Классификация простых мультиростков кривых в симплектических и контактных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.763

Колгушкин Павел Александрович

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ МУЛЬТИРОСТКОВ КРИВЫХ В СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ И КОНТАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор С. М. Гусейн-Заде

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Закалюкин, кандидат физико-математических наук И. А. Богаевский

Ведущая организация — Владимирский государственный

университет

Защита диссертации состоится "-"--- 200_ года в 16

часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "_"_______ 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук,

профессор

В.Н. Чубариков

УРГ£3>

Общая характеристика работы Актуальность темы

Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли б. Модальностью точки х Е X называется такое наименьшее число т, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом т-параметрических семейств орбит действия группы (7. Точка х € X называется простой, если ее модальность равна нулю, т.е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит.

В. И. Арнольд1 классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной Д-эквивалентности (две функции называются ^-эквивалентными, если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат; два ростка функций называются стабильно Д-эквивалентными, если они становятся Д-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных). Этот результат часто называют А, И, ^-классификацией. Кроме того В. И. Арнольд обнаружил,2 что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной.

!В. И. Арнольд, Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Аь, Е/, и лагранжевы особенности. Функц. анализ, том б (1972), вып. 4, стр. 3-25.

гВ. И. Арнольд, Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. УМН, том 28 (1973), вып. 5, стр. 17-44.

¡('ос. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.

Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали простые особенности неприводимых плоских кривых3. С. G. Gibson и С. A. Hobbs, изучая особенности траекторий, по которым движутся точки твердого тела в трехмерном пространстве, дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трехмерном комплексном пространстве4. В. И. Арнольд5 классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной право-левой эквивалентности (которая также называется Я£-эквивалентностью). В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид

хх = i4, х2 = Л i>2 = 0 (mod i7),

и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.

При рассмотрении ростков приводимых кривых, т.е. кривых, состоящих из нескольких компонент, естественным образом возникает понятие мультиростка Стабильно простые особенности мультиростков с точностью до стабильной эквивалентности были классифицированы автором совместно с Р. Р. Садыковым6.

3 J. W. Bruce, Т. J. Gaffney, Simple singularities of mappings (С, 0) -4 (С2,0). J. London Math. Soc. (2) 26 (1982), p. 465-474.

4C. G. Gibson, C. A. Hobbs, Simple singularities of space curves. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. v. 113 (1993), No. 2, p. 297-310.

5B. И. Арнольд, Простые особенности кривых. Труды Математического Института им. В. А. Стеклова, том 226 (1999).

"П. А. Колгушкин, Р. Р. Садыков, Классификация простых мультиростков кри-

вых. УМН, том 56 (2001), вып. 6, стр. 153-154.

Допустим, что в рассматриваемом нами (комплексном) пространстве задана какая-то дополнительная структура, например, симплек-тическая или контактная. В качестве левых замен мы будем рассматривать не все ростки невырожденных диффеоморфизмов, а лишь те из них, которые сохраняют эту дополнительную структуру.

Предположим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т.е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма w. Если в качестве группы левых замен рассмотреть группу локальных симплектоморфизмов нашего пространства, т.е. группу локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симллектическую форму и, а группу правых замен оставить без изменений, то получится симплектическая эквивалентность.

Пусть в таком пространстве задан росток кривой, эквивалентный (t2,t2m+l) (особенность Агт) в смысле обычной право-левой эквивалентности (т.е. если рассматривать все локальные диффеоморфизмы). В. И. Арнольд описал орбиты действия группы симплектических замен, на которые распадается iiL-орбита этого ростка7.

Теперь предположим, что наше пространство имеет нечетную размерность и на нем задана контактная структура, т.е. распределение гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющее условию "максимальной неинтегрируемости". Если теперь вместо группы левых замен рассмотреть группу, состоящую из ростков контактных диффеоморфизмов, т.е. диффеоморфизмов, сохраняющих контактную структуру, а группу правых замен оставить без изменений, то получится контактная эквивалентность.

Пусть в таком пространстве дан росток кривой, .RL-эквивалентный особенности А2 (полукубическая парабола). В. И. Арнольд описал эту

TV. I. Arnold, First steps of local symplectxc algebra. Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 1-8, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

особенность в контактном пространстве в тех случаях, когда она является простой8. А именно, он показал существует ровно пять простых особенностей в контактном пространстве <С?п+1, fíL-эквивалентных ростку (i2,í3,0,..., 0). Однако, впоследствии выяснилось, что две из этих пяти нормальных форм контактно эквивалентны, поэтому одну из них можно исключить.

Также В. И. Арнольдом9 был указан росток непростой (с контактной точки зрения) кривой, ñL-эквивалентный A?, к которому примыкают все остальные особенности, ДЬ-эквивалентные А2.

Цель работы

Основной целью работы является классификация стабильно простых особенностей кривых (как приводимых, так и неприводимых) в комплексных симплектических и контактных пространствах. Также целью работы является развитие методов классификации особенностей в пространствах с дополнительными структурами.

Методы исследования

В работе используются методы теории особенностей (в частности, гомотопический метод) и методы симплектической и контактной геометрии (в частности, теоремы Дарбу-Гивенталя о симплектических и контактных структурах).

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

8V. I. Arnold, First steps of local contact algebra. Cañad. J. Math., v. 15 (1999), no. 6, p. 1123-1134.

'Там же.

• Классифицированы стабильно простые особенности неприводимых и приводимых кривых в симплектических комплексных пространствах с точностью до симплектической стабильной эквивалентности.

• Классифицированы стабильно простые особенности неприводимых и приводимых кривых в контактных комплексных пространствах с точностью до формальной контактной стабильной эквивалентности.

• Существующие методы классификации особенностей кривых модифицированы для применения к более широкому классу кривых.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в задачах теории особенностей дифференцируемых отображений, в симплектической и контактной геометрии и их приложениях. Результаты также могут использоваться в курсах по теории особенностей в Московском государственном университете.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории особенностей под руководством профессора С. М. Гусейн-Заде (мех-мат МГУ, 2001, 2003 годы); на семинаре по теории особенностей под руководством академика РАН В. И. Арнольда (мех-мат МГУ, 2004 год); на XXV Конференции молодых ученых (мех-мат МГУ, 2003 год); на семинаре Института математики Университета Ганновера (Германия, 2003 год); на конференции по теории особенностей Математического Института Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания, 2000).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 82 страницах. Список литературы содержит 16 наименований.

Содержание работы

Во введении дается краткий исторический обзор, определяются основные объекты и излагаются результаты диссертации.

Первая глава посвящена классификации простых особенностей кривых в комплексных пространствах, снабженных симплектической структурой.

Особенность неприводимой кривой в начале координат в С — это росток комплексно-аналитического отображения / : (С, 0) —> (С\0). Пусть Ь (соответственно Я) — группа координатных замен в (С1,0) (соответственно в (С, 0)), т.е. группа ростков невырожденных аналитических отображений (С1,0) —► (С,0) (соответственно (С,0) —» (<С,0)). Группа Ь (соответственно Я) называется группой левых (соответственно правых) координатных замен. Группа Ь х Я действует на пространстве ростков следующим образом:

Два ростка называются эквивалентными, если они лежат в одной орбите этого действия.

При рассмотрении ростков приводимых кривых естественным образом возникает понятие мультиростка.

Определение 1. Мулыпиросток в (С1,0) — это набор = (Д, • • •, Д) ростков аналитических отображений /, : (С, 0) -* (С*,0), где 1тД П 1т/, = {0} для г Ф э (¡1,..., Д называются компонентами мультиростка).

Пусть теперь бс! — некоторая подгруппа группы Ь левых координатных замен. Тогда положим Ж? = £ х Щц х ... х Ищ, где Д(<) — экземпляр с номером г группы правых координатных замен. Группа Ж? действует на пространстве мультиростков по формуле

(р, /1Ь ..., /г*) • (Д, ..., Д) = (д о Д о /г^1,..., $ о Д о /г*1).

Определение 2. Два мультиростка Г и Р' в (С, 0) называются Неэквивалентными, если они лежат в одной орбите действия группы №.

Определение 3. Мулыпиросток ^ = (Д,...,Д) называется простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р и пересекающая только конечное число ДС?-орбит.

Предположим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т.е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма и. По известной теореме Дарбу существуют такие координаты (ди..., д„;рг, ...р„) (они называются сим-

п

плектическими), в которых локально форма ш = ^ А В каче-

¿=1

стве группы О мы теперь рассматриваем группу локальных симплек-томорфизмов нашего пространства, т.е. локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую форму и. В этой ситуации мы будем называть Ж7-эквивалентность симплектической эквивалентностью.

Мультиросток называется симплектически стабильно простым, если он остается простым после вложения i : (С2", 0) <-» (С2^, 0), причем если Wi — росток симплектической формы в (С2",0), а ш2 — росток симплектической формы в (С2^, 0), то г*ш2 = Мультиростки, которые после таких вложений становятся симплектически эквивалентными, называются симплектически стабильно эквивалентными.

В. И. Арнольд10 описал особенность, Д2/-эквивалентную А2т, в сим-плектическом пространстве:

Теорема 1 (В. И. Арнольд). Пусть есть росток кривой, который RL-эквивалентен (f2,i2m+1). Тогда он симплектически эквивалентен одному и только одному ростку из следующего списка.

¿2т,о : (91 = t2,px = t2m+\P> 1 = <?>i = 0)

А2т,г : («г = i2,92 = i2m+1,Pi = i2m+2r+1,P>i = <Ы = 0), 0 < r < 2m

Мы классифицируем остальные симплектически простые ростки неприводимых кривых, а также все симплектически простые ростки приводимых кривых (мультиростки). Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 2. Всякий симплектически стабильно простой мультиросток с точностью до перестановки компонент симплектически стабильно эквивалентен одному и только одному мультиростку из следующего списка.

1. Ростки неприводимых кривых

Здесь мы не указываем список В. И. Арнольда для особенности А^т-

l.(i3,t5;i4,0) 2.(i3;t4) 3.(i3, t4; i5,0)

4.(i3, i4; 0, f5) 5.(i3,i4,i5;i7,0,0) «.(^.^^¿».О.О) 7.(t3, t4, i5; 0,0,0) 8.(f,t7;1*,0) 9.{t3;t5)

10V. I. Arnold, First steps of local symplectic algebra. Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 1-8, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

2. Мультиростки, состоящие двух компонент

2.1 Обе компоненты неособые. Здесь а > 1 и Ь — натуральные числа.

1.((4;0),(0;4)) 2.((4,0; 0,0), (0,4; 0,0))

3.((4;0),(4;4а)) 4.((4,0;0,0),(4,4°;0,0) 5.((4, 0; 0,0), (4, 4е; 0)) а < Ь < За - 1

2.2 Одна из компонент особая. Здесь тик — натуральные числа.

1.((42, 42т+1; 42т+1,0), (0,0; 4, 0))

2.((42,42т+1;42*+1,0),(0,0;4,0)), т<к<3т

3.((42,42т+1;0,0), (0,0;4,0)) 5.((42,0; 43,43),(0,4;0,0)) Т.«*2,0), (0,0; 0,*)) 9.((42,43,0;45,0,0),(0,0,4;0,0,0)) Ю.((42,43,0; 0,0,0), (0,0,4; 0,0,0)) 11.((42,44;43,0),(4,0;0,0))

3. Мультиростки, состоящие из трех компонент

Здесь а > 1 и Ь — натуральные числа.

1.((4,0;0,0),(0,0; 4,0), (4,4; 4,0))

2.((4,0; 0,0), (0,0; 4,0), {1,1; 0,0))

3.((4,0;0,0),(0,0;4,0),(0,4;0,0))

4.((4,0,0; 0,0,0), (0, 4, 0; 0,0,0), (0,0,4; 0,0,0))

5.((4;0),(0;4),(4;4))

6.((4;0),(0;4),(4;4°))

7.((4,0; 0,0), (0,0; 4,0), (4,4*;4а,0))

8.((4,0;0,0),(0,0;4,0),(4,4а;0,0))

9.((4,0; 0,0), (0,0; 4,0), (4,4°; 44,0)), а < Ь < За - 1

Вторая глава посвящена классификации простых особенностей кривых в комплексных контактных пространствах.

4-((42; 42т+1), (0; 4)) 6.((42,0;43,0), (0,4; 0,0)) 8.((42,43;0,0), (0,0; 0,4))

12.((42;43), (4; 0))

Предположим, что наше пространство имеет нечетную размерность 2n +1 и в нем задана контактная структура, т.е. распределение гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющее условию " максимальной неинтегрируемости". Пусть теперь G = С ont — подгруппа группы L, состоящая из ростков контактных диффеоморфизмов, т.е. диффеоморфизмов, сохраняющих контактную структуру. В этом случае мы будем называть Ж?-эквивалентность контактной эквивалентностью. По теореме Дарбу о контактных структурах в пространстве (С2"41^) существует система координат (z,qx,... ,qn,p i,...,p„), в которых 1-форма, задающая контактную структуру, имеет вид

п

dz + YlPidgi-i=l

Пусть в этом пространстве дан росток кривой, ÜL-эквивалентный особенности A¡ (полукубическая парабола). В. И. Арнольд11 описал эту особенность в контактном пространстве в том случае, когда она является простой:

Теорема 3 (В. И. Арнольд). С точностью до контактной эквивалентности существует ровно пять простых особенностей в контактном пространстве С2""1"1, RL-эквивалентных ростку полукубической параболы (t2, t3,0,..., 0);

а0 : (z = t2, gi = t3, q>i=p = 0),

Ь1: (z = t3,q1=t2,q>l=p = 0),

с2 : (z- t4,qi = t2,pi - i3,q>i =p>i = 0),

e3 : (z = t\ qi = t2, ç2 = t3,pi = t5, q>2 = p>г = 0),

/4: (2 = <4,91 = *2,д2 = ^,9>2=р = 0).

Однако в диссертации показано, что две последние нормальные формы (е3 и /4) контактно эквивалентны, поэтому одну из них, например е3, можно из приведенного списка исключить.

llV. I. Arnold, First steps of local contact algebra. Cañad. J. Math., v. 15 (1999), no. 6, p. 1123-1134.

Мы классифицируем остальные стабильно простые особенности мультиростков в контактном пространстве относительно формальной стабильной эквивалентности (т.е. в качестве координатных замен мы рассматриваем преобразования, которые задаются формальными степенными рядами). Разумеется, при определении (контактной) стабильной эквивалентности и простоты надо потребовать, чтобы вложение г : (<С2п+1,0) '->■ (С2№+1,0) было согласовано с контактными структурами на этих пространствах.

Предположим, что в пространстве С2""1"1 задана система координат (рь ... ,р„,<7ь... ,<?„, в которых форма, задающая контактную

п

структуру, имеет стандартный вид ¿г + ^ (по контактной те-

<=1

ореме Дарбу такая система координат всегда существует). Точку, имеющую координаты (г, ^..., д„,рх, ■ ■ ■ ,р„ \, мы будем обозначать

ОФь.. .,Яп,Р1.....Рп). Если координаты р, и равны нулю для всех

г > г0, то иногда при записи эти координаты мы будем опускать. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 4. Всякий (контактно) стабильно простой мультиросток с точностью до перестановки компонент стабильно формально эквивалентен одному и только одному мультиростку из следующего списка.

1 Особенности неприводимых кривых

1.1 Регулярные кривые

1.(«|0;0) 2.(Г|*;0), т > 1

1.2 Кривые кратности 2

Здесь мы не приводим список, принадлежащий В. И. Арнольду.

1.(г3|г2;0) 2.(*2|г2т+1;0) з.(г4 + *2т+1|*2;0) 4.(*4|*2; г2т+1) 5.(г4|г2,*2т+1; о, о)

1.3 Кривые кратности 3

1.(*3|г4;45) 2.(*3|44,г5;0,0) З.(*3|*4 + г5; 0)

4.(£3|44; 0) в.(г3|<5; £7) 6.(г3|45, *7; 0,0)

7.(43|45 + 47;0) 8.(43|45;0) 9.(43|47;48)

10.(г3|47,*8;411,0) 11.(*3|г7,48;0,0) 12.(44|*3; ¿5)

13.(г4|г3,г5;0,0) 14.(44 + ¿6|43; 0) 15.(44|43;0)

2 Особенности приводимых кривых

2.1 Мультростки, состоящие из неособых компонент

2.1.1 Мультиростки, состоящие из двух неособых компонент

Первая компонента имеет вид (¿|0;0). Мы указываем только вторую компоненту

1.(*|*;0) 2.(4т|*;0), то > 1 3.(г|Г;0)

2.1.2 Мультиростки, состоящие из трех неособых компонент

Первые две компоненты имеют вид ((¿|0,0;0,0), 0;0,0)). Мы указываем только третью компоненту.

1.(г|0;4) 2.(*|0,«;0,0)

З.(гт|0;*), тп > 1 4.(4т|0,4;0,0), тп > 1

2.2 Мультиростки, содержащие одну неособую и одну особую компоненту

Здесь неособая компонента имеет вид (<|0,0;0,0). Мы указываем

только особую компоненту.

1.(«2|«2;4ат+1) 2.(£2|£2,£2т+1;0,0) З.(г2|*2 + ¿2т+1; 0)

4.(*3|42;г3) 5.(*3|<2,^;0,0) 6.(<3|*2 + 0)

7.(*3|г2;0) 9.(*2|^,*4;0,0)

Ю.(г2|43 + 44;0) 11.(*2|*3;0) 12.(*2|*4,0;^,0) 13. (¿2|*4, ¿5; Ь7,0) 14.(*2|г4, 0,0)

Я благодарен своему научному руководителю профессору Сабиру Меджидовичу Гусейн-Заде за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] П. А. Колгушкин, Классификация простых мулътиростков кривых в пространстве, снабженном симплектической структурой. Алгебра и анализ, том 15 (2003), вып. 1, стр. 148-183.

[2] П. А. Колгушкин, Классификация простых мулътиростков кривых

в контактном пространстве. Успехи матем. наук, том 59 (2004),

вып. 3, стр. 171-172.

щ-мъш

РНБ Русский фонд

2005-4 48123

Издательство ЦП И при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /О. 2 ОО 4 / Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.4,0

Тираж 100 экз. Заказ 3 В

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001 г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А.М Ляпунова.

Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли G. Модальностью точки х 6 X называется такое наименьшее число га, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом m-параметрических семейств орбит действия группы G. Точка х 6 X называется простой, если ее модальность равна нулю, т.е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит, см. [7].

В. И. Арнольд в работе [1] классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной jR-эквивалентно сти (две функции называются ^-эквивалентными, если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат; два ростка функций называются стабильно ^-эквивалентными, если они становятся R-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных, см. [7]). А именно, им была доказана следующая теорема.

Теорема 1 (В. И. Арнольд). Простые ростки голоморфных функций исчерпываются с точностью до стабильной эквивалентности следующим списком:

Ak : f(x)=xk+\ к> 1; Dk : f(x, у) = х2у + ук71, к > 4;

Eq : f(x, у) = х3 + у4;

Е7: f(x,y) = х3 + ху3]

Е8: f(x,y) = x3 + y5.

Кроме того, В. И. Арнольд обнаружил, что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями, см. [2]. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной. В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.

Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали неприводимые плоские кривые в работе [9]. В [11] С. G. Gibson и С. A. Hobbs дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трехмерном комплексном пространстве. Классификация (стабильно) простых особенностей неприводимых кривых в линейном комплексном пространстве произвольной размерности была выполнена В. И. Арнольдом в работе [3]. "f ^

Дадим теперь необходимые определения. Особенность неприводимой кривой в начале координат вС — это росток комплексно-аналитического отображения / : (С, 0) —У (С",0). Пусть L (соответственно R) — группа координатных замен в (С^О) (соответственно в (С, 0)), т.е. группа ростков невырожденных аналитических отображений (С", 0) —У (С71, 0) (соответственно (С, 0) (С, 0)). Группа L (соответственно R) называется группой левых (соответственно правых) координатных замен. Группа L х R действует на пространстве ростков следующим образом:

9,h)-f = gofo h~\ geL,h<ER.

Два ростка называются эквивалентными, если они лежат в одной орбите этого действия.

Особенность называется простой, если все достаточно близкие к ней особенности принадлежат конечному набору классов эквивалентности (под близостью здесь понимается близость в смысле топологии Уитни: базие этой топологии состоит из прообразов открытых множеств в пространстве m-струй для каждого т). Особенность называется стабильно простой, если она остается простой при вложении пространства, содержащего кривую, в любое пространство большей размерности. Кривые, которые становятся эквивалентными после таких вложений, называются стабильно эквивалентными, см. [3].

В. И. Арнольд в работе [3] классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной эквивалентности. В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид х\ — £4, Х2 = ¿6, #>2 = 0 (mod t7), и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.

Приведем список В. И. Арнольда полностью.

1. Кривые с ненулевой 2-струей

A2fc = (t2,i2fc+1).

2. Кривые с нулевой 2-струей, но ненулевой 3-струей

Здесь к > 1, 0 < р < к, 0 < г < к - 1.

E6kpi = {t\tu+1 + t5k+2+3i,t3k+2+5P)

3. Кривые с 6-струей (£ W •.)

Здесь параметр к является целым числом. о>к = (¿4,г6 + *2*+1), к> 3 t\t6 + t2k+3,t2k+u), к> 2

Cjfe ■= (*4,t6 + i2*+5,i2fe+9), fc>l

4 = + ¿24+9^+11^ k > О ek = (i4,i6,i2fc+9,i2fc+n), fc>-l

Л = (i4,i6,^+5,i2fe+7), fc>l fc - (¿W2*+7), fc>0.

4. Спорадические кривые 4.1 Кривые кратности 4

I.(t4, t5, i6, ¿7) 2.(*4, i5, i6) 3.(i4, i5, t7) 4.(*4, i5 + i7, i11) t\ tu) 6.(i4, i5 + i7)

8.(*4, ¿7, i9, ¿10) 9.(*4, *7, ¿9 + ¿10) 10. (¿4, t\ t9)

II.(i4,t7 + i9,i10,i13) 12 .(t\t7,tl0,tu) 13.(i4,i7 + t9,i10) 14. (i4, *7, i10) 15.(t4, *7 + i9, i13) 16. (t\ t\ t13) lT.(i4, i7 + i9, t17) 18. (i4, *7 + i13, i17) 19.(i4, i7, t17)

20.(t4, i7 + i9) 21.(i4, t7 + t13) 22.(i4,*7) 23 .(t4,t9,t10,tu) Ш

4.2 Кривые кратности 5 l.(i5,tWV9) 2.{t\t\t7,t*)

3 .(t5,t6,t7,t9) 4 .(¿5,i7,t8,i9) 5.(i5,i7,*8,*9,tn) 6.(t\t6,t\t9)

4.3 Кривые кратности 6 i.^V7,*8,*9,*10,*11) 2 .(t6,t7,t8,i9,t10) 3.(i6,i7,i8,t9,in)

C. G. Gibson и С. A. Hobbs в своей работе [11] получили кривые этого списка, которые могут содержаться в трехмерном пространстве. Авторы пришли к этой задаче, изучая движение твердого тела в трехмерном пространстве. При движении тела каждая его точка движется по какой-то кривой. У авторов возник вопрос, какие особенности могут иметь такие кривые в случае общего положения.

При рассмотрении ростков приводимых кривых естественным образом щ возникает понятие мультиростка.

Определение 1. Мулътиросток в (С™,0) — это набор .Р = (Л,.,/*;) ростков аналитических отображений : (С, 0) —> (С^О), где lm.fi П lшfj = {0} для г ф у (Д,., /}. называются компонентами мулъти-ростка).

На пространстве мультиростков действует группа Ь х х . х Щщ: где — экземпляр с номером г группы правых координатных замен, по формуле д, /1Ь ., Нк) • (/ъ • • •, /*) = (9°/1° ¿Г1* •■■.Р0Л° 1).

Определение 2. Два мулътиростка Р и Р' в (С^О) называются Я,Ь-эквивалентными, если они лежат в одной орбите определенного выше действия.

Определение 3. Мулътиросток Р = (/х,.,/*;) называется простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р п пересекающая только конечное число орбит. Мулътиросток называется стабильно простым, если он остается простым после вложения (О1,0) <ч> (С*, 0).

Стабильно простые особенности мультиростков в комплексном пространстве произвольной размерности были классифицированы автором совместно с Р. Р. Садыковым в [12], [13].

Рассмотрим обобщение понятия Неэквивалентности мультиростков.

Пусть С С Ь — некоторая подгруппа группы Ь левых координатных замен. Тогда положим = (7 х х . х , где — экземпляр с номером г группы правых координатных замен. Группа .КС? (право-левых координатных замен) действует на пространстве мультиростков по формуле

Л"1).

Определение 4. Два мулътиростка Р и Р' в (Сп,0) называются КС-эквивалентными, если они лежат в одной орбите действия группы 1Ю.

Определение 5. Мулътиросток Р = (Д,., /&) называется КС-простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р и пересекающая только конечное число КС-орбит.

Теперь предположим, что в комплексном пространстве задана какая-то дополнительная структура, например симплектическая или контактная. В качестве группы С мы можем рассмотреть подгруппу группы Ь, состоящую из локальных диффеоморфизмов, сохраняющих эту структуру.

Допустим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т.е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма ш. По известной теореме Дарбу существуют такие координаты (#1,., <7п;Ръ ■ • -Рп) (они называются симплектическими), в КО

71 торых локально форма ш = ]Г) ¿р1 Л В качестве группы (7 мы теперь рассматриваем группу локальных симплектоморфизмов нашего пространства, т.е. локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую форму ш. В этой ситуации мы будем называть ^^-эквивалентность симплектической эквивалентностью.

Мультиросток называется симплектически стабильно простым, если он остается простым после вложения г : (С2п, 0) (С2ДГ, 0), причем если — росток симплектической формы в (С2п,0), а — росток симплектической формы в (С2ЛГ,0), то г*а>2 = шх. Мультиростки, которые после таких вложений становятся симплектически эквивалентными, называются симплектически стабильно эквивалентными.

Пусть в этом пространстве задан росток кривой, эквивалентный (г2, ¿2т+1) (особенность

А2т) в смысле обычной ЛЬ-эквивалентности (т.е. если рассматривать все локальные диффеоморфизмы). Возникает естественный вопрос: на какие орбиты действия группы симплектических замен распадется ИЬ-орбита этого ростка? Ответ на этот вопрос был дан В. И. Арнольдом в работе [5]. Вот как он выглядит. Здесь и далее координаты (^1,., • • • ,Рп) считаются симплектическими, если не оговорено противное.

Теорема 2. Пусть есть росток кривой, который ИЬ-эквивалентен (¿2, ¿2т+1). Тогда он симплектически эквивалентен одному и только одному ростку из следующего списка.

А2т,о : (<71 = ,Р1 = ¿2т+1,Р>1 = q>l = 0)

А2т,г : Ы = ¿2,42 = 12т+\Р1 = ?т+2г+1,Р>1 = д>2 = 0), 0 < г < 2т

Замечание. При г = 2т моном ¿2т+2г+1 в координате р\ можно заменить нулем.

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что мультиросток, ИЬ-эквивалентный (¿2,£2тп+1), остается симплектически простым.

Мы классифицируем остальные симплектически простые ростки неприводимых кривых, а также все симплектически простые ростки приводимых кривых (мультиростки). Основным результатом является следующая

Теорема 3. Вслкий симплектически стабильно простой мультиросток с точностью до перестановки компонент симплектически стабильно эквивалентен одному и только одному мулътиростку из следующего списка.

1. Ростки неприводимых кривых

Здесь мы не указываем список В. И. Арнольда, приведенный выше.

1.(г3, г5; г4, о) 2.03; г4) з.03, г4; г5, о)

4.(г3, г4; о, /) 5.03, г4, ¿7, о, о) 6.03, ¿4, г5; г8, о, о) 7.(г3, г4, г5; о, о, о) 8.03, г7; г5, а) 9.03; г5)

2. Мультиростки, состоящие двух компонент

2.1 Обе компоненты неособые. Здесь а > 1 и Ъ — натуральные числа.

1.(0;О),(О;*)) 2.(0,0; 0,0), (0,*; 0,0))

3.(0;О),0;*а)) 4.(0,О;О,О),0,Г;О,О)

5.(0, 0; 0,0), 0, Г; 0)) а < Ъ < За - 1

2.2 Одна из компонент особая. Здесь т и к — натуральные числа.

I.(02,*2т+^2т+\О),(О,О;*,О))

2 .((V2, ¿2т+1; *2А:+1, 0), (0,0; 0)), т<к< 3 т 3-(02, £2т+1; 0,0), (0,0; 0))

5-(02,0; £3, £3), (0, 0,0))

6.(02,О;*3,О),(О,*;О,О))

7.(02,*3;*5,О),(О,О;О,О)

8.(02,*3;О,О),(О,О;О,г))

9.(02,*3,О;*5,0,0), (0,0,*; 0,0,0))

10.(02,*3,О; 0,0,0), (0,0,*; 0,0,0))

II.(02,*4;г3,О),0,О;О,О)) 12.(02;*3),0;О))

3. Мультиростки, состоящие из трех компонент

Здесь а > 1 и Ь — натуральные числа.

1.(0,0; 0,0), (0,0; 4, 0),(М;*,0))

2.((*,0;0,0),(0,0;г,0),(М;0,0))

3.(0,0;0,0),(0,0;*,0),(0,*; 0,0))

4.(0,0, 0; 0,0, 0), (0, 0; 0, 0, 0), (0,0, ¿; 0,0, 0))

5.((*;0),(0; *),(*;*))

6.(0;О),(О;*),0;Г))

7.(0,0; 0, 0),(0,0;г,0),(Ма;*а,0))

8.(0,0;О,О),(О,О;г,О),0,*а; 0,0))

9.(0,0; 0,0), (0,0; 0), 0, ¿а; 0)), а < Ь < За - 1

Доказательство этой теоремы изложено в главе I.

Теперь предположим, что наше пространство имеет нечетную размерность 2n + 1 и в нем задана контактная структура, т.е. распределение гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющее условию "максимальной неинтегрируемости". Пусть теперь G = С ont — подгруппа группы L, состоящая из ростков контактных диффеоморфизмов, т.е. диффеоморфизмов, сохраняющих контактную структуру. В этом случае мы будем называть .RG-эквивалентность контактной эквивалентностью. По теореме Дарбу о контактных структурах в пространстве (C2n+1, 0) существует система координат (z, qi,., qn,Pi, • • • ,Рп), в которых 1-форма, задающая контактную структуру, имеет вид dz + Pjdqj.

Пусть в этом пространстве дан росток кривой, ДЬ-эквивалентный особенности А2 (полукубическая парабола). В. И. Арнольд в работе [4] описал эту особенность в контактном пространстве в тех случаях, когда она является простой. А именно, в упомянутой работе была доказана следующая теорема.

Теорема 4. С точностью до контактной эквивалентности существует ровно пять простых особенностей в контактном пространстве C2n+1, RL-эквивалентных ростку полукубической параболы (t2, i3, 0,., 0): a0: {z = t2,qi = tz,q>l=p = $), bl: {z = t3,qi = t2,q>1 = p = 0), с2 : (z = t4, qi = t2,pi = i3, q>i = p>i = 0), e3 : (z = t4, qi = i2, q2 = *3,.Pl = t5, q>2 = p>i = 0),

4: (Z = t4,qi = t2,q2 = t3,q>2=p = 0).

Однако, как мы покажем в дальнейшем, две последние нормальные формы (е3 и /4) контактно эквивалентны, поэтому одну из них, например е3, можно из приведенного списка исключить.

Также в работе [4] был указан росток непростой (с контактной точки зрения) кривой, iîL-эквивалентный А2, к которому примыкают все остальные особенности, -RL-эквивалентные А2: z = at5,qi = t2,pi = t3, q>2 = p>2 = 0). (1)

Мы классифицируем остальные стабильно простые особенности муль-тиростков в контактном пространстве относительно формальной стабильной эквивалентности (т.е. в качестве координатных замен мы рассматриваем преобразования, которые задаются формальными степенными рядами) . Разумеется, при определении (контактной) стабильной эквивалентности и простоты надо потребовать, чтобы вложение i : (С2п+1,0) <— т

С2ЛГ+1,0) было согласовано с контактными структурами на этих пространствах.

Предположим, что в пространстве С2п+1 задана система координат (рх,. ,рп, дх,., г) в которых форма, задающая контактную струкп туру, имеет стандартный вид + Точку с такими координа1 тами мы будем обозначать (^|дх> • • • ? Яп\Ръ • • • ,Рп)• Если координаты р{ и qi равны нулю для всех г > ¿о, то иногда при записи эти координаты мы будем опускать. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 5. Всякий (контактно) стабильно простой мулътиросток с точностью до перестановки компонент стабильно формально эквивалентен одному и только одному мультиростку из следующего списка.

1 Особенности неприводимых кривых

1.1 Регулярные кривые

1.(г|0;0) 2.(*т|*;0), т > 1

1.2 Кривые кратности 2

Здесь мы не приводим список, принадлежащий В. И. Арнольду.

1.(г3|*2; 0) 2.(£2|£2т+1; 0) 3.(*4 + ¿2т+1|¿2; 0) 4.(*4| 12-12т+1) 5.(£4|£2, ¿2т+1; 0,0)

1.3 Кривые кратности 3

1.(*3|*4; 2.(*3|*4, 0,0) 3.(^|*4 + 0)

4.(£3|£4; 0) 5.(*3|*5; £7) 6.(*3|*5, *7; 0,0) *7; 0) 8.(*3|*5; 0) 9.(г3|*7; ¿8)

10.(£3|£7, ¿8; 0) 11.(*3|*7,г8;0,0) 12.(г4|*3; *5)

13.(*4|г3, £5; 0,0) 14.fi4 + £6|£3; 0) 15.(*4|г3; 0)

2 Особенности приводимых кривых

2.1 Мультростки, состоящие из неособых компонент

2.1.1 Мультиростки, состоящие из двух неособых компонент

Первая компонента имеет вид (£|0;0). Мы указываем только вторую компоненту

1.(*0) 2.(Г|£; 0), т > 1 З.(фт] 0)

2.1.2 Мультиростки, состоящие из трех неособых компонент

Первые две компоненты имеют вид ((¿|0, 0; 0, 0), (¿|0; 0,0)). Мы указываем только третью компоненту.

1.(*|0;*) 2.(*|0,*;0,0) З.(гт|0;£), т >1 4.(*т|0,0,0), т > 1

2.2 Мультиростки, содержащие одну неособую и одну особую компоненту

Здесь неособая компонента имеет вид (£|0, 0; 0, 0). Мы указываем только особую компоненту.

1.(£2|£2;¿2т+1) 2.(*2|*2,*2т+1;0,0) 3.(*2|*2 + ¿2т+1; 0)

4.(г3|г2;*3) 5.(*3|г2,г3;0,0) 6.(*3|*2-И3; 0)

7.(*3|г2; 0) 8.(г2|*3; ¿4) 9.(*2|*3, *4; 0,0)

10.(*2|*3 + ¿4; 0) 11.(£2|£3; 0) 12.(^4, 0; ¿5,0)

13.(*2|г4, 0) 14.0, 0)

Доказательство этой теоремы содержится в главе II.

Доказательства теорем 3 и 5 проводятся с помощью гомотопического метода, который был предложен Р. Томом, см. [7]. Опишем основные идеи этого метода. Пусть нам даны отображения / и / : М —> N гладких многообразий М и N. Мы хотим построить такие диффеоморфизмы Н и К, чтобы следующая диаграмма была коммутативной:

М N н к

М -Ц N

Чтобы это сделать, мы соединяем отображения / и / кривой так что /о = / и /х — f. Искомая коммутативная диаграмма распадается в произведение диаграмм соответственно разбиению коммутативного квадрата на прямоугольники с малой высотой А. Каждому такому прямоугольнику отвечает диаграмма

М -А» N яд кА

М ^ N

Если нам удастся для всех £ от 0 до 1 построить Яд и в первом приближении по А (с погрешностью порядка о(Д)), то, "интегрируя полученные инфинитезимальные коммутативные диаграммы", мы получим искомую диаграмму.

Проиллюстрируем гомотопический метод с помощью следующей леммы, # которой мы будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть на гладком многообразии М гладко действует группа Ли С. Пусть также на М задана гладкая кривая х : [0,1] -» М. Предположим, что в алгебре Ли ТеС группы С? выбрано такое однопараметри-ческое семейство векторов ^ £ ТеС, гладко зависящее от параметра что

-х({) = -х({) для всех £ 6 [0,1]. Тогда найдется такой элемент д 6 <7, что д • ж(1) = *(0).

Доказательство. Достаточно показать, что для каждой точки to £ [0,1] найдется такое положительное число е > О, что при всех ¿о — £ < t <tQ + £ точки хлежат в одной орбите действия группы С. После этого остается воспользоваться компактностью отрезка.

Итак, зафиксируем произвольную точку ¿о отрезка [0,1]. Рассмотрим для каждого Ь £ [0,1] левоинвариантное векторное поле vt(■) на группе (7: уг{д) = (1Ьдуи где Ьд — левый сдвиг на элемент д. Рассмотрим на группе С? систему уравнений $ =

I 910 = е

По теореме существования и единственности решения задачи Коши на гладком многообразии найдется такое число £ > 0, что в ^-окрестности точки ¿о существует решение д1 рассматриваемой системы. Проверим, что имеет место равенство дг • х^) = х{Ц). Действительно, во-первых 9го • я (¿о) = поскольку д^ = е. Во-вторых,

9%--^-= 9t = (<ЛЫ) ■ Ф) + ® М = -¿И + ¿(0 = о

Отсюда вытекает, что д% • = ж (¿о) и поэтому все точки х(1;) при — £ < ¿о + £ лежат в одной орбите действия группы С. □

Это рассуждение, в целом, аналогично доказательству известной леммы Мазера в [14].

Также в доказательствах теорем 3 и 5 использовались методы сим-плектической и контактной геометрии (в частности, теоремы Дарбу-Гивенталя), которые будут изложены в соответствующих главах. Результаты диссертации опубликованы в работах [15], [16].

1. В. И. Арнольд, Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Аk, Dk, Ek и лагранжевы особенности. Функц. анализ, том б (1972), вып. 4, стр. 3-25.

2. В. И. Арнольд, Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. УМН, том 28 (1973), вып. 5, стр. 17-44.

3. В. И. Арнольд, Простые особенности кривых. Труды Математического Института им. В. А. Стеклова, том 226 (1999).

4. V. I. Arnold, First steps of local contact algebra. Canad. J. Math., v. 15 (1999), no. 6, p. 1123-1134.

5. V. I. Arnold, First steps of local symplectic algebra. Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, 1-8, Amer. Math. Soc. Transí. Ser. 2, 194, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

6. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики. Наука, М. — 1974.

7. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений-I, Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Наука, М. — 1982.

8. В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, Симплектическая и контактная геометрия. Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики, фундаментальные направления, том 4, М. — 1985.

9. J. W. Bruce, Т. J. Gaffney, Simple singularities of mappings (С, 0) —> (C2,0). J. London Math. Soc. (2) 26 (1982), p. 465-474

10. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия: методы и приложения. Том 1: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001.

11. С. G. Gibson, С. A. Hobbs, Simple singularities of space curves. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. v. 113 (1993), No. 2, p. 297-310

12. П. А. Колгушкин, P. P. Садыков, Классификация простых мулъти-ростков кривых. УМН, том 56 (2001), вып. 6, стр. 153-154.

13. P. A. Kolgushkin, R. R. Sadykov, Simple singularities of multigerms of curves. Revista Matematica Complutense, v. 14 (2001), No. 2, p. 311-344. (см. также препринт math. AG/0012040)

14. J. N. Mather, Stability of C°°-mappings IV: Classification of stable germs by R-algebras. Publ. Math., IHES, 37 (1970), p. 223-248.

15. П. А. Колгушкин, Классификация простых мулътиростков кривых в пространстве, снабженном симплектической структурой. Алгебра и анализ, том 15 (2003), вып. 1, стр. 148-183.

16. П. А. Колгушкин, Классификация простых мулътиростков кривых в контактном пространстве. УМН, том 59 (2004), вып. 3, стр. 171-172.