Симплектические и пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 - 8

од

опт 199&оссийская академия наук

Математический институт им. В.А.Стеклова

На правах рукописи

МОХОВ Олег Иванович

Симплектические и пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор

доктор физ.-мат. наук

доктор физ.-мат. наук, профессор

А.П.ВЕСЕЛОВ

А.К.ПОГРЕБКОВ

А.Б.ШАБАТ

Ведущая организация:

Институт математики СО РАН

Защита состоится 3 октября 1996 г. в 14.00 часов на заседании Специализированного совета Д.002.38.02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 117966, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИР АН (г. Москва, ул. Вавилова, 42).

Автореферат разослан 3 сентября 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.002.38.02 доктор физ.-мат. наук

Типография ордена «Знак Почета»

Заказ НЮ

Иэлательстаа МГУ. 119899. Москаа. Воробьевы горы Заказ ичо Тарах /СО

М.П.Мивеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Бесконечномерная симплектцческая и пуассонова геометрия на пространствах петель тесно связана с современной математической физикой и теорией интегрируемых систем уравнений в частных производных. Так, изучаемые в диссертации сим-плектические и пуассоновы структуры специального дифференциально-геометрического типа на пространствах петель многообразий порождают гамильтоновы представления ряда важных нелинейных систем математической физики и теории поля, например, таких как системы гидродинамического типа (возникающие не только в эйлеровой гидродинамике, но и, в частности, при применении процедуры усреднения Уизе-мак уравнениям теории солитонов1), уравнения ассоциативности топологической теории поля2-4 (играющие также одну из ключевых ролей в разрабатываемой в настоящее время теории инвариантов Громова-Виттена, теории квантовых когомологий и некоторых классических задачах алгебраической геометрии5-7 ), нелинейные сигма-модели, маг-

* Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гидродинамика слабо деформированных солитон-ных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонопа теория // УМН. 1989. Т,

44, вып. С. С. 29-98.

2

Witten Е. On the structure of topological phase of two-dimensional gravity // Nucl. Phys. 1990. V. В 340. P. 281-332; Witten E. Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space // Surveys in DifT. Geometry. 1991. V. 1. P. 243-310.

Dijkgraaf R., Verlinde H., Verlinde E. Topological strings in d < 1 // Nucl. Phys. 1991. V. В 352. P. 59-86.

4 Dubrovin B. A. Geometry of 2D topological field theories. Preprint SISSA-89/94/FM, S1SSA, Trieste, 1994, hep-th/9407018; Dubrovin B. A. Integrable systems in topological field theory // Nucl. Phys. 1992. V. В 379. P. 627 -689.

° Kontsevich M., Manin Yu. Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enu-merative geometry // Comm. Math. Phys. 1994. V. 164. P. 525-562.

^ Kontsevich M. Homological algebra of mirror symmetry // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. August 3-11, 1994, Zurich, Switzerland. V. 1. Birkhauser Verlag. Basel. 1995. P. 120-139.

Ruan Y., Tian Y. A mathematical theory of quantum cohomology // Journal of DifT. Geometry. 1995. V. 42, No. 2. P. 259-367.

нетики Гейзенберга. Это позволяет эффективно использовать при исследовании этих систем дифференциально-геометрические, гамильто-новы и бигамильтоновы методы, изучить интегрируемые классы таких систем и выяснить дифференциально-геометрическую и бигамильтоно-ву природу интегрируемых случаев.

Изучение пуассоновых структур специального дифференциально-геометрического типа было начато в работах Б.А.Дубровина и С.П.Новикова1,8""9, где был развит общий гамильтонов формализм систем гидродинамического типа в связи с изучением уравнений Уизема для со-литонных уравнений. Соответствующие пуассоновы структуры Дубровина-Новикова порождаются плоскими псевдоримановыми метриками. На основе этого гамяльтонова подхода С.П.Царевым10 была разработана дифференциально-геометрическая теория интегрирования диаго-нализуемых гамильтсновых (а также полугамильтоновых) систем гидродинамического типа, в частности, уравнений Уизема, получаемых при усреднении уравнения Коргевега-де Вриза.

В работах автора и Е.В.Ферапонтова (см. [12], а также [17, 24]) найдено нелокальное обобщение пуассоновых структур гидродинамического типа, порождаемое произвольными метриками постоянной ри-мановой кривизны и играющее важную роль в теории систем гидродинамического типа, в частности, в теории уравнений Уизема для уравнений теории солитонов.

В гамильтоновой теории многомерных систем гидродинамического типа возникают новые интересные дифференциально-геометрические задачи об описании препятствий к приведению локальной пуассоновой структуры к постоянному виду9 и классификации таких структур9,

^ Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема // ДАН СССР. 1983. Т. 270, N 4. С. 781т785.

Дубровин Б.А., Новиков С.П. О скобках Пуассона гидродинамического типа // ДАН СССР, 1984. Т. 279, N 2. С. 294-297.

Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа. Изв. АН СССР, сер. матем. 1990. Т. 54, вып. 5. С. 1048-1068.

решенные в работе автора [6] (получен полный набор тензорных соотношений на препятствия и полная классификация при малом числе компонент N).

Однородные симплектические структуры на пространствах петель гладких многообразий были введены и изучены в работах автора [13, 14, 24], их рассмотрение имеет естественные мотивировки, связанные с: нелинейными сигма-моделями, теорией струн и соответствующей геометрией пространств петель. В частности, уравнения движения двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением (с членом Весса-Зумино-Виттсна) обладают гамильтоновыми представлениями, порождаемыми однородными симплектическими структурами первого порядка на пространствах петель псевдоримановых многообразий, т.е. вида

7) = / < É. Vyr/>, (1)

J'Y

где < t¡ >= (jiji'rj1 — скалярное произведение на Tllx^M, определяемое псевдоримановой метрикой gij{u) на многообразии М, a V^, — ковариантное дифференцирование вдоль петли 7 на М. Задача описания всех связностей на М, порождающих симплектические структуры вида (1) на пространствах петель псевдоримановых многообразий решена автором в [13].

Особый интерес представляют согласованные симплектические и пуассоновы структуры, порождающие, как стало известно после работ F.Magri11, интегрируемые бигамильтоковы нелинейные системы. Изучение условия согласованности для симплектических и пуассоно-вых структур на пространствах петель многообразий приводит к новым интересным и нетривиальным дифференциально-геометрическим задачам, решение которых позволяет существенно продвинуться в исследовании свойств интегрируемости соответствующих нелинейных систем уравнений в частных производных.

Отметим также, что в бесконечномерной симплектической и пуас-соновой геометрии, вообще говоря, нет аналога общей теоремы Дарбу,

^ Magri F. A simple model of the integrable Hamiltonian equatíon // J. Math. Phys. 1978. V. 19, No. 5. P. 1156-1162.

A-MD

поэтому другой важной и актуальной задачей является изучение возможности приведения соответствующих бесконечномерных симплекти-ческих или пуассоновых структур к канонической постоянной форме, что позволяет, в частности, эффективно применять в дальнейшем методы теории возмущений при исследовании данной гамильтоновой системы уравнений в частных производных. Например, в работах В.Е.Захарова, А.С.Монина и Л.И.Питербарга12 была поставлена задача о приведении пуассоновой структуры двумерной вихревой, гидродинамики несжимаемой жидкости к канонической постоянной форме локально обратимым преобразованием физических переменных, решенная в12 в случае так называемых волн Россби. Развитие контактной теории одно-компонентных пуассоновых структур позволило автору найти целое семейство соответствующих точечных локально обратимых преобразований и для самой двумерной вихревой гидродинамики [7, 9, 18] и для волн Россби (получено их полное описание в классе дифференциальных подстановок).

В теории уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) возникает аналогичная задача о приведении высших пуассоновых структур уравнения, Кортевега-де Вриза к канонической постоянной форме. Решение этой задачи для.третьей пуассоновой структуры КдВ (нелокальной структуры пятого порядка), что эквивалентно приведению к канонической постоянной гамильтоновой форме уравнения Кричевера-Новикова, найдено в работе автора [15] (как хорошо известно, вторая пуассонова структура КдВ приводится к постоянному виду преобразованием Миуры).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение симплектической и пуассоновой геометрии на пространствах петель гладких многообразий, ее связей с га-мильтоновьши и бигамильтоновыми представлениями нелинейных си-

12

Захаров В.Е., Питербарг Л.И. Канонические переменные для волн Россби и дрейфовых волл в плазме // ДАН СССР. 1987. Т. 295, N 1. С. 86-90; Монин A.C., Питербарг Л.И. О кинетическом уравнении для волн Россби-Блиновой // ДАН СССР. 1987. Т. 295, N 4. С. 816 -820; Захаров В.Е., Мовин A.C., Питербарг Л.И. Гамильтоново описание бароклинвых волв Россби-Бли новой // ДАН СССР. 1Э87. Т. 295, N 5. С, 10G1-1064.

стем математической физики и теории поля, таких как системы гидродинамического типа, нелинейные сигма-модели, обобщенные магнетики Гейзенберга, уравнения ассоциативности двумерной топологической теории поля. Дальнейшее развитие дифференциально-геометрических и бигамильтоновых методов исследования и интегрирования нелинейных систем уравнений в частных производных.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Методы исследований относятся к дифференциальной геометрии, бесконечномерной симплек-тической и гамильтоновой геометрии и современной теории интегрируемых систем уравнений в частных производных, в частности, применяются бигамильтонов метод интегрирования нелинейных систем, методы вариационного исчисления, методы контактной геометрии.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты.

1) Построена дифференциально-геометрическая теория однородных симплектических структур на пространствах петель гладких многообразий, получено их полное днфференциально-геометрическое описание в случае малых порядков (т = 1,2). Построен дифференциально-геометрический гамильтонов формализм двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением, порождаемый однородными симплектическими структурами первого порядка. Введены и изучены комплексы однородных форм на пространствах петель гладких многообразий и их группы когомологий (ГЛАВА 1).

2) Изучена риманова геометрия невырожденных многомерных локальных пуассоновых структур гидродинамического типа, получен полный набор соотношений на тензоры, препятствующие приведению многомерной пуассоновой структуры гидродинамического типа к постоянному виду. Доказано, что для любого числа компонент N > 1 все они локальными заменами координат на многообразии приводятся к линейным по полям и'(х) пуассоновым структурам, т.е. определяются бесконечномерными алгебрами Ли специального вида., Эти результаты обобщают известную теорему Дубровина-Новикова9, утверждающую, что это верно при N_> 3. Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым9 была

получена также часть соотношений на препятствующие тензоры. В двухкомпонентном случае в диссертации получена полная классификация многомерных пуассоновых структур гидродинамического типа (Глава 2, § 2.1).

3) Построено нелокальное обобщение гамильтоновой теории Дуб-рошша-Ноликова8 для систем гидродинамического типа, порождаемое метриками постоянной римановой кривизны. При этом результаты Дубровина-Новикова8 соответствуют метрикам нулевой римановой кривизны (плоским метрикам) (ГЛАВА 2, § 2.2).

4) Изучены неоднородные нелокальные пуассоновы структуры гидродинамического типа, связанные с геометрией постоянной кривизны. Доказано, что они порождаются бивекторами Киллинга-Пуассона на пространствах постоянной римановой кривизны и определяют бига: мильтонову структуру обобщенных магнетиков Гейзенберга (при этом бигамильтонова структура классического магнетика Гейзенберга порождается единственным с точностью до постоянного множителя бивектором Киллинга-Пуассона, существующим на двумерной сфере S2) (ГЛАВА 2, §§ 2.3-2.4).

5) Доказано,' что уравнения ассоциативности двумерной топологической теории поля2-4 (известные также как система Виттена-Дийк-граафа-Г.Верлинде-Э.Верлинде) эквивалентны недиагонализуемым интегрируемым системам гидродинамического типа. Найдены пуассоновы структуры уравнений ассоциативности, порождаемые метриками нулевой кривизны (скобки Дубровина-Новикова). В случае трех при-марных полей N = 3 это позволяет применить к этим уравнениям ассоциативности результаты Е.В.Ферапонтова13, классифицировавшего все трехкомпонентные гамильтоновы недиагонализуемые интегрируемые системы гидродинамического типа и показавшего, что все они преобразованиями по решению и дифференциальными подстановками

13

Ferapontov E.V. Оп the matrix llopf equation and integrable Hamiltonian systems of hydrodynarnic type, which do not possess Itiernann invariants // Phys. Lett. 1993- V. A 179, P. 391-397; Ferapontov E.V. Dupin hypersurfaces and integrable Hamiltonian systerns of hydrodynarnic type, which do not possess Riemann invariante // DiíFercntial Geometry and itsAppi. 1995. V. 5. P. 121-152

первого порядка приводятся к хорошо известной интегрируемой системе трех волн, и построить явные преобразования1, связывающие эти уравнения ассоциативности и систему трех волн. Найдены преобразования Бсклунда, связывающие различные уравнения ассоциативности при N = 3 (ГЛАВА 3, §§ 3.1-3.2).

6) Доказана общая теорема о каноническом гамильтоновом представлении ограничения произвольной эволюционной системы на множество стационарных точек ее невырожденного интеграла, при этом явно строится первый интеграл получаемой конечномерной гамильтоновой динамической системы, находящийся в инволюции с гамильтонианом системы. Применение этой теоремы к уравнениям ассоциативности и другим системам гидродинамического типа позволяет получать явные конечномерные интегрируемые редукции этих систем (ГЛАВА 3, § 3.3).

7) Развита контактная геометрия однокомпонентных пуассоновых структур и решена задача о приведении к канонической постоянной форме третьей (нелокальной) пуассоновой структуры пятого порядка уравнения Кортевега-де Вриза, что позволяет построить, в частности, каноническое гамильтоново представление уравнения Крнчевера-Новикова. Решена задача о приведении двумерной вихревой гидродинамики несжимаемой жидкости к канонической постоянной гамильтоновой форме обратимым преобразованием физических переменных (ГЛА-

' В А 4).

Результаты диссертации являются новыми, они получены автором самостоятельно и обоснованы строгими математическими доказательствами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы (и уже используются) при изучении геометрии и топологии пространств петель гладких многообразий, в бесконечномерной и конечномерной симплектпческой и гамильтоновой геометрии, в теории интегрируемых систем, при исследовании систем гидродинамического типа, возникающих при применении процедуры усреднения Уизема к уравнениям теории солптонов, в теории динамических систем, в топологической теории поля, в гидродинамике.

3 -/{И''

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по геометрии, математической физике и динамическим системам, в частности, на семинарах под руководством С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, И.М.Кричевера, А.П.Веселова, В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, Д.В.Аносова, А.А.Болибруха, В.В.Веденяпина и др., в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, Институте теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН, Институте океанологии им. П.П.Ширшова РАН, Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Билькентском университете (Анкара, Турция), Научно-исследовательском центре фундаментальных наук (Гебзе, Турция), на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, на совместных заседаниях топологического семинара им. П.С.Александрова и Московского математического общества (май, 1986 г.), а также на различных международных, всесоюзных и всероссийских конференциях по геометрии, математической физике и динамическим системам: Международная конференция выпускников МГУ по специальности "Геометрия и топология", МГУ, Москва, 5-19 июня, 1984 г.; Всесоюзная конференция "Современный групповой анализ. Методы и приложения," г. Красноярск, 3-10 сентября, 1989 г.; Всесоюзная конференция "Герценовские чтения," ЛГПИ им. А.И.Герцена, г. Ленинград, апрель, 1990 г.; the 6th International Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'90), Dubna, USSR, 16-26 July, 1990; the International Conference "Differential Equations and Related Problems" in honour of 90th anniversary of I.G.Petrovsky (1901-1973). Moscow State University, Moscow, USSR, 29 May - 3 June, 1991; the International Workshop "Modern Group Analysis," Ufa, Bashkiria, USSR, 17 - 22 June, 1991; the International Conference "Free-boundary problems in continuum mechanics," Institute of Hydrodynamics SB AS USSR, Novosibirsk, USSR, 15-19 July, 1991; the 2nd International Conference on Algebra in memory of A.I.Shirshov (1921-1981), Altai State University, Barnaul, USSR, 2025 August, 1991; V Сибирская школа по алгебре, геометрии и анализу, Бухта Песчаная, Озеро Байкал, 28 августа - 1 сентября, 1991 г.; the 3rd

International Workshop "Theory of Nonlinear Waves", Kaliningrad State University, Kaliningrad, USSR, 24-28 September, 1991; IX Всероссийский Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения," Нижний Новгород, 24-30 июня 1992 г.; the 8th International Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'92), Dubna, Russia, 6-17 July, 1992; the International Geometrical Colloquium, 10-14 May, Moscow, Russia, 1993; the International Conference on Algebra in memory of M.I.Kargapolov (1928-1976), Krasnoyarsk, Russia, 23-28 August, 1993; VII Сибирская школа по алгебре, геометрии и анализу, Бухта Песчаная, Озеро Байкал, август-сентябрь, 1993; the International Workshop "Nonlinear Schrödinger Equation: Achievements, Developments, Perspectives (NLS'94)," Landau Institute for Theoretical Physics RAS, Chernogolovka, Russia, 25 July - 3 August, 1994; the International Congress of Mathematicians (ICM'94), Zürich, Switzerland, 3-11 August, 1994; the 10th International Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'94), Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, USA, 11-18 September, 1994; Pacific Rim Geometry Conference, National University of Singapore, Singapore, 12-17 December, 1994; the International Conference "Nonlinearity and Integrability: from Mathematics to Physics," Montpellier, France, 21-24 February, 1995; the Korteweg-de Vries Centennial International Symposium "KdV'95," Amsterdam, the Netherlands, 23-26 April, 1995; the International Workshop "Nonlinear Physics. Theory and Experiment," Gallipoli, Italy, 29 June - 7 July, 1995; the International Conference "Singular Limits of Dispersive Waves - 2," Zvenigorod, Russia, September, 1995. По результатам диссертации прочитаны семестровые курсы лекций в Билькентском университете (Анкара, Турцйя), 1992-1993 гг.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[29], список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 249 страниц, библиография содержит 198 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор публикаций по теме диссертации, изложены основные результаты диссертации и ее структура.

В ГЛАВЕ 1 изучаются однородные симплектические структуры дифференциально-геометрического типа на пространствах петель гладких многообразий, а также соответствующие им комплексы однородных форм фиксированного порядка на пространствах петель и'их группы когомологий. Строится дифференциально-геометрический гамиль-тонов формализм двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением, порождаемый классом однородных симплектических структур первого порядка на пространствах петель псевдорймановых многообразий.

Пусть М — гладкое ЛГ-мерное многообразие с локальными координатами и1, . Пространством петель ПМ многообразия М будем называть пространство всех гладких параметризованных отображений окружности 51 в М, 7 : 51 —> М, у(х) = {иг(х)},х 6 Б1. Касательное пространство Т7ПМ пространства петель ПМ в точке у состоит из всех гладких векторных полей £ = 1 < г < Аг}, определенных вдоль петли 7, причем £ Чх б 51, где — касательное

пространство многообразия М в точке '/(.т).

Рассмотрим на пространстве петель ОМ произвольного псевдори-манова многообразия (М,д^) билинейную форму вида (1). Отметим, что все такие формы (1) инвариантны относительно группы диффеоморфизмов окружности Dijf'^(S1)1 сохраняющих ориентацию, т.е. не зависят от параметризации петли 7.

Теорема 1.1. Пусть (М, д^) — произвольное риманово или псевдо-риманово многообразие. Дифференциально-геометрическая связность Гд.(«) на М определяет на ГШ" (пред)спмплектнческую форму вида (1) тогда и только тогда, когда 1) связность Т1-к(и) согласована с метрикой д^(и), т.е.

(2)

2) кручение связности

Т{]к — Тд. — Г д. - Г'д

(3)

является замкнутой 3-формой на многообразии М.

Теорема 1.1 дает полное описание локальных невырожденных однородных симплектических операторов первого порядка, т.е. вида

М,-, = + ьчк{и)икх, ае^(и)) ф 0, (4)

где коэффициенты Ьцк{и) определяют по формуле

Ъцк(ч) = дг.{и)Т)М (5)

коэффициенты связности При локальных заменах координат

и' = и'(й) на многообразии М коэффициент гщ{и) ведет себя как метрика на М, а коэффициент Т^к(и) — как символы Кристоффеля дифференциально-геометрической связности на М.

Пуассоновы структуры, задаваемые однородными дифференциальными операторами первого порядка (4) (с .верхними индексами) были впервые введены, изучены и классифицированы Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым8 в связи с задачами гидродинамики и уравнениями усреднения Уизема в теории солитонов (скобки Дубровина-Новикова). В этом случае метрика в (4) должна быть плоской, а связность — соответствующей связностью Леви-Чивита, т.е. скобка Дубровина-Новикова всегда локальной заменой координат приводится к постоянной. В § 2.2 диссертации рассмотрены также некоторые нелокальные обобщения этих пуассоновых структур, связанные с метриками постоянной римановой кривизны.

Отметим, что полного явного описания или классификации всех локальных симплектических и пуассоновых структур первого порядка не найдено. В настоящее время полностью изучен лишь случай скалярных операторов, т.е. случай N = 1.

Следствие. Для всякого псевдориманова многообразия определена симплектическая форма вида (1) на ИМ, порождаемая связностью Леви-Чивита (симметричной и согласованной с метрикой д^).

Тривиальным следствием теоремы 1.1 является то, что на всяком двумерном псевдоримановом многообразии (Л/, существует единственна я симплектпчсская структура вида (1) на ПМ (она порождается связностью Леви-Чивита).

Очевидно также, что симплектические (предсимплектические) формы (1) вырождены на fIM: нулевое пространство 2-формы (1) состоит из параллельных векторных полей вдоль петли 7. В частности, векторное поле скорости г' = {м^.} петли 7 — {и1 (ж)} принадлежит нулевому пространству 2-формы (1) тогда и только тогда, когда 7 является замкнутой геодезической на многообразии M.

Рассмотрим вопрос о связи наших симплектичсских структур (1) на QM с конечномерными симплектическими структурами, т.е. о редукциях 2-форм (1) на конечномерные многообразия.

Пример. Для /V-мерных римановых многообразий (M,g¡j), геодезические которых периодичны и имеют одинаковую длину, определено (2N—2)-мернос симплектическое многообразие геодезических СМ, сим-плектическая структура (форма Риба14) на котором задается формой кривизны 5"'-связности в главном расслоении над СМ единичных касательных векторов UM многообразия (M, <j;j) (S1-связность порождается канонической 1-формой а на Т*М). Касательное пространство ТуСМ многообразия геодезических СМ в точке 7 изоморфно пространству нормальных якобиевых полей вдоль геодезической 7 на многообразии М.

■ Ограничение симплектической формы (1), определяемой на ИМ связностью Леви-Чивита, на конечномерное подпространство нормальных якобиевых полей вдоль геодезической 7 совпадает с формой Риба — замкнутой невырожденной 2-формой на СМ, задающей его конечномерную симплектическую структуру [13].

Рассмотрим уравнения движения общих двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением, задаваемых действиями вида

5 = J(^(gij^ + Jijiu^ulul + Uiufjdxdt, дц = gj{, fa = -/i¿, (С)

Reeb G. Topologie quelques propriétés globales des trajectoires de la dynamique dues

\

к l'existence de l'invariant intégral de M. Élie Cartan // Comptes Rendus Acad. Sei. Paris. 1949. V. 229, N0. 20. P. 969-971; Reeb G. Variétés de Riemann dont toutes les géodés'iques sont fermées // Bull. Cl. Sciences, Acad. Royale Belg., 5 Série. 1950. V. 36, No. 4. P. 324-329.

где — псевдориманова метрика на многообразии М, а 17(и) —

произвольная функция на М.

Соответствующая лагранжева система ВБ/би — 0 всегда имеет симплектическое представление

Miju\

SU

5и '

(7)

где

d 1

'( dgki \диз

dgg _ dgkj дик диг

+

dfki dfjj ^ dfkj dui дик ди1

(8)

— однородный симплектическии оператор первого порядка.

В настоящее время найдены15 примеры пуассоновых структур, согласованных с (8), для некоторых известных интегрируемых сигма-моделей, что позволило построить для них операторы рекурсии.

Рассмотрим общие однородные дифференциальные симплектиче-Лт]

ские операторы А\- вида

dx1

dxn

+ + ¿$l{u)ukxulx)£^ + ... + + ...,

(9)

где каждое слагаемое имеет степень однородности тп по отношению к естественной градуировке: ■

<^(/3) = deg^ + degff, dcgf(u(x)) =degы(з:) = О,

deguw=deg^=deg¿: = fc.

Отметим, что однородные пуассоновы структуры дифференциально-геометрического типа, задаваемые такими же матричными дифференциальными операторами вчда (9) (с верхними индексами), были

и

15

Meshkov A.G. Hamiltonian and recursion operators for two-dimensional scalar fields // Phys. Letters A. 1992. V. 170, No. 6. P. 405-408.

впервые рассмотрены Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым9. Симплек-тические операторы вида (9) и соответствующие симплектические формы на пространстве петель ПМ

= ^/(А^йх (10)

были введены и полностью.изучены для малых т автором в статьях [13, 14, 24]. Локальные замены координат и1 = и' (и) на многообразии сохраняют форму оператора (9), и его коэффициенты преобразуются при этом,как дифференциально-геометрические объекты на многообразии. Старший коэффициент должен.быть симметричной метрикой

при нечетном т, т = 2&+1, и кососимметричной метрикой при четном т, т = 2к. Если с]е1;(а^"' (и)) ф 0, то соответствующие симплектические формы могут быть выражены в инвариантной форме через метрику и тензоры кривизны и кручения дифференциально-геометрических связностей оМ'-'ьН 0М»сМ аН'^М :

¿в1

При т — 0 условия симплектичности оператора (9) имеют вид

Я М

где сумма берется по всем циклическим перестановкам элементов г, ], к. Это означает, что

П0 («)(/«г' А Ли*

— замкнутая 2-форма на многообразии М. Если ф 0, то — симплектическая структура на М, а

ЦС, V) = ^

— ультралокальная симплектическая структура на пространстве петель ИМ. Случай т = 1 соответствует симплектяческим операторам

\

(4) и симплектическим формам (1). Пусть т = 2, т^е. рассмотрим симплектические операторы вида

41=«в1^++^ин^«1.+«ам«*..

<1е1(^](«)) ф 0.

(И)

В этом случае = я^'(м) — невырожденное кососимметриче-

ское тензорное поле типа (0,2) на М, т.е. многообразие М — почти симплектпческое, <7,у(м) — почти симплектическая структура на нем. Введем коэффициенты Г* д. (и) по формуле

«йм = 2<Ы«)П*(и). (12)

Коэффициенты Г'^к(и) определяют симплектическую связность на (М,д^), т.е. дифференциально-геометрическую связность, согласованную с почти симплектической структурой на многообразии:

Чьац = Г-9г.Т% - да&к = 0. (13)

Оказывается, что всякая симплектическая связность Г)к{и) на заданном почти симплектическом многообразии (М,д;_,•) порождает сим-плектический оператор вида (11), причем при фиксированной почти симплектической структуре д(и) симплектическая связность однозначно определяет соответствующий симплектический оператор (11).

Теорема 1.2. Если (М,д^) — почти симплектпческое многообразие, то имеется взаимно-однозначное соответствие между симплекти- . ческими связностями Гд(и) на и замкнутыми 2-формами (10),

т = 2, на пространстве петель Г2М. Это соответствие выражается следующей формулой:

1 -1

^-/М? (Н)

где < £,7/ >= знак означает суммирование по всем пе-

рестановкам элементов (??,£, г^), векторное поле и — векторное поле скорости петли 'у(х), т.е. г/' = игх; У^ — ковариантное дифференцирование вдоль петли 7; [Т(£,т])]г = Т^т]1, Т]к = Г^ - Т\-, — тензор кручения связности; — тензор кривизны связности. Формула (14) дает общий вид однородных симплектических структур второго порядка (10), ш = 2, на пространстве петель ПМ, а также описывает все сим-плектические операторы вида (11)-

На симплектических многообразиях существует специальный класс симметричных, симплектических связностей, удовлетворяющих условию = 0, — они существуют на (М, д^) тогда и только тогда, когда — симплектическое многообразие, т.е. {dg)ij^: = 0.

. Следствие. Если симплектическая связность Г^(и) симметрична, т.е. Т^к(и) = 0, то соответствующая однородная симплектическая форма 2-го порядка (14) на С1М имеет вид

= (15)

Формула (15) описывает естественный класс однородных симплектических форм второго порядка на пространствах петель симплектических многообразий.

Определение. Однородными к-формами порядка т на пространстве петель ПМ многообразия М мы будем называть кососимметриче-

ские формы вида

. = >

/51 (е^л•• - • (16)

где суммирование взято по всем 5 > 0 и по всем «1,.... п*., Рь ■■•-, Ра, таким, что щ Як 4" Р\ + ■ • ■ + Рб — а также по всем 1 < гг <

М, 1 < г < к; 1 < и < N. 1 < / < 5; ~ гладкие

функции на многообразии М.

Мы используем здесь стандартные обозначения для полных производных по х: /(п) = Отметим также, что всегда можно счи-

тать, что 0 < рх < ••• < р5, и, кроме того, щ = 0, т.к. в нашем случае = 0 для всех рассматриваемых нами функций С(х,и(х),их(х),...), заданных на петлях у.

Очевидно, что определение класса П^ однородных ¿-форм порядка т на О.М не зависит от локальных координат {и1}, т.к. локальные замены координат их = и1 (и1,...,и") на многообразии М не выводят однородные ¿-формы порядка ш из этого класса.

Дифференциал (I на ¿-формах определим следующей формулой:

fc+i .

D-1)^1 / ■ •• (С-/)(*,_,)(&i)K> • • • (eifc+l)(nt)

au;r)

(17)

Утверждение. Дифференциал ¿переводит однородную ¿-форму порядка т в однородную (к 4- 1)-форму порядка ш:

rl . Г}к _v Ок+1

причем d2 = 0.

Таким образом, для любого га определен комплекс , d) однородных форм порядка т на пространстве петель QM:

ОА^Л^Л^Л- (18)

Введем обозначение для замкнутых (dw = 0) и, соответ-

ственно, Bj^j {V.M) для точных (о) = da) однородных ¿-форм ш порядка га на V.M и определим группы когомологий нашего комплекса:

Н*т](ПМ, R) = Zfm](fiM)/5fm,(fiM). (19)

Очевидно, что когомологии комплекса однородных форм нулевого порядка совпадают с когомологиями де Рама многообразия М:

Н(0](ПА<1 R) = Н'(М, R).

При гп — 1 имеет место следующая теорема о связи групп когомо-логий комплекса однородных форм первого порядка с группами кого-мологий де Рама:

Теорема 1.3. При г = 0,1,2

Я/1](ПМ,Л) = Я*'+1(М,Л). (20)

Отметим, что однородные к-формы первого порядка инвариантны относительно действия группы Diff+(S1) диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию.

В ГЛАВЕ 2 изучается риманова геометрия' одномерных и многомерных пуассоновых структур гидродинамического типа, задаваемых однородными дифференциальными операторами первого порядка, найдены все тензорные препятствия -к приведению .многомерной пуассоно-вой структуры к постоянному виду, разработано нелокальное обобщение одномерных пуассоновых структур, порождаемое метриками постоянной римановой кривизны, а также изучены согласованные пуас-соновы структуры, порождаемые бивекторами Киллинга-Пуассона на пространствах постоянной римановой кривизны и отвечающие им интегрируемые системы.

Многомерные невырожденные пуассоновы структуры гидродинамического типа, введенные Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым9, имеют вид:

К», и^у)} = д»а(и{х))5а(х -у) + ик0(х)Ща(и(х))5(х - у), (21)

и- =

, г = 1,..., /V; а = 1, ...,п; ж = (х1,.. .,хп); сЫ(д11а) ф 0 для всех а. Из результатов Б.А.Дубровина и С.П.Новикова8'9 следует, что д11а(и) — плоские метрики на многообразии, Ьг£а = —д'заГ^, где Г^"(ы) — симметричная связность нулевой римановой кривизны, согласованная с метрикой дг}а(и).

Теорема 2.1. Плоские метрики порождают пуассонову

структуру (21) тогда и только тогда, когда тензоры Т^ — Г^ — Гу£ удовлетворяют следующим соотношениям:

^ ^Зкъ/З _ J^kjia0 Где у^'/сог/З _ _укя0'

2) о,

3) rpijsnflijirni} _ rpirsa0r^j™&

4) VfTijb,i =0,

VJ* — соответствующая ковариантная производная, j к) ' сумма по всем циклическим перестановкам элементов (i,j, к).

Тензоры Т']кп1< являются препятствием к приведению пуассоновой

структуры (21) к постоянному виду (приведение к постоянному виду

i

возможно тогда и только тогда, когда все препятствующие тензоры T'ikai3 равны 0). Соотношения 1) и 3) были найдены Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в9.

Плоская метрика gljl(u) всегда может быть приведена к постоянной локальной заменой переменных и1.

Теорема 2.2. Если дljl = const, то все остальные метрики линейны

по полям иг(х)\

giic, = (cji« + ± flijaj cjia = const; gija = c()nsL

При N > 3 теорема 2.2. доказана Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым9.. Описание особых случаев N = 1, 2 в9 ошибочно, так как исследование основано на неполном наборе соотношений на препятствующие тензоры.

Следствие! Всякая невырожденная многомерная пуассонова структура гидродинамического типа определяется бесконечномерной алгеброй Ли специального типа с 2-коциклом на ней:

[f, ч)к = - Ш)а), £ = (6, • - ■ Ш е c\Rn).

Соответствующие 2-коциклы на алгебре Ли имеют вид:

!

<£,??>= J gT{i3{x))al%{x)dnx.

При N = 1 и любом п все препятствующие тензоры равны 0.

Теорема 2.3. Если при N = п = 2 тензор Т^2 тождественно не равен 0, то локальной заменой переменных на многообразии пуассонова структура (21) приводится к каноническому виду, порождаемому плоскими метриками ,

gijl = ,

У I Q

1 0 \ iji ( 2v и + V \

0-1J ' 9 + г> . 2и J

В частности, если одна из метрик знакоопределсна, то пуассонова структура приводится к постоянной.

Пример. Пуассонова структура, порождаемая алгеброй Ли векторных полей в Л2:

{шг{х),т}[у)} = т1{х)8^{х - у) + и>3(х)5{(х - у) + ю){х)5{х - у),

приводится к каноническому виду локальной квадратичной заменой: ш1 = §(и2-и2), м2 = ±(и + и).

Этот пример связан с эйлеровой гидродинамикой идеальной несжимаемой жидкости (с дальнейшей редукцией к бездивергентным векторным полям):

Следствие'. Всякая двумерная двухкомпонентная невырожденная пуассонова структура гидродинамического типа либо приводится к постоянной, либо порождается алгеброй Ли векторных полей в К2.

Теорема 2.4. Многомерные двухкомпонентные невырожденные пуассоновы структуры гидродинамического типа приводятся к двумерным унимодулярной заменой пространственных переменных хг.

Рассмотрим одномерные системы гидродинамического типа, т.е., другими словами, одномерные эволюционные квазилинейные системы уравнений в частных производных первого порядка

и{=«;(«)4, (22)

где (и) — произвольная N х N матричная функция от и = (и1,..., ил/), и{ = и1(х,^, г=

Гамильтпоновы системы гидродинамического типа, введенные Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым8 , имеют вид

«; = {</,#}, (23)

где Н — функционал гидродинамического типа, т.е.,

Н = ! Ци)йх, (24)

а скобка Пуассона имеет вид

{««(*), «'(у)} =ди(и(Х))6:(Х -у) + ЬЦ(и(х))икх6(х - у) (25)

(скобка Дубровина-Новикова7 ). Вид скобки Пуассона (25) не меняется при локальных заменах координат на многообразии М, при этом коэффициенты скобки преобразуются как дифференциально-геометрические объекты на М.

Теорема8. Если (^[^'•'(м)] ф 0, то выражение (25) задает скобку Пуассона тогда и только тогда, когда

(1) д'3(и) —метрика нулевой кривизны (т.е. просто плоская метрика) ,

(2) Ь'ь(и) = -д'а(и)Г3к(и), где ГЗзк(и) — коэффициенты дифференциально-геометрической связности, порождаемой метрикой дгз{и), т.е., симметричной связности, согласованной с метрикой (связность Леви-Чивита).

Таким образом, всегда существуют локальные координаты у1 = и1 (и), в которых скобка Пуассона (25) постоянна:

где е' = ±'1, г = 1,..., N.

Отметим, что скобки Пуассона (25) определены на пространствах петель плоских многообразий и инвариантны относительно диффеоморфизмов окружности (Б1).

Рассматриваемые гамильтоновы системы гидродинамического типа имеют вид

и\ = (26)

где V — ковариантная производная, порождаемая метрикой нулевой кривизны. С.П.Царев10 доказал, что, если гамильтонова система гидродинамического типа (26) допускает инварианты Римана, т.е. матрица и] (и) = диагонализуема, то она интегрируема.

В § 2.2 рассматривается нелокальное обобщение гамильтоновой теории систем гидродинамического типа (22), разработанное автором п Е.В.Ферапонтовым [12, 17, 23] и связанное с нелокальными скобками Пуассона вида

{■иг{х),и:>(у)} = дг:>(и{х))6х(х-у) +Ъ^(и(х))икх5(х - у) + Ки^а/йх)-'ь?х8{х - у).

Можно показать, что для всякого гамильтониана Н гидродинамического типа (Н = / к(и)(1х) с помощью нелокальной скобки Пуассона вида (27) мы всегда будем получать систему гидродинамического типа (22). Более того, выражение (27) является наиболее общей формой ско- ■ бок Пуассона, обладающих свойством порождал ь системы гидродинамического типа (22) для всякого гамильтониана Н гидродинамического типа (24).

Теорема 2.5. Если с!е(;[д^(и)] ф 0, то выражение (27) задает скобку . Пуассона тогда и только тогда, когда

(1) д'3 (и) — метрика постоянной римановой кривизны К,

(2) Ьг^(и) — — дгбГ^к(и), где Г^(и) — коэффициенты дифференциально-геометрической связности, порождаемой метрикой д1] (и) (связность Леви-Чивита).

Соответствующие гамильтоновы системы гидродинамического типа имеют вид

где V —ковариантная производная, порождаемая метрикой постоянной римановой кривизны К.

Каноническая форма нелокальных скобок Пуассона относительно локальных замен переменных на многообразии М определяется каноническими метриками постоянной кривизны К-.

(9гП = [А(Ч)]2

/в! О ...

0 е2 ... 0

(28)

\0 0 ... елг/

г,- = ±1, А(и) = 1+ Ьг^е,-^)2.

Отметим, что однородные симплектические структуры первого порядка, рассматривавшиеся в ГЛАВЕ 1, вообще не допускают нелокальных обобщений аналогичного вида (27).

Если ск'^д1^«,)] = 0, то . описание нелокальных скобок Пуассона (27) очень сложное (соответствующие соотношения получены автором в [17]).

Многочисленные примеры нелокальных скобок Пуассона гидродинамического типа (27), возникающие в математической физике, в частности, в качестве гамильтоновых структур уравнений Уизема, получаемых усреднением уравнений Кортевега-де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнения sine-Gordon, и их применение см., например, в16. Дальнейшие обобщения нелокальных пуассоновых структур гидродинамического типа изучены в17.

Рассматриваемые нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа определены на *пространствах петель QM соответствующих многообразий М (для (27) это многообразия постоянной кривизны К) и инвариантны относительно действия группы диффеоморфизмов окружности Diff+iS1).

В §§ 2.3-2.4 изучаются неоднородные системы гидродинамического типа

«;' = «; («к + /•"(«) (29)

и неоднородные нелокальные пуассоновы структуры гидродинамического типа

{и<(х),иНу)} = д{>{и{х))5х(х - у) + Ъ)>(и(х))икх5(х - у) -\-Kui(d/dx)~1uixS(x - у) +ui](u(x))5(x - у).

Скобка (30) задает пуассонову структуру тогда и только тогда, когда она является суммой двух согласованных пуассоновых струк- ' тур: нелокальной скобки Пуассона вида (27) и классического бивектора Пуассона u'i (и) на многообразии — скобки Пуассона

{Мг'0г)Х»} = bjlj(и{х))5{х -у). (31)

^ Павлов М.В. Мультигамильтоновы структуры уравнений Уизема // ДАН СССР. 1994. Т. 338, N 2. С. 165-167; Алексеев B.JI. О нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с уравнениями Унзема If УМ 11. 1995. Т. 50, вып.

6. С. 165-166.

17

Ферапонтов Е.В. Дифференциальная геометрия нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа // Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, вып. 3. С. 37-49.

Теорема 2.6. Пуассоновы структуры (21) и (31) согласованы тогда и только тогда, когда шгз (и) является бивектором Киплинга для каждой из метрик д'за, т.е.

= О,

где V" — ковариантная производная, порожденная метрикой плоской метрикой дгза(и).

Теорема 2.7. Пуассоновы структуры (27) и (31) согласованы тогда и только тогда, когда и>'3 (и) является бивектором Киллинга на многообразии (М,дгз) постоянной римановой кривизны К, т.е.,

\jijk + = О, (32)

где V — ковариантная производная, порожденная метрикой дгз(и).

Пусть произвольная метрика д'3 постоянной кривизны К задана в канонических переменных (28).

Теорема 2.8. Для N — 2 тензор (и) является тензором Киллинга-Пуассона на пространстве постоянной римановой кривизны К

тогда и только тогда, когда в канонических координатах (и1 ,и2)

1У (33)

где с — произвольная постоянная.

Каждый бивектор Киллинга-Пуассона ш1' (и) на многообразии (М,д^) постоянной римановой кривизны К определяет пару согласованных пуас-соновых операторов

М[3 = 91,{и)Тх - + ЛЧС^ГЧ (34)

порождающих интегрируемую иерархию обобщенных Лг-компонентных магнетиков Гейзенберга

5г = [5, ¿ь^], 512 = 1,

где Я = (51,..., 5Л'+1), [, ]—коммутатор в соответствующей (.ЛГ +1)-мерной алгебре Ли.

Пример. Классический магнетик Гейзенберга отвечает случаю двумерной сферы (IV = 2). Для 512 + Б22 + = 1 в координатах стереографической поверхности

Я1 = и1/Р, 52 = и2/Р, 83 = {Р- 1 )/Р,

где Р = (к12 + и22 -(- 1)/2, а метрика имеет вид

Ы=р2-(0 1

Нелокальная пуассонова структура (34), порождаемая метрикой, имеет вид

0\ (и1и1х + и2и1 ихи1-и2и\ М1-1 \0 й)+Г\и2и\-и1ч1 и^+иЧ*

¿и-1-2

^ -ихс1 1 о и]. и1<1~

В соответствии с теоремой 3.7. единственный (с точностью до множителя) бивектор Киллинга-Пуассона на двумерной сфере в этих координатах имеет вид

м2 = к>)) = (Д

Следуя теперь обычной бигамильтоновой схеме и применяя оператор рекурсии Я = М1(Мо)~1 к системе трансляций по х, получаем

= Л

1

+ \ ..2.1-1 - ..1 „2,7-1. „„2

= —и

совпадающую с классическим магнетиком Гейзенберга

— х Зхх, Б — 1. Соответствующее бигамильтоново представление имеет вид

[и1\ _ { ЗС/Ии1 \ _ ( 5Н/5и1 V«2 ) - \6Н/5и2,

где

У (2Р — 1)Р 2] Р2

2.

В ГЛАВЕ 3 изучаются уравнения ассоциативности двумерной топологической теории поля, соответствующие им недиагонализируемые интегрируемые однородные системы гидродинамического типа, их пуас-соновы структуры, бигамильтоново представление, высшие законы сохранения и интегрируемая иерархия уравнений ассоциативности . Доказана общая теорема о каноническом гамильтоновом представлении произвольной эволюционной системы на множестве стационарных точек ее невырожденного интеграла и ее применения к уравнениям ассоциативности и системам гидродинамического типа.

Рассмотрим функцию п переменных Р^1,...,("), удовлетворяющую следующим двум условиям:

1. Матрица

д3Р

является постоянной и невырожденной.

2. Функции

для всех£ = (£1,...,£") являются структурными константами ассоциативной алгебры А(Ь) в п-мерном пространстве с базисом ,.... еп и умножением

ер о е7 = С0у^)еа.

Условия 1 и 2 накладывают на функцию Р сложную переопределённую систему нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка, известную в двумерной топологической теории поля под названием уравнений ассоциативности или системы Виттсна-Дийкграа-фа-Г.Верлинде-Э.Верлинде2-4 (необходимые физические мотивировки

и теория интегрируемости уравнений ассоциативности могут быть найдены в обзоре Б.А.Дубровнна4):

77 д1адгхд1» ^^ дИ'д^дХ" д^д^дг"'

Первые уравнения ассоциативности возникают при п = 3. Для п = 3 Б.А.Дубровиным были рассмотрены два существенно различных вида зависимости функции F от выделенной переменной

Уравнения ассоциативности сводятся при этом к следующим двум нелинейным уравнениям третьего порядка на функцию двух независимых переменных / = /(ж, £) (х = ¿2, < = ¿3):

= ~ Лхх/г(4 (35)

и

/хз-х'/ш — fтxtfxtt = 1 (36)

соответственно.

Теорема 3.1. Уравнения (35) и (36) эквивалентны интегрируемым недиагонализуемым однородным системам гидродинамического типа

(37)

О

0 0 1 , (38)

)

соответственно.

Первая пуассонова структура системы (37). порождаемая плоской метрикой, имеет вид:

1 ( 0 1 0

= 0 0 1

1 2Ь —а

Мх =

/-1

2

V ь

2

|с 2(Ь2 - ас),

I — +

¿х

I° 0

\о

1С 2 г

ь* \

(Ь2 - ас) х)

(39)

а соответствующий гамильтониан гидродинамического типа — Л' = f сЛх.

Вторая пуассонова структура системы (37), согласованная с первой, строится из лагранжиана, найденного для уравнения (35) С.А.Р.Са1-уао и Y.Nutku, и является однородной дифференциально-геометрической , пуассоновой структурой третьего порядка типа Дубровина-Новикова9 с плоской метрикой, причем эта пуассонова структура не приводится заменой локальных координат на многообразии к постоянному виду:

М2

0 0 1 -

0 1 -а

1 —а а?-Ь2Ь

+ о

о

-2 а

V 0 —ах 3(Ьг ■+- аа а гамильтониан имеет вид:

0 0 0 О 0 О

0 0

ихх +. о2 + аахх

д_ (1х'

Н\

= - ! (^-а^Ъ)2 + (Б-Щ

Теорема 3.2. Пуассоновы структуры М\ и Мг согласованы.

После этого по общей бигамильтоновой схеме строится оператор рекурсии, реккурентными соотношениями находятся высшие интегралы и высшие уравнения бигамильтоновой интегрируемой иерархии.

В общем случае произвольного п уравнения ассоциативности сводятся к пучку (п— 2) коммутирующих эволюционныходномерных однородных недиагонализируемых п(п — 1)/2-компонентных интегрируемых систем гидродинамического типа. Рассмотрен детально случай п = 4 для антидиагональной метрики г]ад.

Система (38) не обладает локальными пуассоновыми структурами гидродинамического типа, но имеет место следующая

Решения уравнений (35) и (36) связаны преобразованием Беклунда: уравнение

f ~ Jxxt

fttt —-Jxxt fxxxlxtt

переходит в уравнение

fxïxftït ~ frxtfîtï = 1

при замене

jxx = it fit = ~Ixxi fit = fit-

В § 3.2 рассмотрен также более общий вид уравнений ассоциативности, когда условие нормализации 1) не предполагается выполненным, т.е. r]aß — произвольная постоянная невырожденная симметричная матрица, с помощью которой опускаются и поднимаются индексы у структурных констант. Это означает, что у ассоциативных алгебр A(t) не предполагается наличия единиц. Такие уравнения ассоциативности возникают уже при п = 2, и они также рассматривались Виттеном2:

FtltltlFt2tlt2 = FtitH2Ftit2t2, (41)

■ = J)'

и

= + (42)

если

Теорема 3.3. Уравнения (41) и (42) эквивалентны интегрируемым недиагонализуемым однородным системам гидродинамического типа

( Ь ] = ( 0 0 1 ] ( ь\ (43)

\с/t \~bc/a2 с/а b/aj \с J х

если

0 1 О

0 . 0 1 I I Ъ] , (44)

с) t \-с/Ъ (1 - (?/Ь2 + ас/Ь2) (2c/b -a/b)/ \ с,

соответственно.

В § 3.3 рассматривается произвольная одномерная эволюционная система уравнений:

(u')t = F'(u,ux,..,,u{k)), . (45)

обладающая невырожденным первым интегралом

I = JL(u, их,..., U(m) )dx. При этом существует функция Q такая, что

. М Pk _ dQ = to'

Лемма. Множество стационарных точек интеграла I, т.е., пространство решений лагранжевой системы

является инвариантным для эволюционного потока (45).

Вводя стандартным образом фазовые переменные {q\,p\) для лагранжевой системы (42) и выражая функцию Q через эти фазовые переменные Q = Q{q,p), получаем

Теорема 3.4. Произвольный одномерный эволюционный поток (45), ограниченный на множество стационарных точек своего невырожденного интеграла является канонической гамильтоновой конечномерной динамической системой с гамильтонианом — Q:

(g[.)t = -{Q,si), (PD. =-Ф.Р!}. '

причем гамильтониан -Q находится в инволюции с гамильтонианом Н лагранжевой системы (42) относительно стандартной лагранжевой скобки Пуассона: {Q,H\ = 0.

Эта теорема применяется к невырожденным законам сохранения первого порядка уравнений ассоциативности, порождая интегрируемые конечномерные редукции.

Кроме того, получены обобщения этой теоремы на случай многомерных эволюционных систем, а также на случай эволюционных систем и их первых интегралов, явно зависящих от х.

В ГЛАВЕ 4 изучается контактная геометрия однокомпонентных пуассоновых структур, развитая в этой главе техника контактных и точечных преобразований пуассоновых структур позволяет решить задачи о приведении к канонической постоянной гамильтоновой форме уравнения Кричевсра-Новикова и уравнения двумерной вихревой гидродинамики несжимаемой жидкости.

Теорема 4.1. Касательное преобразование Ли-Беклунда сохраняет порядок однокомпонентной пуассоновой структуры тогда и только тогда, когда оно является контактным преобразованием.

Это утверждение позволяет эффективно исследовать задачи о приведении однокомпонентной пуассоновой структуры к канонической постоянной форме.

Рассмотрим действие

-/G

_ l]fk _1 д(ц) и, 2 ы? 3 и'1

dxdt,

где В(и) = а:¡и3 + а->и2 аги + а0 — произвольный полином третьей

I

степени, аг = const,, г = 0,1, 2,3.

Соответствующая лагранжева система SSi/ёи = 0 допускает сим-плектпческое представление с симплектическим оператором

„ I'd I Mi =- — — о—,

1 d 1 \ Ш ■ [(1 и2хх , 1 R(u)\ ,

щ;7ь~х)и1 = !й' H = J{ + (47)

1 R(u)'

~r

Формулы (47) определяют хорошо известное18 гамильтоново предста-

18

Соколоп В.Н. О гамильтоновости уравнения Кричевера-Новикова // ДАН СССР. I9M. Т. '.'77, No. l'. С. 48-50.

вление для уравнения Кричевера-Новикова (КН)17:

Щ = ихгх - г + (48

. I их их

Теорема 4.2. Уравнение КН приводится к канонической постоянной гамильтоновой форме

d 5Н • Г

dz 6w '

точечным преобразованием типа годографа

V,

1 Ш? 1 . О

dz

I и =

(можно считать, что v{z) — новое скалярное поле, которое обратно полю и(х), т.е. u(v(z)) — г и v(u(x)) = х) и дифференциальной подстановкой первого порядка w(z) = v2(z).

При доказательстве этого утверждения найдено явное преобразование, приводящее к каноническому постоянному виду ^ третью Гамильтон ову структуру уравнения КдВ, т. с, нелокальный гампльтонов оператор пятого порядка. Это преобразование является высшим аналогом преобразования Миуры v = их + Ли2, Л = const, приводящего,.как известно, вторую гампльтонову структуру уравнения КдВ (гампльтонов оператор Магри третьего порядка) к каноническому виду

Показано также, что уравнение КН получается редукцией р = w, qz = w из канонической гамильтоновой системы

= if/ip, = -5F/Sq,

где гамильтониан F[p, <7] в канонических переменных p(z), q(z) имеет вид:

/ / ■лм -/(*)(*f -If- одй) + -

17

Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения.

Конечнозонные решен и* ранга 2 // ДАН СССР. 1979. Т. 247, N. 1- С. 33-37.

В § 4.3 найден класс обратимых точечных преобразований физических переменных, приводящих уравнение вихревой двумерной гидродинамики несжимаемой жидкости к канонической постоянной гамиль-тоновой форме.

Вихревое плоское течение несжимаемой жидкости описывается уравнением

Г2, = фхПу ~фуПх,' ' (49)

где ф(х,у) — функция тока, П = — Аф — вихрь. Уравнение (49) может быть представлено в гамильтоновом виде ' -

'П( = {П,Я}, •• .

где Н = |/(у? + У%)йх<1у = — | § фАфйхйу — энергия-гамильтониан, ь<{, г = 1,2, — компоненты скорости жидкости, а гамильтонова структура задастся неканонической скобкой Пуассона

{П(.г, у), Щх',у')} = Пу5г(х - х\у - у') - Пх59(х - х', у -у'). (50)

Рассмотрим следующее локально обратимое точечное преобразование Ли всех физических переменных (х, у, у)):

{х = У =

Щх,у) = V).

Можно считать, что у(г,и)) — новое скалярное поле, определяемое соотношением х — П(ж, у)).

Теорема 4.3. В новых переменных (г, из, ш)) вихревое уравнение (49) приобретает каноническую постоянную гампльтонову форму

I

1 (1г 5У '

при этом пуассонова структура (50) переходит в постоянную скобку Гарднера-Захарова-Фаддеева \ь(г,и>), «(г',«/)} = 6г(г — — ги').

[2

[3 [4

[5

[6 [7

[8

ft [10 [И [12

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Мохов О.И. Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 3, отвечающие эллиптической кривой // УМН. 1982. Т. 37, вып. 4. С. 169-170.

Мохов О.И. Гамильтоновость эволюционного потока на множестве стационарных точек его интеграла // УМН. 1984. Т. 39, вып. 4. С. 173-174.

Мохов О.И. Локальные скобки Пуассона третьего порядка // УМН. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 257-258.

Мохов О.И. Гамильтоновы дифференциальные операторы и контактная геометрия // Функц. анализ и его прилож. 1987. Т. 21, вып. 3. С. 53-60.

Мохов О.И. О гамильтоновости произвольной эволюционной системы на множестве стационарных точек ее интеграла // Известия АН СССР, сер. математ. 1987. Т. 51, N 6. С. 53-60. Мохов О.И. О скобках Пуассона типа Дубровина-Новикова (ДН-скобки) // Функц. анализ и его прилож. 1988. Т. 22, N 4. С. 92-93. Mokhov O.I. Vorticity equation of two-dimensional hydrodynamics , of an incompressible fluid as canonical Hamiltonian system // Phys. Letters A. 1989. V. 139, No. 8. P. 363-368.

Мохов О.И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения // Известия АН СССР, сер. математ. 1989. Т. 53, N 6. С. 1291-1315.

Мохов О.И. Канонические переменные для вихревой двумерной гидродинамики несжимаемой жидкости // Теор. и матем. физика.

1989. Т. 78, N 1. С. 136-139.

Мохов О.И. Контактная геометрия и вариационное исчисление // В сб.: "Геометрия, топология и приложения". М., МИП, 1990. С. 111-115.

Мохов О.И. О гамильтоновой структуре эволюции по пространственной переменной х для уравнения Кортевега-де Фриза // УМН.

1990. Т. 45, вып. 1. С. 181-182.

Мохов О.И., Ферапонтов Е.В. О нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с метриками посто-

янной кривизны // УМЫ. 1990. Т. 45, вып. 3. С. 191-192.

[13] Мохов О.И. Симплектические формы на пространстве петель и риманова геометрия // Функц. анализ и его прилож. 1990. Т. 24, вып. 3. С. 86-87.

[14] Мохов О.И. Однородные симплектические структуры второго порядка на пространствах петель и симплектические связности // Функц. анализ и его прилож. 1991. Т. 25, вып. 2. С. 65-67.

[15] Мохов О.И. Каноническое гамильтоново представление уравнения Кричевера-Новикова // Матем. заметки. 1991. Т.- 50, вып. 3. С. 87-96.

[16] Dorfman I.Ya., Mokhov O.I. Local symplectic operators and structures related to them // J. Math. Phys. 1991. V. 32, No. 12. P. 3288-3296.

[17] Mokhov O.I. Hamiltonian systems of hydrodynamic type and constant curvatuie metrics // Phys. Letters A. 1992. V. 166, No. 3,4. P. 215216.

[18] Mokhov O.I. On. the canonical variables for two-dimensional vortex hydrodynamics of incompressible fluid // International Series of Nu-' merical Math. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag. Basel. P. 215-221.

[19] Мохов О.И. Теорема о гамильтоновости эволюционного потока на множестве стационарных точек его интеграла и теорема Нетер // В сб. "Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений". Инст. математики УрО РАН. Уфа. 1992. С. 74-75.

[20] Мохов О.И. Двумерные нелинейные ег-модели в теорий поля: сим-плектический подход // Тезисы 9-ой Всероссийской конференции "Современный групповой анализ. Методы и приложения". 24-30 июня 1992. Научно-исследов. радиофиз. инст. Нижний Новгород. 1992. С. 38. •

[21] Mokhov O.I. Two-dimensional nonlinear sigma models and symplectic geometry on loop spaces of (pseudo)-Riemannian manifolds // In: Nonlinear evolution equations and dynamical systems. Proceedings of the 8th International Workshop (NEEDS'92), 6-17 July, 1992, Dubna, Russia. Ed. Y.G. Makhan'kov. World Scientific. Singapore. 1993. P. 444-456; hep-th/9301048.

[22] Mokhov O.I., Nutku Y. Bianchi transformation between the real hy-

perbolic Monge-Ampere equation and the Born-Infeld equation // Letters in Math. Phys! 1994. V. 32, No. 2. P. 121-123. "

[23] Мохов О.И., Ферапонтов E.B. Гамильтоновы пары, порождаемые кососимметричными тензорами Киллинга на пространствах постоянной кривизны // Фунхц. анализ и его прилож. 1994. Т. 28, N 2. С. 60-63.

[24] Mokhov O.I. Symplectic and Poisson geometry on loop spaces of manifolds and nonlinear equations // In: Topics in topology and mathematical physics. Ed. S.P.Novikov. Amer. Math. Soc. Translations, series 2. V. 170. AMS, Providence, Rhode Island, USA. 1995. P. 121-151; hep-th/9503076. .

[25] Mokhov O.I. Differential equations of associativity in 2D topological field theories and geometry of nondiagonalizable systems of hydrody-namic type // Internat. Conference on Integrable Systems "Nonlin-earity and Integrability: from Mathematics to Physics".' Abstracts. February 21-24, 1995, Montpellier, France.

[26] Мохов О.И., Ферапонтов E.B. Уравнения ассоциативности двумерной топологической теории поля как интегрируемые гамильтоновы недиагонализуемые системы гидродинамического типа // Функц. анализ и его прилож. 1996. Т. 30, N 3. С. 62-72; hep-th/9505180.

[27] Ferapontov E.V., Mokhov O.I. On the Hamiltonian representation of the associativity equations // In: Algebraic aspects of integrable systems: In memory of Irene Dorfman. Eds. I.M.Gelfand and A.S.Fokas. Birkhauser. USA. 1996. P. 75-91.

[28] Ferapontov E.Y., Mokhov O.I. The equations of the associativity as hydrodynamic type systems: Hamiltonian representation and integrability // In: Proceedings of the First International Workshop "Nonlinear Physics. Theory and Experiment. Nature, Structure and Properties of Nonlinear Phenomena." Le Sirenuse, Gallipoli (Lecce), Italy. 29 June — 7 July, 1995. Eds. E.Alfinito, M.Boiti, L.Martina and F.Pempmelli. World Scientific. Singapore. 1996. P. 104-115.

[29] Мохов О.И. О комплексах, однородных форм на пространствах петель гладких многообразий и их группах когомологий // УМН. 1996. Т. 51, вып. 2. С. 141-142.