Симплексическая геометрия интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

\ ^ \\0Л : -л

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукоггист:

Кругликов Борис1 Серафимович

УДК 517.938 / 514.756.4

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

01.01.04 — геометрия я топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор А. Т. Фоменко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ю. С. Ильяшенко,

кандидат физико-математических наук Ю.Р. Романовский.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится " / " 1995 г. в 16 ч. 05 мин. на

заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан -/ » ЦО&ЬрЯ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи механики и физики описываются при помощи динамических систем специального вида, так называемых гамлль-тоаовых систем. Исследование этих систем было начато в работах У. Р. Гамильтона1 и является одной из активно развивающихся областей математики сегодня (см. обзоры2,3,4). Исследование геометрических свойств фазового пространства гамильтоновых систем, восходящее к С. Ли, привело к созданию сшлплектпческой геометрии, методы которой (см. работу5) можно успешно применять при решении задач гамильтоновой механики.

Диссертация посвящена исследованию некоторых вопросов, появляющихся на пересечении симплектической геометрии и гамильтоновой механики. В ней, в основном, рассматриваются нерезонансные интегрируемые в боттов-ском смысле гамильтоновые системы на неособой гиперповерхности постоянной энергии. Теория и методы исследования систем такого вида были заложены и развиты в работах А.Т. Фоменко, A.B. Волсинова, C.B. Матвеева, X. Цишанга и др. (см. работы4,6).

В 1993 году А. Т. Фоменко и А. В. Болсинов получили полную траекторную классификацию рассматриваемых систем в непрерывной категории7. Важной составляющей этой работы является получаемая после редукции задача о точной классификацш! гамильтоновых векторных полей на поверхностях. В гладкой категории такая редукция также существует8. Решение соответствующей задачи точной классификации — одна го наиболее существенных частей диссертации. С другой стороны, этот результат можно рассматривать как обобщение классификации симплектических поверхностей с (простым) слоением Морса9. Более того, в диссертации получена точная классификация га-

1У.Р. Гамильтон, "Избранные труды", М., "Наука", 1994.

2 В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, " Математические аспекты классической и небесной механики", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, , т.З, М., ВИНИТИ, 1935.

3Б. А. Дубровин, И.М. Кричивер, С.П. Новиков, "Интегрируемыесистемы I", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т.4, с. 179-285, М., ВИНИТИ, 1985.

4А.Т. Фоменко, "Симплектическая геометрия. Методы и приложения", М., МГУ, 1988.

5В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, "Симплектическая геометрия", Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т.4, с. 5-139, М., ВИНИТИ, 1985.

SA. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А.Т. Фоменко, "Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систе'м малой сложности", Успехи Мат. наук, 45, вып. 2 (272), с. 59-77, 1990.

7А. В. Болсинов, А.Т. Фоменко, "Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. Части 1,11", Математический сборник, 185, U 4,5, с. 27-80, 27-78, 1Э94.'

8А. В. Болсинов, "Гладкая траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы", Математический сборник, Л/"1, 1994.

9Jean-Paul Dufour, Pierre Molino et Anne Toulet. "Classification des systèmes integrabUs en

мильтоновых векторных полей на поверхностях с инволюцией, что позволяет продолжить теорию траекторией классификации на так называемые системы со звездочками (см. работу6).

Цель работы. Построить теорию классификации с точностью до гладкой сопряженности гамильтоновых векторных полей на двумерных многообразиях. Исследовать интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы на изоэнергетических подмногообразиях. Получить критерии реализуемости бифуркационных диаграмм общего вида. Найти элементарные конструкции полных симплектических упаковок и получить новые оценки на полноту упаковок.

Методы исследования. Доказательство основных теорем опирается на методы маломерной топологии, теории Морса, симплектической и дифференциальной геометрии, теории динамических систем, а также на использование нового подхода в исследовании интегрируемых гамильтоновых систем, предложенного А. Т. Фоменко.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Построена теория точной классификации гамильтоновых векторных полей на двумерных многообразиях в категории Ск, к = 1,..., оо, т.е. произведено сопоставление каждому такому полю набора объектов (инвариантов, в нашем случае это графы и числа), причем два поля Ск-точно эквивалентны тогда и только тогда, когда наборы инвариантов совпадают.

2. Пункт 1 обобщен на векторные поля, инвариантные относительно инволюции специального вида.

3. Классифицированы симплектические поверхности со слоением Морса.

4. Доказана эквивалентность двух определений резонансности гамильтоновых систем.

5. Найден критерий продолжения лагранжева расслоения на двумерные торы над кольцом до лагранжева расслоения над диском, а также некоторые обобщения.

6. Найден образ в когомологиях множества симплектических форм в окрес • ности гиперповерхности симплектического многообразия с заданным

ядром при ограничении на гиперповерхность.

7. Получена полная симплектйческая упаковка элементарными средствами а также получены новые оценки на полноту упаковки.

8. Топологически классифицированы гамильтоновы системы Леггетта.

dimension 2 et invariants des modeles de Fomenko", Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. 318. вып. 10. с. 949-952. 1994.

9. Получено геометрическое описание явления монотонности функции вра-. щения.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть полезны специалистам по гамильтоновой механике, теории динамических систем и симплек-тической геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

• на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложении под руководством акад. А. Т. Фоменко (МГУ),

• на семинаре " Современные геометрические методы" под руководством акад. А. Т. Фоменко (МГУ),

• на семинаре под руководством акад. Д.В. Аносова и проф. A.M. Степана (МГУ),

• в рамках конференции молодых ученых на семинаре под руководством проф. В. В. Козлова (МГУ),

• на конференции по дифференциальной геометрии и квантовой физике организованной техническим университетом Берлина (г. Миедзиздройа, Польша, Март, 1994),

• на отделении постеров на международном математическом конгрессе (Цюрих, Швейцария, Август, 1994),

• на международной конференции по динамическим системам в институте Капицы (Москва, Август, 1994),

• на Московской общетопологической конференции им. П. С. Александрова (МГУ, Май, 1995),

t на международной конференции по топологии (Киев, Май-Июнь, 1995)

Также некоторые результаты обсуждались с участниками

• международной конференции ц рабочего совещания в международном центре теоретической физики в Триесте (Италия, Октябрь, 1994)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, пяти глай, включающих 22 параграфа и 71 рисунок, и приложения. Объем диссертации — 121 страница. Список литературы содержит 78 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Мы будем, в основном, рассматривать интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы (Мл ,и>, и = sgradw Н). Зачастую мы будем ограничиваться изучением таких систем на неособых гиперповерхностях

постоянной энергии Q3 = {Я = const}, являющихся интегральными. Дополнительный интеграл F можно считать заданным в малой окрестности Q3 (и даже только на самом Q3), и мы будем предполагать его боттовским, т.е. невырожденным в смысле Морса на трансверсали в Q3 к любому из своих критических многообразий, являющихся объединением критических точек.

В начале первой главы мы даем обзор необходимых понятий, результатов и методов топологического исследования таких систем. В третьем параграфе мы рассматриваем резонансные интегрируемые системы (с двумя степенями свободы) и доказываем следующий результат:

Теорема 1. Все траектории интегрируемой гамильтоновой системы (H,F) на трехмерном изоэнергетическом подмногообразии Q3 = {Н = const} С (M4,w) замкнуты тогда и только тогда, когда на нем существует дополнительный (третий) боттовский интеграл К такой, что функции F, К функционально независимы на Q3 почти всюду.

Кроме того, доказано, что любой инвариант Фоменко (грубый топологический инвариант) реализуется на резонансных системах.

В первом параграфе главы 2 дана топологическая классификация гамиль-тоновых систем Леггетта динамики спина в сверхтекучем гелии-3, фаза А. Заменой переменных эта задача сводится к случаю Клебша системы уравнений Кирхгофа движения тела в идеальной жидкости на фазовом пространстве, являющемся алгеброй Ли е(3) = ТеЕ(3) = R6(s,d) группы Ли движений трехмерного пространства R3 со стандартными скобками Пуассона. Эта система гамильтонова с гамильтонианом

~ + s2 + «з ~ 7«з -

Она имеет четыре функционально независимых п.в. интеграла:

d = d\ + ¿2 4- d\, s • d = Sid\ + s2d2 + s3d3, H = E, F = s3.

Первые два являются функциями Казимира. Зафиксировав их, мы получаем четырехмерное симплектическое многообразие. Зафиксировав также значение гамильтониана, мы получаем трехмерное изоэнергетическое многообразие и гамильтонову систему sgradu Л на нем. Применяя теорию топологической классификации6, получаем следующее утверждение.

Те ор ема 2. Тонкие топологические инварианты, классифицирующие лиувил-левы слоения на изоэнергетических подмногообразиях, в случае системы Леггетта, А-фазы, имеют вид, изображенный на рисунке:

А——А

А-^-А

А——А Н&Ч

П-=0

В параграфе 3 второй главы рассматривается эффект монотонности функции вращения на ребре молекулы. Ребром молекулы интегрируемой гамильто-новой системы с двумя степенями свободы называется однопараметрическое семейство торов Лиувилля. Выберем какой-нибудь базис циклов на одном из торов (а значит и на каждом). Тем самым на любом торе определены угловые координаты. Вектор гамильтоновой системы имеет постоянные координаты на каждом торе. Отношение этих координат при изменении торов называется функцией вращения на ребре7. Угловой функцией называется арктангенс функции вращения.

Теорема 3. Функция вращения на ребре монотонна тогда и только тогда, когда на нем существует контактная форма о, инвариантная относительно естественного гамильтонова действия тора, и такая, что ее произведение с симплектической формой и — нулевое: а А и = 0.

Теорема 4. Рассмотрим гшильтонову систему на (Т'Р2,и>0) с гамильтонианом Я = + £/(<?) I где Р2 — замкнутая поверхность, (д,р) — стандартные координата-импульс. Если система интегрируема, то при больших энергиях, Н = Е 1, на любом ребре молекулы угловая функция представима в виде суммы монотонной функции и возмущения, не превосходящего по модулю у.

В параграфе 4 рассматривается следующий инвариант гиперповерхности в симплектическом многообразии. На гиперповерхности С} ограничение сим-

в

плектической формы вырождено и имеет одномерное ядро в каждой точке. Объединение этих ядер называется характеристическим распределением X. Рассмотрим множество симплектических форм в окрестности гиперповерхности, индуцирующих данное характеристическое распределение X. Множество соответствующих им когомологических классов обозначим ЩХ) С Н2((};Щ. Инвариант (1(1) является полиэдрообразным конусом для гиперповерхностей четырехмерного симплектпческого многообразия в следующих случаях:

(1) Характеристическое распределение неинтегрируемо по Лиувиллю на многообразии С?3.

(2) Оно интегрируемо с боттовским интегралом и нерезонансно.

(3) Оно резонансно, т.е. все интегральные траектории замкнуты.

Более того, инвариант П характеризует эти случаи следующим образом.

Теорема 5. Если характеристическое распределение удовлетворяет требованию (1) или (3), то из условия 0 6 ЩХ) следует ЩХ) = 0, тогда как в случае (2) из условия 0 € ЩХ) следует ЩХ) =< Т >*, где < Т >* — подпространство в Н2(<Э;Е.) = Нотн(Я2К),К), аннулирующее все лагранжевы торы, т.е. ЩХ) принимает максимально возможное значение.

В главе 3 рассматривается точная гладкая классификация гамильтоновых векторных полей с морсовским гамильтонианом на двумерном многообразии, т.е. классификация с точностью до диффеоморфизма, переводящего одно векторное поле в другое. Так как почти все траектории таких векторных полей замкнуты, на кольцах, остающихся после выбрасывания особых слоев слоения траекториями, имеется естественный инвариант: класс сопряженности функции периодов (т.е. эти функции рассматриваются на ребре — факторпроек-ции кольца по (рас)слоению — без параметризации). Рассмотрим фактор Г рассматриваемого двумерного многообразия по слоению на траектории. Это — граф, ребра которого соответствуют расслоенным траекториями кольцам. Поставим на каждом из них метку р — класс С^-сопряженности функции периодов. Вершины графа Г соответствуют особым слоям, и для полной точной классификации мы должны сопоставить вершинам метки-инварианты. Таким образом, искомая классификация сводится к классификации ростков гамильтоновых. векторных полей на особом слое слоения. Предположим, что особый слой является гиперболическим (эллиптический случай проще). Фиксируем какую-нибудь функцию Морса и симплектическую форму в окрестности особого слоя, порождающие данное гамильтоново поле. Тогда задача о точной (гладкой) классификации ростков таких полей сводится к следующей.

Рассмотрим связную компактную ориентируемую поверхность Р2 с краем

ДОЗ - I I с1 тгп т/ЛГГЛГ\(Л»,Г ГТЯТТГЛ Лм;ит/ттт»л ^/Гллял ^ 1ГТГ1ТТ тл«пглтт\ 77* л» апттлтпатг.

г

ным гиперболическим критическим значением, которое мы будем считать нулем. Функция F постоянна на граничных окружностях. Пусть F|apa = ±1. Таким образом, поверхность Р2 содержит в качестве деформационного ретракта связный граф К = jFl-l(0) с вершинами кратности 4. Все граничные кольца Р2\К = UCj распадаются на положительные (F > 0) и отрицательные (F < 0), причем к каждому ребру графа К примыкают разнозначные кольца. Поверхность Р2 с перечисленными свойствами называется буквой-атомом. Рассмотрим на Р2 симплектическую форму (форму объема) и> и соответствующее гамильтоново векторное поле sgradu F. Любое невырожденное гамильтоново векторное поле v, касающееся слоения X = {F = const}, предста-вимо в таком виде v = sgradUF для некоторой пары (F,w). Редуцированная задача состоит в классификации ростков гамильтоновых векторных полей v на графе К С -Р2. Переходим к описанию инвариантов этой классификационной задачи.

Рассмотрим произвольную вершину А графа К. В ее окрестности существуют локальные координаты (х, у) такие, что F = ху и w = Л(F) dx Л dy, Л(0) > 0. В малой окрестности вершины граф К есть "крестик". Транс-версали к его сторонам являются локально трансверсалями потока. Дополнение к графу локально состоит из четырех компонент. Асимптотика времени пробегания потока от одной трансверсали до другой по произвольной компоненте описывается следующим утверждением7.

Лемма. Время пробегания потока sgradw F около вершины ■ А равно -Лд(Л1п |F| + c(F), где Лл,с — гладкие функции на полуинтервале [0,е).

Замечание. Два слагаемых выше называются, соответственно, бесконечной (негладкой) и конечной частями функции периода (хотя определены они и не однозначно).

Таким образом, если мы разложим функцию Лa(F) в ряд Тейлора A^.iF', то получим систему инвариантов а,втосимплектоморфизма Ф:

к

>=о

Из леммы следует, что для конца i буквы-атома (г-й компоненты границы дР2 — кольца С;) для функции периодов векторного поля v на ребре имеет место асимптотическое равенство:

П.,¡(F) = -Х>Ai.<k(F) ln|F| + cf(F), (*)

j=i

где A A; j ,Jt(F) = £г=о ,rFr — Л-инварианты для m* вершин графа К, лежащих на границе кольца С;, a cf £ Cfc[0,e). В случае к = со мы берем в качестве \A,..k(.F) любую гладкую функцию с рядом Тейлора \A,.rFT.

Теорема 6. Для любого конца i буквы-атома (Р2, К) существует такая функция Морса вблизи графа К, что слоение на связные компоненты уровня {F = const} совпадает со слоением Z, и конечная часть функции периодов с* в разложении (*) равна нулю. Эта функция определена с точностью до прибавления функции f, постоянной на листах слоения I, и такой, что ее к-струя на графе К равна нулю.

Так как Н2(Р2) = Н2(К) = 0, то мы можем записать ш = da, где а\к = 0. Рассмотрим для каждого кольца Cj С Р2\ К сечение flj потока векторного поля v = sgradw F, трансверсально входящее в ребро графа К. Рассмотрим для каждого ребра ет С К разрез sm — сечение потока, трансверсально пересекающее ребро ет. Зафиксируем некоторое кольцо С;. Пусть, для определенности, оно — положительное, С*, т.е. F\с. > 0. На нем есть сечение 0i и полуразрезы ..., Обозначим промежуток вдоль поля sgradu F между

4 и з+ + 1)|. через Uj, = G С*, С? = [_\Uj>- Пусть, для определен-

]

ности, 0i С Un, Pi П А* = pti, и Aij лежит на грание Uji. Определим функцию х : С? —> К. следующим образом:

х = 0 на I<C\Cf-, х\0. = gi\ gi € 9i(?ti) = 0; *(*) = Ja+gfao) на Uu,

где / — отрезок интегральной траектории поля sgrad^ F, лежащий в U\i и соединяющий точку х с точкой хо на сечении Далее, для хо € определим

хг(х0) = ton х(х) + AA,..t№o))bF(io) - — c?(F(x0)),

г—+ГО T7li

xeu и

а для xi G uii — x{xi) = x(xq)+f а, где i — отрезок интегральной траектории

i

векторного поля sgradu F, лежащий в U-ц и соединяющий точки xi и х0 £ sj;. Для хо £ определим

х{х0) = ton х{х)+Аа ,k{F{x0))lnF{xo)-— cf(F(x0))

х-»хо т,-

хеи*

и т.д. Если мы сделаем полный оборот и снова определим ., то получим то же значение.

Проделаем эту же процедуру для всех колец. Разложим к в ряд Тейлора по F на в окрестности точки s°m, где .s* — часть разреза s,n, соответствующая знаку ± функции F, а точка s°n соответствует пересечению ребра е,„:

*+1 оо

= YstfF' + o(\F\k+l) шш = J^ifp", k = оо. ¡=i ¿=i

к+1

Обозначим через сумму — 1 > гДе т нумерует ребра. Заклеим

¿=1

дисками граничные компоненты поверхности Р2. Получим замкнутую ориентируемую поверхность Р2. Рассмотрим стандартное клеточное разбиение Р2: 0-клетки — вершины К, 1-клетки — ребра и 2-клетки — приклеиваемые диски. 1-цепь 6к(ш) = ^ С\{Р2\ определена неоднозначно. При из-

т

менении разрезов сечений /3 и начальных значений д функции ус на них она изменяется на границу. Таким образом, мы получаем однозначно определенный элемент € СХ(ВХ (Р2; «*[<]). Имеем: Сх/Лг = Сг/^1 + = В0 -(- Ех.

Введем в С\[Р2\ К*:[<]) скалярное произведение, относительно которого 1-цепи О'ет}/=о,(тп нумерует ребра) являются ортонормированным базисом. Мы можем однозначно разложить = и)к(и>) -(- vk(ы), гДе € ¿а(Р2; =

{с € Сх\дс = 0 € Со}, юк^к.

Введем следующие обозначения:

А'к{ш) = ди,к = д5к е Во(Р2;ЖкЩ), гк{и>) = К-И] € г,/В, = Нг{Р2-ЛкЩ).

Обозначим через Лк(ш) 6 В2(Р2; К^]) сумму с-С,-, где с* — конечные части функции периодов на кольцах С,- (*). Имеется гомоморфизм В2 Во такой, что Лк Л'к. Далее, обозначим через 1пу^(Р2, и); набор инвариантов А^,*, 2к и Лк, определенных по задающей слоение X функции Р, удовлетворяющей теореме 6.

Теорема 7. Ростки гамильтоновых векторных полей v = sgradшP, на графе К С Р2 полностью Ск-классифицируются набором инвариантов 1пук(Р2, v)j, т.е. два гамильтоновых векторных поля V на букве-атоме (Р2, К) и V1 на (Р2',К') точно С к-эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие инварианты Ъзуь и 1п.у'к совпадают.

Теорема 8. Гамильтоново векторное поле V = з§гас1ш Р на двумерном многообразии полностью Ск -классифицируется графом Г, вершины которого нумеруют особые слои (см. нумерацию в работе6), метками-инвариантами р на его сторонах и метками-инвариантами 1пуь для каждой вершины.

Рассмотрим двойственную задачу о классификации триад (Ь2,ш,С), где (12,ш) — компактная симплектическая поверхность с краем, а £ — слоение Морса, т.е. слоение на линии уровня функции Морса. Аналогично тому, как это было сделано выше, сопоставляем слоению маркированый граф Г, на ребра которого ставятся метки — площади су = уо1ш (С]) колец Су, остающихся после выбрасывания особых слоев слоения. Вершинам сопоставляем инварианты аналогично сделанному выше.

Теорема 9. Две триады {Ь2 , ш, £),', I = 1,2, Ск-эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают соответствующие наборы инвариантов (Г, с,, (1пу*)«),-.

1U

Замечание. Если функщхя Морса F — простая, то все особые слои классифицируются атомами А и В в терминологии6, т.е. Р2 = S2. В этом случае инварианты Z, и Л, пропадают, а остаются только инварианты с, и Л». Для этого случал теорема 9 при к = оо была доказана в работе9.

Задача о траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых векторных полей с двумя степенями свободы на трехмерном изоэнергетическом многообразии в окрестности особого слоя лиувиллева слоения с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами для гиперболических критических окружностей сводится7 к задаче о точной классификации ростков на графе К гамильтоновых векторных полей на букве-атоме (Р2,К), решение которой в гладкой категории приведено выше (теорема 7). Для продолжения теории траекторной классификации на системы с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами для гиперболических критических окружностей надо решить задачу о точной эквивалентности триад ((P2,K),v = sgradu F,<r), где (Р2,К) — буква-атом, сг — инволюция на ней, переводящая граф К в себя, и имеющая неподвижными точками некоторые вершины графа, называемые звездочками, в окрестности которых отображение сг является отражением, причем гамильто-ново векторное поле и, касательное к графу К, инвариантно относительно инволюции. Из определения следует, что фактормножество (Р2,К) = (Р2, К)/с несет структуру буквы-атома, на ребрах которого имеются вершины степени 2 (звездочки). Можно сопоставить рассматриваемой триаде инвариант Invjt, являющийся набором инвариантов Лд.4) Zk € Яг(Р2;К*[*]), Ak 6 B{P2;Rk[t}), где .4 пробегает множество вершин факторграфа К. Заметим, что инварианты Z и Л лежат в когомологиях и границах заклеенной факторповерхности Р2.

Теорема 10. Две триады ((Р2, A'), v, сг);, i = 1,2, являются Сk-эквивалентными, если я только если соответствующие инварианты (luv*),- совпадают.

В главе 4 мы рассматриваем вопрос о реализуемости бифуркационных диаграмм и отображений момента определенного вида. В частности, мы интересуемся следующим вопросом. Пусть для симплектического многообразия (Л4, ш) задано гамильтоново действие плоскости R2, все орбиты которого компактны (торы) и имеют максимальный ранг 2, и пусть соответствующее отображение момента расслаивает X4 над кольцом S1 х I. Когда существует большее симплектическое многообразие (М4,и), "продолжающее" многообразие (Х*,ш), с продолженным гамильтоновым действием без особенностей таким, что образ соответствующего отображения момента является диском, затягивающим на плоскости R2 кольцо — образ X4 при отображении момента? Легко видеть, что задача эквивалентна задаче о продолжимости лагранжевого слоения на торы над кольцом до аналогичного над диском.

Рассмотрим тривиальное лагранжево расслоение тг : (Х4,и>) —> 51 х I сим-плектического многообразия X4 над кольцом со слоем Т2. Обозначим через в нетривиальный цикл кольца-базы, а через 71,72 — базисные циклы в слое Г2 = *-1(р*).

Теорема 11. Продолжение спмплектнческои формы и с X4 = Т2 х 51 х / на М4 = Т2 х О2 с сохранением лагранжевости тора-слоя Т2 существует тогда и 1 только тогда., когда выполнены следующие условия:

(1) / из = / и = 0 (интегрирование по торам 7,- х /3 С х~1{Р) С Т2 х

71 ХД 72 ХД

51 х /;.

(2) Еати выполнено условие (1), то отображение

7:5' х/->Е2, ^ У У , (**)

где /Д означает интегрирование по любому пути на кольце-базе от го до г, определено корректно и есть погружение кольца. Потребуем, чтобы оно было ограничением на край отображения погружения диска Б2 К2.

Выше в теореме мы рассматривали продолжение многообразия (Х4,и;) такое, что отображение момента не имеет особенностей, т.е. биффуркаци-онная диаграмма пуста. Можно ослабить это требование на продолжение и допустить простейшие бифуркационные диаграммы. Назовем стандартной дыркой многообразие Т2 х Б2 с координатами х,у, х2 + у2 < 3, снабженное формой и = (1х А с/у + а(1'~р А ¿ф, а е К \ {0} и парой функций 9\ = (х2 +у2 +62) соэу+Ьи д2 = {х2+у2-\-Р)пт<р+Ъг,5 ф 0, {дьЫ =0. Образ отображения момента — кольцо {г2 +у2 £ [¿2, 3 + £2)}, граничная окружность [х2 4- у2 = ¿2} которого является бифуркационной диаграммой. В прообразе каждой точки отображения момента — тор Т2, в прообразе точки бифуркационной диаграммы — эллипт1гческая окружность 5' (в точках такой окружности ранг отображения момента падает на единицу).

Теорема 12. Рассмотрим симплекппеское многообразие (X4 = Т2 х5! х I ,и>) я пару инволютивных независимых функций Я, F на нем, {Н, Р} = 0, таких, что их декартово произведение Ф = Я х Р расслаивает X4 над кольцом Б1 х I (со слоем тор Т2). Пусть 0 — образующий цикл этого кольца, я пусть для некоторых циклов 7( я 72 тора-слоя выполнены условия: / и — А ф О,

/ и = 0. Тогда отображение (**) будет многозначным. Профакторизуем 12 хР

его до отображения в цилиндр. Оно является погружением; пусть замыкание образа компактно. Потребуем, чтобы это погружение было ограничением на

окрестность крал отображения погружения полуцилиндра. При этом одна из Граниных компонент кольца является внутренней для полуцилиндра, вторая

— граничной. Потребуем, чтобы последняя отвечала той граничной компоненте X4 , которая при отображении момента Ф : х и- (Н(х), F(x)) переходит во внешнюю граничную окружность кольца (т.е. в ту, которая ограничивает диск, содержащий другую). Тогда существуют симплектическое многообразие М1 = Т2 х D2 и пара инволютишшх независимых п.в. функций Я, F на нем такие, что прообраз окрестности бифуркационной диаграммы при отображении момента Ф стшлектоморфен с сохранением структуры интегрируемой гамильтоновой системы окрестности стандартной дырки, а дополнение

— окрестность края М4 — симплектоморфна X4, причем симплектоморфизм переводит функции H,F в функции Я, F.

Глава 5 посвящена симплектическим упаковкам. Симплектической. к-упаковкой симплектического многообразия (M2",w) r-шарами называется симплектическое вложение ULi-B2» М2п. Симплектическая структура на шаре В2п(г) предполагается стандартной. Для многообразий конечного u>n-объема введем коэффициент полноты упаковки: ujt(M2",w) =

sup{fc • vol В2" (г) ¡| существует симплектическая к — упаковка М г — шарами}

voC М

Говорим, что симплектическое многообразие (M2",w) допускает полную к-упаковку равными шарами, если v/t(M2n,<j) = 1. Vk(Ml'\u>) является симплектическим инвариантом. И хотя для любого компактного симплектического многообразия (М2",и>) и числа е > 0 существует к такое, что Vk{M2"> 1 —г, существуют многообразия (М2",ш) такие, что Vk{M2n< 1 при всех к. Мы приводим элементарные конструкции полных симплектических упаковок: f шара В2п при помощи кп равных шаров, t полидиска PD2n при помощи п! ■ к" равных шаров,

t произведения CP'"1 х...хС Р"1' с симплектической формой к\Шо®. ■ • ©

Jfcru о, k¡ 6 Z, при помощи (т' |"" + Ш;)!А:Г" ■... • к"'г шаров В2т(1),

mi! ■ ... • тг!

т =

Замечание. Методы построения близки к методам теории отображения момента. Другая элементарная конструкция полной упаковки шара содержится в работе10

Определим ISL„ как множество элементов М 6 Sl„(R) таких, что proМ* : (0,1)" Тп — инъекция. Здесь рг : R" Rn/Z" = Т" — каноническая проекция. Рассмотрим расширение целочисленно-афинной группы преобразований

10L. Traynor, "Symplectic packing constructions", Journal of Dili. Equation (to appear).

евклидова пространвтсва R": ISLn XR". Для U с R" положим Vk(U) — sup{fc • vol A"(r) |j существует ISL„ XR" к — упаковка U при помощи Дп(г)}

Теорема 13. üjt(A") < vk{B2n).

Эта теорема доставляет удобный инструмент для оценки полноты упаковки.

Следствие. и13+1(Л4) > 1 - ¿jjpy, (Я4) > 1 - (¿з + ца-

Это следствие согласуется с результатами D. McDuff и JI. Полтеровича11, согласно которым v2(Bi) = i, v3(B4) = f, v5(B4) = v6(B4) = §f.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику РАН профессору А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе. Автор искренне благодарен д.ф.м.н. А. В. Болсинову за полезные обсуждения.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Б. С. Кругликов, Топологическая классификация систем Леггетта в одном интегрируемом случае для 3Не-А, Успехи мат. наук 46, вып. 4 (280) (1991), 153-154.

2. Б. С. Кругликов, О продолжении симплектической структуры, Труды семинара по тензорному и векторному анализу 25 (часть 1) (1993), 71-75, МГУ.

3. Б.С. Кругликов, О продолжении симплектической формы и пары функций в инволюции cS1 х/хТ5, Труды математического института им. В. А. Стеклова 205 (1994), 98-108.

4. B.C. Кругликов, Существование пары дополнительных боттовских интегралов для резонансной гамилътоновой системы с двумя степенями свободы, Труды математического института им. В. А. Стеклова 205 (1994), 109-112.

5. В. Kruglikov, Exact smooth classification of Hamiltonian vector fields on 2-manifolds, preprint of ICTP, TVieste, Nov. 1994, IC/94/314, 1-19.

6. Б.С. Кругликов, Об одном инварианте характеристического распределения, Успехи мат. наук 50, вып. 4 (1995), 159-160.

"D. McDuírand L. Polforoviih, "Symplcctic packings and algebraic geometry", Invent. Math, vol. 115, pp. 405-425, 103-1.