Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.938.5

005003249

ИЗОСИМОВ Антон Михайлович

ФОКУСНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степе!: кандидата физико-математических нау:.

- 1 ДЕК 2011

Москва 2011

005003249

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Болсинов Алексей Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент Ошемков Андрей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Панов Тарас Евгеньевич

кандидат физико-математических наук, Москвин Андрей Юрьевич

Ведущая организация: Нижегородский государственный

университет имени Н. И. Лобачевского

Защита диссертации состоится 16 декабря 2011 г. в 16:45 на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Представленная работа является исследованием в области топологии интегрируемых систем.

Классическая теорема Лиувилля утверждает, что гамильтонова система с п степенями свободы, допускающая п независимых интегралов в инволюции (такие системы называются вполне интегрируемыми по Лиувил-лю, или просто интегрируемыми), интегрируется в квадратурах (см. книги В.И.Арнольда1 и А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко2). Другими словами, такую систему можно "явно" решить. Однако, явные выражения для решений, как правило, достаточно сложны и не позволяют увидеть качественной картины динамики. Вследствие этого, достаточно важны качественные, топологические методы исследования интегрируемых гамильтоновых систем.

Основная идея качественного анализа интегрируемой системы состоит в том, чтобы вместо уравнений движения рассматривать слоение фазового пространства на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов — слоение Лиувилля. Слои слоения Лиувилля являются интегральными поверхностями, поэтому топология этого слоения во многом определяет поведение системы.

Согласно теореме Лиувилля, все компактные неособые слои лиувиллева слоения являются п-мерными торами, и динамика на этих торах условно-периодична. В окрестности неособого слоя слоение Лиувилля представлет собой тривиальное слоение на торы, поэтому глобальная структура системы определяется, главным образом, топологией лиувиллева слоения в окрестности особых слоев.

Теория качественного анализа интегрируемых гамильтоновых систем на основе исследования множества их особенностей была создана в ра-

1Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М.: Наука, 1989.

2Болсинов A.B., Фоменко А.Т. , Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. X, 2, Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

ботах А.Т.Фоменко 3'4,6, М.П.Харламова 6, а также Л. М.Лермана и Я. Л. Уманского 7.

Современное состояние теории особенностей интегрируемых систем достаточно полно отображает обзор 8.

Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна (теорема Элиассона9). А именно, особенность с точностью до послойного симплектоморфизма определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.

Согласно теореме Нгуена Тьен Зунга10, всякая невырожденная особенность, удовлетворяющая так называемому условию нерасщепляемости, полулокально топологически эквивалентна почти прямому произведению некоторого количества простейших особенностей — эллиптических, гиперболических и фокусных. Эта теорема позволяет дать полный список особенностей, однако не полностью решает задачу классификации, поскольку среди особенностей из этого списка есть эквивалентные. Кроме того, как показано в настоящей работе, теорема Зунга не верна в гладкой категории.

В случае чисто гиперболических особенностей ранга 0 задача класси-

3Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, Доклады АН СССР. 1986. 287, №5. 1071-1075.

4Фоменко А. Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Изв. АН СССР. Сер. матем.1986.50, № 6. 1276-1307.

'Фоменко А. Т. , Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем", УМН, 44:1(265) (1989), 145-173.

вХарламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Л.: Издательство Ленинградского университета, 1988.

TLerman L. М. and Umanski Ya. L., Structure of the Poisson action of R2 on a four-dimensional symplectic manifold. I, II. Selecta Math. Sov., 6 : 365-396, 1987; 7 : 39-48, 1988.

8Bolsmov A.V., Oshemkov A.A., Singularities of integrable hamiltonian systems, Topological Methods in the Theory of Integrable Systems, Cambridge Scientific Publ., 2006, pp. 1-67.

eL. H. Eliasson, Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integráis — elliptic case, Comm. Math. Helv., 65, (1990), 4-35.

10Nguyen Tien Zung, Symplectic topology of integrable hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities, Compositio Mathematica, 101(1996), 179-215.

фикации полностью решена А. А.Ошемковым11 (см. также более ранние работы 12,7,13, где эта задача решается в важных частных случаях). В настоящей работе эта задача решается, напротив, для чисто фокусных особенностей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Дана гладкая классификация фокусных особенностей интегрируемых систем с двумя степенями свободы.

2. Получена топологическая классификация многомерных фокусных особенностей.

3. Вычислены операторы монодромии многомерных фокусных особенностей.

Методы исследования. В работе используются различные методы дифференциальной геометрии и топологии, в частности, методы теории топологической классификации интегрируемых систем2, теории Морса, алгебраической топологии, симплектической геометрии. При решении задачи топологической классификации используется теорема Зунга10 о разложении особенности в почги прямое произведение. При решении задачи гладкой классификации важную роль играет теорема Элиассона9 о локальной нормальной форме отображения момента.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в теории топологической классификации интегрируемых систем, геометрии, механике.

11Ошемкоэ А.А., Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб., 201:8 (2010), 63-102.

12Болсинов А.В., Матвеев С.В., Фоменко А.Т, Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // Успехи математических наук. 1990. Т. 45. № 2. С. 49-77.

13А. V. Bolsinov, "Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant" , In book: 'Topological classification of integrable Hamiltonian systems", Adv. Soviet Math., vol. 6, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, p. 147-183.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались:

• Неоднократно (2006-2011 гг.) на семинаре "Современные геометрические методы" Механико-математического факультета МГУ;

• На конференции "Александровские чтения", Москва, в 2007 г.;

• На семинаре "Mathematical physics", Loughborough (Великобритания), в 2008 г.;

• На конференции для аспирантов "MAGIC", Manchester (Великобритания), в 2009 г.;

• На международной конференции "Monodromy and geometric phases", Leiden (Нидерланды), в 2009 г.;

• На семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" (семинар имени М.М.Постникова) Механико-математического факультета МГУ в 2011 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двух статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1-2].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст дисертации изложен на 98 страницах. Список литературы содержит 34 наименования.

Содержание работы

В первой главе проводится гладкая классифкация особенностей типа фокус-фокус систем с двумя степенями свободы. Известно, что полным топологическим инвариантом в этом случае является число особых точек на слое (см. работы JI.M. Лермана и Я.Л.Уманского14, В.С.Матвеева 15, Нгуена Тьен Зунга16). Однако, как замечено в книге А. В. Болсинова,

14Л. М. Лерман, Я. Л. Уманский, Классификация четырехмерных гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек. I; II; III , Матем. сборник, 183, № 12, (1992), 141-176; 184, № 4, (1993), 103-138; 186, № 10, (1995), 89-102.

15Матвеев B.C., Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло, Матем. сб., 187:4 (1996), 29-58.

leNguyen Tien Zung, A note on focus-focus singularities, Differential geomerty and applications, 7: 123-130, 1997.

А.Т.Фоменко2, в гладкой категории это уже не так, если число особых точек на слое больше единицы.

В разделе 1.1 приводятся различные (в основном известные) предварительные результаты о фокусных особенностях. Доказательства основных теорем главы приводятся в разделе 1.2.

Теоремы о гладкой классификации фокусных особенностей приведены в разделах 1.2.3 (случай двух точек на слое) и 1.2.6 (случай произвольного числа точек на слое). Условия гладкой эквивалентности двух особенностей достаточно сложны, однако если нас интересует лишь (^-эквивалентность, то инвариант можно задать явной формулой.

Пусть х — особая точка типа фокус-фокус. Собственные значения линеаризации гамильтонова векторного поля V = ш-1с1# в точке х имеют вид Л, А, —А, —А.

Теорема, (см. раздел 1.2.4) Пусть ^ — особенность типа фокус-фокус с двумя особыми точками хг,х2. Тогда существует естественный способ согласованно выбрать собственное значение Ах линеаризации поля V в точке и собственное значение Аг линеаризации поля V в точке жг так,

что IX X I

|А1+А2|

является полным С1-инвариантом особенности.

В разделе 1.2.5 показано, что /х(1?) может принимать произвольное значение ц 6 [0,1). Следовательно, гладкие инварианты фокусных особенностей нетривиальны.

Аналогичный результат для случая большего числа точек на слое приводится в разделе 1.2.6.

Перейдем теперь к главе 2. Основной результат главы — топологическая классификация многомерных нерасщепляемых фокусных особенностей ранга ноль. Этот результат излагается в разделе 2.2.

Оказывается, в окрестности особого слоя фокусной особенности ранга нуль системы с 2п степенями свободы существует единственное гамильто-ново свободное почти всюду действие тора Тп. Фактор особого слоя особенности по этому действию будем называть редуцированным особым слоем фокусной особенности.

Образы особых точек различного ранга определяют на редуцированном особом слое структуру клеточного комплекса. Как устроен этот комплекс?

Разбиение п-мерного тора на кубы будем называть правильным кубическим разбиением, если его можно получить факторизацией стандартного кубического разбиения К™ по некоторой подгруппе й в группе Ъп трансляций этого разбиения.

Теорема, (см. раздел 2.2.2)

1. Редуцированный особый слой нерасщепляемой фокусной особенности ранга нуль системы с 2п степенями свободы является правильным кубическим разбиением п-мерного тора.

2. Отображение, сопоставляющее фокусной особенности ее редуцированный особый слой, является взаимно-однозначным соответствием между классами топологически эквивалентных нерасщепляемых фокусных особенностей ранга нуль и правильными кубическими разбиениями тора.

Таким образом, мы поставили в соответствие нерасщепляемой фокусной особенности некоторый комбинаторный объект, и задачу классификации можно считать полностью решенной.

В разделе 2.2.6. теорема о классификации фокусных особенностей ранга ноль используется для классификации особенностей без гиперболических компонент произвольного ранга.

Раздел 2.1 носит технический характер, в то время как в разделе 2.3 обсуждаются особенности, не удовлетворяющие условию нерасщепляемости. Выявлены связи таких особенностей с торической топологией.

Перейдем к главе 3. Основной результат главы — вычисление монодро-мии в окрестности фокусных особенностей. Этот результат излагается в разделе 3.1.

Напомним, что такое монодромия. Если выкинуть из слоения Лиувил-ля все особые слои, получится локально тривиальное расслоение. Каждому замкнутому пути на базе локально тривиального расслоения соответствует некоторый гомотопический класс отображений слоя в себя. Поскольку слой в нашем случае является тором, гомотопический класс определяется автоморфизмом группы одномерных гомологий. Этот автоморфизм и называется монодромией.

Пусть у нас имеется нерасщепляемая фокусная особенность ^ ранга нуль системы с 2п степенями свободы. Для того, чтобы сформулировать

теорему о монодромии, нам понадобится дать определение матрицы разложения базисных циклов особенности. Особенность ^ задается некоторым правильным кубическим разбиенем тора. Это разбиение получается из стандартой решетки 2П факторизацией по некоторой подгруппе. Выберем в этой подгруппе базис. Составим матрицу Л(^) из векторов этого базиса, записанных по столбцам. Эту матрицу мы будем называть матрицей разложения базисных циклов особенности (для данного базиса).

Рассмотрим теперь образ отображения момента в окрестности фокусной особенности ^. Множество особых значений представляет собой объединение п дисков коразмерности 2, находящихся в общем положении. Множество регулярных значений диффеоморфно Т" х Б" и его фундаментальная группа изоморфна Ъп. Более того, в фундаментальной группе имеется естественный базис 71,...7п, заданный с точностью до перестановки и изменения ориентации циклов. Этот базис определяется тем, что каждый его элемент зацеплен ровно с одним диском множества особых значений.

Теорема. Существует способ согласованно выбрать порядок и ориентации циклов 71,... 7п и базис в группе одномерных гомологии тора Лиувил-ля так, что матрицы монодромии будут иметь вид

где А, —матрица, полученная из матрицы разложения базисных циклов обнулением всех строк, кроме i-ou.

Это утверждение является непосредственным обобщением формулы монодромии для фокусной особенности системы с двумя степенями свободы (см. работы JI.М.Лермана и Я.Л.Уманского14, В.С.Матвеева 15, Нгуена Тьен Зунга16, М. Зу17).

Раздел 3.2 посвящен вопросам устойчивости фокусных особенностей при малых интегрируемых возмущениях. Показано, что существуют сколь угодно сложные особенности, устойчивые при возмущениях.

Перейдем к главе 4, посвященной гладким инвариантам многомерных фокусных особенностей. Основной результат главы, изложенный в разделе

17М. Zou, Monodromy in two degrees of freedom integrable systems, J. Geom. Phys., 10(1992), 37-45.

4.2, — контрпример к гладкой версии теоремы Зунга о разложении в почти прямое произведение. В работе10 Нгуен Тьен Зунг предположил, что разложение в почти прямое произведение нерасщепляемой особенности имеет место и в гладкой категории. Как показано в разделе 4.2 это, вообще говоря, неверно.

Однако, как показано в разделе 4.3, разложение в почти прямое произведение всегда имеет место в С^категории. Это утверждение позволяет вычислять (^-инварианты многомерных фокусных особенностей, используя результаты главы 1.

Кроме того, как показано в разделе 4.1, существует большой класс многомерных фокусных особенностей, вообще не имеющих гладких инвариантов. Этот класс удивительным образом совпадает с классом особенностей, для которых в разделе 3.2 доказана устойчивость при интегрируемых возмущениях.

Автор выражает огромную благодарность своим научным руководителям — доктору физико-математических наук профессору Болсинову Алексею Викторовичу и кандидату физико-математических наук доценту Ошемкову Андрею Александровичу за постановку задач, постоянную поддержку и многочисленные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Изосимов, А. М., Классификация почти торических особенностей лагранжевых слоений, Математический сборник, 2011, Т. 202, № 7., С. 95-116.

[2] Изосимов, А. М., Гладкие инварианты особыенностей типа фокус-фокус, Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех., 2011, № 4.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ №

Введение

1 Гладкие инварианты в случае двух степеней свободы

1.1 Фокусные особенности интегрируемых систем с двумя степенями свободы

1.1.1 Нормальная форма.

1.1.2 Локальная топология слоения.

1.1.3 Единственность канонических интегралов и группа локальных автоморфизмов.

1.1.4 Топология особого слоя и полулокальная топологическая классификация

1.1.5 Точность симплектической формы в окрестности особого слоя

1.1.6 Совпадение функций /2 для всех особых точек на слое.

1.1.7 Согласование знаков канонических интегралов

1.2 Гладкая классификация в случае двух степеней свободы

1.2.1 Гладкие особенности типа фокус-фокус.

1.2.2 Случай одной особой точки на слое.

1.2.3 Случай двух особых точек на слое

1.2.4 Полный С1-инвариант фокусной особенности сложности два.

1.2.5 Теорема реализации.

1.2.6 Случай нескольких особых точек на слое.

2 Топологическая классификация в многомерном случае

2.1 Дальнейшие свойства фокусных особенностей с двумя степенями свободы

2.1.1 Описание группы автоморфизмов.

2.1.2 Всякая фокусная особенность Аи£-эквивариантно послойно гомеоморфна модельной.

2.1.3 Сингулярная переменная «угол» на фокусной особенности .'

2.2 Топологическая классификация нерасщепляемых многомерных фокусных особенностей.

2.2.1 Правильные кубические разбиения тора.

2.2.2 Классификация фокусных особенностей.

2.2.3 Модель почти прямого произведения.

2.2.4 Подсчет числа особенностей.

2.2.5 Особенности сложности два в случае четырех степеней свободы.

2.2.6 Классификация почти торических особенностей . 72 2.3 Расщепляемые особенности.

2.3.1 Действие тора.

2.3.2 Конструкция.

2.3.3 Особенности ненулевого ранга

3 Топологические свойства многомерных фокусных особенностей

3.1 Монодромия.

3.1.1 Матрица разложения базисных циклов.

3.1.2 Монодромия.

3.2 Устойчивость.

3.2.1 ¿-тип.

3.2.2 Неприводимые особенности.

3.2.3 Устойчивость неприводимых особенностей.

4 Гладкие инварианты многомерных особенностей

4.1 Гладкая эквивалентность неприводимых особенностей

4.2 Препятствие к разложению в гладкое почти прямое произведение

4.3 (^-классификация.

Напомним, что гладкое многообразие М2п называется симплектическим, если на нем задана замкнутая невырожденная 2-форма и> — симплек-тическая структура. Пусть Н — гладкая функция на симплектическом многообразии М2п. Векторное поле sgrad Н — \Н называется косым градиентом функции Н. Соответствующая динамическая система называется гамильтоновой, Н — ее гамильтонианом. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы.

Симплектическая форма определяет еще одну структуру на М — скобку Пуассона, бинарную операцию на пространстве гладких функций, задаваемую формулой

Утверждение 1.

1. Скобка Пуассона задает на С°°(М) структуру алгебры Ли.

2. Отображение sgrad : С°°(М) —>■ Уес^М) является гомоморфизмом алгебр Ли, что означает, что sgrad {/, д} = [sgrad /, 8§га(1 д].

Доказательство см., например, в [1, 4]. Далее, имеет место очевидная формула где d/dí — производная вдоль векторного поля нgrad II. Таким образом, / является интегралом sgrad II тогда и только тогда, когда скобка Пуассона /и Н равна нулю (в таком случае говорят, что / и Н коммутируют, или находятся в инволюции). В частности, гамильтониан Н всегда является интегралом sgradif — «закон сохранения энергии».

Более подробное обсуждение понятий симилектического многообразия, гамильтоновой системы и скобки Пуассона можно найти в книгах

1, 4].

Определение 1. Предположим, что гамильтонова система sgradЯ на симплектическом многообразии М2п обладает п интегралами Д,., /„, причем

1. {/¿, /¿} = 0, то есть интегралы находятся в инволюции.

2. /г,., /п функционально независимы почти всюду.

3. Векторные поля sgrad /г полны, что означает, что их траектории могут быть продолжены на неограниченное время.

В этом случае говорят, что система вполне интегрируема по Лиувиллю (или просто интегрируема). Кроме того,

1. Слоение М2п на связные компоненты множеств вида — с1) • ■ ■) /п = сп} называется слоением Лиувилля.

2. Отображение -Р: М2п —У М", заданное формулой F(x) = (Л (я),./п(х)) называется отображением момента.

3. Слой лиувиллева слоения называется неособым, если на нем нет ни одной особой точки отображения момента. Остальные слои называются особыми.

4. Действие Кп на М2п, порожденное фазовыми потоками sgrad/l, называется пуассоновым действием. Это действие определено корректно, поскольку ^гас1/г, sgrad/j] = sgrad {/¿, /?} = 0.

Теорема 1 (Арнольд-Лиувилль, см. [1, 4]). Предположим, что гамиль-тонова система sgrad Н интегрируема. Тогда

1. Каоюдый слой слоения Лиувилля есть интегральная поверхность системы.

2. Каоюдый неособый слой есть подмногообразие вида Тг хБп~Г. Ограничение симплектической формы на каждое такое подмногообразие равно нулю (в таком случае говорят, что подмногообразие является лагранжевым).

3. Все компактные неособые слои являются торами. Слоение Лиувилля в окрестности такого тора тривиально.

В дальнейшем мы будем предполагать, что все слои слоения Лиувилля компактны (если не оговорено противное).

Таким образом, фазовое пространство интегрируемой гамильтоновой системы расслоено на инвариантные поверхности, почти все из которых являются торами. Если мы хотим понять качественную картину динамики системы, нужно изучить топологию этого слоения. Поскольку в окрестности неособого слоя все слоения Лиувилля устроены одинаково тривиальное слоение на торы), топология определяется, главным образом, особенностями. Именно особенности и являются предметом настоящей работы.

На рисунке 1 изображено слоение Лиувилля системы с одной степенью свободы на торе. Гамильтонианом служит функция высоты. Видно, что именно особые слои, не являющиеся торами (то есть, в данном случае, окружностями), определяют глобальную структуру слоения.

Теория качественного исследования интегрируемых гамильтоновых систем на основе исследования множества их особенностей была создана в работах

A. Т. Фоменко [14, 15,16, 17], М. П. Харламова [18], а также Л. М.Лермана и Я. Л. У майского [23, 7]. Значительный вклад в развитие этой теории внесли (в алфавитном порядке) А. В.Болсинов (см. [2, 19, 3]),

B.С.Матвеев (см. [8]), С.В.Матвеев (см. [2]), Нгу-ен Тьен Зунг (см. [27, 26, 29]), А. А. Ошемков (см. [9, 10, 11]), Х.Цишанг (см. [17]).

Слоения Лиувилля можно изучать:

1. Локально, то есть в окрестности особой точки.

2. Полулокально, то есть в окрестности особого слоя.

3. На инвариантном подмногообразии, например, на поверхности постоянной энергии.

4. Глобально.

Если мы ставим себе задачу классификации слоений Лиувилля (в одном из указанных выше смыслов), то нужно также зафиксировать отношение эквивалентности. В зависимости от этого отношения классификация бывает:

1. Топологическая, или лиувиллева — классификация с точностью до послойного гомеоморфизма.

2. Гладкая — классификация с точностью до послойного диффеоморфизма.

3. Симплектическая — классификация с точностью до послойного симплектоморфизма.

Рис. 1: Слоение Лиувилля на торе

Настоящая работа, в основном, посвящена задаче полулокальной топологической и гладкой классификации, а также описанию топологии слоения в окрестности особого слоя.

Понятно, что описать всевозможные особенности слоений Лиувилля в разумных терминах нельзя, как нельзя описать всевозможные особенности гладких функций. Следовательно, нужно ограничиться некоторым классом наиболее простых особенностей. Сейчас мы этот класс определим.

Пусть х — особая точка отображения момента ранга г. Пусть Ь С ТхМ2п — касательное пространство к орбите пуассонова действия, проходящей через точку х. Поскольку Ь порождается векторами sgrad/г, ограничение симплектической формы ш на Ь равно нулю. Следовательно, можно рассмотреть ш на пространстве Ь^/Ь, где Ь1- — косоортого-нальное дополнение к Ь. Легко видеть, что эта форма невырождена.

Заметим теперь, что стабилизатор точки х при пуассоновом действии естественно симплектически действует на ТХМ. Поскольку это действие сохраняет Ь, определен гомоморфизм

Образом соответствующего гомоморфизма касательных алгебр является некоторая коммутативная подалгебра в зр^1- / Ь) ~ зр(2(п — г), К).

Определение 2. Будем называть особую точку х невырожденной, если описанная подалгебра в зр(2(п — г),М) является подалгеброй Картана.

Определим теперь, что такое тип невырожденной особой точки. Пусть х — невырожденная особая точка ранга к, а I) — соответствующая подалгебра Картана в зр(2(п — г), К). Рассмотрим регулярный элемент а £ Р). Поскольку а € зр, спектр этого оператора имеет вид:

1. ке пар вида ±г/г, где и — ненулевое вещественное число.

2. ки пар вида ±А, где А — ненулевое вещественное число.

3. kf четверок вида ±А±1/г, где А, и — ненулевые вещественные числа.

При этом ке + + 2к/ = п — г.

Как легко видеть, числа ке,кь, к/ не зависят от выбора регулярного элемента а Е

Определение 3 (см. [33]). Определенная описанным выше образом тройка (ке, называется типом особой точки.

1. Точки типа (1,0, 0) называются эллиптическими, или особыми точками типа центр.

2. Точки типа (0,1,0) называются гиперболическими, или особыми точками типа седло.

3. Точки типа (0,0,1) называются особыми точками типа фокус-фокус.

Точки других типов имеют составные названия. Например, точку типа (1,1,0) следует называть точкой типа седло-центр.

Оказывается, что знания типа и ранга достаточно, чтобы полность описать слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки. Определим следующие четыре слоения.

1. В окрестности нуля в М2 с симплектической структурой с1р А ¿д рассмотрим слоение, заданное функцией р2 + д2. Обозначим это слоение Ьец.

2. В окрестности нуля в Е2 с симплектической структурой (1р А <1д рассмотрим слоение, заданное функцией щ. Обозначим это слоение кур

3. В окрестности нуля в М4 с симплектической структурой с!р А рассмотрим слоение, заданное коммутирующими функциями + Р2?2>Р1<72 - 91Р2- Обозначим это слоение Ь/ос.

4. В окрестности нуля в М2 с симплектической структурой йр А рассмотрим слоение, заданное функцией р. Обозначим это слоение

Х-'Гед.

Теорема 2 (Вэй-Элиассон, [32, 22], в полном объеме доказана в [25]). Всякое слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки типа (ке, кь, ку) и ранга г локально симплектоморфно прямому произведению ке экземпляров слоения Ьец, к^ экземпляров слоения ЬНур, к/ экземпляров слоения Ь¡ос иг экземпляров слоения Ьгед.

Таким образом, всякая невырожденная особенность локально распадается в прямое произведение простейших особенностей — эллиптической, гиперболической и типа фокус-фокус, а так же слоения без особенности.

Как легко видеть, тип невырожденной особой точки является не только симплектическим, но и топологическим инвариантом слоения Лиувилля (топология в окрестности точек различных типов существенно различна). Следовательно, теорема Элиассона полностью решает задачу локальной топологической, гладкой и симплектической классификации слоений Лиувилля с невырожденными особенностями.

Рассмотрим теперь задачу полулокальной классификации. Поскольку в дальнейшем речь пойдёт только о такой классификации, вместо слов «слоение Лиувилля в окрестности особого слоя» мы обычно будем говорить просто «особенность». Более точно, под особенностью следует понимать росток слоения Лиувилля на особом слое.

Обсудим сначала классификацию простейших особенностей.

1. Эллиптические особенности.

В случае эллиптической особенности особый слой совпадает с особой точкой, следовательно, полулокальная классификация совпадает с локальной.

2. Гиперболические особенности.

• Топологическая классификация.

Теория полулокальной топологической классификации гиперболических особенностей — это теория так называемых атомов (см. [2, 12, 4]).

• Гладкая классификация.

Можно показать, что гладкая полулокальная классификация гиперболических особенностей совпадает с топологической.

• Симплектическая классификация. См. работу [21].

3. Особенности типа фокус-фокус.

• Топологическая классификация. См. работы [7, 8, 27].

• Гладкая классификация.

Задача гладкой полулокальной классификации фокусных особенностей решается в настоящей работе.

• Симплектическая классификация. См. работу [30].

Оказывается, что полулокальная топологическая классификация произвольных невырожденных особенностей в некотором смысле сводится к классификации перечисленных выше простейших особенностей. Более точно, это верно для так называемых нерасщепляемых особенностей, которые мы сейчас определим.

Определение 4. Невырожденная особенность слоения Лиувилля называется нерасщепляемой, если множество особых значений отображения момента, ограниченного на окрестность особого слоя, совпадает с множеством особых значений отображения момента, ограниченного на окрестность любой особой точки минимального ранга на этом слое.

Из условия нерасщепляемости в частности вытекает, что все особые точки минимального ранга на слое должны иметь один и тот же тип (см. [26]). Этот тип называется типом особенности.

Определим теперь «особенности типа почти прямого произведения». Для этого рассмотрим несколько экземпляров окрестностей особых слоев простейших особенностей — эллиптической, гиперболической и типа фокус-фокус. Добавим в этот список окрестность регулярного слоя слоения Лиувилля, то есть тор на диск. Перемножим их. На произведении естественным образом определена структура слоения Лиувилля. Полученная особенность У\ х • • • х 14 называется особенностью типа прямого произведения. Предположим теперь, что на ней свободно действует конечная группа причем

1. Действие покомпонентное.

2. На каждом прямом сомножителе действие симплектическое и тождественное на базе слоения Лиувилля.

3. На каждом эллиптическом сомножителе действие тривиально.

Факторпространство У\ х • • • х VI-/С? является симплектическим многообразием с заданной на нем структурой слоения Лиувилля.

Определение 5. Особенности вида У[ х • • • х 14/(3 называются особенностями типа почти прямого произведения.

Теорема 3 (Нгуен Тьен Зунг, [26])- Всякая невырожденная особенность, удовлетворяющая условию нерасщепляемости, послойно гомео-морфна особенности типа почти прямого произведения в окрестности особого слоя.

Заметим, что эта теорема хоть и даёт полный список возможных особенностей, задачу классификации решает не до конца, поскольку непонятно, какие особенности из списка эквивалентны друг другу, а какие нет. В случае чисто гиперболических особенностей ранга 0 задача классификации недавно решена в работе [13]. В настоящей работе эта задача решается, напротив, для особенностей без гиперболических компонент (так называемых почти торических особенностей).

Нгуен Тьен Зунг предположил также, что разложение в почти прямое произведение имеет место и в гладкой категории, однако, как мы покажем, это неверно: гладкая классификация в общем случае устроена существенно сложнее.

Что касается симплектической классификации многомерных особенностей, навряд ли она может быть произведена в разумных терминах в общем случае. В случае особенностей сложности один, эта задача решена A.B. Болсиновым и Сап Ву Нгок'ом (этот результат еще не опубликован).

Изложим теперь вкратце результаты работы.

В главе 1 производится гладкая классифкация особенностей ранга О типа (0,0,1), то есть особенностей типа фокус-фокус. Известно, что полным топологическим инвариантом в этом случае является число особых точек на слое (сложность). Однако, как замечено в [4], в гладкой категории это уже не так, если число особых точек на слое больше единицы.

Для того, чтобы сформулировать критерий гладкой эквивалентности фокусных особенностей, нам понадобится определить понятие связывающего диффеоморфизма особенности. Ограничимся для простоты случаем двух особых точек на слое.

Пусть наша система задается двумя коммутирующими функциями Н, /, а Х\,Х2 — две особые точки типа фокус-фокус на слое {Н = 0, / = 0}.

В силу теоремы Элиассона в окрестности найдутся функции fi, /2 со следующими свойствами:

1- /i; /2 задают то же слоение, что и Н, /.

2. В некоторой локальной системе координат существует представление

1 =pigi +i>2<?2, /2 =Р\Я2- QlP2

В окрестности х2 найдутся /1, /2 с теми же свойствами. Как легко видеть, /i,/2, также как и /ь /2, можно рассматривать как системы координат на базе слоения, и замена ф: (/1, /2) —> (fi, f2) невырождена.

Определение 6. Эту замену будем называть связывающим диффеоморфизмом особенности.

Определим теперь, что такое допустимый диффеоморфизм. Обозначим за F отображение (R4,0) —»• (М2,0), заданное двумя функциями fl =Р\Ч\+Р2Ч2, h =Pl92 - <?lP2

Определение 7. Диффеоморфизм в,: (М2,0) —> (М2,0) называется допустимым, если в некоторой окрестности нуля существует диффеоморфизм £>: (М4,0) —> (М4,0) такой, что следующая диаграмма коммутативна

R4,0) —(Е4,0)

Е2,0) —^ (Е2,0)

Теорема 4. Две фокусные особенности сложности два со связывающими диффеоморфизмами ф\,ф2 послойно гладко эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют такие допустимые диффеоморфизмы di, d2, что ф2 = d^d?.

Для того, чтобы эта теорема была осмысленной и ее можно было применять, нужно описать, как устроена группа допустимых диффеоморфизмов (а то могло бы, например, оказаться, что все диффеоморфизмы допустимы, и тогда любые две фокусные особенности с двумя точками на слое гладко эквивалентны.)

Для описания группы допустимых диффеоморфизмов введем в R2 комплексную координату z = /1 + f2i.

Теорема 5. Диффеоморфизм d окрестности нуля в К2 допустим тогда и только тогда, когда он представим в одной из следующих форм:

1. d(z) = гф{г).

2. d(z) — ~гф(г).

Проверить для двух особенностей, удовлетворяют ли их связывающие диффеоморфизмы условию 02 = d^fxd21 — это не совсем тривиальная задача. Гораздо проще выяснить, являются ли две особенности (^-эквивалентными: в этом случае инвариант можно написать явно.

Введем, как и ранее, комплексную координату z = /г + f2i к положим

KF) =

I дф/дг\' где ф —связывающий диффеоморфизм Г, записанный в координатах г, г.

Теорема 6. Две особенности типа фокус-фокус Рі,Р2 с двумя особыми точками на слое послойно С1 -эквивалентны тогда и только тогда, когда /¿(-Рі) = /¿(-^Ь)

Для вычисления д(^) по этой формуле нужно знать связывающий диффеоморфизм особенности. Найти связывающий диффеоморфизм в явном виде непросто (эта процедура равносильна поиску переменных действия. Хорошо известно, что найти явные выражения для переменных действия сложно.) Укажем, как можно вычислить уи(-Р), зная лишь линеаризации sgrad Н в особых точках.

Пусть х — особая точка типа фокус-фокус. Собственные значения линеаризации sgrad Н в точке х имеют вид Л, Л, —Л, —Л.

Теорема 7. Пусть Р — особенность типа фокус-фокус с двумя особыми точками Х1,Х2- Тогда существует естественный способ выбрать собственное значение Ах линеаризации sgrad Н в точке х\ и собственное значение Лг линеаризации sgrad Н в точке ж2 так, что

А1-А2|

Л1 + Л2|

В разделе 1.2.5 показано, что любой диффеоморфизм вида х = /{х,у), где/(0,0) = О

У — У может быть реализован в качестве связывающего диффеоморфизма какой-либо особенности типа фокус-фокус с двумя особыми точками на слое. Если теперь взять х = х + ау, то Ы ч/а2+ 4' и при разных а мы получаем особенности, неэквивалентные даже в классе С1. Следовательно, гладкие инварианты фокусных особенностей нетривиальны.

Аналогичные результаты для случая большего числа точек на слое приводятся в разделе 1.2.6.

Перейдем теперь к главе 2. В этой главе обсуждаются многомерные фокусные особенности, то есть особенности типа (0,0, &/), а также почти торические особенности (см. [31]), то есть особенности типа (ке, 0, к}). Оказывается, классификация последних легко сводится к фокусным ранга нуль.

Теорема 8. Любая нерасщепляемая почти торическая особенность ранга т типа (ке,0,к/) топологически эквивалентна прямому произведению особенности ранга 0 типа (0,0, /су) (то есть чисто фокусной особенности), ке экземпляров особенности ранга 0 типа (1,0,0) (то есть эллиптической особенности) и слоения без особенности Тг х Бг.

Поскольку эллиптическая особенность с точностью до послойного гомеоморфизма (и даже симплектоморфизма) единственна, классификация нерасщепляемых почти торических особенностей сводится к классификации нерасщепляемых чисто фокусных особенностей нулевого ранга. Особенности типа (0,0, п) ранга 0 для краткости будем называть фокусными особенностями степени п.

Утверждение 2. В окрестности особого слоя фокусной особенности Р степени п существует единственное гамилътоново свободное почти всюду действие тора Тп.

Определение 8. Фактор особого слоя особенности .Р по действию Т" будем называть редуцированным особым слоем фокусной особенности.

Образы особых точек различного ранга определяют на редуцированном особом слое структуру клеточного комплекса. Как устроен этот комплекс?

Рассмотрим стандартное разбиение евклидова пространства М" на единичные кубы. Пусть С — некоторая подгруппа максимального ранга п в группе трансляций Ъп этого разбиения.

Определение 9. Разбиение п-мерного тора на кубы будем называть правильным кубическим разбиением, если его можно получить факторизацией стандартного кубического разбиения Еп по некоторой подгруппе С в группе Ъп трансляций этого разбиения. Число кубов в разбиении будем называть его сложностью.

На рисунке 2 изображен пример правильного кубического разбиения двумерного тора. Соответствующая подгруппа С? порождается векторами (1,1), (2,0).

1. Редуцированный особый слой нерасщепляемой фокусной особенности степени п является правильным кубическим разбиением п-мерного тора. Сложность этого разбиения равна слоо1сности особенности.

2. Отображение, сопоставляющее фокусной особенности ее редуцированный особый слой, является взаимно-однозначным соответствием между классами топологически эквивалентных нерасщепляемых фокусных особенностей ранга 0 степени п и правильными кубическими разбиениями п-мерного тора. а

Рис. 2: Правильное кубическое разбиение тора (ребра с одинаковыми буквами нужно склеить в соответствии со стрелками).

Теорема 9.

Каждое правильное кубическое разбиения тора по определению задается подгруппой С? в IIх. Две подгруппы задают одно и то же разбиение, если одна переходит в другую при некотором целочисленном ортогональном преобразовании (то есть композиции отражений относительно плоскостей хг = 0, хг = х3).

Определение 10. Будем называть такие подгруппы ортогонально эквивалентными.

Теорема 10. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между классами топологически эквивалентных нерасщепляе-мых фокусных особенностей ранга 0 степени п и классами ортогонально эквивалентных подгрупп конечного индекса в Ъп. Сложность особенности равна индексу соответствующей подгруппы.

Таким образом, мы поставили в соответствие нерасщепляемой фокусной особенности некоторый комбинаторный объект, и задачу классификации можно считать полностью решенной.

В разделе 2.3 рассматриваются многомерные фокусные особенности, не удовлетворяющие условию нерасщепляемости. Мы не ставим себе задачу полной классификации таких особенностей (навряд ли она возможна в разумных терминах, если не делать никаких дополнительных препдположений), но показываем, что они имеют достаточно богатую комбинаторно-топологическую структуру. В частности, обнаружены связи таких особенностей с тори-ческой топологией.

Как мы видели, на особом слое нерасщепляемых фокусных особенностей действует тор, и фактор является правильным кубическим разбиением тора. Такое действие существует и для расщепляемых особенностей. Аналогом правильных кубических разбиений в этом случае служат так называемые простые разбиения.

Определение 11. Клеточное разбиение многообразия назовем простым, если двойственное ему разбиение является кубическим.

Теорема 11. Предположим, что

1. Все особые точки на данном особом слое слоения Лиувилля имеют тип (0,0, к) (для различных точек к различно). с (1

Рис. 3: Простое разбиение тора (ребра с одинаковыми буквами нужно склеить в соответствии со стрелками).

2. Особый слой содержит замкнутую орбиту пуассонова действия, состоящую из особых точек типа фокус-фокус ранга г степени п.

Тогда

1. Особый слой представляет собой объединение лагранжево погруженных компактных многообразий.

2. В окрестности особого слоя имеется гамильтоново действие тора Тг+П.

3. Фактор особого слоя по действию тора (редуцированный особый слой) есть простое разбиение п-мерного тора. Замыкание каждой клетки этого разбиения является образом одного лагранжева «куска» особого слоя.

В примерах редуцированный особый слой есть не просто клеточное разбиение, но разбиение на простые многогранники. По-видимому, это всегда так. Если к тому же г = 0, то многообразия особого слоя являются квазиторическими над этими простыми многогранниками (определение см. в [6]).

В качестве примера рассмотрим правильное разбиение тора, изображенное на рисунке 3. Оно является редуцированным особым слоем фокусной особенности ранга 0 степени 2. Особый слой этой особенности состоит из двух вложенных многообразий СР2 (соответствующих тре2 угольникам) и одного погруженного многообразия СР2#ЗСР (соответствующего шестиугольнику).

Как показано в разделе 2.3.2, существует достаточно широкий класс простых разбиений тора, которые могут быть реализованы как редуцированный особый слой некоторой особенности. В частности, как показано в разделе 2.3.3, любой простой многогранник может быть «куском» редуцированного особого слоя некоторой фокусной особенности. Соответствующим «куском» особого слоя является момент-угол многообразие над этим многогранником (определение см. в [5]).

Перейдем к главе 3. В' разделе 3.1.2 обсуждается монодромия в окрестности фокусных особенностей. Напомним, что такое монодромия.

Если выкинуть из.слоения Лиувилля все особые слои, получится локально тривиальное расслоение. Каждому замкнутому пути на базе локально тривиального расслоения соответствует некоторый гомотопический класс отображений слоя в себя. Поскольку слой в нашем случае является тором, гомотопический класс определяется автоморфизмом группы одномерных гомологий. Этот автоморфизм и называется монодроми-ей.

Пусть у нас есть нерасщепляемая фокусная особенность ^ степени п. Для того, чтобы сформулировать теорему о монодромии, нам понадобится дать определение матрицы разложения базисных циклов особенности. Зафиксируем некоторую подгруппу в 27', соответствующую особенности Р и выберем в ней базис. Составим матрицу А(Р) из векторов этого базиса, записанных по столбцам.

Определение* 12. Матрица А(Г) называется матрицей разложения базисных циклов особенности (для данного базиса).

Рассмотрим теперь образ отображения момента в окрестности фокусной особенности Г. Множество особых значений представляет собой объединение п дисков коразмерности 2, находящихся в общем положении. Множество регулярных значений диффеоморфно Тп х Бп и его фундаментальная группа изоморфна Ъп. Более того, в фундаментальной группе имеется естественный базис 71,. .7т заданный с точностью до перестановки и изменения ориентации циклов. Этот базис определяется тем, что каждый его элемент зацеплен ровно с одним диском множества особых значений.

Теорема 12. Существует способ согласованно выбрать порядок и ориентации циклов 71,. .7п и базис в группе одномерных гомологий тора Лиувилля так, что матрицы монодромии будут иметь вид где Аг —матрица, полученная из матрицы разложения базисных циклов обнулением всех строк, кроме ¿-ой.

Это утверждение является непосредственным обобщением формулы монодромии для фокусной особенности степени один (см. [7, 8,-34, 27]).

В разделе 3.2 исследуется устойчивость фокусных особенностей при малых интегрируемых возмущениях. Под малым интегрируемым возмущением системы мы будем понимать интегрируемую систему, интегралы которой близки к интегралам исходной вместе с достаточным числом производных. Особенность будем называть устойчивой, если ее малое интегрируемое возмущение послойно топологически эквивалентно этой особенности.

Хорошо известно, что если на гладком многообразии задана функция, то сколь угодно малым возмущением можно развести ее особые точки на разные множества уровня. Оказывается, для интегрируемых систем это уже не так: особенности сложности, отличной от единицы, вообще говоря, нельзя разрушить малым возмущением.

Определение 13. Нерасщепляемую фокусную особенность будем называть неприводимой, если соответствующая подгруппа С С Ъп не лежит ни в какой нетривиальной подгруппе вида к\Ъ © • • • © кпЪ.

Теорема 13. Неприводимые особенности не меняют своего топологического типа при малом интегрируемом возмущении системы.

Рассмотрим, например, подгруппу в Ж2, порожденную векторами (т, 0) и (1,1). Соответствующая особенность, очевидно, неприводима, а ее сложность равна т. Следовательно, существуют устойчивые особенности сколько угодно большой сложности. Эти особенности следует ожидать в системах общего положения.

Перейдем к главе 4, посвященной гладким инвариантам многомерных фокусных особенностей. Для таких особенностей можно сформулировать общий критерий гладкой эквивалентности, однако, навряд ли он может быть успешно применен на практике. Однако, как показано в разделе 4.1, всё существенно упрощается в случае неприводимых особенностей.

Теорема 14. Неприводимые особенности гладко эквивалентны тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны.

Поскольку топологическая классификация нам известна, задача гладкой классификации в неприводимом случае полностью решена.

В работе [26] Нгуен Тьен Зунг предположил, что разложение в почти прямое произведение нерасщепляемой особенности имеет место и в гладкой категории. Как показано в разделе 4.2 это, вообще говоря, неверно.

Теорема 15. Существует нерасщепляемая фокусная особенность сложности два, гладко не эквивалентная никакому почти прямому произведению.

Однако, как показано в разделе 4.3, разложение в почти прямое произведение всегда имеет место в Сх-категории.

Теорема 16. Всякая нерасщепляемая фокусная особенность С1-эквивалентна особенности типа почти прямого произведения.

Эта теорема позволяет вычислять ^-инварианты многомерных фокусных особенностей, используя результаты главы 1.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

2. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А.Т, Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности, Успехи математических наук, 45:2 (1990), с. 49-77.

3. Болсипов A.B., Фоменко А.Т., Траекторная эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I; II. Матем. сборник, 185:4 (1994), с. 27-80; 185:5 (1994), с. 27-78.

4. Болсинов A.B., Фоменко А.Т., Иитегруируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация. Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

5. Бухштабер В.М., Панов Т.Е., Действия тора и комбинаторика многогранников, Солитоны, геометрия, топология — на перекрестках, Сборник статей, К 60-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 225, Наука, М., 1999, с. 96-131.

6. Бухштабер В.М., Панов Т.Е., Торические действия в топологии и комбинаторике, Издательство МЦНМО, 2004.

7. Матвеев B.C., Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло, Матем. сб., 187:4 (1996), с. 29-58.

8. Ошемков A.A., Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы для некоторых интегрируемых случаев динамики твердого тела на so(4), Успехи матем. наук, 42:6 (1987), с. 199-200.

9. Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей для некоторых интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, 23 (1988), с. 122-131.

10. Ошемков А.А., Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, 25 (1993), с.23-109.

11. Ошемков А.А., Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей, Новые результаты в теории топологической классификации интегрируемых систем, Сборник статей, Тр. МИАН, 205, Наука, М., 1994, с. 131-140.

12. Ошемков А.А., Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб., 201:8 (2010), с. 63-102.

13. Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, Доклады АН СССР, 287:5 (1986), с. 1071-1075.

14. Фоменко А. Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Изв. АН СССР, Сер. матем.,50:6 (1986), с. 1276-1307.

15. Фоменко А. Т. , Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, УМН, 44:1(265) (1989), с. 145-173.

16. Фоменко А. Т., Цишанг X., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:3 (1990), с. 546-575.

17. Харламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, JL: Издательство Ленинградского университета, 1988, 200 с.

18. Bolsinov A.V., Methods of calculation of Fomenko-Zieschang topological invariant, Advances in Sov. Math., Vol.6 (1991), AMS, Providence, pp 147-183.

19. Zou M., Monodromy in two degrees of freedom integrable systems, J. Geom. Phys., 10 (1992), pp 37-45.