differential Geom. 54 (2), 303-365 (2000).

[42] R.L. Fernandes, Lie Algebroids, Holonomy, and characteristic classes, Adv. in Math. 170, 119-179 (2002).

[43] R.L. Fernandes, The symplectization functor, Real Soc. Mat. Esp. 11, 67-82 (2008).

[44| V.L. Ginzburg, Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence asociated with a momentum map, Internat. J. Math. 10 (8), 977-1010 (1999).

[45] V.L. Ginzburg and A. Golubev, Holonomy on Poisson manifolds and the modular class, Israel. J. Math. 122, 221-242 (2001).

[46] M. Gofcay, R. Lashof, J. Sniatycki, and A. Weinstein, Closed forms on symplectic fiber bundles, Comment. Math. Helv. 58, 617-621 (1983).

[47] V Guillemin, E. Lerman, and S. Sternberg, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1996.

[48] V.M. Itskov, M. Karasev, and Yu.M. Vorobjev, Infinitesimal Poisson geometry, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 327-360.

[49] E.G. Kalnins, G.C. Williams, W. Miller, Jr., and G.S. Pogosyan, Superintegrability in three-dimensional Euclidean space, J. Math. Phys. 40, 690-708 (1999).

[50] E.G. Kalnins, W. Miller, and G.S. Pogosyan, Superintegrability on the 2-Dimensional Hyperboloid, J. Math Phys. 38, p. 5416 (1997).

[51] M. Karasev, Noncommutative algebras, nanostructures, and quantum dynamics generated by resonances. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 1-18.

[52] M. Karasev and E. Novikova, Polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and magnetic fields. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 19136.

[53] M.V Karasev and Yu.M. Vorobjev, Deformations and cohomology of Poisson manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 1453, Springer-Verlag, Berlin, 1990, pp. 271-289.

[54] M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Adapted connections, Hamilton dynamics, geometric phases, and quantization over isotropic submanifolds, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 203-326.

[55] A. Lichnerowicz, Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associetes, J. Differential Geom. 12, 253-300 (1977).

[56] K.C.H. Mackenzie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry. In: LMS Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, Vol. 124.

[57| J.R. Marsden, T.S. Ratiu, and G. Raugel, Symplectic connections and the linearization of Hamiltonian systems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 117, 329380 (1991).

[58] J.R. Marsden and A. Weinstein, Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys. 5 (1), 121-130 (1974).

[59] K.R. Meyer, Symmetries and integrals in mechanics. In: Dynamical Systems (M.M. Peixoto, ed.), Academic Press, 1973, pp. 259-273.

[60] E. Miranda and N.T. Zung, A note on equivariant normal forms of Poisson structures, Math. Research Letters 13 (6), 1001-1012 (2006).

[61] P Monnier and N.T. Zung, Levi decomposition for smooth Poisson structures, J. Diferential Geom. 68 (2), 347-395 (2004).

[62] E. Miranda, Some rigidity results for symplectic and Poisson group actions, Publ. de la Real Sociedad Matemática Española 11, 176-182 (2007).

[63] P. Monnier, Poisson cohomology in dimension two, Israel J. Math. 129, 189-207 (2002).

[64] P Monnier and R.L. Fernandes, Linearization of Poisson brackets, Lett. Math. Phys. 69 (1), 89-114 (2004).

[65] R. Montgomery, Canonical formalism of a classical particle in a Yang-Mills field and Wong's equations. Let. Math. Phys. 8, 59-67 (1984).

[66] R. Montgomery, J.E. Marsden, and T. Ratiu, Gauged Lie-Poisson structures. In: Fluids and Plasmas: Geometry and Dynamics (J. Maxsden, ed.), Cont. Math. 28, 101-114 (1984).

[67] J.-P. Ortega and T.S. Ratiu, Momentum maps and Hamiltonian reduction. In: Progress in Math., Birkhauser Boston Inc., Boston, 2004, Vol. 222.

[68] P. Stefan, Accessible sets,orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc. (3) 29, 699-713 (1974).

[69] S. Sternberg, Minimal coupling and the symplectic mechanics of a classical particle in the presence of a Young-Mills field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74, 5253-5254 (1977).

[70] H.J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans. Amer Math. Soc. 180, 171-188 (1973).

[71] I. Vaisman, Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (4), 951-963 (1990).

[72] I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, in Progress in Math., Birkhauser, Boston, 1994, Vol. 118, 205 p.

[73] I. Vaisman, Coupling Poisson and Jacobi structures on foliated manifolds, Intern. J. of Geometric Methods in Modern Physics 1 (5), 607-637 (2004).

[74] Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie algebroids and related topics in differential geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, Vol. 54, pp. 249-274.

[75] Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J.of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, Rl, 2005, Vol. 216, pp. 137-239.

Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 241-277.

Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst, of Phys. 1079, 235240 (2008).

A. Wade, Poisson fiber bundles and coupling Dirac structures, Annals of Global Analysis and Geometry 33 (3), 207-217 (2008).

A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18, 523-557 (1983).

A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 16, 101-104 (1987).

A. Weinstein, Linearization Problem for Lie algebroids and Lie groupoids, Lett. Math. Phys. 52, 93-102 (2000).

P. Xu, Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (4), 967-988 (1992).

N.T. Zung, A geometric proof of Conn's linearization theorem for analytic Poisson structures, Preprint math. (2002) SG/0207263.

N.T. Zung, Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Topology 42 (6), 1403-1420 (2003).

20101

83014

Подписано к печати 05 ОКТЯБРЯ 2010 г Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № 472 . Объем ¿»0 п л. Тираж 42.0 экз.

2010183014

Введение

1 Предварительные сведения и основные определения

1.1 Скобка Схоутена.

1.2 Пуассоновы многообразия.

1.3 Исчисление на расслоениях

1.3.1 Связность Эресмана

1.3.2 Пуассоновы расслоения и пуассоновы связности.

2 Метод спаривания для пуассоновых структур

2.1 Пуассоновы структуры спаривания.

2.1.1 Факторизация тождества Якоби

2.1.2 Горизонтально,невырожденные бивекторные поля и геометрические данные.

2.1.3 Основной результат.

2.1.4 Плоские пуассоновы структуры спаривания.,,.

2.1.5 Симметрии структурных уравнений.

2.1.6 Симплектические слоения пуассоновых структур спаривания

2.1.7 Инфинитезимальные пуассоновы автоморфизмы.

2.1.8 Сохраняющие слои преобразования.

2.2 Окрестность симплектического листа.

2.2.1 Полулокальная теорема расщепления

2.2.2 Сингулярные коприсоединенные орбиты коалгебр во*(4) и е*(3)

3 Метод гомотопии для пуассоновых структур

3.1 Инфинитезимальные генераторы.

3.1.1 Гладкие семейства пуассоновых тензоров спаривания.

3.1.2 Критерии существования инфинитезимальных генераторов.

3.2 Относительные 2-коциклы Казимира.

3.3 Эквивалентность пуассоновых структур в окрестности симплектического листа

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Калибровочная эквивалентность трансверсальных пуассоновых структур.

3.3.3 Единственность трансверсальной пуассоновой структуры.

3.3.4 Достаточные и необходимые условия для полулокальной пуассоновой эквивалентности.

4 Пуассоновы структуры, индуцированные транзитивными алгеброидами Ли

4.1 Транзитивные алгеброиды Ли.

4.2 Пуассоновы структуры Л-спаривания.

4.2.1 Однородные геометрические данные.

4.2.2 Варьируя связность 7.

4.2.3 Изоморфизмы алгеброидов Ли и пуассонова эквивалентность.

5 Проблема полулокальной линеаризации и нормальные формы пуассоновых структур

5.1 Линеаризованная пуассонова структура над симплектическим листом

5.1.1 Линеаризованные геометрические данные и трансверсальные подрасслоения.

5.1.2 Существование линеаризованных пуассоновых структур.

5.1.3 Деформированные линеаризованные пуассоновы структуры.

5.1.4 Транзитивный алгеброид Ли снмплектического листа.

5.2 Теорема о полулокальной линеаризации.

5.2.1 Линеаризуемость в сингулярной точке.

5.2.2 Полулокальная линеаризуемосгь.

5.2.3 Нормальные формы и линеаризуемость над симплектическим листом полупростого и компактного типов

5.2.4 Примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур.

5.2.5 Плоские линеаризованные пуассоновы структуры.

6 Задача гамильтонизации для проектируемой динамики

6.1 Проектируемые динамические системы на расслоениях.

6.1.1 Общие свойства проектируемых векторных полей.

6.1.2 Инвариантные связности.

6.1.3 Алгебра Ли проектируемых гамильтоновых векторных полей.

6.1.4 Г-Приводимость.

6.2 Задача гамильтонизации на пуассоновых расслоениях.

6.2.1 Постановка задачи. Необходимые условия.

6.2.2 Уравнения гомологического типа и критерии гамильтонизации

6.2.3 Случай тривиальных пуассоновых расслоений.

6.2.4 Семейства периодических по времени гамильтоновых систем.

6.3 Гамильтонизация линейных векторных полей.

6.3.1 Общие свойства линейных векторных полей.

6.3.2 Линейные гамильтоновы векторные поля на расслоениях Ли-Пуассона.

6.3.3 Критерии гамильтонизации.

6.3.4 Уравнения гомологического тина на плоских расслоениях Ли.

6.4 Задача гамильтонизации па симплектических расслоениях

7 Линеаризованная гамильтонова динамика над симплектическими подмногообразиями

7.1 Процедура линеаризации.

7.2 Линеаризованные гамильтоновы модели над симплектическим листом.

7.2.1 Гамильтонова форма систем в вариациях.

7.2.2 Инфинитезимальные первые интегралы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию новых дифференциально-геометрических методов изучения (вырожденных) пуассоновых структур и их применению в теории динамических систем.

За последние 40 лет пуассонова геометрия, т.е. геометрия пространств с общими нелинейными скобками Пуассона, стала ареной актуальных исследований, тесно взаимодействующих с различными областями математики и математической физики, такими как теория гамильтоновых систем, интегрируемость и приводимость, теория сингулярностей, теория квантования, спектральная теория (см., например, монографии Тахтаджяна и Фадцеева [39], Карасева и Маслова [24], Вайсмана [146], Канна да Сильва и Вайнсгайна [53], Ортега и Ратью [137], Дюфора и Зунга [72]).

Изучение* вырожденных скобок Пуассона восходит к работам Софуса Ли, который, в качестве частного случая, развил также теорию линейных скобок Пуассона на векторных пространствах; сегодня они называются скобками Ли-Пуассона и играют фундаментальную роль в различных задачах математической физики. Дальнейшее проявление интереса к вырожденным пуассоновых структурам связано с построением многочисленных физических моделей, соответствующих механическим системам, особенно системам, обладающим группами симметрий или связей, в которых пуассоновы многообразия появляются в качестве фазовых пространств классических частиц. Здесь одним из важнейших примеров является скобка Дирака, которая применяется для изучения динамических систем со связями. Другой мотивацией для изучения вырожденных пуассоновых структур стало развитие теории редукций и некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем, начатое в работах Мейера [124], Марсдсна и Вайнстайпа [120], Мищенко и Фоменко [33].

Различные интересные пуассоновы структуры были получены при решении задачи га-мильтонизации для уравнений движения, описывающих физические модели, например, для уравнения Вонга классической частицы в поле Янга-Миллса [132], для ковариантных ВМТ-уравнений заряженной релятивистской частицы со спином [45], для уравнения движения твердого тела [27], [7]). Задача гамильтонизации для важного класса линеаризованных гамильтоновых динамик изучалась в работах [119], [104] и, например, для модели Хиггса и уравнений Зайберга-Виттена в [38]. Некоторые интересные примеры нелинейных скобок Пуассона полиномиального типа возникают при изучении алгебр симметрий интегрируемых и суперинтегрируемых систем, в частности, резонансных алгебр (см., например, [7], [15], [28], [35], [36], [37], [97], [98], [99], [100]).

В контексте хорошо известной задачи о связи между вырожденной лагранжевой и га-мильтоновой формулировками классической механики, пуассоновы структуры можно также получить из пресимплектических структур [91], [68]. Геометрический способ построения (пре)симплектических структур на расслоениях с помощью связностей, который называется методом спаривания, был предложен Стернбергом [141] и получил дальнейшее развитие в работе [94]. Кроме того, в работе [135], процедура спаривания была распространена на некоторый специальный класс векторных пуассоновых расслоений (коприсоединенных расслоений, ассоциированных с главными расслоениями) и были введены калибровочные структуры Ли-Пуассона.

Отметим, что пуассонова геометрия связана еще с целым рядом интересных геометрико-дифференциальных объектов таких, как локальные алгебры Ли [2G], алгеброиды Ли и группоиды Ли [115], и структуры Дирака [56]. Геометрически, пуассоново многообразие можно трактовать как объединение симплектических многообразии (симплектических листов), обычно различных размерностей, которые согласуются друг с другом некоторым гладким образом. Другими словами, общее пуассоново многообразие является сингулярным слосчш-ем симплектическими многообразиями в смысле Суссмана [142] и Стефана [140]. Например, в случае структуры Ли-Пуассона, симплектические листы являются коприсоединенными орбитами, несущими симплектическую структуру, называемую формой Кириллова [25].

В отличие от случая симплектических многообразий, локальная структура общих пуассоновых многообразий оказывается очень непростой. Важный вклад в понимание этой структуры был сделан Вайнстайном в работе [158]. Теорема Вайнстайна о локальном расщеплении дает локальную нормальную форму пуассоновой структуры и приводит к важному понятию локальной трансверсальной пуассоновой структуры. В той же работе была сформулирована знаменитая задача линеаризации, которая положила начало многочисленным глубоким исследованиям [54], [55], [163], [2], [69], [29], [168], [169], [128], [131], [60].

Важные результаты относительно локальной линеаризации пуассоновой структуры, как в аналитическом так и в гладком случаях, были получены Конном в работах [54], [55]. Доказательство теоремы Конна о гладкой линеаризации содержит в высшей степени нетривиальные аналитические рассуждения, основанные на объединении метода Ньютона и аппроксимирующей схемы Нэша-Мозера. Только недавно Крейник и Фернандес в работе [60] предложили геометрическое доказательство теоремы Конна, которое опирается на метод гомотопии Мозера [136] и результаты о собственных групоидах и интегрируемости алгеб-роидов Ли [57], [58].

Одним из первых глобальных результатов в пуассоновой геометрии является теорема о симплектической реализации произвольного пуассонова многообразия, доказанная Карасевым [22] (локально см. также у Вайнстайна [158]) и разработанная на этой основе теория соответствия между пуассоновыми многообразиями и симплектическими группоидами [23], [162].

В 1977 году, в терминах исчисления Схоутена для поливекторных полей, Лихнерович в работе [114] дал "алгебраически-дифференциальное"определение пуассоновой структуры, что послужило толчком для систематического изучения пуассоновых когомологий. В частном случае симплектического многообразия, пуассоновы когомологии совпадают с когомо-логиями де Рама. Однако, в общем случае, даже для регулярных пуассоновых многообразий, вычисление пуассоновой когомологии является сложной задачей. Первые результаты в этом направлении были получены Карасевым и Воробьевым [16], [17], [101], Вайсманом [145], Ху [166] и Гинзбургом [89]. В сингулярном случае, Монниер [130] вычислил ростковую, пуассонову когомологию для двумерной пуассоновой структуры, обладающую простыми сингулярностями в смысле Арнольда [1].

За последние 10 лет было проведено много исследований, посвященных полулокальной пуассоновой геометрии, т.е. геометрии в окрестности сингулярного симплектического листа ненулевой размерности пуассонова многообразия [75], [90], [76], [50], [59], [66], [127], [129], [77]. Инфинитезимальные свойства листа полностью определяются транзитивным алгеброидом Ли [101], [95], который, в частности, индуцирует понятие редуцированный линейной голоно-мии листа [90], [75], [76]. В работе [95] было показано, что обращение в нуль второй группы когомологпй транзитивного алгеброида Ли симплектического листа означает формальную Пуссонову эквивалентность вблизи этого листа. В недавней работе [61], было доказано, что условие такого типа также достаточно для стабильности компактного симплектического листа в смысле работы [158]. Кроме того, как было показано в [59], явления жесткости и гибкости, известные в симплектической геометрии, также имеют место в контексте пуас-соновой геометрии и теории сингулярных слоений. Все эти результаты ориентированы на изучение нормальных форм пуассоновой структуры вблизи сингулярных симплектических листов, что является предметом активных исследований в настоящее время.

Основная цель данной работы: развитие единого геометрико-дифференциального подхода к изучению полулокальный пуассоновой геометрии и построение (вырожденных) пуассоновых структур с применениями к гамильтопову формализму для динамических систем на рсслоенных пространствах.

Основные инструменты:

• Исчисление Схоутена.

• Теория (нелинейных) связностеи Эресмана.

• Метод гомотопии для контравариантпых тензорных полей.

• Теория алгеброидов Ли.

Основные результаты:

• . Новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.

• Полулокальная теорема расщепления над вложенным (сингулярным) симплектиче-ским листом. Понятие полулокальной трансверсальной пуассоновой структуры.

• Критерии полулокальной пуассоновой эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.

• Описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях Ли-Пуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.

• Понятие линеаризованной пуассоновой структуры сингулярного симплектического листа.

• Теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоновой структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.

• Геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.

• Гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой-динамики над сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.

Основные результаты были опубликованы в работах:

• Ю.М. Воробьев, Гамилътоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

• Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie Algebroids and Related Topics in Differential Geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, vol. 54, pp. 249-274.

• Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J. of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

• Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамилътоновых систем па пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

• Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплек-тических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

• Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds. Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, 137-239.

• Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS,

- Providence, RI, 2005, Vol. 216, 241-277.

• Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures. American Inst, of Phys. 1079, 235-240 (2008).

• Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).

• G. Davila Rascon, R. Flores Espinoza, and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(Jt) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

• G. Davila Rascon and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008).

Результаты доложены на следующих международных конференциях:

• Июнь 2000 — Международная конференция "Poisson 2000", CIRM, Люмини, Франция.

• Июль 2002 — XXI Международная конференция "Геометрические Методы в Физике", Беловежа, Польша.

• Май 2004 — XI Международная конференция "Симметрии в Физике", Чешский Технический Университет, Прага, Чешская Республика.

• Июль 2005 — Летняя школа и конференция по пуассоновой геометрии, ICTP, Триест, Италия.

• Июнь 2005 — II Международная конференция по сверхинтегрируемьш системам в классической и квантовой механике, Дубна, Россия.

• Август 2006 — Международный математический конгресс, Мадрид, Испания.

• Июль 2008 — XXVII Международная конференция "Геометрические методы в физике", Беловежа, Польша.

• Июль 2009 — XIII Международная конференция "Методы симметрии в физике", Дубна, Россия.

• Июнь 2010 — VIII Международная конференция AMS-SMM, Беркли, Калифорния, США.

Обзор содержания диссертации

1. B.1.. Арнольд, Замечания о пуаесоновых структурах на плоскости и других степенях форм объема, Труды Сем. им. И.Г. Петровского 12, 37-46 (1987).

2. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Наука, Москва, 1989, 3-е изд. 472с.

3. В.И. Арнольд, Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, "Регулярная и хаотическая динамика МЦНМО, ВКМ НМУ, Москва, 2000.

4. В.И. Арнольд и А.Б. Гивенталь, Симплектическая геометрия, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 2000, 168с.

5. В.И. Арнольд, В.В. Козлов и А.И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Фундаментальные направления, том 3, ВИНИТИ, Москва, 1985, стр. 5-303.

6. A.B. Болсинов и А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999. Т. 1-2.

7. A.B. Борисов и И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999.

8. A.M. Виноградов и II.C. Красильщик, Что такое гамилътонов формализм?, Успехи Мат. Наук 30, 173-198 (1975).

9. В.П. Вифлянцев, Теорема Фробениуса для дифференциальных систем с особенностями, Вестник Москов. Унив. Сер. I, Матем., Мех. 3, 11-14 (1980).

10. Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).

11. Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).

12. Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтоновых систем на пуассоновых многообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).

13. Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплек-тических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).

14. A. Blaom, A geometric setting for Hamiltonian perturbation theory, in Memoirs of Amer. Math. Soc. Vol. 153, No. 727, 2001, 112 p.

15. O. Brahic, Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf, ArXiv:math. SG/0403136, 2004.51. 0. Brahic, Extensions of Lie brackets, J. of Geometry and Physics 6 (2), 352-374 (2010).

16. O. Brahic and R.L. Fernandes, Poisson fibrations and fibered symplcctic groupoids, Contemporary Mathematics, AMS, Providence, R.I., 2008, Vol. .450, pp. 41-60.

17. A. Cannas da Silva and A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras. In: Berkeley Mathematics, Lectures, American Math. Soc., Providence, 1999, vol. 10.

18. J. Conn, Normal forms for analytic Poisson structures, Annals of Math. 119, 576-601 (1984).

19. J. Conn, Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. 121, 565-593 (1985).

20. T.J. Courant, Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (2), 631-661 (1990).

21. M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. Math. 157 (2), 575-620 (2003).

22. M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Poisson brackets, J. Differ. Geom. 66, 71-137 (2004).

23. M. Crainic and R.L. Fernandes, Rigidity and flexibility in Poisson geometry, Travaux Mathématiques 16, 53-68 (2005).

24. M. Crainic and R.L. Fernandes, A geometric approach to Conn's linearization theorem, arXiv:0812.3060, 2008.

25. M. Crainic and R.L. Fernandes, Stability of symplectic leaves, Inventions of Mathematics 180 (3), 481-533 (2010).

26. R.H. Cushman and L.M. Bates, Global aspects of classical integrable systems, Birkhâuser Verlag, Berlin, 1997.

27. G. Dávila Rascón, R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129-146 (2008).

28. G. Dávila Rascón and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35-44 (2008).

29. G. Dávila Rascón and Yu. Vorobiev, The first step of normalization for Hamiltonian systems with two degrees of freedom over orbit cylinders, Electronic J. of Diff. Equations, No. 54, 1-17 (2009).

30. B.L. Davis and A. Wade, Nonlinearizability of certain Poisson structures, Travaux Mathématiques, 16, 69-85 (2005).

31. B.L. Davis and A. Wade, Dirac structures and gauge symmetries of phase spaces, Rend. Semin.Mat.Univ. Politec. Torino 67, 123-135 (2009).

32. B.A. Dubrovin, AI. Giordano, G. Marmo, and A. Simoni, Poisson Brackets on presymplectic manifolds, Intern. J. Moden Phys. 8, 3747-3771 (1993).

33. J.-P. Dufour, Linéarisation de certaines structures de Poisson, J. Diff. Geom. 32 (2), 415— 428 (1990).

34. J.-P. Dufour, Normal forms of Lie algebroids, Banach Center Publ. 54, 35-41 (2001).

35. J.-P. Dufour and A. Wade, On the local structure of Dirac manifolds, Compositio Mathematica 144 (3), 774-786 (2008).

36. J.-P. Dufour and N.T. Zung, Poisson structures and their normal forms, Birklmuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2005, 321 p.

37. J.J. Duistermaat and J.A.C. Kolk, Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, 2000, 344 p.

38. C. Ehresmann, Les connexions infinitesimales dans un espace fibre dijferentiable, In: Colloque Topologie, Bruxelles, CBRM, 1950, Licge, 1951, pp. 29-55.

39. R.L. Fernandes, Connections in Poisson geometry I: Holonomy and invariants, J. Differential Geom. 54 (2),,303-365 (2000).

40. R.L. Fernandes, Lie Algebroids, Holonomy, and characteristic classes, Adv. in Math. 170, 119-179 (2002).

41. R.L. Fernandes, The symplectization functor, Real Soc. Mat. Esp. 11, 67-82 (2008).

42. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, Transversally-maximal algebras of infinitesimal Poisson automorphisms, Russian Math. Surveys 49 (6), 223-224 (1994).

43. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, On Dirac type brackets. In. Quantization, Coherent States and Complex Structures (J.-P. Antoine, et al., eds.), Plenum Press, N.Y., 1995, pp. 235-241.

44. R. Flores Espinoza and Yu.M. Vorobjev, Linear Hamiltonian systems and symplectic geometry, University of Sonora Press, 1998, 150 p.

45. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Hamiltonian formalism for fiberwise linear Hamiltonian dynamical system, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) 6, 213-234 (2000).

46. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Relativistic corrections to elementary Galilean dynamics and deformations of Poisson brackets. In: Hamiltonian systems systems and celestial mechanics (Hamsys.-98), Vol.6, World Scientific, 2000, pp. 161-173.

47. R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, On dynamical and geometric phases of time-periodic linear Euler equations, Russian J. Math. Physics 12 (3), 326-349 (2005).

48. A.T. Fomenko, Integrability and nonintegrability in geometry and mechanics, Kluwer, Dordrecht, 1988.

49. A. Frolicher and A. Nijenhuis, Theory of vector valued differential forms, Pt. I, Indagationes Math. 18, 338-359 (1956).

50. V.L. Ginzburg, Momentum mappings and Poisson cohomology, Internat. J. Math. 7 (3), 329-358 (1996).

51. V.L. Ginzburg, Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence asociated with a momentum map, Internat. J. Math. 10 (8), 977-1010 (1999).

52. V.L. Ginzburg and A. Golubev, Holonomy on Poisson manifolds and the modular class, Israel. J. Math. 122, 221-242 (2001).

53. M. Gotay, R. Lashof, .7. Sniatycki, and A. Weinstein, Closed forms on symplectic fiber bundles, Comment. Math. Helv. 58, 617-621 (1983).

54. W. Greub, S. Halperin, and R. Vanstone, Connections, curvature, and cohomology, Academic Press, New York-London, 1973, Vol. II.

55. V. Guillemin and S. Steinberg, Symplectic technique in physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984.

56. V. Guillemin, E. Lerman, and S. Sternberg, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1996.

57. V.M. Itskov, M. Karasev, and Yu.M. Vorobjev, Infinitesimal Poisson geometry, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 327-360.

58. J.D. Jackson, Classical electrodynamics, Wiley, New York, 1975.

59. E.G. Kalnins, G.C. Williams, W. Miller, Jr., and G.S. Pogosyan, Supermtegrability in three-dimensional Euclidean space, J. Math. Phys. 40, 690-708 (1999).

60. E.G. Kalnins, W. Miller, and G.S. Pogosyan, Superintegrability on the 2-Dimensional Hyperboloid, J. Math Phys. 38, p. 5416 (1997).

61. M. Karasev, Noncommutative algebras, nanostructures, and quantum dynamics generated by resonances. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 1-18.

62. M. Karasev and E. Novikova, Polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and magnetic fields. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 19-136.

63. M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Deformations and cohomology of Poisson manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 1453, Springer-Verlag, Berlin, 1990, pp. 271-289.

64. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of differential geometry, new ed., Wiley-Interscience, 1996, Vol. 1, 2.

65. P. Libermann and C.-M. Marie, Symplectic geometry and analytical mechanics, Reidel, Dordrecht, 1987.

66. J.-P. Ortega and T.S. Ratiu, Singular reduction of Poisson manifold, Lett. Math Phys. 46 (4), 359-372 (1998).

67. J'.A. Schouten, Uber Dijferentialkonkomitanten zweier kontravarianter Grossen, Indag. Math. 2, 449-452 (1940).

68. P. Stefan, Accessible sets,orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc. (3) 29, 699-713 (1974).

69. S. Sternberg, Minimal coupling and the symplectic mechanics of a classical particle in the presence of a Young-Mills field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74, 5253-5254 (1977).

70. H.J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans Amer Math. Soc. 180, 171-188 (1973).

71. C.L. Terng, Natural vector bundles and natural differential operators, American J. of Math. 100, 775-828 (1978).

72. I. Vaisman, Cohomology and and differential forms, M. Dekker, New York, 1973.

73. I. Vaisman, Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (4), 951-963 (1990).

74. I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, in Progress in Math. Birkhâuser, Boston, 1994, Vol. 118, 205 p.

75. I. Vaisman, Hamiltonian structures on foliations, J. Math. Phys. 43, 4966-4977 (2002).

76. I. Vaisman, Coupling Poisson and Jacobi structures on foliated manifolds, Intern. J. of Geometric Methods in Modern Physics 1 (5), 607-637 (2004).

77. I. Vaisman, Poisson structures on foliated manifolds, Travaux Mathématiques 16, 139—1612005).

78. I. Vaisman, Foliation-coupling Dirac structures, J. of Geometry and Physics 56 (6), 917-9382006).

79. V.S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York, 1974; 2-nd ed., Springer-Verlag, New York, 1984.

80. Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie algebroids and related topics in diffei ential geometry, Banach Center PubL, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, Vol. 54, pp. 249-274.

81. Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J.of Nonlinear Math. Phys. 11, 43-48 (2004).

82. Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 137-239.

83. Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transi. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 241-277.

84. Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson stmctures, American Inst, of Phys. 1079, 235-240 (2008).

85. A. Wade, Poisson fiber bundles and coupling Dirac structures, Annals of Global Analysis and Geometry 33 (3), 207-217 (2008).

86. A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18, 523-557 (1983).

87. A. Weinstein, Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds, Advances in Matli. 6, 329-346 (1971).

88. A. Weinstein, A universal phase space for particles in Yang-Mills fields, Lett. Math. Phys. 2, 417-420 (1978).

89. A. Weinstein, Neighborhood classification of isotropic embeddings, J. Differential Geoin. 16, 125-128 (1981).

90. A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 16, 101-104 (1987).

91. A. Weinstein, Linearization Problem for Lie algebroids and Lie groupoids, Lett. Math. Phys. 52, 93-102 (2000).

92. S.K. Wong, Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particles with isotopic spin, Nuovo Cimento 65 A (4), 689-694 (1970).

93. N.M.J. Woodhouse, Integrability,self-duality, and twistor theory, Clarendon Press, Oxford, 1996.

94. P. Xu, Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (4), 967-988 (1992).

95. V.A. Yakubovich and V.M. Starzhinskii, Linear differential equations with periodic coefficients, Wiley, New York-Toronto, 1975.

96. N.T. Zung, A geometric proof of Conn's linearization theorem for analytic Poisson structures, Preprint math. (2002) SG/0207263.

97. N.T. Zung, Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Topology 42 (6), 1403-1420 (2003).