Геометрия и топология симплектических разрешений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В А СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512.76

КАЛЕДИН Дмитрий Борисович Геометрия и топология симплектических разрешений

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□□3171692

Москва — 2008

003171692

Работа выполнена в отделе алгебры Математического института РАН им. В.А. Стеклова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С Ю. Немировский доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Г. Прохоров

доктор физико-математических наук Б Л. Фейгин

Вёдущая организация:

Петербургское отделение Математического Института РАН им Стеклова

Защита диссертации состоится 5 июня 2008 г. в 1422 на заседании диссертационного совета Д.002.022 03 при Математическом институте РАН им. Стеклова по адресу Москва 119991, ул Губкина д 8 (9-й этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. В.А Стеклова.

Автореферат разослан 15 апреля 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИ РАН, доктор физико-математических наук

Н П Долбилин

Геометрия и топология симплектических разрешений

Д Б. Каледин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие У над С допускает разрешение особенностей, т е гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X —> У Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X

Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений1 В идеале, имея в руках особое многообразие У, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т е dimX Ху X = dim X), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией Если на У действует алгебраическая груша, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X

Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной Например, если У - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полумалое разрешение Спрингера Оно эквивариадтно по отношению ко всем возможным действиям групп на У Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов Совершенно аналогичная картина наблюдается для так I называемых колчанных многообразий X Накаджимы, и для схем Гильберта п то-I чек на С2 Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые I дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма | Известные доказательства этих фактов 2 проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия У

1которая описана, например, в книге N. Chriss and V Gmzburg, Representation theory and complex geometry Birkhauser Boston, Inc , Boston, MA, 1997

2см например работу С do Concini, G Lusztig, and С Proccsi, Homology oj the zero-set of a mlpotent vector field on a flag manifold, Journ AMS 1 (1988), 15-34

Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полумалость, когомологическую чистоту слоев, и т д и т п Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта

Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к "симплектической алгебраической геометрии", если о таковой уместно в настоящий момент говорить) Поэтому не предполагается и требуется никакого знакомства с геометрической теорией представлений Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представлают собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности 3 В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать

Цель работы Исследование симплектических особенностей и симплектических разрешений.

Методы исследования В работе используются методы алгебраической геометрии, как в характеристике 0, так и в положительной характеристике, а также методы симплектической и некоммутативной геометрии, теории Ходжа и теории деформаций

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми, причем главные из из них открывают новые области в изучении симплектических алгебраических многообразий, введено несколько новых методов и новых понятий (в частности, понятия р-алгебры Пуассона над полем характеристики р) Перечислим кратко представленные в диссертации результаты

'см в первую очередь общую программу А И Бондала и Д О Орлова, описанную в работах А Bondal and D Orlov, Semtorthogonal decomposition for algébrate vaneües, prepnnt alg-geom/9506012, A Bondal and D Orlov, Denved categones of cohtrtnt sheaves, Proc ICM 2002 ín Beijing, vol П, Higher Ed Press, Beijing, 2002, 47-56

• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий ("симплектических особенностей") В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы

• Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическос разрешение X симплектической особенности У полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа

• Построена теория симплектических деформаций для симплектических разрешений - а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли Выделен важный класс однопараметрических деформаций - твистор-ные деформации Твисторные деформации построены также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем

• Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симплектические деформации.

• Теория квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р > О Выделен важный класс квантований - Фробениус-постоянные квантования, которые построены и классифицированы В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия р-алгебры Ли

• Сведением в простую характеристику и применением Фробениус-постоянных квантований получены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектическом разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории

• Доказана гипотеза А И Б он дала и Д О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектической особенности имеют эквивалентные производные категории

• При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев сим-плсктического разрешения порождены классами алгебраических циклов

• В случае симплектического разрешения X симплектической факторособен-ности У/в, получена точная информация о кольце когомологий X (мульти-

пликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея)

Научная значимость работы Работа носит теоретический характер Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют приложения в алгебраической геометрии, симшгектической и некоммутативной геометрии; результаты также могут иметь приложения также в теории представлений

Апробация работы Результаты неоднократно докладывались на различных кон- I ференциях в России и за рубежом - например, на конференции по особенностям в Обервольфахе, Германия, в сентябре 2003 года, на конференции по соответствию Маккея в MSRI, Беркли, в марте 2006 года, на конференции по многомерной ком-пексной геометрии в Институте Ньютона в Кембридже, в марте 2002 года, на специальной конференции по работам автора в г Саппоро, Япония, в ноябре 2005 года, на семинаре ПОМИ РАН в С.-Петербурге в декабре 2005 года, на различных конференциях и семинарах в Италии, Японии, Корее, США, Франции, Великобритании, Германии, Израиле, Канаде и Швеции, а также в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г Сиэттл в июле-августе 2005 года Результаты также докладывались в Москве на семинарах И Р Шафаревича (МИАН), Э Б Винберга (МГУ) и на семинаре по комплексному анализу в МГУ ("семинар Витушкина")

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, и списка литературы. Объём диссертации - 104 страницы

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах получены и опубликованы в работах [5], [6], [12], [4], [1], [8], [7], [2], [3], [9]

Содержание работы ]

Зафиксируем основное поле К характеристики 0 Изучение симплектических разрешений удобно начать со следующего определения, которое принадлежит А. Бо-вилю, Symplecttc singularities, Invent Math 139 (2000), 541-549

Определение 1. Симплектической особенностью называется нормальное неприводимое алгебраическое многообразие Y над полем К, снабженное невырожденное симплектической формой U € H°(Yim, П2) на гладкой части Y"m С Y, которая про- I должается до (возможно, вырожденной) симплектической формы на каком-либо гладком проективном разрешении особенностей X —» У

Здесь и далее в настоящей работе слово симплектической следует понимать в смысле алгебраической геометрии; в частности, мы не занимаемся С°° симплекти-ческими формами, которые возникают в геометрии кэлеровой Под разрешением

особенностей мы понимаем гладкое алгебраическое многообразие X над полем К, снабженное проективным бирациональным отображением X -» У Бовиль в своем определении требовал только существования формы П, однако же нам будет удобнее всегда фиксировать форму как часть исходных данных

Легко показать (ам указанную работу Бовиля), что если Г! продолжается на какое-то разрешение X, то она продолжается и на любое другое разрешение X', таким образом, в определении 1 можно без потери общности заменить "какое-либо разрешение" на "любое разрешение"

В настоящей работе симплектические особенности изучаются в основном локально - в частности, мы обычно предполагаем, что У аффинно Поскольку мы также предполагаем У нормальным, имеем У = Spec Я°(А", Ох) - там самым, как только дано разрешение X, многообразие У можно однозначно восстановить, и нет нужды отдельно его указывать

Непосредственно из определения симплектической особенности легко выводится следующий факт, см статью Бовиля

Лемма 2. Любая симплектическая особенность У - каноническая и рациональная □

Следствие 3. У любого слоя F гладкого разрешения тг X У симплектической особенности У первая группа когомологий Hl(Fan, Z) тривиальна

Proof По теореме о собственной замене базы достаточно доказать, что Rlir,= О, рассматривая экспоненциальную точную последовательность, немедленно выводим это из того, что, в силу рациональности У, имеем Д17г»Сх = 0 □

Приведем некоторые примеры симплектических особенностей

Пример 0.1. У = W/G, где W - двумерное векторное пространство, которое мы рассматриваем как аффинное алгебраическое многообразие, a G С SL(W) - произвольная конечная подгруппа Это классические случай так называемых "дювалевских особенностей". Как известно 4, У допускает единственное гладкое разрешение X с тривиальным каноническим расслоением Поскольку X имеет размерность 2, это эквивалентно существованию симплектической формы

Пример 0.2. У = A2n/S„, фактор аффинного пространства размерности 2п по действию группы перестановок п букв Эквивалентным образом, У можно описать как п-ю симметрическую степень аффинной плоскости А2 Разрешение X дается схемой Гильберта нульмерных подсхем в А2 длины п (для краткости, говорят "схема Гильберта п точек на А2")

4Н Laufer, Normal two-dimensional singularities, Ann of Math Studies, 71, Princeton Umverisity Press, Princeton, 1971

Пример 0.3. Комбинация двух предыдущих примеров в качестве берем У0 = W/G, dim W = 2, G С SL{W), в качестве X берем схему Гильберта п точек на каноническом симплектическом разрешении -Yo многообразия К0

Пример 0.4. Y — V/G - фактор симплектического векторного пространства V по действию конечной подгруппы G С Sp(V), X - любое разрешение особенностей

Пример 0.5. Y С g - нильпотентный конус в алгебре Ли g полупростой алгебраической группы G, X = T*(G/B) - кокасательное расслоение к многообразию полных флагов G/B, построенному по группе G (это известно как разрешение Спрингера)

Пример 0.6. Обобщение предыдущего примера' X = T*{G/P) - кокасательное расслоение к однородному пространству G/P, связанному с параболической подгруппой Р с G полупростой группы Ли G В этом случае Y = Spec Н°(Х, Ох) представляет собой замыкание некоторой нильпотентной орбиты G в присоединенном представлении g

Пример 0.7. Дальнейшее обощение в качестве Y берем нормализацию замыкаг ния какой-либо нильпотентной орбиты G в присоединенной представления g, X -любое разрешение особенностей

Пример 0.8. Y и X - колчанные многообразия, построенные X Накаджимой, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math J 76 (1994), 365-416, по комбинаторным данным некоторого вида

Отметим, что примеры 0 1-0 3 - частные случаи примера 0 4, в то время как примеры 0 5-0 6 - частные случаи примера 0 7. Мы выделили эти частные случае, поскольку в них верно более сильное предположение - существует такое разрешение X, на которое симплектическая форма О продолжается без вырождений В отличие от общего определения симплектической особенности, это свойство зависит от выбора разрешения Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, вводим следующее определение

Определение 4. Симплектическим разрешением называется гладкое алгебраическое многобразие X над К, снабженное невырожденной замкнутой 2-формой П, и такое, что каноническое отображение X -4 Y — Spec H°(X,öx) бирационально и проективно

Не все симплектические особенности допускают симплектические разрешения Среди факторособенностей (пример 0 4), единственные известные примеры сим-плектических разрешений перечислены в примере 0 3 Более того, M С Вербицкий в статье Holomorphic symplectic geometry and orbifold singularities, Asian Journal of Mathematics, 4 (2000), 553-564, доказал, что существование симплектического разрешения накладывает сильное необходимое условие на подгруппу G С Sp(V),

причем даже это сильное условие, вообще говоря, недостаточно (см [4]). В случае нильпотентной орбиты (пример 0 7), вопрос существования симплектического разрешения был полностью разобран Бао-хуа Фу в статье В Fu, Symplectic resolutions for nilpotent orbits, Invent Math 151 (2003), 167-186; все существующие сим-плектические разрешения покрываются примером 0 6 Наконец, для колчанных многообразий симплектическое разрешение существует всегда, но это, на самом деле, следует из некоторых дополнительных условий на исходные комбинаторные данные, которые наложены в статье Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J 76 (1994), 365-416 Если не накладывать эти условия, то для некотрых колчанных многообразий симплектического разрешения не будет (например, таковы многообразия, изученные в [11]) Кроме того, что более удивительно, существуют колчанные многообразия, для которых симплектическое разрешение есть, но оно не получается общей конструкцией из статьи Накаджимы и само по себе не является колчанным многообразием - такова особенность О'Грэйди, изученная в [10]

Очевидный источник примеров гладких симплектических многообразий - ко-касательные расслоения X = Т*М, где М - какое-либо гладкое алгебраическое многообразие Однако с точки зрения симплектических особенностей это не очень многообещающий случай Дело в том, что существует следующая гипотеза, которая приписывается иногда Ж -П Демайи, иногда Ф Кампане и Т Петернеллу -гипотеза очень трудная, но давно высказанная и считающаяся правдоподобной

Гипотеза 5. Пусть дано гладкое алгебраическое многообразие М, пусть X — Т*М, и предположим, что естественное отображение X —> Y = Н°(Х,Ох) -проективное бирациональное отображение Тогда М — G/P, фактор полупротой алгебраической группы G по параболическое подгруппе Р С G

Поэтому гипотетически, все симплектические разрешения вида Т*М покрываются примером 0 6 Отметим, что если в предположениях гипотезы 5 дополнительно предположить, что У имеет изолированную особенность, то можно доказать, что М - проективное пространство- в самом деле, это ни что иное, как знаменитая теорема Ш Мори о гладких многообразиях с обильным касательным расслоением

Другой естественный источник симплектических разрешений - голоморфная симплектическая геометрия "в целом" Если дано проективное голоморфно симплектическое многообразие X, то иногда удается построить то или иное бирациональное стягивание X —> Y, в таком случае прообраз X С X любого открытого аффинного подмножества Y С Y будет симплектическим разрешением в смысле определения 4 Однако на сегодняшний день все полученные таким образом симплектические особенности покрываются примером 0 6 (важные частные случаи здесь это стягивание Мукад, где X = и особенность О Грэйди, где X = T*L, a L- грассманиан лагранжевых подпространств в 4-мерном симплектическом векторном пространстве)

Для дальнейшего изучения геометрии симплектической особенности Y оказывается весьма полезно заметить, что Y наделено канонической структурой так называемой пуассоновой схемы Приведем соответствующие определения

Определение 6. Пуассоновой алгеброй над полем К называется коммутативная алгебра А над К, снабженная дополнительной кососимметрической билинейной операцией {—, —} А ® А А, причем

. {а, 6с} = {о, 6}с + {а, с}Ь,

О = {а, {Ь, с}} 4- {Ь, {с, о}} + {с, {а, Ь}},

для любых а, 6, с € А Идеал I с А называется пуассоновым идеалом если для любых г 6 I, а € А имеем {г, о} £ I

Мы всегда будем предполагать, что пуассонова алгебра А имеет единичный элемент 1 € А, причем {1, а} = 0 для любого а 6 Л

Определение 7. Пуассоновой схемой над К называется схема X над К, стуктур-ный пучок которой снабжен кососимметрической билинейной скобкой, удовлетворяющей (0 1)

Локализация пуассоновой алгебры очевидным образом наследует пуассонову структуру, в частности, спектр X = Spec Л пуассоновой алгебры А над К автоматически является пуассоновой схемой Редукция, неприводимые компоненты и пополнения пуассоновой схемы также очевидным образом пуассоновы То же верно и для нормализации.

Теорема 8. Пусть Ао - превосходная нетерова область целостности над полем К характеристики 0, и пусть А - ее целое замыкание в поле частных Тогда любая скобка Пуассона {—, —} на алгебре Ао продолжается до скобки Пуассона на А

Будем говорить, что пуассонова схема локальна, если она представляет собой спектр локальной пуассоновой алгебры А, причем максимальный идеал m С А -пуассонов идеал

Пусть дана пуассонова схема X Для любой локальной функции / на X скобка {/, —} есть по определению дифференцирование кольца функций, а стало быть, векторное поле на X, которое мы будем обозначать через Н/ Такие векторные поля будем называть гамильтоновыми Сама скобка Пуассона есть дифференцирование по каждому аргументу, а потому выражается как

(0 2) {f,g} = Q(df А dg),

где

е

есть Ох-линейное отображение. Оно называется пуассоновым бивекторам В силу тождества Якоби, имеем #/(©) = 0 для любого / (гамильтоновы векторные поля

сохраняют пуассонов бивектор) Если схема X гладкая - например, спектр поля - то кокасательный пучок плоские, и в задает на нем косо симметрическое билинейное спаривание.

Замкнутую подсхему V С X будем называть пуассоновой если она локально задается пуассоновым идеалом в Ох Эквивалентным образом, подсхема пуассонова если локально ее сохраняют все гамильтоновы векторные поля (другими словами, все гамильтоновы векторные поля касаются У) В этом случае У наследует структуру пуассоновой схемы.

Заметим, что понятие пуассоновой схемы - чисто алгебраическое, и никак не зависит от гладкости, именно поэтому оно удобно для изучения особенностей Ока/ зывается полезным ввести два специальных класса пуассоновых схем (это было ( сделано в [8]) - голономныв и локально точные пуассоновы схемы

Определение 9. Нетерова целая пуассонова схема X над К с общей точкой т] называется невырожденной в общей точке если спаривание на кокасательном модуле Г^^/К), заданное пуассоновым бивектором в, невырожденно Схема X называется голономной, если любая целая пуассонова замкнутая подсхема У С X невырождена в общей точке

Понятие голономной пуассоновой схемы осмысленно только для особых схем -для гладкой схемы X это понятие бессодержательно в силу следующего результата

Лемма 10. Пусть X - гладкая пуассонова схема конечного типа над К, и пусть она голономна. Тогда пуассонов бивектор 0 невырожден всюду на X, а единственная пуассонова подсхема в X - это сама X

Определение 11. Дифференцирование £ • А —> А пуассоновой алгебры А над К назыьается конформным веса А для некоторой константы Л е К, если

(0.3) £({«, Ь}) = А {а, Ь} + {£(0), Ь} + {а, £(Ь)}

для любых а, Ь 6 А Пуассонова алгебра А над К называется точной если она допускает конформное дифференцирование веса 1 Пуассонова схема X конечного типа над К называется локально точной если для любой замкнутой точки х € X пополненное локальное кольцо Ох* есть точная пуассонова алгебра над К.

Предложение 12. Пусть X - нетерова целая схема над К Предположим, что X превосходна как схема и голономна как пуассонова схема Тогда существует такая стратификация Хх С X пуассоновыми подсхемами, что открытые части Х° стратов гладкие и невырожденные как пуассоновы схемы Стратификация канонична, и в частности, она сохраняется всеми автоморфизмами схемы X и всеми векторными полями на ней Единственные целые пуассоновы замкнутые подсхемы в X - неприводимые компоненты замкнутых стратов X,.

Следствие 13. Если голономная пуассонова схема X конечного типа над К локально точна, то любая пуассонова подсхема У С X также локально точна

В "классической" пуассоновой геометрии С^-многообразий важным техническим средством является так называемое разложение Вайнштейна5 в маленькой окрестности каждой точки, пуассоново многообразие разлагается в произведение симплектического листа и трансверсали к нему Для наших голономных пуассо-новых схем, симплектическими листами служат страты X, из предложения 12 (в частности, их конечное число) Оказывается, что разложение Вайнштейна тоже имеет место - хотя к сожалению, только в формальной окрестности замкнутой точки

Предложение 14. Пусть А - полная нетерова пуассонова локальная алгебра над К с максимальным идеалом пх С А, и пусть дан такой простой пуассонов идеал 3 С А, что факторалгебра А^- регулярная полная локальная алгебра с невырожденной пуассоновой структурой Тогда существует полная локальная пуассонова алгебра В и пуассонов изоморфизм

между алгеброй А и пополненным тензорным произведением алгебр А/J и В Кроме того, пуассонова схема Spec А голономна тогда и только тогда, когда го-лономна пуассонова схема Spec В, и пуассонова алгебра А точна тогда и только тогда, когда точна пуассонова алгебра В

Чтобы применить вышеизложенный материал к изучению симплектических особенностей, заметим, что любая симплектическая особенность У имеет естественную структуру пуассоновой схемы А именно, для любых двух локальных функций f,g 6 Оу на У, мы определяем

на гладкой части Y'm С У, где пуассонов бивектор 9 е Я "(У*™, Л2Т) есть бивектор, двойственный к симплектической форме, и замечаем, что, поскольку У нормально, любая функция единственным образом продолжается с Ysm на все У Но, как мы отмечали, пуассонова структура, в отличие от симплектической формы, отлично определена и в особых точках Это позволяет доказать следующее утверждение

Теорема 15 ([8, Theorem 2.3]). Любая симплектическая особенность У допускает конечную стратификацию локально замкнутыми пуассоновыми подсхемами У С У, причем каждый страт У, на самом деле гладкий, а пуассонова структура на нем происходит из какой-то симплектической формы Замыкания стратов У„ в свою очередь, являются симплектическими особенностями Кроме того, для любой замкнутой точки у 6 У, формальное пополнение Yy допускает разложение

6 A Wemstem, The local structure of Potsson manifolds, J Diff Geom 18 (1983), 523-557

(0 4)

A = B®k(A/J)

{f,g} = Q^dfAdy

(0 5)

в пополненное произведение двух пуассоновых схем формального ростка страта Y„ содержащего у, и некоторой симплектической особенности YVt0

Ключевое место в доказательстве этой теоремы —это следующее утверждение

Предложение 16. Пусть Y - симплектическал особенность Тогда Y голономна и локально точна как формальная схема Кроме того, нормализация любой пуас-соновой подсхемы Z С Y - тоже симплектическал особенность

Сразу отметим, что локальная точность для симплектических особенностей имеет очевидный геометрический смысл

Лемма 17. Пусть Y = Spec Л - нормальная симпектическал особенность Тогда пуассонова алгебра А точна тогда и только тогда, когда точна симплектическал форма Q на гладкой части Ysm

U = da

для некоторой 1 -формы а € ^(У81")

Доказательство предложения 16 и его следствия, теоремы 15, проводится применением теории Ходжа к разрешению X симплектической особенности У

Пусть теперь X - симплектическое разрешение в смысле определения 4 Тогда аффинная схема У = Spec Н°(Х, Ох) представляет собой симплектическую особенность, и к ней применима теорема 15 Однако оказывается, что можно доказать и более сильные результаты о топологии X

Теорема 18 ([8, Corollary 2.8, Lemma 2.11, Theorem 2.12]). Предположим, что X - симплектическое разрешение аффинной схемы У = SpecН°(Х,Ох) Тогда отображение X —> У полумалое - иными словами, dim AT Ху X = dimX Более точно, для любого страта У С У канонической стратификации, имеющего коразмерность codim У, = 21, его прообраз Хх С X имеет коразмерность > I Кроме того,

Н*(Х,П«х) = 0

при р > q Наконец, для любого слоя Е € X отображения X —> У нечетные группы когомологий Н2р+1(Еап, С) соответствующего комплексно-аналитического пространства Еап тривиальны, a R-структур а Ходжа на четных гуппах когомологий Н2р{Еат,С) - чистая веса 2р и типа (р,р)

Предположим, что дано симплектическое разрешение X над полем К характеристики 0 Изучим теорию деформаций X

Поскольку X некомпактно, оно, как правило, не допускает разумной теории деформаций в классе алгебраических многообразии (в частности, пространство деформаций зачастую бесконечномерно) Оказывается, что надо рассматривать деформации пары {X, Q) - иными словами, деформации X вместе с симплектической формой П. Тогда деформации первого порядка описываются элементами

группы вторых когомологий де Рама H^R(X) многообразия X, и это - конечномерное векторное пространство. Кроме того, в высших порядках теории деформации не появляется препятствий, и верен полный аналог известной теоремы об отсутствии препятствий Богомолова-Тьяна-Тодорова

Теорема 19 ([12, Theorem 1.1]). Пара (X, SI) имеет универсальную деформацию (Х,Пx)/S, база которой - пополнение векторного пространства Щ,Я(Х) в точке

MeH%R(X)

Как и теорема Богомолова для компактных голоморфно-симплектических многообразий, эта теорема есть версия теореми Торелли А именно, для любой деформации (ЗС, fir)/5" классифицирующее отображение 5' 5 представляет собой отображение периодов для симплектической формы Я точка s € S' переходит в [П,] € H2dr{X), где fi3 - симплектическая форма на слое ЗРв над s € S1, причем мы отождествляем HoR(X'B) = H^R{X) с помощью связности Гаусса-Манина Разумеется, универсальная деформация 3t/S всего лишь формальна, поэтому s € S' здесь надо понимать как Л-значную точку S' для некоторой артиновой локальной /^-алгебры А.

Для произвольной пуассоновой схемы X также можно развить теорию деформаций - дифференциально-градуированной алгберой Ли, контролирующей деформации, будет алгебра пуассоновых когомологий НР'(Х), см [4, Appendix] К сожалению, никакой версии теоремы Торелли для пуассоновых схем не существует, и деформации вообще говоря могут иметь препятствия Тем не менее, можно выделить один класс однопараметрических деформаций, которые можно построить при очень слабых предположениях на пуассонову схему X

Напомним, что если пуассонова схема Z над полем К снабжена алгебраическим действием мультипликативной группы Gm, которое сохраняет пуассонову структуру, то отображение моментов для Z - это такое отображение ß * Z —> А1 = Spec Jiff], что гамильтоново векторное поле на Z совпадает с инфи-нитеземальный образующим £0 действия Gm Если Z - гладкое симплектическое многообразие с симплектической формой fiz, то условие на отображение моментов записывается как fiz -j f0 = ß*dt Если дано отображение моментов ß, и существует фактор Z/Gm, то этот фактор естественным образом является пуассоновой схемой над А1, а его слой X над началом координат о С А1 - пуассонова схема над К, причем в случае, когда Z симплектическое, X тоже симплектическое Эта процедура называется гамильтоновой редукцией

Оказывается, что при некоторых предположениях процедуру гамильтоновой редукции можно обратить А именно, пусть X - пуассонова схема над полем К, и пусть L - линейное расслоение на X Обозначим через S = Spec #[[<]] формальный диск над К, а через о е S - его специальную точку (заданную максимальным идеалом tK[[t]} С #[[<]])

Определение 20. Твисторной деформацией Z пары (X, L) называется плоская пуассонова деформация {X, С) пары (Л', L) над S и такое продолжение пуассоновой структуры на X до Gm-инвариантной пуассоновой структуры на тотальном

пространстве Z Ст-торсора, связанного с £, что проекция р '. Z -> X —► 5 есть отображение моментов для естественного действия Gm на Z Твисторная деформация называется точной если Z - точная пуассонова схема в смысле определения 11

Теорема 21 ([7]). Пусть char К = 0, и пусть Н\Х, Ох) = Н2(Х,Ох) = 0 Тогда для любого линейного расслоения L на X, пара (X,L) допускает твисторную деформацию, и эта деформация единственна с точностью до изоморфизма Если пуасонова схема X точная и/или симплектическая, то такова же и получаемая пуассонова схема Z

Отметим, что, помимо обращения когомологий в ноль, на пуассонову схему X в этой теореме не накладывается никаких условий - она может быть, например, приводима, сколь угодно особа, иметь нильпотенты в структурном пучке

Твисторная деформация X, вообще говоря, существует только как формальная схема, однако если X проективна над аффинной схемой У, то по стандартной теореме алгебраизации, X допускает алгебраизацию в смысле Гротендика

Лемма 22. Пусть, в предположениях теоремы 21, схема X конечного типа над К и проективна над нормальной аффинной схемой У = Spec Н°(Х, Ох) Тогда твисторная деформация пары {X, L) получается пополнением в специальном слое схемы X, проективной над аффинной схемой = Н°(Х, Ох), которая, в свою очередь, нормальна и является плоской деформацией над S аффинной схемы У □

Лемма 23. Пусть дано линейное расслоение L на симплектическом многообразии (X, Q), и пусть дана твисторная деформация (X/S, C,Z), S = Spec/i[[i]] Тогда X невырожденно как пуассонова схема над S, а соответствующая относительная симплектическая форма ii^ на X/S удовлетворяет равенству

(О 6) \пх] = рх) + № е HlR(X/S) * HlR{X) ® Os = HlR(X)[[t}}, где [L] € Нрц(Х) - первый класс Черна линейного расслоения L

Вернемся теперь к случаю, когда X/Y - симплектическое разрешение В этом случае про твисторные деформации можно доказать следующий дополнительный результат

Лемма 24. Пусть X/Y - симплектическое разрешение, и пусть L - линейное расслоение на X Предположим, что L обильно Рассмотрим твисторную деформацию (Х,£), построенную в теореме 21, и пусть Qz ~ симплектическая форма на соответствующем многообразии Z Обозначим А — Н°(Х,Ох), У = Spec Д и обозначим через 7Г . X У естественную проекцию Тогда над дополнением S \ {о} отображение тг взаимно-однозначно Кроме того, если У - спектр ген-зелевой локальной К-алгебры, так что А - локальная К-алгебра, с масимальным идеалом ш С А, то существует такая конечно-порожденная подалгебра А С А, что

(i) t-адическое пополнение генэелизации А в идеале mfli С -4 совпадает с А, и (и) все данные {X,C,Q.z) определены над А

Кроме обычных деформаций симплектического разрешения X, оказывается полезным рассмотреть и некоммутативные его деформации Для этого вводим следующее определение

Определение 25. Квантованием пуассонова многообразия X называется пучок Oh плоских Л_[(^]]-алгебр на X, полный в /i-адической топологии и снабженный изоморфизмом Oh/h = Ox, f /, причем для любых двух локальных сечений f,9 € Oh имеем _

fg~9f = 4f,9} mod/г2,

где {—, —} - скобка Пуассона на X

Квантования можно строить и у симплектического разрешения X/Y, и у какой-либо его симплектической деформации 3F/S' с пуассоновой структурой, индуцированной относительной симплектической формой (функции, поднятые с базы деформации, лежат в пуассоновом центре Ох') Проквантовав универсальную деформацию, полученную по теореме 19, можно получить полную классификацию всех квантований X. Соответствующий результат получен в работе [1]

Теорема 26 ([1, Theorem 1.8, Lemma 6 4]). Пусть дано симплектическое разрешение X над полем К характеристики 0, и пусть X/S - универсальная сим-плектическая деформация X, полученная по теореме 19 Тогда существует каноническое квантование Oh пуассонова многообразия X, которое универсально в следующем смысле для любого квантования Oh симплектического разрешения X, существует и единственно такое сечение

s Spec К[[Щ Spec K[[h]] xS проекции Spec K[[/i]]xS Spec K"[[A]], что s'(Oh) изоморфно Oh

На алгебраическом языке, это утверждение выглядит так квантования X существуют, и они классифицируются с точностью до изоморфизма формальными степенными рядами Ядд(-Х')[[/г]] от параметра h с коеффициентами в векторном пространстве Я|,Д(.Х), посторянный член которых равен классу [J7] симплектической формы П

Важным техническим средством при изучении кватований является следующее понятие

Определение 27. Квантованной алгеброй над полем К называетса ассоциативная алгебра В над if [[ft]], снабженная такой скобкой Ли {—, —}, что для любого b € В эндоморфизм {6,—} есть дифференцирование алгебры В, и для любых а, 6 € В имеем

аЬ — Ьа — h{a, 6}

Если квантованная алгебра В - плоская алгебра над К\[Щ, то скобка однозначно восстанавливается по умножению, и все, что требуется в определении 27, это что коммутатор аЬ — Ъа делится на h (иными словами, B/hB коммутативна) Наоборот, квантованная алгебра, на которой h действует нулем, это то же самое, что алгебра Пуассона В общем случае определение 27 дает интерполяцию между квантованиями и алгебрами Пуассона

Оказывается, что теорию квантования симплектических разрешений можно развить дальше, причем в несколько неожиданном направлении А именно, предположим теперь, что все рассматриваемые многообразия определены над совершенным базовым полем к положительной характеристики char А: = р > О

Определение 25, т е наше определение квантования, переносится в положительную характеристику без каких-либо изменений, то же верно про стандартный пример квантования, а именно, алгебру Вейля D, заданную уравнением

(0 7) D = K[[xu ,хп,уи ^Jn.hjl/ix.xj - х,- у,уих,у} 6tJh],

где S,j - дельта-символ Кронекера Однако в charp мы немедленно видим новое явление у алгебры D имеется большой центр А именно, р-е степени x?t, у*} образующих алгебры D становятся центральными элементами Чтобы описать это явление, вводим следующее определение

Определение 28 ([3, Definition 1.4]). Фробениус-постоянным квантованием пуас-соновой схемы X над полем к характеристики р называется пара из квантования Oh схемы X в смысле определения 25 и такого отображения s Ох —>• Од, что для любой локальной функции / € Ox, s(f) лежит в центре Oh и удовлетворяет уравнению

s(/) = /p mod hP~l

Другими словами, на подалгебре 0\ С Ох р-х степеней должно быть задано расщепление s естественной сюръекции Oh —> Ох

Для изучения квантований в положительной харакетристике, нужно ввести версии понятия пуассоновой и квантованной алгебры, которые учитывают специальные явления харакетристики > 0 Обозначим через Q(x, у) свободную квантованную алгебру в смысле определения 27, порожденную двумя элементами х, у В явном виде имеем

Q[x,y) = $WmPBWr(xt у),

где Т'(х, у) - свободная ассоциативная алгебра, порожденная х и у, a W'PBW - возрастающая фильтрация Пуанкаре-Биркгофа-Витта (подробности см в [3, Subsection 1 2]) Параметр квантования h действует на Q(x, у) естественным вложением WpBWT'(x,y) W'j?gWT'(х, у) Элементы алгебры Q(x,y) будем навызать квантованными полиномами от переменных х, у Тогда из [3, Lemma 1 3] немедленно вытекает следующий результат (который, впрочем, нетрудно доказать и непосредственно)

Лемма 29. Пусть базовое поле к имеет характеристику char А = р > 0 Тогда существуют такие квантованные полиномы F(x,y), Р{х,у) от х, у, что

{x + vY-a*-if = hp~lF(x, у) (xyf - xW = h?~lP{x, у)

Определение 30. Ограниченной квантованной алгеброй А называется квантованная алгебра А над полем к характеристики char к = р > 0, снабженная такой дополнительной операцией х i-+ х^, что /гМ = h и

(0 8) = (ad «)"(»),

(0 9) (x + y)^=^x^+y^ + F(x,y),

(0 10) (xt/)w = з?уЫ + sby - ftP-^WyW + p(X) y)j

где мы обозначили через ad а; А —> А эндоморфизм у н> {х, j/}

Первые два уравнения (0 8), (0 9) описывают стандартное понятие ограниченной алгебры Ли, также известной как р-алгебра Ли Обычный пример ограниченной алгебры Ли - алгебра Ли векторных полей на схеме и, более общо, алгебра Ли всех дифференцирований ассоциативной алгберы В/к (операция ограниченной степени переводит дифференцирование D . В —> В в его р-ю степень Dp, которая, как легко проверить, также является дифференцированием)

Лемма 31. Ограниченная квантованная алгебра А, которая h-адичеки полна и не имеет h-кручения, есть то же самое, что Фробениус-постоянное квантование алгебры A/hA

С другой стороны, если h действует на квантованной алгебре А нулем, то А — это пуассонова алгебра В этом случае определение 30 дает понятие ограниченной алгберы Пуассона Уравнения (0 8), (0 9) утверждают, что А со ее скобкой Пуассона есть ограниченная алгебра Ли, последнее уравнение (0 10) дает некоторое условие совместимости между операцией ограниченной степени и умножением, которое впервые появилось в [3] Отметим, что если скобка Пуассона на А равна нулю, то операция ограниченной степени а н~> а^ задается аддитивным отображением к А А, а^ — к (а), которое к тому же удовлетворяет следующей версии правила Лейбница

к(аЬ) = а?к{Ь) + к(а)Ьр.

Такие отображения мы будем называть Фробениус-дифференцированиями алгебры А

Главные источник нетривиальных ограниченных алгебр Пуассона — следующая теорема, впервые доказанная в статье [3]

Теорема 32 ([3, Theorems 1.11,1.12]). Пусть X = Spec А - квазигладкая аффинная схема над полем к характеристики char к = р > 0, и пусть на X задана симплектическая форма О Тогда следующие условия эквивалентны

(i) Имеем СЦП]) = 0, где С - изоморфизм Картье (и) Форма Q точна, те Q = da для некоторой а € fi^.

(ш) Подалгебра JIu Н С Т{А) гамильтоновых векторных полей замкнута относительно естественной операции ограниченной степени на Т(А)

(iv) Пуассонова алгебра А допускает структуру ограниченной алгебры Пуассона

Кроме того, существует взаимно-однозначное соответствие между структурами ограниченной алгебры Пуассона в (iv) и 1 -формами а в (и), рассмотренными с точностью до точных 1 -форм, а ~ а + df для любого f € А

Приведем теперь основные результаты о квантованиях в положительной характеристике Прежде всего сформилируем техническое понятие, введенное в статье

И

Определение 33. Хорошая база (для квантования) В - это полная локальная к-алгебра В с полем вычетов к, у которой выбран элемент h в максимальном идеале m С В, и задана такая аддитивная операция В —ь В, b ¿ДО, что отображение s В —В, определяемое формулой s(b) = b? — hv~lb^\ мультипликативно

Иными словами, хорошая база это коммутативная ограниченная квантованная алгебра (с некоторым условием полноты) Тогда фактор BjhB - полная локальная пуассонова алгебра с тривиальной скобкой Пуассона Операция ограниченной степени на B/hB не обязана быть тривиальной (и в приложениях она нетривиальна) Однако, поскольку тождественно имеем {—, —} = 0, должно выполняться равенство ¿ДО = К(Ь), где К B/h -> B/h - некоторое Фробениус-дифференцирование Если дана хорошая база В, то под ограниченной квантованной алгеброй А над В мы будем понимать квантованную алгебру над В, снабженную такой структурой ограниченной алгебры Пуассона, что естественное центральное вложение В —>■ А совместимо с операциями ограниченной степени Под В-квантованием какой-либо ограниченной пуассоновой алгебры А0/к будем понимать ограниченную квантованную алгебру А над В, снабженную изоморфизмом А/ть ■ А = А0

Определение 34. Малый модуль Дьедонне I над к - это fc-векторное пространство, снабженное аддитивной операцией I -л I, а г№, которая Фробениус-полулинейна - иными словами, (Да)И = Хра№ для любых X € к, а € I

Малые модули Дьедонне очевидно образуют абелеву категорию Для любой хорошей базы В с таким идеалом I С В, что Шд 1 = 0, операция ограниченной степени на В индуцирует на I структуру малого модуля Дьедонне

Теорема 35 ([3, Proposition 1.22]). Пусть даны хорошая база В в смысле определения 33 и гладкое симплектическое многообразие Х/к Предположим, что

когомологии Н'(Х,Ох) равны 0 при г — 1,2,3 Тогда классы изоморфизма В-квантований X взаимно-однозначно соответствуют элементам группы эталь-ных когомологии

(011) ЯДО« 1д>с(«(3,т/т2))),

где Loc(%(А, I)) - некоторый эталъный пучок на который зависит только от действия H на алгебраической группе ЩА, I) которая, в свою очередь, зависит только от малого модуля Дьедонне I В частности, Фробениус-постоянные квантования - или, что то же самое, ЩЩ,-quantizations - многообразия Х/к классифицируются с точностью до автоморфизма элментами группы

Н^Х^ЛМхУПОхтУ) Наконец, любое B/h-квантование схемы X продолжается до В-квантования

Изучая Фробениус-постоянные квантования с помощью теоремы 35, можно также рассмотреть точную последовательность Куммера, и вывести из нее, что существует короткая точная последовательнсть

(0 12) 0 Р.с(Х)/рР.с(Х) (Fr.ОхУ/Охт*) Вгр(Х) -» 0,

где Pic(X(1)) = Ptc(X) - группа Пикара X ( и Х^), а Вгр(Л') р-кручение в (когомологической) группе Брауера Вг(А'О) = Br(X) = H^t(X, 0*х) Дополнительный результат, доказанный в [3], объясняет роль группы Брауера

Предложение 36 ([3, Proposition 1.24]). В предположениях и обозначениях теоремы 35 предположим также, что дано Фробениус-постоянное квантование Oh многообразия Х/к, которое классиицируется некоторым элементом

aeHlt(xm,(Fr.oxy/on

и обозначим через b е Вгр(Х) его образ при канонической сюръекции из (0 12) Обозначим

Х«[[Л]] = Spec{X*\ ОхмШ]), Х[1)т) = Oxm({h))),

и обозначим через ж X^((h)) —> .Х'1' естественную проекцию Используя отображение расщепления s (Ух —Oh, будем расматривать Oh как пучок алгебр ка-Х^^Л]], и рассмотрим его локализацию Oh(h~l) как пучок алгебр на X^((h)) Тогда С>/,(Л_1) - алгебра Адзумая на X^l\(h)), а ее класс в группе Брауера схемы Х<!)((/г)) равен тт'(b)

Хотя теория квантования симплектических разрешении в положительной характеристике, сформулированная в теореме 35 и других вышеизложенных результате«, представлает независимый интерес, целью ее построения в работе [3] было

несколько неожиданное применение к многообразиям над полем характеристики О А именно, оказывается, что, используя сведение в по тожительную характеристику и квантование, можно дать эффективное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на симплектическом разрешении X

Сначала сформулируем некоторые общие результаты о производных категориях когеретнных пучков Пусть даны аффинное нормальное алгебраическое многообразие У над полем К характеристики 0 и его гладкое проективное разрешение тг . X —¥ Y. Рассмотрим производную категорию D^(X) ограниченных комплексов когерентных пучков па X. Пусть на X дано векторное расслоение £ Тогда, обозначив R = End(£), имеем естественный функтор

RПот{£, -) Dbc(X) -> D"(R-mod'8),

где Db(R-mod!í) - ограниченная производная категория конечно-порожденных левых Д-модулей Обозначим этот функтор через iïVf Переходя к производным категориям, ограниченным сверху, получаем сопряженный функтор

L'iт*£ D~{R-mod") -4 D~{X)

Определение 37. (i) Векторное расслоение £ на X наклонное (tilting) если для всех г > 1 имеем Ext'(£, £) = О

(и) Векторное расслоение £ представляет собой наклонный генератор для X если, кроме того, для любого Т € D~(X) равенство ~RMom'{£,T) = 0 влечет .F = О

Векторное расслоение £ наклонное тогда и только тогда, когда композиция ñ'jrf о L'it*e есть единичный эндофунктор категории D~(iî-mod'e) Это, в свою очередь, происходит тогда и только тогда, когда функтор L'7г| D~(R-mod*') -4 D~{X) полный и строгий Если £ - наклонный генератор, то L'ir£ о R'irf - также единичный функтор, так что Ь'к*£ суть R'irf взаимно обратные эквивалентности категорий, и они индуцируют эквивалентности между Dhc(X) и Z?6(ñ-mod'')

Итак, если X допускает наклонный генератор £, то "геометрическая" категория D%(X) эквивалентна чисто алгебраической категории Z)íl(ñ-mod'í) Это и само по себе интересно, и имеет сильные следствия для топологии X, которые мы обсудим ниже

К сожалению, наклонные генераторы встречаются весьма редко В настоящий момент известно только две достаточно общие ситуации, когда известно, что наг клонные генераторы существуют

(i) dim X — 3, X - крепантное разрешение факторособенности У = V/G, где V - трехмерное векторное пространство, a G С SL(V) - конечная подгруппа Это ситуация так называемой эквивалентности Маккея, построенной в работе Т Bridgeland, A King, and M Reíd, The McKay correspondence as an equivalence of derived categories, J Amer Math Soc 14 (2001), 535-554

(li) Снова dim X = 3, X имеет тривиальное каноническое расслоение, а отображение 7Г. X У малое - иными словами, относительная размерность X над Y не превосходит 1 Этот случай был изучен М Ванденбергом в работе М Van den Bergh, Three-dimensional flops and noncommutative rings, Duke Math J 122 (2004), 423-455, используя более ранюю работу Т Бриджланда Flops and derived categories, Invent. Math 147 (2002), 613-632

Оказывается, что, используя квантование в положительной характеристике, можно построить наклонный генератор в третьей довольно общей ситуации - а именно, для симплектических разрешений X

Теорема 38 ([9, Theorem 1.4]). Пусть X —» Y - симплектическое разрешение над полем К характеристики 0 Тогда у любой замкнутой точки у € Y существует такая зталъная окрестность Y0 —t Y, что расслоенное произведение Х0 = У0 ху X допускает наклонную образующую

Объясним вкратце, как в доказательстве этого результата помогает теорема 35 Заметим, что если бы X и У были определены над совершенным полем к положительной характеристики char к = р > 0, причем Нх(Х,0jv) было бы равно нулю при i > 1, то для любого а € Р\с.{Х)/рР\с{Х) теорема 35 дает Фробениус-постоянное квантование Оа многообразия X, задаваемое образом класса а в группе Н^Х, Ох/Ох) Более того, в силу предложения 36, пучок Oa(h_1) есть расщепленная алгебра Адзумая на X^((h)) - другими словами, Oa(h~l) — £nd(£a) для некоторого векторное расслоения £а на X^((h)) С другой стороны, Н'(Х, Оа) = 0 при г > 1 по полунепрерывности, а стало быть, Hl(X^((h)),£nd(£a)) = 0 при г > 1 Поэтому векторное расслоение £а автоматически будет наклонным

Элементарная теория препятствий показывает, что наклонные векторные расслоения жесткие, т е единственным образом продолжаются на любую формальную деформацию многообразия X Поэтому, обычным образом проведя сведение в простую характеристку, мы в предположениях теоремы 38 получаем набор наклонных векторных расслоений Е на X((h)) = X^((h)), зависящих от простого числа р и класса а 6 Pic(X) (поскольку У не собственно, при этом, возможно, приходится заменить его на этальную окрестность Уо) Еще уменьшив при необходимости Уо, можно избавится от параметра квантования h и получить набор наклонных векторных расслоений на симплектическом разрешении Xq.

Но тщательный анализ ситуации показывает, что при почти всех значениях параметра a G Pic(X) соответствующее векторное расслоение £„ на самом деле будет наклонным генератором (на самом деле достаточно рассматривать значения а, пропорциональные классу [L\ 6 Pic(JV) какого-нибудь линейного расслоения L) Точнее, существует такая не зависящая от р константа М, что £а не является генератором для не более, чем М значений а). Поэтому если взять достаточно большое р и достаточно общее о, получим наклонный генератор, как и требуется в теореме 38

Еще один результат позволяет сравнить производные категории Dbc(X) для разных крепантных разрешений одной и той же симплектической особенности У Это

обобщение частного случая общей гипотезы А И Бондала и Д О Орлова из работы Semiorthogonal décomposition for algebraic varieties, preprint alg-geom/9506012, Section 3, Conjecture, который доказан Ю Каваматой в работе D-equivalence and К-equivalence, J Differential Geom 61 (2002), 147-171 на языке Каваматы, "К-эквивалентность влечет D-эвивалентность"

Теорема 39 ([9, Theorem 1.6]). В предположениях теоремы 38, пусть также дано другое разрешение X', it' X —ï Y многообразия Y с тривиальным каноническим расслоением Кх> Тогда у любой замкнутой точки у € У есть такая эталь-ная окрестность Yy-*Y, что производные категории Dbc(X xYYy) и Dbx{X' ху Уу) эквивалентны

Результаты настоящей работы несколько неудовлетворительны по следующей причине во многих случаях приходится от симплектической особенности У переходить к ее формальному пополнению в замкнутой точке у Из-за этого в теореме 38 эквивалентность определена только над этальной окрестностью Уо Разумеется, можно покрыть все У такими этальными окрестностями, но в настоящий момент неясно, можно ли склеить наклонные генераторы, доставляемые теоремой 38 к этому вполне может быть препятствие, лежащее в группе Брауера Вг(Х) Точно так же разложение Вайнштейна (0 5) определено только на формальном уровне Однако в практически встречающихся случаях, все эти проблемы можно преодолеть с помощью следующего технического понятия

Определение 40. Действие алгебраической группы Gm на симплектической особенности У называется растягивающим, если Gm сохраняет прямую

К nGH°(Ym,S%)

и действует на ней через представление положительного веса I > 0 (иными словами, А = Л 'Cl для некоторого положительного целого I > 0 и любого Л 6 Gm(K) — К') Говорят, что действие Gm на У имеет положительные веса если любой конечномерный йт-эквивариантный подфактор H°(Y,Oy), не содержащий констант, разлагается в сумму представлений положительного веса

Теорема 41. Любой трансе ер сальный срез Yyp в разложении (0 5) для симплектической особенности Y допускает растягивающее действие группы Gm

Гипотеза 42. Любой трансверсальный срез Yy$ в разложении (0 5) для симплектической особенности Y допускает растягивающее действие группы Gm с положительными весами

К сожалению, неверно, что действие Gm> построенное в теореме 41, всегда имеет положительные веса В примерах зачастую существует коммутирующее гамильтоново действие Gm, даже если мы начинаем с растягивающего действия с положительными весами, компонуя его с коммутирующим гамильтоновым действием, мы можем испортить веса. Грубо говоря, гипотеза 42 утверждает, что это

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать О^, (72 Формат 60x90 1/16 Уел печ л <5 Тираж /00 экз Заказ2.6

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Определения и геометрические свойства.

1.1 Определения и примеры.

1.2 Пуассонова геометрия.

1.3 Симплектические особенности с пуассоновой точки зрения.

1.4 Симплектические разрешения.

2 Деформации и квантование.

2.1 Отображение периодов и твисторные деформации.

2.2 Квантования.

2.2.1 Локальная теория.

2.2.2 Глобализация через формальную геометрию.

2.3 Ситуация в положительной характеристике.

2.3.1 Новые явления.

2.3.2 Ограниченные структуры.

2.3.3 Квантование.

3 Описание производной категории.

3.1 Наклонные генераторы.

3.2 Оценки.

3.3 Аппроксимация по Артину.

3.4 Сравнение производных категорий.

4 Дополнительные результаты.

4.1 Растягивающие действия.

4.2 Топология.

4.3 Соответствие Маккея.

По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие Y над С допускает разрешение особенностей, т.е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X —> Y. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.

Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [CG]). В идеале, имея в руках особое многообразие Y, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т.е. dimX ху X = dimX), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на Y действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.

Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если Y - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полумалое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на Y. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма.

Известные доказательства этих фактов (см. например работу [CLP]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия Y.

Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полумалость, когомологическую чистоту слоев, и т.д. и т.п. Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.

Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к "симплектической алгебраической геометрии", если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представлают собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А.И. Бондала и Д.О. Орлова, описанную в работах [BOl], [В02]). В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.

Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты.

• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий ("симплектических особенностей"). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы

• Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическое разрешение X симплектической особенности Y полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа.

• Построена теория симплектических деформаций для симплектических разрешений - а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли. Выделен важный класс однопараметрических деформаций - твистор-ные деформации. Твисторные деформации построены также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем.

• Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования. Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симплектические деформации.

• Теория квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р > 0. Выделен важный класс квантований - Фробениус-постоянные квантования, которые построены и классифицированы. В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия />алгебры Ли.

• Сведением в простую характеристику и применением Фробениус-постоянных квантований получены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектическом разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории.

• Доказана гипотеза А.И. Бондала и Д.О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектической особенности имеют эквивалентные производные категории.

• При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев сим-плектического разрешения порождены классами алгебраических циклов.

• В случае симплектического разрешения X симплектической факторособен-ности V/G, получена точная информация о кольце когомологий X (мультипликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея).

Результаты получены и опубликованы в работах [Kali], [Ка12], [KV], [GiKa], [BK1], [Kal5], [Kal4], [Kal3], [BK2], [ВКЗ], [Kal6], и неоднократно докладывались на различных конференциях в России и за рубежом - например, в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г. Сиэттл в июле-августе 2005 года.

2. AB. M . Atiyah and R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology23 (1984), 1-28.

3. Beau. A . Beauville, Symplectic singularities, Invent. Math. 139 (2000), 541-549.

4. BeBe. A. Beilinson and J. Bernstein, A proof of Jantzen conjectures, I. M . Gel'fand

5. Seminar, 1-50, Adv. Soviet Math. 16, Part 1, AMS , Providence, Ш, 1993.

6. BeDr. A. Beilinson and V. Drinfeld, Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves, preprint version available at http: / / www. math.uchicago.edu / arinkin/langlands / .

7. BGV. N . Berline, E . Getzler, and M . Vergne, Heat kernels and Dirac operators,

8. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298, Springer-Verlag, Berlin,1992..

9. BL. J. Bernstein and V . Lunts, Equivariant sheaves and functors. Lecture Notes in

10. Mathematics, 1578, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

11. B K l . R. Bezrukavnikov and D. Kaledin, Fedosov quantization in algebraic context,

13. BK2. P. Безрукавников и Д. Каледин, Эквивалентность Маккея для симплектических фактор особенностей. Труды МИР АН им. В.А. Стеклова, 246 (2004), 13-33.

14. ВКЗ. R. Bezrukavnikov and D. Kaledin, Fedosov quantization in positive characteristic, Journal of the AMS .

15. BM. E. Bierstone and P. Millman, Canonical desingularization in characteristic zeroby blowing up the maximum strata of a local invariant, Invent. Math. 128 (1997), 207-302.

16. BOl. A. Bondal and D. Orlov, Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties,preprint alg-geom/9506012.

17. B02. A . Bondal and D. Orlov, Derived categories of coherent sheaves, Proc. I C M 2002in Beijing, vol. II, Higher Ed. Press, Beijing, 2002; 47-56.

18. BKR. T. Bridgeland, A . King, and M . Reid, The McKay correspondence as an equivalence of derived categories, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), 535-554.

19. Br. T. Bridgeland, Flops and derived categories, Invent. Math. 147 (2002), 613-632

20. CG. N . Chriss and V . Ginzburg, Representation theory and complex geometry

21. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA , 1997.

22. CLP. C. de Concini, G. Lusztig, and C. Procesi, Homology of the zero-set of a nilpotentvector field on a flag manifold, Journ. AMS 1 (1988), 15-34.

23. D. P. Deligne, Théorie de Hodge HI, Publ. Math. IHES, 44 (1974), 5-77.

24. DP. M . Demazure and P. Gabriel, Groupes Algébriques. Tome I: Géométriealgébrique, généralités, groupes commutatifs, North-Holland Publishing Co., 1. Amsterdam, 1970.

25. EH. S. Encinas and H . Hauser, Strong resolution of singularities in characteristiczero. Comment. Math. Helv. 77 (2002), 821-845.

26. EV. H. Esnault and E. Viehweg, Lectures on vanishing theorems, D M V Seminar, 20,

27. Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 1992.

28. Fu. B. Fu, Symplectic resolutions for nilpotent orbits. Invent. Math. 151 (2003),167-186.

29. GeKa. I .M. Gelfand and D.A. Kazhdan, Some problems of differential geometry and thecalculation of cohomologies of Lie algebras of vector fields, Soviet Math. Dokl. 12 (1971), 1367-1370.

30. GiKa. V . Ginzburg and D. Kaledin, Poisson deformations of symplectic quotient singularities. Adv. Math. 186 (2004), 1-57.

31. EGA. A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique, HI, Publ. Math. IHES 24.

32. Kall. D. Kaledin, On crêpant resolutions of symplectic quotient singularities, Selecta

34. Kal2. D. Kaledin, McKay correspondence for symplectic quotient singularities, Inv.

36. Kal3. Д. Каледин, Нормализация пуассоновой алгебры пуассонова, препринтmath.AG/0310173.

37. Kal4. D. Kaledin, On the projective coordinate ring of a Poisson scheme, Math. Res.1.tt. 13 (2006), 99-107.

38. Kal5. D. Kaledin, Symplectic singularities from the Poisson point of view, Grelle J .600 (2006), 135-156.

39. Kal6. D. Kaledin, Derived equivalences by quantization, to appear in GAFA.

40. KL. D. Kaledin and M . Lehn, Local structure of hyperkähler singularities in

41. O'Grady's examples, Moscow Math. Journal, 7 (2007), 653-672.

42. KLS. D. Kaledin, M . Lehn, and Ch. Sorger, Singular symplectic moduli spaces. Invent.

44. KV. D. Kaledin and M . Verbitsky, Period map for non-compact holomorphically symplectic manifolds, G A F A 12 (2002), 1265-1295.

45. Kawl. Y . Kawamata, Unobstructed deformations - A remark on a paper of Z. Ran, J .

47. Kaw2. Y . Kawamata, D-equivalence and К-equivalence, J. Differential Geom. 61(2002), 147-171. 1.u. H. Laufer, Normal two-dimensional singularities, Ann. of Math. Studies, 71,

48. Princeton Univerisity Press, Princeton, 1971.1.. G. Lusztig, Introduction to quantum groups. Progress in Mathematics, 110

49. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, M A , 1993.

50. Nak. H. Nakajiraa, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J . 76 (1994), 365-416.

51. Ra. Z. Ran, Deformations of manifolds with torsion or negative canonical bundles,

53. Re. M . Reid, McKay correspondence, preprint alg-geom/9702016.

54. VdB. M . Van den Bergh, Three-dimensional flops and noncommutative rings, Duke

56. Ve. M . Verbitsky, Holomorphic symplectic geometry and orbifold singularities, Asian

57. Journal of Mathematics, 4 (2000), 553-564.

58. We. A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. DifF. Geom. 18 (1983),523-557.